【学练优】2016秋九年级数学上册 24.4 坡度问题(第3课时)习题课件 (新版)华东师大版
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华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 坡比、坡度问题》精品课件_1
1、如图，铁路的路基横断面是等腰梯 形，斜坡AB的坡度为 1 : 3 坡面AB的水 平宽度为 3 米，基面AD宽2米，求路 基高AE、坡角∠B和基底BC的宽
结合例题体会 如何把实际问题转化为数学问题？
注意解题格式。
小组内交流此题用到的重要知识 和数学思想。
2、如图所示，修建铁路要经过一座高山，需
（3）传送带和地面所成的斜坡的坡比为 1：2，把物体从地面送到离地面9米高的 地方，则物体通过的路程为 _______米。
（4）斜坡的坡度是1：3，斜坡长=100米， 则斜坡高为___米。
温馨提示： 坡度等于坡角的正切值. 坡度越大，坡角就越大，坡面就陡.
（1）坡度不是度数，是一个比值，也叫坡比。 （2）坡度通常写成1∶m的形式， 如i=1∶6. i= 1 : 3
2．小明沿着坡度为1:2的山坡行走了 1000m，则他升高了__________m。
3、一段河坝的断面为梯形ABCD，AB=5米， BC=4.5米,坡面CD 坡度为 i= 1: 3 求坝宽AD．
1、课本P116练习 P121,第12题；
2、复习本节知识。
l
2、坡度（或坡比）
坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=—h— l
3、坡度与坡角的关系
i
h l
tan
坡度等于坡角的正切值.
坡度越大，坡角就越大，坡面就陡.
自学检测（看谁又对又快）
（1）斜坡的坡比是1:1 ， 则坡角α =__度，斜坡的 坡角600 ，则坡度i=___. （2）斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是___.
解直角三角形的应用 ——坡度
自主学习：
九年级数学上册 第24章 解直角三角形24.4 解直角三角形第3课时 坡问题备选课件
第24章
解直角三角形
12/12/2021
第3课时 坡度 问 (pōdù) 题
第一页，共十八页。
回顾导入 思想与方法
俯角和仰角的问题(wèntí) 解题思想与方法
1．数形结合( jiéhé)思想. 2．方程思想. 3．转化（化归）思想.
方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果 示意图不是(bù shi)直角三角形，可添加适当的辅助线 ，构造出直角三角形.
12/12/2021
A
B
第十四页，共十八页。
解后反思 1 (fǎnsī)
过D作高
直角梯形(tīxíng)
矩形
分割(fēngē)
D
12/12/2021
A
*
第十五页，共十八页。
直角三角形和
C B
解后反思 2 (fǎnsī)
等腰梯形(tīxíng) 形和矩形
过D、C作高Biblioteka 分割(fēngē)D
两个全等的直角三角
C
A
12/12/2021
B
*
第十六页，共十八页。
课堂小结
通过作一条高 直角梯形
分割
直角三角形和矩形
等腰梯形 和矩形
通过作两条高 分割
两个全等的直角三角形
①株距（相邻两树间的水平距离(jùlí)）、
②斜坡的倾斜角、
③斜坡上相邻两树间的坡面距离
④坡度(pōdù)
12/12/2021
*
第十七页，共十八页。
①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
分析： 1．将实际问题转化为数学问题． 2．要求(yāoqiú)S等腰梯形ABCD，首先要求出 AD,
解直角三角形
12/12/2021
第3课时 坡度 问 (pōdù) 题
第一页，共十八页。
回顾导入 思想与方法
俯角和仰角的问题(wèntí) 解题思想与方法
1．数形结合( jiéhé)思想. 2．方程思想. 3．转化（化归）思想.
方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果 示意图不是(bù shi)直角三角形，可添加适当的辅助线 ，构造出直角三角形.
