高三数学一轮专题总复习：专题七、平面向量参考解答(教师版)
高考理科数学一轮复习专题训练：平面向量(含详细答案解析)
第6单元 平面向量（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量(2,)m =a ，(3,1)=b ，若∥a b ，则实数m 的值为（ ） A ．14B ．13C ．23D ．12【答案】C【解析】由题意，向量(2,)m =a ，(3,1)=b ， 因为∥a b ，则231m =，即32m =，解得23m =．故选C ． 2．已知向量(2,1)=a ，(,1)m =-b ，且()⊥-a a b ，则m 的值为（ ） A ．1 B ．3C ．1或3D ．4【答案】B【解析】因为(2,1)=a ，(,1)m =-b ，所以(2,2)m -=-a b ，因为()⊥-a a b ，则()2(2)20m ⋅-=-+=a a b ，解得3m =，所以答案选B ．3．已知向量a ，b 满足||1=a ，=b ，a 与b 的夹角为2π3，则2-a b 为（ ）A ．21BCD 【答案】B【解析】||2Q b =，2π1||||cos 12132a b a b 骣琪?=创-=-琪桫，|2|a b \-=，故选B ．4．已知向量a ，b 满足||1=a ，⊥a b ，则向量2-a b 在向量a 方向上的投影为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．1-【答案】B【解析】根据向量的投影公式可知，向量2-a b 在向量a 方向上的投影为2(2)()1||||-⋅==a b a a a a ，故选B ． 5．设a ，b 是非零向量，则“存在实数λ，使得λ=a b ”是“+=+a b a b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】存在实数λ，使得λ=a b ，说明向量a ，b 共线， 当a ，b 同向时，+=+a b a b 成立，当a ，b 反向时，+=+a b a b 不成立，所以充分性不成立．当+=+a b a b 成立时，有a ，b 同向，存在实数λ，使得λ=a b 成立，必要性成立， 即“存在实数λ，使得λ=a b ”是“+=+a b a b ”的必要而不充分条件． 故选B ．6．已知非零向量a ，b ，若(3)0⋅+=a a b ，2=a b ，则向量a 和b 夹角的余弦值为（ ） A ．23B ．23-C ．32D ．32-【答案】B【解析】设向量a 与向量b 的夹角为θ，||2||=Q a b ，∴由(3)0⋅+=a a b ，可得2222()33cos 46cos 0θθ+⋅=+⋅=+=a a b a a b b b ，化简即可得到2cos 3θ=-，故答案选B ． 7．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF =u u u r（ ）A ．3144AB AD +u u ur u u u rB ．1344AB AD +u u ur u u u rC ．12AB AD +u u ur u u u rD ．3142AB AD +u u ur u u u r【答案】D【解析】根据题意得1()2AF AC AE =+u u u r u u u r u u u r，又AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，12AE AB =u u ur u u u r ，所以1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，故选D ．8．设D 为所在平面内一点，1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u r ，若，则（ ）A ．2B ．3C ．D ．【答案】D 【解析】因为D 为所在平面内一点，由1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u r ，可得34AD AB AC =-+u u u r u u u r u u u r ，即44AD AC AD AB -=-u u u r u u u r u u u r u u u r， 则4CD BD =u u u r u u u r ，即4BD DC =-u u u r u u u r ，可得3BD DC DC +=-u u u r u u u r u u u r ，故3BC DC =-u u u r u u u r，则，故选D ．9．在四边形中，2AB =+u u u r a b ，43BC =--u u u r a b ，55CD =--u u u ra b ，那么四边形的形状是（ ）A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对【答案】C【解析】86AD AB BC CD =++=--u u u r u u u r u u u r u u u r a b ，2AD BC ∴=u u u r u u u r，AD BC ∴∥，AB CD ∥，四边形是梯形，答案选C ．10．在中，为的重心，为上一点，且满足3MC AM =u u u u r u u u u r ，则（ ）A ．11312GM AB AC =+u u u u r u u u r u u u rB ．11312GM AB AC =--u u u u r u u ur u u u r C ．17312GM AB AC =-+u u u u r u u ur u u u r D ．17312GM AB AC =-u u u u r u u u r u u u r【答案】B【解析】由题意，画出几何图形如下图所示：根据向量加法运算可得GM GA AM=+u u u u r u u u r u u u u r，因为G为△ABC的重心，M满足3MC AM=u u u u r u u u u r，所以()()211323AG AB AC AB AC=⨯+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，14AM AC=u u u u r u u u r，所以11111334312GM AB AC AC AB AC⎛⎫=-++=--⎪⎝⎭u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，所以选B．11．如图所示，设为所在平面内的一点，并且1142AP AB AC=+u u u r u u u r u u u r，则与的面积之比等于（）A．25B．35C．34D．14【答案】D【解析】延长AP交BC于点D，因为A、P、D三点共线，所以()1CP mCA nCD m n=++=u u u r u u u r u u u r，设CD kCB=u u u r u u u r，代入可得CP mCA nkCB=+u u u r u u u r u u u r，即()()1AP AC mAC nk AB AC AP m nk AC nk AB-=-+-⇒=--+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u v，又因为1142AP AB AC=+u u u r u u u r u u u r，即14nk=，112m nk--=，且，解得1344m n==，，所以1344CP CA CD=+u u u r u u u r u u u r，可得4AD PD=u u u r u u u r，因为与有相同的底边，所以面积之比就等于DPu u u r与ADu u u r之比，所以与的面积之比为14．故选D ． 12．已知向量a ，b 满足4=a ，b 在a 上投影为，则3-a b 的最小值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】b 在a 上投影为，即cos ,2=-b a b ，0>Q b ，cos ,0∴<a b ，又[)cos ,1,0∈-a b ，min 2∴=b ，2222223696cos ,9964-=-⋅+=-+=+a b a a b b a a b a b b b ，min 3946410∴-=⨯+=a b ，本题正确选项B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若向量(1,2)x =+a 和向量(1,2)=-b 垂直，则-=a b _______． 【答案】5【解析】Q 向量()1,2x =+a 和向量()1,2=-b 垂直，140x ∴⋅=+-=a b ，解得3x =，()3,4∴-=a b ，9165∴-=+=a b ，本题正确结果5．14．已知向量()2,3=a ，(,6)m =-b ，若⊥a b ，则m =________． 【答案】9【解析】因为⊥a b ，所以(2,3)(,6)2180m m ⋅=⋅-=-=a b ，解得m =9，故填9．15．已知向量3)=a ，向量b 为单位向量，且1⋅=a b ，则2-b a 与2b 夹角为__________． 【答案】60︒【解析】很明显132=+=a ，设向量,a b 的夹角为θ，则21cos 1θ⋅=⨯⨯=a b ，1cos 2θ∴=，π3θ=， 据此有()()22224242-⋅=-⋅=-=b a b b a b ， 且22==-=b a ，22=b ，向量2-b a 与2b 的夹角为β，则21cos 222β==⨯，60β=︒， 综上可得：2-b a 与2b 夹角为60︒．16．在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，若点P 满足PA PB PC ++=0u u u r u u u r u u u r，则OP u u u r＝_____．【答案】12x x【解析】因为PA PB PC ++=0u u u r u u u r u u u r，所以P 为ABC △的重心，故P 的坐标为123123,33++++⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,2，故OP =u u u r ．填12x x ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知向量(1,2)=a ，(3,4)=-b ． （1）求3-a b 的值；（2）若()λ⊥+a a b ，求λ的值．【答案】（1）3-=a b ；（2）1λ=-．【解析】（1）因为向量(1,2)=a ，(3,4)=-b ，则3(6,2)-=a b ，则3-==a b ．（2）因为向量(1,2)=a ，(3,4)=-b ，则(13,24)λλλ+=-+a b ， 若()λ⊥+a a b ，则()1(13)2(24)550λλλλ⋅+=⨯-+⨯+=+=a a b ， 解得1λ=-．18．（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，M 为DC 的中点，13BN BC =u u u r u u u r ，设AB =u u u r a ，AD =u u u rb ．（1）用向量,a b 表示向量AM u u u u r ，AN u u u r ，MN u u u u r；（2）若2=a ，3=b ，a 与b 的夹角为π3，求AM MN ⋅u u u u r u u u u r 的值．【答案】（1）见解析；（2）92-． 【解析】（1）因为在平行四边形ABCD 中，M 为DC 的中点，13BN BC =u u u r u u u r，又AB =u u u r a ，AD =u u u rb ，故1122AM AD DM AD AB ===+++u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r a b ，1133AN AB BN AB AD ===+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b ，11123223MN AN AM ⎛⎫⎛⎫-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭=⎝=⎭u u u u r u u u r u u u u r a b a a b b ．（2）2211212192234362AM MN ⎛⎫⎛⎫+⋅-=-⋅=- ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝=⎭+u u u u r u u u u r a b a a b a b b ，故答案为92-． 19．（12分）如图，点是单位圆与轴正半轴的交点，34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）若，求的值；（2）设点为单位圆上的一个动点，点满足OQ OA OP =+u u u r u u u r u u u r．若，π6π2θ≤≤， 表示OQ u u u r ，并求OQ u u u r的最大值．【答案】（1）15；（2）． 【解析】（1）点是单位圆与轴正半轴的交点，34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．可得4sin 5α=，3cos 5α=-，∴341cos sin 555αα+=-+=． （2）因为，，所以()1cos2,sin 2OQ OA OP θθ=+=+u u u r u u u r u u u r，所以()221cos 2sin 222cos 22cos OQ θθθθ=++=+=u u u r ，因为π6π2θ≤≤，所以2cos 0,3OQ θ⎡⎤=∈⎣⎦u u u r ，OQ u u u r的最大值．20．（12分）设向量()()()11,cos22,14sin 1sin,12θθ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，，，，a b c d ，其中4π0,θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）求⋅-⋅a b c d 的取值范围； （2）若函数，比较()f ⋅a b 与()f ⋅c d 的大小． 【答案】（1）；（2）()()f f ⋅>⋅a b c d ．【解析】（1）∵2cos2θ⋅=+a b ，22sin 12cos2θθ⋅=+=-c d ，∴2cos2θ⋅-⋅=a b c d ， ∵0π4θ<<，∴0π22θ<<，∴，∴()0,2⋅-⋅的取值范围是a b c d ．（2）∵()22cos211cos22cos f θθθ⋅=+-=+=a b ，()22cos211cos22sin f θθθ⋅=--=-=c d ， ∴()()()222cos sin 2cos2f f θθθ⋅-⋅=-=a b c d ， ∵0π4θ<<，∴0π22θ<<，∴，∴()()f f ⋅>⋅a b c d ． 21．（12分）在中，三内角的对边分别为，已知向量()2sin ,cos2x x =m ，()3cos ,1x =n ，函数()f x =⋅m n 且．（1）求角的值；（2）若23BA BC +=u ur u uu u r 且成等差数列，求．【答案】（1）π3B =；（2）2． 【解析】（1）()23sin cos cos23sin2cos2f x x x x x x =⋅=+=+m n ， 整理得()2sin 2π6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭， ∵，∴12sin 21si 62ππn 26B B ⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵，∴π3B =． （2）由成等差数列，得，由余弦定理得，由23BA BC +=u ur u uu u r ，得，三个等式联立解得．22．（12分）如图，在平行四边形中，分别是上的点，且满足，记AB =u u u ra ，AD =u u u rb ，试以,a b 为平面向量的一组基底．利用向量的有关知识解决下列问题．（1）用,a b 来表示向量DE u u u r ，BF uuu r；（2）若，且3BF =u u u r，求．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）∵在中，2DF FC =u u u r u u u r，∴111222DE DC CE AB CB AB AD =+=+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u v a b ，111333BF BC CF AD CD AD AB =+=+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r b a ．（2）由（1）可知：13BF AD AB =-u u u r u u u r u u u r ，12DE AB AD =-u u u r u u u r u u u r，∴2222121·339BF AD AB AD AD AB AB ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∵且，∴(222213223cos 339BAD ∠=-⨯⨯⨯+⨯，∴1cos 2BAD ∠=，∴222211·24DE AB AD AB AB AD AD ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2211332cos 2961742BAD =-⨯⨯∠+⨯=-⨯+=，∴7DE =u u u r第6单元 平面向量第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设向量(1,2)=-a ，(2,1)x =-b ，若∥a b ，则x =（ ） A ．12B ．14C ．4D ．2【答案】B【解析】因为向量(1,2)=-a ，(2,1)x =-b ， 若∥a b ，则1(1)220x -⨯--⨯=，解得14x =，故选B ． 2．已知向量(5,)m =a ，(2,2)=-b ，若()-⊥a b b ，则m =（ ） A ．1- B ．1C ．2D ．2-【答案】B【解析】因为(5,)m =a ，(2,2)=-b ，所以(3,2)m -=+a b ，又()-⊥a b b ，所以()0-⋅=a b b ，即322(2)0m ⨯-+=，解得1m =． 故选B ．3．平面向量a 与b 的夹角为60︒，||2||1==a b ，则|2|+=a b （ ）A B ．12C ．4D ．【答案】D【解析】由题意可得|2|+==a b===D ． 4．设非零向量a ，b 满足+=-a b a b ，则（ ） A ．⊥a b B ．=a bC ．∥a bD ．>a b【答案】A【解析】由题意知：22+=-a b a b ，即222222+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ， 整理得0⋅=a b ，∴⊥a b ，本题正确选项A ．5．已知6=a ，3=b ，12⋅=-a b ，则向量a 在b 方向上的投影为（ ） A ．4 B ．4-C ．2-D ．2【答案】B【解析】由题意得：122cos ,633⋅-<>===-⋅⨯a b a b a b ， 向量a 在b 方向上的投影为2cos ,643⎛⎫<>=⨯-=- ⎪⎝⎭a ab ，本题正确选项B ．6．向量(2,)t =a ，(1,3)=-b ，若a ，b 的夹角为钝角，则t 的范围是（ ） A ．23t <B ．23t >C ．23t <且6t ≠- D ．6t <-【答案】C【解析】若a ，b 的夹角为钝角，则0⋅<a b 且不反向共线，230t ⋅=-+<a b ，得23t <． 向量(2,)t =a ，(1,3)=-b 共线时，23t ⨯=-，得6t =-．此时2=-a b ． 所以23t <且6t ≠-．故选C ． 7．如图，边长为2的正方形ABCD 中，点E 是线段BD 上靠近D 的三等分点，F 是线段BD 的中点，则AF CE ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．4-B ．3-C ．6-D ．2-【答案】D【解析】因为1122AF AD AB =+u u u r u u u r u u u r，11213333CE CD DE AB AD AB AB AD =+=--+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以221121111()()422233632AF CE AD AB AB AD AD AB ⋅=+⋅--=--=-⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．故选D ． 8．已知的面积为2，在所在的平面内有两点、，满足PA PC +=0u u u r u u u r ，2QA BQ =u u u r u u u r，则的面积为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】C【解析】由题意PA PC +=0u u u r u u u r 可知，P 为AC 的中点，2QA BQ =u u u r u u u r，可知Q 为AB 的一个三等分点，如图：因为1sin 22ABC S AB AC A =⋅=△， 所以11122sin sin 22233APQ S AP AQ A AB AC A =⋅=⨯⋅=△．故选B ． 9．已知中，为的重心，则AG GC ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．6718 B ．6718-C ．269D ．269-【答案】A 【解析】因为中，为的重心，所以，由余弦定理可得2221cos 24AB BC AC B AB BC +-==-⋅， 且()13AG AC AB =+u u u r u u u r u u u r ，()13GC AC BC =+u u u r u u u r u u u r， 所以()()19AG GC AC AB AC BC ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()2221199AC AC AB AC BC AB BC AC AC AB BC =+⋅+⋅+⋅=++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r ()221674432cos 918B ⎡⎤=++⨯⨯-=⎣⎦． 10．已知向量()cos 2,sin θθ=-a ，其中，则a 的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．D ．3【答案】A【解析】因为()cos 2,sin θθ=-a ， 所以()22cos 2sin 14cos 454cos θθθθ=-+=-+=-a ，因为，所以，故a 的最小值为．故选A ．11．已知平面向量OA u u u r ，OB uuu r 满足1OA OB ==u u u r u u u r，0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，且12OD DA =u u u r u u u r ，为的外心，则ED OB ⋅=u u u r u u u r（ ） A ．12-B ．16-C ．16D ．12【答案】A【解析】0OA OB OA OB ⋅=⇒⊥u u u r u u u r u u u r u u u r，又1OA OB ==u u u r u u u r，OAB ∴△为等腰直角三角形，为的外心，为中点，1222OE AB ∴==u u u r u u u r 且，12OD DA =Q u u u r u u u r ，13OD OA ∴=u u u r u u u r，()1221cos 32ED OB OD OE OB OA OB OE OB OE OB BOE ∴⋅=-⋅=⋅-⋅=-∠=-⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u u r r u u u r ．本题正确选项A ． 12．在中，，2BA BC BA ⋅=u u u r u u u r u u u r ，点是所在平面内的一点，则当222PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r 取得最小值时，AP BC ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．35B ．C ．D ．25-【答案】B【解析】2|cos |BA BC BA BC B BA ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，cos BC B BA ∴⋅=u u u r u u u r，CA AB ∴⊥u u u r u u u r ，π2CAB ∠=，以A 为坐标原点建如图所示的平面直角坐标系，则，设，则()()22222222263PA PB PC x y x y x y ++=++-+++-u u u r u u u r u u u r，所以当x =2，y =1时222PA PB PC ++u u u r u u u r u u u r 取最小值，此时()()2,16,39AP BC ⋅=⋅-=-u u u r u u u r．故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量2=a ，1=b ，且a 与b 的夹角为45︒，则a 在b 方向上的投影为_____． 2【解析】由向量数量积的几何意义可得，a 在b 方向上的投影为cos ,2cos452=︒=a a b 2．14．已知两个单位向量a ，b ，满足3-=a b ，则a 与b 的夹角为_______．【答案】2π3【解析】由题意知：1==a b ，3∴-=a b ，()222222cos ,3∴-=-⋅+=-<>=a b a a b b a b ，1cos ,2∴<>=-a b ，2π,3∴<>=a b ，本题正确结果2π3．15．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在直线CD 上，若2AB AF ⋅=u u u r u u u r，则AE BF =⋅u u u r u u u r______．【答案】2【解析】在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，可以以AB uuu r ，AD u u u r的方向为,x y 轴的正方向的直角坐标系，如下图所示：所以(0,0)A ，2,0)B ，2,2)C ，(0,2)D ，点E 为BC 的中点，故(2,1)E ，设(,2)F x ，2,(2,0)(,2)21AB AF x x ⋅=⇒⋅==u u u r u u u r， (1,2)F ∴，2,1)(12,2)2(12)+12AE BF ⨯⋅=⋅=u u u r u u u r16．在平行四边形ABCD 中，已知1AB =，2AD =，60BAD ∠=︒，若CE ED =u u u r u u u r ，2DF FB =u u u r u u u r，则AE AF ⋅=u u u r u u u r__________．【答案】52【解析】由题意，如图所示，设AB =u u u r a ，AD =u u u rb ，则1=a ，2=b ，又由CE ED =u u u r u u u r ，2DF FB =u u u r u u u r，所以E 为CD 的中点，F 为BD 的三等分点，则12AE =+u u u r b a ，221()333AF =+-=+u u u r b a b a b ，所以22121151233363AE AF ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r a b a b a a b b221515112cos6023632=⨯+⨯⨯︒+⨯=．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）设,t k ∈R ，已知(1,2)=a ，(2,1)=-b ，(2)t =++m a b ，k t =+n a b ． （1）若1t =，且∥m n ，求k 的值； （2）若5⋅=m n ，求证：2k ≤． 【答案】（1）13k =；（2）见证明． 【解析】（1）当12yx t =+时，3(5,5)=+=-m a b ，(2,21)k k k =+=-+n a b ， ∵∥m n ，∴5(2)5(21)k k -=-+，解得13k =． （2）[](2)()t k t ⋅=++⋅+m n a b a b 22(2)(2)k t k t t t =+⋅++⋅++a a b a b b 55(2)k t t =++，∵5⋅=m n ，∴55(2)5k t t ++=，∴2221(1)22k t t t =--+=-++≤． 18．（12分）如图，已知正三角形的边长为1，设AB =u u u r a ，AC =u u u rb ．（1）若是的中点，用,a b 分别表示向量CB u u u r ，CD uuu r；（2）求2+a b ；（3）求2+a b 与32-+a b 的夹角．【答案】（1）CB =-u u u ra b ，12CD =-u u u r a b ；（2）；（3）120︒．【解析】（1）CB AB AC =-=-u u u r u u u r u u u ra b ，1122CD AD AC AB AC =-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r a b ．（2）由题意知，1==a b ，且,60〈〉=︒a b ，则2222224444cos ,4217+=+⋅+=+〈〉+=++=a b a a b b a a b a b b ， 所以2=7+a b ．（3）与（2）解法相同，可得32=7-+a b ， 设2+a b 与32-+a b 的夹角为，则()()2272326212cos 232232277θ-+⋅-+-+⋅+====-+-++-+⨯a b a b a a b b a b a b a b a b ， 因为，所以2+a b 与32-+a b 的夹角为120︒．19．（12分）设是单位圆和轴正半轴的交点，是圆上两点，为坐标原点，π4AOP ∠=，，2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）当π6x =时，求OP OQ ⋅u u u r u u u r 的值；（2）设函数()sin2f x OP OQ x =⋅+u u u r u u u r，求的值域．【答案】（1）624+；（2）2,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）由题意得：62cos ,cos cos cos sin sin 464πππ646π4ππOP OQ +⎛⎫=-=+= ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，62cos ,4OP OQ OP OQ OP OQ +∴⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．（2）()22sin2co πs sin2cos sin 2sin cos 422f x OP OQ x x x x x x x =⋅+=-+=++u u u r u u u r ，设sin cos 2sin π4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则，又2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则3π,44ππ4x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1,2t ⎡⎤∴∈⎣⎦，()2212f t t t ∴=+-，，当时，()()min 212f t f ==；当时，，的值域为2,22⎤⎥⎣⎦． 20．（12分）已知向量cos,sin 22x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭a ，33cos ,sin 22x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭b ，且,ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． （1）求⋅a b 以及+a b 的取值范围；（2）记函数()2f x λ=⋅-+a b a b ，若的最小值为32-，求实数的值． 【答案】（1）见解析；（2）12λ=． 【解析】（1）易得33coscos sin sin cos22222x x x xx ⋅=-=a b ． 因为222233||cos cos sin sin 22cos 24cos 2222x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a b ，又,ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以，所以[]2cos 0,2x +=-∈a b ．（2）依题意，得()22cos24cos 2cos 4cos 1f x x x x x λλλ=⋅-+=+=+-a b a b ． 令，由（1）知，，则有．①当，即时，有()()min 312412g t g λ=-=--=-， 解得58λ=，此与矛盾；②当，即时，有()()2min 3212g t g λλ=-=--=-， 解得12λ=（12λ=-舍）； ③当，即，有，此与题设不符．综上所述，所求实数12λ=． 21．（12分）已知平面向量2sin 2,26πx ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭m ，()21,sin x =n ，()f x =⋅m n ，其中2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． （1）求函数的单调增区间；（2）设的内角，，的对边长分别为，，，若12B f ⎛⎫=⎪⎝⎭，，，求的值．21【答案】（1）增区间为π,3π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）的值为或． 【解析】（1）()2π2sin 22sin 6f x x x ⎛⎫=⋅=-+- ⎪⎝⎭m n ()2sin2cos cos2sin 1cos26ππ6x x x ⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭13cos2sin21cos 21223πx x x ⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭， 由π2ππ22π,3k x k k -≤+≤∈Z ，得2πππ,36πk x k k -≤≤-∈Z ， 又∵2π0,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴函数的增区间为π,3π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）由12B f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得cos 03πB ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 又因为，所以ππ4π333B <+<，从而2ππ3B +=，即π6B =． 因为，，所以由正弦定理sin sin b c B C =，得sin 3sin 2c B C b ==， 故π3C =或2π3， 当π3C =时，π2A =，从而； 当2π3C =时，π6A =，又π6B =，从而，综上的值为或．22．（12分）如图，在四边形中，2CD BO =u u u r u u u r ，2OA AD =u u u r u u u r ，，且1BO AD ==u u u r u u u r ．22 （1）用,OA OB u u u r u u u r 表示CB u u u r ；（2）点在线段上，且，求的值．【答案】（1）32CB OA OB =--u u u r u u u r u u u r ；（2）25cos 5PCB ∠=． 【解析】（1）因为2OA AD =u u u r u u u r ，所以32DO AO =u u u r u u u r ． 因为2CD BO =u u u r u u u r ，所以33=++222CB CD DO OB BO AO OB OA OB =++=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ． （2）因为2CD BO =u u u r u u u r ，所以OB CD ∥．因为2OA AD =u u u r u u u r ，所以点共线． 因为，所以．以为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 因为1BO AD ==u u u r u u u r ，2CD BO =u u u r u u u r ，2OA AD =u u u r u u u r ，所以，所以()1,2AC =u u u r ，()2,1AB =-u u u r ．因为点在线段上，且，所以121,333AP AB ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ， 所以55,33CP AP AC ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ． 因为()3,1CB =--u u u r ，所以55253cos 52103CP CB PCB CP CB ∠+⋅===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r。
