高等数学课件D1_10连续函数性质

合集下载

高等数学第一章、第十节连续函数的运算与性质

幂指函数 u( x)v( x) 的极限计算：的极限计算：
若 lim u( x) = a > 0,
x→x0
x→x0
lim v( x) = b,
lim v( x)
则有 lim u( x)v( x) = [ lim u( x)] x→x0
x→x0 x→x0
= ab .
1 求 lim( x + 2ex ) x−1. 例6 x→0 1 1 lim 解： lim( x + 2e x )x−1 = [lim( x + 2e x )] x→0 x−1 x→0 x→0
∃ M > 0, 使对∀ x∈[a, b], 都有| f ( x) |≤ M （2） f (x) 在 [ a , b ] 上一定能取得它的最大值和最小值）
即至少一点ξ1 ∈[a, b], 使 f (ξ1 )为最大值 ,
和至少一点ξ2 ∈[a, b], 使 f (ξ2 )为最小值 . y 1 注记：注记：（1）区间一定要是闭区间。）区间一定要是闭区间。 y= x 1 3 例 y = , I = (0, 1) o 1 x 在 I = (0, 1) 上连续, 但无界, 1 也无最大值和最小值。也无最大值和最小值。
第十节连续函数的运算与性质
• • • • • 一、四则运算的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性四、闭区间上连续函数的性质五、小结
一、四则运算的连续性
, 定理1 定理1 若函数 f ( x), g( x)在点x0处连续
f ( x) ( g( x0 ) ≠ 0) 则 f ( x) ± g( x), f ( x) ⋅ g( x), g( x) 在点x 在点 0 处也连续.
(1) lim f ( x) = A , lim f ( x) = B, 且 A⋅ B< 0,

高等数学闭区间上连续函数的性质

0 x 1 x =1 1 x 2
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界定理3(零点定理) 设函数f(x)在闭区间[a b]上连续且f(a)与f(b)异号那么在开区间 (a b)内至少存在一点x 使f(x)=0 注: 如果x0使f(x0)=0 则x0称为函数f(x)的零点
定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a b]上连续且f(a)与f(b)异号那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0 定理4(介值定理) 设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续且f(a)f(b) 那么对于f(a)与f(b) 之间的任意一个数C 在开区间 (a b)内至少有一点x 使得f(x)=C •推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值 m之间的任何值
第一章函数极限连续
§10 闭区间上的连续函数
一、有界性与最大值最小值定理
定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值
说明:定理说明如果函数f(x)在闭区间[a b]上连续那么
至少有一点x1[a b] 使f(x1)是f(x)在[a b]上的最大值又至少有一点x2[a b] 使f(x2)是f(x)在[a b]上的最小值
定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值应注意的问题:1、闭区间；2、连续例如函数f(x)=x在开区间(a b)内既无最大值又无最小值又如如下函数在闭区间[0 2] 内既无最大值又无最小值
x 1 y = f (x) = 1 x 3

高等数学课件：函数的连续性

1.7函数的连续性教学目的：理解函数连续性的概念，会判断函数的连续性。

掌握连续函数的四则运算，知道反函数及复合函数的连续性，掌握初等函数的连续性, 知道间断点的概念及分类，会判断其类型。

教学重点：函数连续性的概念, 连续函数的四则运算，知道反函数及复合函数的连续性.教学内容：1.6.1函数的连续性1 函数在一点的连续性定义1　设函数在点的某个邻域内有定义，自变量在点处有增量()y f x =0x 0()U x x 0x ，相应地函数值的增量x ∆00()()y f x x f x ∆=+∆-如果，就称函数在点处连续，称为函数的连续点。

0lim 0x y ∆→∆=()f x 0x 0x ()f x 函数在点处连续还可以描述如下。

()f x 0x 设函数在点的某个邻域内有定义，如果，就称函数()y f x =0x 0()U x 00lim ()()x x f x f x →=在点处连续。

()f x 0x 左连续及右连续的概念。

如果，称函数在点处左连续；如果，称函00lim ()()x x f x f x -→=()f x 0x 00lim ()()x x f x f x +→=数在点处右连续。

由于存在的充要条件是，因此，()f x 0x 0lim ()x x f x →00lim ()lim ()x x x x f x f x -+→→=根据函数连续的定义有下述结论：若函数在点的某个邻域内有定义，则它在点()y f x =0x 处连续的充分必要条件是在点处左连续且右连续。

0x 0x 2 区间上的连续函数如果函数在开区间上每一点都连续，我们称函数在开区间内连续，如果函数开区间内连续，在区间的左端点右连续，右端点左连续，就称函数在闭区间上连续。

