中职教育-《交通工程学》课件：第4章 道路交通流理论2(吴芳 主编 人民交通出版社).ppt
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一加油站，今有2 400辆／h的车流量通过四个通道引向 四个加油泵，平均每辆车加油时间为5s，服从负指数分 布，试分别按多路多通道系统(4个M/M/1系统)和单路多 通道系统(M/M/4系统)计算各相应指标并比较之。
(1) 4个平行的M/M/1系统（单路排队多通道服务）
根据题意,每个油泵有它各自的排队车道，排队车辆不能从一个 车道换到另一个车道上去。把总车流量四等分，就是引向每个油 泵①在能畅通行驶的车道里没有堵塞现象，其密度为：
K1
Q1 V1
4200 80
53辆 / km
②在过渡段，由于该处只能通过1940x2=3880辆/h。而现在却需要通过
4200辆/h，因此会出现拥挤，其密度为：
K2
Q2 V2
3880 22
177辆 / km
于是得到：
Vw
Q1 K1
(3)系统中的平均顾客数
n
1
(4)系统中顾客数的方差 (5)平均排队长度
(1 )2
q 2 n n 1
(6)非零平均排队长度
qw
1
1
(7)排队系统中的平均消耗时间
d 1 n
(8)排队平均等待时间
d 1
( )
4.3.3 M/M/N系统
M/M/N系统服务通道有n条，所以也称为“多通道”服务系 统，根据顾客排队方式的不同又分为以下两种服务系统：
（2）停车波
Vw Vf [1 (1 1)] Vf1
（3）起动波
Vw Vf [1 (1 2)] Vf2= (Vf V 2)
小结
• 连续型分布
❖负指数分布（掌握） ❖移位负指数分布（掌握） ❖爱尔朗分布（了解）
• 排队论模型的基本概念（掌握） • M/M/N与N个M/M/1的指标计算与比较(掌握) • 流体模拟理论及实例分析（了解）
d1 Vn1 t T
图 4-7车辆线性跟驰模型示意图
s(t) xn(t) xn1(t) t — t时刻第n辆车和第n 1辆车间的车头间距
d1 Vn1(t) T —反应时间T内n 1车行驶的距离
xn1(t) — t时刻n 1车的位置
xn (t) — t时间n车的位置
T —反应时间或称反应迟滞时间
4.4.2 线性跟驰模型
•跟驰模型是一种关于刺激—反应的关系式，用方程表示为： 反应= λ*刺激
式中，λ为驾驶员对刺激的反应系数，称为灵敏度或灵敏系 数。驾驶员所接受的刺激是指其前方引导车的加速或减速以及 随之而发生的这两车之间的速度差和车间距离的变化；该驾驶 员对刺激的反应是指其为了紧密而安全地跟随前车而作的加速 或减速动作及其实际效果。图4-7为该跟驰模型的示意图，图 中n为前导车，n+1为后随车，两车的距离为S(t)，在司机的反 应时间T内，车速不变，以便在前导车刹车时能使车停下而不 致于和前导车尾相撞。
Q2 K2
3880 4200 177 53
2.85km/h
表明此处出现了迫使排队的反向波，其波速为2.85km/h
故此处车辆平均拥挤长度为：
L 1.69 2.85 2.18km 2
（2）计算拥挤持续时间
高峰过后车辆到达率将降低到通行能力水平之下，车队开始消散，直
到完全恢复到正常的运行状态。而拥挤持续时间为排队形成时间和排 队消散时间之和。
1. 局部稳定 指前后两车之间的变化反应。例如两车车 距的摆动，如摆动大则不稳定，摆动愈小则愈稳定，这 称为局部稳定。 2. 渐近稳定 是引导车向后面各车传播速度变化。如扩 大其速度振幅，叫做不稳定，如振幅逐渐衰弱，则叫做 稳定，这称为渐近稳定。
4.4.4 非线性跟驰模型
车头间距倒数模型：
..
X n1(t T )
.
X
n
(t
)
.