山东高考数学一轮总复习教学案设计参考-平面向量的概念及线性运算含答案解析
第1讲平面向量的概念及线性运算[考纲解读] 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示．2．掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．(重点)3．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一般不直接考查．预测2021年高考中，平面向量的线性运算是考查的热点，常以客观题的形式呈现，属中、低档试题.1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量向量的模向量a的□01大小，也就是表示向量a的有向线段AB→的□02长度(或称模)□03|a|或□04|AB→| 零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作□050单位向量长度等于1个单位的向量与非零向量a共线的单位向量为±a|a|平行向量方向□06相同或□07相反的非零向量0与任一向量□08平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度□09相等且方向□10相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度□11相等且方向□12相反的向量0的相反向量为0向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝□01b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝□02a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝□03|λ||a|；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向□04相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向□05相反；当λ＝0时，λa＝□060λ(μa)＝□07λμa；(λ＋μ)a＝□08λa＋μa；λ(a＋b)＝□09λa＋λb 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得□01b＝λa.1．概念辨析(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．()(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(3)向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．() (4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．()答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)下列命题正确的是()A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若|a|>|b|，则a>bC ．若a ＝b ，则a ∥bD ．若|a |＝0，则a ＝0答案 C解析 A 错误，模相等，方向相同的向量才是相等向量；B 错误，向量不能比较大小；C 正确，若a ＝b ，则a 与b 方向相同，故a ∥b ；D 错误，若|a |＝0，则a ＝0.(2)设a ，b 是不共线的两个向量，已知BA →＝a ＋2b ，BC →＝4a －4b ，CD →＝－a ＋2b ，则( )A ．A ，B ，D 三点共线 B ．A ，C ，D 三点共线 C ．A ，B ，C 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线答案 B解析 因为BA→＝a ＋2b ，所以AB →＝－a －2b ，所以AC →＝AB →＋BC →＝(－a －2b )＋(4a －4b )＝3a －6b ＝－3(－a ＋2b )＝－3CD →.所以AC →∥CD →，所以A ，C ，D 三点共线．(3)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC→＝________(用a ，b 表示)．答案 b －a －a －b解析 因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以DC→＝AB →，OC →＝－OA →＝－a ， 所以DC→＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ， BC→＝OC →－OB →＝－a －b .题型 一 平面向量的基本概念1．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 D解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.2．下列叙述错误的是________(填序号)．①已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向与向量a 的方向相同； ②|a |＋|b |＝|a ＋b |⇔a 与b 方向相同；③向量b 与向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ； ④AB→＋BA →＝0； ⑤若λa ＝λb ，则a ＝b . 答案 ②③④⑤解析 对于①，当a 和b 方向相同，则它们的和的方向应该与a (或b )的方向相同；当a 和b 方向相反，而a 的模大于b 的模，则它们的和的方向与a 的方向相同．对于②，当a ，b 之一为零向量时结论不成立．对于③，当a ＝0且b ＝0时，λ有无数个值；当a ＝0但b ≠0时，λ不存在． 对于④，由于两个向量之和仍是一个向量，所以AB→＋BA →＝0.对于⑤，当λ＝0时，无论a 与b 的大小与方向如何，都有λa ＝λb ，此时不一定有a ＝b .故②③④⑤均错误．有关平面向量概念的六个注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a 与a |a |的关系：a |a |是与a 同方向的单位向量，－a|a |是与a 反方向的单位向量．(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．(6)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．1.给出下列说法：①若A ，B ，C ，D 是不共线的四个点，则AB→＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA→相等；④若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .其中正确说法的序号是( ) A.①④ B ．③④ C ．②③ D ．①②答案 A解析 ①④正确；②错误，因为a ，b 的方向不一定相同；③错误，AB →＝－BA →.2.下列命题中，正确的个数是( )①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ②若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； ③若λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． A.0 B ．1 C ．2 D ．3答案 A解析 ①错误，如在▱ABCD 中，AD→＝BC →，但是这两个向量的起点和终点分别不重合；②错误，模相等的两个向量，方向关系不确定；③错误，若λa ＝0(λ为实数)，则λ＝0或a ＝0；④错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，但a 与b 不一定共线.题型 二 向量的线性运算1.下列四个结论： ①AB→＋BC →＋CA →＝0； ②AB→＋MB →＋BO →＋OM →＝0；③AB →－AC →＋BD →－CD →＝0； ④NQ→＋QP →＋MN →－MP →＝0. 其中一定正确的结论个数是( ) A.1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 ①正确；②错误，AB→＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋BO →＋OM →＋MB →＝AB →≠0；③正确，AB →－AC →＋BD →－CD →＝(AB →－AC →)＋(BD →＋DC →)＝CB →＋BC →＝0；④正确，NQ →＋QP→＋MN →－MP →＝(NQ →＋QP →)＋(MN →－MP →)＝NP →＋PN →＝0. 2.(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( )A.34AB →－14AC →B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC → 答案 A解析 根据向量的运算法则，可得EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－14(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.3.在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足2CE →＋BE →＝0，则AE →＝________(用A B →，C D →表示)．答案 23 AB →－23 CD →解析 因为D 为AB 的中点， 所以CD →＝CA →＋AD →＝－AC →＋12AB →，所以AC →＝12AB →－CD →. 又因为2CE→＋BE →＝0，所以2(AE→－AC →)＋(AE →－AB →)＝0，所以3AE→＝2AC →＋AB →， 所以AE→＝23AC →＋13AB → ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →－CD →＋13AB →＝23AB →－23CD →.1.平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2.向量线性运算的两个常用结论(1)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，则AD→＝12(AC →＋AB →)，如举例说明2. (2)O 为△ABC 的重心的充要条件是OA→＋OB →＋OC →＝0.1.在△ABC 中，若点D 满足CD →＝2DB →，点M 为AC 的中点，则MD →＝( )A.23AB →－16AC →B.13AB →－16AC →C.23AB →－13AC →D.23AB →＋16AC →答案 A解析 MD→＝MC →＋CD →＝12AC →＋23CB →＝12AC →＋23(AB →－AC →)＝23AB →－16AC →. 2．(2019·衡水模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且AE→＝2EO →，则ED →＝( )A.13AD →－23AB →B.23AD →＋13AB →C.23AD →－13AB →D.13AD →＋23AB →答案 C解析 因为AE→＝2EO →，所以AE →＝23AO →，又因为AO →＝12AC →，所以EA →＝－13AC →，所以ED→＝EA →＋AD →＝－13AC →＋AD →＝－13(AD →＋AB →)＋AD →＝23AD →－13AB →.题型 三 共线向量定理的应用角度1 证明向量共线或三点共线1.已知平面内一点P 及△ABC ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则点P 与△ABC 的位置关系是( )A.点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C.点P 在线段AC 上 D ．点P 在△ABC 外部答案 C解析 因为P A →＋PB →＋PC →＝AB →＝PB →－P A →，所以PC →＝－2P A →，所以A ，P ，C 三点共线，且P 是线段AC 的三等分点(靠近A ).角度2 由向量共线求参数的值2．(2019·安徽合肥一中高考模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且AM→＝45AB →，连接AC ，MN 交于点P ，若AP →＝411AC →，则点N 在AD 上的位置为( )A.AD 中点B.AD 上靠近点D 的三等分点C.AD 上靠近点D 的四等分点D.AD 上靠近点D 的五等分点 答案 B解析 设AD →＝λAN →，因为AP →＝411AC →＝411(AB →＋AD →)＝411⎝ ⎛⎭⎪⎫54AM →＋λAN →＝511AM →＋4λ11AN →，又M ，N ，P 三点共线，所以511＋4λ11＝1，解得λ＝32，所以AN →＝23AD →，所以点N 在AD 上靠近点D 的三等分点.求解向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．如举例说明2.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(4)直线的向量式参数方程，A ，P ，B 三点共线⇔OP →＝(1－t )OA →＋tOB →(O 为平面内任一点，t ∈R )．OA→＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.1.在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A.矩形 B ．平行四边形 C.梯形 D ．以上都不对答案 C解析 AD→＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC→，所以AD ∥BC ，且AD ≠BC ，所以四边形ABCD 是梯形.2.设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e1－e 2.(1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值． 解 (1)证明：由已知得BD →＝CD →－CB →＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB →＝2e 1－8e 2， ∴AB→＝2BD →. 又A B →与B D →有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可知BD →＝e 1－4e 2， ∵BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴BF→＝λBD →(λ∈R )， 即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2， ∴⎩⎨⎧λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12.组 基础关1.设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( ) A.a ＝2b B ．a ∥b C.a ＝－13b D ．a ·b ＝0答案 C解析 使a |a |＋b|b |＝0成立，需向量a 与b 反向．故选C.2.已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 反向共线，则实数λ的值为( )A.1 B ．－12 C.1或－12D ．－1或－12答案 B解析 由于c 与d 反向共线，则存在实数k 使c ＝k d (k <0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]．整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎨⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又k <0，所以λ<0，故λ＝－12.3.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA→，则( ) A.点P 在线段AB 上B.点P 在线段AB 的反向延长线上C.点P 在线段AB 的延长线上D.点P 不在直线AB 上 答案 B解析 因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.4.已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP →＝( )A.λ(AB→＋AD →)，λ∈(0,1) B.λ(AB→＋BC →)，λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C.λ(AB→－AD →)，λ∈(0,1)D.λ(AB→－BC →)，λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 答案 A解析 根据向量的平行四边形法则，得AC→＝AB →＋AD →.因为点P 在对角线AC上(不包括端点A ，C )，所以AP →与AC →共线，所以AP →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)，λ∈(0,1)，故选A.5.(2019·湖北省“四地七市”联考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa ＋b 与c 共线，则实数λ＝( )A.－2 B ．－1 C.1 D ．2答案 D解析 由图可知2a ＋b ＝c ，若向量λa ＋b 与c 共线，则λ＝2.故选D. 6．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝π2，AC ＝2AB ，∠BAC 的平分线交△ABC的外接圆于点D .设AB→＝a ，AC →＝b ，则向量AD →＝( )A.a ＋bB.12a ＋b C.a ＋12bD ．a ＋23b答案 C解析 由题意知，AC 为△ABC 的外接圆的直径．设△ABC 的外接圆圆心为O ，如图，连接OD ，BD ，则AB ＝OA ＝OD .又易得AB ∥OD ，所以四边形ABDO 是平行四边形，所以AD→＝AB →＋AO →＝AB →＋12AC →＝a ＋12b .故选C.7．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2DC ，E 为BC 边上一点，BC →＝3EC→，F 为AE 的中点，则BF →＝( )A.23AB →－13AD →B.13AB →－23AD →C.－23AB →＋13AD → D ．－13AB →＋23AD →答案 C解析 BF→＝BA →＋AF →＝BA →＋12AE →＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋CE →＝－AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →＋13CB →＝－AB →＋12AD →＋14AB →＋16(CD →＋DA →＋AB →)＝－23AB →＋13AD →. 8.(2019·河南三市联考)若AP→＝12PB →，AB →＝(λ＋1)BP →，则λ＝________.答案 －52解析 ∵AP→＝12PB →，∴AP →＋PB →＝AB →＝32PB →＝－32BP →.∴λ＋1＝－32，λ＝－52.9.给出下列四个命题：①若a ＋b 与a －b 是共线向量，则a 与b 也是共线向量； ②若|a |－|b |＝|a －b |，则a 与b 是共线向量； ③若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 是共线向量；④若||a |－|b ||＝|a |＋|b |，则b 与任何向量都共线． 其中是真命题的有________(填上序号)． 答案 ①②③解析 ①由向量的平行四边形法则可知，若a ＋b 与a －b 是共线向量，则必有a 与b 也是共线向量，所以①是真命题；②若|a |－|b |＝|a －b |，则a 与b 同向，或b 是零向量，或a ，b 均为零向量，所以a 与b 是共线向量，所以②是真命题；③若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 方向相反，或a ，b 中至少有一个零向量，所以a 与b 是共线向量，所以③是真命题；④当a 是零向量，b 是非零向量时，||a |－|b ||＝|a |＋|b |成立，而b 不能与任何向量都共线，所以④是假命题.10.(2019·青岛质检)已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC→＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD→＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0. 其中正确命题的序号为________．答案 ②③④解析 AD→＝CD →－CA →＝－12BC →－CA →＝－12a －b ，所以①错误；BE →＝BC →＋CE →＝BC→＋12CA →＝a ＋12b ，故②正确；CF →＝12(CA →＋CB →)＝12(b －a )＝－12a ＋12b ，故③正确；综上知AD→＋BE →＋CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋12b ＝0，故④正确. 组 能力关1.已知点O 为△ABC 的外接圆的圆心，且OA →＋OB →－OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于( )A.30° B ．60° C ．90° D ．120°答案 A解析 因为OA→＋OB →－OC →＝0，所以OC →＝OA →＋OB →.所以四边形OACB 是平行四边形，又因为|OA→|＝|OB →|＝|OC →|，所以四边形OACB 是菱形，△OAC 是等边三角形．所以∠BAC ＝12∠OAC ＝30°.2.在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC→＝3CD →，点O 在线段CD上(与点C ，D 不重合)，若AO→＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 答案 D解析 设CO →＝yBC →，∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →.∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，∵AO→＝xAB →＋(1－x )AC →，∴x ＝－y ，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.3.点O 是△ABC 内一点，满足条件OA →＝2BO →＋3CO →，延长BO 交AC 于点D ，则S △CODS △AOD的值为( ) A.23 B.13 C.12 D.34答案 B解析 解法一：如图(1)，分别取BC ，AC 的中点为E ，F ，连接EF .∵OA →＝2BO→＋3CO →，∴OA →－CO →＝2(BO →＋CO →)，即OA →＋OC →＝－2(OB →＋OC →)，∴2OF →＝－2·2OE→，∴OF →＝－2OE →.故O 在△ABC 的中位线EF 上，且OF ＝2OE .过点E 作EH ∥CD ，交BD 于点H ，则H 为BD 的中点，EH ＝12CD ＝12DF ，因此CD ＝DF ，CD ∶AD ＝1∶3，∴S △COD S △AOD＝CD AD ＝13.故选B.解法二：∵OA →＋2OB →＋3OC →＝0，令2OB →＝OB ′→，3OC →＝OC ′→，∴OA →＋OB ′→＋OC ′→＝0，∴O 是△AB ′C ′的重心，如图(2)，延长B ′O 交AC ′于点F ，则AF ＝FC ′.过点C 作CE ∥AC ′，交BF 于点E ，∴CD AD ＝CE AF ＝CE C ′F ＝OC OC ′＝13，∴S △COD S △AOD ＝CD AD ＝13.故选B.4．在平面向量中有如下定理：设点O ，P ，Q ，R 为同一平面内的点，则P ，Q ，R 三点共线的充要条件是：存在实数t ，使OP→＝(1－t )OQ →＋tOR →.试利用该定理解答下列问题：如图，在△ABC 中，点E 为AB 边的中点，点F 在AC 边上，且CF ＝2F A ，BF 交CE 于点M ，设AM →＝xAE →＋yAF →，则x ＋y ＝________.答案 75解析 因为B ，M ，F 三点共线，所以存在实数t ，使得AM →＝(1－t )·AB →＋tAF →，又AB→＝2AE →，AF →＝13AC →，所以AM →＝2(1－t )AE →＋13tAC →.又E ，M ，C 三点共线，所以2(1－t )＋13t ＝1，得t ＝35.所以AM→＝2(1－t )AE →＋tAF →＝45AE →＋35AF →，所以x ＝45，y ＝35，所以x ＋y ＝75.。
高三数学平面向量一轮复习
第七章 平面向量1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念． 2．掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律．3．掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件．4．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．6．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式．向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介． 主要考查：1．平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则． 2．向量的坐标运算及应用．3．向量和其它数学知识的结合．如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用． 4．正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明．第1课时 向量的概念与几何运算1．向量的有关概念⑴ 既有 又有 的量叫向量．的向量叫零向量． 的向量，叫单位向量．⑵ 叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量 ． ⑶ 且 的向量叫相等向量． 2．向量的加法与减法⑴ 求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按 法则或 法则进行．加法满足 律和 律．⑵ 求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 ． 3．实数与向量的积⑴ 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ．它的长度与方向规定如下： ① | λa |＝ ．② 当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向 ； 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向 ； 当λ＝0时，λa ． ⑵ λ(μa )＝ ． (λ＋μ)a ＝ ．λ(a ＋b )＝ ．⑶ 共线定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得 ． 4．⑴ 平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使得 ． ⑵ 设1e 、2e 是一组基底，a ＝2111e y e x +，b ＝2212e y e x +，则a 与b 共线的充要条件是 ．例1．已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点．设aAB =，bAC=，求BE ．解：BE ＝AE －AB ＝41(AB ＋AC )－AB ＝－43a＋41b变式训练1.如图所示，D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量CD 等于（ ） A ．－BC ＋BA21 B ．－BC －BA21C ．BC －BA21 D ．BC ＋BA21解:A例2. 已知向量2132e e a -=，2132e e b +=，2192e e c -=，其中1e 、2e 不共线，求实数λ、μ，使ba c μλ+=．解:c ＝λa ＋μb⇒21e －92e ＝(2λ＋2μ)1e ＋(－3λ＋3μ)2e ⇒2λ＋2μ＝2，且－3λ＋3μ＝－9⇒λ＝2，且μ＝－1变式训练2：已知平行四边形ABCD 的对角线相交于O 点，点P 为平面上任意一点，求证：POPD PC PB PA 4=+++证明 PA ＋PC ＝2PO ，PB ＋PD ＝2PO ⇒PA ＋PB ＋PC ＋PD ＝4PO例3. 已知ABCD 是一个梯形，AB 、CD 是梯形的两底边，且AB ＝2CD ，M 、N 分别是DC和AB 的中点，若aAB =，bAD=，试用a、b表示BC 和MN ．解：连NC ，则b AD NC==ba CN AB CN MC MN -=+=+=4141；ab NB NC BC21-=-=变式训练3：如图所示，OADB 是以向量OA ＝a ，OB ＝b 为邻边的平行四边形，又BM ＝31BC，CN＝31CD ，试用a 、b 表示OM ，ON ，MN ．解:OM ＝61a＋65b，ON ＝32a＋32b，MN＝21a－61b例4. 设a ，b 是两个不共线向量，若a 与b 起点相同，t ∈R ，t 为何值时，a ，t b ，31(a ＋b )三向量的终点在一条直线上？ 解：设])(31[b a a b t a +-=-λ(λ∈R)化简整理得：0)31()132(=-+-b t a λλ∵不共线与b a ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-2123030132t t λλλ故21=t时，)(31,,b a b t a +三向量的向量的终点在一直线上．变式训练4：已知,,,,OA a OB b OC c OD d OE e =====，设t R ∈，如果3,2,a c b d ==()e t a b =+，那么t 为何值时，,,C D E 三点在一条直线上？解：由题设知，23,(3)C D d c b a C E e c t a tb =-=-=-=-+，,,C D E 三点在一条 直线上的充要条件是存在实数k ，使得C E k C D =，即(3)32t a tb k a k b -+=-+， 整理得(33)(2)t k a k t b -+=-. ①若,a b 共线，则t 可为任意实数；②若,ab 不共线，则有33020t k t k -+=⎧⎨-=⎩，解之得，65t =.综上，,ab 共线时，则t 可为任意实数；,ab 不共线时，65t =.的证明．2．注意O 与O 的区别．零向量与任一向量平行．3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB ∥CD ，需证AB ∥CD ，且AB 与CD 不共线．要证A 、B 、C 三点共线，则证AB ∥AC 即可．4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点．第2课时 平面向量的坐标运算1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a ＝xi＋yj．我们把(x 、y)叫做向量a 的直角坐标，记作 ．并且|a |＝ ．2．向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系． 3．平面向量的坐标运算：若a ＝(x 1、y 1)，b ＝(x 2、y 2)，λ∈R ，则： a ＋b ＝ a －b ＝ λa ＝已知A(x 1、y 1)，B(x 2、y 2)，则AB ＝ ．4．两个向量a ＝(x 1、y 1)和b ＝(x 2、y 2)共线的充要条件是 ． 例1.已知点A （2，3），B （－1，5），且AC ＝31AB，求点C 的坐标．解AC ＝31AB＝(－1，32)，OC ＝ACOA+＝(1,311)，即C(1, 311)变式训练1.若(2,8)O A =，(7,2)O B =-，则31A B = .解: (3,2)--提示：(9,6)AB O B O A =-=-- 例2. 已知向量a ＝(cos 2α，sin2α)，b ＝(cos2β，sin 2β)，|a －b |＝552，求cos(α－β)的值．解:|a －b |＝55222552=--⇒)cos(βα2cos 22552βα--⇒＝55222552=--⇒)cos(βα⇒cos2βα-＝53⇒cos(α－β)＝257-变式训练2.已知a －2b ＝(－3，1)，2a ＋b ＝(－1，2)，求a ＋b ．解a＝(－1，1)，b ＝(1，0)，∴a ＋b ＝(0，1)例3. 已知向量a ＝(1, 2)，b ＝(x, 1)，1e ＝a ＋2b ，2e ＝2a －b ，且1e ∥2e ，求x ． 