例1 证明在内连续。

sin y x =(,)-∞+∞证明，当有增量时，对应的函数值的增量(,)x ∀∈-∞+∞x x ∆sin()sin 2sin cos 22x x y x x x x ∆∆⎛⎫∆=+∆-=+ ⎪⎝⎭由于， cos 12x x ∆⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭sin 22x x ∆∆≤所以 02sin cos 2222x x x y x x ∆∆∆⎛⎫≤∆=+≤=∆ ⎪⎝⎭当时，由夹逼准则得，因此在点处连续，由于的任0x ∆→0y ∆→sin y x =x x意性，在内连续。

高等数学-第七版-课件-1-9 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质

y
y f ( x)
推论
B C A
在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)的值域 o a 为闭区间[m,M],其中m与M依次为f(x)

b x
在[a,b]上的最小值与最大值.
二、闭区间上连续函数的性质（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
二、闭区间上连续函数的性质（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理
最值概念设f(x)在区间I上有定义，如果存在x0∈I，使得对任一x∈I，恒有
f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 )
则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值（最小值）.
注 (1) 最大值可以等于最小值 (2) 函数在区间I上可能取不到最值定理
y sin x 在
上单调增加且连续上单调增加且连续
其反函数 y arcsin x 在
一、初等函数的连续性
（三）复合函数的连续性定理一定理二定理三设函数y=f[g(x)]是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，
y=f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义，
当x U ( x0 , 0 ) 时g ( x ) u0 lim f (u) A 且存在δ＞0，若 lim g ( x) u0 u u0 x x0 若 lim g ( x) u0 而函数y=f(u)在u=u0连续，
二、闭区间上连续函数的性质（一）有界性与最大值最小值定理（二）零点定理
（三）介值定理
（四）应用
定理设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A及f(b)=B，则对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得 f(ξ)=C (a<ξ<b) 几何意义连续曲线弧y=f(x)与水平直线y=C至少相交于一点.

高等数学--连续函数

零点定理证明较为复杂，零点定理证明较为复杂，故从略．故从略．
3
例题（例题（不动点定理）不动点定理）
设 f ∈ C[a, b]，并且 f (a) > a , f (b) < b .
则存在 ξ ∈ ( a, b) ，使得 f (ξ ) = ξ . 证明构造辅助函数 g ( x ) = f ( x ) − x . g ( x ) 在 [ a, b ] 连续，并且
y
y = f ( x)
O
x0
x
零点定理
设 f ∈ C[ a , b ] ，并且 f ( a ) ⋅ f (b ) < 0 ，
介值定理设 f ∈ C[ a, b] ，并且 f ( a ) ≠ f (b) .
则对介于 f (a) 和 f (b) 之间的每个实数 µ ，都存在 ξ ∈ ( a , b ) ，使得 f (ξ ) = µ .
x → x0 x → x0
显然，显然， f ( x ) 在 x0 连续的充分必要条件是：
f ( x) 在 x0 既右连续又左连续 .
2 连续函数的运算
如果 f ( x) 在每一个点 x ∈ I 都连续 , 则称 f ( x ) 在区间 I 处处连续 .
f ∈ C[ a , b ] : f ( x ) 在 ( a , b ) 处处连续 ,
用零点定理推导介值定理：用零点定理推导介值定理：令 g ( x) = f ( x) − µ . 则 g ( x ) 在 [ a, b] 连续，
则存在 ξ ∈ (a , b) ，使得 f (ξ ) = 0 .
y
y = f ( x)
O a
并且满足 g (a) ⋅ g (b) < 0 .

高等数学闭区间上连续函数的性质

利用函数性质判定
有些函数由于其自身的性质，如周期性、有界性等，可以很容易地判定其一致连续性。
一致连续与非一致连续函数区别
一致连续函数
对于一致连续函数，无论区间I上的点x'和x"如何接近，只要它们的距离小于某一正数δ （这个δ只与ε有关），那么函数在这两点上的函数值的差就小于ε。这说明一致连续函
数在整个区间I上都有一种“均匀”的连续性。
相关定理与引理01源自零点定理如果函数$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)$与$f(b)$异号，则
在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(c)=0$。
02 03
介值定理
如果函数$y=f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且在这区间的端点取不同的函数值$f(a)=A$及$f(b)=B$，则对于$A$与$B$之间的任意一个数 $C$，在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$f(c)=C$ （$a<c<b$）。
判定零点存在性方法
判断函数在区间端点的函数值是否异号。
如果异号，则根据零点存在性定理，该区间内必存在使得函数值
为零的点。
如果同号，则需要进一步分析，如通过求导判断函数的单调性等。
零点存在性在解决实际问题中应用
1
在求解方程根的问题中，可以利用零点存在性定理判断方程在给定区间内是否存在根。
2
理论研究
在数学的各个分支中，连续函数的最值性质都是重要的研究对象，具有广泛的应用价值。
04 零点存在性定理及其应用
零点存在性定理内容
01
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，则在开区间(a,b) 内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=0。

高等数学第三版第一章课件(每页16张幻灯片)

