Ch2-2 求导法则
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求导法则与求导公式
求导法则与求导公式求导法则是用来求导数的基本方法和公式，它是微积分的基础，被广泛应用于数学、物理等领域。
在求导过程中，有一些基本的法则和公式可以帮助我们简化计算。
一、基本求导法则1.常数法则：如果f(x)=C，其中C为常数，则f'(x)=0。
2. 变量法则：如果f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
3.常数倍法则：如果f(x)=Cg(x)，其中g(x)可导且C为常数，则f'(x)=Cg'(x)。
4.加减法则：如果f(x)=g(x)±h(x)，其中g(x)和h(x)可导，则f'(x)=g'(x)±h'(x)。
5.乘法法则：如果f(x)=g(x)h(x)，其中g(x)和h(x)可导，则f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)。
6.除法法则：如果f(x)=g(x)/h(x)，其中g(x)和h(x)可导且h(x)不等于0，则f'(x)=(g'(x)h(x)-g(x)h'(x))/h(x)^27.复合函数法则：如果f(x)=g(h(x))，其中g和h都是可导函数，则f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。
8.反函数法则：如果f和g是互为反函数，则f'(x)=1/g'(f(x))。
二、常用的求导公式1. 幂函数求导：(x^n)' = nx^(n-1)。
2.指数函数求导：(e^x)'=e^x。
3. 对数函数求导：(lnx)' = 1/x。
4. 三角函数求导：(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx，(tanx)' = sec^2x。
5. 反三角函数求导：(arcsinx)' = 1/√(1-x^2)，(arccosx)' = -1/√(1-x^2)，(arctanx)' = 1/(1+x^2)。
高等数学2-2导数的四则运算法则和复合导数
例6 求 y log a x 的导数.
解
x a y 在 I y ( , ) 内单调可导，
且 ( a y ) a y ln a 0,
在 I x (0, ) 内有
1 1 1 (log a x ) y y . ( a ) a ln a x ln a
1 x2 a2 1 2 a x2 2 2 2 a x 2 2 a2 x 2
a2 x 2 .
( a 2 x 2 ) ( a 2 x 2 ) 2 a2 x 2 x a2 x 2
x ( ) x a (arcsin ) a x 1 ( )2 a 1 a2 x 2
u( x h) u( x ) v( x h) v ( x ) lim v( x h) u( x ) h0 h h
u( x )v ( x ) u( x )v ( x )
故结论成立.
(3)
u( x ) u( x )v( x ) u( x )v( x ) v( x ) v2 ( x)
1 2 sin x cos x x 1 2 cos 2 x ln x sin 2 x . x
例3 求 y tan x 的导数. 解
y (tan x ) ( sin x ) cos x
(sin x ) cos x sin x(cos x ) cos2 x
由 y f ( x ) 的单调性可知 y 0,
y 1 于是有 x x , y
y 0 ( x 0),
f ( x ) 连续
又知 ( y ) 0
f ( x ) lim
y x 0 x
1 . ( y )
2-2函数的求导法则
cos x dy dy du 1 ∴ = ⋅ = ⋅ cos x = = cot x dx du dx u sin x
机动
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结束
例9
证明：若 x > 0 ，则 ( x μ )′ = μx μ −1 。
μ
ln x μ
=e 证 Qx = e μ ln x ( μ ln x )′ ∴ ( x μ )′ = (e μ ln x )′ = e
当 x = 0 时,
1 x+1
(0 + h) − ln(1 + 0) = 1, f −′ (0) = lim− h→ 0 h ln[1 + (0 + h)] − ln(1 + 0) = 1, f +′ (0) = lim+ h→ 0 h
∴ f ′( 0 ) = 1 .
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= lim
u( x + h)v ( x ) − u( x )v ( x + h) h→ 0 v ( x + h)v ( x )h
机动
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结束
[u( x + h) − u( x )]v ( x ) − u( x )[v ( x + h) − v ( x )] = lim h→ 0 v ( x + h)v ( x )h u( x + h) − u( x ) v ( x + h) − v ( x ) ⋅ v ( x ) − u( x ) ⋅ h h = lim h→ 0 v ( x + h)v ( x ) u′( x )v ( x ) − u( x )v ′( x ) = [v ( x )]2
newch2-2求导法则
（1）必可导； （2）必不可导； （3）不一定可导；
2、如果
f
(
x)
e ax , x
b(1
x
2
0 ),
x
处处可导，那末（（D）） 0
（A）a b 1； （B）a 2, b 1；
（C）a 1, b 0； （D）a 0, b 1.
