2012高考二轮复习专题限时集训：第4讲导数在研究函数性质中的应用及定积分

专题限时集训(四)A[第4讲 导数在研究函数性质中的应用及定积分](时间：10分钟＋35分钟)1．函数y ＝x ·e x的图象在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．y ＝e x B ．y ＝x －1＋e C ．y ＝－2e x ＋3e D ．y ＝2e x －e2．已知函数f (x )的图象如图4－1所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( )图4－1A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f(x)d x 的值为( )A .43B .54C .65D .764．若函数f(x)＝13x 3－f ′(1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)的值为( )A ．－2B ．2C ．－23D .231．曲线y ＝x 3＋11在点P(1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．152．若曲线f(x)＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．23．已知函数f(x)＝cos xex ，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处切线方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．cos x·x ＋y －1＝0D ．e x ·x ＋cos x·y ＋1＝04．抛物线x 2＝2y 和直线y ＝x ＋4所围成的封闭图形的面积是( ) A ．16 B ．18 C ．20 D ．225．已知f(x)＝x 3＋ax 2－2x 是奇函数，则其图象在点(1，f(1))处的切线方程为________．6.⎠⎛－3－21xd x ＝________. 7.已知函数f (x )＝x 2－a ln x (a ∈R )．(1)若a ＝2，求证：f (x )在(1，＋∞)上是增函数； (2)求f (x )在[1，e]上的最小值．8．已知函数f (x )＝(x 2＋ax ＋2)e x (x ，a ∈R )．(1)当a ＝0时，求函数f (x )的图象在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)若函数y ＝f (x )为单调函数，求实数a 的取值范围；(3)当a ＝－52时，求函数f (x )的极小值．专题限时集训(四)B[第4讲 导数在研究函数性质中的应用及定积分](时间：10分钟＋35分钟)1．过点(0,1)且与曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线垂直的直线的方程为( )A ．2x －y ＋1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．x －2y ＋2＝0 2．已知直线y ＝x ＋2与函数y ＝ln(e x ＋a )的图象相切，e 为自然对数的底数，则a 为( ) A.e 2 B ．－e2C ．2eD ．－2e 3．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．94．如图4－2，设T 是直线x ＝－1，x ＝2与函数y ＝x 2的图象在x 轴上方围成的直角梯形区域，S 是在T 上函数y ＝x 2图象下方的点构成的区域(图中阴影部分)．向T 中随机投一点，则该点落入S 中的概率为( )图4－2A.15B.25C.13D.121．∫π20(x －sin x)d x 等于( )A .π24－1B .π28－1 C .π28 D .π28＋12．函数f(x)＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象如图4－3所示，则x 21＋x 22等于( )图4－3A .89B .109C .169D .453．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋1(x ≤0)，e ax (x>0)在[－2,2]上的最大值为2，则a 的范围是( )A .⎣⎡⎭⎫12ln 2，＋∞B .⎣⎡⎦⎤0，12ln 2 C ．(－∞，0] D .⎝⎛⎦⎤－∞，12ln 2 4．已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，若f(x)在区间(－1,0)上单调递减，则a 2＋b 2的取值范围是( )A .⎣⎡⎭⎫94，＋∞B .⎝⎛⎦⎤0，94C .⎣⎡⎭⎫95，＋∞D .⎝⎛⎦⎤0，95 5．已知实数a 为⎝⎛⎭⎫x 2－2x 7的展开式中x 2的系数，则∫－32a 1⎝⎛⎭⎫e x －1x d x ＝________. 6．