第一章函数与极限§1 函数 §2 初等函数 §3 数列的极限 §4 函数的极限 §5 无穷小与无穷大 §6 极限运算法则 §7 极限存在准则两个重要极限 §8 无穷小的比较 §9 函数的连续性与间断 §10连续函数的运算与性质第一节函数一、实数与区间二、领域三、函数的概念四、函数的特性一、实数与区间1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.∀ a , b ∈ , 且a < b.a∈ M, a∉ M, A = { a1 , a 2 , , a n }有限集{ x a < x < b} 称为开区间, 记作 (a , b )o a x b { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间, 记作 [a , b] o aM = { x x所具有的特征 } 无限集数集分类: N----自然数集 Q----有理数集数集间的关系: Z----整数集 R----实数集N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R.bx{ x a ≤ x < b} 称为半开区间, 记作 [a , b ) { x a < x ≤ b} 称为半开区间, 记作 (a , b] [a ,+∞ ) = { x a ≤ x } ( −∞ , b ) = { x x < b}o a o x x二、邻域有限区间常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法：通常用字母 a, b, c 等表示常量, 用字母 x, y, t 等表示变量. 例三、函数的概念圆内接正多边形的周长设a与δ是两个实数 , 且δ > 0.数集{ x x − a < δ }称为点 a的δ邻域 ,点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .b ( −∞ , +∞ ) = { x −∞ < x < +∞ } =U δ (a ) = { x a − δ < x < a + δ }. δ δ无限区间区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.a a−δ a+δ o x 点a的去心δ 邻域 , 记作U δ0 (a ), 或 U (a , δ ).π S n = 2 nr sin n n = 3 ,4 ,5 ,S3S4S5圆内接正n 边形S6Oπ nr)Uδ (a ) = { x 0 < x − a < δ }.o定义:设 x 和 y 是两个变量, D 是给定的数集，如果对于每个数 x ∈ D , 变量 y 按照一定法则总函数的两要素: 定义域与对应法则.有唯一的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作因变量x ((D对应法则fx0 )f ( x0 )y = f ( x)自变量数集D叫做这个函数的定义域自变量Wy)因变量看右图：如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数．y分段函数：在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的Wy⋅ ( x, y)x式子来表示的函数。