解:1e ＝(1＋2x ，4)，2e ＝(2－x ，3)，1e ∥2e ⇒3(1＋2x)＝4(2－x)⇒x ＝21变式训练3.设a ＝(ksinθ, 1)，b ＝(2－cosθ, 1) (0 <θ<π)，a ∥b ，求证：k≥3．证明: k ＝θθsin cos 2- ∴k －3＝θπθsin )3cos(22--≥0 ∴k≥3例4. 在平行四边形ABCD 中，A(1，1)，AB ＝(6，0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ．(1) 若AD ＝(3，5)，求点C 的坐标； (2) 当|AB |＝|AD |时，求点P 的轨迹． 解：(1)设点C 的坐标为(x 0，y 0)，)5,1()5,9()0,6()5,3(00--==+=+=y x DB AD AC得x 0＝10 y 0＝6 即点C(10，6) (2) ∵ADAB=∴点D 的轨迹为(x －1)2＋(y －1)2＝36 (y ≠1)∵M 为AB 的中点∴P 分BD 的比为21设P(x ，y)，由B(7，1) 则D(3x －14，3y －2) ∴点P 的轨迹方程为)1(4)1()5(22≠=-+-y y x变式训练4.在直角坐标系x 、y 中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC |＝2，求OC 的坐标．解 已知A (0，1)，B (－3，4) 设C (0，5)， D (－3，9)则四边形OBDC 为菱形 ∴∠AOB 的角平分线是菱形OBDC 的对角线OD ∵2103==OCOD∴)5103,510(1032-==OD OC1．认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．2．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算．第3课时 平面向量的数量积1．两个向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，过O 点作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°) 叫做向量a 与b 的 ．当θ＝0°时，a 与b ；当θ＝180°时，a 与b；如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作 ．2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝ ．规定零向量与任一向量的数量积为0．若a ＝(x 1, y 1)，b ＝(x 2, y 2)，则a ·b ＝ ． 3．向量的数量积的几何意义：|b |cosθ叫做向量b 在a 方向上的投影 (θ是向量a 与b 的夹角)．a·b 的几何意义是，数量a ·b 等于 ． 4．向量数量积的性质：设a 、b 都是非零向量，e 是单位向量，θ是a 与b 的夹角． ⑴ e ·a ＝a ·e ＝ ⑵a⊥b⇔⑶ 当a 与b 同向时，a ·b ＝ ；当a 与b 反向时，a ·b ＝ ． ⑷ cosθ＝ ．⑸ |a ·b |≤ 5．向量数量积的运算律： ⑴a·b ＝ ； ⑵ (λa )·b ＝ ＝a ·(λb ) ⑶ (a ＋b )·c ＝例1. 已知|a |＝4，|b |＝5，且a 与b 的夹角为60°，求：(2a ＋3b )·(3a －2b )． 解:(2a ＋3b )(3a －2b )＝－4变式训练1.已知|a |＝3，|b |＝4，|a ＋b |＝5，求|2a －3b |的值． 解:56例2. 已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－22πθπ<<．(1) 若a ⊥b ，求θ；(2) 求|a ＋b |的最大值． 解：(1)若b a ⊥，则0cos sin =+θθ即1tan -=θ而)2,2(ππθ-∈，所以4πθ-=(2))4sin(223)cos (sin 23πθθθ++=++=+b a当4πθ=时，ba +的最大值为12+变式训练2：已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中0αβπ<<<．(1)求证：a b + 与a b -互相垂直；(2)若ka →+→b 与a k →-→b 的长度相等，求βα-的值(k 为非零的常数)． 证明：222222()()(cos sin )(cos sin )0a b a b a b ααββ+⋅-=-=+-+=a b ∴+ 与a b -互相垂直（2）k a →+(cos cos ,sin sin )b k k αβαβ→=++,a k →-(cos cos ,sin sin )b k k αβαβ→=--,21k a b k →+=+21a kb k →-=+,=cos()0βα-=，2πβα-=例3. 已知O 是△ABC 所在平面内一点，且满足(OB －OC )·(OB ＋OC －2OA )＝0，判断△ABC 是哪类三角形．解:设BC 的中点为D ，则(OCOB -)(OAOC OB2-+)＝0⇒2BC ·AD ＝0⇒BC ⊥AD ⇒△ABC 是等腰三角形变式训练3：若(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，则△ABC 的形状是 .解: 直角三角形.提示：(1,1),(3,3),0,AB AC AB AC AB AC ==-⋅=⊥ 例4. 已知向量m ＝(cosθ, sinθ)和n ＝(2－sinθ, cosθ) θ∈(π, 2π)且|n m +|＝528，求cos(82πθ+)的值.解:n m +＝(cos θ－sin θ＋2, cos θ＋sin θ)由已知(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2＝25128化简：cos 257)4(=+πθ又cos225162)4cos(1)82(=++=+πθπθ∵θ∈(π, 2π) ∴cos 25162)4cos(1)82(=++=+παπθ<0 ∴cos 25162)4cos(1)82(=++=+παπθ＝－54变式训练4.平面向量13(3,1),(,)22a b =-=，若存在不同时为0的实数k 和t ，使2(3)xa tb =+-,,y ka tb =-+且x y ⊥，试求函数关系式()k f t =.解：由13(3,1),(,22a b =-=得0,||2,||1a b a b ⋅===22222[(3)]()0,(3)(3)0a t b k a tb k a t a b k t a b t t b +-⋅-+=-+⋅--⋅+-=33311(3),()(3)44k t t f t t t =-=-角度等问题．因此充分挖掘题目所包含的几何意义，往往能得出巧妙的解法．2．注意a ·b 与ab 的区别．a ·b ＝0≠＞a ＝0，或b ＝0． 3．应根据定义找两个向量的夹角。
平面向量 高三 一轮复习(完整版)
题记：向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为高中数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．一、平面向量的概念及其线性运算 【例1】判断下列命题的真假：1、有向线段就是向量，向量就是有向线段；2、非零向量a 与非零向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；3、向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； 4、若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；5、若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；6、对于任意向量|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，则a ＝b ；7、由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行；8、起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；9、向量与的长度相等；10、两个相等向量若起点相同，则终点必相同； 11、只有零向量的模等于0； 12、共线的单位向量都相等； 13、向量与是两平行向量；14、与任一向量都平行的向量为向量； 15、若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形；16、设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍；17、在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆； 18、凡模相等且平行的两向量均相等；19、与共线的等价条件可以是存在一个实数λ，使=λ或=λ；20、设,,是任意的非零平面向量且互不共线，则a b a b +>+21、下列命题中：其中正确的是_____________① →→→→→→→⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(；② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；③ 2()a b →→-2||a →=22||||||a b b →→→-⋅+； ④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→b ；⑤若,a b c b ⋅=⋅ 则a c =⑥22a a = ；⑦2a b ba a⋅=； ⑧222()a b a b ⋅=⋅ ； ⑨222()2a b a a b b -=-⋅+二、平面向量平行定理（共线定理）（1）若//(0)a b b ≠⇒（2）若a b λ=共线定理作用（1） （2）【例2】设两个非零向量a 与b不共线,（1）若,28,3().AB a b BC a b CD a b =+=+=-求证：A..B.D 三点共线;（2） 试确定实数k,使ka b + 和a kb +共线。
高三数学一轮专题复习----平面向量的概念与线性运算（有详细答案）
⾼三数学⼀轮专题复习----平⾯向量的概念与线性运算（有详细答案）平⾯向量的概念与线性运算1. (必修4P 63练习第1题改编)如图在平⾏四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE →＝________．答案：b －12a解析：BE →＝BA →＋AD →＋12DC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a.2. (必修4P 65例4改编)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满⾜BD →＝2DC →，则AD →＝________．(⽤b 、c 表⽰)答案：23b ＋13c解析：因为BD →＝2DC →，所以AD →－AB →＝2(AC →－AD →)，即3AD →＝AB →＋2AC →＝c ＋2b ，故AD →＝23b ＋13c . 3. (必修4P 63练习第6题改编)设四边形ABCD 中，有12DC →＝AB →且|AD →|＝||BC →，则这个四边形是________．答案：等腰梯形解析：AB →＝12DC →AB →∥DC →，且|AB →|＝12|DC →|，∴ ABCD 为梯形．⼜|AD →|＝|BC →|，∴四边形ABCD 的形状为等腰梯形．4. (必修4P 66练习第2题改编)设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b .若A 、B 、D 三点共线，则实数p ＝________．答案：－1解析：∵ BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，⼜A 、B 、D 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即?2＝2λ，p ＝－λ，∴ p ＝－1.1. 向量的有关概念(1) 向量：既有⼤⼩⼜有⽅向的量叫做向量，向量AB →的⼤⼩叫做向量的长度(或模)，记作|AB →|.(2) 零向量：长度为0的向量叫做零向量，其⽅向是任意的． (3) 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．(4) 平⾏向量：⽅向相同或相反的⾮零向量叫做平⾏向量．平⾏向量⼜称为共线向量，任⼀组平⾏向量都可以移到同⼀直线上．规定：0与任⼀向量平⾏．(5) 相等向量：长度相等且⽅向相同的向量叫做相等向量．(6) 相反向量：与向量a 长度相等且⽅向相反的向量叫做a 的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．2. 向量加法与减法运算 (1) 向量的加法①定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．②法则：三⾓形法则；平⾏四边形法则．③运算律：a ＋b ＝b ＋a ；(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． (2) 向量的减法①定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．②法则：三⾓形法则．3. 向量的数乘运算及其⼏何意义(1) 实数λ与向量a 的积是⼀个向量，记作λa ，它的长度与⽅向规定如下：① |λa |＝|λ||a|；②当λ>0时，λa 与a 的⽅向相同；当λ<0时，λa 与a 的⽅向相反；当λ＝0时，λa ＝0.(2) 运算律：设λ、µ∈R ，则：①λ(µa )＝(λµ)a ；② (λ＋µ)a ＝λa ＋µa ；③λ(a ＋b )＝λa ＋λb ．4. 向量共线定理向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有⼀个实数λ，使得b ＝λa ．[备课札记]题型1 平⾯向量的基本概念例1 给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点构成平⾏四边形；④在ABCD 中，⼀定有AB →＝DC →；⑤若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中错误的命题有________．(填序号) 答案：①②③⑥解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不⼀定有相同的起点和终点，故①不正确；|a |＝|b |，由于a 与b ⽅向不确定，所以a 、b 不⼀定相等，故②不正确；AB →＝DC →，可能有A 、B 、C 、D 在⼀条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任⼀向量平⾏，故a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a 与c 不⼀定平⾏，故⑥不正确．备选变式（教师专享）设a 0为单位向量，①若a 为平⾯内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平⾏，则a ＝|a |·a 0；③若a 与a 0平⾏且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题个数是________．答案：3解析：向量是既有⼤⼩⼜有⽅向的量，a 与|a |a 0模相同，但⽅向不⼀定相同，故①是假命题；若a 与a 0平⾏，则a 与a 0⽅向有两种情况：⼀是同向，⼆是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②、③也是假命题，填3.题型2 向量的线性表⽰例2 平⾏四边形OADB 的对⾓线交点为C ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，OA →＝a ，OB →＝b ，⽤a 、b 表⽰OM →、ON →、MN →.解：BA →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .OD →＝a ＋b ，ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b .MN →＝ON →－OM →＝12a －16b .变式训练在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试⽤a ，b 表⽰AG →.解：AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ2(BA →＋BC →)＝1－λ2AB →＋λ2(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ2b . ⼜AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋mCF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)＝(1－m)AC →＋m 2AB →＝m2a ＋(1－m)b ，∴ 1－λ＝m2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴ AG →＝13a ＋13b .题型3 共线向量例3 设两个⾮零向量a 与b 不共线．(1) 若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2) 试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1) 证明：∵ AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，∴ BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴ AB →，BD →共线．⼜它们有公共点B ，∴ A 、B 、D 三点共线． (2) 解：∵ k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b .⼜a 、b 是两不共线的⾮零向量，∴ k －λ＝λk －1＝0. ∴ k 2－1＝0.∴ k ＝±1. 备选变式（教师专享）已知a 、b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋µb (λ、µ∈R )，当A 、B 、C 三点共线时λ、µ满⾜的条件为________．答案：λµ＝1解析：由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋µb (λ、µ∈R )及A 、B 、C 三点共线得AB →＝tAC →，所以λa＋b ＝t(a ＋µb )＝t a ＋tµb ，即可得?λ＝t ，1＝tµ，所以λµ＝1.题型4 向量共线的应⽤例4 如图所⽰，设O 是△ABC 内部⼀点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的⾯积之⽐为________．答案：12解析：如图所⽰，设M 是AC 的中点，则 OA →＋OC →＝2OM →. ⼜OA →＋OC →＝－2OB →，∴ OM →＝－OB →，即O 是BM 的中点，∴ S △AOB ＝S △AOM ＝12S △AOC ，即S △AOB S △AOC ＝12. 备选变式（教师专享）如图，△ABC 中，在AC 上取⼀点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取⼀点M ，使得AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解：∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋CN →)＝12BC →， QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，⼜∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.1. 如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →＝________．(⽤向量a 和b 表⽰)答案：23a ＋13b解析：因为AC →＝AD →＋DC →＝AD →＋12AB →＝a ＋12b ，⼜AB →＝2DC →，所以AO →＝23AC →＝23a ＋12b ＝23a ＋13b . 2. (2013·四川)如图，在平⾏四边形ABCD 中，对⾓线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．答案：2解析：AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，则λ＝2.3. (2013·江苏)设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23DC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．答案：12解析：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →＝λ1AB →＋λ2AC →，故λ1＝－16，λ2＝23，则λ1＋λ2＝12.4. 已知点P 在△ABC 所在的平⾯内，若2PA →＋3PB →＋4PC →＝3AB →，则△PAB 与△PBC 的⾯积的⽐值为__________．答案：45解析：由2PA →＋3PB →＋4PC →＝3AB →，得2PA →＋4PC →＝3AB →＋3BP →，∴ 2PA →＋4PC →＝3AP →，即4PC →＝5AP →.∴ |AP →||PC →|＝45，S △PAB S △PBC ＝|AP →||PC →|＝45.1. 在平⾏四边形ABCD 中，对⾓线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．答案：2解析：因为四边形ABCD 为平⾏四边形，对⾓线AC 与BD 交于点O ，所以AB →＋AD →＝AC →，⼜O 为AC 的中点，所以AC →＝2AO →，所以AB →＋AD →＝2AO →，因为AB →＋AD →＝λAO →，所以λ＝2.2. 已知平⾯内O ，A ，B ，C 四点，其中A ，B ，C 三点共线，且OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y ＝________．答案：1解析：∵ A ，B ，C 三点共线，∴ AC →＝λAB →，即OC →－OA →＝λOB →－λOA →，∴ OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →，即x ＝1－λ，y ＝λ，∴ x ＋y ＝1.3. 设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB→＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．答案：12解析：易知DE ＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＋λ2＝12.4. 已知点G 是△ABO 的重⼼，M 是AB 边的中点． (1) 求GA →＋GB →＋GO →；(2) 若PQ 过△ABO 的重⼼G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n ＝3.(1) 解：因为GA →＋GB →＝2GM →，⼜2GM →＝－GO →，所以GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2) 证明：因为OM →＝12(a ＋b )，且G 是△ABO 的重⼼，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．由P 、G 、Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以有且只有⼀个实数λ，使PG →＝λGQ →.⼜PG →＝OG →－OP →＝13(a＋b )－m a ＝13－m a ＋13b ，GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋n －13b ，所以13－m a ＋13b ＝λ－13a ＋n －13b . ⼜a 、b 不共线，所以?13－m ＝－13λ，13＝λn －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n＝3.1. 解决与平⾯向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平⾯向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满⾜：①模相等；②⽅向相同．2. 在进⾏向量线性运算时要尽可能转化到平⾏四边形或三⾓形中，运⽤平⾏四边形法则、三⾓形法则，利⽤三⾓形中位线，相似三⾓形对应边成⽐例得平⾯⼏何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．3. 平⾏向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利⽤两向量共线证明三点共线要强调有⼀个公共点．。
平面向量高考一轮总复习完整版(含全部知识点习题)
第一课时 向量的基本概念及基本运算C【知识要点】1．向量的基本概念（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的模 （2）特定大小或关系的向量①零向量：模为0的向量，记作→0，其方向是任意的②单位向量：模为1个单位长度的向量 ③共线向量（平行向量）：方向相同或相反的非零向量。
规定：零向量与任何向量共线 ④相等向量：模长相等且方向相同的向量⑤相反向量：模长相等但方向相反的向量。
规定：零向量的相反向量是它本身 2．向量的表示法①字母表示法：如小写字母a , b , c 等，或AB ，CD 等 ②几何表示法：用一条有向线段表示 ③代数表示法：即向量的坐标表示法1．向量的加法、减法（1）法则：平行四边形法则、三角形法则 （2）运算律：交换律、结合律 （3）几何意义：2．向量的数乘（实数与向量的积） （1）定义与法则：（2）运算律：交换律、结合律、分配律 1．共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得λ=2．平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数221121,,e e a λλλλ+=使3．三点共线定理：平面上三点A 、B 、C 共线的充要条件是：存在实数βα,，使得βα+=，其中1=+βα ，O 为平面上任意一点4．①平面内有任意三点O 、A 、B ，若M 是线段AB 的中点，则()+=21②ABC ∆中，M 为BC 边的中点，G 为重心，则=++，=++ ③向量加法的多边形法则 【自主练习】1． 以下命题中，正确命题的序号是 （1=，则b a = （2）b a b a =则都是单位向量若,, （3）===则若,,（4）==则,//（5）若四边形ABCD 是平行四边形，则==,2．已知直线a y x =+与圆422=+y x 交于AB两点，且-=+。
其中O 为坐标原点，则实数a 的值为3．已知向量,53=-=+=，则= 4．已知()-=+-=+=3,82,5 ，则（ ） A. 点A 、B 、D 共线 B. 点A 、B 、C 共线 C. 点B 、C 、D 共线 D. 点A 、C 、D 共线 【典例解析】例1．对于非零向量b a ,，“=+”是“//”的（ ）A. 充分非必要B. 必要不充分C. 充要条件D.既不充分也不必要知识突破：如图，四边形ABCD ，其中A. 与B. 与C. DB AC 与D. OB DO 与例2．如图所示，D 、E 是△ABC 中AB ，AC 边的中点， M 、N 分别是DE ，BC 的中点。
高考数学真题专题分类汇编专题七 平面向量(教师版)
专题七平面向量与解三角形真题卷题号考点考向2023新课标1卷3 向量的数量积向量数量积的坐标运算17 解三角形正、余弦定理解三角形2023新课标2卷13 向量的数量积利用向量数量积求模长17 解三角形解三角形的综合应用2022新高考1卷3 平面向量的线性运算向量的加减及数乘运算18 解三角形正弦定理变形、三角恒等变形2022新高考2卷4 向量的数量积向量数量积的坐标运算18 解三角形正余弦定理解三角形2021新高考1卷10 向量的坐标运算求向量的模、向量数量积的坐标运算19 解三角形正、余弦定理解三角形2021新高考2卷15 向量的数量积向量数量积的运算18 解三角形正弦定理解三角形、余弦定理判断三角形的形状2020新高考1卷7 向量的数量积求向量数量积的取值范围17 解三角形正、余弦定理解三角形2020新高考2卷3 向量的线性运算向量的加、减法运算17 解三角形正、余弦定理解三角形【2023年真题】1.（2023·新课标I 卷 第3题）已知向量(1,1)a = ，(1,1).b=− 若()()a b a b λµ+⊥+，则( ) A. 1λµ+=B.1λµ+=− C. 1λµ= D. 1λµ=−【答案】D 【解析】 【分析】本题考查向量的数量积运算，结合向量垂直，向量的数量积为0，为较易题. 【解答】解：22()()()()2(1)0a b a b a a b b λµλµλµλµ+⋅+=++⋅+=+=，所以1;λµ=−故选.D2. （2023·新课标II 卷 第13题）已知向量a ，b 满足||a b − |||2|a b a b +=− ，则||b = __________【答案】【解析】 【分析】本题考查向量模及向量数量积的运算，属于基础题． 将两等式分别平方，然后化简计算即可． 【解答】 解：将原式平方：化简可得：即23b =，故||b =3. （2023·新课标I 卷 第17题）已知在ABC 中，3A B C +=，2sin()sin .A C B −=(1)求sin A ；(2)设5AB =，求AB 边上的高.【答案】解：(1)3A B C +=，3C C π∴−=，解得.4C π=2sin()sin A C B ∴−=可化为2sin()sin()44A A πππ−=−−，即32sin()sin()44A A ππ−=−，A A A A=，整理得sin3cosA A=，将1cos sin3A A=代入22sin cos1A A+=，得210sin19A=，29sin10A∴=，sin A=(2)由(1)知sin A=，1cos sin3A A==4Cπ=，又sin sinAC ABB C=，sinsinAB BACC∴==AB∴边上的高sin 6.h AC A===【解析】本题考查了三角恒等变换与解三角形的相关知识，属于中等题.(1)根据题意，结合A B Cπ++=可直接求出C，再将C代入2sin()sinA C B−=进行恒等变换得sin3cosA A=，最后再结合同角三角函数的基本关系即可求解；(2)结合三角恒等变换、正弦定理，分别求出sin B和AC，即可得AB边上的高sinAC A的值.4.（2023·新课标II卷第17题）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC，D为BC的中点，且 1.AD=(1)若3ADCπ∠=，求tan B；(2)若228b c+=，求b，.c【答案】解：(1)ABCS=，D为BC的中点，ADCS∴11sin122AD CD ADC CD⋅⋅∠=××=，解得2CD=，则 2.BD=过点A作AE CD⊥于点E，则在ADE中，AE=12DE=，∴在Rt AEB中，52BE BD DE=+=，tanAEBBE==(2) 在ABC 中，1()2AD AB AC =+，222222111||()(||||2)(2cos )444AD AB AC AB AC AB AC c b bc A ∴=+=++⋅=++ ，11(82cos )4bc A ∴=+，即cos 2bc A =−，又1sin 2ABC S bc A == ，sin bc A ∴，sintancos bc A Abc A ∴==23A π∴=，sin A =， 4.bc =再将4b c=代入228b c +=，即可解得 2.b c == 【解析】本题考查了解三角形的综合应用，属于中等题.(1)结合三角形面积和中点关系进行求解；(2)观察题目所给条件，结合中线的向量表示和三角形面积进行求解.【2022年真题】5.（2022·新高考I 卷 第3题）在ABC 中，点D 在边AB 上，2.BD DA =记CA m = ，CD n = ，则CB =( ) A. 32m n −B. 23m n −+C. 32m n +D. 23m n +【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查向量的加减及数乘运算，属于基础题. 【解答】解：2133CD CA CB =+ ，3223.CB CD CA m n =−=−+6.（2022·新高考II 卷 第4题）已知向量(3,4)a = ，(1,0)b = ，c a tb =+ ，若,,a c b c <>=<> ，则实数t =( ) A. 6− B. 5−C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了向量的坐标运算和夹角运算，属于基础题。
高考数学复习 专题07 平面向量(解析版)