设函数f(x)是定义在R 上的可导偶函数，且图象关于点⎝⎛⎭⎫12，1对称，则f ′(1)＋f ′(2)＋f ′(22)＋…＋f ′(2100)＝________.7.已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫1－ax e x (x >0)，其中e 为自然对数的底数． (1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与坐标轴围成的面积；(2)若函数f (x )存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为e 5，求a 的值．8．已知函数f(x)＝a ln x－x2＋1.(1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为4x－y＋b＝0，求实数a和b的值；(2)求证：f(x)≤0对任意x>0恒成立的充要条件是a＝2；(3)若a<0，且对任意x1、x2∈(0，＋∞)，都|f(x1)－f(x2)|≥|x1－x2|，求a的取值范围．专题限时集训(四)A【基础演练】1．D 【解析】 因为y ′＝e x ＋x e x ，所以在点x ＝1处函数的导数值是y ′|x ＝1＝e ＋e ＝2e ，所以在点(1，e)处函数图象的切线方程是y －e ＝2e(x －1)，即y ＝2e x －e.2．B 【解析】 根据函数图象可得函数的导数是单调递减的，函数在[2,3]上的平均变化率小于在点2的瞬时变化率、大于在点3的瞬时变化率．所以0<f ′(3)<f (3)－f (2)3－2<f ′(2)，即0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)．3．A 【解析】 ⎠⎛0e f(x)d x ＝⎠⎛01f(x)d x ＋⎠⎛1e f(x)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x ＝13x 3|10＋ln x|e1＝13＋1＝43. 4．D 【解析】 由已知得f ′(x)＝x 2－2f ′(1)x ＋1⇒f ′(1)＝1－2f ′(1)＋1⇒f ′(1)＝23.【提升训练】1．C 【解析】 因为y ′＝3x 2，所以k ＝y ′|x ＝1＝3，所以过点P(1,12)的切线方程为y －12＝3(x －1)，即y ＝3x ＋9，所以与y 轴交点的纵坐标为9.2．D 【解析】 f ′(x)＝sin x ＋x cos x ，f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，即曲线f(x)＝x sin x ＋1在点x ＝π2处的切线的斜率是1，而直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率是－a2，所以⎝⎛⎭⎫－a 2×1＝－1，解得a ＝2. 3．B 【解析】 由于f ′(x)＝－sin x·e x －cos x·e xe 2x，所以f ′(0)＝－1，又f(0)＝1，所以函数f(x)的图象在点(0，f(0))处切线方程为y －1＝－(x －0)，即x ＋y －1＝0.4．B 【解析】 根据x 2＝2y 以及y ＝x ＋4，得x 2－2x －8＝0，解得x ＝－2、4，故所求的面积S ＝⎠⎛4－2⎝⎛⎭⎫x ＋4－12x 2d x ＝⎪⎪⎣⎡⎦⎤12x 2＋4x －16x 34－2＝24－646＋6－86＝18. 5．x －y －2＝0 【解析】 函数f(x)是奇函数可得a ＝0，此时f(x)＝x 3－2x ，所以f ′(x)＝3x 2－2，故所求切线的斜率是1，切点坐标是(1，－1)，切线方程是y ＋1＝x －1，即x －y －2＝0.6．ln 32 【解析】 ⎠⎛－3－21x d x ＝ln |x||32＝ln 3－ln 2＝ln 32. 7．【解答】 (1)当a ＝2时，f(x)＝x 2－2ln x ， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)＝2(x 2－1)x >0，所以f(x)在(1，＋∞)上是增函数． (2)f ′(x)＝2x 2－ax(x>0)，当x ∈[1，e ]，2x 2－a ∈[2－a,2e 2－a]． 若a ≤2，则当x ∈[1，e ]时，f ′(x)≥0， 所以f(x)在[1，e ]上是增函数，又f (1)＝1，故函数f(x)在[1，e ]上的最小值为1.若a ≥2e 2，则当x ∈[1，e ]时，f ′(x)≤0， 所以f(x)在[1，e ]上是减函数，又f(e )＝e 2－a ，所以f(x)在[1，e ]上的最小值为e 2－a. 若2<a<2e 2，则： 当1≤x<a2时，f ′(x)<0，此时f(x)是减函数； 当a2<x ≤e 时，f ′(x)>0，此时f(x)是增函数． 又f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a 2－a 2ln a 2， 所以f(x)在[1，e ]上的最小值为a 2－a 2ln a2.