2016届浙江省嘉兴一中等高三第一次五校联考理科数学试卷

2016届浙江省嘉兴一中等高三第一次五校联考理科数学试卷一、选择题（每题５分，共40分）1．已知全集U R =， {|21}xA y y ==+， {|ln 0}B x x =<，则()U C A B = （ ） A ．∅ B ．1{|1}2x x <≤ C ．{|1}x x < D ．{|01}x x <<2．设0x >，则“1a =”是“2ax x+≥恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知函数()2sin(2)6f x x π=+，把函数)(x f 的图象沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数)(x g 的图象，关于函数()g x ，下列说法正确的是( ) A ．在[,]42ππ上是增函数 B ．其图象关于直线4x π=-对称C ．函数()g x 是奇函数D ．当[0,]3x π∈时，函数()g x 的值域是[1,2]- 4．已知a ，b 为平面向量，若a b + 与a 的夹角为3π，a b + 与b 的夹角为4π，则||||a b = ( )A 5．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下面四个命题中错误．．的是（ ）．A ．若a b ⊥，a α⊥，b α⊄，则//b αB ．若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥C ．若a β⊥，αβ⊥，则//a α或a α⊂D ．若//a α，αβ⊥，则a β⊥6．已知等差数列{}n a 的等差0d ≠，且1a ，3a ，13a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2163n n S a ++的最小值为（ ）A ．4B ． 3 C．2 D ．927．设数列{}n x 的各项都为正数且11x =，如图，ABC ∆所在平面上的点n P （*n N ∈）均满足n P AB ∆与n P AC ∆的面积比为3∶1，若11(21)3n n n n n x P C P A x P B +++=，则5x 的值为( )A ．31B ．33C ．61D ．638．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5s i n , 0244()1()1, 22x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=（a ，b R ∈），有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．5(,1)2-- B ．59(,)24--C ．599(,)(,1)244----D ．9(,1)4--二、填空题（多空题每题6分，单空题每题４分，共36分）9．已知{}n a 为等差数列，若1598a a a π++=，则{}n a 前9项的和9S = ，37cos()a a +的值为 ．10．已知1cos()43πθ+=-，θ为锐角，则sin 2θ= ，sin(2)3πθ+= ． 11．所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥S ABC -中，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，底面边长AB =则正三棱锥S ABC -的体积为 ，其外接球的表面积为 ．12．若三个非零且互不相等的实数a ，b ，c 满足112a b c+=，则称a ，b ，c 是调和的；若满足2a c b +=，则称a ，b ，c 是等差的，若集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”，若集合{|||2014,}M x x x Z =≤∈，集合{,,}P a b c M =⊆，则（1）“好集”P 中的元素最大值为 ；（2）“好集”P 的个数为 ．13．设x ，y 满足约束条件：112210x y x x y ≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+≤⎪⎩的可行域为M ，若存在正实数a，使函数图象经过区域M 中的点，则这时a 的取值范围是 ．14．己知0a >，0b >，1c >，且1a b +=，则21(2)a c ab +-⋅的最小值为 ． 15．如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)ABCD 的棱长为2，C 在平面α内，B 是直线l 上的动点，当O 到AD 的距离为最大时，正四面体在平面α上的射影面积为 ．αlODCBA三、解答题（共74分）16．已知命题p ：1x ，2x 是方程210x mx --=的两个实根，且不等式21243||a a x x +-≤-对任意m R ∈恒成立；命题q ：不等式2210ax x +->有解，若命题p q ∨为真，p q ∧为假，求实数a 的取值范围．17．已知函数21()2cos ()22f x x x x R =--∈ （1）当5[,]1212x ππ∈-时，求函数()f x 的值域；（2）设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c，且c =()0f C =，若向量(1,sin )m A =与向量(2,sin )n B =共线，求a ，b 的值．