1.幂函数在其定义域内（
解
例 1 3 证 明 ( l n x ) x 1x 0 . 更 一 般 地 ，
解
(ln f ( x ) )
f '( x ) / f ( x ).
( f (x) 0)
四、基本求导法则与导数公式
1.常数和基本初等函数的导数公式
(C ) 0 (sin x ) cos x (tan x ) sec 2 x (sec x ) sec x tan x (a x ) a x ln a
(arcsx)i n(x h 1x2) x 1x2
1 (1 x ) 1
x1x2
1x2 1 x 2
同理 (arccoshx)(ln x( x21)) 1 x2 1
(arctanhx) (1l n1 x) 2 1 x
1
1 x2
小结
注意: [u (x )v (x )] u (x )v (x );
2
3
y1 2x2112x3(x12)
x 1 x2 1 3(x2)
例12 求函 yf数 n[ n(sx inn )的 ] 导 . 数
解 y n n 1 [ f n (s x n ) if ] n [ n (s x n ) i] n n n 1(sx in )n (sx in )n co xns nn x 1
2-2求导法则
2
高等数学
02-02-18
课堂讨论题 求下列函数的导数。 求下列函数的导数。 （ 1） y = x + x （ 2） y = x x x
高等数学
02-02-19
相关变化率 设 x(t)，y(t) 都是 t 的可导函数 之间存在某种关系， ，且 x(t) 与 y(t) 之间存在某种关系， 那么变化率 x′(t) 与 y′(t) 之间也应有 一定的关系， 一定的关系，这种相互依赖的变化 率称为相关变化率 相关变化率。 率称为相关变化率。
高等数学
02-02-44
作业： 作业：P45 习题二 12(2)(5) 12(2)(5) 15(3)(6)(14)(20) 16(3) 15(3)(6)(14)(20) 16(3) 17(2)(5) 18(3) 19(1) 17(2)(5) 18(3) 19(1)
例 求下列函数的导数。 求下列函数的导数。 (2x +1)(3x + 2) y=3 (4x + 3)(5x + 4)
高等数学
02-02-31
课堂讨论题 求下列函数的导数。 求下列函数的导数。 （1） y = (tan x) （2）幂函数 （3）指数函数
sinx
α（α y=x
为任意实数） 为任意实数）
dy dy du = ⋅ dx du dx
或
′ x y′ = yu ⋅ u′ x
高等数学
02-02-12
推广 设函数 y=f(u)，u=ϕ(v)， v=ψ(x)，则复合函数 y=f{ϕ[ψ(x)]} 的 导数为
dy dy du dv = ⋅ ⋅ dx du dv dx
高等数学
02-02-13
例 求 y = (4x + 5) 的导数。 的导数。
高等数学
02-02-18
课堂讨论题 求下列函数的导数。 求下列函数的导数。 （ 1） y = x + x （ 2） y = x x x
高等数学
02-02-19
相关变化率 设 x(t)，y(t) 都是 t 的可导函数 之间存在某种关系， ，且 x(t) 与 y(t) 之间存在某种关系， 那么变化率 x′(t) 与 y′(t) 之间也应有 一定的关系， 一定的关系，这种相互依赖的变化 率称为相关变化率 相关变化率。 率称为相关变化率。
高等数学
02-02-44
作业： 作业：P45 习题二 12(2)(5) 12(2)(5) 15(3)(6)(14)(20) 16(3) 15(3)(6)(14)(20) 16(3) 17(2)(5) 18(3) 19(1) 17(2)(5) 18(3) 19(1)
例 求下列函数的导数。 求下列函数的导数。 (2x +1)(3x + 2) y=3 (4x + 3)(5x + 4)
高等数学
02-02-31
课堂讨论题 求下列函数的导数。 求下列函数的导数。 （1） y = (tan x) （2）幂函数 （3）指数函数
sinx
α（α y=x
为任意实数） 为任意实数）
dy dy du = ⋅ dx du dx
或
′ x y′ = yu ⋅ u′ x
高等数学
02-02-12
推广 设函数 y=f(u)，u=ϕ(v)， v=ψ(x)，则复合函数 y=f{ϕ[ψ(x)]} 的 导数为
dy dy du dv = ⋅ ⋅ dx du dv dx
高等数学
02-02-13
例 求 y = (4x + 5) 的导数。 的导数。
北师大版高中数学选修2-2导数的乘法与除法法则
解：
（1）可设 f (x) = x2 , g(x) = ln x + sin x
则有：f (x) = 2x, g(x) = 1 + cos x x