专题07平面向量考纲解读三年高考分析1.平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景.(2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义.(3)理解向量的几何表示.2.向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.3.平面向量的基本定理及坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义.(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.4.平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义.(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系.(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.平面向量基本定理和向量的坐标运算是考查的重点，解题时常用到等价转化的数学思想和数形结合的数学思想，考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力，题型以选择填空题为主，中等难度. 1、主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理常与三角函数、解析几何交汇考查，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现.2、主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系．一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.3、主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、数乘向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性．一般以选择题、填空题形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题.1．【2019年全国新课标2理科03】已知（2，3），（3，t），||＝1，则•（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3【解答】解：∵（2，3），（3，t），∴（1，t﹣3），∵||＝1，∴t﹣3＝0即（1，0），则• 2故选：C．2．【2019年新课标1理科07】已知非零向量，满足||＝2||，且（）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：∵（）⊥，∴，∴，∵，∴．故选：B．3．【2019年北京理科07】设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“||＞||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：点A，B，C不共线，“与的夹角为锐角”⇒“||＞||”，“||＞||”⇒“与的夹角为锐角”，∴设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“||＞||”的充分必要条件．故选：C．4．【2018年新课标1理科06】在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，（），故选：A．5．【2018年新课标2理科04】已知向量，满足||＝1，1，则•（2）＝（）A．4 B．3 C．2 D．0【解答】解：向量，满足||＝1，1，则•（2）＝22+1＝3，故选：B．6．【2018年浙江09】已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足4•3＝0，则||的最小值是（）A． 1 B． 1 C．2 D．2【解答】解：由4•3＝0，得，∴（）⊥（），如图，不妨设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y（x＞0）上．不妨以y为例，则||的最小值是（2，0）到直线的距离减1．即．故选：A．7．【2018年北京理科06】设，均为单位向量，则“|3|＝|3|”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵“|3|＝|3|”∴平方得||2+9||2﹣6•9||2+||2+6•，即1+9﹣6•9+1+6•，即12•0，则•0，即⊥，则“|3|＝|3|”是“⊥”的充要条件，故选：C．8．【2018年天津理科08】如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD ＝1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A．B．C．D．3【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，∴AN＝AB cos60°，BN＝AB sin60°，∴DN＝1，∴BM，∴CM＝MB tan30°，∴DC＝DM+MC，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴（﹣1，m），（，m），0≤m，∴m2m＝（m）2（m）2，当m时，取得最小值为．故选：A．9．【2017年新课标2理科12】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（）的最小值是（）A．﹣2 B．C．D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P（x，y），则（﹣x，y），（﹣1﹣x，﹣y），（1﹣x，﹣y），则•（）＝2x2﹣2y+2y2＝2[x2+（y）2]∴当x＝0，y时，取得最小值2×（），故选：B．10．【2017年新课标3理科12】在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若λμ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2C．D．2【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC＝2，CD＝1，∴BD∴BC•CD BD•r，∴r，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵λμ，∴（cosθ+1，sinθ+2）＝λ（1，0）+μ（0，2）＝（λ，2μ），∴cosθ+1＝λ，sinθ+2＝2μ，∴λ+μcosθsinθ+2＝sin（θ+φ）+2，其中tanφ＝2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选：A．11．【2017年浙江10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD 交于点O，记I1•，I2•，I3•，则（）A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3【解答】解：∵AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，∴AC＝2，∴∠AOB＝∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0••，•0，即I3＜I1＜I2，故选：C．12．【2017年北京理科06】设，为非零向量，则“存在负数λ，使得λ”是“•0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：，为非零向量，存在负数λ，使得λ，则向量，共线且方向相反，可得•0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足•0，而λ不成立．∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得λ”是•0”的充分不必要条件．故选：A．13．【2019年天津理科14】在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则•．【解答】解：∵AE＝BE，AD∥BC，∠A＝30°，∴在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°，又AB＝2，∴AE＝2，∴，∵，∴又，∴•＝﹣125×2＝﹣1故答案为：﹣1．14．【2019年新课标3理科13】已知，为单位向量，且•0，若2，则cos，．【解答】解：22，∵（2）2＝4459，∴||＝3，∴cos，．故答案为：15．【2019年江苏12】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•6•，则的值是．【解答】解：设λ（），μμ（）＝（1﹣μ）μμ∴，∴，∴（），，6•6（）×（）（），∵•，∴，∴3，∴．故答案为：16．【2019年浙江17】已知正方形ABCD的边长为1．当每个λi（i＝1，2，3，4，5，6）取遍±1时，|λ1λ2λ3λ4λ5λ6|的最小值是，最大值是．【解答】解：正方形ABCD的边长为1，可得，，•0，|λ1λ2λ3λ4λ5λ6|＝|λ1λ2λ3λ4λ5λ5λ6λ6|＝|（λ1﹣λ3+λ5﹣λ6）（λ2﹣λ4+λ5+λ6）|，由于λi（i＝1，2，3，4，5，6）取遍±1，可得λ1﹣λ3+λ5﹣λ6＝0，λ2﹣λ4+λ5+λ6＝0，可取λ5＝λ6＝1，λ1＝λ3＝1，λ2＝﹣1，λ4＝1，可得所求最小值为0；由λ1﹣λ3+λ5﹣λ6，λ2﹣λ4+λ5+λ6的最大值为4，可取λ2＝1，λ4＝﹣1，λ5＝λ6＝1，λ1＝1，λ3＝﹣1，可得所求最大值为2．故答案为：0，2．17．【2018年江苏12】在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若0，则点A的横坐标为．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）＝0．联立，解得D（1，2）．∴．解得：a＝3或a＝﹣1．又a＞0，∴a＝3．即A的横坐标为3．故答案为：3．18．【2018年新课标3理科13】已知向量（1，2），（2，﹣2），（1，λ）．若∥（2），则λ＝．【解答】解：∵向量（1，2），（2，﹣2），∴（4，2），∵（1，λ），∥（2），∴，解得λ．故答案为：．19．【2018年上海08】在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（2，0），E、F是y轴上的两个动点，且||＝2，则的最小值为．【解答】解：根据题意，设E（0，a），F（0，b）；∴；∴a＝b+2，或b＝a+2；且；∴；当a＝b+2时，；∵b2+2b﹣2的最小值为；∴的最小值为﹣3，同理求出b＝a+2时，的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．20．【2017年江苏12】如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα＝7，与的夹角为45°．若m n（m，n∈R），则m+n＝．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα＝7．∴cosα，sinα．∴C．cos（α+45°）（cosα﹣sinα）．sin（α+45°）（sinα+cosα）．∴B．∵m n（m，n∈R），∴m n，0n，解得n，m．则m+n＝3．故答案为：3．21．【2017年新课标1理科13】已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，则|2|＝．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝1，∴4•4＝22+4×2×1×cos60°+4×12＝12，∴|2|＝2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形2；在△OAC中，由余弦定理得||2，即|2|＝2．故答案为：2．22．【2017年浙江15】已知向量、满足||＝1，||＝2，则||+||的最小值是，最大值是．【解答】解：记∠AOB＝α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：||，||，令x，y，则x2+y2＝10（x、y≥1），其图象为一段圆弧MN，如图，令z＝x+y，则y＝﹣x+z，则直线y＝﹣x+z过M、N时z最小为z min＝1+3＝3+1＝4，当直线y＝﹣x+z与圆弧MN相切时z最大，由平面几何知识易知z max即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的倍，所以z max．综上所述，||+||的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．23．【2017年天津理科13】在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2．若2，λ（λ∈R），且4，则λ的值为．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，2，∴（），又λ（λ∈R），∴（）•（λ）＝（λ）•λ＝（λ）×3×2×cos60°32λ×22＝﹣4，∴λ＝1，解得λ．故答案为：．1．【山东省聊城市2019届高三三模】在正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AE AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的值为（ ） A ．12-B ．12C ．1-D ．1【答案】B 【解析】由题得1111111122222222AE AD AC BC AC AC AB AC AB AC =+=+=-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ,11,1,22λμλμ∴=-=∴+=.故选：B2．【江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟】已知向量a r与b r 的夹角为120︒，3a =r，||13a b +=rr，则||b =r（ ） A ．1B ．3C ．4D ．5【答案】C 【解析】解：根据条件，222||2a b a a b b +=+⋅+r r r r r r 293||||13b b =-+=r r ；∴解得4b =r，或1-（舍去）．故选C ．3．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校际联合】已知1a =r ，2b =r ()a ab ⊥-r r r ，则向量a r 在b r方向上的正射影的数量为（ ）A ．1B 2C ．12D ．22【答案】D 【解析】由()a a b ⊥-r r r 得()0a a b ⋅-=r r r ，所以1a b a a ⋅=⋅=r r r r，所以向量a r 在b r方向上的正射影的数量为2cos ,22a b a a b b⋅===r rr r r r ，故选D.4．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟】已知P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足()BP BC R λλ=∈u u u r u u u r ，若2AB =u u u r ，则()AP AB AC u u u v u u u v u u u v⋅+=（ ）A ．23B ．3C ．6D ．与λ有关的数值【答案】C 【解析】如图：以BC 中点为坐标原点O ，以BC 方向为x 轴正方向，OA 方向为y 轴正方向，建立平面直角坐标系，因为2AB =u u u r ，则3AO =u u u r因为P 为等边三角形ABC 所在平面内的一个动点，满足()BP BC R λλ=∈u u u r u u u r， 所以点P 在直线BC ，所以AP uu u r 在AO uuur 方向上的投影为AO u u u v ，因此2()226AP AB AC AO AP AO ⋅+=⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .故选C5．【北京市朝阳区2019届高三第二次（5月)综合练习】已知平面向量,a b r r 的夹角为23π，且1,2a b ==r r ，则a b +=r r（ ）A ．3B ．3C ．7D ．7【答案】B 【解析】22221||||||2||||cos 14212332a b a b a b π⎛⎫+=++=++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭r r r r r r ,所以a b +=r r3故选:B.6．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测】如图，已知等腰梯形ABCD 中，24,5,AB DC AD BC E ====是DC 的中点，P 是线段BC 上的动点，则EP BP ⋅u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．95- B ．0C ．45-D ．1【答案】A 【解析】由等腰梯形的知识可知5cos B = 设BP x =，则5CP x =，∴2565·()?··1?·((5)?·(1)55EP BP EC CP BP EC BP CP BP x x x x x u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v =+=+=-+-=-，05x Q 剟∴当35x =时，·EP BP u u u v u u u v 取得最小值95-．故选：A ．7．【广东省2019届高三适应性考试】已知ABC ∆，点M 是边BC 的中点，若点O 满足230OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则（ ）A ．0OM BC •=u u u u r u u u rB ．0OM AB •=u u u u r u u u rC ．//OM BC u u u u r u u u rD ．//OM AB u u u u r u u u r【答案】D 【解析】点M 是边BC 的中点，可得2OM OB OC =+u u u u r u u u r u u u r，230OA OB OC u u u r u u u r u u u r r ++=，可得OA OC ++u u u r u u u r 2（OB OC +u u u r u u u r）23OA OB OA +=-+u u u r u u u ru u u r 40OM =u u u u r r ，即2（OA OB u u u r u u u r -）+120OM =u u u u r r ， 可得AB =u u u r6OM u u u u r ， 即OM u u u u r ∥AB u u u r ，故选：D ．8．【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试】已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，则BD CD ⋅=u u u r u u u r（）A ．4B ．6C ．23D ．3【答案】B 【解析】 如图所示，菱形形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，∴120C ∠=︒，∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=， ∴23BD =30BDC ∠=︒，∴|||3302|326BD CD BD CD cos =⨯⨯︒==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r， 故选B ．9．【山东省临沂市2019年普通高考模拟考试】在ABC ∆中，AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r，2AB =，1AC =，E ，F 为AB 的三等分点，则CE CF u u u v u u u v⋅=（ ）A ．89B ．109C ．179D ．259【答案】C 【解析】因为AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以22AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，化为AB AC 0⋅=uu u r uu u r，因为2AB =，1AC =，所以224,1AB AC ==u u u r u u u r ，又因为E ，F 为AB 的三等分点，所以()()E C CF CA AE CA AF ⋅=+⋅+uu r uu u r uu r uu u r uu r uu u r1233CA AB CA AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r2229CA AB CA AB =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r21714099=+⨯+=，故选C.10．【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三)】在ABC ∆中，90A ∠=︒，1AB =，2AC =，设点D 、E 满足AD AB λ=u u u r u u u r ，(1)AE λ=-u u u r ()AC R λ∈u u u r ，若5BE CD ⋅=u u u r u u u r，则λ=（ ）A ．13- B ．2 C ．95D ．3【答案】D 【解析】因为90A ∠=︒，则•0AB AC =u u u r u u u r，所以()()BE CD AE AB AD AC •=-•-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22[(1)]()(1)4(1)34AC AB AB AC AC AB λλλλλλλ=--•-=---=---=-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .由已知，345λ-=，则3λ=. 选D .11．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试】在平行四边形ABCD 中，113,2,,D,32AB AD AP AB AQ A ====uu u r uu u r uuu r uuu r 若CP C 12,Q ⋅=uu r uu u r则ADC ∠=( )A ．56πB ．34π C ．23π D ．2π【答案】C 【解析】如图所示,平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==,11,32AP AB AQ AD ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，23CP CB BP AD AB ∴=+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，12CQ CD DQ AB AD =+=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,因为12CP CQ ⋅=u u u r u u u r,所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22214323AB AD AB AD =++⋅u u ur u u u r u u u r u u u r222143232cos 12323BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=, 1cos 2BAD ∠=，,3BAD π∴∠= 所以233ADC πππ∠=-=，故选C. 12．【广东省2019届高考适应性考试】若向量a r ，b r ，c r满足a b ≠r r ，0c ≠r r ，且()()0c a c b -⋅-=r r r r ，则a b a bc++-r r r r r 的最小值是（ ） A 3 B ．22C ．2D ．32【答案】C 【解析】设向量a OA =r u u u r ，b OB =r u u u r ，c OC =r u u u r ,则由()()0c a c b -⋅-=r r r r 得0AC BC ⋅=u u u r u u u r,即C 的轨迹为以AB 为直径的圆，圆心为AB 中点M ，半径为1||2AB u u ur ，因此11||||||(||)||22c OC OM r OA OB AB =≤+=++r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r1111(||)(||)(||)(||)2222OA OB OA OB a b a b =++-=++-u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r 从而2a b a bc++-≥r r r r r ，选C. 13．【江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测】已知12,e e u v u u v 是夹角为3π的两个单位向量，向量122a e e =+v u v u u v ，12b ke e =-v u v u u v ，若0a b ⋅=v v，则实数k 的值为____．【答案】54【解析】()()121202ke a b e e e ⋅==+-⋅v v u v u u v u v u u v ，因为22121e e ==u v u u v ，1212e e ⋅=u v u u v ，所以1522022a b k k k ⋅=-+-=-=v v ， 所以54k =，填54.14．【广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测】在ABC ∆中，3AB =，2BC =，7AC =，则BA BC ⋅=u u u v u u u v______．【解析】解：在ABC ∆中，3AB =，2BC =，7AC =，可得9471cos 2322B +-==⨯⨯，则13232BA BC ⋅=⨯⨯=u u u r u u u r .故答案为：3．15．【2019年湖北省武汉市高考数学(5月份)模拟】已知向量(1,2)a =v，(2,1)b =v ，(1,)c n =v，若(23)a b c -⊥v v v，则n =_____【答案】4 【解析】23(4,1)a b -=-v r；∵()23a b c -⊥v v r ；∴()230a b c -=v vr g；∴4n =． 故答案为：4．16．【江西省南昌市江西师范大学附属中学2019届高三三模】已知平面向量1a =r，2b =r ，223a b r r +=，则a r 在b r方向上的射影为_____．【答案】12【解析】223a b +=r Q r ()222222448412a b a ba ab b a b ∴+=+=+⋅+=+⋅=r r r r rr r r r r解得：1a b ⋅=r ra ∴r 在b r 方向上的射影为：1cos ,2a b a a b br r r r r r ⋅== 本题正确结果：1217．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三】已知向量()cos ,sin a θθ=r，向量(1,22b =-r ，则3a b -r r的最大值是______.【解析】由题意，向量()cos ,sin a θθ=r ，则()33cos ,3sin a θθ=r，所以向量3a r的终点在以原点为圆心，3为半径的圆上，又由3b =r，则其终点也在此圆上，当3a r 与b r反向时，3a b -r r 为最大，最大值为6.18．【天津市北辰区2019届高考模拟考试】平行四边形ABCD 中，4,2,4AB AD AB AD ==⋅=u u u v u u u v，点P 在边CD 上，则AP PC ⋅u u u r u u u r的取值范围是______． 【答案】250,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为点P 在边CD 上，所以设()01DP λDC λAB λ==≤≤u u u r u u u ru u u r ， 则 λAP AD DP A A D B =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，() 1PC λAB -=u u ur u u u r ， 所以()()1PC A AP D λλAB AB ⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r()()223 141161612445224λλλλλλ⎛⎫=-+-⨯=-++=-- ⎪⎝+⎭，又01λ≤≤，所以2504AP PC ≤⋅≤u u u r u u u r ，故答案为250,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．19．【四川省名校联盟2019届高考模拟信息卷（一)】直线x y a +=与圆C ：()2212x y -+=交于A ，B 两点，向量CA u u u r ，u u rCB 满足CA CB CA CB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则实数a 的取值集合为______.【答案】{}12,12+ 【解析】解：由CA u u u r ，u u r CB 满足CA CB CA CB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，得CA CB ⊥u u u r u u u r ，圆C ：()2212x y -+=的圆心为()1,0，半径为2，点C 到直线x y a +=的距离为1，由112a d -==，得12a =±.故实数a 的取值集合为{}12,12-+.20．【江西省临川一中2019届高三年级考前模拟】如图，点D 在ABC ∆的边AC 上，且3CD AD =，2BD =，10cos24ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为________．165【解析】 因为10cos24ABC ∠=， 所以22101cos 2cos 121244ABC ABC ⎛∠∠=-=-= ⎝⎭因为3CD AD =，所以3uu u r uu u rCD DA =即()3uu u r uu u r uu r uu u r BD BC BA BD -=-，整理得到3144uu u r uu r uu u r BD BA BC =+，两边平方后有22291316168uu u r uu r uu u r uu r uu u rBD BA BC BA BC =++⋅，所以22913216168u u r u u u r u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅即2291312||||161684u u r u u ur u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅⨯， 整理得到2233292u u r u u u r u u r u u u r BA BC BA BC =++⋅，设,uu r uu u r c BA a BC ==，所以()22239329322c a ac c a ac =++=+-，因为2933332222ac a c a c ⨯⨯+⎛⎫=≤⨯ ⎪⎝⎭，所以()()()()2222935323333288c a ac c a c a c a =+-≥+-+=+，8325355c a ⨯+≤=，当且仅当855a =，515c =时等号成立，故填165 5.1．在平行四边形ABCD中，，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的最大值为5．【解答】解：设k，则k∈[0，1]；建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（2，0），D（，），C（，），由k，k，可得k（2k，k），同理可得（2k，），∴•（2k）（2k）k＝﹣k2﹣2k+5＝﹣（k+1）2+6，∵k∈[0，1]，∴﹣（k+1）2+6≥﹣1+6＝5，•的最大值是5，当且仅当M、N与点C重合时取得最大值．故答案为：D．2．已知，，若，则k＝8．【解答】解：2（9，2+2k），3（﹣1，6﹣k）；∵（2）∥（3），∴9（6﹣k）﹣（﹣1）（2+2k）＝0，解得k＝8．故答案为：8．3．已知非零向量，满足4||＝3||，若⊥（﹣4）则，夹角的余弦值为【解答】解：∵非零向量，满足4||＝3||，若⊥（﹣4），∴||||，且•（﹣4）40，即．设，夹角为θ，则cosθ，故答案为：．4．已知向量，且，则与的夹角为．【解答】解：∵；∴；∴4k＝3；∴；∴，且；设与的夹角为θ，则：；又0≤θ≤π；∴．故答案为：．5．已知，且，共线，则向量在方向上的投影为．【解答】解：由，且，共线，得1×（﹣4）﹣2t＝0，解得t＝﹣2．∴向量在方向上的投影为．故答案为：．。
高考数学一轮复习平面向量多选题知识点及练习题及解析