综上可知，当a ≤2时，f(x)在[1，e ]上的最小值为1； 当2<a<2e 2时，f(x)在[1，e ]上的最小值为a 2－a 2ln a2；当a ≥2e 2时，f(x)在[1，e ]上的最小值为e 2－a. 8．【解答】 f ′(x)＝e x [x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋2](1)当a ＝0时，f(x)＝(x 2＋2)e x ，f ′(x)＝e x (x 2＋2x ＋2)， f(1)＝3e ，f ′(1)＝5e ，∴函数f(x)的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为 y －3e ＝5e (x －1)，即5e x －y －2e ＝0. (2)f ′(x)＝e x [x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋2]， 考虑到e x >0恒成立且x 2系数为正，∴f(x)在R 上单调等价于x 2＋(a ＋2)x ＋a ＋2≥0恒成立． ∴(a ＋2)2－4(a ＋2)≤0，∴－2≤a ≤2，即a 的取值范围是[－2,2]， (3)当a ＝－52时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫x 2－52x ＋2e x ， f ′(x )＝e x ⎝⎛⎭⎫x 2－12x －12， 令f ′(x )＝0，得x ＝－12或x ＝1，令f ′(x )>0，得x <－12或x >1，令f ′(x )<0，得－12<x <1，x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x ⎝⎛⎭⎫－∞，－12－12 ⎝⎛⎭⎫－12，1 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )极大值极小值所以，函数f (x )的极小值为f (1)＝12e.专题限时集训(四)B【基础演练】1．A 【解析】 y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，则y ′＝－2(x －1)2在x ＝3处的导数值为－12，故所求的直线的斜率是2，直线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0.2．C 【解析】 对函数y ＝ln(e x ＋a )求导得y ′＝e e x ＋a ，令y ′＝1，解得x ＝e －a e ，此时代入函数y ＝ln(e x ＋a )得y ＝1，即切点坐标是⎝⎛⎭⎫e －a e ，1，代入切线方程得1＝e －a e ＋2，解得a ＝2e.3．D 【解析】 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， ∵f (x )在x ＝1处有极值，∴f ′(1)＝0，即12－2a －2b ＝0，化简得 a ＋b ＝6， ∵a >0，b >0，∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时，ab 有最大值，最大值为9，故选D.4．B 【解析】 根据几何概型的意义，这个概率就是图中的阴影部分的面积和直角梯形面积之比．根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛2－1x 2d x ＝13x 3| 2－1＝3.直角梯形区域的面积是4＋12×3＝152，故所求的概率是3152＝25.【提升训练】1．B 【解析】 ∫π20(x －sin x)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2＋cos x π20＝π28－1.2．C 【解析】 从函数图象上可知x 1，x 2为函数f(x)的极值点，根据函数图象经过的三个特殊点求出b ，c ，d ，根据函数图象得d ＝0，且f(－1)＝－1＋b －c ＝0，f(2)＝8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－1，c ＝－2，故f ′(x)＝3x 2－2x －2.根据韦达定理x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝49＋43＝169. 3．D 【解析】 当x ≤0时，f ′(x)＝6x 2＋6x ，函数的极大值点是x ＝－1，极小值点是x ＝0，当x ＝－1时，f(x)＝2，故只要在[0,2]上e ax ≤2即可，即ax ≤ln 2在(0,2]上恒成立，即a ≤ln 2x 在(0,2]上恒成立，故a ≤12ln 2.4．C 【解析】 根据三次函数的特点，函数f(x)在(－1,0)上单调递减等价于函数f(x)的导数f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b 在区间(－1,0)上小于或者等于零恒成立，即3－2a ＋b ≤0且b ≤0，把点(a ，b)看作点的坐标，则上述不等式组表示的区域如下图．根据a 2＋b 2的几何意义得，最小值就是坐标原点到直线3－2a ＋b ＝0的距离的平方．5．