18．在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，PD DC ⊥，底面ABCD 是梯形，//AB DC ，1AB AD PD ===，2CD =．（1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）设Q 为棱PC 上一点，PQ PC λ= ，试确定λ的值使得二面角Q BD P --为60． 19．已知函数()|2|f x x x a =-，2()()1x ag x a R x -=∈-． （1）求函数()f x 的单调增区间； （2）若0a <，解不等式()f x a ≥；（3）若012a <<，且对任意[3,5]t ∈，方程()()f x g t =在[3,5]x ∈总存在两不相等的实数根，求a 的取值范围． 20．已知数列*1111()23n a n N n=+++⋅⋅⋅+∈ （1）若1a >，对于任意2n ≥，不等式2(1)7(log log 1)12n n a a a a x x +->-+恒成立，求x 的取值范围（2）求证：2*32172()()423n n a a a a a n N n+>+++⋅⋅⋅+∈(*n N ∈)参考答案1．D ． 【解析】试题分析：由题意得，{|1}A x x =>，{|01}B x x =<<，∴(){|01}U C A B x x =<< ，故选D ．考点：集合的运算． 2．A ． 【解析】试题分析：由题意得，min 2()221a ax x a x x+≥⇔+≥⇔⇔≥，故“1a =”是“2ax x+≥恒成立”的充分不必要条件，故选A ． 考点：1．充分必要条件；2．恒成立问题． 3．D ． 【解析】试题分析：由题意得，()2sin[2()]2sin(2)2cos 2662g x x x x πππ=++=+=，A ：[,]42x ππ∈时，2[,]2x ππ∈，是减函数，故A 错误；B ：()2cos()042g ππ-=-=，故B 错误；C ：()g x 是偶函数，故C 错误；D ：[0,]3x π∈时，22[0,]3x π∈，值域为[1,2]-，故D 正确，故选D ．考点：1．三角函数的图象变换；2．sin()y A x ωϕ=+的图象和性质． 4．B ．【解析】试题分析：如下图所示，在ABC ∆中，BC a = ，CA b = ，则B A a b =+ ，∴3ABC π∠=，4BAC π∠=，在ABC ∆中，由正弦定理可知sin||43||sin 3a b ππ== ，故选B ．考点：1．平面向量的线性运算；2．正弦定理． 5．D ． 【解析】试题分析：A ：记a ，b 确定的平面为γ，c αγ= ，在平面γ内，∵a c ⊥，a b ⊥，∴//b c ，从而根据线面平行的判定可知A 正确；B ：等价于两个平面的法向量垂直，根据面面垂直的判定可知B 正确；C ：根据面面垂直的性质可知C 正确；D ：a β⊥或a β⊂，故D 错误，故选D ．考点：1．线面平行的判定；2．线面垂直，面面垂直的判定与性质． 6．A ． 【解析】试题分析：由题意得，记等差数列{}n a 公差为d ，22111(2)(12)(12)1122a d a a d d d d +=+⇒+=+⇒=（0d =舍去），∴1(1)21n a a n d n =+-=-，21()2n n a a n S n +⋅==，22216216832131n n S n n a n n +++===+-++2(1)2(1)99122411n n n n n +-++=++-≥=++，当且仅当9121n n n +=⇒=+时等号成立，即2163n n S a ++的最小值为4，故选A ． 考点：1．等差数列的通项公式及其前n 项和；2．等比数列的性质；3．基本不等式求最值．【思路点睛】解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等．总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了． 7．A ． 【解析】试题分析：如下图所示，设1(21)n n n P C x P C =+ ，1113n n n P B x P B +=- ，∵11(21)3n n n n n x P C P A x P B+++= ， ∴110n n n P A P B PC ++= ，∴nP 为11AB C ∆的重心，∴11112121n n n P AC P AC P AB n n S S S x x ∆∆∆===++111213n n P AB n x S x +∆⨯+，又∵13n n P AC P AB S S ∆∆=，∴11111212133n n n n x x x x ++⨯=⇒=+⇒+1511512(1)1(1)2212131n n n n n n x x x x x x -++=+⇒+=+⋅⇒=-⇒=-=，故选A ．考点：1．平面向量的线性运算；2．数列的通项公式．【思路点睛】在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． 8．C ． 