2021年1月15日四川省高2018级2021届绵阳二诊理科数学试题及参考答案附答题卡
四川省绵阳市2021届新高考数学二模考试卷含解析
四川省绵阳市2021届新高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（ ）A ．4π3B ．82π3C ．32π3D 642 【答案】B【解析】【分析】利用均值不等式可得()11222112113333B ACC A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=,即可求得AB ,进而求得外接球的半径,即可求解.【详解】由题意易得BC ⊥平面11ACC A ,所以()11222112113333B ACC A V BC AC AA BC AC BC AC AB -=⋅⋅=⋅≤+=, 当且仅当AC BC =时等号成立, 又阳马11B ACC A -体积的最大值为43, 所以2AB =,所以堑堵111ABC A B C -的外接球的半径221222AA AB R ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以外接球的体积348233V r π==, 故选:B【点睛】本题以中国传统文化为背景,考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用,体现了数学运算、直观想象等核心素养.2．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x -=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D. 考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.3．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）．A ．15B ．25C ．310D ．14【答案】A【解析】【分析】基本事件总数4520n =⨯=，利用列举法求出其和等于11包含的基本事件有4个，由此能求出其和等于11的概率．【详解】解：从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，基本事件总数4520n =⨯=，其和等于11包含的基本事件有：(9,2)，(3,8)，(7,4)，(5,6)，共4个，∴其和等于11的概率41205p ==． 故选：A ．【点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．4．如图，在ABC ∆中，23AN NC =u u u v u u u v ，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，则实数t 的值为（ ）A ．23B ．25C ．16D ．34【答案】C【解析】【分析】由题意，可根据向量运算法则得到25AP mAC =+u u u r u u u r （1﹣m ）AB u u u r ，从而由向量分解的唯一性得出关于t 的方程，求出t 的值.【详解】由题意及图，()()1AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB =+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 又，23AN NC =u u u r u u u r ，所以25AN AC =u u u r u u u r ，∴25AP mAC =+u u u r u u u r （1﹣m ）AB u u u r ， 又AP =u u u r t 13AB AC +u u u r u u u r ，所以12153m t m -=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得m 56=，t 16=， 故选C ．【点睛】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题. 5．设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）．A ．()1,+∞B ．()(),11,-∞-+∞UC ．()1,1-D ．()()1,00,1-U【答案】B【解析】【分析】 由奇偶性定义可判断出()f x 为偶函数，由单调性的性质可知()f x 在[)0,+∞上单调递增，由此知()f x 在(],0-∞上单调递减，从而将所求不等式化为1x >，解绝对值不等式求得结果.【详解】由题意知：()f x 定义域为R ，()()()()()2211ln 1ln 111f x x x f x x x -=+--=+-=++-Q ，()f x ∴为偶函数， 当0x ≥时，()()21ln 11f x x x=+-+， ()ln 1y x =+Q 在[)0,+∞上单调递增，211y x =+在[)0,+∞上单调递减， ()f x ∴在[)0,+∞上单调递增，则()f x 在(],0-∞上单调递减，由()()1f x f >得：1x >，解得：1x <-或1x >，x \的取值范围为()(),11,-∞-+∞U .故选：B .【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.6．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题；③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件；④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号为（ ）A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④【答案】B【解析】【分析】由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断．【详解】“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”，正确；已知为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题，正确；“2019a >”是“2020a >”的必要不充分条件,错误；“若0xy =，则0x =且0y =”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误.故选：B ．【点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．7．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】【分析】先确定集合P 中元素的个数，再得子集个数．【详解】由题意{|13}{0,1,2}P x N x =∈-<<=，有三个元素，其子集有8个．故选：D ．【点睛】本题考查子集的个数问题，含有n 个元素的集合其子集有2n 个，其中真子集有21n -个． 8．622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含3x 项的系数为（ ） A ．60-B ．12-C ．12D ．60 【答案】B【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得含3x 项的系数．【详解】 622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()663166222rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令633r -=，得1r =，可得含3x 项的系数为()16212C ⨯-=-. 故选：B.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 9．已知函数()2x f x x a =+⋅，()ln 42xg x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（ ）A ．(]01，B ．(]04，C ．[)1+∞，D ．(]0,ln2 【答案】A【解析】【分析】 根据实数0x 满足的等量关系，代入后将方程变形0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，构造函数()ln 5h x x x =+-，并由导函数求得()h x 的最大值；由基本不等式可求得00242x x a a -⋅+⋅的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数a 的取值范围.【详解】函数()2x f x x a =+⋅，()ln 42x g x x a -=-⋅，由题意得()()0000002ln 425x x f x g x x a x a --=+⋅-+⋅=， 即0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-， 令()ln 5h x x x =+-，∴()111x h x x x -'=-=， ∴()h x 在()01，上单调递增，在()1+∞，上单调递减，∴()()14max h x h ==，而0024224x x a a a -⋅+⋅≥=，当且仅当00242x x -=⋅，即当01x =时，等号成立，∴44a ≤，∴01a <≤.故选：A.【点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.10．已知函数f （x ）＝sin 2x+sin 2（x 3π+），则f （x ）的最小值为（ ） A ．12 B ．14 C．4 D．2【答案】A【解析】【分析】先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求最值. 【详解】已知函数f （x ）＝sin 2x+sin 2（x 3π+）， =21cos 21cos 2322x x π⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭+，=1cos 2111cos 22223x x π⎛⎛⎫-=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 因为[]cos 21,13x π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 所以f （x ）的最小值为12. 故选：A【点睛】 本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点，O 是坐标原点，过点2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P．若1PF =，则C 的离心率为（ ）ABC ．2D ．3【答案】B【解析】【分析】 设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()a y x c b =--，联立方程，求得2a x c=，ab y c =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由1PF =，列出相应方程，求出离心率.【详解】解：不妨设过点()2,0F c 作b y x a =的垂线，其方程为()a y x c b =--，由()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得2a x c =，ab yc =，即2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由16PF OP =，所以有22224222226a b a a a b c c c cc ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得223a c =，所以离心率3==c e a ． 故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题．12．函数()cos2x f x π=与()g x kx k =-在[]6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),x y （1i =，……，n ），则()1n i i i x y =+=∑（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10 【答案】C【解析】【分析】根据直线()g x 过定点()1,0，采用数形结合，可得最多交点个数， 然后利用对称性，可得结果.【详解】由题可知：直线()g x kx k =-过定点()1,0且()cos2x f x π=在[]6,8-是关于()1,0对称 如图通过图像可知：直线()g x 与()f x 最多有9个交点同时点()1,0左、右边各四个交点关于()1,0对称所以()912419i ii x y =+=⨯+=∑ 故选：C【点睛】本题考查函数对称性的应用，数形结合，难点在于正确画出图像，同时掌握基础函数cos y x =的性质，属难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年四川省绵阳市高考数学二诊试卷(理科)有答案
2021年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题1. 设集合A＝{x∈N|−1≤x≤1}，B＝{x|log2x<1}，则A∩B＝（）A.[−1, 1)B.(0, 1)C.{−1, 1}D.{1}2. 已知直线l1:ax+2y+1＝0，直线l2:2x+ay+1＝0，若l1⊥l2，则a＝（）A.0B.2C.±2D.43. 已知平面向量＝(1，），＝(2, λ)，其中λ>0，若|-|＝2，则＝（）A.2B.C.D.8)6的展开式中常数项为（）4. 二项式(2x−√xA.160B.−160C.60D.−605. 已知函数f(x)=x3+sin x+2，若f(m)=3，则f(−m)=()A.2B.1C.0D.−16. 已知曲线y＝e x（e为自然对数的底数）与x轴、y轴及直线x＝a(a>0)围成的封闭图形的面积为e a−1．现采用随机模拟的方法向右图中矩形OABC内随机投入400个点，其中恰有255个点落在图中阴影部分内，若OA＝1，则由此次模拟实验可以估计出e的值约为（）A.2.718B.2.737C.2.759D.2.7857. 已知命题p：若数列{a n}和{b n}都是等差数列，则{ra n+sb n}(r, s∈R)也是等差数列；命题q：(k∈Z)，都有sin x<x．则下列命题是真命题的是（）A.￢p∧qB.p∧qC.p∨qD.￢p∨q8. 对全班45名同学的数学成绩进行统计，得到平均数为80，方差为25，现发现数据收集时有两个错误，其中一个95分记录成了75分，另一个60分记录成了80分．纠正数据后重新计算，得到平均数为，方差为s2，则（）A.＝80，s2<25B.＝80，s2＝25C.＝80，s2>25D.<80，s2>259. 已知双曲线(a>0, b>0)的左、右焦点为F1，F2，P为其渐近线上一点，若△PF1F2是顶角为的等腰三角形，则E的离心率为（）A. B.2 C. D.10. 若函数+2ax+3在x＝2处取得极小值，则实数a的取值范围是（）A.(−∞, −6)B.(−∞, 6)C.(6, +∞)D.(−6, +∞)11. 已知正实数x，y满足，则（）A.ln x>ln(y+1)B.ln(x+1)<lg yC.3x<2y−1D.2x−y>112. 已知点O为坐标原点，|OP|＝2，点B，点C为圆x2+y2＝12的动点，且以BC 为直径的圆过点P，则△OBC面积的最小值为（）A.2B.4C.6D.二、填空题复数z 满足(1+i)⋅z ＝1−i ，则z ＝________．已知某科技公司员工发表论文获奖的概率都为p ，且各员工发表论文是否获奖相互独立．若X 为该公司的6名员工发表论文获奖的人数，D(X)=0.96，E(X)>2，则p 为________．已知F(1, 0)为椭圆(a >b >0)的右焦点，过E 的下顶点B 和F 的直线与E 的另一交点为A ，若，则a ＝________．关于函数f(x)＝sin 2x +2cos 2x ，下列说法正确的序号是________．①函数f(x)的一条对称轴为；②若f(x 1)＝f(x 2)＝1，则；③函数f(x)关于成中心对称；④设[a, b]⊆[0, π]，对任意x 1，x 2∈[a, b]，若f(x 1)>f(x 2)，则有x 1>x 2，那么b −a 的最大值为．三、解答题（一）必考题已知各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n+12＝a n (a n+1+2a n )．（1）证明：数列{a n }为等比数列，并求通项公式；（2）若数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2n >，求n 的最小值．某食品厂2020年2月至6月的某款果味饮料生产产量（单位：万瓶）的数据如表：（1）根据以上数据，求y关于x的线性回归方程；（2）当统计数据中，某月实际生产产量与所得回归方程预测的生产产量的误差在[−0.1, 0.1]内时，称该月为“甲级月”，否则称该月为“乙级月”．将所得回归方程预测的7月生产产量视作该月的实际生产产量，现从该年2月至7月中随机抽取2个月，求这2个月均为“乙级月”的概率．附：参考公式：＝，＝-．如图，在△ABC中，点P在边BC上，∠PAC＝30∘，AC＝，AP+PC＝2．（1）求∠APC；（2）若，求△APB的面积．已知函数f(x)＝(2m+2)x−4ln x−．（1）若函数g(x)＝f(x)+有两个零点，求m的取值范围；（2）若f(x)≥0，求m的取值范围．已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在第一象限内且为抛物线C上一点，点D(5, 0)，当直线AD的倾斜角为时，△ADF恰为等边三角形．（1）求C的方程；（2）过y轴上一点P作抛物线C的切线l1交直线x＝5于G，以DG为直径作圆E，过点P作直线l2交圆E于H，Q两点，试问：|PH|∗|PQ|是否为定值？并说明理由．（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x−2)2+y2＝6．曲线C2的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝α(−，ρ∈R)．（1）求曲线C1与C2的极坐标方程；（2）已知直线l与曲线C1交于A，B两点，与曲线C2交于点C，若|AB|:|OC|＝求α的值．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x−3|+|x−2|．（1）求不等式f(x)<3的解集；（2）记函数f(x)的最小值为m，a>0，b>0，c>0，a+b+c＝mabc，证明：ab+bc+ac≥9．参考答案与试题解析2021年四川省绵阳市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】D【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】C【考点】二项式定理及相关概念【解析】)6展开式的通项公式，求出展开式中常数项即可．利用二项式(2x−√x【解答】)6的展开式的通项公式为二项式(2x√x)r=C6r⋅26−r⋅(−1)r⋅x6−32r，T r+1=C6r⋅(2x)6−r⋅√xr＝0，解得r＝4；令6−32∴该二项式展开式中常数项为C64⋅26−4⋅(−1)4＝60．5.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】根据题意，由函数的解析式分析可得f(x)+f(−x)=4，结合f(m)的值，计算可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)=x3+sin x+2，则f(−x)=(−x)3+sin(−x)+2=−(x3+sin x)+2，则f(x)+f(−x)=4，若f(m)=3，则f(−m)=1，6.