12/12/2021
A
B
第十四页，共十八页。
解后反思 1 (fǎnsī)
过D作高
直角梯形(tīxíng)
矩形
分割(fēngē)
D
12/12/2021
A
*
第十五页，共十八页。
直角三角形和
C B
解后反思 2 (fǎnsī)
等腰梯形(tīxíng) 形和矩形
过D、C作高Biblioteka 分割(fēngē)D
两个全等的直角三角
C
A
12/12/2021
B
*
第十六页，共十八页。
课堂小结
通过作一条高 直角梯形
分割
直角三角形和矩形
等腰梯形 和矩形
通过作两条高 分割
两个全等的直角三角形
①株距（相邻两树间的水平距离(jùlí)）、
②斜坡的倾斜角、
③斜坡上相邻两树间的坡面距离
④坡度(pōdù)
12/12/2021
*
第十七页，共十八页。
①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
分析： 1．将实际问题转化为数学问题． 2．要求(yāoqiú)S等腰梯形ABCD，首先要求出 AD,
九年级数学上册24.4第三课时解直角三角形的应用教学全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件
7/7
数学
新课标（HS） 九年级上册
1/7
24.4 解直角三角形
第3课时 解直角三角形应用（二）
2/7
第3课时 解直角三角形应用（二）
新知梳理
► 知识点 坡角与坡度（坡比）
概念：如图 24－4－40，通常把坡面的铅垂高度 h 和水平
长度 l 的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作 i，即 i＝hl .坡度通
6/7
第3课时 解直角三角形应用（二）
[归纳总结] 解坡度问题的一般规律：(1)正确理解坡度 与坡角的关系：tanα＝i＝hl ；
(2)水渠、堤坝的横断面一般是梯形，解这类问题通常将 梯形分割成直角三角形和矩形；
(3)由不同的坡比构建不同的直角三角形求解，此类题 目的条件多，线条多，解法多，应抓住关键条件，看“有用” 线段，选择比较简便的解法．
米，坝顶宽BC＝6米，依据条件求： (1)斜坡AB坡角α(准确到1′)； (2)坝底宽AD和斜坡AB长(准确到0.1米)．
图24－4－41
4/7
第3课时 解直角三角形应用（二）
[解析] 梯形问题，首先应作辅助线结构直角三角形，再利 用条件解直角三角形．
解：分别过 B、C 两点作 BE⊥AD 于 E，CF⊥AD 于 F， 则四边形 BCFE 为矩形，∴BE＝CF，BC＝EF.
(1)在 Rt△BAE 中，i1＝1∶3，即 tanα＝ABEE＝13， ∴α≈18°26′.
5/7
第3课时 解直角三角形应用（二）
(2)在 Rt△ABE 中，i1＝1∶3，BE＝23 米， ∴AE＝3BE＝3×23＝69(米)， AB＝ AE2＋BE2＝ 692＋232 ＝ 5290≈72.7(米)． 在 Rt△CDF 中，i2＝1∶2.5，CF＝BE＝23 米， ∴DF＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(米)． ∴AD＝AE＋EF＋FD＝AE＋BC＋FD＝69＋6＋57.5 ＝132.5(米)．
数学
新课标（HS） 九年级上册
1/7
24.4 解直角三角形
第3课时 解直角三角形应用（二）
2/7
第3课时 解直角三角形应用（二）
新知梳理
► 知识点 坡角与坡度（坡比）
概念：如图 24－4－40，通常把坡面的铅垂高度 h 和水平
长度 l 的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作 i，即 i＝hl .坡度通
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第3课时 解直角三角形应用（二）
[归纳总结] 解坡度问题的一般规律：(1)正确理解坡度 与坡角的关系：tanα＝i＝hl ；
(2)水渠、堤坝的横断面一般是梯形，解这类问题通常将 梯形分割成直角三角形和矩形；
(3)由不同的坡比构建不同的直角三角形求解，此类题 目的条件多，线条多，解法多，应抓住关键条件，看“有用” 线段，选择比较简便的解法．
米，坝顶宽BC＝6米，依据条件求： (1)斜坡AB坡角α(准确到1′)； (2)坝底宽AD和斜坡AB长(准确到0.1米)．
图24－4－41
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第3课时 解直角三角形应用（二）
[解析] 梯形问题，首先应作辅助线结构直角三角形，再利 用条件解直角三角形．
解：分别过 B、C 两点作 BE⊥AD 于 E，CF⊥AD 于 F， 则四边形 BCFE 为矩形，∴BE＝CF，BC＝EF.