根据导数的乘法法则，得：
[ ] x2(ln x + sin x)
= 2x(ln x + sin x) + x2 ( 1 + cos x) x
= x + 2x ln x + 2x sin x + x2 cos x
f (x0 + x) x
f (x0 ) + (x0 + x)2 - x02 x
f (x0 )
由于
lim (
0
x0
+
x)2
=
x
2 0
lim
x 0
f ( x0
+ x) x
f ( x0 )
=
f ( x0 )
lim ( x0
x 0
+
x)2
-
x
2 0
x
= 2x0
=
g ( x0 )
f (x)
g(
x)
=
f (x)g(x) - f (x)g(x) g 2 ( x)
解：
（1）设 f (x) = x2 , g(x) = ex，可知 f (x) = 2x, g(x) = ex
由导数的乘法法则：
[ f (x)g(x) ] = f (x)g(x) + f (x)g(x)
设 y = f (x) 在 x0处的导数为 f (x) ，g(x) = x2，求 y = f (x)g(x) = x2 f (x)在 x0处的导数。
2-2 求导法则
同理可得 (cot x) csc2 x.
例4 求 y sec x 的导数 .
解
y (sec x) ( 1 ) cos x
(cos cos 2
x) x
sin x cos2 x
sec x tan x.
同理可得 (csc x) csc x cot x.
例5 求 y shx 的导数.
解 y (shx) [1 (e x ex )] 1 (e x e x ) chx.
v v
2) 搞清复合结构, 由外向内求导 .
思考与练习
1.
1
x
x
1 x
3
4
3 4
3
1
4 x
1
x
1 4
1 4
1
x2
对吗?
2. 设 f ( x) ( x a)( x), 其中( x) 在 x a
处连续 , 在求 f (a) 时, 下列做法是否正确?
因 f ( x) ( x) ( x a)( x)
练习题
一、 填空题：
1、 设 y x sin x ，则 y= __________.
2、 设 y 3a x e x 2 ，则 dy =__________. x dx
3、 设 y e x ( x 2 3x 1),则 dy = __________. dx x0
4、 设 y 2 tan x sec x 1,则 y=_________.
(3)
[u( x)] v( x)
u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
(v( x) 0).
推论
n
n
(1) [ fi ( x)] fi( x);
高中数学导函数公式（建议收藏）
高中数学导函数公式(建议收藏)
2018-12-03
基本初等函数求导公式
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函数的和、差、积、商的求导法则
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反函数求导法则
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复合函数求导法则
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双曲函数与反双曲函数的导数.
双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．
可以推出下表列出的公式
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2-2导数的运算
cos( e x )
cos(e ) x x x cos( e x ) ( sin(e )) e e sin(e x )
x
x 思考: 若 存在 , 如何求 f (lncos(e )) 的导数? df f ( lncos(e x ) ) (lncos(e x )) dx
x
解 (1)
a a y b 2 x x
x
a bb b 1 x
x
a (2) y b
或
a b ln a ln ( x ) b b a x b b x b y ln a a a
2 tan , 求 y . x 1 1 2 2 sec 2 3 x 2 x 1 2 2 sec x x3 2 . 设 y f ( f ( f ( x ))), 其中 f ( x ) 可导, 求 y.
解: y f ( f ( f ( x ))) f ( f ( x ) ) f ( x )
3 1 4 1 x x x
3 1 4 x
1 4
对吗?