高等数学(同济大学版)课程讲解1.9-1.10连续函数的性质

课时授课计划课次序号：07 一、课题：§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性§1.10 闭区间上连续函数的性质二、课型：新授课三、目的要求：1.了解连续函数的和、差、积、商的连续性；2.了解反函数和复合函数的连续性；3.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质．四、教学重点：利用复合函数及初等函数的连续性求函数极限，利用零点定理证明方程解的存在性.教学难点：闭区间上连续函数的性质.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–9 3（4），4（3）（4），5；习题1–9 1八、授课记录：九、授课效果分析：复习1.连续的定义：00lim ()()x x f x f x →=,三个条件缺一不可；2.间断点的分类：第一类(可去型、跳跃型)，第二类（无穷型、振荡型）. 下面介绍连续函数的运算法则和闭区间上连续函数的几个性质．第九节连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的四则运算由连续函数的定义及极限的运算法则和性质，立即可得到连续函数的下列运算法则．定理1 若函数f （x ），g （x ）均在点x 0处连续，则()()()()()()f x f xg x f x g x g x ±⋅、、（g （x 0）≠0），均在点x 0处连续．如多项式函数0()nk n k k P x a x ==∑在（-∞，+∞）内连续，正切函数sin tan cos xx x=在其定义区间内连续．二、反函数的连续性定理2 若函数()y f x =在区间x I 内单调增加（减少）且连续，则其反函数1()x f y -=在相应区间{(),}y x I y y f x x I ==∈内单调增加（减少）且连续．从几何上看，该定理是显然的，因为函数()y f x =与其反函数1()x f y -=）在xoy 坐标面上为同一条曲线．如sin y x =在[,]22ππ-上单调增加且连续，其反函数arcsin x y =在[1,1]-单调增加且连续．三、复合函数的连续性由连续函数的定义及复合函数的极限定理可以得到下面有关复合函数的连续性定理．定理3 设函数[()]y f x ϕ=是由函数(),()y f u u x ϕ==复合而成的复合函数，0()f g U x D ⊆．如果()u x ϕ=在点0x 连续，又()y f u =在相应点00()u x ϕ=处连续，则[()]y f x ϕ=在点0x 处连续．推论若在某极限过程有lim ()x ϕ=A ，且y =f （u ）在u =A 处连续，则lim [()]f x ϕ=f （A ），即 lim [()][lim ()]f x f x ϕϕ= 例1 求1limsin(1)xx x→∞+．解 11lim sin(1)sin lim(1)sin e xx x x xx →∞→∞⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭．例2 试证0ln(1)lim1x x x→+=．证因为ln y u =(u ＞0)连续, 故100ln(1)lim lim ln(1)x x x x x x →→+=+100ln(1)lim ln lim(1)ln e =1x x x x x x →→⎡⎤+==+=⎢⎥⎣⎦．由定理3及其推论,我们可以讨论幂指函数[]()()g x f x 的极限问题．幂指函数的定义域要求()0f x >．当(),()f x g x 均为连续函数,且()0f x >时, []()()g x f x 也是连续函数．在求[]()lim ()g x x x f x →时,有以下几种结果:(1) 如果0lim ()x x f x →=A ＞0, 0lim ()x x g x →=B ,则[]()lim ()g x x x f x →=A B ．(2) 如果0lim ()x x f x →=1, 0lim ()x x g x →=∞,则[]()lim ()g x x x f x →=[]0lim ()1()ex x f x g x →-.(3) 如果0lim ()x x f x →=A ≠1(A ＞0), 0lim ()x x g x →=±∞,则[]()lim ()g x x x f x →可根据具体情况直接求得．例如，0lim ()x x f x →=A ＞1，0lim ()x x g x →=+∞，则[]()lim ()g x x x f x →=+∞．又如,0lim ()x x f x →=A (0＜A ＜1), 0lim ()x x g x →=+∞,则[]()lim ()g x x x f x →=0．上面结果仅对x →x 0时写出,实际上这些结果对x →∞等极限过程仍然成立．例3 求10sin 2lim xx x x +→⎛⎫ ⎪⎝⎭．解因为100sin 2lim 2,lim(1)1xx x x x x +→→⎛⎫=+= ⎪⎝⎭, 所以 110sin 2lim 22xx x x +→⎛⎫== ⎪⎝⎭．例4求21lim21xxxx→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭．解由于11lim212x x x →∞+=+，2lim x x →∞=+∞，因此 21lim 021x x x x →+∞+⎛⎫= ⎪+⎝⎭．例5 求1lim 1xx x x →∞-⎛⎫⎪+⎝⎭．解由于1lim 11x x x →∞-=+，lim x x →∞=∞，则12lim 1lim 2111lim e e e 1x x xx x x x x x x x →∞→∞-⎛⎫-- ⎪-+⎝⎭+→∞-⎛⎫=== ⎪+⎝⎭．例5也可按下列方法求解：12111e lim lim e 1e 11xx x x x x x x x --→∞→∞⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭．四、初等函数的连续性我们遇到的函数大部分为初等函数，它们是由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算而成的．由函数极限的讨论以及函数的连续性的定义可知：基本初等函数在其定义域内是连续的．由连续函数的定义及运算法则，我们可得出：初等函数在其定义区间内是连续的．由上可知，对初等函数在其定义区间内的点求极限时，只需求相应函数值即可．例6 求21ln(43)lim arctan x x x x→+-．解初等函数2ln(43)()arctan x x f x x+-=在x =1的某邻域内有定义，所以21ln(43)1ln(43)4lim arctan arctan1x x x x →+-+-==π．例7 求22041lim 235x x x x →--+．解 220414011lim 23520305x x x x →-⨯-==--+⨯-⨯+5．第十节闭区间上连续函数的性质在闭区间上连续的函数有一些重要性质．它们可作为分析和论证某些问题时的理论根据．