【答案】C【考点】模拟方法估计概率几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用复合命题及其真假判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】C【考点】极差、方差与标准差众数、中位数、平均数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】A【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】B【考点】利用导数研究函数的极值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】−i【考点】复数的运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】由已知可得X 服从二项分布，根据二项分布的方差公式和期望公式即可求出p 的值．【解答】由已知可得X ∼B(6, p)，则D(X)=6p(1−p)=0.96，即25p 2−25p +6=0，解得p =0.2或0.8，因为E(X)=6p >2，可得p >13， 所以p =0.8．【答案】3【考点】椭圆的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】②④【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（一）必考题【答案】证明：∵ a n+12＝a n (a n+5+2a n )，∴ (a n+1−7a n )(a n+1+a n )＝0，又a n >5，∴ a n+1＝2a n ，∴ 数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列n ＝2n−3；由（1）可得S 2n ＝＝22n −5，又S 2n >，∴ 42n −1>×2n−1，解得：7n >9，或2n <−（舍），∴ n 的最小值为4．【考点】数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】根据表中数据，计算＝，＝×(3+3+6.5+7+10.5)＝6.2，∴＝＝＝8.8，＝-＝6.8−1.8×3＝−0.6，∴y关于x的线性回归方程为＝4.8x−0.6．当x＝2时，＝1.4×2−0.7＝3＝0，当x＝3时，＝1.8×8−0.6＝6.8＝0.3，当x＝4时，＝1.6×4−0.2＝6.6＝−2.1，当x＝5时，＝2.8×5−3.6＝8.4＝−0.4，当x＝6时，＝1.8×6−0.6＝10.2＝0.3，当x＝5时，＝1.8×4−0.6＝12，∴y−，∴属于“甲级月”的有5月，4月，属于“乙级月”的有3月，4月，故这2个月均为“乙级月”的概率为P＝＝．【考点】求解线性回归方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】因为∠PAC＝30∘，AC＝，由余弦定理可得CP2＝AP5+AC2−2AP×AC×cos∠PAC，即CP4＝AP2+3−4AP⋅cos30∘，又AP+CP＝2，联立解得AP＝4，CP＝1，所以∠APC＝120∘．因为∠APC＝120∘，可得∠APB＝60∘，因为cos B＝，可得sin B＝，在△APB中，由正弦定理＝，在△APB中，由余弦定理AB2＝AP4+PB2−2AP⋅PB⋅cos∠APB，可得5＝1+PB2−2PB cos60∘，即PB2−PB−6＝2，解得BP＝3．所以△APB的面积为S＝AP⋅BP⋅sin∠APB＝＝．【考点】余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】g(x)＝f(x)+＝(2m+2)x3−4ln x，x>0，所以＝，当m≤−3时，g′(x)<0在(0，所以g(x)在(5, +∞)上单调递减，舍去，当m>−1时，当0<x<时，函数单调递减时，g′(x)>0，若使函数g(x)有2个零点，则g（<0，所以ln>1，即，所以m，所以−7<m．因为f(x)＝(6m+2)x−4ln x−，x>6，所以＝-，x>0，若m≤0，当x∈(5, f′(x)<0，当x∈(2, f′(x)>4，所以f(x)min＝f(2)＝2m+4−8ln2≥0，所以m≥6ln2−2，综上7ln2−2≤m≤8，若m>0，则f(4+−4ln(4+＝−3ln(4+，则f(x)≥5不恒成立，综上，2ln2−8≤m≤0．【考点】利用导数研究函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】由题意可得，且|DF|＝，由抛物线的定义可知，因为△ADF为等边三角形，即，解得p＝2，所以抛物线C的方程为y6＝4x；设直线l1的方程为y＝kx+m，则G(3，，P(0，所以以DG为直径的圆E：，即(x−5)2+y3−(5k+m)y＝0，联立方程组，消去y整理可得，k2x7+(2km−4)x+m2＝0，因为直线l1与曲线C相切，所以△＝(7km−4)2−5k2m2＝6，化简可得km＝1，设直线l2的方程为y＝tx+m，H(x6, y1)，Q(x2, y2)，联立方程组，消去y整理可得4+1)x2+(tm−6kt−10)x+25−5km＝0，所以，因为|PH|＝，|PQ|＝，所以|PH|∗|PQ|＝，故|PH|∗|PQ|为定值20．【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】曲线C1的方程为(x−2)5+y2＝6，转换为x6+y2−4x＝4，根据2−4ρcosθ＝8；曲线C2的参数方程为（t为参数）2−y3＝4，根据2cos4θ−ρ2sin2θ＝7．根据，整理得ρ2−4ρcosα−3＝0，所以ρ1+ρ2＝4cosα，ρ1ρ3＝−2，故＝，，解得，由于|AB|:|OC|＝，所以，整理得6cos22α+4cos2α−5＝3，(2cos2α+5)(2cos2α−8)＝0，解得cos2α＝，由于-，故．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]【答案】f(x)＝|x−3|+|x−2|＝．∵f(x)<7，∴或2≤x≤3或，∴3<x<3或2≤x≤3或4<x<2，∴1<x<3，∴不等式的解集为{x|1<x<4}．证明：由（1）可得m＝f(x)min＝4，∴a+b+c＝abc，∴，∵a>0，b>8，∴＝＝＝＝2，当且仅当a＝b＝c时可取等号，即ab+bc+ac⩾9．【考点】不等式的证明绝对值不等式的解法与证明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
推荐-四川省绵阳市2018年二次诊断数学试题(理科) 精品
绝密 ★ 启用前 【考试时间：2018年1月10日下午3:00～5:00】绵阳市高中2018级第二次诊断性考试数 学 (理工类)本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题) 组成，共4页；答题卷共4页．满分100分．考试结束后将答题卡和答题卷一并交回．第Ⅰ卷(选择题，共48分)注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．3．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )；如果事件A 、B 相互独立，那么P (A ·B )=P (A )·P (B )；如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：k n k kn n P P C k P --⋅⋅=)1()(； 正棱锥、圆锥的侧面积公式cl S 21=锥侧 其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长；球的体积公式 334R V π=球 其中R 表示球的半径．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的, 把它选出来填涂在答题卡上．1．不等式02|1|>+-x x 的解集是 A ．{x ︱x ＞－2} B ．{x ︱x ＜－2} C ．{x ︱－2＜x ＜1或x ＞1} D ．{x ︱x ＜－2或x ＞1}2．若a ＞b ＞0，则下列不等式中总成立的是A ．a b b a 11+>+B ．11++>a b a bC ．b b a a 11+>+D ．bab a b a >++22 3．下列极限中，其值等于2的是A ．4326lim 32+++∞→n n nB ．4326lim 22+++∞→n n nC ．)11174(lim 31+-++-→x x x x D ．nn n n n n n C C C C 2421lim 210++++++++∞→4．设不重合两条直线l 1：ax +by +c =0与直线l 2：mx +ny +p =0，则an =bm 是直线l 1∥l 2的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在平面上，已知点A (2，1)，B (0，2)，C (－2，1)，O (0，0)．给出下面的结论：①BC CA AB =- ②OB OC OA =+ ③OA OB AC 2-= 其中正确．．结论的个数是 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个6．已知数列{a n }的通项公式是1+=bn ana n ，其中a 、b 均为正常数，那么a n 与1+n a 的大小关系是A ．1+<n n a aB ． 1+>n n a aC ．1+=n n a aD ．与a 、b 的取值有关7．设)3,6(ππθ∈且17θ 的终边与θ 的终边相同，则tan θ =A ．2－1B ．2C ．2+1D ．1 8．方程 x (x 2 + y 2－3) = 0与x 2 + (x 2 + y 2－3)2 = 0所表示的曲线是A ．都表示一条直线和一个圆B ．都表示两个点C ．前者是两个点，后者是一条直线和一个圆D ．前者是一条直线和一个圆，后者是两个点 9．设α、β是某一锐角三角形的两个内角，则必有A ．sin α＜cos β且sin β＜cos αB ．sin α＜cos β且sin β＞cos αC ．sin α＞cos β且sin β＞cos αD ．sin α＞cos β且sin β＜cos α10．函数y =x +cos x 的大致图象是D ．11．由方程 1||||=+y y x x 确定的函数y =f (x )在(－∞，+∞)上是A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数12．已知a ，b ，c ∈R ，若1>⋅a c a b ，且2-≥+aca b ，则下列结论成立的是A ．a ，b ，c 同号B ．b ，c 同号，a 与它们异号C ．b ，c 同号，a 不能确定D ．a ，b ，c 的符号都不能确定第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．已知目标函数S = 2x + y ，则函数S 在条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤>0122,1,0y x y x 下的最大值为 ．14．已知51cos sin =+αα，那么角α是第 象限的角．15．设a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积，若a =4，b =5，35=S ，则c = ． 16．已知命题：“若数列{a n }为等差数列，且a m =a ，a n =b (m ≠n ，m ，n ∈N +)，则mn ma nb a n m -⋅-⋅=+”．现已知数列{b n }(b n ＞0，n ∈N +)为等比数列，且b m =a ，b n =b (m ≠n ，m ，n ∈N +)，若类比上述结论，则可得到b m +n = ．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本题满分12分) 已知数列{a n }的各项均为正数，且前n 项和S n 满足1(1)(2)6n n n S a a =++．若a 2、a 4、a 9 成等比数列，求数列{a n }的通项公式．18．(本题满分12分) 已知A 是圆x 2 + y 2 = 4上任一点，AB 垂直于x 轴，交x 轴于点B ．以A 为圆心、AB 为半径作圆交已知圆于C 、D ，连结CD 交AB 于点P ，求点P 的轨迹方程．19．(本题满分12分) 设平面内的向量)7,1(=, )1,5(=, )1,2(=，点P 是直线OM 上的一个动点，求当⋅取最小值时，的坐标及∠APB 的余弦值．20．(本题满分12分) 某地计划从今年起填湖围造一部分生产和生活用地.若填湖费、购置排水设备费等所需经费与当年所填湖造地面积x (亩)的平方成正比，其比例系数为a ．设每亩水面的年平均经济收益为b 元，填湖造地后的每亩土地的年平均收益为c 元(其中a ，b ，c 均为常数)．(Ⅰ) 若按计划填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，试求所填面积x 的最大值．(Ⅱ) 如果填湖造地面积按每年1％的速度减少，为保证水面的畜洪能力和环保要求，填湖造地的总面积永远不能超过现有水面面积的25％，求今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的百分之几.21．(本题满分12分) 证明：ααααααααsin 21)cos (sin cos 2cos sin 3cos 3sin =-++--．22．(本题满分14分) 试利用“对数函数y = log a x 在(0，+∞)上的单调性质：0＜x 1＜x 2 ⇔ log a x 1＜log a x 2 (a ＞1)；0＜x 1＜x 2 ⇔ log a x 1＞log a x 2 (0＜a ＜1)” 解决下列问题：已知二次函数f (x )的图象开口向下,且对任意实数x 有f (2－x )=f (2+x ), 解关于x 的不等式：)10)](812([log )]45([log 222<<++-<++a a x x f a ax x f a a 其中．绵阳市高2018级第二次诊断性考试 数学(理)参考解答及评分标准一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上．CABC BADD CBDA二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．2 14．二或四 15．61或2116． m n m n n m abb -+=三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解 ∵ 对任意n ∈N *，有 1(1)(2)6n n n S a a =++， (1)∴ 当n =1时，有 11111(1)(2)6S a a a ==++， 解得 a 1 = 1 或a 1 = 2． ……………… 3分当n ≥2时，有 1111(1)(2)6n n n S a a ---=++． (2)于是，由 (1)－(2) 整理可得 (a n + a n －1)(a n －a n －1－3)=0．因为{a n }的各项均为正数，所以 a n －a n －1 = 3． …………… 8分 当a 1 = 1时，a n =1+3(n －1)=3n －2，此时a 42=a 2a 9成立．当a 1 = 2时，a n =2+3(n －1)=3n －1，此时a 42=a 2a 9不成立，故a 1=2舍去．所以a n =3n －2． ……………… 12分18．解 设点A 的坐标为A (2cos α，2sin α)， 则以A 为圆心、AB 为半径的圆的方程为(x －2cos α)2 + (y －2sin α)2 = 4sin 2α． ……… 4分联立已知圆x 2 + y 2 = 4的方程，相减， 可得公共弦CD 的方程为x cos α + y sin α = 1+ cos 2α． (1) ……… 8分 而AB 的方程是 x = 2cos α． (2)所以满足(1)、(2)的点P 的坐标为(2cos α，sin α)，消去α，即得点P 的轨迹方程为x 2 + 4y 2 = 4． ……………… 12分说明： 设A (m ，n )亦可类似地解决． 19．解 设),(y x OP =． ∵ 点P 在直线OM 上，∴ 与OM 共线，而)1,2(=，∴ x －2y =0即x =2y ，有),2(y y =． ……………… 4分∵ )7,21(y y --=-=，)1,25(y y --=-=， ∴ )1)(7()25)(21(y y y y --+--=⋅= 5y 2－20y +12 = 5(y －2)2－8． ……………… 8分从而，当且仅当y =2，x =4时，PB PA ⋅取得最小值－8，此时)2,4(=，)5,3(-=，)1,1(-=．于是34||=，2||=，8)1(51)3(-=-⨯+⨯-=⋅PB PA ， ∴ 171742348||||cos -=⋅-=⋅=∠PB PA APB ．…………… 12分 20．解填湖面积 填湖及排水设备费 水面经济收益 填湖造地后收益x (亩) ax 2 (元) bx cx(Ⅰ) 收益不小于支出的条件可以表示为 cx ≥ ax 2 + bx ， 所以 ax 2 + (b －c )x ≤0， x [ax －(c －b )]≤0．当 c －b ≤0，即 0≤≤-x abc 时，此时不能填湖造地；……… 3分 当 c －b ＞0，即 a b c x -≤≤0 时，此时所填面积的最大值为abc -亩．…………… 6分(Ⅱ) 设该地现有水面m 亩，今年填湖造地x 亩， 则 m x x x x 25.0%)11(%)11(%)11(32≤+-+-+-+ ，不等式左边是无穷等比数列(首项为x ，公比q =0.99)的和，故有499.01m x ≤-， 即 m mx %25.0400=≤．因此今年填湖造地面积最多只能占现有水面的0.25％．…………… 12分21． 证明：∵ 分子=(sin2αcos α+cos2αsin α)－(cos2αcos α－sin2αsin α)－sin α+cos α= (2sin αcos 2α－sin α)+cos2αsin α－(cos2αcos α－cos α)+sin2αsin α = sin α(2cos 2α－1)+sin αcos2α+2sin 2αcos α+sin2αsin α = 2sin αcos2α+2sin2αsin α =2sin α(sin2α+cos2α)， …………… 9分分母=2sin αcos α+2cos 2α－1= (sin2α+cos2α)． …………… 11分∴ 左边=2sin α=右边，故等式成立． …………… 12分22．解 由题意知，二次函数f (x )的对称轴为直线x =2，…… 2分 故f (x )在x ∈(－∞，2]上单调递增，在[2，+∞)上单调递减．∵ 22222)2(45a a ax a ax x ≥++=++，a a x a x x ≥+-=++-22)41(2812， 且 0＜a ＜1，∴ 2l o g )45(l o g 222=≤++a a ax x a a ，1log )812(log 2=≤++-a a x x a a， ∴ )812(l o g )45(l o g 222a x x a ax x aa ++-<++， …………… 6分 于是，得 a x x a ax x ++->++81245222，即08145)1(22<++-+-a a x a x ． …………… 10分∵ )8145(4)1(22++--+=∆a a a=031)61(6212622>+-=+-a a a ， ……………12分∴ 原不等式的解集为}10,2121|{<<∆++<<∆-+a a x a x ． …………… 14分。
2021年四川绵阳高三二模理科数学试卷(详解)
【答案】（ 1 ） （2）
． ．
【解析】（ 1 ）由
，
得
．
①
时，
，
此时 在 在
上单调递减， 上不可能有两个零点，故
不合题意．
②
时， 在区间
上单调递减，
在区间
上单调递增．
要使得函数 在
上有两个零点，
则
，解得
．
综上，实数 的范围是
（2）
①当
时，函数 在
．
，
．
上单调递增，
在，
上单调递减，
当
时，函数 在
上单调递减．
内随机投入 个点，其中恰有 个点落在
图中阴影部分内，若
，则由此次模拟实验可以估计出 的值约为（ ）．
y
O
x
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【解析】 ∵
与
交于点 ，
∴
，
∵四边形
是长方形，
，
∴，
∴
，阴影面积
，
，
∵向矩形
投 个点有 个在阴影内，
∴
，
∴
，
∴
，
故选 ．
7. 已知命题 若数列 A.