X
n1 (t )
§4－5 流体模拟理论
4.5.1 车流连续性方程
根据质量守恒定律：
流入量-流出量=车辆在△t 时间内数量的变化
〔q-(q+dq)〕dt=〔k-(k-dk)〕dx
-dqdt=dkdx
dk dq 0 dt dx
q=kv
dk d (kv) 0 dt dx
用流体力学的理论建立交通流的运动方程：
(3)队长 有排队顾客数与排队系统中顾客数之分，这是排队系统提供
的服务水平的一种衡量。
4.3.2 M/M/1系统
由于M/M/1系统排队等待接受服务的通道只有单独一条， 也叫“单通道服务”系统，如图：
(1)在系统中没有顾客的概率 P(0)=1-ρ
(2)在系统中有n个顾客的概率 P(n)=ρn(1-ρ)
d2 — n 1车的制动距离
d3 — n车的制动距离
L —停车安全距离
从图中可以看出：
S(t) xn(t) xn1(t) d1 d 2L d3
.
d1 vn1(t) T vn1(t T ) T xn1(t T ) T
假设两车制动距离相等，即d2 d3，经过求导化简可得：
..
N
n
N1
N!N
•
P(0)
(1 / N)2
（4）平均排队的顾客数 （5）系统平均消耗时间 （6）排队平均等待时间
q n
q1 n
d
w
q
【例4-5】某收费，今有由东向西1500辆／h的车流量通过三
个本向服务通道引向三个收费亭，每个收费亭以600辆/h 效率服务，且服从负指数分布，试分别按多路多通道系统 (3个M/M/1系统)和单路多通道系统(M/M/3系统)分别计算 各相应指标并比较之。
(2) 按M/M/4系统计算（多路排队多通道服务）
（3）实例指标对比分析
§4－4 跟驰模型
4.4.1 车辆跟驰特性分析
跟驰理论 是运用动力学方法，研究在无法超车的 单一车道上车辆列队行驶时，后车跟随前车的行驶 状态的一种理论。
非自由状态行驶的车队有如下三个特性： 1. 制约性 2. 延迟性 (也称滞后性) 3. 传递性
dk dV 0 dx dt
4.5.2 车流中的反向波
(V1 Vw )K1t (V2 Vw)K2t 即： (V1 Vw )K1 (V2 Vw)K2
交通流反向波速的 基本表达式：
Vw
Q2 K2
Q1 K1
4.5.4 实例分析
车流在一条6车道的公路上畅通行驶，速度80km/h。 路上有座4车道的桥，每车道的通行能力为1940辆/h,高 峰小时流量为4200辆/h （单向）在过渡段车速降至 22km/h, 这样持续了1.69h,然后车流量减到1956辆/h （单向）,试估算桥前的车辆排队长度和阻塞时间.
图4-5 单路排队多通道服务系统
图4-6多路排队多通道服务系统
对于单路排队多通道服务的M/M/N系统，计算公式如下：
（1）系统中没有顾客的概率
（2）系统中有k个顾客的概率
（3）系统中的平均顾客数
k
•
p(0)......... ..........
...k＜N
p(k)
k!
k
N!N K N
•
p(0)......... .k
X n (t) X n1(t)
.
.
X n (t) X n1(t)
正比于速度反比于间距平方倒数的跟车模型：
.
..
X
n1(t
T)
X n1(t T ) [ X n (t) X n1(t)]2
. X
n (t)
.
X
n1(t)
4.4.5 跟驰模型的一般公式
.m
..
X
n1
(t
T
)
[
X
X n1(t T ) n (t) X n1(t)]l
§4－3 排队论模型
4.3.1 基本概念
排队 单指等待服务的顾客(车辆或行人)，不包括正在被服务 的顾客； 排队系统 既包括等待服务的顾客，又包括正在被服务的顾客。 排队系统的三个组成部分 (1)输入过程 是指各种类型的顾客按怎样的规律到来。
①定长输入 ②泊松输入 ③爱尔朗输入 (2)排队规则 指到达的顾客按怎样的次序接受服务。
.
.
xn1(t T ) xn (t) xn1(t).......( n 1,2,3, )
或写成：
..
.