这些性质的几何意义十分明显，我们均不给予证明．一、最值定理1.最值的定义定义1 设函数()y f x =在区间I 上有定义，如果存在点x 0∈I ，使x I ∀∈，有0()()f x f x ≥（或0()()f x f x ≤），则称0()f x 为函数()y f x =在区间I 上的最大（小）值，记为0()max ()x If x f x ∈=（或0()min ()x If x f x ∈=）． 2. 最值定理一般说来，在一个区间上连续的函数，在该区间上不一定存在最大值或最小值．但是如果函数在一个闭区间上连续，那么它必定在该闭区间上取得最大值和最小值．定理1 若函数()y f x =∈C ［a ，b ］，则它一定在闭区间［a ，b ］上取得最大值和最小值．设f (x )∈C ［a ,b ］，(1) f (x )为［a ,b ］上的单调函数由图1-40可看出，此时函数f (x )恰好在区间［a ,b ］的端点a 和b 取得最大值和最小值：图1-40y =f (x )↑,x ∈［a ,b ］，则[],max x a b ∈f (x )=f (b ), [],min x a b ∈f (x )=f (a )；y =f (x )↓,x ∈［a ,b ］，则[],max x a b ∈f (x )=f (a ), [],min x a b ∈f (x )=f (b )．(2) f (x )为［a ,b ］上的一般连续函数在这种情形下，总可以将［a ,b ］分成有限个小区间，使函数f (x )在每个小区间上保持单调增加或单调减少．于是，这有限个小区间的端点处的函数值中的最大者和最小者即分别为函数f (x )在［a ,b ］上的最大值和最小值，如图1-41所示．最大值为f (b )，而最小值为f (a 4)．图1-413. 有界性定理定理1表明：若()y f x =在闭区间［a ，b ］上连续，则存在x 1，x 2∈［a ，b ］，使得 12[,][,]()min (),()min ()x a b x a b f x f x f x f x ∈∈==．于是，对任意x ∈［a ，b ］，有f （x 2）≤ f （x ）≤ f （x 1），若取M =max{12(),()f x f x }，则有()f x ≤M ，从而有下述结论．定理2 若函数()y f x =∈C ［a ，b ］，则f （x ）在［a ，b ］上有界．二、介值定理1. 零点定理（根的存在定理）图1-42定理3 若函数()y f x =∈C （［a ，b ］），且f （a ）·f （b ）＜0，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使()0f ξ=．零点定理的几何意义十分明显：若函数()y f x =在闭区间［a ，b ］上连续，且f （a ）与 f （b ）异号，则函数()y f x =对应的曲线至少穿过x 轴一次（见图1-42）．例1 证明方程x 5-3x =1在x =1与x =2之间至少有一根．证令f (x )=x 5-3x -1，[]1,2x ∈，则f (x )∈C （［1,2］），且f (1)=-3,f (2)=25,故由零点定理，至少存在一点x 0∈(１,２)，使得f (x 0)=0，即方程x 5-3x =1在x =1与x =2之间至少有一根．例2 证明方程x =a sin x +b (a ＞0,b ＞0)至少有一个不超过a +b 的正根．证设f (x )=x -a sin x -b ,[]0,x a b ∈+ ,则f (x )∈C （［0,a +b ］），而f (0)=0-a sin 0-b =-b ＜0,f (a +b )=a +b -a sin (a +b )-b ＝a ［1-sin (a +b )］≥0．1) 如果f (a +b )=0,则x 0=a +b 就是原方程的根．2) 如果f (a +b )＞０，则由零点定理，至少存在一点0x '∈(0,a +b ),使得f (0x ')=0．综上所述，方程x =a sin x +b 在（０，a +b ］上至少有一根，即至少有一个不超过a +b 的正根．例3 设f (x )∈C （［a ,b ］），f (a )=f (b )=0，且存在正常数δ和δ１，使f (x )在(a ,a +δ)及(b -δ１,b )内是严格单调增加的，证明至少存在一点x 0∈(a ,b )，使得f (x 0)＝０．证由于f (x )∈C （［a ,b ］），f (a )=0,且f (x )在(a ,a +δ)上严格单调增加，故至少存在一点a 0∈(a ,a +δ),使得f (a 0)＞f (a )＝０．同理，至少存在一点b 0∈(b -δ１，b ),使得f (b 0)＜f (b )＝０．由f (x )∈C （［a 0,b 0］），f (a 0)f (b 0)＜0可知，至少存在一点x 0∈（a 0,b 0）⊂（a ,b ）,使得f (x 0)=0．图1-432. 介值定理由零点定理并运用坐标平移的方法，可以得到介值定理．定理4 设f (x )∈C （［a ,b ］），f (a )=A ,f (b )=B ,且A ≠Ｂ，则对于A ，B 之间的任意一个数C ，至少存在一点x 0∈(a ,b )，使得f (x 0)=C ．该定理说明，当x 在［a ,b ］上变动时，［a ,b ］上的连续函数所取得的函数值必完全充满某个区间［A ，Ｂ］(图1-43)．由介值定理我们还可得出:推论设()y f x =∈C ［a ，b ］，[,]max ()x a b M f x ∈=，[,]min ()x a b m f x ∈=，则f （x ）必取得介于M 与m 之间的任何值．例4 设f (x )∈C (［a ,b ］)，a ＜x 1＜x 2＜…＜x n ＜b ，证明：至少存在一点x 0∈［x 1,x n ］，使得 f (x 0)=12()()()n f x f x f x n+++．证因为f (x )∈C （［x 1,x n ］），所以f (x )在［x 1,x n ］上有最大值和最小值存在．设M ＝1[,]max n x x x ∈f (x ),m =1[,]min n x x x ∈f (x )，则 m ≤f (x i )≤M , i =1,2,…,n ．从而 m ≤12()()()n f x f x f x n+++≤M ．由介值定理的推论，至少存在一点x 0∈［x 1,x n ］，使f (x 0)＝12()()()n f x f x f x n+++．应该注意，以上四个定理的共同条件“f (x )在闭区间［a ,b ］上连续”不能减弱．将区间［a ,b ］换成(a ,b )，或去掉“连续”的条件，定理的结论都不一定成立．比如，y =1x在(0，1)连续，但1x 在(0，1)内不能取到最大值，也无上界．又比如，f (x )= ,0,1,0x x x ≠⎧⎨=⎩ 在［-1,1］上有定义，仅在x =0处不连续，(1)(1)0 f f -⋅<，但不存在x 0∈(-1,1)，使f (x 0)=0．课堂总结1.连续函数的运算法则：四则运算,反函数、复合函数、初等函数的连续性；2.闭区间上连续函数的性质：最值定理、有界性定理、零点定理、介值定理.友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。