和 都是等差数列，则
B.
C.
【答案】 C 【解析】 二项式
的通项公式为
令
，得 ，
则常数项为
．
故选 ．
D. ，
5. 已知函数 A.
，若 B.
，则 C.
【答案】 B
【解析】 由
令 易得
， ，
， 为奇函数，
， ，
（ ）． D.
． 故选 ．
6. 已知曲线
四川省绵阳市2021届高三高考数学(理科)二诊试题
14．（x+1）（x﹣1）5展开式中含x2项的系数为_____．（用数字表示）
15．若 为偶函数，且 时， ，若函数 恰有7个零点，则实数m的值是_____．
A． 倍B． 倍C． 倍D． 倍
8．已知直线 过抛物线 的焦点，且与抛物线交于 两点．若 的斜率为 ，则线段 的中点到 轴的距离是（）
A． B． C． D．
9．某单位拟从7名年终考核优秀的职员中选派4人去4个城市任新职，每个城市去1人，其中甲和乙不能同选，乙和丙同选或同不选，则不同的选派方案有（）
A．168种B．240种C．264种D．288种
16．点 是抛物线 上第一象限内的一点，过点 作圆 ： 的两条切线，切点为 ，分别交 轴于 两点，给出以下命题：
① ；
②若 ，则直线 的方程是 ；
③若 ，则△ 的面积是 ；
④△ 的面积的最小值是32．
其中正确的命题是_____．（填上所有正确命题的序号）
三、解答题
17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且满足tanA＝ tanB＝ tanC．
10．已知函数 的图象关于直线 对称，且当 时， ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
11．在△ABC中，|AB|＝4，且|CA|＝ |CB|，则△ABC面积的最大值是（）
A．2 B．4 C．6 D．8
12．函数 ，若 与 有相同值域，则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
二、填空题
四川省绵阳市2021届新高考第二次适应性考试数学试题含解析
四川省绵阳市2021届新高考第二次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P﹣1（其中p是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】【分析】模拟程序的运行即可求出答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得：p＝1，S＝1，输出S的值为1，满足条件p≤7，执行循环体，p＝3，S＝7，输出S的值为7，满足条件p≤7，执行循环体，p＝5，S＝31，输出S的值为31，满足条件p≤7，执行循环体，p＝7，S＝127，输出S的值为127，满足条件p≤7，执行循环体，p＝9，S＝511，输出S的值为511，此时，不满足条件p≤7，退出循环，结束，故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5，故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图，属于基础题．2．函数2()ln(1)x xe ef x x --=+在[3,3]-的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】先根据函数奇偶性排除B ，再根据函数极值排除A ；结合特殊值即可排除D ，即可得解.【详解】函数2()ln(1)x xe ef x x --=+， 则2()()ln(1)x xe ef x f x x ---==-+，所以()f x 为奇函数，排除B 选项； 当x →+∞时，2()ln xe f x x≈→+∞，所以排除A 选项； 当1x =时，11 2.720.37(1) 3.4ln(11)ln 20.69e e e ef -----==≈≈+，排除D 选项； 综上可知，C 为正确选项，故选：C.【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图像，注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用，属于基础题. 3．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（ ）A ．3B ．233C ．3D ．23【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，设球0得半径为R ，AB=x, AC=y,由球0的表面积为20π，可得R 2=5，再求出三角形A BC外接圆的半径,利用余弦定理及基本不等式求xy 的最大值，代入棱锥体积公式得答案.【详解】设球O 的半径为R ，AB x =，AC y =，由2420R ππ=，得25R =．如图：设三角形ABC 的外心为G ，连接OG ，GA ，OA ，可得112OG AD ==，则212AG R =-=． 在ABC ∆中，由正弦定理可得：24sin120BC AG ==︒， 即23BC =由余弦定理可得，222221122()32BC x y xy x y xy xy ==+-⨯-=++…， 4xy ∴„．则三棱锥A BCD -的体积的最大值为11234sin120232⨯⨯⨯︒⨯= 故选：B ．【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、体积，基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．4．若函数()x f x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在()2g x ax =-的图象上，则a 的取值范围是（ ）A ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．(,)e -∞ C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．(0,)e【答案】D【解析】【分析】由题可知，可转化为曲线()2g x ax =-与ln y x =有两个公共点，可转化为方程2ln ax x -=有两解，构造函数2ln ()x h x x+=，利用导数研究函数单调性，分析即得解 【详解】函数()x f x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在ln y x =上， 即曲线()2g x ax =-与ln y x =有两个公共点，即方程2ln ax x -=有两解， 即2ln x a x+=有两解， 令2ln ()x h x x+=， 则21ln ()x h x x --'=， 则当10x e <<时，()0h x '>；当1x e >时，()0h x '<， 故1x e =时()h x 取得极大值1h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，也即为最大值， 当0x →时，()h x →-∞；当x →+∞时，()0h x →，所以0a e <<满足条件．故选：D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.5．已知函数1()cos 22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()f x 的极大值点为( ) A ．3π- B ．6π- C ．6π D ．3π 【答案】A【解析】【分析】求出函数的导函数，令导数为零，根据函数单调性，求得极大值点即可.【详解】因为()11cos 222f x x x x sinx π⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭， 故可得()12f x cosx '=-+， 令()0f x '=，因为,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故可得3x π=-或3x π=， 则()f x 在区间,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增， 在,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减，在,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增， 故()f x 的极大值点为3π-. 故选：A.【点睛】 本题考查利用导数求函数的极值点，属基础题.6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ）A ．45B ．42C ．25D ．36 【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质可知1928a a a a +=+,进而代入等差数列的前n 项和的公式即可.【详解】由题,192899()9()9(210)36222a a a a S ++⨯-+====. 故选:D【点睛】本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前n 项和. 7．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40B ．-20C ．20D ．40 【答案】D【解析】令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-．511()(2)x x x x+-的通项521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x ，选3个提出1x ；若第1个括号提出1x ，从余下的括号中选2个提出1x，选3个提出x. 故常数项=223322335353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X ⋅⋅-+⋅-⋅=-40+80=40 8．已知()21,+=-∈a i bi a b R ，其中i 是虚数单位，则z a bi =-对应的点的坐标为（ ） A ．()12,- B ．()21,- C ．()1,2 D ．()2,1【答案】C【解析】【分析】利用复数相等的条件求得a ，b ，则答案可求．【详解】由21a i bi +=-，得1a =，2b =-．z a bi ∴=-对应的点的坐标为(a ，)(1b -=，2)．故选：C ．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题．9．已知复数z 满足(3)1i z i +=+，则z 的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．–1D ．1【答案】C【解析】【分析】利用复数的四则运算可得2z i =--，即可得答案.【详解】∵(3)1i z i +=+，∴131iz i i ++==-，∴2z i =--，∴复数z 的虚部为1-.故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部概念，考查运算求解能力，属于基础题.10．已知(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=++++L ，若12242n a a a ++⋅⋅⋅=，则012(1)n n a a a a -+-⋅⋅⋅+-的值为( )A ．1B ．－1C ．8lD ．－81【答案】B【解析】【分析】根据二项式系数的性质，可求得n ，再通过赋值求得0a 以及结果即可.【详解】因为(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等， 故可得5n =，令0x =，故可得01a =，又因为125242a a a +++=L ，令1x =，则()501251243a a a a λ+=++++=L ，解得2λ=令1x =-，则()()5501251211a a a a -=-+-+-=-L .故选：B.【点睛】本题考查二项式系数的性质，以及通过赋值法求系数之和，属综合基础题.11．定义运算()()a ab a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12x f x =⊕的图象是（ ）． A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】【详解】由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值，因此函数()1,0122,0x x x f x x >⎧=⊕=⎨≤⎩， 只有选项A 中的图象符合要求，故选A.12．已知点(A 在双曲线()2221010x y b b -=>上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．2CD ．【答案】C【解析】【分析】将点A 坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率.【详解】将x =y =()2221010x y b b-=>得b =，而双曲线的半实轴a =，所以10c ==，得离心率c e a==故选C. 【点睛】此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省绵阳市2021届新高考数学二模试卷含解析
四川省绵阳市2021届新高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：141 432 341 342 234 142 243 331 112 322 342 241 244 431 233 214 344 142 134 412由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ） A ．14B ．15C ．25D ．35【答案】A 【解析】 【分析】由题意找出满足恰好第三次就停止摸球的情况，用满足恰好第三次就停止摸球的情况数比20即可得解. 【详解】由题意可知当1，2同时出现时即停止摸球，则满足恰好第三次就停止摸球的情况共有五种：142，112，241，142，412.则恰好第三次就停止摸球的概率为51204p ==. 故选：A. 【点睛】本题考查了简单随机抽样中随机数的应用和古典概型概率的计算，属于基础题. 2．已知函数()xf x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为（ ） A ．12e-B ．14e-C ．1e-D ．2e-【答案】A 【解析】 【分析】求导得到'()xf x e =，根据切线方程得到ln b a a =，故2ln ab a a =，设()2ln g x x x =，求导得到函数在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()12min g x g e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，计算得到答案.【详解】()x f x e b =+，则'()x f x e =，取0x e a =，()0a >，故0ln x a =，()0f x a b =+.故(ln 1)a b a a +=+，故ln b a a =，2ln ab a a =.设()2ln g x x x =，()()'2ln 2ln 1g x x x x x x =+=+，取()'0g x =，解得12x e -=.故函数在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()12min 12g x g e e -⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 故选：A . 【点睛】本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 3．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ） A ．22 B ．2C ．4D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法求出z ，再由模的定义计算出模． 【详解】44(1)22,221(1)(1)i i i z i z i i i +===-+=--+． 故选：A ． 【点睛】本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题． 4．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.5．已知等差数列{}n a 中，51077,0a a a =+=，则34a a +=（ ） A ．20 B ．18C ．16D ．14【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差,进而求得34a a +即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d .由51077,0a a a =⎧⎨+=⎩得11147,960a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩,解得115,2a d =⎧⎨=-⎩.所以341252155(2)20a a a d +=+=⨯+⨯-=.故选：A 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题.6．函数2sin cos ()20x x xf x x =+在[2,0)(0,2]ππ-⋃上的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得； 【详解】解：依题意，22sin()()cos()sin cos ()()2020x x x x x xf x f x x x ----=+=+=-，故函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除C ； 而2()020f ππ=-<，排除B ；2(2)05f ππ=>，排除D.故选：A . 【点睛】本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题.7．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则y bx a--的取值范围是（ ） A ．[]22-,B ．4747,33⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦C ．13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．6767,33⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】由点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，可得P 在圆()2211x y -+=上，由(),Q a b 坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，可得Q 在圆()()22341x y ++-=上，则PQ y bk x a-=-求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果. 