e 7－e －ln 7 【解析】 ∵T r ＋1＝C r 7·⎝⎛⎭⎫x 27－r ·(－1)r 2r x －r＝(－1)r 22r －7C r7x7－3r2， ∴当r ＝1时，T 2＝－732x 2，∴x 2的系数为－732.∴a ＝－732.∴∫－32a 1⎪⎪⎝⎛⎭⎫e x －1x d x ＝(e x －ln x )71 ＝e 7－e －ln 7.6．0 【解析】 根据函数图象关于⎝⎛⎭⎫12，1对称，可得f(1－x)＋f(x)＝2，由于函数是偶函数可得f(x －1)＋f(x)＝2，进而得f(x)＋f(x ＋1)＝2，由此得f(x ＋1)＝f(x －1)，进而f(x ＋2)＝f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数，由于函数是可导偶函数，其中在x ＝0的导数等于零，根据周期性，在x ＝2,22，…，2100处的导数都等于零．再根据函数可导和f(x －1)＋f(x)＝2，可得f ′(x －1)＋f ′(x)＝0，令x ＝1可得f ′(1)＝0.故所求的结果是0.7．【解答】 (1)f ′(x)＝x 2－ax ＋a x 2e x，当a ＝2时，f ′(x)＝x 2－2x ＋2x 2e x，f ′(1)＝1－2＋212×e 1＝e ，f(1)＝－e ，所以曲线y ＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y ＝e x －2e ， 切线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为(2,0)，(0，－2e )， 所以，所求面积为12×2×|－2e |＝2e .(2)因为函数f(x)存在一个极大值点和一个极小值点，所以，方程x 2－ax ＋a ＝0在(0，＋∞)内存在两个不等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a>0，a>0. 所以a>4.设x 1，x 2分别为函数f(x)的极大值点和极小值点， 则x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝a ，因为f(x 1)f(x 2)＝e 5，所以，x 1－a x 1e x 1×x 2－a x 2e x 2＝e 5，即x 1x 2－a (x 1＋x 2)＋a 2x 1x 2e x 1＋x 2＝e 5，化简得e a ＝e 5，解得a ＝5，此时f(x)有两个极值点， 所以a ＝5.8．【解答】 (1)f ′(x)＝ax －2x(x>0)，f ′(1)＝a －2，又f(1)＝0，所以曲线y ＝f(x)在x ＝1处的切线方程为y ＝(a －2)(x －1)，即(a －2)x －y ＋2－a ＝0，由已知得a －2＝4,2－a ＝b ，所以a ＝6，b ＝－4.(2)证明：充分性：当a ＝2时，f(x)＝2ln x －x 2＋1，此时f ′(x)＝2x －2x ＝2(1－x 2)x(x>0)，当0<x<1时，f ′(x)>0，当x>1时，f ′(x)<0，所以f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数， f(x)≤f(1)＝0；必要性：f ′(x)＝ax －2x ＝a －2x 2x(x>0)，当a ≤0时，f ′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，而f(1)＝0，故0<x<1时，f(x)>0，与f(x)≤0恒成立矛盾， 所以a ≤0不成立， 当a>0时，f ′(x)＝2x ⎝⎛⎭⎫a 2＋x⎝⎛⎭⎫a 2－x (x>0)， 当0<x<a2时，f ′(x)>0，当x>a2时，f ′(x)<0， 所以f(x)在⎝⎛⎭⎫0，a 2上是增函数， 在⎝⎛⎭⎫a 2，＋∞上是减函数， f(x)≤f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a 2ln a 2－a2＋1； 因为f(1)＝0，又当a ≠2时，a2≠1，f ⎝⎛⎭⎫a 2>f(1)＝0与f ⎝⎛⎭⎫a 2≤0不符． 所以a ＝2.综上，f(x)≤0对任意x>0恒成立的充要条件是a ＝2； (3)当a<0时，f ′(x)<0，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数，不妨设0<x 1≤x 2，则|f(x 1)－f(x 2)|＝f(x 1)－f(x 2)，|x 1－x 2|＝x 2－x 1，∴|f(x 1)－f(x 2)|≥|x 1－x 2|等价于f(x 1)－f(x 2)≥x 2－x 1，即f(x 1)＋x 1≥f(x 2)＋x 2， 令g(x)＝f(x)＋x ＝a ln x －x 2＋x ＋1，g(x)在(0，＋∞)上是减函数，∵g ′(x)＝a x －2x ＋1＝－2x 2＋x ＋a x(x>0)， ∴－2x 2＋x ＋a ≤0在x>0时恒成立，∴1＋8a ≤0，a ≤－18，又a <0， ∴a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－18.。