1 4
3 1 1 2 4 x x
2. 设
其中 ( x ) 在 x a 处连续,
在求 f (a ) 时, 下列做法是否正确 因 f ( x ) ( x ) ( x a ) ( x ) 故 f (a ) (a ) 正确解法:
例2 求证 (tan x ) sec2 x , (csc x) csc x cot x . sin x (sin x ) cos x sin x (cos x ) 证 (tan x ) 2 cos x cos x
cos(e ) x x x cos( e x ) ( sin(e )) e e sin(e x )
x
x 思考: 若 存在 , 如何求 f (lncos(e )) 的导数? df f ( lncos(e x ) ) (lncos(e x )) dx
x
解 (1)
a a y b 2 x x
x
a bb b 1 x
x
a (2) y b
或
a b ln a ln ( x ) b b a x b b x b y ln a a a
2 tan , 求 y . x 1 1 2 2 sec 2 3 x 2 x 1 2 2 sec x x3 2 . 设 y f ( f ( f ( x ))), 其中 f ( x ) 可导, 求 y.
解: y f ( f ( f ( x ))) f ( f ( x ) ) f ( x )
3 1 4 1 x x x
3 1 4 x
1 4
对吗?
1 4
3 1 1 2 4 x x
2. 设
其中 ( x ) 在 x a 处连续,
在求 f (a ) 时, 下列做法是否正确 因 f ( x ) ( x ) ( x a ) ( x ) 故 f (a ) (a ) 正确解法:
例2 求证 (tan x ) sec2 x , (csc x) csc x cot x . sin x (sin x ) cos x sin x (cos x ) 证 (tan x ) 2 cos x cos x
2-2求导法则--经济数学--赵树嫄
2020年1月27日星期一
蚌埠学院 高等数学
19
例9. y x 1 x 1 , 求 y .
x 1 x 1
解: y 2x 2 x2 1 x x2 1 2
y 1 1 (2x) 1 x
2 x2 1
x2 1
例8. 设 y xaa axa aax (a 0),求 y.
2020年1月27日星期一
蚌埠学院 高等数学
22
例12. 设
f
(x)
sin x,
x,
x
0 ,
求
x0
f (x).
分段函数求导时,分界点导数用左右导数求.
1 2
1
(x2
a2 )
1
(x2
a2
1
)2
2
2x
x
2
2020年1月27日星期一
蚌埠学院 高等x数2 学 a2
13
推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.
例如,
y
dy dy d u dv
u
dx d u dv dx
v
f (u) (v) (x)
x
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
类似可证: (cot x) csc2 x , (sec x) sec x tan x .
2020年1月27日星期一
蚌埠学院 高等数学
8
二、反函数的求导法则
定理2. 设 y f (x)为 x f 1( y) 的反函数, f 1( y) 在
y 的某邻域内单调可导, 且 [ f 1( y)] 0
h0
h
ch2-2求导的基本法则解析
2008年11月3日 南京航空航天大学 理学院 数学系
求导法则 其它基本初等 函数求导公式
3
和、差、积、商的求导法则
定理2.1 的和、 差、 积、 商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且
(1) [u( x ) v ( x )] u( x ) v ( x ); ( 2) [u( x ) v ( x )] u( x )v ( x ) u( x )v ( x ); u( x ) u( x )v ( x ) u( x )v ( x ) ( 3) [ ] (v ( x ) 0). 2 v( x ) v ( x) 1 v '( x ) ( C u ) C u ( C为常数 ) v ( x ) v 2 ( x )
csc x cot x
2 (cot x ) csc x , (sec x ) sec x tan x . 类似可证:
2008年11月3日 南京航空航天大学 理学院 数学系 8
反函数求导法则
定理2.3 设在I 上严格单调连续函数x f ( y )在y处可导，
且f '( y ) 0, 则它的反函数y f 1 ( x )在对应点 x处可导，且
x 1 x 1 2. y ln , x 1 x 1
3. y x x x ,
4. y e
sin x 2
arctan x 1 ,
2
2 1 1 1 x 1 2 5. y arctan 1 x ln , 2 4 1 x2 1
6. 设 y f ( f ( f ( x))) , 其中 f ( x) 可导, 求 y .
