2、小升初分班奥数杂题

精锐

讲义编号：

学员编号: 年级：小六课时数：3

学员姓名: 辅导科目：奥数学科教师：

课题奥数杂题

授课时间：备课时间：

教学目标掌握操作问题、合理安排问题、最值问题、最佳对策问题的分析思路，通过讲解，强化对这些知识块的认识。

教学内容

【习题精讲】

一、数字迷

【例1】：．（★★★★）ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9中的不同的数字。已知ABCD+EFG=1993，问：乘积ABCD×EFG的最大值与最小值相差多少？

解答：

[思路]：首先可以根据ABCD+EFG=1993讨论字母中确定的数，再讨论其中数值可能的取值。

解：因为ABCD+EFG=1993，首先A=1，B+E≤9；

D+G个位为3，因为A=1，所以剩下大小为2+3=5, 则D+G只能是13，即4+9或5+8或6+7；

根据和一定，两数之差越小乘积越大，B、E应选2、7；

那么，C+F只能等于8，即只有3、5一种选择，由此也就确定了D、G只能选4、9；

所以，两数为1234和759时乘积最大，1234×759=936606；两数为1759和234时乘积为最小，1759×234=411606；936606-411606=525000，乘积ABCD×EFG的最大值与最小值相差525000。

[总结]：字谜中最重要的是学会分析取值可能性。

[拓展]：已知a，b，c，d，e，f，g，h分别代表0至9中的8个不同数字，并且a≠0，e≠0，

还知道有等式abcd－efgh=1994,那么两个四位数abcd与efgh之和的最大值是多少？最小值是多少？

【例2】：．（★★★★）小明按照下列算式：

乙组的数□甲组的数〇1＝

对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号。他将计算结果填入下图的表中。有人发现表中14个数中有两个数是错的，请你改正。问改正后的两个数的和是多少？

[思路]：要找出哪两个数错的，我们得先通过剩下的找出方框和圆中都填了什么符号，再进行判断。

解答：

首先，由结果中的数值都增大比较多，可以初步判断方框中应填除号，圆圈中应填加号。

试算：

由此可以确定上面的填运算符号是正确的，且4又5/16是错误之一，应为4又55/16；

再对第二行数据试算，发现结果都不符，说明“2”是错的。用还原法逆推，（3.4-1）÷0.625=1.5=3/2，验算均符合。所以，第二个错误是乙数“2”应为3/2。

那么，4又55/16+3/2=6又7/16。

[总 结]：此题的重点在于初步判断符号，此时要大胆的先试验一下，再进行判断。

【例3】：、（★★★）在下面的圆圈和方框中，分别填入适当的自然数，使等式成立。问在方框中应填多少？

[方法一]：

[思 路]：从条件上看，本题没有太好的突破口。但是不难体会，填入的两个自然数不可能都很大，就是说其中至少有一个比较小，否则两个分数的和达不到11/12这就提供了讨论的可能． 解：记圆圈里填入的是A ，方框里填入的是B ，那么A 1＋B 29＝12

11 不难验证，当A=2、3、4、5时，相应的B 都不是自然数，也就不是所求的答案．

当A≥6时，有

B 29≥1211一61=4

3，得B≤38．又因为显然B 29<1211，得B≥32．由原条件，可得等式 A ＝348

1112-⨯⨯B B 将B=32、33……38依次代入上式，只有B=32和36时得到的A 才是整数，即961＋3229＝1211，91＋3229＝1211 因此，方框中填的数是32或36．

[方法二]：直接试验

[思 路]：直接展开，找出符合情况的，但答案往往是不唯一的。

解：11/12=33/36=（4+29）/36=4/36+29/36=1/9+29/36，

所以，在方框中应填36。（36是一个非常容易得到的答案，但不一定是唯一的。）

[方法三]：不定方程

[思 路]：设数再按要求列方程。

解：设：1/x+29/y=11/12，则：x(348+y)=12y(x-1)，

当x>y 时，解得x=96，y=32；

当x

所以，在方框中可填32或36。

[总 结]：本题更应该算是一道不定方程的题目，所以解法有些与众不同．有兴趣的读者可以试用解不定方程的方法来解本题．

[拓 展]：A/11+B/3=37/33，问A ，B 分别为多少？

二、最值问题

【例1】：．（★★★）将6，7，8，9，10按任意次序写在一个圆周上，每相邻两数相乘，并将所得的5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少？

[思 路]：要使积最小，就要每个数尽可能小，则一定要使大数和小数凑。

解：要使乘积最小，就要每个数尽可能小。对于10，旁边添6和7，这样积小一些。于是有两种添法：

经计算，第二种方法好，得出312。

【例2】：．（★★★★）有13个不同自然数，它们的和是100。问其中偶数最多有多少个？最少有多少个？

[思路]：奇偶性分析，要使偶数最多，则偶数的和要越小越好，而且偶数的个数要为奇数个。

解：①要使偶数最多，则偶数的和要越小越好，而且偶数的个数要为奇数个，这样2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，不符合题意，所以只能少一个偶数2+4+6+8+10+12+14+16=72，还是不行，再减少一个2+4+6+8+10+12+14=56 100-56=42 42=1+3+5+7+9+17，最多有7个偶数。

②同理：1+3+5+7+9+11+13+15=64 还要5个偶数，100-64=36 36=2+4+6+8+16 最少有5个偶数。

【例3】：．（★★★★）将1，2，3，…，49，50任意分成10组，每组5个数。在每一组中，数值居中的那个数称为“中位数”。求这10个中位数之和的最大值与最小值。

[思路]：如果随意地分一下组，比如1～5第一组、6～10第二组……这样当然无法得到最好的情况．我们先来分析最小是什么情况．首先最小的“中位数”只能是3，因为它至少要大于与它同组的两个数．此时如果把这个组的另两个数写成4和5，那就太“浪费”了．因为如果我们把4和5放在另一个组，那这个组的“中位数”就可以是6了．由此我们就找到了这样一个找“最小中位数”的方法．

同样，中位数和最大时，最大的中位数可以是48，次大的可以是45。

解：最大值：48+45+42+…+21=345．

分组方法是：(50，49，48，l，2)、(47、46、45，3，4)、(44，43，42，5，6)……(23，22，21，19，20)

最小值：3+6+9+…+30=165

分组方法是：(1，2，3，49，50)、(4，5，6，47，48)、（7，8，9，45，46）……(28,29,30,31,32).

[总结]：对于此类问题，我们决不能采用常规的思维方法，应该针对“最”这个字采取不同的策略.

【例4】：（★★★）10位小学生的平均身高是1.5米。其中有一些低于1.5米的，他们的平均身高是1.2米；另一些高于1.5米的平均身高是1.7米。那么最多有多少位同学的身高恰好是1.5米？

[思路]：除去那些低于1.5米的和高于1.5米的同学，剩下的就是恰好是1.5米的．所以我们希望低于1.5米的同学和高于1.5米的同学都尽可能地少．

【解】假设低于1.5米的同学有a个，高于1.5米的同学有6个，根据他们的平均身高可以列出等式

1.2a+1.7b=1.5(a+b)，

由此可得 2b=3a．

因为a和b都是自然数，所以最小的可能是a=2，b=3．10－a—b=10—5=5(位)．

那么最多有5位同学身高恰好是1.5米．

三、操作：

【例1】：（★★★）对于任意一个自然数 n，当 n为奇数时，加上121；当n为偶数时，除以2。这算一次操作。现在对231连续进行这种操作，在操作过程中是否可能出现100？为什么？

【提示】：同学们碰到这种题，可能会“具体操作”一下，得到