(1)在 Rt△BAE 中，i1＝1∶3，即 tanα＝ABEE＝13， ∴α≈18°26′.
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第3课时 解直角三角形应用（二）
(2)在 Rt△ABE 中，i1＝1∶3，BE＝23 米， ∴AE＝3BE＝3×23＝69(米)， AB＝ AE2＋BE2＝ 692＋232 ＝ 5290≈72.7(米)． 在 Rt△CDF 中，i2＝1∶2.5，CF＝BE＝23 米， ∴DF＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(米)． ∴AD＝AE＋EF＋FD＝AE＋BC＋FD＝69＋6＋57.5 ＝132.5(米)．
九年级数学上册24.4解直角三角形第3课时坡度坡角在解直角三角形中的应用作业课件华东师大版
一、选择题(每小题 6 分，共 12 分) 8．在平昌冬奥会上，一运动员乘滑雪板沿坡比 为 1∶ 3 的斜坡笔直滑下，滑下的距离 s(m)与 时间 t(s)间的关系为 s＝10t＋2t2.若滑到坡底的时 间为 4 s，则此人下降的高度为( C ) A．72 m B．36 3 m C．36 m D．18 3 m
解：延长 BC 交 OP 于点 H. ∵斜坡 AP 的坡度为 1∶2.4，∴APDD ＝152 ，设 AD＝5k，则 PD＝12k， 由勾股定理，得 AP＝13k， ∴13k＝26，解得 k＝2，∴AD＝10，∵BC⊥AC，AC∥PO，∴BH⊥PO， ∴四边形 ADHC 是矩形，CH＝AD＝10，AC＝DH，∵∠BPD＝45°， ∴PH＝BH，设 BC＝x，则 x＋10＝24＋DH，∴AC＝DH＝x－14，在 Rt△ABC 中，tan 76°＝ABCC ，即x－x14 ≈4.01. 解得 x≈18.7，经检验 x≈18.7 是原方程的解． 答：纪念碑 BC 的高度约为 18.7 m
解：由题意知，AH＝10 m，BC＝10 m，在 Rt△ABC 中，∵∠ CAB＝45°， ∴AB＝BC＝10 m，在 Rt△DBC 中，∵∠CDB＝30°，∴DB
＝ tan
BC ∠CDB
＝10
3
m.
∵DH＝AH－DA＝AH－(DB－AB)＝10－10 3 ＋10＝20－ 10 3 ≈2.7 m，∵2.7 m＜3 m， ∴建筑物需要拆除
第10题图
11．某居民楼紧挨一座山坡 AB，经过地质人员 勘测，当坡度不超过 45°时，可以确保山体不滑 坡，如图所示，已知 AE∥BD，斜坡 AB 的坡角 ∠ABD＝60°，为防止滑坡，现对山坡进行改造， 改造后，斜坡 BC 与地面 BD 成 45°角，AC＝10 m．则斜坡 BC＝_3_3_.3_ m(结果精确到 0.1 m，参考 数据： 2 ＝1.41， 3 ≈1.73).
【华师大版教材】九年级数学上册《24.4 第3课时 坡度问题》课件
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡 “化整为零”地划分为一些小段，图表示其中一部分小段， 划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的， 可以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出 这段山坡的高度h1=l1sina1.
lh α
方法归纳
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法 分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”， 把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.