高等数学第八节函数的连续性

则称 f (x) 在 x0 点处右连续.
设函数 f (x) 在 (x0– , x0 ] 内有定义. 若 xl ixm 0 f(x)f(x0)
则称 f (x) 在 x0 点处左连续.
其中, 为任意常数.
定理
xl ixm 0 f(x)f(x0)
xl ix 0m f(x)x l ix0 m f(x)f(x0)
f (x)C( [a, b] ).
对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性
一般地, 如果函数 f (x) 在区间 I 上连续, 则记为 f (x) C( I ) . 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
在本章第出五：节基中 f本 x在我初其们等定指
任一 x0处点满足
x x0
x x0
a

f
(x0
).
2.函数间断点的分类
函
第一类间断点
数
的
跳跃
可去
间
断点
第二类间断点
无穷振荡其它
(1) 第一类间断点
定义
若 x0 为函数 f (x) 的一个间断点, 且 x l ix0 m f(x)与 x l ix0 m f(x)存,在则称 x0 为函数 f (x) 的第一类间断点.
x
y1
x = 0为函数的间断点,
x
又lim f(x)lim 1,
O
x
x 0
x 0x
故
x = 0为函数
f
(x)

1 x
的第二类间断点.
由于 limf(x)所以称它为无穷间断点. x0
例7
讨论f函 (x)s数 i1n在 x0处的连 . x

高等数学(第三版)课件：函数的连续性

(x0 )
上述三个条件中只要有一条不满足,则称函数 f (x)
在点x0处间断, x0称为函数 f (x)的间断点．
如果 x0是函数 f (x) 的间断点,可将其分成两类:
第一类间断点 f (x) 在点 x0 处的左右极限存在;
可去间断点其它
第二类间断点
f (x) 在点 x0 处的左右极限至少有一个不存在.
由以上三个定理可知：一切初等函数在其有定义的区间内是连续的．
计算初等函数 f (x) 在其定义区间内某点 x0 处的极限, 只要计算 f (x)在点x0 处的函数值 f (x)即可．
三、闭区间上连续函数的性质
定理4（最值定理）闭区间上的连续函数一定有
最大值和最小值．
如函数 y x 在(a,b) 内既没有最大值，
x
且为可去间断点.
例3
如图,考察函数
f
(x)
1 x 1
在x
1
处的连续性.
解该函数在点 x 1 处没有定义,所以函数在 x 1
处间断;又因为
,极限 lim 1
x1 x 1
不存在，趋于无穷，所以 x 1
是函数
f
(x)
1 x 1
的第二类间断点,

且为无穷间断点.
例4 考察函数
f
(x)
sin
3. f (x)在 x0 处左(右)连续:
lim
x x0
f (x) f (x0 )
( xx0 )
2．函数的间断点及其类型
函数f (x)在点x0 处连续,必须同时满足以下三个条件：
(1) f (x) 在 x0的某邻域内有定义；
(2) lim f (x) 存在； xx

高等数学1-10 闭区间上连续函数的性质

11
首页
上页
返回
下页
结束
铃
二、零点定理与介值定理
定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续, 且f(a)与f(b)异号, 那么在开区间(a, b)内至少存在一点ξ, 使f(ξ)=0.
定理4(介值定理)
设函数 f(x)在闭区间[a, b]上连续, 且f(a)≠f(b), 那么, 对于 f(a)与f(b)之间的任意一个数C, 在开区间(a, b)内至少有一点ξ, 使得f(ξ)=C.
5
首页
上页
返回
下页
结束
铃
定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值.
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续, 或函数在闭区间上有间断点, 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值. 例如, 函数f(x)=x在开区间(a, b) 内既无最大值又无最小值.
闭区间上连续函数的性质
一、有界性与最大值最小值定理二、零点定理与介值定理
1
首页
上页
返回
下页
结束
铃
一、有界性与最大值最小值定理
最大值与最小值
对于在区间I上有定义的函数f(x), 如果有x0∈I, 使得对于0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值).
7
首页
上页
返回
下页
结束
铃
定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值.
定理2(有界性定理)
在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. 证明设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续. 根据定理1, 存在f(x)在区间[a, b]上的最大值M和最小值 m, 使任一x∈[a, b]满足 m≤f(x)≤M. 上式表明, f(x)在[a, b]上有上界M和下界m , 因此函数f(x)在 [a, b]上有界.