【详解】Q 点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，P ∴在圆()2211x y -+=上，(),Q a b Q 在坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，Q ∴在圆()()22341x y ++-=上，则PQ y bk x a-=-作出两圆的图象如图， 设两圆内公切线为AB 与CD ， 由图可知AB PQ CD k k k ≤≤， 设两圆内公切线方程为y kx m =+，则1341k m k m =⇒+=-+-=， Q 圆心在内公切线两侧，()34k m k m ∴+=--+-，可得2m k =+，1==，化为23830k k ++=，43k -±=，即4433AB CD k k --+==，PQ y b k x a -≤=≤- y bx a --的取值范围⎣⎦，故选B.【点睛】本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解. 8．已知集合U =R ，{}0A y y =≥，{}1B y y ==，则U A B =I ð( )A ．[)0,1B ．()0,∞+C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】求得集合B 中函数的值域，由此求得U B ð，进而求得U A B ⋂ð. 【详解】由11y =≥，得[)1,B =+∞，所以()U ,1B =-∞ð，所以[)U 0,1A B =I ð.故选：A 【点睛】本小题主要考查函数值域的求法，考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.9．已知函数log ()a y x c =+（a ，c 是常数，其中0a >且1a ≠）的大致图象如图所示，下列关于a ，c 的表述正确的是（ ）A ．1a >，1c >B ．1a >，01c <<C ．01a <<，1c >D ．01a <<，01c <<【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项. 【详解】从题设中提供的图像可以看出()01,log 0,log 10a a a c c <<>+>， 故得01,01c a <<<<， 故选：D ． 【点睛】本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题.10．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月100=）变化图表，则以下说法错误的是（ ）（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）A ．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均B ．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102C ．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小D ．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 【答案】D 【解析】 【分析】采用逐一验证法，根据图表，可得结果. 【详解】A 正确，从图表二可知，3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大 B 正确，从图表二可知，4月份只有北京市居民消费价格指数低于102 C 正确，从图表一中可知，只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大 D 错误，从图表一可知上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 故选：D 【点睛】本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题. 11．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280 B ．4864 C ．－4864 D ．1280【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式展开式的公式得到具体为：()23174268811322x C x C x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦化简求值即可.【详解】根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出33x 项，第二个括号里出1x项，或者第一个括号里出4x ，第二个括号里出21x ，具体为：()23174268811322x C x C x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦化简得到-1280 x 2 故得到答案为：A. 【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 交双曲线的右支于点P ，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l 相切，切点为H ，若113F P F H =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2B ．C ．D 【答案】A 【解析】 【分析】在12PF F ∆中，由余弦定理，得到2||PF ，再利用12||||2PF PF a -=即可建立,,a b c 的方程. 【详解】由已知，1||HF b ===，在12PF F ∆中，由余弦定理，得2||PF ===1133PF HF b ==，12||||2PF PF a -=，所以32b a =，32b a ⇒=e =∴= 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算问题，处理双曲线离心率问题的关键是建立,,a b c 三者间的关系，本题是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省绵阳市南山中学2018届高三二诊热身考试数学(理)试题-含解析
绵阳南山中学高2021届高三“二诊〞热身考试数学〔理科〕第一卷〔共60分〕一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1. 设集合，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】=因为所以应选C2. 是虚数单位，复数的共轭复数虚部为〔〕A. B. -4 C. 3 D. 4【答案】B【解析】=，所以共轭复数为即虚部为-4应选B3. 某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，从高中生中抽取70人，那么为〔〕A. 100B. 150C. 200D. 250【答案】A【解析】试题分析：根据可得：，应选择A考点：分层抽样视频4. 下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著?九章算术?中的“更相减损术〞，执行该程序框图，假设输出的，那么输入的可能是〔〕A. 15,18B. 14,18C. 12,18D. 9,18【答案】B【解析】根据题意，执行程序后输出的a=2，那么执行该程序框图前，输人a、b的最大公约数是2，分析选项中的四组数，满足条件的是选项B应选B5. ，直线与直线互相垂直，那么的最小值为〔〕A. 1B. 2C.D.【答案】B【解析】b＞0，两条直线的斜率存在，因为直线〔b2+1〕x+ay+2=0与直线x一b2y一1=0互相垂直，所以〔b2+1〕-ab2=0，ab=b+≥2应选B6. 在中，分别为所对的边，假设函数有极值点，那么的最小值是〔〕A. 0B.C.D. -1【答案】D【解析】，∴f′〔x〕=x2+2bx+〔a2+c2-ac〕，又∵函数有极值点，∴x2+2bx+〔a2+c2-ac〕=0有两个不同的根，∴△=〔2b〕2-4〔a2+c2-ac〕＞0，即ac＞a2+c2-b2，即ac＞2accosB；即cosB＜，故∠B的范围是〔所以，当时的最小值是-1应选D7. 某学校需要把6名实习老师安排到三个班级去听课，每个班级安排2名老师，甲不能安排到班，乙和丙不能安排到同一班级，那么安排方案的种数有〔〕A. 24B. 36C. 48D. 72【答案】C【解析】先考虑甲不能到A班的方案：种，减去其中乙和丙安排到同一班级的方案：种，即48种；应选C8. 以下四个命题中：①某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布，，假设按成绩分层抽样的方式抽取100分试卷进行分析，那么应从120分以上〔包括120分〕的试卷中抽取15分；②命题，，那么，；③在上随机取一个数，能使函数在上有零点的概率为；④在某次飞行航程中遭遇恶劣气候，用分层抽样的20名男乘客中有5名晕机，12名女乘客中有8名晕机，在检验这些乘客晕机是否与性别有关时，采用独立性检验，有97%以上的把握认为与性别有关.0.15 0.1 0.05 0.0252.072 2.7063.841 5.024其中真命题的序号为〔〕A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①③④【答案】B【解析】对于①，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N〔100，σ2〕，∴数学成绩ξ关于ξ=100对称，∵P〔80＜ξ≤100〕=0.40，∴P〔ξ＞120〕=P〔ξ＜80〕=0.5-0.40=0.1，那么该班数学成绩在120分以上的人数为0.1×100=10，故①错误；对于②，命题p：∀x∈R，sinx≤1，那么￢p：∃x∈R，sinx＞1，故②正确；对于③，由()2−8≥0，解得m≤-2或m≥2，∴在[-4，3]上随机取一个数m，能使函数在R上有零点的概率为，故③正确；对于④，填写2×2列联表如下：晕机不晕机合计男乘客 5 15 20女乘客8 4 12合计13 19 32那么k2的观测值k＝有97%以上的把握认为晕机与性别有关.故④对应选B9. 某车间加工零件的数量与加工时间的统计数据如表：零件数〔个〕10 20 30加工时间〔分钟〕21 30 39现已求得上表数据的线性回归方程中的值为0.9，那么据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为〔〕A. 84分钟B. 94分钟C. 102分钟D. 112分钟【答案】C【解析】试题分析：,,回归直线过样本点的中心，，解得，加工100个零件大约需要分钟.考点：回归直线方程的应用.10. 假设圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，那么直线的斜率的取值范围是〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】圆可化为那么圆心为〔-2，2〕，半径为3，那么由圆x2+y2+4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2，那么圆心到直线l：ax+by=0的距离d≤32=即那么a2+b2-4ab≤0，假设b=0，那么a=0，故不成立，故b≠0，那么上式可化为1+由直线l的斜率k=-那么上式可化为k2+4k+1≤0解得应选B11. 如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点，假设为等边三角形，那么双曲线的方程为〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】根据双曲线的定义，可得|AF1|-|AF2|=2a，∵△ABF2是等边三角形，即|AF2|=|AB|∴|BF1|=2a又∵|BF2|-|BF1|=2a，∴|BF2|=|BF1|+2a=4a，∵△BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，∠F1BF2=120°∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1|•|BF2|cos120°即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×〔-〕〕=28a2，解得c2=7a2，又c=所以方程为应选C点睛：此题主要考查双曲线的定义和简单几何性质，考查了余弦定理解三角形，根据条件求出a，b的关系是解决此题的关键．12. 函数，有三个不同的零点，〔其中〕，那么的值为〔〕A. B. C. -1 D. 1【答案】D【解析】令f〔x〕=0，别离参数得a=令h〔x〕=由h′〔x〕=得x=1或x=e．当x∈〔0，1〕时，h′〔x〕＜0；当x∈〔1，e〕时，h′〔x〕＞0；当x∈〔e，+∞〕时，h′〔x〕＜0．即h〔x〕在〔0，1〕，〔e，+∞〕上为减函数，在〔1，e〕上为增函数．∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，a=令μ=那么a=即μ2+〔a-1〕μ+1-a=0，μ1+μ2=1-a＜0，μ1μ2=1-a＜0，对于μ=，那么当0＜x＜e时，μ′＞0；当x＞e时，μ′＜0．而当x＞e时，μ恒大于0．不妨设μ1＜μ2，那么μ1=，=〔1-μ1〕2〔1-μ2〕〔1-μ3〕=[〔1-μ1〕〔1-μ2〕]2=[1-〔1-a〕+〔1-a〕]2=1．应选D．点睛：此题考查了利用导数研究函数单调性，极值等性质，训练了函数零点的判断方法，运用了别离变量法，换元法，函数构造法等数学转化思想方法，综合性强．第二卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13. 的展开式中，的系数为，那么__________．【答案】4【解析】，所以由得，从而点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.14. 在一场比赛中，某篮球队的11名队员共有9名队员上场比赛，其得分的茎叶图如下图，从上述得分超过10分的队员中任取2名，那么这2名队员的得分之和超过35分的概率为__________．【答案】【解析】从得分超过10分的队员中任取2名，一共有以下10种不同的取法：(12,14)，(12,15)，(12,20)，(12,22)，(14,15)，(14,20)，(14,22)，(15,20)，(15,22)，(20,22)，其中这2名队员的得分之和超过35分的取法有以下3种：(14,22)，(15,22)，(20,22)，故所求概率P ＝.点睛：古典概型中根本领件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的根本领件的探求.对于根本领件有“有序〞与“无序〞区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素根本领件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.15. 在中，角所对的边分别为，且，是的中点，且，，那么的最短边的边长为__________．【答案】【解析】因为，所以sinB=又∴正弦定理化简可得：sinAcosCsinA+sinAsinCcosA=sinC．即sinA〔cosCsinA+sinCcosA〕=sinC∴sinAsinB=sinC∵A+B+C=π，∴C=π-〔A+B〕∴sinAsinB=sin〔A+B〕，sinA=×sinAcosB+cosAsinB，∴sinA=cosA．即tanA=1，∵0＜A＜π，D是AC的中点，且cosB=∴A=，根据余弦定理得c2+b2-bc=26，sinA=sinC，且sinB×=sinC，的最短边的边长为故答案为16. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，平面向量满足：，那么对任意的实数和任意满足条件的向量，的最小值__________．【答案】【解析】设C由得,=等价于圆M:上一点与函数图象上一点的距离，可先求圆心M到曲线上一点的距离最小值减去半径即为所求，在曲线上取点P在点P处切线斜率为，当MP垂直于切线时即可满足题意，即令那么有令在递增，且点P此时MP=，所以所求最小值为故答案为点睛：此题考查了向量数量积的坐标表示，考查了利用点点距离求最小值，利用了构造函数法，线与线垂直的应用，综合性强,属于难题,三、解答题〔本大题共6小题，共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．〕17. 等差数列中，公差，，且成等比数列.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕假设为数列的前项和，且存在，使得成立，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：〔1〕由题意可得解得即可求得通项公式(2),裂项相消求和，因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立.求出的最大值即可解得的取值范围.试题解析：〔1〕由题意可得即又因为，所以所以.〔2〕因为，所以.因为存在，使得成立，所以存在，使得成立，即存在，使得成立.又〔当且仅当时取等号〕.所以，即实数的取值范围是.18. “中国人均读书4.3本〔包括网络文学和教科书〕，比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.〞这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人为难的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，后得到如下图的频率分布直方图.问：〔1〕估计在40名读书者中年龄分布在的人数；〔2〕求40名读书者年龄的平均数和中位数；〔3〕假设从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望.【答案】(1)30;(2)54,55;(3) 的分布列如下：0 1 2数学期望【解析】试题分析：〔1〕由频率分布直方图知年龄在[40，70〕的频率为〔0.020+0.030+0.025〕×10，进而得出40 名读书者中年龄分布在[40，70〕的人数．〔2〕40 名读书者年龄的平均数为25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1．计算频率为处所对应的数据即可得出中位数．〔3〕年龄在[20，30〕的读书者有2人，年龄在[30，40〕的读书者有4人，所以X的所有可能取值是0，1，2．利用超几何分布列计算公式即可得出．........................试题解析：〔1〕由频率分布直方图知年龄在的频率为，所以40名读书者中年龄分布在的人数为.〔2〕40名读书者年龄的平均数为.设中位数为，那么解得，即40名读书者年龄的中位数为55.〔3〕年龄在的读书者有人，年龄在的读书者有人，所以的所有可能取值是0,1,2，，，，的分布列如下：0 1 2数学期望.19. 函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.〔1〕求和的值；〔2〕假设，求得值.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：〔1〕由两个相邻的最高点的距离可求得周期，那么，函数为，由函数关于直线对称，可知，结合可求得的值；〔2〕对进行三角恒等变换，可求得的值，又为锐角，可求得，再利用三角恒等变换求得值.试题解析：〔1〕由题意可得函数的最小正周期为，再根据图象关于直线对称，可得结合，可得〔2〕再根据考点：三角函数的周期与初相，三角恒等变换.视频20. 如图，抛物线的焦点为，椭圆的中心在原点，为其右焦点，点为曲线和在第一象限的交点，且.〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕设为抛物线上的两个动点，且使得线段的中点在直线上，为定点，求面积的最大值.【答案】(1) (2) 面积的最大值为.【解析】试题分析：〔1〕由得，跟据抛物线定义，得，所以点；据椭圆定义，得．所以椭圆的标准方式是．〔2〕因为为线段的中点，得直线的方程为；联立，得，由弦长公式和点到直线的距离，得．再根据函数的单调性得面积的最大值为．试题解析：〔1〕设椭圆的方程为，半焦距为．由，点，那么．设点，据抛物线定义，得．由，，那么．从而，所以点．设点为椭圆的左焦点，那么，．据椭圆定义，得，那么．从而，所以椭圆的标准方式是．〔2〕设点，，，那么．两式相减，得，即．因为为线段的中点，那么．所以直线的斜率．从而直线的方程为，即．联立，得，那么．所以．设点到直线的距离为，那么．所以．由，得．令，那么．设，那么．由，得．从而在上是增函数，在上是减函数，所以，故面积的最大值为．考点：1、抛物线的定义；2、椭圆的方程；3、最值问题．【方法点睛】此题考查抛物线的定义和简单几何性质、待定系数法求椭圆的标准方程、直线和椭圆相交中的有关中点弦的问题，综合性强，属于难题；对于直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题，解决此类题目的最有效方法是点差法，两式直接相减就可以表示出斜率；而第二问中面积公式求出后，函数单调性的研究更是加深了此题的难度，运算量也比拟大，不容易拿高分．21. 函数〔且〕〔1〕假设，求函数的单调区间；〔2〕当时，设，假设有两个相异零点，求证：.【答案】(1) 当时，函数的单调增区间是，单调减区间是，当时，函数的单调增区间是，单调减区间是.(2)见解析.【解析】试题分析：〔1〕由知分，两种情况讨论即得解〔2〕，设的两个相异零点为，设，因为，，所以，，相减得，相加得.要证，即证，即，即，换元设上式转化为.构造函数求导研究单调性即可得证.试题解析：〔1〕由知当时，函数的单调增区间是，单调减区间是，当时，函数的单调增区间是，单调减区间是.〔2〕，设的两个相异零点为，设，∵，，∴，，∴，.要证，即证，即，即，设上式转化为.设，∴，∴在上单调递增，∴，∴，∴.点睛：此题考查了利用导数研究函数单调性，考查了分类讨论的思想，考查了不等式的证明，利用零点的式子进行变形，采用变量集中的方法构造新函数即可证明，综合性强属于中档题请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为〔为参数〕，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为，定点，点是曲线上的动点，为的中点.〔1〕求点的轨迹的直角坐标方程；〔2〕直线与轴的交点为，与曲线的交点为，假设的中点为，求的长.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：〔1〕求出曲线C1的直角坐标方程为，设点N〔x′，y′〕，Q〔x，y〕，由中点坐标公式得，由此能求出点Q的轨迹C2的直角坐标方程．〔2〕的坐标为，设的参数方程为，〔为参数〕代入曲线的直角坐标方程得，根据韦达定理，利用t的参数意义得即可得解.试题解析：〔1〕由题意知，曲线的直角坐标方程为.设点，，由中点坐标公式得，代入中，得点的轨迹的直角坐标方程为.〔2〕的坐标为，设的参数方程为，〔为参数〕代入曲线的直角坐标方程得：，设点对应的参数分别为，那么，，.23. 选修4-5：不等式选讲函数，.〔1〕求不等式的解集；〔2〕假设方程有三个实数根，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：〔1〕通过讨论的范围，得到关于的不等式组，求出不等式的解集即可；〔2〕别离，得到，令，结合函数的图象求出的范围即可．试题解析：〔1〕原不等式等价于或或，得或∴不等式的解集为.〔2〕由方程可变形为，令，作出图象如下：于是由题意可得.点睛：此题考查了利用分类讨论思想解绝对值不等式问题，考查数形结合思想处理方程的根的个数问题，是一道中档题．。
四川省绵阳市2018届高三数学第二次诊断考试试题 文(扫描版)
四川省绵阳市2018届高三数学第二次诊断考试试题文（扫描版）绵阳市高2015级第二次诊断性考试数学(文史类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．DDCAC CCBBA BD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．95 14．106.5 15．416．34三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．解：（Ⅰ）已知C B A tan 31tan 21tan ==，∴ tan B =2tan A ，tan C =3tan A ， 在△ABC 中，tan A =-tan(B +C )=AAA CBC B 2tan 61tan 3tan 2tan tan 1tan tan -+-=-+-， ……3分 解得tan 2A =1，即tan A =-1，或tan A =1． ……………………………………4分 若tan A =-1，可得tanB =-2，则A ，B 均为钝角，不合题意． ……………5分 故tan A =1，得A =4π． …………………………………………………………6分 （Ⅱ）由tan A =1，得tan B =2，tan C =3，即sin B =2cos B ，sin C =3cos C ，…………………………………………7分结合sin 2B +cos 2B =1，sin 2C +cos 2C =1， 可得sin B =52，sin C =103， (负值已舍) ……………………………………9分在△ABC 中，由BbA a sin sin =，得b =10252252sin sin =⨯=⋅a A B ， …………11分 于是S △ABC =21ab sin C =15103102521=⨯⨯⨯． ……………………………12分18．解：（Ⅰ）根据题意得：a =40，b =15，c =20，d =25，∴ 879.7249.845554060)20152540(10022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ， ……………………………4分∴ 在犯错误的概率不超过0.005的前提下可以认为网购与年龄有关． ……5分 （Ⅱ）根据题意，抽取的6人中，年轻人有=⨯660404人，分别记为A 1，A 2，A 3，A 4，中老年人=⨯660202人，分别记为B 1，B 2．…………………………7分 则从这6人中任意选取3人的可能有(A 1，A 2，A 3)，(A 1，A 2，A 4)，(A 1，A 2，B 1)，(A 1，A 2，B 2)，(A 1，A 3，A 4)， (A 1，A 3，B 1)，(A 1，A 3，B 2)，(A 1，A 4，B 1)，(A 1，A 4，B 2)，(A 2，A 3，A 4)， (A 2，A 3，B 1)，(A 2，A 3，B 2)，(A 2，A 4，B 1)，(A 2，A 4，B 2)，(A 3，A 4，B 1)， (A 3，A 4，B 2)，(A 1，B 1，B 2)，(A 2，B 1，B 2)，(A 3，B 1，B 2)，(A 4，B 1，B 2)， 共20种，…………………………………………………………………………9分 其中，至少一个老年人的有(A 1，A 2，B 1)，(A 1，A 2，B 2)，(A 1，A 3，B 1)，(A 1，A 3，B 2)，(A 1，A 4，B 1)，(A 1，A 4，B 2)， (A 2，A 3，B 1)，(A 2，A 3，B 2)，(A 2，A 4，B 1)，(A 2，A 4，B 2)， (A 3，A 4，B 1)， (A 3，A 4，B 2)，(A 1，B 1，B 2)，(A 2，B 1，B 2)，(A 3，B 1，B 2)， (A 4，B 1，B 2)，(A 1，A 2，B 1)，(A 1，A 2，B 2)，(A 1，A 3，B 1)，(A 1，A 3，B 2)， (A 1，A 4，B 1)，共16种， ………………………………………………………………………11分 ∴ 所求的概率为542016=． ……………………………………………………12分 19．解：（Ⅰ）∵ b n+1)1(log 1))1(4[log )1(log 4414-+=-=-=+n n n a a a =1+b n ，∴ b n+1-b n =1(常数)， …………………………………………………………3分∴ 数列{b n }是以b 1=log 44=1为首项，1为公差的等差数列，∴ b n =1+(n -1)×1=n ． …………………………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知b n =n ，于是2)1(+=n n S n ， ………………………………6分 于是(-1)nkb n <2S n +n +4等价于(-1)nkn <n 2+2n +4， 即等价于(-1)n24++<nn k ．……………………………………………………7分 ∵ n 为正奇数，∴ 原式变为2)4(-+->nn k 令函数f (x )=2)4(-+-x x ，x 2)2)(2(x x x +--， 当x ∈(0，2)时，0)(>'x f 0)(<x ， 即f (x )在(0，2) 由f (1)=-7<f (3)=319-，即f (n )≥319-(n 为奇数)， ∴ k >319-． ……………………………………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）设M (x ，y )，P (x 0，y 0)， 则D (x 0，0)，∴ =(0，y 0)，DM =(x -x 0，y )，由DP =，得0=2(x -x 0)，y 0=y 2，即y y x x 200==，， ………2分 又点P 在圆x 2+y 2=8上，代入得x 2+2y 2=8，∴ 曲线C 的方程为：14822=+y x ． …………………………………………4分（Ⅱ）假设存在满足题意的点Q (x Q ，0) ．设直线AB 的方程为y =k (x -2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程组得：⎩⎨⎧=-+-=，，082)2(22y x x k y 整理得(2k 2+1)x 2-8k 2x +8k 2-8=0， ∴ x 1+x 2=12822+k k ，x 1x 2=128822+-k k ， …………………………………………8分∵ k QA +k QB =02211=-+-QQ x x y x x y ，将y 1=k (x 1-2)，y 2=k (x 2-2)代入整理得：2x 1x 2-(x Q +2)(x 1+x 2)+4x Q =0， …………………………………………10分即12161622+-k k -(x Q +2)×12822+k k +4x Q =0，化简得x Q =4，故此时存在点Q (4，0)使得直线AQ ，BQ 的斜率之和为0．………………12分 21．解：（Ⅰ）对)(x f 求导可得a e x f x -=')(． …………………………………1分∵ a >1，于是由0)(>'x f 解得a x ln >，由0)(<'x f 解得a x ln <，∴ )(x f 在(∞-，a ln )上单调递减，在(a ln ，+∞)上单调递增， …………3分 ∴ )(x f min =)(ln a f =1ln --a a a =1-2ln2． 令2ln 22ln )(+--=a a a a g ，则a a g ln )(-='， 由a >1知)(a g '<0，于是函数)(a g 在(1，+∞)单调递减， 又0)2(=g ，∴ a 的值是2．…………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知a =2，2)(-='x e x f ，故03)2)(21(03)()21(<++--⇔<++'-x e k x x x f k x x ，变形得2321-+>x xe xe k ．……………………………………………………………8分令函数h (x )=)1(2321>-+x e xe x x ，则2)2()421()(---='x x x e x e e x h ． 令函数)1(421)(>--=x x e x x ϕ，则)1(0121)(>>-='x e x x ϕ，又0621)2(2<-=e ϕ，0721)3(3>-=e ϕ，∴ 存在t ∈(2，3)，使得0)(=t ϕ．当x ∈(0，t )，0)(<x ϕ，故0)(<'x h ，)(x h 在(1，t )单调递减； 当x ∈(t ，+∞)，0)(>x ϕ，故0)(>'x h ，)(x h 在(t ，+∞)单调递增．故)()(min t h x h ==2321-+t te te ． …………………………………………………10分又0421)(=--=t e t tϕ，故82+=t e t ，故)()(min t h x h ==)1(21)3(2)3)(1(62342823)82(2123212+=+++=+++=-+++=-+t t t t t t t t t t e te t t ，又t ∈(2，3)，故)223()1(21，∈+t ，故正整数k 的最小值是2．……………………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）将直线l 的参数方程消去参数得31=+xy ， 即l 的普通方程为013=--y x ．将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为x 2+y 2-2x -2y +1=0． …………5分（Ⅱ）将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==，，t y t x 23121代入C ：x 2+y 2-2x -2y +1=0中，整理得04)132(2=++-t t ，由韦达定理：132121⋅+=+t t t ，8分)(11112122212221222122=⋅+=+=+t t t t t t t t PBPA故165341122+=+PBPA． …………………………………………………10分 23．解：(Ⅰ) m =1，212)(++-=x x x f当x ≤21时，f (x )=3-x ，由f (x )<6解得x >-3，综合得-3<x ≤21， 当x >21时，f (x )=3x +1，由f (x )<6解得x <35，综合得21<x <35，所以f (x )<6的解集是)353(，-． ………………………………………………5分（Ⅱ）当x >21时，f (x )=(2+m )x +1．当x ≤21时，f (x )=(m -2)x +3，要使得f (x )有最小值，则⎩⎨⎧≤-≥+，，0202m m解得-2≤m ≤2，且由图像可得，f (x )在x =21时取得最小值21m +2．y =-x 2+x +1在x =21时取得最大值45，方程f (x )=-x 2+x +1有两个不等实根，则21m +2<45，解得m <-23．综上所述，m 的取值范围为-2≤m <-23． ……………………………………10分。
高三数学第二次诊断考试试题理(扫描版)(2021学年)
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四川省绵阳市2018届高三数学第二次诊断考试试题理(扫描版)绵阳市高2015级第二次诊断性考试数学（理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共６0分．DＢＢCA ＣＤＤCA BＤ二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.1３．93 14．—5 1５.1１６．①③④16题提示:③设｜B Ｍ｜=|BO |=m ，|ＣＮ|=|C Ｏ｜＝n ,由①得|ＰM |=|PN ｜=9.由题知圆Ｅ与x 轴相切，于是圆Ｅ：ｘ2+(y —2）2=４是△PBC 的内切圆,根据公式S △PBC =)(21c b a r ++(其中ｒ为内切圆半径,a ,ｂ,c 为△P ＢC 的边长)得:21｜B Ｃ|•y 0＝21×2×2（|PM ｜+｜BO ｜+|CO |）,即21(ｍ＋n )×9=２（９+m +n ),解得536=+n m ，故S △P ＢC 5162953621=⨯⨯=．④同③可得21(m +n )•y ０=２(y ０+m +n )， 解得4400-=+y y n m ， 故S △PBC ]8)4(16)4[(24421)(21000200+-+-⋅=-⋅=+=y y y y y n m ≥32．三、解答题：本大题共6小题,共７0分.17．解：(Ⅰ)已知C B A tan 31tan 21tan ==,∴ ｔan Ｂ＝2tan A ,tan C =3ｔan Ａ, 在△ABC 中,tan A =-tan （Ｂ+C )=AAA CBC B 2tan 61tan 3tan 2tan tan 1tan tan -+-=-+-，………3分 解得tan 2A ＝1，即ta ｎA =-1，或tan A =1．……………………………………4分 若t ａｎA =-1,可得ｔanB ＝—2,则A ,B 均为钝角,不合题意． ……………5分 故ｔａn A ＝１,得Ａ=4π．…………………………………………………………6分（Ⅱ)由tan A =1,得tan B ＝2,ｔan C =3，可得sin Ｂ=2ｃｏｓB ,sin C =3cos C ， ……………………………………………7分 结合s ｉｎ2B ＋c ｏｓ2B =1，sin 2C +cos ２C =1， 可得s ｉｎB =52,s ｉn C ＝103， （负值已舍) ……………………………………9分在△ABC 中，由BbA a sin sin =，得b =a a a A B 51022252sin sin ==, …………11分于是Ｓ△ABC =21ab sin C =253103510221a a a =⨯⨯，∴ 253a =15，解得ａ=5．………………………………………………………12分1８.解：（Ⅰ)根据题意得：a =40，ｂ=15，c ＝20，d =25,∴ 879.7249.845554060)20152540(10022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K , ……………………………４分 ∴ 在犯错误的概率不超过０。
2021年四川绵阳高三二模理科数学试卷-学生用卷