12米
D
C
CD＝EF＝12（米）． 在Rt△ADE中，
4米
45°
A
E
30°
F
B
i DE 4 tan 45 AE 4 4(米)
AE AE
tan 45
在Rt△BCF中，同理可得
BF 4 6.93(米) tan 30
因此AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93（米）．
i
h l
tan
坡度等于坡角的正切值
练一练 1.斜坡的坡度是 1 : 3 ，则坡角α=___3_0__度. 2.斜坡的坡角是45°，则坡比是 __1_：__1__. 3.斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是__1_:__3__.
h α
l
典例精析
例：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB
解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°
tan AF i 1 BF 1.5
33.7
i=1:1.5 Bα
AD 6m FE
i=1:3 βC
在Rt△CDE中，∠CED=90°
tan DE i 1: 3
新华师大版九年级上册初中数学 24-4课时3 坡度问题 教学课件
l 坡 度 通 常 写 成 1:m 的 形式，如i=1:6.
第五页，共二十页。
新课讲解 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α， 有i= h=tanα.
l 坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
第六页，共二十页。
新课讲解
例 1 如知图识，点一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底
的宽是12.51米，其坡面的坡角分别是32°和28°.求路基下底
A.15°
B.20°
C.30°
D.45°
第十六页，共二十页。
当堂小练
2.彬彬沿坡度为1∶ 3的坡面向上走50米，则他
离地面的高度为( C)
A.25 3米
C.25米
B.50米 D.50 米3
第十七页，共二十页。
拓展与延伸
如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD， 坝顶宽为6.2米，坝高为23.5米，斜坡AB的坡度 i1=1:3，斜坡CD的长度i2=1:2.5.求： (1)斜坡AB与坝底AD的长度(精确到0.1米)；
∴AD=AE+EF+FD=70.5+58.75+6.2≈135.5米
(2)tanα=1:2.5=0.4
∴α = 22°
第十九页，共二十页。
布置作业
请完成《 少年班》P1-P1对应习题
第二十页，共二十页。
新课讲解
知识点2 利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤
1.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化
为解直角三角形的问题，也就是建立适当的数学模
型）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用直
角三角形的有关性质，解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案.
第五页，共二十页。
新课讲解 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α， 有i= h=tanα.
l 坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
第六页，共二十页。
新课讲解
例 1 如知图识，点一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底
的宽是12.51米，其坡面的坡角分别是32°和28°.求路基下底
A.15°
B.20°
C.30°
D.45°
第十六页，共二十页。
当堂小练
2.彬彬沿坡度为1∶ 3的坡面向上走50米，则他
离地面的高度为( C)
A.25 3米
C.25米
B.50米 D.50 米3
第十七页，共二十页。
拓展与延伸
如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD， 坝顶宽为6.2米，坝高为23.5米，斜坡AB的坡度 i1=1:3，斜坡CD的长度i2=1:2.5.求： (1)斜坡AB与坝底AD的长度(精确到0.1米)；
∴AD=AE+EF+FD=70.5+58.75+6.2≈135.5米
(2)tanα=1:2.5=0.4
∴α = 22°
第十九页，共二十页。
布置作业
请完成《 少年班》P1-P1对应习题
第二十页，共二十页。
新课讲解
知识点2 利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤
1.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化
为解直角三角形的问题，也就是建立适当的数学模
型）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用直
角三角形的有关性质，解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案.