高等数学 D1.10

证: 显然
在区间
内至少有
又
故据零点定理, 至少存在一点
使
即
说明:
二分法
x
1 2
,
f
(12)
1 8
0,
则(12 ,1) 内必有方程的根 ;
0
1 3 1x
取
的中点
x
3 4
,
f
(43) 0,
2 4
则
(
1 2
,
3 4
)
内必有方程的根 ;
可用此法求近似根.
例2. 设 f (x) 在
对任意的
使
上连续 , 且恒为正 , 证明: 必存在一点
注意: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断点 , 结论不一定成立 .
例如, 无最大值和最小值
又如,
也无最大值和最小值
y 1
o
1x
y
2 1
o 1 2x
推论. 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.
证: 设
由定理 1 可知有
M max f (x) , m min f (x) y
x[ a ,b ]
第十节闭区间上连续函数的性质
一、最值定理二、介值定理
一、最值定理
定理1.在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大
值和最小值.
即: 设 f (x) C[ a , b ] , 则 1 ,2 [ a , b ] , 使
f
(1)
min
a xb
f
(x)
y y f (x)
f (2 ) max f (x) a xb (证明略) o a1 2 b x
一点
使
证: 作辅助函数
(x) f (x) C 则(x) C[ a , b ] , 且

1-10 闭区间上连续函数性质

2020年1月7日星期二
蚌埠学院高等数学
10
思考与练习
1.设 f (x) C[0, 2a] , f (0) f (2a) , 证明至少
[0, a], 使 f ( ) f ( a). 提示: 令 (x) f (x a) f (x) ,
则 (x) C[0, a], 易证 (0)(a) 0
0 x1 x0
f ( x)在(0,1)内连续, f (0) (1) 2e 0.
但 f ( x)在(0,1)内无零点 .
2020年1月7日星期二
蚌埠学院高等数学
12
f
(2
)

max
a xb
f
(x)
(证明略)
o a 1 2 b x
注意:若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断
点,结论不一定成立 .
2020年1月7日星期二
蚌埠学院高等数学
3
注1. 将闭区间改为开区间不一定成立. y
例如,
1
无最大值和最小值
o
1x
注2. 闭区间上函数有间断点不成立.
y
证明: (a,b), 使得 f ( ) .
证令 F(x) f (x) x, 则 F (x)在 [a,b] 上连续, 而 F(a) f (a) a 0,
F(b) f (b) b 0,
由零点定理, (a,b), 使
F( ) f ( ) 0,
o bx
几何解释: 连续曲线弧y f ( x)的两个端点位
于 x轴的不同侧则, 曲线弧与x轴至少有一个交点.
例1. 证明方程
在区间
内至少有
一个根 .

高等数学第1章第十一节闭区间上的连续函数的性质

因此
f
x1
f x1
f x2
n
f xn
f
xn
在 x1 , xn 或 xn , x1 上用介值定理，既存在一点
x1 , xn x1 , xn 或 xn , x1 x1 , xn , 使得
f f x1 f x2 f xn .
n
11
提示：23.
f C a b.
推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值
之间的任何值.
设m f x1 , M f x2 且m M,则在x1 , x2 或x2 , x1 上,
应用介值定理可证.
6
闭区间上连续函数的性质：
1、最值定理闭区间上连续的函数必能取得最大值和最小值。
2、有界定理闭区间上的连续函数有界。
使得x a, b都有m f x M .
f x在a, b上有上界M和下界m,
f x在a,b上有界.
4
三.介值定理
零点: 如果x0使得f x0 0,则x0称为函数f x的零点.
定理3 (零点定理)
设f x在闭区间a,b上连续,且f a与f b异号, 即f a f b 0, 则f x在开区间a,b内至少有一个零点, 即至少存在一点 a,b,使得f 0.
因为 lim f x 存在，设 lim f x A.
x
x
所以对给定的 1, X 0,当 x X时，f x A 1.
而 f x f x A A f x A A A 1
由于 f x 连续，当 x X , X , M1 0，使得 f x M1
取 M max M1 , A 1,
7
例1 证明方程x 3 x 1 0在区间0,1内有唯一的实根. 证先证存在性：设f x x 3 x 1,

高等数学讲义课件第9节闭区间上的连续函数的性质

a xb
(证明略)
o a1 2 b x
注: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断点 , 结论不一定成立 .
例如, 无最大值和最小值
又如,
也无最大值和最小值
y 1
o
1x
y
2 1
o 1 2x
推论：在闭区间上连续的函数在该区间上有界.
证: 设
由定理 1 可知有
M max f ( x) , m min f ( x) y
4. 当 f (a) f (b) 0 时, 必存在 (a , b), 使 f ( ) 0.
例3 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它一刀剪为面积相等的两片.
提示: 建立坐标系如图.
y
则面积函数 S() C[, ] 因 S() 0, S() A 故由介值定理可知:
S( )
(a, b), 使 F ( ) f ( ) 0,
即 f ( ) .
Conclusions:
设 f (x) C[a,b],则
1. f (x) 在 [a ,b] 上有界; 2. f (x) 在 [a ,b] 上达到最大值与最小值; 3. f (x) 在 [a ,b] 上可取最大与最小值之间的任何值;
o
x
0 (, ),
使
S(0)
A. 2
作业习题八
第九节闭区间上连续函数的性质
一、最值定理二、介值定理
一、最值定理
定理1 在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大
值和最小值.
即: 设 f ( x) C [a , b] , 则 1 ,2 [a , b] , 使
f
(1 )
min
a xb
f
(