2021年四川绵阳高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第1题5分设集合A ={x ∈N|−1⩽x ⩽1}，B ={x|log 2x <1}，则A ∩B =（ ）．A. [−1,1)B. (0,1)C. {−1,1}D. {1}2、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第2题5分2021年四川绵阳高三二模文科第2题5分已知直线l 1:ax +2y +1=0，直线l 2:2x +ay +1=0，若l 1⊥l 2，则a =（ ）．A. 0B. 2C. ±2D. 43、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第3题5分2021年四川绵阳高三二模文科第3题5分已知平面向量a →=(1,√3)，b →=(2,λ)，其中λ>0，若|a →−b →|=2，则a →⋅b →=（ ）．A. 2B. 2√3C. 4√3D. 84、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第4题5分二项式(2x −√x )6的展开式中，常数项为（ ）． A. −60 B. −40 C. 60 D. 1205、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第5题5分2021年四川绵阳高三二模文科第4题5分已知函数f (x )=x 3+sinx +2，若f (m )=3，则f (−m )=（ ）．A. 2B. 1C. 0D. −16、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第6题5分已知曲线y=e x（e为自然对数的底数）与x轴、y轴及直线x=a(a>0)围成的封闭图形的面积为e n−1．现采用随机模拟的方法向右图中矩形OABC内随机投入400个点，其中恰有255个点落在图中阴影部分内，若OA=1，则由此次模拟实验可以估计出e的值约为（）．A. 2.718B. 2.737C. 2.759D. 2.7857、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第7题5分2021年四川绵阳高三二模文科第7题5分已知命题p:若数列{a n}和{b n}都是等差数列，则{ra n+sb n}(r,s∈R)也是等差数列；命题q:∀x∈)(k∈Z)，都有sinx<cosx，则下列命题是真命题的是（）．(2kπ,2kπ+π2A. ¬p∧qB. p∧qC. p∨qD. ¬p∨q8、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第8题5分对全班45名同学的数学成绩进行统计，得到平均数为80，方差为25，现发现数据收集时有两个错误，其中一个95分记录成了75分，另一个60分记录成了80分．纠正数据后重新计算，得到平均数为x，方差为s2，则（）．A. x=80，s2<25B. x=80，s2=25C. x=80，s2>25D. x<80，s2>259、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第9题5分已知双曲线E:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0))的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为其渐近线上一点，若△PF 1F 2是顶角为2π3的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）．A. √72B. 2C. √3D. √510、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第10题5分2021年四川绵阳高三二模文科第10题5分若函数f(x)=x 3−(a 2+3)x 2+2ax +3在x =2处取得极小值，则实数a 的取值范围是（ ）． A. (−∞,−6) B. (−∞,6) C. (6,+∞) D. (−6,+∞)11、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第11题5分已知正实数x ，y 满足lnx y >lgy x ，则（ ）． A. lnx >ln(y +1) B. ln(x +1)<lgy C. 3x <2y−1D. 2x−y >112、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第12题5分已知点O 为坐标原点，|OP |=2√2，点B ，点C 为圆x 2+y 2=12上的动点，且以BC 为直径的圆过点P ，则△OBC 面积的最小值为（ ）．A. 2B. 4C. 6D. √2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第13题5分2021年四川绵阳高三二模文科第13题5分2020~2021学年四川成都金牛区成都市实验外国语学校高二下学期开学考试理科第13题5分2019~2020学年四川南充高二下学期期末文科第13题5分若复数z满足z(1+i)=1−i，则z=．14、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第14题5分已知某科技公司员工发表论文获奖的概率都为p，且各员工发表论文是否获奖相互独立．若X为该公司的6名员工发表论文获奖的人数，D(X)=0.96，E(X)>2，则p为．15、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第15题5分已知F(1,0)为椭圆E：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，过E的下顶点B和F的直线与E的另一交点为A，若4BF→=5FA→，则a=.16、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第16题5分关于函数f(x)=sin2x+2cos2x，下列说法正确的序号是．①函数f(x)的一条对称轴为x=3π8；②若f(x1)=f(x2)=1，则x1−x2=kπ2(k∈Z)；③函数f(x)关于(−π8,0)成中心对称；④设[a,b]⊆[0,π]，对任意x1，x2∈[a,b]，若f(x1)>f(x2)，则有x1>x2，那么b−a的最大值为3π8．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第17题12分已知各项均为正数的数列{a n }满足a 1=1， a n+12=a n (a n+1+2a n )．(1) 证明：数列{a n }为等比数列，并求通项公式．(2) 若数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2n >1609a n ，求n 的最小值．18、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第18题12分某食品厂2020年2月至6月的某款果味饮料生产产量（单位：万瓶）的数据如下表：(1) 根据以上数据，求y 关于x 的线性回归方程y ^=b ^x +a ^． (2) 当统计数据中，某月实际生产产量与所得回归方程预测的生产产量的误差在[−0.1,0.1]内时，称该月为“甲级月”，否则称该月为“乙级月”．将所得回归方程预测的7月生产产量视作该月的实际生产产量，现从该年2月至7月中随机抽取2个月，求这2个月均为“乙级月”的概率． 附：参考公式：b ^=∑(x i −x )n i=1(y i −y )∑(x i −x )2n i=1，a =y −b ^x ．19、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第19题12分如图，在△ABC 中，点P 在边BC 上，∠PAC =30°，AC =√3，AP +PC =2．(1) 求∠APC ．(2) 若cosB =5√714，求△APB 的面积．20、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第20题12分已知函数f(x)=(2m +2)x −4lnx −12mx 2(m ∈R)．(1) 若函数g(x)=f(x)+12mx 2有两个零点，求m 的取值范围．(2) 若f(x)⩾0，求m的取值范围．21、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第21题12分已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点A在第一象限内且为抛物线C上一点，点D(5,0)，当直线AD的倾斜角为2π3时，△ADF恰为等边三角形．(1) 求C的方程．(2) 过y轴上一点P作抛物线C的切线l1交直线x=5于G，以DG为直径作圆E，过点P作直线l2交圆E 于H，Q两点，试问：|PH|⋅|PQ|是否为定值？并说明理由．四、选考题（本大题共2小题，每小题10分，选做1小题，共10分）选修4-4：坐标与参数方程22、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第22题10分在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x−2)2+y2=6，曲线C2的参数方程为{x=t2+1t2y=t2−1t2（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ=α(−π2<α<π2,ρ∈R)．(1) 求曲线C1与C2的极坐标方程．(2) 已知直线l与曲线C1交于A，B两点，与曲线C2交于点C，若|AB|:|OC|=√5:√2，求α的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2021年四川绵阳高三二模理科第23题10分已知函数f(x)=|x−3|+|x−2|．(1) 求不等式f(x)<3的解集．(2) 记函数f(x)的最小值为m，a>0，b>0，c>0，a+b+c=mabc，证明：ab+bc+ac⩾9．1 、【答案】 D;2 、【答案】 A;3 、【答案】 D;4 、【答案】 C;5 、【答案】 B;6 、【答案】 C;7 、【答案】 C;8 、【答案】 C;9 、【答案】 A;10 、【答案】 B;11 、【答案】 D;12 、【答案】 A;13 、【答案】−i;14 、【答案】0.8;15 、【答案】3;16 、【答案】②④;17 、【答案】 (1) 通项公式为a n=2n−1；证明见解析．;(2) 4．;18 、【答案】 (1) y^=1.8x−0.6．;(2) 1．5;19 、【答案】 (1) 120°．;(2) 3√34．;20 、【答案】 (1) −1<m<2−ee．;(2) [2ln2−2,0]．;21 、【答案】 (1) y2=4x．;(2) |PH|⋅|PQ|为定值20，理由见解析．;22 、【答案】 (1) C1的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ−2=0．C2的极坐标方程为ρ2cos2θ=4(ρcosθ⩾2)．;(2) π6或−π6．;23 、【答案】 (1) (1,4)．;(2) 证明见解析．;。
四川省绵阳市高中2021届高三数学第二次诊断性测试试题 理(含解析)
四川省绵阳市高中2021届高三数学第二次诊断性测试(cèshì)试题理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名(xìngmíng)、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应(duìyìng)题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试(kǎoshì)结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有(zhǐyǒu)一项是符合题目要求的.1.设全集，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先确定集合的元素，再由补集定义求解．【详解】由题意，∴．故选：D．【点睛】本题考查补集的运算，解题时需确定集合的元素后才能进行集合的运算．本题还考查了指数函数的单调性．2.已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由除法计算出复数z．【详解(xiánɡ jiě)】由题意．故选：A．【点睛】本题考查(kǎochá)复数的除法运算，属于基础题．3.已知两个(liǎnɡ ɡè)力，作用于平面内某静止物体的同一点(yī diǎn)上，为使该物体仍保持静止，还需给该物体同一点上再加上一个力，则（）A. B. C. D.【答案(dá àn)】A【解析】【分析】F.根据力的平衡条件下,合力为,即可根据向量的坐标运算求得3【详解】根据力的合成可知因为物体保持静止,即合力为0,则即故选:A【点睛】本题考查了向量的运算在物理中的简单应用,静止状态的条件应用,属于基础题. 4.甲、乙、丙三位客人在参加中国（绵阳）科技城国际科技博览会期间，计划到绵阳的九皇山、七曲山大庙两个景点去参观考察，由于时间关系，每个人只能选择一个景点，则甲、乙、丙三人恰好到同一景点旅游参观的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可用列举法写出三人选择景点的各种情形．然后计数后可概率．【详解】两景点用1，2表示，三人选择景点的各种情形为：甲1乙1丙1 ，甲1乙1丙2 ，甲1乙2丙1 ，甲2乙1丙1 ，甲2乙2丙1 ，甲2乙1丙2 ，甲1乙2丙2 ，甲2乙2丙2 共8种，其中三人去同一景点的有甲1乙1丙1 和甲2乙2丙2两种，所以概率为．故选：B．【点睛】本题考查古典概型，解题时可用列举法写出所有(suǒyǒu)的基本事件．5.已知为任意(rènyì)角，则“”是“”的（）A. 充分(chōngfèn)不必要条件B. 必要(bìyào)不充分条件C. 充要条件D. 既不充分(chōngfèn)也不必要【答案】B【解析】【分析】说明命题1cos23α=3sin3α=和3sin3α=⇒1cos23α=是否为真即可．【详解】，则，因此“1cos23α=”是“3sin3α=”的必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，只要命题为真，则是的充分条件，q 是p的必要条件．6.若的展开式中各项系数的和为1，则该展开式中含项的系数为（）A. -80B. -10C. 10D. 80【答案】A【解析】【分析】根据二项式定理展开式的各项系数和为1,即可得参数的值.由二项展开式的通项即可求得3x项的系数.【详解】因为51axx⎛⎫-⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为1令代入可得,解得即二项式为展开式中含3x的项为所以(suǒyǐ)展开式中含3x项的系数(xìshù)为故选:A【点睛】本题考查(kǎochá)了二项定理展开式的简单应用,指定(zhǐdìng)项系数的求法,属于(shǔyú)基础题.7.已知某产品的销售额与广告费用之间的关系如下表：x（单位：万元）0 1 2 3 4y（单位：万元）10 15 30 35若根据表中的数据用最小二乘法求得y对x的回归直线方程为，则下列说法中错误的是（）A. 产品的销售额与广告费用成正相关B. 该回归直线过点C. 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元D. m的值是20【答案】C【解析】【分析】根据回归直线方程中x系数为正，说明两者是正相关，求出后，再由回归方程求出，然后再求得m，同样利用回归方程可计算出时的预估值．【详解】因为回归直线方程中x系数为 6.5＞0，因此，产品的销售额与广告费用成正相关，A正确；又，∴，回归直线一定过点，B正确；x 时，，说明(shuōmíng)广告费用为10万元时，销售额估计为74 10万元，不是一定为74万元，C错误；由，得，D正确(zhèngquè)．故选：C．【点睛】本题考查回归(huíguī)直线方程，回归直线方程中x系数的正负说明两变量间正负相关性，回归直线(zhíxiàn)一定过中心点，回归直线方程(fāngchéng)中计算的值是预估值，不是确定值．8.双曲线的右焦点为，过F作与双曲线的两条渐近线平行的直线且与渐近线分别交于，两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，则双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】【分析】把四边形OAFB面积用表示出来，它等于bc，变形后可求得离心率．【详解】由题意，渐近线方程，不妨设方程为，由，得，即，同理，∴，由题意，∴．故选：B．【点睛】本题考查求双曲线的离心率．求离心率关键是找到关于,,a b c的一个等式，本题中四边形OAFB的面积是bc就是这个等式，因此只要按部就班地求出其面积即可得．9.小明与另外2名同学进行“手心手背”游戏，规则是：3人同时随机等可能选择手心或手背中的一种手势，规定相同手势人数多者每人得1分，其余每人得0分.现3人共进行了4次游戏，记小明4次游戏得分之和为，则X的期望为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案(dá àn)】C【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】根据(gēnjù)古典概型概率求法,列举出现的所有(suǒyǒu)可能.由离散型随机变量的概率求法,可得小明得分的对应的概率与分布列,即可求出得分之和的期望.【详解】进行“手心手背”游戏,3人出现的所有可能情况如下所示:(心,心,心), (心,心,背),(心,背,心),(背,心,心)(心,背,背),(背,心,背),(背,背,心),(背,背,背)则小明得1分的概率为,得0分的概率为1 4进行4次游戏,小明得分共有5种情况:0分,1分,2分,3分,4分由独立重复试验的概率计算公式可得:则得分情况的分布列如下表所示:X1234P则X 的期望(qīwàng)故选:C【点睛】本题考查(kǎochá)了离散型随机变量的概率分布及期望的求法,属于(shǔyú)基础题. 10.已知圆：，点M ，在圆C 上，平面(píngmiàn)上一动点满足(mǎnzú)且，则的最大值为（ ） A. 4 B.C. 6D.【答案】D 【解析】 【分析】根据几何意义可知动点P 位于以为直径的圆上,由正弦定理即可求得PC 的最大值.【详解】圆C ：2268110x y x y +---= 化成标准方程可得所以圆C 的半径为因为点M ,N 在圆C 上,动点P 满足PM PN =且PM PN ⊥ 所以P 位于以MN 为直径的圆上,位置关系如下图所示:则,即在三角形中,由正弦定理可得代入可得则因为(yīn wèi)所以(suǒyǐ)PC 的最大值为62 故选:D【点睛】本题考查(kǎochá)了圆的一般方程与标准方程的转化,圆的几何(jǐ hé)性质,正弦定理(dìnglǐ)的简单应用,属于中档题. 11.已知为偶函数，且当时，，则满足不等式的实数m 的取值范围为（ ）A. B. C.D. ()2,+∞【答案】A 【解析】 【分析】由偶函数性质把不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭化为，由导数确定函数在上的单调性，利用单调性解不等式．【详解】∵()f x 是偶函数，∴，则不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭可化为，即2(log )(1)f m f <，0x ≥时，，，令，则，∴是上的增函数，∴当时，，∴0x ≥时，，∴()f x 在[0,)+∞上是增函数，∴由2(log )(1)f m f <得，即，．故选：A ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调(dāndiào)性，考查解对数不等式．此各种类型不等式的解法是：本题这种类型的不等式有两种，一种是奇函数，不等式为，转化(zhuǎnhuà)为，一种(yī zhǒnɡ)是偶函数，不等式为，转化(zh uǎnhuà)为，然后由单调性去函数(hánshù)符号“”．12.函数在区间上恰有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数零点存在定理可求得a 的取值范围.并根据区间10,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点,分析可知当时函数有两个零点,不符合要求,即可求得最终a 的取值范围.【详解】函数()()()221log 2a a f x ax x =--+在区间10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点,则,由二次函数的图像与对数函数的图像可知,函数零点至多有两个.且因为恰有一个零点,所以满足且与在10,a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不同时成立.