.
xn1(t) xn(t T ) xn1(t T ) (n 1,2,3, )
其中 T 1 上式是对刺激—反应方程的近似表示：刺激为两车的相对
速度；反应为跟驰车辆的加速度。
4.4.3 线性模型的稳定性
w d 1 30 s
②再求3个M/M/1
服务效率指标对比
dqwn
n
系统类别 服务指标
（辆） (辆) （s） （s）
两种系统相应指标对比
3个平行的 M/M/1
(1) 15 12.5 36 30
M/M/3
(2) 6 3.5 14.4 8.4
服务效率指标对比
82 72 60 72
• 【习题选解】 一个加油站的实际问题(p111)
V
Vf
(1
K Kj
)
依据
V
Vf
(1
K) Kj
假设
i
K Kj
则
V1 Vf (11)
V2 Vf (1 2)
则
VW
[K1V f
(1 1)] [K2V f K1 K2
(1 2 )]
即
Vw Vf [1 (1 2 )]
（1）交通密度大致相等 情况
Vw Vf [1 (1 2 )]=V（f 1 2 +0） V（f 1 2）
①排队车辆数：
(Q1 Q2)1.69 541辆
②排队消散时间： (Q1 Q2 ) 1.69 0.28h Q1 Q2
③拥挤持续时间：
0.28 1.69 1.97h
④排队消散时间： (Q1 Q2 ) 1.69 0.28h Q2 Q3
⑤拥挤持续时间： 0.28 1.69 1.97h
讨论以下三种情况下的反向波的传播（自学）：
解：（1）按单路排队（M/M/3）
（2）按多路排队（3个M/M/1） ①先求M/M/1系统指标
= 1500 3 = 5 辆 / s， = 1 辆 / s
3600 36
6
= 5 1,系统稳定 6
P(0) 1 1
6
n 5辆 1
q 2 25 4.17辆 1 6
d n 36 s
①损失制 ②等待制 ③混合制 (3)服务方式 指同一时刻有多少服务台可接纳顾客，为每一 顾客服务了多少时间。
①定长分布服务 ②负指数分布服务 ③爱尔朗分布服务
排队系统的主要数量指标
(1)忙期 服务台连续繁忙的时期，这关系到服务台的工作强度。
(2)等待时间 从顾客到达时起至开始接受服务时为止的这段时间。
(1) 4个平行的M/M/1系统（单路排队多通道服务）
根据题意,每个油泵有它各自的排队车道，排队车辆不能从一个 车道换到另一个车道上去。把总车流量四等分，就是引向每个油 泵①在能畅通行驶的车道里没有堵塞现象，其密度为：
K1
Q1 V1
4200 80
53辆 / km
②在过渡段，由于该处只能通过1940x2=3880辆/h。而现在却需要通过
4200辆/h，因此会出现拥挤，其密度为：
K2
Q2 V2
3880 22
177辆 / km
于是得到：
Vw
Q1 K1
(3)系统中的平均顾客数
n
1
(4)系统中顾客数的方差 (5)平均排队长度
(1 )2
q 2 n n 1
(6)非零平均排队长度
qw
1
1
(7)排队系统中的平均消耗时间
d 1 n
(8)排队平均等待时间
d 1
( )
4.3.3 M/M/N系统
M/M/N系统服务通道有n条，所以也称为“多通道”服务系 统，根据顾客排队方式的不同又分为以下两种服务系统：
（2）停车波
Vw Vf [1 (1 1)] Vf1
（3）起动波
Vw Vf [1 (1 2)] Vf2= (Vf V 2)
小结
• 连续型分布
❖负指数分布（掌握） ❖移位负指数分布（掌握） ❖爱尔朗分布（了解）
• 排队论模型的基本概念（掌握） • M/M/N与N个M/M/1的指标计算与比较(掌握) • 流体模拟理论及实例分析（了解）
d1 Vn1 t T
图 4-7车辆线性跟驰模型示意图
s(t) xn(t) xn1(t) t — t时刻第n辆车和第n 1辆车间的车头间距
d1 Vn1(t) T —反应时间T内n 1车行驶的距离
xn1(t) — t时刻n 1车的位置
xn (t) — t时间n车的位置
T —反应时间或称反应迟滞时间
4.4.2 线性跟驰模型