高考数学一轮复习平面向量多选题知识点及练习题及解析一、平面向量多选题1．下列命题中真命题的是（ ）A ．向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使a =λb （λ∈R ）B ．a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a b -|＞1，则3π＜θ≤πC ．A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，若AB •AC =0，AC •AD =0，AB •AD =0则△BCD 一定是锐角三角形D ．向量AB ，AC ，BC 满足AB AC BC =+，则AC 与BC 同向【答案】BC【分析】对于A ：利用共线定理判断对于B ：利用平面向量的数量积判断对于C ：利用数量积的应用判断对于D ：利用向量的四则运算进行判断【详解】对于A ：由向量共线定理可知，当0b =时，不成立.所以A 错误.对于B ：若|a b -|＞1，则平方得2221a a b b -⋅+＞，即12a b ⋅＜，又1||2a b a b cos cos θθ⋅=⋅=＜，所以3π＜θ≤π，即B 正确. 对于C ：()()220BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=＞，0||BC BDcosB BC BD ⋅=⋅＞，即B 为锐角，同理A ，C 也为锐角，故△BCD 是锐角三角形，所以C 正确.对于D ：若AB AC BC =+，则AB AC BC CB -==，所以0CB =，所以则AC 与BC 共线，但不一定方向相同，所以D 错误.故选：BC.【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；（2）要判断一个命题错误，只需举一个反例就可以；要证明一个命题正确，需要进行证明.2．下列条件中，使点P 与A ，B ，C 三点一定共面的是（ ）A ．1233PC PA PB =+ B ．111333OP OA OB OC =++C ．QP QA QB OC =++D ．0OP OA OB OC +++=【答案】AB【分析】 根据四点共面的充要条件，若A ，B ，C ，P 四点共面(1)PC xPA yPB x y ⇔=++=()1OP xOA yOB zOC x y z ⇔=++++=，对选项逐一分析，即可得到答案.【详解】对于A ，由1233PC PA PB =+，12133+=，所以点P 与A ，B ，C 三点共面. 对于B ，由111333OP OA OB OC =++，1111333++=，所以点P 与A ，B ，C 三点共面. 对于C ，由OP OA OB OC =++，11131++=≠，所以点P 与A ，B ，C 三点不共面. 对于D ，由0OP OA OB OC +++=，得OP OA OB OC =---，而11131---=-≠，所以点P 与A ，B ，C 三点不共面.故选：AB【点睛】关键点睛：本题主要考查四点共面的条件，解题的关键是熟悉四点A ，B ，C ，P 共面的充要条件(1)PC xPA yPB x y ⇔=++=()1OP xOA yOB zOC x y z ⇔=++++=，考查学生的推理能力与转化思想，属于基础题.3．在ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，AE 与BD 交于O ，且AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅，2AB AC AE +=，2CD DA =，1AB =，则（ ） A ．0AC BD ⋅=B ．0OA OE ⋅=C ．34OA OB OC ++=D ．ED 在BA 方向上的正射影的数量为712【答案】BCD【分析】根据AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅以及正弦定理得到sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，从而求出B C =，进一步得到B C A ==，ABC 等边三角形，根据题目条件可以得到E 为BC 的中点和D 为AC 的三等分点，建立坐标系，进一步求出各选项.【详解】由AB BC BC CA CA AB ⋅=⋅=⋅得cos cos AB BC B CA BC C ⋅=⋅， ||cos ||cos AB B CA C ⋅=⋅，正弦定理，sin cos sin cos C B B C ⋅=⋅，()0sin B C =-，B C =，同理：A C =，所以B C A ==，ABC 等边三角形.2AB AC AE +=，E 为BC 的中点，2CD DA =，D 为AC 的三等分点.如图建立坐标系，3A ⎛ ⎝⎭，1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，136D ⎛ ⎝⎭，解得3O ⎛ ⎝⎭， O 为AE 的中点，所以，0OA OE +=正确，故B 正确；1323,,,23AC BD ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，AC BD ⋅=123310236⨯--≠，故A 错误； 324OA OB OC OA OE OE ++=+==，故C 正确； 136ED ⎛= ⎝⎭，132BA ⎛= ⎝⎭，投影712||ED BA BA ⋅=，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】如何求向量a 在向量b 上的投影，用向量a 的模乘以两个向量所成的角的余弦值就可以了，当然还可以利用公式a b b ⋅进行求解.4．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）A ．()a c b c a b c ⋅-⋅=-⋅B ．()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直C ．a b a b -<-D ．()()22323294a b a b a b +⋅-=-【答案】ACD【分析】A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解.【详解】选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确；选项B ，()()()()()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦， ∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直，即B 错误；选项C ，∵a 与b 不共线，∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立； 若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；选项D ，()()22223232966494a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-，即D 正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查向量运算，属于中档题.5．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AFCE G =，则（ ）A ．12AF AD AB =+ B ．1()2EF AD AB =+C ．2133AG AD AB =- D ．3BG GD =【答案】AB【分析】 由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+、1()2EF AD AB =+、2133AG AD AB =+、2BG GD =，即可判断选项的正误 【详解】 1122AF AD DF AD DC AD AB =+=+=+，即A 正确 11()()22EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确 连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点， 如下图示由其性质有||||1||||2GF GE AG CG == ∴211121()333333AG AE AC AD AB BC AD AB =+=++=+，即C 错误 同理21212()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =+=++=- 211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1()3GD AD AB =- ∴2BG GD =，即D 错误故选：AB【点睛】本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系6．下列各式结果为零向量的有（ ）A ．AB BC AC ++B ．AB AC BD CD +++ C ．OA OD AD -+ D ．NQ QP MN MP ++-【答案】CD【分析】对于选项A ，2AB BC AC AC ++=,所以该选项不正确；对于选项B ，2AB AC BD CD AD +++=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD -+=,所以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP ++-=，所以该选项正确.【详解】对于选项A ，2AB BC AC AC AC AC ++=+=,所以该选项不正确；对于选项B ，()()2AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD AD +++=+++=+=，所以该选项不正确；对于选项C ，0OA OD AD DA AD -+=+=,所以该选项正确；对于选项D ，0NQ QP MN MP NP PN ++-=+=，所以该选项正确.故选：CD【点睛】本题主要考查平面向量的加法和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．在ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AC ，AB 中点，下列说法正确的是（ ） A ．0AB AC AD +-=B ．0DA EB FC ++=C ．若3||||||AB AC AD AB AC AD +=，则BD 是BA 在BC 的投影向量 D ．若点P 是线段AD 上的动点，且满足BP BA BC λμ=+，则λμ的最大值为18 【答案】BCD【分析】对选项A ，B ，利用平面向量的加减法即可判断A 错误，B 正确.对选项C ，首先根据已知得到AD 为BAC ∠的平分线，即AD BC ⊥，再利用平面向量的投影概念即可判断C 正确.对选项D ，首先根据,,A P D 三点共线，设(1)BP tBA t BD ，01t ≤≤，再根据已知得到12t t λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，从而得到21111()()2228t y t t ，即可判断选项D 正确. 【详解】如图所示：对选项A ，20AB AC AD AD AD AD +-=-=≠，故A 错误.对选项B ，111()()()222DA EB FC AB AC BA BC CA CB ++=-+-+-+ 111111222222AB AC BA BC CA CB =------ 1111110222222AB AC AB BC AC BC =--+-++=，故B 正确. 对选项C ，||AB AB ，||AC AC ，||AD AD 分别表示平行于AB ，AC ，AD 的单位向量， 由平面向量加法可知：||||AB AC AB AC +为BAC ∠的平分线表示的向量. 因为3||||||AB AC AD AB AC AD +=，所以AD 为BAC ∠的平分线， 又因为AD 为BC 的中线，所以AD BC ⊥，如图所示：BA 在BC 的投影为cos BDBA B BA BD BA ，所以BD 是BA 在BC 的投影向量，故选项C 正确.对选项D ，如图所示：因为P 在AD 上，即,,A P D 三点共线，设(1)BP tBA t BD ，01t ≤≤. 又因为12BD BC =，所以(1)2t BP tBA BC . 因为BP BA BC λμ=+，则12t t λμ=⎧⎪⎨-=⎪⎩，01t ≤≤. 令21111()2228t y t t ， 当12t =时，λμ取得最大值为18.故选项D 正确. 故选：BCD【点睛】 本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.8．在ABC 中，()2,3AB =，()1,AC k =，若ABC 是直角三角形，则k 的值可以是（ ）A ．1-B ．113C ．3132+D ．3132【答案】BCD【分析】由题意，若ABC 是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解.【详解】若A ∠为直角，则AB AC ⊥即0AC AB ⋅= 230k ∴+=解得23k =-若B 为直角，则BC AB ⊥即0BC AB ⋅= ()()2,3,1,AB AC k ==()1,3BC k ∴=--2390k ∴-+-=解得113k = 若C ∠为直角，则BC AC ⊥，即0BC AC ⋅=()()2,3,1,AB AC k ==()1,3BC k ∴=--()130k k ∴-+-=解得3132k ±= 综合可得，k 的值可能为211313313,,,33+--故选：BCD 【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.二、立体几何多选题9．如图，已知正方体1ABCD ABC D -的棱长为a ，E 是棱CD 上的动点.则下列结论中正确的有（ ）A ．11EB AD ⊥B ．二面角11E A B A --的大小为4π C ．三棱锥11A B D E -体积的最小值为313aD ．1//DE 平面11A B BA【答案】ABD【分析】连接1A D 、1B C ，则易证1AD ⊥平面11A DCB ，1EB ⊂平面11A DCB ，则由线面垂直的性质定理可以判断选项A 正确；二面角11E A B A --的平面角为1DA A ∠，易知14DA A π∠=，则可判断选项B 正确；用等体积法，将求三棱锥11A B D E -的体积转化为求三棱锥11E AB D -的体积，当点E 与D 重合时，三棱锥11E AB D -的体积最小，此时的值为316a ，则选项C 错误；易知平面11//D DCC 平面11A B BA ，而1D E ⊂平面11D DCC ，则根据面面平行的性质定理可得1//D E 平面11A B BA ，可判断选项D 正确.【详解】 选项A ，连接1A D 、1B C ，则由正方体1ABCD ABC D -可知，11A D AD ⊥，111A B AD ⊥，1111A D A B A =， 则1AD ⊥平面11A DCB ，又因为1EB ⊂平面11A DCB ， 所以11EB AD ⊥，选项A 正确； 选项B ，因为11//DE A B ， 则二面角11E A B A --即为二面角11D A B A --， 由正方体1ABCD ABC D -可知，11A B ⊥平面1DA A ， 则1DA A ∠为二面角11D A B A --的平面角，且14DA A π∠=， 所以选项B 正确；选项C ，设点E 到平面11AB D 的距离为d ， 则11111113A B D E E AB D AB D V V S d --==⋅， 连接1C D 、1C B ，易证平面1//BDC 平面11AB D ，则在棱CD 上，点D 到平面11AB D 的距离最短， 即点E 与D 重合时，三棱锥11A B D E -的体积最小， 由正方体1ABCD ABC D -知11A B ⊥平面1ADD ， 所以1111123111113326D AB D B ADD ADD a V V S A B a a --==⋅=⋅⋅=， 则选项C 错误；选项D ，由正方体1ABCD ABC D -知，平面11//CC D D 平面11A B BA ，且1D E ⊂平面11CC D D ，则由面面平行的性质定理可知1//D E 平面11A B BA ，则选项D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题对于选项C 的判断中，利用等体积法求三棱锥的体积是解题的关键.10．（多选题）如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则以下四个结论正确的是（ ）A ．113P AA D V -=B ．点P 必在线段1BC 上C ．1AP BC ⊥D ．AP ∥平面11AC D 【答案】BD【分析】对于A ，1111111113326P AA D AA D V S CD -=⋅=⨯⨯⨯⨯=， 对于B,C,D ，如图以D 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用空间向量判即可.【详解】对于A ，因为点P 在平面11BCC B ，平面11BCC B ∥平面1AA D ，所以点P 到平面1AA D 即为C 到平面1AA D 的距离，即为正方体棱长， 所以1111111113326P AA D AA D V S CD -=⋅=⨯⨯⨯⨯=，A 错误； 对于B ，以D 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则11(1,0,0),(,1,),(1,1,0),(0,0,1),(1,1,1),(0,1,0)A P x z B D B C所以11(1,1,),(1,1,1),(1,0,1)AP x z BD BC =-=--=--, 因为1AP BD ⊥，所以1110AP BD x z ⋅=--+=，所以x z =，即(,1,)P x x ，所以(,0,)CP x x =,所以1CP xBC =-，即1,,B C P 三点共线， 所以点P 必在线段1B C 上，B 正确；对于C ，因为1(1,1,),(1,0,1)AP x x BC =-=-，所以111AP BC x x ⋅=-+=，所以1AP BC ⊥不成立，C 错误；对于D ，因为11(1,0,1),(0,1,1),(0,0,0)A C D ,所以11(1,0,1),(0,1,1)DA DC ==, 设平面11AC D 的法向量为(,,)n x y z =，则1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令1x =，则1,1z y =-=，所以(1,1,1)n =-，所以110AP n x x ⋅=-+-=，所以AP n ⊥，所以AP ∥平面11AC D ，D 正确，故选：BD【点睛】此题考查了空间线线垂直的判定，线面平行的判定，三棱锥的体积，考查空间想象能力，考查计算能力，属于较难题.。
高考数学一轮复习平面向量多选题知识点及练习题及解析
高考数学一轮复习平面向量多选题知识点及练习题及解析一、平面向量多选题1．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()(::5:)4:6b c c a a b +++=，下列结论正确的是（ ）A ．::7:5:3sinA sinB sinC = B ．0AB AC ⋅>C ．若6c =，则ABC 的面积是D ．若8+=b c ，则ABC 【答案】ACD 【分析】先利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，进而得到3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，利用正弦定理可判定选项A ；利用向量的数量积公式可判断选项B ；利用余弦定理和三角形的面积公式可判定选项C ；利用余弦定理和正弦定理可判断选项D. 【详解】依题意，设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=， 所以 3.5, 2.5, 1.5a k b c k ===，由正弦定理得：::::7:5:3sinA sinB sinC a b c ==， 故选项A 正确；222222cos 22b c a b c a AB AC bc A bc bc +-+-⋅==⨯=222222.5 1.5 3.515028k k +-==-<，故选项B 不正确；若6c =，则4k =， 所以14,10a b ==，所以222106141cos 21062A +-==-⨯⨯，所以sin 2A =，故ABC 的面积是：11sin 610222bc A =⨯⨯⨯= 故选项C 正确；若8+=b c ，则2k =， 所以7,5,3a b c ===，所以2225371cos 2532A +-==-⨯⨯，所以3sin A =， 则利用正弦定理得：ABC 的外接圆半径是：1732sin a A ⨯=， 故选项D 正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题主要考查正余弦定理以及三角形面积公式. 利用已知条件设4,5,6b c k c a k a b k +=+=+=，再利用正余弦定理以及三角形面积公式求解是解决本题的关键.2．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条不同的直径，2BF FO =，则（ ）A ．13BF FC = B ．89FD FE ⋅=-C ．41cos ,5FD FE -<<->≤ D ．满足FC FD FE λμ=+的实数λ与μ的和为定值4 【答案】BCD 【分析】A. 根据2BF FO =易得12BF FC =判断；B. 由()()FD FE OD OF OE OF ⋅=-⋅-运算求解判断；，C.建立平面直角坐标系：设,0,2DOF παα⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，则()()1cos ,sin ,cos ,sin ,,03D E F αααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭，得到11cos ,sin ,cos ,sin 33FD FE αααα⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由cos ,FD FE FD FE FD FE ⋅<>=⋅利用三角恒等变换和三角函数的性质判断；D. 将FC FD FE λμ=+，利用线性运算变形为()()4OF OD OF λμλμ-=--+判断；【详解】A. 因为2BF FO =，所以12BF FC =，故错误；B. ()()2FD FE OD OF OE OF OD OE OD OF OF OE OF ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+，()22181099OE OF OD OE OF =-+++=-++=-，故正确； C.建立如图所示平面直角坐标系：设,(0,]2DOF παα∠=∈，则()()1cos ,sin ,cos ,sin ,,03D E F αααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭， 所以11cos ,sin ,cos ,sin 33FD FE αααα⎛⎫⎛⎫=-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以222289cos ,11cos sin cos sin 33FD FE FD FE FD FEαααα-⋅<>==⋅⎛⎫⎛⎫-+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，849(1,]5822cos2819α----⋅，故正确；D. 由FC FD FE λμ=+，得()()()()4OF OD OF OE OF OD OF λμλμλμ-=-+-=--+，所以4λμ+=，故正确；【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.3．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．//PB CQ B ．2133BP BA BC =+ C ．0PA PC ⋅< D ．2S =【答案】BCD 【分析】本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】解：因为20PA PC +=，2QA QB =，所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；因为()121333BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+-=+，故选项B 正确； 因为112223132APQ ABCAB hS S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.4．已知向量(4,3)a k =，(4,3)b k =，则（ ） A ．若a b ⊥，则0k = B ．若//a b ，则1k =C ．若a b >，则1k <D ．若a b a b +=-，则a b ⊥【答案】AD先根据a b ⊥建立方程44330k k ⨯+⨯=解得0k =，判断选项A 正确；再根据//a b ，建立方程(4,3)(4,3)k k λ=解得1k =±，判断选项B 错误；接着根据a b >建立不等式4(3)(4)3k k +>+解得11k -<<，判断选项C 错误；最后根据a b a b +=-，化简整理得到a b ⊥，判断选项D 正确.【详解】解：因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b ⊥，则44330k k ⨯+⨯=，解得0k =，故选项A 正确；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，//a b ，则λa b ，即(4,3)(4,3)k k λ=，解得1k =±，故选项B 错误；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b >，则>，解得11k -<<，故选项C 错误；因为(4,3)a k =，(4,3)b k =，a b a b +=-，则0a b ⋅=，0a ≠，0b ≠，所以a b ⊥，故选项D 正确.故答案为：AD. 【点睛】本题考查利用向量垂直求参数、利用向量共线求参数、根据向量的模的大小关系求参数的范围、利用向量的运算判断向量垂直，是中档题.5．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.6．已知向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数t 可以为（ ） A ．-2 B ．12C ．1D ．-1【答案】ABD 【分析】若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，即向量,AB BC 不共线，计算两个向量的坐标，由向量共线的坐标表示，即得解 【详解】若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，则向量,AB BC 不共线， 由于向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-， 故(3,4)AB OB OA =-=-，(5,9)BC OC OB t t =-=+- 若A ，B ，C 三点不共线，则 3(9)4(5)01t t t ---+≠∴≠ 故选：ABD 【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，考查了学生转化划归，概念理解，数学运算能力，属于中档题.7．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λabB ．若a b ⊥，则a b a b +=-C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为aD ．若存在实数λ使得λa b ，则a b a b +=-【答案】AB 【分析】根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A选项正确，D 选项错误；若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.8．在ABC 中，()2,3AB =，()1,AC k =，若ABC 是直角三角形，则k 的值可以是（ ）A ．1-B ．113C D ．32【答案】BCD 【分析】由题意，若ABC 是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解. 【详解】若A ∠为直角，则AB AC ⊥即0AC AB ⋅=230k ∴+=解得23k =-若B 为直角，则BC AB ⊥即0BC AB ⋅=()()2,3,1,AB AC k ==()1,3BC k ∴=--2390k ∴-+-=解得113k =若C ∠为直角，则BC AC ⊥，即0BC AC ⋅=()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--()130k k ∴-+-=解得3132k ±=综合可得，k 的值可能为211313313,,,33+-- 故选：BCD 【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.二、立体几何多选题9．已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==，D 是AC 的中点，O 为1A C 的中点.点P 是1BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．当点P 运动到1BC 中点时，直线1A P 与平面111ABC 5B ．无论点P 在1BC 上怎么运动，都有11A P OB ⊥C ．当点P 运动到1BC 中点时，才有1A P 与1OB 相交于一点，记为Q ，且113PQ QA = D ．无论点P 在1BC 上怎么运动，直线1A P 与AB 所成角都不可能是30° 【答案】ABD 【分析】构造线面角1PA E ∠，由已知线段的等量关系求1tan EPPA E AE∠=的值即可判断A 的正误；利用线面垂直的性质，可证明11A P OB ⊥即可知B的正误；由中位线的性质有112PQ QA =可知C 的正误；由直线的平行关系构造线线角为11B A P ∠，结合动点P 分析角度范围即可知D 的正误 【详解】直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==选项A 中，当点P 运动到1BC 中点时，有E 为11B C 的中点，连接1A E 、EP ，如下图示即有EP ⊥面111A B C∴直线1A P 与平面111A B C 所成的角的正切值：1tan EPPA E AE∠= ∵112EP BB =，2211115AE A B B E BB =+= ∴15tan 5PA E ∠=，故A 正确选项B 中，连接1B C ，与1BC 交于E ，并连接1A B ，如下图示由题意知，11B BCC 为正方形，即有11B C BC ⊥而AB BC ⊥且111ABC A B C -为直三棱柱，有11A B ⊥面11B BCC ，1BC ⊂面11B BCC ∴111A B BC ⊥，又1111A B B C B =∴1BC ⊥面11A B C ，1OB ⊂面11A B C ，故11BC OB ⊥同理可证：11A B OB ⊥，又11A B BC B ⋂=∴1OB ⊥面11A BC ，又1A P ⊂面11A BC ，即有11A P OB ⊥，故B 正确选项C 中，点P 运动到1BC 中点时，即在△11A B C 中1A P 、1OB 均为中位线∴Q 为中位线的交点 ∴根据中位线的性质有：112PQ QA =，故C 错误选项D 中，由于11//A B AB ，直线1A P 与AB 所成角即为11A B 与1A P 所成角：11B A P ∠ 结合下图分析知：点P 在1BC 上运动时当P 在B 或1C 上时，11B A P ∠最大为45° 当P 在1BC 中点上时，11B A P ∠最小为23arctan 302>=︒ ∴11B A P ∠不可能是30°，故D 正确 故选：ABD 【点睛】本题考查了利用射影定理构造线面角，并计算其正弦值；利用线面垂直证明线线垂直；中位线的性质：中位线交点分中位线为1：2的数量关系；由动点分析线线角的大小10．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱11AA =，P 为上底面1111D C B A 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ）A ．若3PD =，则满足条件的P 点有且只有一个B ．若3PD =，则点P 的轨迹是一段圆弧C ．若PD ∥平面1ACB ，则DP 长的最小值为2D ．若PD ∥平面1ACB ，且3PD =，则平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形的面积为94π 【答案】ABD【分析】 若3PD =，由于P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一；()313PD =∈，，则12PD =，即点P 的轨迹是一段圆弧；当P 为11A C 中点时，DP 有最小值为3=，可判断C ；平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为32=，可得D . 【详解】如图：∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，∴1122B D =11AA =，∴()2212213DB =+=，则P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一，故A 正确； ∵()313PD =，，11DD =，则12PD P 的轨迹是一段圆弧，故B 正确； 连接1DA ，1DC ，可得平面11//A DC 平面1ACB ，则当P 为11A C 中点时，DP 有最小值为()22213+=C 错误；由C 知，平面BDP 即为平面11BDD B ，平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接2221322122++=，面积为94π，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查了立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.。