【解析】试题分析：如下图所示，将()f x 的图象画在平面直角坐标系中，令()f x t =，分析题意可知关于t 的方程20t at b ++=的两根1514t <<，201t <≤或1514t <<，254t =，若1514t <<，201t <≤：由韦达定理可知129()(,1)4a t t =-+∈--；若1514t <<，254t =：由韦达定理可知1259()(,)24a t t =-+∈--，综上实数a 的取值范围是599(,)(,1)244---- ，故选C ．考点：1．函数与方程；2．数形结合的思想．【方法点睛】运用函数图象结合数形结合思想求解问题的类型：1．对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想；2．一些函数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解． 9．24π，12-． 【解析】试题分析：∵等差数列{}n a ，∴159595838924a a a a S a πππ++=⇒=⇒==，375161cos()cos(2)coscos(5)332a a a πππ+===+=-． 考点：1．等差数列的性质；2．任意角的三角函数．10．79．【解析】试题分析：由题意得，12111cos ()(c o ssi 432329πθθθθθ+-⇒-=-⇒7sin 29θ⇒=，∴2216(s i n93θθθθθθθθ+=+=⇒+=⇒=-=4(cos sin )(cos sin )339θθθθ+⋅-=-=-，∴si n (2)333πππθθθ+=+=71()929⨯+-=考点：三角恒等变形． 11．43，12π． 【解析】试题分析：取AC 中点D ，则SD AC ⊥，BD AC ⊥，又∵SD BD D ⊥=，∴AC ⊥平面SBD ，∵SB ⊂平面SBD ，∴AC SB ⊥，又∵AM SB ⊥，AM AC A = ，∴SB ⊥平面SAC ，∴SA SB ⊥，SC SB ⊥，根据对称性可知SA SC ⊥，从而可知SA ，SB ，SC 两两垂直，如下图所示，将其补为立方体，其棱长为2，∴114222323S ABC C ASB V V --==⨯⨯⨯⨯=，其外接球即为立方体的外接球，半径2r ==4312S ππ=⨯=．考点：三棱锥的外接球． 12．2012，1006． 【解析】 试题分析：由题意得，22112122()22()202c a c ac a a c c ac a a b c a a c c a c b ⎧+=⎪⇒+=⇒++=+⇒+-=⇒⎨+⎪+=⎩(2)()0c a c a +-=，∵c a ≠，∴2c a =-，22a c ab +==-，∴1006a =-时，好集中的元素的最大值为2012c =，a 的所有可能值为1006-，1004-，……2-，2，……1004，1006，共1006个，即好集的个数为1006． 考点：以集合为背景的创新题． 13．1[,)2cos1+∞． 【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组所表示的区域，即可行域，而2sin()cos()2424x x y a ππ=++=sin()cos 2a x a x π+=，故可知问题等价于点1(1,)2不在函数cos y a x =的上方，即11cos122cos1a a ≥⇒≥，∴正实数a 的取值范围是1[,)2cos1+∞．考点：1．三角函数的图象和性质；2．线性规划的运用． 14．4+． 【解析】 试题分析：由题意得，222221()2222222a a a ba b ba a ba bbba++++==++≥⋅，当且仅当2121a b a b a b a b ⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩+=⎩21(2)11a c ab c c +-⋅+≥+=--1)41c c -++≥=+-，当且仅当1)112c c c -=⇒=+-时，等号成立，综上，即所求最小值为4+． 考点：基本不等式求最值．【思路点睛】不等式的综合题需要观察具体题目条件的特点，通过联想相关的不等式，常见的解题策略有：①熟练掌握基本不等式，如当0a >，0b >时，2112a b a b +≤≤≤+；②理解最值达成的条件“一正二定三相等”；③构造齐次不等式，再使用基本不等式，常带来方便；④掌握柯西不等式． 15．1+．试题分析：如下图所示，取BC 中点E ，AD 中点F ，连AE ，DE ，OE ，易得ADE ∆为等腰三角形，∴EF ===O 是以BC 为直径的球面上的点，∴O 到AD 的距离为四面体上以BC 为直径的球面上的点到AD 的距离，故当O ，E ，F 三点共线时，最大距离1d OE EF =+=，此时//AD α，故投影为以AD 为底边，cos14d π⋅=+12(112S =⨯⨯+=+．考点：立体几何中的最值问题． 【方法点睛】立体几何的综合应用问题中常涉及最值问题，处理时常用如下两种方法：1．结合条件与图形恰当分析取得最值的条件；2．直接建系后，表示出最值函数，转化为求最值问题；3．化立体为平面，利用平面几何知识求解． 16．[5,1](1,)--+∞ ．【解析】试题分析：首先可求得p ，q 的等价的a 的取值范围，再根据题意可得p ，q 中一真一假，即可求得a 的取值范围． 试题解析：p ：等式21243||a a x x +-≤-对任意m R ∈恒成立212min 43||a a x x ⇔+-≤-⇔224343251a a a a a +-≤⇔+-≤⇔-≤≤，q ：显然0x =不是不等式的解，不等式2210ax x +->有解222m i n 212111()2[()x aa ax x x xx-⇔>=-⋅=-， 又∵p q ∨为真，p q ∧为假，∴p ，q 中一真一假，∴实数a 的取值范围是[5,1](1,)--+∞ ．