•跟驰模型是一种关于刺激—反应的关系式，用方程表示为： 反应= λ*刺激
式中，λ为驾驶员对刺激的反应系数，称为灵敏度或灵敏系 数。驾驶员所接受的刺激是指其前方引导车的加速或减速以及 随之而发生的这两车之间的速度差和车间距离的变化；该驾驶 员对刺激的反应是指其为了紧密而安全地跟随前车而作的加速 或减速动作及其实际效果。图4-7为该跟驰模型的示意图，图 中n为前导车，n+1为后随车，两车的距离为S(t)，在司机的反 应时间T内，车速不变，以便在前导车刹车时能使车停下而不 致于和前导车尾相撞。
Q2 K2
3880 4200 177 53
2.85km/h
表明此处出现了迫使排队的反向波，其波速为2.85km/h
故此处车辆平均拥挤长度为：
L 1.69 2.85 2.18km 2
（2）计算拥挤持续时间
高峰过后车辆到达率将降低到通行能力水平之下，车队开始消散，直
到完全恢复到正常的运行状态。而拥挤持续时间为排队形成时间和排 队消散时间之和。
1. 局部稳定 指前后两车之间的变化反应。例如两车车 距的摆动，如摆动大则不稳定，摆动愈小则愈稳定，这 称为局部稳定。 2. 渐近稳定 是引导车向后面各车传播速度变化。如扩 大其速度振幅，叫做不稳定，如振幅逐渐衰弱，则叫做 稳定，这称为渐近稳定。
4.4.4 非线性跟驰模型
车头间距倒数模型：
..
X n1(t T )
.
X
n
(t
)
.
X
n1 (t )
§4－5 流体模拟理论
4.5.1 车流连续性方程
根据质量守恒定律：
流入量-流出量=车辆在△t 时间内数量的变化
〔q-(q+dq)〕dt=〔k-(k-dk)〕dx
-dqdt=dkdx
dk dq 0 dt dx
q=kv
dk d (kv) 0 dt dx
用流体力学的理论建立交通流的运动方程：
(3)队长 有排队顾客数与排队系统中顾客数之分，这是排队系统提供
的服务水平的一种衡量。
4.3.2 M/M/1系统
由于M/M/1系统排队等待接受服务的通道只有单独一条， 也叫“单通道服务”系统，如图：
(1)在系统中没有顾客的概率 P(0)=1-ρ
(2)在系统中有n个顾客的概率 P(n)=ρn(1-ρ)
d2 — n 1车的制动距离
d3 — n车的制动距离
L —停车安全距离
从图中可以看出：
S(t) xn(t) xn1(t) d1 d 2L d3
.
d1 vn1(t) T vn1(t T ) T xn1(t T ) T
假设两车制动距离相等，即d2 d3，经过求导化简可得：
..
N
n
N1
N!N
•
P(0)
(1 / N)2
（4）平均排队的顾客数 （5）系统平均消耗时间 （6）排队平均等待时间
q n
q1 n
d
w
q
【例4-5】某收费，今有由东向西1500辆／h的车流量通过三
个本向服务通道引向三个收费亭，每个收费亭以600辆/h 效率服务，且服从负指数分布，试分别按多路多通道系统 (3个M/M/1系统)和单路多通道系统(M/M/3系统)分别计算 各相应指标并比较之。
(2) 按M/M/4系统计算（多路排队多通道服务）
（3）实例指标对比分析
§4－4 跟驰模型
4.4.1 车辆跟驰特性分析
跟驰理论 是运用动力学方法，研究在无法超车的 单一车道上车辆列队行驶时，后车跟随前车的行驶 状态的一种理论。
非自由状态行驶的车队有如下三个特性： 1. 制约性 2. 延迟性 (也称滞后性) 3. 传递性
dk dV 0 dx dt
4.5.2 车流中的反向波
(V1 Vw )K1t (V2 Vw)K2t 即： (V1 Vw )K1 (V2 Vw)K2
交通流反向波速的 基本表达式：
Vw
Q2 K2
Q1 K1
4.5.4 实例分析
车流在一条6车道的公路上畅通行驶，速度80km/h。 路上有座4车道的桥，每车道的通行能力为1940辆/h,高 峰小时流量为4200辆/h （单向）在过渡段车速降至 22km/h, 这样持续了1.69h,然后车流量减到1956辆/h （单向）,试估算桥前的车辆排队长度和阻塞时间.