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一、多选题1．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭2．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A bB a=，则该三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形3．ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（ ） A ．a 是单位向量 B ．//BC b C ．1a b ⋅=D ．()4BC a b ⊥+4．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．10,45,70b A C ==︒=︒B ．45,48,60b c B ===︒C ．14,16,45a b A ===︒D ．7,5,80a b A ===︒5．下列结论正确的是（ ）A ．已知a 是非零向量，b c ≠，若a b a c ⋅=⋅，则a ⊥（-b c ）B ．向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a 在b 上的投影向量为12b C ．点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 是△ABC 的外心 D ．以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形 6．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（ ）A ．2AB AB AC B ．2BC CB AC C ．2ACAB BDD ．2BDBA BDBC BD7．ABC 中，4a =，5b =，面积53S =，则边c =（ ） A ．21 B ．61 C ．41D ．25 8．在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形9．已知a 、b 是任意两个向量，下列条件能判定向量a 与b 平行的是（ ） A ．a b =B ．a b =C ．a 与b 的方向相反D ．a 与b 都是单位向量10．给出下列命题正确的是（ ） A ．一个向量在另一个向量上的投影是向量 B ．a b a b a +=+⇔与b 方向相同 C ．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同D ．若向量AB 与向量CD 是共线向量，则点,,,A B C D 必在同一直线上 11．在下列结论中，正确的有（ ）A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．平行向量又称为共线向量C ．两个相等向量的模相等D ．两个相反向量的模相等 12．在ABCD 中，设AB a =，AD b =，AC c =，BD d =，则下列等式中成立的是（ ） A ．a b c +=B ．a d b +=C ．b d a +=D ．a b c +=13．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b +=B ．a b ⊥C ．()4a b b +⊥D ．1a b ⋅=-14．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（ ）A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个B ．满足10OA OB -=B 共有3个C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个 15．已知ABC ∆的面积为32,且2,3b c ==,则A =( ) A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°二、平面向量及其应用选择题16．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若()22S a b c +=+，则cos A 等于（ ）A ．45B ．45-C ．1517D ．1517-17．若向量123,,OP OP OP ，满足条件1230OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，则123PP P ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不能确定18．若△ABC 中，2sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形19．a ，b 为单位向量，且27a b +=，则向量a ，b 夹角为（ ）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒20．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1B ．23-C ．13- D ．34-21．在ABC 中，若A B >，则下列结论错误的是（ ） A ．sin sin A B > B ．cos cos A B <C ．sin2sin2A B >D ．cos2cos2A B < 22．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形23．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠︒＝，BD 与AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（ ）A 62B ．1(62)2C 62D ．1(62)224．在ABC ∆中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，P 为EF 上的任一点，实数x ，y 满足0PA xPB yPC ++=，设ABC ∆、PBC ∆、PCA ∆、PAB ∆的面积分别为S 、1S 、2S 、3S ，记ii S Sλ=（1,2,3i =），则23λλ⋅取到最大值时，2x y +的值为（ ） A ．－1B ．1C ．32-D ．3225．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若1c =，45B =︒，3cos 5A =，则b 等于（ ） A ．35 B ．107C ．57D ．521426．题目文件丢失！27．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若222sin sin sin 0A B C +-=，2220a c b ac +--=，2c =，则a =（ ）A 3B ．1C ．12D ．3228．已知1a =，3b =，且向量a 与b 的夹角为60︒，则2a b -=（ ） A 7B ．3C 11D 1929．已知圆C 的方程为22(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x上，线段AB 为圆C的直径，则PA PB ⋅的最小值为（） A ．2B ．52C ．3D ．7230．在ABC 中，若 cos a b C =，则ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形31．设(),1A a ，()2,1B -，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则a =（ ）A ．12-B ．12C ．-2D ．232．已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a CA b ==，，AB c =，则①AD ＝－b －12a ；②BE ＝a ＋12b ；③CF ＝－12a ＋12b ；④AD ＋BE ＋CF ＝0.其中正确的等式的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．433．已知菱形ABCD 边长为2，∠B ＝3π，点P 满足AP ＝λAB ，λ∈R ，若BD ·CP ＝－3，则λ的值为( )A ．12B ．－12C ．13D ．－1334．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若()1AO xAB x AC =+-，则x 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭35．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．1()2a b + B ．1()2a b - C ．12a b + D ．12a b +【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知 解析：AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角，可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.2．D 【分析】在中，根据，利用正弦定理得，然后变形为求解. 【详解】 在中，因为， 由正弦定理得， 所以，即， 所以或， 解得或.故是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】 本题主要考查解析：D 【分析】 在ABC 中，根据cos cos A b B a =，利用正弦定理得cos sin cos sin A BB A=，然后变形为sin 2sin 2A B =求解.【详解】在ABC 中，因为cos cos A bB a =， 由正弦定理得cos sin cos sin A BB A=， 所以sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-，解得A B =或2A B π+=.故ABC 是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．ABD 【分析】 A.根据是边长为2的等边三角形和判断；B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；C. 根据，利用数量积运算判断；D. 根据， ，利用数量积运算判断. 【详解】 A. 因为是边长解析：ABD 【分析】A. 根据ABC 是边长为2的等边三角形和2AB a =判断；B.根据2AB a =，2AC a b =+，利用平面向量的减法运算得到BC 判断；C. 根据1,2a ABb BC ==，利用数量积运算判断；D. 根据b BC =， 1a b ⋅=-，利用数量积运算判断. 【详解】A. 因为ABC 是边长为2的等边三角形，所以2AB =，又2AB a =，所以 a 是单位向量，故正确；B. 因为2AB a =，2AC a b =+，所以BC AC AB b =-=，所以//BC b ，故正确；C. 因为1,2a AB b BC ==，所以1122cos120122a b BC AB ⋅=⋅=⨯⨯⨯︒=-，故错误； D. 因为b BC =， 1a b ⋅=-，所以()()2444440BC a b b a b a b b ⋅+=⋅+=⋅+=-+=，所以()4BC a b ⊥+，故正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.4．BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解； 对于选项B 中：因为，且，所以角有两解析：BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】对于选项A 中：由45,70A C =︒=︒，所以18065B A C =--=︒，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解； 对于选项B中：因为csin sin 1B C b ==<，且c b >，所以角C 有两解； 对于选项C中：因为sin sin 17b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解； 对于选项D 中：因为sin sin 1b AB a=<，且b a <，所以角B 仅有一解. 故选：BC . 【点睛】本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5．ABD【分析】利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】对：因为，又，故可得， 故，故选项正确；对：因为||＝1，||＝2，与的夹角为解析：ABD 【分析】利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】对A ：因为()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅，又a b a c ⋅=⋅，故可得()0a b c ⋅-=， 故()a b c ⊥-，故A 选项正确；对B ：因为|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，故可得1212a b ⋅=⨯=. 故a 在b 上的投影向量为12a b b b b ⎛⎫⋅ ⎪= ⎪⎝⎭，故B 选项正确； 对C ：点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，则点P 为三角形ABC 的重心，故C 选项错误；对D ：不妨设()()()()1,1,2,3,6,1,5,1A B C D -，则()()()1,24,25,0AB AD AC +=+-==，故四边形ABCD 是平行四边形； 又()14220AB AD ⋅=⨯+⨯-=，则AB AD ⊥，故四边形ABCD 是矩形. 故D 选项正确；综上所述，正确的有：ABD . 故选：ABD . 【点睛】本题考查向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属综合中档题.6．AD 【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】对于A ，，故A 正确； 对于B ，，故B 错误； 对于C ，,故C 错误； 对于D ，, ,故D 正确. 故选：AD. 【点睛】 本题考查三角形解析：AD 【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】 对于A ，2cos AB AB AC AB AC A AB ACAB AC，故A 正确；对于B ，2cos cos CB CB AC CB AC C CB AC C CB ACCB AC，故B 错误； 对于C ，2cos cos BD AB BD AB BD ABD AB BD ABD AB BDBDAB,故C 错误；对于D ，2cos BD BA BD BA BD ABD BA BD BD BA,2cos BD BC BDBC BD CBD BC BDBD BC,故D 正确.故选：AD. 【点睛】本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题.7．AB 【分析】在中，根据，，由，解得或，然后分两种情况利用余弦定理求解. 【详解】中，因为，，面积， 所以， 所以，解得或，当时，由余弦定理得：， 解得，当时，由余弦定理得：， 解得 所以或解析：AB 【分析】在ABC 中，根据4a =，5b =，由1sin 2ABCSab C ==60C =或120C =，然后分两种情况利用余弦定理求解.【详解】ABC 中，因为4a =，5b =，面积ABCS=所以1sin 2ABCSab C ==所以sin C =60C =或120C =， 当60C =时，由余弦定理得：2222cos 21c a b ab C =+-=，解得c =当120C =时，由余弦定理得：2222cos 61c a b ab C =+-=，解得c =所以c =c =【点睛】本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8．ABCD【分析】应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形【详解】根据正弦定理,即.,或.即或解析：ABCD【分析】应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有sin 2sin 2A B =即A B =或2A B π+=，进而有△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形【详解】 根据正弦定理sin sin a b A B= cos cos a A b B =sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =.2,2(0,2)A B π∈, 22A B =或22A B π+=.即A B =或2A B π+=,△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形.故选：ABCD【点睛】本题考查了正弦定理的边化角，二倍角公式解三角形判断三角形的形状，注意三角形内角和为180°9．AC【分析】根据共线向量的定义判断即可.对于A 选项，若，则与平行，A 选项合乎题意；对于B 选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B 选项不合乎题意； 对于C 选项，若与的方向相反，解析：AC【分析】根据共线向量的定义判断即可.【详解】对于A 选项，若a b =，则a 与b 平行，A 选项合乎题意；对于B 选项，若a b =，但a 与b 的方向不确定，则a 与b 不一定平行，B 选项不合乎题意； 对于C 选项，若a 与b 的方向相反，则a 与b 平行，C 选项合乎题意； 对于D 选项，a 与b 都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则a 与b 不一定平行，D 选项不合乎题意.故选：AC.【点睛】本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题.10．C【分析】对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量；对B ，两边平方化简；对C ，根据向量相等的定义判断；对D ，根据向量共线的定义判断.【详解】A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A解析：C【分析】对A ，一个向量在另一个向量上的投影是数量； 对B ，两边平方化简a b a b +=+；对C ，根据向量相等的定义判断；对D ，根据向量共线的定义判断.【详解】 A 中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A 错误；B 中，由a b a b +=+，得2||||2a b a b ⋅=⋅，得||||(1cos )0a b θ⋅-=，则||0a =或||0b =或cos 1θ=，当两个向量一个为零向量，一个为非零向量时，a 与b方向不一定相同，B错误；C中，根据向量相等的定义，且有共同起点可得，其终点必定相同，C正确；A B C D不一定在同一直线上，D错误.D中，由共线向量的定义可知点,,,故选：C【点睛】本题考查了对向量共线，向量相等，向量的投影等概念的理解，属于容易题. 11．BCD【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确解析：BCD【分析】根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.【详解】A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；C. 相等向量方向相同，模相等，正确；D. 相反向量方向相反，模相等，故正确；故选：BCD【点睛】本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.12．ABD【分析】根据平行四边形及向量的加法法则即可判断.【详解】由向量加法的平行四边形法则，知成立，故也成立；由向量加法的三角形法则，知成立，不成立.故选：ABD【点睛】本题主要考查解析：ABD【分析】根据平行四边形及向量的加法法则即可判断.【详解】由向量加法的平行四边形法则，知a b c+=成立，故a b c +=也成立；由向量加法的三角形法则，知a d b +=成立，b d a +=不成立.故选：ABD【点睛】本题主要考查了向量加法的运算，数形结合，属于容易题.13．CD【分析】分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.【详解】分析知，，与的夹角是.由，故B 错误，D 正确；由，所以，故A 错误；由，所以，故C 正确.故选：CD【点睛】解析：CD【分析】 分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒，进而对四个选项逐个分析，可选出答案.【详解】 分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒.由12cos12010a b ︒⋅=⨯⨯=-≠，故B 错误，D 正确；由()22221243a b a a b b +=+⋅+=-+=，所以3a b +=，故A 错误； 由()()2144440a b b a b b +⋅=⋅+=⨯-+=，所以()4a b b +⊥，故C 正确. 故选：CD【点睛】本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.14．BCD【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有 18个，故错，以为原点建立平面直角坐标系，，设，若，所以解析：BCD【分析】根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．【详解】解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错， 以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ，设(,)B m n ，若10OA OB -=，所以22(1)(2)10m n -+-=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈，得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确．当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．15．BD【分析】由三角形的面积公式求出即得解.【详解】因为,所以,所以,因为,所以或120°.故选：BD本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 解析：BD【分析】由三角形的面积公式求出sin A =即得解. 【详解】 因为13sin 22S bc A ==,所以13222A ⨯=,所以sin A =,因为0180A ︒︒<<, 所以60A =或120°.故选：BD【点睛】本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、平面向量及其应用选择题16．D【分析】由22()S a b c +=+，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：1sin 2cos 22bc A bc A bc =+，化为sin 4cos 4A A -=，与22sin cos 1A A +=．解出即可．【详解】解：22()S a b c +=+，2222S b c a bc ∴=+-+， ∴1sin 2cos 22bc A bc A bc =+， 所以sin 4cos 4A A -=，因为22sin cos 1A A +=． 解得15cos 17A =-或cos 1A =-． 因为1cos 1A -<<，所以cos 1A =-舍去．15cos 17A ∴=-． 故选：D ．本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．C【分析】根据三角形外心、重心的概念，以及外心、重心的向量表示，可得结果.【详解】由123||||||1OP OP OP ===，可知点O 是123PP P ∆的外心， 又1230OP OP OP ++=，可知点O 是123PP P ∆的重心， 所以点O 既是123PP P ∆的外心，又是123PP P ∆的重心，故可判断该三角形为等边三角形，故选：C【点睛】本题考查的是三角形外心、重心的向量表示，掌握三角形的四心：重心，外心，内心，垂心，以及熟悉它们的向量表示，对解题有事半功倍的作用，属基础题.18．A【分析】已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=，再利用两角和与差的正弦函数公式化简.【详解】ABC ∆中，sin()sin A B C +=，∴已知等式变形得：2sin sin()sin C A B C -=，即sin()sin sin()A B C A B -==+， 整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =， cos 0A ∴=或sin 0B =（不合题意，舍去），0A π<<90A ∴=︒，则此三角形形状为直角三角形．故选：A【点睛】此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．19．C【分析】 首先根据题的条件27a b +=，得到2()7a b +=，根据a ，b 为单位向量，求得12a b ⋅=，进而求得向量夹角. 【详解】因为27a b +=，所以2()7a b +=， 即22447a a b b +⋅+=， 因为221a b ==，所以12a b ⋅=， 所以1cos ,2a b <>=，因为向量a ，b 夹角的范围为[0,180]︒︒， 所以向量a ，b 夹角的范围为60︒，故选：C.【点睛】 该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的平方与向量模的平方是相等的，已知向量数量积求向量夹角，属于简单题目.20．B【分析】选取向量AB ，AC 为基底，由向量线性运算，求出BE ，即可求得结果.【详解】13BE AE AB AD AB =-=-，1()2AD AB AC =+ ， 5166BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+， 56λ∴=-，16μ=，23λμ∴+=-. 故选：B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题.21．C【分析】由正弦定理结合三角形中的大边对大角得sin sin A B >，由余弦函数性质判断B ，然后结合二倍角公式判断CD ．【详解】设ABC 三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，由A B >，则,a b >∴sin sin 0A B >>，A 正确；由余弦函数性质知cos cos A B <，B 正确；sin 22sin cos A A A =，sin 22sin cos B B B =，当A 为钝角时就有sin 2sin 2A B <，C 错误，；2cos 212sin A A =-，2cos 212sin B B =-，∴cos2cos2A B <，D 正确． 故选：C ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，考查正弦定理、余弦函数性质，考查正弦、余弦的二倍角公式，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题．22．D【分析】首先利用正弦定理求得sin 2sin 2A B =，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果．【详解】解：已知：cos cos a A b B =，利用正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===， 解得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以：22A B =或21802A B =︒-，解得：A B =或90A B +=︒所以：ABC 的形状一定是等腰或直角三角形故选：D ．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的诱导公式的应用，属于中档题． 23．A【分析】由条件求得∠BCD ＝150°，∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝30°，可得∠AEB ＝105°．计算sin105°，代入正弦定理sin30sin105AE AB =︒︒，化简求得AE =-． 【详解】由题意可得，AC ＝BC ＝CD ＝DA =BAC ＝45°，∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°+60°＝150°．又△BCD 为等腰三角形，∴∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝45°﹣15°＝30°，故∠BEC ＝75°，∠AEB ＝105°．再由 sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°=， △ABE 中，由正弦定理可得sin30sin105AE AB =︒︒，∴12AE =，∴AE =）， 故选:A ．【点睛】本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题．24．D【分析】根据三角形中位线的性质，可得P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，从而得到12312S S S S ==+，由此结合基本不等式求最值，得到当23λλ⋅取到最大值时，P 为EF 的中点，再由平行四边形法则得出11022PA PB PC ++=，根据平面向量基本定理可求得12x y ==，从而可求得结果. 【详解】如图所示：因为EF 是△ABC 的中位线， 所以P 到BC 的距离等于△ABC 的BC 边上高的一半，所以12312S S S S ==+， 由此可得22232322322()1216S S S S S S S S S S λλ+=⨯=≤=， 当且仅当23S S =时，即P 为EF 的中点时，等号成立，所以0PE PF +=，由平行四边形法则可得2PA PB PE +=，2PA PC PF +=，将以上两式相加可得22()0PA PB PC PE PF ++=+=， 所以11022PA PB PC ++=， 又已知0PA xPB yPC ++=，根据平面向量基本定理可得12x y ==， 从而132122x y +=+=. 故选：D【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.25．C【分析】利用同角三角函数基本关系式可得sin A ，进而可得cos (cos cos sin sin )C A B A B =--，再利用正弦定理即可得出．【详解】解：3cos 5A =，(0,180)A ∈︒︒．∴4sin 5A =，34cos cos()(cos cos sin sin )(55C A B A B A B =-+=--=--=．sin C ∴= 由正弦定理可得：sin sin b c B C =，∴1sin 5sin 7c B b C ===． 故选：C ．【点睛】本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、两角和差的余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．26．无27．B【分析】先根据正弦定理化边得C 为直角，再根据余弦定理得角B ，最后根据直角三角形解得a.【详解】因为222sin sin sin 0A B C +-=，所以222b c 0a +-=, C 为直角，因为2220a c b ac +--=，所以2221cosB ,223a c b B ac π+-===, 因此13a ccosπ==选B.【点睛】 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.28．A【分析】根据向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式，准确运算，即可求解.【详解】 因为1a =，3b =，a 与b 的夹角为60︒， 所以2224424697a a b b a b =-⋅+=-+=-，则27a b -=.故选：A.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的模的求解，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.29．B【分析】将PA PB ⋅转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ⋅的最小值.【详解】()()()()PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅-2222||||||22PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.30．A【分析】利用正弦定理边角互化思想化简可得cos 0B =，求得角B 的值，进而可判断出ABC 的形状.【详解】 cos a b C =，由正弦定理得sin sin cos A B C =，即()sin cos sin sin cos cos sin B C B C B C B C =+=+，cos sin 0B C ∴=，0C π<<，sin 0C ∴>，则cos 0B =，0B π<<，所以，2B π=，因此，ABC 是直角三角形. 故选：A.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化判断三角形的形状，同时也考查了两角和的正弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.31．A【分析】根据平面向量的投影的概念，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解.【详解】由题意，点(),1A a ，()2,1B -，()4,5C ， O 为坐标原点，根据OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则OA OC OB OCOC OC ⋅⋅=,即OA OC OB OC ⋅=⋅，可得4152415a +⨯=⨯-⨯，解得12a =-. 故选：A.【点睛】 本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的定义，其中解答中熟记向量投影的定义，以及向量的数量积的运算公式，列出方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力.32．D【分析】 本题考查的知识点是向量的加减法及其几何意义、及零向量，我们根据已知中的图形，结合向量加减法的三角形法则，对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到答案．【详解】①如图可知AD ＝AC ＋CD ＝AC ＋12CB ＝－CA －12BC ＝－b －12a ，故①正确． ②BE ＝BC ＋CE ＝BC ＋12CA ＝a ＋12b ，故②正确． ③CF ＝CA ＋AE ＝CA ＋12AB ＝b ＋12(－a －b ) ＝－12a ＋12b ，故③正确． ④AD ＋BE ＋CF ＝－DA ＋BE ＋CF ＝－(DC ＋CA )＋BE ＋CF＝－(12a ＋b )＋a ＋12b －12a ＋12b ＝0，故④正确． 故选D.【点睛】本题考查的主要知识点是向量加减法及其几何意义，关键是要根据向量加减法及其几何意义，将未知的向量分解为已知向量．33．A【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．【详解】法一：由题意可得BA ·BC ＝2×2cos 3π＝2， BD ·CP ＝(BA ＋BC )·(BP －BC ) ＝(BA ＋BC )·[(AP －AB )－BC ] ＝(BA ＋BC )·[(λ－1)·AB －BC ] ＝(1－λ) BA 2－BA ·BC ＋(1－λ)·BA ·BC －BC 2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4 ＝－6λ＝－3，∴λ＝12，故选A. 法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，)，D (－13．令P (x,0)，由BD ·CP ＝(－33)·(x －13＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3得x ＝1. ∵AP ＝λAB ，∴λ＝12.故选A. 【点睛】1.已知向量a ，b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解．设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2. 2.通过建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标形式计算.34．D【分析】设CO yBC =，则()1AO AC CO AC yBC yAB y AC =+=+=-++，根据3BC CD =得出y 的范围，再结合()1AO xAB x AC =+-得到,x y 的关系，从而得出x 的取值范围.【详解】设CO yBC =，则()()1AO AC CO AC yBC AC y AC AB yAB y AC =+=+=+-=-++, 因为3BC CD =，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)， 所以10,3y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为()1AO xAB x AC =+-，所以x y =-，所以1,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的线性运算，考查利用向量关系式求参数的取值范围问题，难度一般.35．D【分析】根据向量的加法的几何意义即可求得结果.【详解】在ABC ∆中，M 是BC 的中点，又,AB a BC b ==， 所以1122AM AB BM AB BC a b =+=+=+， 故选D.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目.。
高考数学一轮复习 4.4平面向量的综合问题课件 文 湘教版
； ； ．
α－β＝kπ(k∈Z)
1.已知向量 a=(cos75°，sin75°)，b=(cos15°，sin15°)，那么|a－b|的值是（ A．
）
1 2
B．
2 2
C．
3 2
D．1
【解析】 |a－b|2=(a－b)·(a－b)=a2－2a·b+b2=1－2cos(75°－15°)+1=1,所以|a－b|=1． 【答案】 D
，∵b⊥x 轴， ∴b=(0,－1)， 3 C 2 ∴b+c＝(cos A, 2cos 2 －1)=(cos A, cos C)，
(2)由题意得 B= ∴|b+c|2=cos2A+cos2C=1+ (cos2A+cos2C)=1+ ［cos2A+cos2( =1+ cos(2A+
1 2
1 2
2 －A)］ 3
4.如图，△ABC 的外接圆的圆心为 O，AB＝2，AC＝3，BC＝7，则 AO·BC＝ .