考点：1．命题的真假；2．一元二次不等式．17．（1）[1--；（2）1a =，2b =．试题分析：（1）利用三角恒等变形将()f x 化成形如sin()y A x ωϕ=+的性质，再根据三角函数的性质即可求解；（2）利用平面向量共线的坐标表示结合正弦定理可得到a ，b 所满足的一个方程，再结合余弦定理可得到a ，b 所满足的另一个方程，联立即可求解． 试题解析：（1）1cos 21()222x f x x +=--12cos 212x x =--sin(2)16x π=--，∵51212x ππ-≤≤，∴22363x πππ-≤-≤，∴s i n (2)16x π≤-≤，从而1s i n (2)1026x π--≤--≤，即值域为[12--；（2）()sin(2)106f C C π=--=，则sin(2)16C π-=，∵0C π<<，∴112666C πππ-<-<，∴2623C C πππ-=⇒=， 又∵向量(1,sin )m A = 与向量(2,sin )n B =共线，∴sin 2sin B A =，由正弦定理得，2b a = ①，由余弦定理得，2222cos 3c a b ab π=+-，即223a b ab +-=②，联立①②解得1a =，2b =．考点：1．三角恒等变形；2．sin()y A x ωϕ=+的图象和性质；3．平面向量共线坐标表示；4．．正余弦定理解三角形．18．（1）详见解析；（2）3λ=【解析】 试题分析：（1）过B 作BH CD ⊥于H ，根据条件可证明PD ⊥平面ABCD ，BC ⊥平面PBD ，再由面面垂直的的判定即可得证；（2）根据条件可作出二面角Q BD P --的平面角，从而即可建立关于λ的方程，或建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后亦可建立关于λ的方程，从而求解． 试题解析：（1）∵AD ⊥平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，DC ⊂平面PDC ， ∴AD PD ⊥，AD DC ⊥，在梯形ABCD 中，过点作B 作BH CD ⊥于H ， 在BCH∆中，14B H C H B C H ︒==⇒∠=，又在D A B ∆中，145A D A B A D B ︒==⇒∠=，∴4590BDC DBC BC BD ︒︒∠=⇒∠=⇒⊥， ∵PD AD ⊥，PD DC ⊥，AD DC D = ，AD ⊂平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥平面ABCD ，∵BC ⊂平面ABCD ， ∴PD BC ⊥，∵BD PD D = ，BD ⊂平面PBD ，PD ⊂平面PBD ，∴BC ⊥平面PBD ，∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD ；（2）法一：过点Q 作//QM BC 交PB 于点M ，过点M 作MN BD ⊥于点N ，连QN ，由（1）可知BC ⊥平面PDB ，∴QM ⊥平面PDB ，∴QM BD ⊥，∵QM MN M = ，∴BD ⊥平面MNQ ，∴B D Q N ⊥，∴Q N M∠是二面角Q BD P--的平面角，∴60QNM ︒∠=，∵P Q P C λ= ，∴PQ PC λ=，∵//QM BC ，∴P Q Q M P MP C B C P Bλ===，∴QM BC λ=，由（1）知BC =QM =，又∵1PD =，∵//MN PD ，∴MN BMPD PB=， ∴11BM PB PM PMMN PB PB PBλ-===-=-，∵t a n QMMNQ MN∠=，∴1λ=-3λ=D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(如图)则(0,0,1)P ，(0,2,0)C ，(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，令000(,,)Q x y z ，则000(,,1)PQ x y z =- ，(0,2,1)PC =- ，∵PQ PC λ=，∴000(,1)(0,2,1)x y z λ-=-,，∴(0,2,1)Q λλ=-，∵BC ⊥平面PBD ，∴(1,1,0)n =-是平面PBD 的一个法向量，设平面QBD 的法向量为()m x y z = ,,，则00m DB m DQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即 02(1)0x y y z λλ+=⎧⎨+-=⎩ 即21x yz y λλ=-⎧⎪⎨=⎪-⎩， 不妨令1y =，得2(1,1,)1m λλ=-- ，∵二面角Q BD P --为60︒，∴1cos(,)2m n m n m n⋅===，解得3λ= ∵Q 在棱PC 上，∴0λ<<1，故λ=考点：1．线面垂直，面面垂直的判定与性质；2．二面角的求解；3．空间向量求二面角． 19．（1）0a <：()f x 的单调增区间为(,)2a-∞，(,)4a +∞；0a >：()f x 的单调增区间为(,)4a -∞，(,)2a +∞；0a =：()f x 的单调增区间为R ；（2） 80a -≤<：)+∞，8a <-：[[)444a a a +∞ ；（3）97[,9)13． 