图4-5 单路排队多通道服务系统
图4-6多路排队多通道服务系统
对于单路排队多通道服务的M/M/N系统，计算公式如下：
（1）系统中没有顾客的概率
（2）系统中有k个顾客的概率
（3）系统中的平均顾客数
k
•
p(0)......... ..........
...k＜N
p(k)
k!
k
N!N K N
•
p(0)......... .k
X n (t) X n1(t)
.
.
X n (t) X n1(t)
正比于速度反比于间距平方倒数的跟车模型：
.
..
X
n1(t
T)
X n1(t T ) [ X n (t) X n1(t)]2
. X
n (t)
.
X
n1(t)
4.4.5 跟驰模型的一般公式
.m
..
X
n1
(t
T
)
[
X
X n1(t T ) n (t) X n1(t)]l
§4－3 排队论模型
4.3.1 基本概念
排队 单指等待服务的顾客(车辆或行人)，不包括正在被服务 的顾客； 排队系统 既包括等待服务的顾客，又包括正在被服务的顾客。 排队系统的三个组成部分 (1)输入过程 是指各种类型的顾客按怎样的规律到来。
①定长输入 ②泊松输入 ③爱尔朗输入 (2)排队规则 指到达的顾客按怎样的次序接受服务。
.
.
xn1(t T ) xn (t) xn1(t).......( n 1,2,3, )
或写成：
..
.
.
xn1(t) xn(t T ) xn1(t T ) (n 1,2,3, )
其中 T 1 上式是对刺激—反应方程的近似表示：刺激为两车的相对
速度；反应为跟驰车辆的加速度。
4.4.3 线性模型的稳定性
w d 1 30 s
②再求3个M/M/1
服务效率指标对比
dqwn
n
系统类别 服务指标
（辆） (辆) （s） （s）
两种系统相应指标对比
3个平行的 M/M/1
(1) 15 12.5 36 30
M/M/3
(2) 6 3.5 14.4 8.4
服务效率指标对比
82 72 60 72
• 【习题选解】 一个加油站的实际问题(p111)
V
Vf
(1
K Kj
)
依据
V
Vf
(1
K) Kj
假设
i
K Kj
则
V1 Vf (11)
V2 Vf (1 2)
则
VW
[K1V f
(1 1)] [K2V f K1 K2
(1 2 )]
即
Vw Vf [1 (1 2 )]
（1）交通密度大致相等 情况
Vw Vf [1 (1 2 )]=V（f 1 2 +0） V（f 1 2）
①排队车辆数：
(Q1 Q2)1.69 541辆
②排队消散时间： (Q1 Q2 ) 1.69 0.28h Q1 Q2
③拥挤持续时间：
0.28 1.69 1.97h
④排队消散时间： (Q1 Q2 ) 1.69 0.28h Q2 Q3
⑤拥挤持续时间： 0.28 1.69 1.97h
讨论以下三种情况下的反向波的传播（自学）：
解：（1）按单路排队（M/M/3）
（2）按多路排队（3个M/M/1） ①先求M/M/1系统指标
= 1500 3 = 5 辆 / s， = 1 辆 / s
3600 36
6
= 5 1,系统稳定 6
P(0) 1 1
6
n 5辆 1
q 2 25 4.17辆 1 6
d n 36 s
①损失制 ②等待制 ③混合制 (3)服务方式 指同一时刻有多少服务台可接纳顾客，为每一 顾客服务了多少时间。
①定长分布服务 ②负指数分布服务 ③爱尔朗分布服务
排队系统的主要数量指标
(1)忙期 服务台连续繁忙的时期，这关系到服务台的工作强度。
(2)等待时间 从顾客到达时起至开始接受服务时为止的这段时间。