解不等式()()110log 2log 3a a --≤可得当3a =时,函数(hánshù),区间(qū jiān)为且满足(mǎnzú),,所以(suǒyǐ)在内有一个(yī ɡè)零点, 为一个零点.故由题意可知,不符合要求综上可知, a 的取值范围为[)2,3 故选:D【点睛】本题考查了函数零点存在定理的综合应用,根据零点个数求参数的取值范围.需要判断零点个数及检验参数是否符合题目要求,属于难题. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.直线：与直线平行，则实数a 的值是______.【答案】2. 【解析】 【分析】由两直线平行的条件判断． 【详解】由题意，解得2a =． 故答案为：2．【点睛】本题考查两直线平行的充要条件，两直线和平行，条件是必要条件，不是充分条件，还必须有或，但在时，两直线平行的充要条件是．14.法国数学家布丰提出一种计算圆周率的方法——随机投针法，受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对,x y的个数m；最后再根据统计数m来估计；再统计两数的平方和小于1的数对()π的值.已知某同学一次试验统计出，则其试验估计π为______.【答案(dá àn)】3.12【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】,x y构成(gòuchéng)第一象限内的一个正方形, 横、纵坐标都小于1的正实数(shìshù)对(),x y为单位圆在第一象限的部分.由几何概型概率的计算公式,两数的平方和小于1的数对()及试验所得结果,即可估计π的值.,x y构成第一象限内的一个正方形,【详解】横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y为单位圆在第一象限的部分.其关系如下图所示:两数的平方和小于1的数对()则阴影部分与正方形面积的比值为由几何概型概率计算公式可知解得故答案为:【点睛】本题考查了几何概型概率的求法,根据题意得各部分的关系是解决问题的关键,属于基础题.f x在区间上的零15.函数的图象如图所示，则()点之和为______.【答案(dá àn)】.【解析(jiě xī)】 【分析(fēnxī)】先求出周期(zhōuqī)，确定，再由点确定(quèdìng)，得函数解析式，然后可求出上的所有零点．【详解】由题意，∴，又且，∴，∴．由得，，，在[,]-ππ内有：，它们的和为23π． 【点睛】本题考查三角函数的零点，由三角函数图象求出函数解析式，然后解方程得出零点，就可确定在已知范围内的零点．本题也可用对称性求解，由函数周期是π，区间[,]-ππ含有两个周期，而区间端点不是函数零点，因此()f x 在[,]-ππ上有4个零点，它们关于直线对称，由此可得4个零点的和．16.过点的直线l 与抛物线C ：交于A ，B 两点（A 在M ，B 之间），F 是抛物线C 的焦点，点N 满足：，则与的面积之和的最小值是______. 【答案】8 【解析】 【分析】根据直线l 过点()1,0M -,设出直线l 的方程.联立抛物线后可表示出A 、B 两点的纵坐标,利用5NA AF =可表示出点N 的纵坐标.由三角形面积公式可表示出ABF ∆与AMN ∆的面积之和.对表达式求导,根据导数即可求得面积和的最小值. 【详解】根据题意,画出抛物线及直线方程如下图所示:因为(yīn wèi)直线l 过点()1,0M - 设直线(zhíxiàn)的方程为则,化简可得因为有两个(liǎnɡ ɡè)不同交点,则,解得或不妨(bùfáng)设1t >, 则解方程可得因为(yīn wèi)5NA AF =,则所以所以则,(1t >)令则令解得当时, ,所以(suǒyǐ)在内单调(dāndiào)递减当时, ,所以(suǒyǐ)()f t在内单调(dāndiào)递增即当54t=时()f t取得(qǔdé)最小值.所以故答案为:【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系,抛物线中三角形面积的求法,利用导数求函数的最值的应用,综合性强,属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查.该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生（其中男生45名），统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间（小时）的频率分布直方图如图所示：（1）求样本学生一个月阅读时间t的中位数m.（2）已知样本中阅读时间低于m的女生有30名，请根据题目信息完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关.列联表22男女总计总计附表：015 0.10 0.052.072 2.7063.841其中(qízhōng)：.【答案(dá àn)】（1）；（2）不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读(yuèdú)与性别有关.【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】（1）频率为0.5对应的点的横坐标为中位数；（2）100名学生中男生45名，女生55名，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m的人数为50人，小于m的也有50人，阅读时间低于m的女生有30名，这样可得列联表中的K，对照附表可得结论．各数，得列联表，依据公式计算2【详解】（1）由题意得，直方图中第一组，第二组的频率之和为.所以阅读时间的中位数.（2）由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m的人数为人，故列联表补充如下：男女总计≥25 25 50t mt m20 30 50<总计45 55 100 2K的观测(guāncè)值，所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为(rènwéi)阅读与性别有关.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查独立性检验．正确认识频率分布直方图是解题(jiě tí)基础．18.已知等差数列(děnɡ chā shù liè)的前项和为，且满足(mǎnzú)，.各项均为正数的等比数列满足，.（1）求和；（2）求和：.【答案】(1) .. (2)【解析】【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式,可得方程组,解方程组即可求得数列{}n a与数列{}b的通项公式.n（2）根据等比数列{}n b的前n项和公式,可先求得的通项公式,进而根据分组求得即可求得.【详解】（1）设等差数列{}n a的公差为,等比数列{}n b的公比为q.由题意,得,解得,∴23n a n =-∵等比数列(děnɡ bǐ shù liè){}n b 的各项均为正数(zhèngshù)由解得或（舍）∴（2）由（1）得,.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列(děnɡ bǐ shù liè)通项公式的求法,等比数列(děnɡ bǐ shù liè)前n 项和公式的简单(jiǎndān)应用,属于基础题. 19.在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，，.已知.（1）求A ； （2）若为边上一点，且，，求.【答案】（1）；（2）12. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理把角的关系转化为边的关系，再由余弦定理可求得A ； （2）把ABC ∆的面积用两种方法表示建立与三角形各边的关系，由23BC AD =，即即代入可得，再代入余弦定理中可求得，从而可得，于是得sin B 的值．【详解】（1）在ABC ∆中，由正弦定理得，即.由余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)得，结合(jiéhé)，可知(kě zhī)23A π=. （2）在ABC ∆中，，即.由已知23BC AD =，可得23a AD =.在ABC ∆中，由余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)得，即，整理(zhěnglǐ)得，即b c =，∴.∴.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，第（2）问解题关键是把三角形面积用两种方法表示而建立等式：．20.已知椭圆C ：，直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.（1）若点满足（O 为坐标原点），求弦的长；（2）若直线l 的斜率不为0且过点，M 为点A 关于x 轴的对称点，点满足，求n 的值.【答案】(1) (2)【解析】 【分析】（1）设出A ,B 两点的坐标,结合关系式0OA OB OP ++=,即可得线段AB 的中点坐标.利用点差法可求得直线AB 的斜率,根据点斜式求得直线AB 的方程.再结合弦长公式即可求得弦AB 的长;（2）设出直线(zhíxiàn)AB 的方程,根据(gēnjù)M 的坐标及MN NB λ=可知(kě zhī).由两点的斜率(xiélǜ)公式,可得,将A ,B 两点的坐标代入直线方程(fāngchéng)后,整理代入n 的表达式,联立圆的方程,即可得关于y 的方程.进而用韦达定理求得n 的值即可. 【详解】（1）设,由0OA OB OP ++=,且点()1,1P -,得,.①∴线段AB 的中点坐标为,其在椭圆内由两式相减得,整理得,即.将①代入,得.∴直线AB 方程为,即.联立消去x 得,由韦达定理得121y y +=-,.∴.（2）设直线AB 的方程为,由题意得,由已知MN NB λ=,可知M ,N ,B 三点共线,即MN MB k k =. ∴,即,解得()121121y x x n x y y -=++.将,,代入得.②联立消去x 得由韦达定理(dìnglǐ)得,.③将③代入②得到(dé dào)1n =【点睛】本题考查了直线与椭圆(tuǒyuán)的位置关系,点差法在求直线(zhíxiàn)方程中的应用,弦长公式(gōngshì)的用法,综合性较强,属于难题. 21.已知函数，其中.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若，记函数()f x 的两个极值点为，（其中），当的最大值为时，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 当时,()f x 在上单调递增；当时,()f x 在和上单调递增,在上单调递减. (2) [)3,+∞ 【解析】 【分析】（1）先求得()f x 的导函数,并令.通过对判别式及a 的讨论,即可判断单调性.（2）根据（1）可知当22a >,()f x 有两极值点1x ,2x ,且两个极值点为的两根.进而可得两个极值点间的关系.利用作差法可得()()21f x f x -的表达式,并令,及.进而通过求导得的单调性,进而根据最大值可求得t 的值.解得1x ,2x 的值.即可得a 的取值范围.【详解(xiánɡ jiě)】（1）.令()22g x x ax =-+,则.①当或,即22a ≤时,得恒成立(chénglì),∴()f x 在()0,∞+上单调(dāndiào)递增.②当,即22a >时,由,得或；由,得.∴函数(hánshù)()f x 在280,2a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和28,2a a ⎛⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调(dāndiào)递增, 在2288,22a a a a ⎛⎫--+-⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上所述,当22a ≤时,()f x 在()0,∞+上单调递增；当22a >时,()f x 在280,2a a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和28,2a a ⎛⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增, 在2288,22a a a a ⎛⎫--+-⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. （2）由（1）得当22a >,()f x 有两极值点1x ,2x （其中21x x >）. 由（1）得1x ,2x 为()220x a g x x =-+=的两根,于是,.∴.令()211x t t x =>,则()()()2112ln f x f x h t t t t-==-+. ∵,∴()h t 在上单调(dāndiào)递减.由已知的最大值为32ln 22-, 而.∴.设t 的取值集合(jíhé)为,则只要(zhǐyào)满足且T 中的最小元素(yuán sù)为2的T 集合(jíhé)均符合题意. 又,易知在[)2,+∞上单调递增,结合22a >,可得a 与t 是一一对应关系. 而当2t =,即时,联合122x x =, 解得,,进而可得3a =.∴实数a 的取值范围为[)3,+∞.【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性中的综合应用,分类讨论判断函数的单调区间,构造函数法判断函数的单调性及参数的取值范围,综合性强,是高考的常考点和难点,属于难题. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，曲线参数方程为（，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 经过点，曲线的直角坐标方程为.（1）求曲线(qūxiàn)1C 的普通(pǔtōng)方程，曲线2C 的极坐标方程(fāngchéng)；（2）若，是曲线(qūxiàn)2C 上两点，当时，求的取值范围(fànwéi).【答案】（1），；（2）.【解析】 【分析】 （1）由消元后得普通方程，由代入直角坐标方程可得极坐标方程； （2）直接把两点的极坐标代入曲线2C 的极坐标方程，得，这样2211OAOB+就可转化为三角函数式，利用三角函数知识可得取值范围． 【详解】（1）将1C 的参数方程化为普通方程为.由，，得点2,3P π⎛⎫⎪⎝⎭的直角坐标为，代入1C ，得，∴曲线1C 的普通方程为()2213x y -+=.2C 可化为，即，∴曲线2C 的极坐标方程为2cos 21ρθ=. （2）将点()1,A ρα，代入曲线2C 的极坐标方程，得，，∴.由已知0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得，于是(yúshì).所以(suǒyǐ)2211OAOB +的取值范围(fànwéi)是3,32⎛⎤⎥ ⎝⎦. 【点睛】本题考查(kǎochá)极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程与普通方程的互化．消元法和公式法是解决此类问题的常用方法． 23.已知关于(guānyú)x 的不等式，其中.（1）当时，求不等式的解集；（2）若该不等式对恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）用分类讨论的方法去绝对值符号后再解不等式，最后要合并（求并集）； （2）设，同样用分类讨论去绝对值符号化函数为分段函数，求得()f x 最大值，解相应不等式可得a 的范围．【详解】（1）由4a =时，.原不等式化为，当时，，解得，综合得4x≥；当时，，解得，综合得；当时，，解得，综合(zōnghé)得1x≤-.∴不等式的解集为2|43x x x⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或.（2）设函数(hánshù)，画图可知(kě zhī)，函数()f x的最大值为.由，解得24a<≤.【点睛】本题考查(kǎochá)解含绝对值的不等式，解题方法是根据绝对值定义去掉绝对值符号，用分类讨论的方法分段解不等式．内容总结。
四川省绵阳市2021届新高考第二次模拟数学试题含解析
四川省绵阳市2021届新高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40B ．-20C ．20D ．40 【答案】D【解析】令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-．511()(2)x x x x+-的通项521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x ，选3个提出1x ；若第1个括号提出1x ，从余下的括号中选2个提出1x，选3个提出x. 故常数项=223322335353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X ⋅⋅-+⋅-⋅=-40+80=40 2．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=u u u v u u u u v ，222AF F B =u u u u v u u u u v ，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34CD 【答案】C【解析】【分析】根据222AF F B =u u u u r u u u r 表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出,a c 关系，求出离心率.【详解】222AF F B =u u u u r u u u u r Q设2BF x =，则22AF x =由椭圆的定义，可以得到1122,2AF a x BF a x =-=-120AF AF ⋅=u u u r u u u u r Q ,12AF AF ∴⊥在1Rt AF B V 中，有()()()2222232a x x a x -+=-，解得3a x =2124,33a a AF AF ∴== 在12Rt AF F △中，有()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得225=9c a ，53c e a ∴== 故选C 项.【点睛】本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出,a c 关系，得到离心率.属于中档题.3．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知E 、F 、G 分别是线段11A C 上的点，且11A E EF FG GC ===.则下列直线与平面1A BD 平行的是（ ）A ．CEB ．CFC ．CGD ．1CC【答案】B【解析】【分析】 连接AC ，使AC 交BD 于点O ，连接1A O 、CF ，可证四边形1A OCF 为平行四边形，可得1//A O CF ，利用线面平行的判定定理即可得解．【详解】如图，连接AC ，使AC 交BD 于点O ，连接1A O 、CF ，则O 为AC 的中点，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 为平行四边形，11//AC AC ∴且11A C AC =，O Q 、F 分别为AC 、11A C 的中点，1//A F OC ∴且1A F OC =，所以，四边形1A OCF 为平行四边形，则1//CF A O ，CF ⊄Q 平面1A BD ，1AO ⊂平面1A BD ，因此，//CF 平面1A BD . 