【解析】试题分析：（1）根据a 的取值情况进行分类讨论，将()f x 表达式中的绝对值号去掉，再利用二次函数的性质讨论即可求解；（2）利用（1）中求得的单调性，再结合二次函数的图象和性质即可求解；（3）利用二次函数的单调性首先课确定a 的大致范围，再利根据条件方程()()f x g t =在[3,5]x ∈总存在两不相等的实数根，建立关于a 的不等式组，从而求解．试题解析：（1）∵()|2|f x x x a =-，∴22222222(), 482()22(), 482a a ax ax x x f x a a a x ax x x ⎧-=--≥⎪⎪=⎨⎪-+=--+<⎪⎩，∴0a <：()f x 的单调增区间为(,)2a-∞，(,)4a +∞；0a >：()f x 的单调增区间为(,)4a -∞，(,)2a +∞；0a =：()f x 的单调增区间为R ；（2）∵0a <，∴()f x 在(,]2a-∞单调递增，在[,]24a a 单调递减，在[,)4a+∞单调递增，若2()48a a f a =-≥⇒80a -≤<：令(2)x a x a -=解得：1x =∴不等式的解为：)+∞；若2()48a a f a =-<⇒8a <-：令(2)x x a a -=，解得：1x =，2x =，根据图象不等式的解为：[[)444a a a +∞ ，综上： 80a -≤<：不等式的解为[)4a +∞；8a <-：不等式的解为)+∞ ；（3）22222222(), 482()22(), 482a a a x ax x x f x a a ax ax x x ⎧-=--≥⎪⎪=⎨⎪-+=--+<⎪⎩， ∵012a <<，∴()f x 在(,]4a -∞单调递增，在[,]42a a 单调递减，在[,)2a +∞单调递增，∴356102aa <<⇒<<， ∴2()1x a g x x -=-1111a x x -=-++-在[3,5]x ∈单调递增，∴925()[,]24a ag x --∈， ()f x 在[3,]2a 单调递减，在[,5]2a单调递增，∴必须[(3),(5)][(),min{(3),(5)}]2ag g f f f ⊆，即(3)()2(5)(3)(5)(5)a g f g f g f ⎧>⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩⇒97913a ≤<，即实数a 的取值范围是97[,9)13．考点：1．二次函数综合题；2．分类讨论的数学思想．【方法点睛】解决二次函数综合题常见的解题策略有：1．尽可能画图，画图时要关注已知确定的东西，如零点，截距，对称轴，开口方向，判别式等；2．两个变元或以上，学会变换角度抓主元；3．数形结合，务必要保持数形刻画的等价性，不能丢失信息；3．掌握二次函数，二次不等式，二次方程的内在联系，熟练等价转化和准确表述；4．恒成立问题可转化为最值问题．20．（1）(1,)+∞；（2）详见解析． 【解析】试题分析：（1）根据题意可说明数列2{}n n a a -单调递增，从而要使不等式恒成立，只需42(1)7(log log 1)12a a a a x x +->-+成立即可，再利用换底公式即可求解；（2）利用已知条件首先可得到数列{}n a 的一个递推公式11n n a a n-=+，两边平方后可得累加后可将问题等价转化为证明2221117(1)234n +++⋅⋅⋅+<成立即可，再对不等式左边进行放缩即可的证．试题解析：（1）由题意得，令2111()122n n f n a a n n n =-=+++++ ， ∴111(1)()2122f n f n n n n +-=+++-+++ 111122n n n +++++ 11121221n n n =+-+++ 1102122n n =->++，即()f n 单调递增，∴27(2)12n n a a f -≥=，故问题等价于 (1)77(log log 1)1212a a x x +>-+⇒(1)log log a a x x +<，又∵(1)lg log lg(1)a x x a +=+，lg log lg a xx a=， 且lg(1)lg 0a a +>>，∴x 的取值范围是(1,)+∞；（2）∵11n n a a n-=+，∴2211()n n a a n--=，∴221221n n n a a a n n --=-，221122211(1)n n n a a a n n ----=---， (22)33222133a a a -=-， 2222122122a a a -=-，累加得：223212221112()()2323n n a a a a a n n-=+++-++⋅⋅⋅+ ， ∴23212221112()(1)2323n n a a a a a n n =++++-+++⋅⋅⋅+ ，∴2321222711172()(1)423234n n a a a a a n n +=++++-+++⋅⋅⋅++ ， 要证原不等式成立，只需证：2221117(1)234n +++⋅⋅⋅+<，1n =，2时显然成立，3n ≥时，左边21111122334(1)n n <++++⋅⋅⋅+⋅⋅- 1111111717142334144n n n =++-+-+⋅⋅⋅+-=-<-，故原不等式成立． 考点：1．数列的单调性；2．换底公式；3．数列与不等式综合题．【思路点睛】解决数列综合题常见策略有：1．关注数列的通项公式，构造相应的函数，考察该函数的相关性质（单调性、值域、有界性、切线）加以放缩；2．重视问题设问的层层递进，最后一小问常常用到之前的中间结论；3．数学归纳法．。