sin 1 x
sin
1 x
求导法则 其它基本初等 函数求导公式
3
和、差、积、商的求导法则
定理2.1 的和、 差、 积、 商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且
(1) [u( x ) v ( x )] u( x ) v ( x ); ( 2) [u( x ) v ( x )] u( x )v ( x ) u( x )v ( x ); u( x ) u( x )v ( x ) u( x )v ( x ) ( 3) [ ] (v ( x ) 0). 2 v( x ) v ( x) 1 v '( x ) ( C u ) C u ( C为常数 ) v ( x ) v 2 ( x )
csc x cot x
2 (cot x ) csc x , (sec x ) sec x tan x . 类似可证:
2008年11月3日 南京航空航天大学 理学院 数学系 8
反函数求导法则
定理2.3 设在I 上严格单调连续函数x f ( y )在y处可导，
且f '( y ) 0, 则它的反函数y f 1 ( x )在对应点 x处可导，且
x 1 x 1 2. y ln , x 1 x 1
3. y x x x ,
4. y e
sin x 2
arctan x 1 ,
2
2 1 1 1 x 1 2 5. y arctan 1 x ln , 2 4 1 x2 1
6. 设 y f ( f ( f ( x))) , 其中 f ( x) 可导, 求 y .
sin 1 x
sin
1 x
2-2 函数的求导法则(1)
第一公式纯粹是符号的恒等变形
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返 回
初等函数及其导数公式分类
(三套公式)
最为基本 简单函数 2四则运算函数 4 初等函数 四则运算函数求导的解决 须用基本导数公式 3 复合函数 1
复合函数求导的解决 须用简单函数导数公式
1 f ( x ) 1 [ f ( y )]
或 dy 1 dx dx dy
第二公式纯粹是 符号的恒等变形
即：反函数的导数等于直接函数导数（不等于零）的倒数。
或：y对x的导数，等于x对y的导数（不等于零）的倒数。
此法则是推出反三角函数导数公式的工具。
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解 由y arcsin x得x sin y 它在I y ( , ) 2 2 内单调、可导且 (sin y) cos y 0
返 回
例： y sin u u
x 复合成 y sin x。
y sin u u v v ln x 复合成 y sin ln x。 y sin u u v v ln w
复合成
w x2 + 3
y sin ln( x 2 + 3)
上一页
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复合函数的分解
上一页 下一页 目 录
返 回
例2.2.5
熟练之后, 运算时可以不写出中间变量, 而直接写出 结果. 解法二： y ' 20(x 2 + 1)19 (x 2 + 1 )'
19 20 u (u ) '
20
20( x + 1) 2 x
2 19
2-2导数的运算法则
u(x + h)v(x) − u(x)v(x)− u(x)v(x + h)+ u(x)v(x) = lim h→ 0 hv(x + h)v(x)
u(x) ′ ) f ′(x) = ( v(x)
u(x + h)v(x) − u(x)v(x)− u(x)v(x + h)+ u(x)v(x) = lim h→ 0 hv(x + h)v(x) h v(x + h)− v(x) u(x + h) − u(x) ⋅v(x)− u(x)⋅ h h = lim
(3)
(
′ u ′ u v − uv′ ) = v v2
u( x) , 证 设 f (x) = v( x) 则有
( u(x + h) u x) − f (x + h) − f (x) v(x + h) v(x) ′(x) = lim f = lim h→ 0 h h→ 0 h
u(x +h)v(x) −u(x)v(x +h) = lim h→ 0 hv(x +h)v(x)
单 ， 由x =ϕ( y)的 调 知 y = f (x)也 调 故∆y ≠ 0. 单 性 :
∆y 1 = ∆x ∆x ∆y I内 续 又由反函数的连续性， 又由反函数的连续性，知 y = f (x)在 x 连
故 当 x →0时 ∆y →0 ∆ ，
因 y 又 ϕ(x)在 = y0处 导 ϕ′( y0) ≠ 0 可 且