故选：B.【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题．4．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17【答案】B【解析】【分析】计算出样本在[)2060,的数据个数，再减去样本在[)20,40的数据个数即可得出结果.【详解】由题意可知，样本在[)2060,的数据个数为300.824⨯=，样本在[)20,40的数据个数为459+=，因此，样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数为24915-=.故选：B.【点睛】本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.5．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（ ）A ．234a π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．262a π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．264a π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．2364a π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】画出直观图，由球的表面积公式求解即可【详解】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉18个球而形成的，所以它的表面积为2222213346484a S a a a a πππ⎛⎫⎛⎫=+-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C【点睛】本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力.6．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =u u u v u u u v ，则ED =u u u v （）A ．1233AD AB -u u u v u u u v B ．2133AD AB +u u u v u u u vC ．2133AD AB -u u u v u u u vD ．1233AD AB +u u u v u u u v【答案】C【解析】【分析】画出图形，以,?AB AD u u u v u u u v 为基底将向量ED u u u v 进行分解后可得结果．【详解】画出图形，如下图．选取,?AB AD u u u v u u u v 为基底，则()211333AE AO AC AB AD ===+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ， ∴()121 333ED AD AE AD AB AD AD AB u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v =-=-+=-． 故选C ．【点睛】应用平面向量基本定理应注意的问题（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便．（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．7．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．6【答案】A【解析】【分析】由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可.【详解】双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r ，即r＝.答案：A【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题.8．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（ ）A ．8B ．12C ．14D ．10【答案】C【解析】【分析】将2a ，4a 分别用1a 和d 的形式表示，然后求解出1a 和d 的值即可表示7a .【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则由24a =，48a =，得114,38,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12a =，2d =， 所以71614a a d =+=．故选C ．【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建1a 和d 的方程组求通项公式.9．关于函数22tan ()cos 21tan x f x x x=++，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．函数()f x 的图像关于直线8x π=对称 D ．将函数22y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 【答案】B【解析】【分析】 化简到()224f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据定义域排除ACD ，计算单调性知B 正确，得到答案.【详解】22tan ()cos 2sin 2cos 221tan 4x f x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪+⎝⎭， 故函数的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，故A 错误； 当3,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,224x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，函数单调递增，故B 正确； 当4πx =-，关于8x π=的对称的直线为2x π=不在定义域内，故C 错误. 平移得到的函数定义域为R ，故不可能为()y f x =，D 错误.故选：B .【点睛】本题考查了三角恒等变换，三角函数单调性，定义域，对称，三角函数平移，意在考查学生的综合应用能力.10．关于函数()cos cos 2f x x x =+，有下列三个结论:①π是()f x 的一个周期；②()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③()f x 的值域为[]22-,.则上述结论中，正确的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的性质，逐个判断即可求出．【详解】①因为()()f x f x π=+，所以π是()f x 的一个周期，①正确；②因为()2f π=，5242f π⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调递增，②错误； ③因为()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，又π是()f x 的一个周期，所以可以只考虑0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域．当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]cos 0,1t x =∈， 22()cos cos 2cos cos22cos cos 121f x x x x x x x t t =+=+=+-=+-221y t t =+-在[]0,1上单调递增，所以[]()1,2f x ∈-，()f x 的值域为[]1,2-，③错误；综上，正确的个数只有一个，故选B ．【点睛】本题主要考查三角函数的性质应用．11．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（ ） A ．56B ．72C ．88D ．40 【答案】B【解析】【分析】2319a a a =⇔2111(2)(8)a d a a d +=+，将12a =代入，求得公差d ，再利用等差数列的前n 项和公式计算即可.【详解】由已知，2319a a a =，12a =，故2111(2)(8)a d a a d +=+，解得2d =或0d =（舍），故2(1)22n a n n =+-⨯=，1888()4(228)722a a S +==+⨯=. 故选：B.【点睛】 本题考查等差数列的前n 项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.12．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．9π B ．29π C ．18π D ．24π【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的变换规则表示出()g x ，根据()g x 是奇函数，可得m 的取值，再求其最小值.【详解】 解：由题意知，将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，得()sin 36y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，再将sin 336y x m π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，1()sin(3)26g x x m π∴=-+，因为()g x 是奇函数，所以3,6m k k Z ππ-+=∈，解得,183k m k Z ππ=-∈， 因为0m >，所以m 的最小值为18π. 故选：C【点睛】 本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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绵阳市高中2018级第二次诊断性考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1—5 DADCB 6—10 CCCAB 11—12 DA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．-i 14．0.8 15．3 16．②④三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）证明：∵211(2)n n n n a a a a ++=+，∴2211112(2)()0n n n n n n n n a a a a a a a a ++++−−=−+=．又数列{a n }各项均为正数，∴10n n a a ++>，∴120n n a a +−=，即12n na a +=． …………………………………………………4分 数列{a n }是首项a 1=1，公比为2的等比数列．∴数列{a n }的通项公式为12n n a −=． …………………………………………6分（2）∵1(1)1221112n nn n a q S q −−===−−−， ∴S 2n =22n -1， ………………………………………………………………… 8分 ∵S 2n >1609n a ， ∴29(21)802n n −>⨯，即(921)(29)0n n ⨯+−>，∴290n −>，又*n N ∈ ，∴正整数n 的最小值为4． …………………………………………………12分18．解：（1）由题意得，1=(23456)45x ⨯++++=，1=(35 6.5810.5) 6.65y ⨯++++=，……………………2分1()()18n i i i xx y y =−−=∑，21()10n i i x x =−=∑，……………………………………4分1.8b =， 6.6 1.840.6a y bx =−=−⨯=−， ………………………………………5分∴y 关于x 的线性回归方程 1.8.6ˆ0yx =−． ……………………………………6分（2）由（1）所得回归方程计算2月至7月份预测生产量依次为3，4.8，6.6，8.4，10.2，12．可得，其中“甲级月”有3个，“乙级月”有3个．……………………… 9分 记6个月中随机抽取2个月均为“乙级月”为事件A ，∴P(A )=232631155C C ==．…………………………………………………………12分 19．解：（1）在△APC 中， 30PAC ∠=，AC =，由余弦定理得CP 2=AP 2+AC 2-2AP ×AC ×cos ∠PAC ，即CP 2=AP 2+3-AP ×cos30°， ……………………………………………2分 又AP +CP =2，联立解得AP =1，CP =1． ………………………………………………………4分 ∴∠APC =120°． ……………………………………………………………………6分 （2）∵∠APC =120°，∴∠APB =60°．∵cos B =∴sin B = ……………………………………………………………………8分 在△APB 中，由正弦定理sin sin AB AP APB B=∠，∴AB = …………………………………………………………………………10分 在△APB 中，由余弦定理2222cos AB AP PB AP PB APB =+−⋅⋅∠，得7=1+PB 2-2PBcos60°，即PB 2-PB -6=0，解得BP =3．∴△APB的面积为11sin 1322AP BP APB ⨯⨯∠=⨯⨯=12分 20．解：（1）由21()()2g x f x mx =+=(22)4ln m x x +−，x >0， 得4(22)4(1)2()(22)=2m x m x g x m x x x+−+−'=+−=⋅． ……………………………2分 ①当1≤m −时，(1)2()20=≤m x g x x+−'⨯， 此时g (x )在(0)，+∞上单调递减， g (x )在(0)，+∞上不可能有两个零点，故1≤m −不合题意. ……………………4分②当m>-1时，f(x)在区间2(0)1，m+上单调递减，在区间2()1，+m∞+上单调递增．……………………………5分要使得函数g(x)在(0)，+∞上有两个零点，则22()44ln011gm m=−<++，解得2e1em−−<<．综上，实数m的范围是2e1em−−<<．………………………………………6分（2）4(2)(2)()(22)mx xf x m mxx x−−'=+−−=−，x>0．①当0<m<1时，函数f(x)在2(2)，m上单调递增，在(0，2)，2()，+m∞上单调递减，当44xm>+时，函数f(x)在2()，+m∞上单调递减．∴14()(22)4ln(4)02f x x m mx x fm=+−−<+<,∴f(x)≥0，在x>0恒成立不成立，即0<m<1不合题意.……………………8分②当m≥1时，函数f(x)在2(2)，m上单调递增，函数f(x)在2(0)，m，(2)，+∞上单调递减，当442xm>+>时，f(x)在(2)，+∞上单调递减，∴14()(22)4ln(4)02f x x m mx x fm=+−−<+<,∴f(x)≥0在x>0恒成立不成立，即m≥1不合题意.………………………………………………………………10分③当m≤0时，函数f(x)在(0，2)上单调递减,在(2)，+∞上单调递增，∴要使得f(x)≥0的充要条件是f(2)≥0，解得m≥2ln2-2，∴2ln2-2≤m≤0．综上所述，实数m的范围是[2ln2-2，0].……………………………………12分21．解：（1）由题意得425)25(21p p x A +=+=，25||p DF −=．……………………2分 由抛物线的定义可知2||p x AF A +=， 则由AF DF =，解得2=p ．∴抛物线C 的方程为x y 42=．…………………………………………………5分（2）设直线l 1的方程为m kx y +=， 则5(55)(5)(0)2k m G k m E P m ++，，，，，． ∴以DG 为直径的圆E ：2225(5)(5)()24k m k m x y ++−+−=， 即22(5)(5)0x y k m y −+−+=． …………………………………………………7分联立24y x y kx m ⎧=⎨=+⎩，，消去y 整理得0)42(222=+−+m x km x k ． ……………8分 ∵l 1与曲线C 相切，∴04)42(222=−−=∆m k km ，化简得1=km ． …………………………………………………………………9分 设直线l 2与的方程为y tx m =+，H (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)．联立22(5)(5)0y tx m x y k m y =+⎧⎨−+−+=⎩，，消去y ，整理得22(1)(510)2550t x tm kt x km ++−−+−=， ∴12222015521km x x t t ⋅=−=++． …………………………………………………11分∵1PH =，2PQ =， ∴22122(1)(1)20120PH PQ t x x t t ⋅=+⋅=+⋅=+， 即|PH |•|PQ |为定值20．……………………………………………………………12分22．解：（1）∵曲线C 1的直角坐标方程为(x -2)2+y 2=6，∴曲线C 1的极坐标方程为24cos 20ρρθ−−=． …………………………………4分 将曲线C 2的参数方程消参得x 2-y 2=4(x ≥2)，∴曲线C 2的极坐标方程为2cos 24(cos 2)ρθρθ=≥． ……………………………5分（2）曲线C 1的极坐标方程为24cos 20-ρρθ−=，将直线l ：()22=ππθαα−<<，ρ∈R 代入上式，得24cos 20ρα−−=，∴124cos ρρα+=，1220ρρ=−<． ………………………………………………7分设1OA ρ=，2OB ρ=．∴12||||AB ρρ=−=∵曲线C 2的极坐标方程为2cos 24(cos 2)ρθρθ=≥，设点()C ρα，，∴||OC =∵||||AB OC =， ……………………………………………………………………9分 ∴24cos 28cos250αα+−=， 解得1cos22α=． ∵22ππα−<<， ∴66或-ππαα==． …………………………………………………………………10分23．解：（1）当x ≥3时，f (x )=x -3+x -2=2x -5．由f (x )<3，得x <4，综合得3≤x <4．当2<x <3时，f (x )=3- x +x -2=1．由f (x )<3，得1<3恒成立，综合得2<x <3．当x ≤2时，f (x )=3- x +2-x =5-2x ．由f (x )<3，得x >1，综合得1<x ≤2．综上，不等式f (x )<3的解集为(1，4)． ……………………………………………5分 （2）证明：∵()32(3)(2)1f x x x x x −+−−−−==≥，(当且仅当2≤x ≤3时，取“=”)∴函数f (x )的最小值为1，即m =1．∴ab +bc +ac =abc ．∴ab +bc +ac =()ab bc ac a b c abc ++⨯++）（c b a cb a ++⋅++=()111 3()()()b ac b c a a b b c a c=++++++ ≥3+2+2+2=9．(当且仅当a =b =c 时取“=”)∴9ab bc ca ++≥． ………………………………………………………………10分。