高等数学上-闭区间上连续函数的性质ppt课件.ppt

由于函数连续，故函数在闭区间a ,b 有界. 由此得函数在 a,b 内有界.
二、零点定理与介值定理
在初等代数中, 我们熟知这一个事实:
对多项式函数 Pn (x) ，若存在 x1, x2 使得 Pn (x1)Pn (x1,
x2
, 使Pn
(x0
)
0.
y
从几何上我们可以很清楚地看到
证设实系数奇次多项式方程为
a0 xn a1xn1 an1x an 0,
不妨设a0 0. 记
f (x) a0 xn a1xn1
因
an1x an ,
f
(x)
a0
xn
1
a1 a0 x
an a0 xn
,
可见：
lim f (x) , lim f (x)
x
x
故，存在 x1 0, 使得 f (x1) 0;
并且 s2 0 s1 0 L ， s2 12 s1 12 L ，
故而在 0,12 时间段内必有 t0 使得 s2 t0 s1 t0 0 ，
即
s2 t0 s1 t0 ，
表明运动员在两天的某一个相同时刻经过登山路线的同一地点.
值得注意的是，定理1中的条件 f (x)在闭区间上连续，
不能改为开区间.
例设函数 f (x)在 a,b 内连续，且 f (a ) 存在，证明 f (x) 在 a,b 内有界.
证因 f (a ) 存在，由局部有界性定理，存在 0,
使得 f (x) 在 a,a 内有界；
由于区间a,b 可以表示为 a,b a,a a ,b
闭区间上的连续函数在该区间上有界,并一定有最大值
和最小值. 证明从略.
从右边的图中可以看出, y

《高等数学教学课件》d1-9连续函数的运算

奇偶性
奇偶函数具有特定的对称性质。
连续函数的函数阶判断
连续性
连续函数的定义和性质决定了其函数阶。
可导性
可导函数的函数阶更高。
连续函数的统计应用
统计学中的连续函数应用包括概率分布、假设检验、回归分析等。
连续函数的图像分析
函数图像
连续函数的图像可以通过绘制函数曲线来进行分析。
最值求解
通过函数的最值，可以了解函数的行为特征。
拐点和极值点
拐点和极值点对函数的凸凹性有重要影响。
连续函数的性质比较
单调性
连续函数的单调区间可以通过导数符号的变化来判断。
周期性
周期函数在一个周期内具有相同的函数值。
《高等数学教学课件》 d1-9连续函数的运算
本课件将详细介绍连续函数的各种运算及其性质，包括四则运算、复合运算、反函数运算、积分运算、微分运算等，帮助你全面掌握高等数学的重要内容。
连续函数的四则运算
1 加法
两个连续函数相加的结果仍然是连续函数。
2 减法
两个连续函数相减的结果仍然是数
通过连续函数的高阶导数，可以分析函数的曲线形状。
3
微分方程
微分方程描述了连续函数与其导数之间的关系。
连续函数的级数运算
1 幂级数
连续函数可以通过幂级数展开来近似表示。
2 傅里叶级数
3 泰勒级数
连续函数可以通过傅里叶级数展开来进行频谱分析。
连续函数可以通过泰勒级数展开来进行多项式逼近。
两个连续函数相乘的结果仍然是连续函数。
4 除法
两个连续函数相除的结果在除数不为零的情况下仍然是连续函数。
连续函数的复合运算
1 复合函数
连续函数的复合仍然是连续函数。

高等数学课件D1_10连续函数性质

高等数学 第一章、第十节 连续函数的运算与性质

高等数学闭区间上连续函数的性质

高等数学课件：函数的连续性

高等数学-第七版-课件-1-9 初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质

高等数学--连续函数

高等数学闭区间上连续函数的性质

高等数学第三版第一章课件(每页16张幻灯片)

高等数学(同济大学版)课程讲解1.9-1.10连续函数的性质

高等数学第八节函数的连续性

高等数学(第三版)课件：函数的连续性

高等数学1-10 闭区间上连续函数的性质

高等数学 D1.10

1-10 闭区间上连续函数性质

高等数学 第1章 第十一节 闭区间上的连续函数的性质

高等数学讲义课件 第9节 闭区间上的连续函数的性质

高等数学上-闭区间上连续函数的性质ppt课件.ppt

《高等数学教学课件》d1-9连续函数的运算

高等数学第一章、第十节连续函数的运算与性质

高等数学第1章第十一节闭区间上的连续函数的性质

高等数学讲义课件第9节闭区间上的连续函数的性质