2021年1月15日四川省高2018级2021届绵阳二诊理科数学试题及参考答案附答题卡

绵阳市高中2018级第二次诊断性考试

理科数学参考答案及评分意见

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1—5 DADCB 6—10 CCCAB 11—12 DA

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．-i 14．0.8 15．3 16．②④

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17．解：（1）证明：∵211(2)n n n n a a a a ++=+，

∴2211112(2)()0n n n n n n n n a a a a a a a a ++++−−=−+=．

又数列{a n }各项均为正数，∴10n n a a ++>，

∴120n n a a +−=，即12n n

a a +=． …………………………………………………4分 数列{a n }是首项a 1=1，公比为2的等比数列．

∴数列{a n }的通项公式为12n n a −=． …………………………………………6分

（2）∵1(1)1221112

n n

n n a q S q −−===−−−， ∴S 2n =22n -1， ………………………………………………………………… 8分 ∵S 2n >1609

n a ， ∴29(21)802n n −>⨯，即(921)(29)0n n ⨯+−>，

∴290n −>，又*n N ∈ ，

∴正整数n 的最小值为4． …………………………………………………12分

18．解：（1）由题意得，1=(23456)45

x ⨯++++=，1=(35 6.5810.5) 6.65

y ⨯++++=，……………………2分1()()18n i i i x

x y y =−−=∑，21()10n i i x x =−=∑，……………………………………4分

1.8b =， 6.6 1.840.6a y bx =−=−⨯=−， ………………………………………5分

∴y 关于x 的线性回归方程 1.8.6ˆ0y

x =−． ……………………………………6分

（2）由（1）所得回归方程计算2月至7月份预测生产量依次为

3，4.8，6.6，8.4，10.2，12．

可得，其中“甲级月”有3个，“乙级月”有3个．……………………… 9分 记6个月中随机抽取2个月均为“乙级月”为事件A ，

∴P(A )=23

2631155

C C ==．…………………………………………………………12分 19．解：（1）在△APC 中， 30PAC ∠=

，AC =，

由余弦定理得CP 2=AP 2+AC 2-2AP ×AC ×cos ∠PAC ，

即CP 2=AP 2+3

-AP ×cos30°， ……………………………………………2分 又AP +CP =2，

联立解得AP =1，CP =1． ………………………………………………………4分 ∴∠APC =120°． ……………………………………………………………………6分 （2）∵∠APC =120°，∴∠APB =60°．

∵cos B =

∴sin B = ……………………………………………………………………8分 在△APB 中，由正弦定理sin sin AB AP APB B

=∠，

∴AB = …………………………………………………………………………10分 在△APB 中，由余弦定理2222cos AB AP PB AP PB APB =+−⋅⋅∠，

得7=1+PB 2-2PBcos60°，即PB 2-PB -6=0，

解得BP =3．

∴△APB

的面积为11sin 1322AP BP APB ⨯⨯∠=⨯⨯=12分 20．解：（1）由21()()2

g x f x mx =+=(22)4ln m x x +−，x >0， 得4(22)4(1)2()(22)=2m x m x g x m x x x

+−+−'=+−=⋅． ……………………………2分 ①当1≤m −时，(1)2()20=≤m x g x x

+−'⨯， 此时g (x )在(0)，

+∞上单调递减， g (x )在(0)，

+∞上不可能有两个零点，故1≤m −不合题意. ……………………4分

②当m>-1时，f(x)在区间

2

(0)

1

，

m+

上单调递减，

在区间

2

()

1

，+

m

∞

+

上单调递增．……………………………5分

要使得函数g(x)在(0)

，+∞上有两个零点，

则

22

()44ln0

11

g

m m

=−<

++

，解得

2e

1

e

m

−

−<<．

综上，实数m的范围是

2e

1

e

m

−

−<<．………………………………………6分

（2）

4(2)(2)

()(22)

mx x

f x m mx

x x

−−

'=+−−=−，x>0．

①当0

2

(2)

，

m

上单调递增，

在(0，2)，

2

()

，+

m

∞上单调递减，

当

4

4

x

m

>+时，函数f(x)在

2

()

，+

m

∞上单调递减．

∴

14

()(22)4ln(4)0

2

f x x m mx x f

m

=+−−<+<,

∴f(x)≥0，在x>0恒成立不成立，即0

②当m≥1时，函数f(x)在

2

(2)

，

m

上单调递增，

函数f(x)在

2

(0)

，

m

，(2)

，+∞上单调递减，

当

4

42

x

m

>+>时，f(x)在(2)

，+∞上单调递减，

∴

14

()(22)4ln(4)0

2

f x x m mx x f

m

=+−−<+<,

∴f(x)≥0在x>0恒成立不成立，

即m≥1不合题意.………………………………………………………………10分③当m≤0时，函数f(x)在(0，2)上单调递减,在(2)

，+∞上单调递增，

∴要使得f(x)≥0的充要条件是f(2)≥0，

解得m≥2ln2-2，

∴2ln2-2≤m≤0．

综上所述，实数m的范围是[2ln2-2，0].……………………………………12分