【解析】 AO BC ＝ AO ·( AC － AB ) ＝ AO · AC － AO · AB ， ∵ OA ＝ OB ，
1 ∴ AO 在 AB 上的投影为 | AB |， 2
1 ∴ AO · AB ＝ | AB |·| AB |＝2， 2
以平面向量为载体，进行三角函数计 算．求解这一类问题时，除了正确运用平面向 量的运算(如线性运算或数量积计算等)外，还 需要灵活运用好三角函数中的有关公式．
已知向量 a=(2,2)，向量 b 与向量 a 的夹角为 （1）求向量 b；
3 ，且 a·b=-2. 4
C （2）向量 c=(cos A, 2cos 2 ） ，其中 A、C 是△ABC 的内角， 若三角形的三内角 A、B、C 依
高考数学一轮复习平面向量多选题知识点及练习题及解析
高考数学一轮复习平面向量多选题知识点及练习题及解析一、平面向量多选题1．对于给定的ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是（ ） A ．212AO AB AB ⋅=B ．OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅C ．过点G 的直线l 交AB AC 、于E F 、，若AE AB λ=，AF AC μ=，则113λμ+=D ．AH 与cos cos AB AC AB BAC C+共线【答案】ACD 【分析】根据外心在AB 上的射影是AB 的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A 正确；利用向量的数量积的运算法则可以OA OB OA OC =即OA BC ⊥，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B 错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C 正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定cos cos AB AC AB BAC C+与BC 垂直，从而说明D 正确.【详解】如图，设AB 中点为M,则OM AB ⊥,AO cos OAM AM ∴∠=()21·cos cos ?22ABAO AB AO AB OAB AB AO OAB AB AB ∴=∠=∠==,故A 正确；··OAOB OAOC =等价于()·0OA OB OC -=等价于·0OACB =,即OA BC ⊥，对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中， 若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直.故B 错误；设BC 的中点为D ,则()211111133333AG AD AB AC AE AF AE AF λμλμ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭， ∵E,F,G 三点共线，11133λμ∴+=，即113λμ+=,故C 正确； cos cos cos cos AB AC AB BC AC BC BC AB B AC C AB B AC C ⎛⎫⋅⋅ ⎪+⋅=+ ⎪⎝⎭()cos cos cos cos AB BC B AC BC C AB BAC Cπ⋅-⋅=+0BC BC =-+=,∴cos cos AB AC AB BAC C+与BC 垂直,又AH BC ⊥,∴cos cos AB AC AB BAC C+与AH共线，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定.2．已知a ，b 是平面上夹角为23π的两个单位向量，c 在该平面上，且()()·0a c b c --=，则下列结论中正确的有（ ）A ．||1a b +=B ．||3a b -=C ．||3<cD ．a b +，c 的夹角是钝角【答案】ABC 【分析】在平面上作出OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，作OC c =，则可得出C 点在以AB 为直径的圆上，这样可判断选项C 、D ． 由向量加法和减法法则判断选项A 、B ． 【详解】 对于A ：()2222+2||+cos13a b a ba b a b π+=+=⨯⨯=，故A 正确； 对于B ：设OA a =，OB b =，1OA OB ==，23AOB π∠=，则2222+c 32os3AB O OA O A O B B π-⋅==，即3a b -=，故B 正确； OC c =，由(a ﹣c )·(b ﹣c )=0得BC AC ⊥，点C 在以AB 直径的圆上（可以与,A B 重合）．设AB 中点是M ，c OC =的最大值为13+32222+A b B O MC a M +==+<，故C 正确； a b +与OM 同向，由图，OM 与c 的夹角不可能为钝角．故D 错误． 故选：ABC ．【点睛】思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出OA a =，OB b =，OC c =，确定C 点轨迹，然后由向量的概念判断．3．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O ､G ､H 分别是ABC 的外心､重心､垂心，且M 为BC 的中点，则（ ）A ．0GA GB GC ++= B ．24AB AC HM MO +=- C ．3AH OM =D ．OA OB OC ==【答案】ABD 【分析】向量的线性运算结果仍为向量可判断选项A ；由12GO HG =可得23HG HO =，利用向量的线性运算()266AB AC AM GM HM HG +===-，再结合HO HM MO =+集合判断选项B ；利用222AH AG HG GM GO OM =-=-=故选项C 不正确，利用外心的性质可判断选项D ，即可得正确选项. 【详解】因为G 是ABC 的重心，O 是ABC 的外心，H 是ABC 的垂心， 且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以12GO HG =， 对于选项A ：因为G 是ABC 的重心，M 为BC 的中点，所以2AG GM =， 又因为2GB GC GM +=，所以GB GC AG +=，即0GA GB GC ++=，故选项A 正确；对于选项B ：因为G 是ABC 的重心，M 为BC 的中点，所以2AG GM =，3AM GM =，因为12GO HG =，所以23HG HO =， ()226663AB AC AM GM HM HG HM HO ⎛⎫+===-=- ⎪⎝⎭()646424HM HO HM HM MO HM MO =-=-+=-，即24AB AC HM MO +=-，故选项B 正确；对于选项C ：222AH AG HG GM GO OM =-=-=，故选项C 不正确； 对于选项D ：设点O 是ABC 的外心，所以点O 到三个顶点距离相等，即OA OB OC ==，故选项D 正确；故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用已知条件12GO HG =得23HG HO =，利用向量的线性运算结合2AG GM =可得出向量间的关系.4．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是,AC AB 上的点，且AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则（ ）A ．0OC EO +=B ．0AB CE ⋅=C ．3OA OB OC OD +++=D ．ED 在BC 方向上的投影为76【答案】BD 【分析】可证明EO CE =，结合平面向量线性运算法则可判断A ；由AB CE ⊥结合平面向量数量积的定义可判断B ；建立直角坐标系，由平面向量线性运算及模的坐标表示可判断C ；由投影的计算公式可判断D. 【详解】因为ABC 是边长为2的等边三角形，AE EB =，所以E 为AB 的中点，且CE AB ⊥，以E 为原点如图建立直角坐标系，则()0,0E ，()1,0A -，()10B ,，(3C ， 由2AD DC =可得2223,333AD AC ⎛== ⎝⎭，则13,33D ⎛- ⎝⎭， 取BD 的中点G ，连接GE ，易得//GE AD 且12GE AD DC ==， 所以CDO ≌EGO △，EO CO =，则3O ⎛ ⎝⎭，对于A ，0OC EO EC +=≠，故A 错误； 对于B ，由AB CE ⊥可得0AB CE ⋅=，故B 正确； 对于C ，31,OA ⎛=- ⎝⎭，31,OB ⎛= ⎝⎭，3OC ⎛= ⎝⎭，133OD ⎛=- ⎝⎭，所以13,3OA OB OC OD⎛⎫+++=--⎪⎪⎝⎭，所以23OA OB OC OD+++=，故C错误；对于D，()1,3BC=-，123,33ED⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，所以ED在BC方向上的投影为127326BC EDBC+⋅==，故D正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：建立合理的平面直角坐标系是解题关键.5．正方形ABCD的边长为1，记AB a=，BC b=，AC c=，则下列结论正确的是（）A．()0a b c-⋅=B．()0a b c a+-⋅=C．()0a cb a--⋅=D．2a b c++=【答案】ABC【分析】作出图形，利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A、B选项的正误；利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C选项的正误；利用平面向量的加法法则可判断D选项的正误.【详解】如下图所示：对于A选项，四边形ABCD为正方形，则BD AC⊥，a b AB BC AB AD DB-=-=-=，()0a b c DB AC∴-⋅=⋅=，A选项正确；对于B选项，0a b c AB BC AC AC AC+-=+-=-=，则()00a b c a a+-⋅=⋅=，B 选项正确；对于C选项，a c AB AC CB-=-=，则0a cb CB BC--=-=，则()0a c b a --⋅=，C 选项正确；对于D 选项，2a b c c ++=，222a b c c ∴++==，D 选项错误. 故选：ABC. 【点睛】本题考查平面向量相关命题正误的判断，同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.6．设a ，b ，c 是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列选项，其中正确的有（ ）A ．()a cbc a b c ⋅-⋅=-⋅ B ．()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 不垂直 C ．a b a b -<-D ．()()22323294a b a b a b +⋅-=- 【答案】ACD 【分析】A ，由平面向量数量积的运算律可判断；B ，由平面向量垂直的条件、数量积的运算律可判断；C ，由a 与b 不共线，可分两类考虑：①若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；②若a b >，由a 、b 、a b -构成三角形的三边可进行判断；D ，由平面向量的混合运算将式子进行展开即可得解. 【详解】选项A ，由平面向量数量积的运算律，可知A 正确； 选项B ，()()()()()()()()0b c a c a b c b c a c c a b c b c a c b c c a ⎡⎤⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⎣⎦， ∴()()b c a c a b ⋅⋅-⋅⋅与c 垂直，即B 错误；选项C ，∵a 与b 不共线，∴若a b ≤，则a b a b -<-显然成立；若a b >，由平面向量的减法法则可作出如下图形：由三角形两边之差小于第三边，可得a b a b -<-.故C 正确；选项D ，()()22223232966494a b a b a a b a b b a b +⋅-=-⋅+⋅-=-，即D 正确. 故选：ACD 【点睛】本小题主要考查向量运算，属于中档题.7．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．1233BE BA BC =+ C ．数列{a n }为等比数列 D ．14nn n a a +-=【答案】BD 【分析】 证明1233BE BA BC =+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误；数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn n a a +-=，所以选项D 正确，易得321a =，选项C 不正确.【详解】因为2AE EC =，所以23AE AC =， 所以2()3AB BE AB BC +=+, 所以1233BE BA BC =+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），则当n ≥2时，由()()1123n n n n BD tBE a a BA a a BC -+==-+-，所以()()111123n n n n BE a a BA a a BC t t-+=-+-， 所以()11123n n a a t --=，()11233n n a a t +-=， 所以()11322n n n n a a a a +--=-， 易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误； 因为2a -1a =4，114n nn n a a a a +--=-，所以数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn n a a +-=，所以选项D 正确，易得321a =，显然选项C 不正确. 故选：BD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（ ） A ．1122AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133BM BA BD =+ D ．1233CM CA CD =+ 【答案】ABD 【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点.对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得1122AD AB AC =+，故A 正确； 对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；对于C 选项，()2212=3333BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误； 对于D 选项，()22123333CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.9．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确；对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角，可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC.【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.10．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（ ）A ．a 为单位向量B ．//b BC C ．a b ⊥D ．()6a b BC +⊥ 【答案】ABD【分析】 求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确； 对于B 选项，3AC a b AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；对于C 选项，21123cos 0333a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，()()()2260a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.故选：ABD.【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.。
高三数学总复习专题7 平面向量(答案及解析)
高三数学总复习专题7 平面向量方法点拨1．对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算． 2．在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当≠0b 时，∥a b ⇔存在唯一实数λ，使得λ=a b )来判断．3．一般地，用向量方法解决模的问题的途径有三：一是利用公式22=a a ，将模的平方转化为数量积问题；二是利用模的几何意义；三是坐标法．解决向量的夹角问题主要是利用公式“cos ,⋅=⋅a ba b a b”将向量的夹角问题转化为数量积及模的问题来解决．4．求解向量数量积最值问题的两种思路（1）直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．（2）建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．经典试题汇编一、选择题．1．（北京市丰台区2018-2019学年高三一模）已知O ，A ，B 是平面内的三个点，直线AB 上有一点C ，满足AB AC +=0，则OC =（ ） A ．2OA OB -B ．2OA OB -+C ．2133OA OB - D ．1133OA OB -+2．（衡水金卷2021-2022学年度高三一模）在平行四边形ABCD 中，点E ，F 满足2DE EC =，2AE AF =，且DF AE ⊥，设||||AB AD λ=，则λ=（ ）A ．43B ．32C ．2D ．3．（广西钦州市、崇左市2021届高三一模）已知向量(1,2),(,1)x =-=a b ，若2⊥a b ，则实数x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．（四川省资阳市2021-2022学年高三一模）已知平面向量()2,2=a ，()1,t =-b ．若()+∥a b a ，则t =（ ）A ．4-B ．2-C ．1-D ．15．（四川省巴中市2020-2021学年高三一模）已知向量(1,2),(2,3),(3,)OA OB OC t =-=-=， 若,,A B C 三点共线，则实数t =（ ） A ．4-B ．5-C ．4D ．56．（河南省联考2021-2022学年高三一模）已知向量a ，b 满足2=a ，3=b ，3⋅=-a b ， 则3+=a b （ ）A B CD ．7．（云南省昆明市第一中学2022届高三一模）已知向量()2,1=-a ，5⋅=a b ，8+=a b ， 则=b （ ） A ．5B ．6C ．7D ．88．（2010年四川省成都石室中学高三一模）已知,a b 是非零向量且满足(2)-⊥a b a ，(2)-⊥b a b ，则a 与b 的夹角是（ ）A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π9．（州省遵义市2021届高三一模）已知向量,a b 为相互垂直的单位向量，若=-c b ，则向量a 与向量c 的夹角为（ ） A ．3π-B ．6π-C ．6πD ．3π10．（福建省泉州市2021届高三一模）已知单位向量a ，b 满足14⋅=a b ，且2=+c a b ，则sin ,=a c （ ）A B C D ．3811．（福建省龙岩市2021届高三一模）在ABC 中，60A =︒，2AB =，3AC =，3CM MB =，则AM BC ⋅=（ ）A ．311-B ．34-C ．34D ．31112．（安徽省合肥市2020-2021学年高三一模）在ABC 中，2AB =，3AC =，2BD DC =，AE EB =，则AD CE ⋅=（ ）A ．76-B ．76C ．163-D ．16313．（2017届河北衡水中学高三一模）如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若AC AM BD λμ=+，则λμ+=（ ）A ．43B ．53C ．158D ．214．（安徽省淮北市2020-2021学年高三一模）在ABC 中，点D 是线段BC (不包括端点)上的动点，若AB xAC yAD =+，则（ ） A ．1x >B ．1y >C ．1x y +>D ．1xy >15．（多选）（广东省珠海市2021届高三一模）ABC 中，D 为AC 上一点且满足13AD DC =，若P 为BD 上一点，且满足AP AB AC λμ=+，λ、μ为正实数，则下列结论正确的是（ ） A ．λμ的最小值为16 B ．λμ的最大值为116C ．114λμ+的最大值为16 D ．114λμ+的最小值为4 16．（西南名校联盟2022届高三一模）如图，在△ABC 中，点M 是AB 上的点且满足3AM MB =，N 是AC 上的点且满足AN NC =，CM 与BN 交于P 点，设,AB AC ==a b ，则AP =（ ）A ．1124+a bB ．3155+a bC ．1142+a bD ．33105+a b 17．（安徽省六安市舒城中学2021届高三一模）已知a ，b 是两个夹角为3π的单位向量，则k -b a 的最小值为（ ）A ．14B ．12C ．34D ．218．（四川省资阳市2021-2022学年高三一模）已知e 为单位向量，向量a 满足：()()50--=⋅a e e a ，则+a e 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．719．（贵州省铜仁市2021届高三一模）已知ABC ，3AM AB =，3AN AC =，点P 是四边形BCNM 内（含边界）的一点，若(,)AP xAB yAC x y =+∈R ，则()()2211x y +++的最大值与最小值之差为（ ） A ．12 B ．9 C ．252D ．172二、填空题．20．（广东省2021届高三一模）已知||1=a ，||3=b ，且||2-=a b ，则|2|+=a b ______． 21．（2020届山东省威海市高三一模）已知a ，b 为单位向量，2=-c a b ，且,3π<>=a b ，则,〈〉=a c ________．22．（宁夏银川市唐徕回民中学2021届高三一模）已知单位向量,a b 的夹角为6π，则b 在a 上的投影为_________，||-=a _________．23．（四川省达州市2021-2022届高三一模）两个非零向量a ，b ，定义||||||sin ,⨯=〈〉a b a b a b ．若(1,0,1)=a ，(0,2,2)=b ，则||⨯=a b _________．24．（吉林省蛟河市一中2018-2019学年高三一模）如图，在ABC 中，,,D E F 分别为,,BC CA AB 上的点，且35CD BC =，12EC AC =，13AF AB =．设P 为四边形AEDF 内一点（P 点不在边界上），若13DP DC DE λ=-+，则实数λ的取值范围为______．三、解答题．25．（天津市北辰区2022届高三一模）已知2sin ,sin 12x x π⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a ，cos ,2sin 12x x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b ，()f x =⋅a b ．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）若将()f x 图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求()g x 的对称轴及其对称中心．参考答案一、选择题． 1．【答案】A【解析】由向量的运算法则可得,AB OB OA AC OC OA =-=-， 代入已知式子AB AC +=0，可得()()OB OA OC OA -+-=0，可得：2OB OC OA +=， 可得：2OC OA OB =-，故选A ． 2．【答案】B【解析】由2AE AF =得F 是AE 的中点，又由DF AE ⊥，得22||||||||33AD DE DC AB ===，所以3||||2AB AD =， 故选B ．3．【答案】B【解析】2⊥a b ，2240x ∴⋅=-+=a b ，解得2x =， 故选B ． 4．【答案】C【解析】由题意，平面向量()2,2=a ，()1,t =-b ，可得(1,2)t +=+a b ， 因为()+∥a b a ，所以2(2)210t ⨯+-⨯=，解得1t =-， 故选C ． 5．【答案】A【解析】因为(1,2),(2,3),(3,)OA OB OC t =-=-=， 所以(2,3)(1,2)(1,1)AB OB OA =-=---=-，(3,)(1,2)(2,2)AC OC OA t t =-=--=+，又,,A B C 三点共线，所以向量AB 与向量AC 共线，所以220t ++=，解得4t =-， 故选A ． 6．【答案】C【解析】因为()222223962936367+=++⋅=+⨯+⨯-=a b a b a b ，所以3+=a b C ． 7．【答案】C【解析】由题意得：8+=a b ，∴22()64+=+=a b a b ，即22264++=⋅a b a b ，∴251064++=b ，解得7=b ，故选C ． 8．【答案】B【解析】设,a b 的夹角为θ，因为(2)-⊥a b a ，(2)-⊥b a b ，所以222==⋅a b a b ， 则22=⋅a a b ，22⋅=b a b ，则2212cos 2θ⋅===aa b a b a，3πθ∴=，故选B ． 9．【答案】C【解析】2cos ,⋅--⋅⋅====a ba ab a ca c a c， 所以,6π=a c ，故选C ．10．【答案】C【解析】单位向量a ，b 满足14⋅=ab ，且2=+ca b ，所以===c ，()21922244⋅=⋅+=+⋅=+=a c a a b a a b ，所以cos ,8⋅===⋅a c a c a c ，所以sin ,8==a c ， 故选C ． 11．【答案】C【解析】因为3CM MB =，所以34CM CB =，所以()33314444A AC AC CB AC AB B M CM AC A AC =+=+=+-=+，所以()3144AM BC A B C AB A AC ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭22223311131cos604444244AB AB AC A A AB AC AC B B AC AC =⋅-+-⋅=⋅-+ 2211313232322444=⨯⨯⨯-⨯+⨯=， 故选C ． 12．【答案】C【解析】由题意作出图形，如图，因为2BD DC =，AE EB =，所以()()()22112,23332AD AB BC AB AC AB AC AB CE AC AB =+=+-=+=-+， 所以()()()()2211111622444932663AD CE AC ABAC AB AB AC ⋅=+⋅-+=-=⨯-⨯=-， 故选C ． 13．【答案】B【解析】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，由此，()()11,1,1,,1,12AC AM BD ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，故11,12λμλμ=-=+， 解得415,,333λμλμ==+=，故选B ．14．【答案】B【解析】设()01BD BC λλ=<<，所以AD AB AC AB λλ-=-，所以()1AB AD AC λλ-=-，所以111AB AD AC λλλ=---， 所以1,11x y λλλ=-=--，所以01x λλ=-<-，11=11111y λλλλλλ-+==+>---，又111x y λλ-+==-，()201xy λλ=-<-，故选B ． 15．【答案】BD【解析】证明：因为A 、B 、C 三点共线，可设AC mAB =，即()OC OA m OB OA -=-， 所以，()1OC m OA mOB xOA yOB =-+=+，所以，1x y +=．λ、μ为正实数，13AD DC =，即()1133AD DC AC AD ==-，故4AC AD =， 4AP AB AD λμ=+，且P 、B 、D 三点共线，41λμ∴+=，∴21141444216λμλμλμ+⎛⎫=⋅⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12λ=，18μ=时取等号， ()111144224444μλλμλμλμλμ⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当12λ=，18μ=时取等号， 故选BD ． 16．【答案】B【解析】334AM MB AM AB =⇒=，12AN NC AN AC =⇒=， 由C ，P ，M 共线，存在λ∈R ，使3(1)(1)4AP AC AM AP AC AB λλλλ-=+-⇒=+①， 由N ，P ，B 共线，存在μ∈R ，使得(1)(1)2AP AN AB AP AC AB μμμμ=+-⇒=+-②，由①②23(1)14λλμμ⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩12,55λμ==，故3155AP =+a b ，故选B ． 17．【答案】D【解析】因为a ，b 是两个单位向量，所以1=a ，1=b ， 所以()2222222222cos 3k k k k k k π-=-=+-⋅=+-⋅b a b a b a a b b a a b221331244k k k ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，所以k -≥b a ，故选D ． 18．【答案】C【解析】可设()1,0=e ，(),x y =a ，则()()()()22150,5,65x y x y x x y ⋅=-⋅-=--=+-+a e e a ， 即()2234x y -+=，则15x ≤≤，22y -≤≤，+==e a当5x=6，即+a e 的最大值为6， 故选C ． 19．【答案】C【解析】因为(,)AP xAB yAC x y =+∈R ，当点P 在BC 运动时，由向量共线定理得1x y +=，所以1x y +≥， 当点P 在MN 上运动时，由向量共线定理得11(,)33AP xAM y AN x y =+∈R ，11133x y +=，即3x y +=，所以3x y +≤， 当点P 在BM 上运动时，0y =，13x ≤≤； 当点P 在CN 上运动时，0x =，13y ≤≤，综上可知，,x y 满足的约束条件是131313x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，如图，()()2211x y +++表示可行域内的点(),P x y 和点()1,1--的距离的平方，由图可知当点()3,0P 或()0,3P 时，此时距离的平方最大，即()()22310117+++=，当点()1,1--到直线1x y +=的距离的平方是最小值，即2292d ==， 所以最大值与最小值的差是9251722-=，故选C ．二、填空题． 20．【答案】7【解析】根据题意，||1=a ，||3=b ，且||2-=a b ， 则有222||21024-=+-⋅=-⋅=a b a b a b a b ，变形可得3⋅=a b ， 则222|2|4449+=++⋅=a b a b a b ，故|2|7+=a b ， 故答案为7． 21．【答案】6π【解析】因为22cos(cos ,|||||22)2|π-⋅〈〉=====⋅--a c a a a b b c a c a ， 又,0π〈≤≤〉a c ，所以,6π〈〉=a c ，故答案为6π． 22．，1 【解析】单位向量,a b 的夹角为6π，∴b 在a上的投影为||cos ,cos 6π<>==b a b222|3|3131-=-⋅+=-+=a b a b b ，||1∴=a ，故答案为2；1．23．【答案】【解析】因为|||====a b 2⋅=a b ，所以21cos ,||||42⋅<>===⋅a b a b a b ，故sin ,2<>==a b ，所以||2⨯==a b故答案为 24．【答案】14(,)23【解析】取BD 中点M ，过M 作MH //DE 交DF ，AC 分别为G ，H ，如图：则由13DP D D DE M C DE λλ=+=-+可知，P 点在线段GH 上运动（不包括端点）， 当P 与G 重合时，根据413389DP tDF DC tDE E t D D C λ+==-=-+，可知12λ=； 当P 与H 重合时，由,,P C E 共线可知113λ-+=，即43λ=， 结合图形可知14(,)23λ∈．三、解答题．25．【答案】（1）T π=，递减区间为5[,],36k k k ππππ++∈Z ；（2）对称轴为26k x ππ=+，k ∈Z ，对称中心为(,0)212k ππ-，k ∈Z ．【解析】（1）由题设，()2sin cos 2sin sin(2)cos 21212126f x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+++=+-+ ⎪⎝⎭= ⎪⎝⎭1sin 2cos 21sin(2)1226x x x π=-+=-+， ∴最小正周期22T ππ==， 令3222262k x k πππππ+≤-≤+，可得536k x k ππππ+≤≤+，∴单调递减区间为5[,],36k k k ππππ++∈Z ．（2）()()sin(2)166g x f x x ππ=+=++，令262x k πππ+=+，则26k x ππ=+，故对称轴为26k x ππ=+，k ∈Z ；令26x k ππ+=，则212k x ππ=-，故对称中心为(,0)212k ππ-，k ∈Z ．。
高考平面向量及其应用专题及答案 百度文库
一、多选题1．题目文件丢失！2．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A bB a=，则该三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形3．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，则a 与b 垂直D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是2π 4．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A ．::sin :sin :sin a b c A B C = B ．若sin 2sin 2A B =，则a b = C ．若sin sin A B >，则A B >D ．sin sin sin +=+a b cA B C5．在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有（ ）A ．1122AE AB AC →→→=+B ．2AB EF →→=C ．1133CP CA CB →→→=+D ．2233CP CA CB →→→=+6．在ABC 中，AB =1AC =，6B π=，则角A 的可能取值为（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．2π 7．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=︒，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4.B ．若4AC =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC =D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC << 8．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）A ．已知A 、B 、C 是平面中三点，若,AB AC 不能构成该平面的基底，则A 、B 、C 共线 B ．若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．若点G 为ΔABC 的重心，则0GA GB GC ++=D ．已知()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为1λ<9．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ）A ．2OA OD ⋅=-B ．2OB OH OE +=-C ．AH HO BC BO ⋅=⋅D ．AH 在AB 向量上的投影为2-10．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（ ）A ．若a b >，则sin sin AB >B ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 是等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形11．设向量a ，b 满足1a b ==，且25b a -=，则以下结论正确的是（ ） A ．a b ⊥B ．2a b +=C ．2a b -=D ．,60a b =︒12．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A ．()10,0e =，()21,1=e B ．()11,2e =，()22,1e =-C ．()13,4e =-，234,55⎛⎫=-⎪⎝⎭e D ．()12,6=e ，()21,3=--e13．下列命题中，正确的是（ ） A ．在ABC ∆中，A B >，sin sin A B ∴> B ．在锐角ABC ∆中，不等式sin cos A B >恒成立C ．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC ∆必是等腰直角三角形D ．在ABC ∆中，若060B =，2b ac =，则ABC ∆必是等边三角形14．某人在A 处向正东方向走xkm 后到达B 处,他向右转150°,然后朝新方向走3km 到达C 处,3km ,那么x 的值为( ) A 3B ．3C ．33D ．315．下列说法中错误的是( )A ．向量AB 与CD 是共线向量,则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上 B ．零向量与零向量共线 C ．若,a b b c ==，则a c =D ．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量二、平面向量及其应用选择题16．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且12MP MN =，则P 点的坐标为( ) A ．(－8,1) B ．31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(8，－1)17．已知非零向量AB ，AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，且1||||2AB AC AB AC =，则ABC ∆的形状是( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰（非等边）三角形D ．等边三角形18．设θ为两个非零向量,a b →→的夹角，已知对任意实数t ，||b t a →→-的最小值为1，则（ ）A ．若θ确定，则||a →唯一确定 B ．若θ确定，则||b →唯一确定 C ．若||a →确定，则θ唯一确定D ．若||b →确定，则θ唯一确定19．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cosA 3cosB 5cosCa b c==，则∠B 的大小是（ ） A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π20．在三角形ABC 中，若三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1a =，c =45B =︒，则sin C 的值等于（ ）A ．441B ．45C ．425D 21．在ABC 中，若()()0CA CB CA CB +⋅-=，则ABC 为（ ） A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．无法确定22．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O ，H 分别是△ABC 的外心、垂心，且M 为BC 中点，则 （ ）A ．33AB AC HM MO +=+ B ．33AB AC HM MO +=- C ．24AB AC HM MO +=+D ．