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 坡比、坡度问题》精品课件_3
(2)在 Rt△ABE 中，i1＝1∶3，BE＝23 米， ∴AE＝3BE＝3×23＝69(米)，
AB＝ AE2＋BE2＝ 692＋232 ＝ 5290≈72.7(米)． 在 Rt△CDF 中，i2＝1∶2.5，CF＝BE＝23 米， ∴DF＝2.5CF＝2.5×23＝57.5(米)． ∴ AD ＝ AE ＋ EF ＋ FD ＝ AE ＋ BC ＋ FD ＝ 69 ＋ 6 ＋ 57.5 ＝
新知梳理
三．自学检测
1.一段坡面坡角为 60°,则坡度i =_______。
2.小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000米，则他升高了 ________米。
3.一水库迎水坡坡度1： 3 ，则该坡坡角α=_______。
4.坡度和坡角的应用
随着社会的发展，人们对防洪的意识越来越强，今年 为提前做好防洪准备工作，某市正在长江边某处常出 现险情的河段修建一防洪大坝，其横断面为梯形 ABCD，如图所示，你能求出DC的长吗？
归纳总结
解决坡度问题的一般规律：
(1)正确理解坡度与坡角的关系：i＝tanα ＝hl；
(2)建立适当的数学模型，水渠、堤坝、土坡的横断面 一般是梯形，解这类问题通常将梯形分割成直角三角形和矩 形，转化为解直角三角形的问题；
(3)由不同的坡比构建不同的直角三角形求解，应抓住 关2.5(米)．
拓展提升
如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角 为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥部 专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石加固，并使上底加宽2米，加固后 ，背水坡EF的坡比i＝1∶2.
(1)求加固后坝底增加的宽度AF的长； (2)求完成这项工程需要土石方多少立方米．
24.4解直角三角形第3课时坡度、坡角课件
华东师范大学出版社 义务教育教科书 九年级 上册
第24章 解直角三角形
24.4 第3课时 坡度、坡角的问题
洛阳市双语实验学校
知识回顾
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)两锐角之间的关系:∠ A＋ ∠ B＝ 90º
Ｂ
(3)边角之间的关系
自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值为_____
4.如下图，河堤的横断面中，堤高BC是5米，迎水斜坡
AB的长丝13米，那么斜坡AB的坡度是（ C ）
A.1：3
B.1：2.6
C.1:2.4
D.1:2
B
C
A
中考链接
如走i=图了1：，0.4小6的5明千斜从米坡点到向A达上处点走出了B发，1，s千i沿米nα着达=坡到角点153为C．α问，的小然斜明后坡从又向A沿上点着到坡点度C上为 升的高度CD是多少千米（结果保留根号）？
3.得到数学问题的答案；
4.得到实际问题的答案.
课堂小结
3.
4.
洛阳市双语实验学校
再见！
洛阳市双语实验学校
自学内容： 课本115页
A
6
i 1 : 3B
C
i=1:2.5
23
D
坡面
α 水平面
铅垂高度（h）
1.坡度（或坡比）： 坡度通常写成1： m 的形式.
2.坡角： 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.
3.坡度与坡角的关系：
1、斜坡的坡度是1 : 3 ，则坡角α=___3_0__度。 2、斜坡的坡角是450 ，则坡比是 __1_：_1___。
B
【解】
A
C
α
FD
第24章 解直角三角形
24.4 第3课时 坡度、坡角的问题
洛阳市双语实验学校
知识回顾
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
(2)两锐角之间的关系:∠ A＋ ∠ B＝ 90º
Ｂ
(3)边角之间的关系
自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值为_____
4.如下图，河堤的横断面中，堤高BC是5米，迎水斜坡
AB的长丝13米，那么斜坡AB的坡度是（ C ）
A.1：3
B.1：2.6
C.1:2.4
D.1:2
B
C
A
中考链接
如走i=图了1：，0.4小6的5明千斜从米坡点到向A达上处点走出了B发，1，s千i沿米nα着达=坡到角点153为C．α问，的小然斜明后坡从又向A沿上点着到坡点度C上为 升的高度CD是多少千米（结果保留根号）？
3.得到数学问题的答案；
4.得到实际问题的答案.
课堂小结
3.
4.
洛阳市双语实验学校
再见！
洛阳市双语实验学校
自学内容： 课本115页
A
6
i 1 : 3B
C
i=1:2.5
23
D
坡面
α 水平面
铅垂高度（h）
1.坡度（或坡比）： 坡度通常写成1： m 的形式.
2.坡角： 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.
3.坡度与坡角的关系：
1、斜坡的坡度是1 : 3 ，则坡角α=___3_0__度。 2、斜坡的坡角是450 ，则坡比是 __1_：_1___。
B
【解】
A
C
α
FD