24AB AC HM MO +=- 23．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形24．已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=，则::PAB PAC PBC S S S =△△△（ ）A ．1∶2∶3B ．1∶2∶1C ．2∶1∶1D ．1∶1∶225．在ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若()22S a b c +=+，则cos A 等于（ ）A ．45B ．45-C ．1517D ．1517-26．已知1a b ==，12a b ⋅=，(),1c m m =-，(),1d n n =-(m ，n R ∈).存在a ，b ，对于任意实数m ，n ，不等式a c b d T -+-≥恒成立，则实数T 的取值范围为（ ） A ．(,32⎤-∞+⎦B ．)32,⎡++∞⎣C ．(,32⎤-∞-⎦D ．)32,⎡-+∞⎣27．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ，测得45BDC ∠=︒，则塔AB 的高是（单位：m ）（ ）A ．2B ．106C ．103D ．1028．在ABC 中，()2BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形29．在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若AB AF 3→→=，则AE BF→→的值为（ ） A ．0B 83C ．-4D ．430．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ⋅等于（ ）A ．316- B ．316 C ．12D ．12-31．三角形ABC 的三边分别是,,a b c ，若4c =，3C π∠=，且sin sin()2sin 2C B A A +-=，则有如下四个结论：①2a b = ②ABC ∆的面积为83③ABC ∆的周长为443+ ④ABC ∆外接圆半径433R =这四个结论中一定成立的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个32．如图所示，设P 为ABC ∆所在平面内的一点，并且1142AP AB AC =+，则BPC ∆与ABC ∆的面积之比等于（ ）A ．25B ．35C ．34D ．1433．在ABC ∆中，下列命题正确的个数是（ ）①AB AC BC -=；②0AB BC CA ++=；③点O 为ABC ∆的内心，且()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆为等腰三角形；④0AC AB ⋅>，则ABC ∆为锐角三角形．A ．1B ．2C ．3D ．434．在ABC ∆中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ∆的外心，若AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（ ）A ．34B ．53C ．73D ．8335．已知ABC 的面积为30，且12cos 13A =，则AB AC ⋅等于（ ） A ．72B ．144C ．150D ．300【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、多选题 1．无 2．D 【分析】在中，根据，利用正弦定理得，然后变形为求解. 【详解】 在中，因为， 由正弦定理得， 所以，即， 所以或， 解得或.故是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】 本题主要考查 解析：D 【分析】 在ABC 中，根据cos cos A b B a =，利用正弦定理得cos sin cos sin A BB A=，然后变形为sin 2sin 2A B =求解.【详解】在ABC 中，因为cos cos A bB a =， 由正弦定理得cos sin cos sin A BB A=， 所以sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-，解得A B =或2A B π+=.故ABC 是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．CD 【分析】对于A 由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量与的夹角是，所以该命题是真命题. 【详解解析：CD 【分析】对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出()()()222a b a b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 【详解】对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题； 对于B ，()()22222cos cos a ba b a b αα⋅==，而()()2222a ba b ⋅=，由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2cos 1α≠，所以()()()222a b a b ⋅≠⋅，所以该命题是假命题；对于C ，若非零向量a 、b 满足222a ba b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2π，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.4．ACD 【分析】根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】对于A ，在，由正弦定理得，则，故A 正确；对于B ，若，则或，所以和不一定相等，故B 错误； 对于C ，若，由正弦定理知，由于三角形中，大边对大角解析：ACD 【分析】根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】对于A ，在ABC ，由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===，则::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==，故A 正确；对于B ，若sin 2sin 2A B =，则A B =或2A B π+=，所以a 和b 不一定相等，故B 错误；对于C ，若sin sin A B >，由正弦定理知a b >，由于三角形中，大边对大角，所以A B >，故C 正确；对于D ，由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===，则2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R CR B C B C ++==++，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于基础题. 5．AC【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】 如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知， , A 是正确的；因为EF 是中位线，所以B 是正确的； 根据三角形重心解析：AC 【分析】由已知结合平面知识及向量共线定理分别检验各选项即可. 【详解】 如图：根据三角形中线性质和平行四边形法则知，111()()222AE AB BE AB BC AB AC AB AC AB →→→→→→→→→→=+=+=+-=+, A 是正确的；因为EF 是中位线，所以B 是正确的；根据三角形重心性质知，CP =2PG ，所以22113323CP CG CA CB CA CB →→→→→→⎛⎫⎛⎫==⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 是正确的，D 错误. 故选：AC 【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的简单应用，熟记一些基本结论是求解问题的关键，属于中档题.6．AD 【分析】由余弦定理得，解得或，分别讨论即可. 【详解】 由余弦定理，得， 即，解得或.当时，此时为等腰三角形，，所以； 当时，，此时为直角三角形，所以. 故选：AD 【点睛】 本题考查余弦解析：AD 【分析】由余弦定理得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅，解得1BC =或2BC =，分别讨论即可. 【详解】由余弦定理，得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅， 即231323BC BC =+-，解得1BC =或2BC =.当1BC =时，此时ABC 为等腰三角形，BC AC =，所以6A B π==；当2BC =时，222AB AC BC +=，此时ABC 为直角三角形，所以A =2π. 故选：AD 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.7．ABD 【分析】根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】解：由正弦定理得，故正确； 对于，，选项：如图解析：ABD 【分析】根据正弦定理，可直接判断A 的对错，然后B ，C ，D 三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】解：由正弦定理得224sin sin30AB R ACB ===∠︒，故A 正确；对于B ，C ，D 选项：如图：以A 为圆心，2AB =为半径画圆弧，该圆弧与射线CD 的交点个数，即为解得个数． 易知当122x =，或即4AC =时，三角形ABC 为直角三角形，有唯一解； 当2AC AB ==时，三角形ABC 是等腰三角形，也是唯一解；当AD AB AC <<，即122x x <<，24x ∴<<时，满足条件的三角形有两个．故B ，D 正确，C 错误． 故选：ABD ．【点睛】本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．8．AC【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断，由数量积及平面向量共线定理判断D ．【详解】解：因为不能构成该平面的基底，所以，又有公共解析：AC【分析】根据平面向量基本定理判断A ；由数量积的性质可判断B ；由向量的中点表示和三角形的重心性质可判断C ，由数量积及平面向量共线定理判断D ．【详解】解：因为,AB AC 不能构成该平面的基底，所以//AB AC ，又,AB AC 有公共点A ，所以A 、B 、C 共线，即A 正确；由平面向量的数量积可知，若a b b c =，则||||cos ,||||cos ,a b a b b c b c <>=<>，所以||cos ,||cos ,a a b c b c <>=<>，无法得到a c =，即B 不正确；设线段AB 的中点为M ，若点G 为ABC ∆的重心，则2GA GB GM +=，而2GC GM =-，所以0GA GB GC ++=，即C 正确；()12a =-，，()2,b λ=，若a ，b 的夹角为锐角，则220a b λ=⋅->解得1λ<，且a 与b 不能共线，即4λ≠-，所以()(),44,1λ∈-∞--，故D 错误；故选：AC ．【点睛】本题考查向量共线定理和向量数量积的性质和向量的加减运算，属于中档题． 9．AB【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果．【详解】图2中的正八边形，其中，对于；故正确．对于，故正确．对于，，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误．对于解析：AB【分析】直接利用向量的数量积的应用，向量的夹角的应用求出结果．【详解】图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中||1OA =，对于3:11cos 4A OA OD π=⨯⨯=；故正确． 对于:22B OB OH OA OE +==-，故正确．对于:||||C AH BC =，||||HO BO =，但对应向量的夹角不相等，所以不成立．故错误． 对于:D AH 在AB 向量上的投影32||cos||4AH AH π=-，||1AH ≠，故错误． 故选：AB ．【点睛】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量的夹角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 10．AC【分析】对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判解析：AC【分析】对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =，从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确；对D ，首先根据余弦定理得到A 为锐角，但B ，C 无法判断，故D 错误.【详解】对选项A ，2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >⇒>⇒>，故A 正确；对选项B ，因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =⇒=所以A B =或2A B π+=，则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误；对选项C ，因为cos cos a B b A c -=，所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+，sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+，sin cos cos sin B A A B -=，因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，2A π=，ABC 是直角三角形，故③正确； 对D ，因为2220a b c +->，所以222cos 02a b c A ab +-=>，A 为锐角. 但B ，C 无法判断，所以无法判断ABC 是锐角三角形，故D 错误.故选：AC【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题.11．AC【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可.【详解】，且,平方得，即，可得，故A 正确；，可得，故B 错误；，可得，故C 正确；由可得，故D 错误;故选：AC【点睛】解析：AC【分析】由已知条件结合向量数量积的性质对各个选项进行检验即可.【详解】1a b ==，且25b a -=,平方得22445b a a b +-⋅=，即0a b ⋅=，可得a b ⊥，故A 正确；()22222a b a b a b +=++⋅=，可得2a b +=，故B 错误； ()22222a b a b a b -=+-⋅=，可得2a b -=，故C 正确； 由0a b ⋅=可得,90a b =︒，故D 错误;故选：AC【点睛】 本题考查向量数量积的性质以及向量的模的求法，属于基础题.12．ACD【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可. 【详解】A ，C ，D 中向量与共线，不能作为基底；B 中，不共线，所以可作为一组基底．【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属解析：ACD【分析】依次判断各选项中的两向量是否共线即可.【详解】A ，C ，D 中向量1e 与2e 共线，不能作为基底；B 中1e ，2e 不共线，所以可作为一组基底．【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属于基础题.【分析】对于选项在中，由正弦定理可得，即可判断出正误；对于选项在锐角中，由，可得，即可判断出正误；对于选项在中，由，利用正弦定理可得：，得到或即可判断出正误；对于选项在中，利用余弦定理可得解析：ABD【分析】对于选项A 在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，即可判断出正误；对于选项B 在锐角ABC ∆中，由022A B ππ>>->，可得sin sin()cos 2A B B π>-=，即可判断出正误；对于选项C 在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin 2sin 2A B =，得到22A B =或222A B π=-即可判断出正误；对于选项D 在ABC ∆中，利用余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-，代入已知可得a c =，又60B =︒，即可得到ABC ∆的形状，即可判断出正误.【详解】对于A ，由A B >，可得：a b >，利用正弦定理可得：sin sin A B >，正确； 对于B ，在锐角ABC ∆中，A ，(0,)2B π∈，2A B π+>，∴022A B ππ>>->，sin sin()cos 2A B B π∴>-=，因此不等式sin cos A B >恒成立，正确； 对于C ，在ABC ∆中，由cos cos a A b B =，利用正弦定理可得：sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B ∴=， A ，(0,)B π∈，22A B ∴=或222A B π=-，A B ∴=或2A B π+=， ABC ∆∴是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C 错误.对于D ，由于060B =，2b ac =，由余弦定理可得：222b ac a c ac ==+-，可得2()0a c -=，解得a c =，可得60A C B ===︒，故正确.故选：ABD .【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理及三角形边角关系，主要涉及的考点是三角形内角的诱导公式的应用，同时考查正弦定理进行边角转化，属于中等题.【分析】由余弦定理得，化简即得解.【详解】由题意得,由余弦定理得,解得或.故选：AB.【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 解析：AB【分析】 由余弦定理得293cos306x x︒+-=，化简即得解. 【详解】 由题意得30ABC ︒∠=,由余弦定理得293cos306x x ︒+-=,解得x =x故选：AB.【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15．AD【分析】利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误； 零向量与任一向量共线，故B解析：AD【分析】利用零向量，平行向量和共线向量的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，故A 错误； 零向量与任一向量共线，故B 正确；若,a b b c ==，则a c =，故C 正确；温度是数量，只有正负，没有方向，故D 错误.故选：AD【点睛】本题考查零向量、单位向量的定义，平行向量和共线向量的定义，属于基础题.二、平面向量及其应用选择题16．B【分析】由向量相等的坐标表示，列方程组求解即可.【详解】解：设P(x ，y )，则MP ＝ (x －3，y ＋2)，而12MN ＝12(－8,1)＝14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以34122x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，即31,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 故选B.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算，属基础题.17．D【分析】 先根据0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，判断出A ∠的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ，判断出三角形的形状．【详解】 解：0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，||AB AB ，||AC AC 分别为单位向量， A ∴∠的角平分线与BC 垂直，AB AC ∴=， 1cos ||||2AB AC A AB AC ==， 3A π∴∠=，3B C A π∴∠=∠=∠=，∴三角形为等边三角形．故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题．18．B【分析】2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，易得2cos b a b t a a θ⋅==时，222min 244()()14a b a b f t a-⋅==，即222||cos 1b b θ-=，结合选项即可得到答案. 【详解】 2222||2b ta b a bt a t -=-⋅+，令222()2f t b a bt a t =-⋅+，因为t R ∈， 所以当2cos b a b t a aθ⋅==时，222min 244()()4a b a b f t a -⋅=，又||b t a →→-的最小值为1， 所以2||b ta -的最小值也为1，即222min 244()()14a b a b f t a-⋅==，222||cos 1b b θ-=， 所以22||sin 1(0)b b θ=≠，所以1sin b θ=，故若θ确定，则||b →唯一确定. 故选：B【点睛】本题考查向量的数量积、向量的模的计算，涉及到二次函数的最值，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题.19．D【分析】根据正弦定理，可得111tan tan tan 235A B C ==，令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，再结合公式tan tan()B A C =-+，列出关于k 的方程，解出k 后，进而可得到B 的大小.【详解】解：∵2cosA 3cosB 5cosC a b c ==， ∴sin sin sin 2cos 3cos 5cos A B C A B C ==， 即111tan tan tan 235A B C ==， 令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，显然0k >， ∵tan tan tan tan()tan tan 1A C B A C A C +=-+=-， ∴273101k kk =-，解得k = ∴tan 3B k ==B ＝3π．【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用k 表示tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =是本题关键20．B【分析】在三角形ABC 中，根据1a =，c =45B =︒，利用余弦定理求得边b ,再利用正弦定理sin sin b c B C=求解. 【详解】 在三角形ABC 中， 1a =，c =45B =︒，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，13221252=+-⨯⨯=， 所以5b =， 由正弦定理得：sin sin b c B C=，所以2sin 42sin 55c B C b ===，故选：B【点睛】本题主要考查余弦定理和正弦定理的应用，所以考查了运算求解的能力，属于中档题. 21．C【分析】利用平面向量的数量积的运算性质可得(CA CB + 2222)()0CA CB CA CB b a -=-=-=，从而可得答案．【详解】 解：在ABC 中，(CA CB + 2222)()0CA CB CA CB b a -=-=-=， a b ∴=，ABC ∴为等腰三角形，故选：C ．【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查向量的数量积的运算性质，属于中档题．22．D【分析】构造符合题意的特殊三角形（例如直角三角形），然后利用平面向量的线性运算法则进行计算即可得解．解：如图所示的Rt ABC ∆，其中角B 为直角，则垂心H 与B 重合，O 为ABC ∆的外心，OA OC ∴=，即O 为斜边AC 的中点，又M 为BC 中点，∴2AH OM =， M 为BC 中点，∴22()2(2)AB AC AM AH HM OM HM +==+=+．4224OM HM HM MO =+=-故选：D ．【点睛】本题考查平面向量的线性运算，以及三角形的三心问题，同时考查学生分析问题的能力和推理论证能力．23．D【分析】首先利用正弦定理求得sin 2sin 2A B =，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果．【详解】解：已知：cos cos a A b B =，利用正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===， 解得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以：22A B =或21802A B =︒-，解得：A B =或90A B +=︒所以：ABC 的形状一定是等腰或直角三角形故选：D ．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的诱导公式的应用，属于中档题． 24．B【分析】延长PB 至D ，可得出点P 是ADC 的重心，再根据重心的性质可得出结论。
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专题七、平面向量抓住4个高考重点重点 1 平面向量的概念与线性运算1.平面向量的概念2.平面向量的线性运算3.一个向量与非零向量共线的充要条件及其应用[高考常考角度]角度1如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++=（ D ） A. 0 B.BE C. AD D. CF解析：BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF CF ++=++=+=+=，故选择D角度2 ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB ∠．若,,||1,||2,CB a CA b a b ====则CD =u u u r（ B ）A.1233a b + B.2133a b + C. 3455a b + D.4355a b + 点评：本试题主要考查向量的基本运算，考查角平分线定理. 解析:因为CD 平分ACB ∠，由角平分线定理得AD CA2=DBCB 1=，所以D 为A B 的三等分点， 且22AD AB (CB CA)33==-，所以2121CD CA+AD CB CA a b 3333==+=+，故选B.重点 2 平面向量基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理及其应用2.平面向量的坐标表示3.平面向量的坐标运算4.平面向量共线的坐标表示[高考常考角度]角度1给定两个长度为1的平面向量OA 和，它们的夹角为0120,如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若OC xOA yOB =+，其中x y R ∈，，则x y +的最大值是 2 .解析：设AOC α∠= ,,OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，即01cos 21cos(120)2x y x y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩∴02[cos cos(120)]cos 2sin()26x y πααααα+=+-=+=+≤角度2.已知向量(2,1),(1,),a b m =-=-(1,2)c =-，若()//,a b c +则m =__－1_____解析：(1,1),a b m +=-由()//,a b c +得12(1)(1)1m m ⨯--⨯-=>=-角度3已知,a b 为平面向量，且(4,3),2(3,18)a a b =+=，则,a b 夹角的余弦值等于（ C ） A.865 B. 865- C. 1665 D. 1665- 解析：由(4,3),2(3,18)(5,12)a a b b =+==>=-203616cos 51365||||a b a b θ-+=>===⨯ 角度4已知(3,2),(1,0)a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为（ A ） A. 17-B. 17C. 16-D. 16解析：由已知得向量22()(2)0220a b a b a a b a b b λλλ+-==>-⋅+⋅-=1136320,7λλλ=>-+-=∴=-重点 3 平面向量的数量积1.数量积的几何意义2.数量积的运算律3.数量积的坐标表示4.数量积的性质[高考常考角度]角度1已知1e 、2e 是夹角为π32的两个单位向量，12122,,a e e b ke e =-=+ 若0a b ⋅=，则k 的值为____54______解析：由2121212120(2)()2(12)0a b e e ke e ke e k e e ⋅==>-+=-+-⋅=152(12)()024k k k =>-+--==>=角度2 (2011 江西) 已知||||2a b ==，(2)()2a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为 3π.解析：根据已知条件2)()2(-=-∙+→→→→b a b a ，去括号得：22||2||422cos 242a a a b θ+⋅-=+⨯⨯-⨯=-，1c o s ,23πθθ=>== 角度3若a ，b ，c 均为单位向量，且0a b =，()()0a c b c --≤，则||a b c +-的最大值为( ) A ．12-B ．1C ．2D ．2解析：22()()00a c b c a b a c b c c a c b c c --≤⇒--+=--+≤，2222||()222a b c a b c a b c a b a c b c +-=+-=+++--22321a c b c c =-≤-=，故选择B 。
角度4已知向量(1,2),(2,4),||5,a b c ==--=若5()2a b c +⋅=，则a 与c 的夹角为（ D ） A. 030 B. 060 C. 090 D. 0120 解析：一般地，设(,)c x y =，则由22||55c x y ==>+= ① ，5()24502a b c x y +⋅==>++= ② 从而解方程组，呵呵，就好玩了.正解：(1,2),a b a +=--=-由05551()||||cos cos ,1202222a b c a c a c θθθ+⋅==>-⋅==>=-=>=-∴=，故选D 重点 4 平面向量的应用1.利用平面向量解决解析几何问题2.解决向量与三角函数的综合题[高考常考角度]角度1已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ,090ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则|3|PA PB +的最小值为____5______解析：建立如图所示的坐标系，设PC h =，则(2,0),(1,)A B h ，设(0,),(0)P y y h ≤≤ 则(2,),(1,)PA y PB h y =-=-，∴|3|255PA PB +=≥=.角度2设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =，则点A 的坐标是 (0,1),(0,1- .解析：由已知得12(F F ，设点(,),(,)A m n B c d ，则12(2,),()F A m n F B c d =+=- 由125()5()55m nF A F B m n c d c d +==>+==>==，又点(,),(,)A m n B c d 在椭圆上 所以2213m n +=……..① 22()5()135m n ++=…….② 解①②得0,1m n ==±，故点A 的坐标是(0,1),(0,1)-角度3 已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),(sin 2sin ,cos 2cos )a b x x c x x αααα===++，其中0.x απ<<< （Ⅰ）若4πα=，求函数()f x b c =⋅的最小值及相应的x 的值；（Ⅱ）若a 与b 的夹角为3π，且,a c ⊥求tan 2α的值. 解析：（Ⅰ）由已知得()(cos ,sin )(sin 2sin ,cos 2cos )f x b c x x x x αα=⋅=⋅++cos (sin 2sin )sin (cos 2cos)2sin coscos )x x x x x x x x αα=+++=+ 令sin cos ,4t x x x ππ=+<<，则22sin cos 1x x t =-，且1t -<<则223()1(22f x t t =-=+-，1t -<<当min 3()22t f x =-=-，此时1sin cos sin()242x x x π+=-=>+=-，又5711,42444612x x x x ππππππππ<<=><+<∴+==>= （Ⅱ）a 与b 的夹角为3π c o s c o s c o s s i n s i n c o s ()3||||a b x x x a b πααα⋅∴==+=- 又0.x απ<<<0,3x x παπα<-<∴-=，,cos (sin 2sin )sin (cos 2cos )0a c x x αααα⊥∴+++=5sin()2sin 20sin(2)2sin 20sin 220,tan 232x πααααααα∴++==>++==>+=∴=突破1个高考难点难点 探究平面向量中的三角形的“四心”问题典例1 已知O 是平面上的一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足(),OP OA AB AC λ=++(0,)λ∈+∞，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆___重_____心.解析：由条件得(),OP OA AB AC λ-=+即(),AP AB AC λ=+根据平行四边形法则，AB AC +是ABC ∆的边BC 上的中线所对应向量的2倍，所以P 的轨迹一定通过ABC ∆的重心. 典例2 若动点P 满足(),||||AB AC OP OA AB AC λ=++(0,)λ∈+∞，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆___内_____心. 解析：由条件得(),||||AB AC OP OA AB AC λ-=+即(),||||AB AC AP AB AC λ=+而||AB AB 和||ACAC 分别表示平行于AB 、AC 的单位向量，知||||AB ACAB AC +平分BAC ∠（菱形的对角线平分对角），即AP 平分BAC ∠，所以P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心.典例3 若动点O 满足(),||cos ||cos AB ACOP OA AB B AC Cλ=++(0,)λ∈+∞，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的_垂_心.解析：由条件得(),||cos ||cos AB ACAP AB B AC Cλ=+从而()||cos ||cos AB BC AC BC AP BC AB B AC C λ⋅⋅⋅=+||||cos()||||cos []0||cos ||cos AB BC B AC BC CAB B AC Cπλ-=⨯+=，AP BC ∴⊥，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆垂心.典例4 若动点O 满足(),2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++(0,)λ∈+∞，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆___外_心.解析：由条件得()()22||cos ||cos ||cos ||cos OB OC AB AC BP CP AB AC OP AB B AC C AB B AC Cλλ++-=+=>=+ ()02||cos ||cos BP CP AB BC AC BCBC AB B AC Cλ+⋅⋅∴⋅=+=， 即22()0||||2BP CPCP BP BP CP BP CP +⋅-==>==>=，P 的轨迹一定通过ABC ∆的外心. 规避4个易失分点易失分点1 忽视零向量典例 下列命题叙述错误的是___________①若//,//a b b c ，则//a c ； ②若非零向量a 与b 方向相同或者相反，则a b +与a 、b 之一的方向相同； ③||||||a b a b a +=+<=>与b 的方向相同； ④向量b 与a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b a λ=； ⑤0AB BA +=； ⑥若,a b λλ=则a b =解析：6个命题都是错的，对于①，0b =时，a 与b 不一定平行； 对于②，0a b +=，其方向任意，与a 、b 的方向可以都不相同； 对于③，当a 、b 之一为零向量时结论不成立；对于④，当0a =且0b =时，λ有无数个值，当0a =但0b ≠时，λ不存在； 对于⑤，由于两个向量之和仍为一个向量，所以0AB BA +=对于⑥，当0λ=时，不管a 与b 的大小与方向如何，都有,a b λλ=此时不一定有a b =.易失分点2 忽视平面向量基本定理的使用条件典例 5．已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=，若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立，则m =（ B ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：由题目条件可知，M 为ABC ∆的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，则23AM AD =①， 因为AD 为中线2AB AC AD mAM +==，即 2AD mAM = ②, 联立①②可得 3m =，故选B在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或+AC AE AF λμ=，其中R λμ∈，，则+λμ= _____43____. 解析：作图，AC 与EF 交于M 点，则M 为EF 中点，4412224(),3323333AC AM AE AF AE AF λμλμ==⨯+=+∴===>+=易失分点3 向量的模与数量积的关系不清楚典例 已知向量a 、b 满足||||1,a b ==且||3||,a kb ka b -=+其中0k > （1）试用k 表示,a b ⋅并求出a b ⋅的最大值及此时a 与b 的夹角θ的值；（2）当a b ⋅取得最大值时，求实数λ，使||a b λ+的值最小，并对这一结果作出几何解释.解析：（1）2221||3||()3()(0)4k a kb ka b a kb ka b a b k k+-=+=>-=+=>=-> 21111(),442k a b k k k +∴=-=-+≤-当且仅当1k k =即1k =取等号所以a b ⋅的最大值为12-，此时12cos 23||||a b a b πθθ⋅==-=>= （2）由题意，22113,||1()224a b a b λλλλ=-∴+=-+=-+ ∴当12λ=时，||a b λ+的值最小，此时1()02a b b +=，这表明1()2a b b +⊥易失分点4 判别不清向量的夹角典例 在ABC ∆中，||5,||3,||6,AC BC AB ===则AB CA ⋅等于（ D ） A. 13 B. 26 C. 13- D. 26- 解析：AB 与CA 的夹角为A π-而 222222||||||65313cos 265152||||AB AC BC A AB AC +-+-===⨯⨯13||||cos()65()2615AB CA AB CA A π∴⋅=-=⨯⨯-=-。