1 cos x + sin2 x 2 = = 2 = sec x 2 cos x cos x 1 −(sinx)′ −cos x )′ = (cscx)′ = ( = 2 sin x sin x sin2 x = −cscxcot x
u(x) ′ ) f ′(x) = ( v(x)
u(x + h)v(x) − u(x)v(x)− u(x)v(x + h)+ u(x)v(x) = lim h→ 0 hv(x + h)v(x) h v(x + h)− v(x) u(x + h) − u(x) ⋅v(x)− u(x)⋅ h h = lim
(3)
(
′ u ′ u v − uv′ ) = v v2
u( x) , 证 设 f (x) = v( x) 则有
( u(x + h) u x) − f (x + h) − f (x) v(x + h) v(x) ′(x) = lim f = lim h→ 0 h h→ 0 h
u(x +h)v(x) −u(x)v(x +h) = lim h→ 0 hv(x +h)v(x)
单 ， 由x =ϕ( y)的 调 知 y = f (x)也 调 故∆y ≠ 0. 单 性 :
∆y 1 = ∆x ∆x ∆y I内 续 又由反函数的连续性， 又由反函数的连续性，知 y = f (x)在 x 连
故 当 x →0时 ∆y →0 ∆ ，
因 y 又 ϕ(x)在 = y0处 导 ϕ′( y0) ≠ 0 可 且
1 cos x + sin2 x 2 = = 2 = sec x 2 cos x cos x 1 −(sinx)′ −cos x )′ = (cscx)′ = ( = 2 sin x sin x sin2 x = −cscxcot x
2-2求导法则
x0
x
f ( x)在 x 0 处不可导.
9
例4
设函数
f
(x)
x2
ex, ax
b,
x 0 在x=0处可导，求a,b
x0
解 f (x) 在点x 0处可导, f (x) 在点x 0处连续
即 lim x0
f
(x)
lim
x0
f
(x)
f
(0)，因为
lim
x0
f (x) lim ex x0
3.应用
切线方程 y y0 f (x0 )( x x0 ).
法线方程
y
y0
f
1 (x
( x0 )
x0 ).
(
f (x0 )
0)
4
4.例题
例1 求等边双曲线
y
1 x
在点M(1,1)处的切线方程
和法线方程.
解 由导数的几何意义, 得切线斜率为
k y x1
(
1 x
)
x 1
1 x2
x 1
1.
所求切线方程为 y 1 1 ( x 1), 即 x y 2 0.
h0
h
证: 设 f (x) u(x)v(x) , 则有
v x lim v( x h) v( x)
h0
h
f (x) lim f (x h) f (x) lim u(x h)v(x h) u(x)v(x)
h0
h
h0
h
lim
1
lim f (x) lim x2 ax b b, 故b 1
x0
x0
又因为f (0 ) lim f (x) f (0) lim ex 1 1
2-2 求导法则
证 当自变量 x 的改变量为 x时,对应的函数 u = (x)与 y = f (u)的改变量分别为 u和 y. (u
于是
y dy u u = +α(u) . x du x x
处可导, 因为u = (x)在点x处可导,又根据函数在某点可导必 在该点连续, 处也是连续的, 在该点连续,可知u = (x)在点 x 处也是连续的,故有 u du lim = . x→ 0 x dx 且当x →0时u →0,从而limα(u) = lim α(u) = 0.
当 f (x) > 0时,
f ′(x) 1 y = ln f (x), y′ = [ln f (x)]′ = f ′(x) = . f (x) f (x)
当 f (x) < 0时,
1 f ′(x) y = ln( f (x)), y′ = [ f (x)]′ = . f (x) f (x)
f ′(x) [ln | f (x) |]′ = 所以 . f (x) 复合函数求导法则熟练后,可以按照复合的前后次序, 复合函数求导法则熟练后,可以按照复合的前后次序,层 层求导直接得出最后结果. 层求导直接得出最后结果. 的导数. 例 10 求函数y = sin ln 2x +1的导数. 1 1 cos ln 2x +1 ′ = cos ln 2x +1 2 = 解 y . 2x +1 2 2x +1 2x +1 100cm3 /s的常速注入球状的气球,假定气 /s的常速注入球状的气球 的常速注入球状的气球, 例 11 设气体以 体的压力不变,那么当半径为10 体的压力不变,那么当半径为 10cm 时,气球半径增加的速率是 多少? 多少? 解 设在时刻 t 时,气球的体积与半径分别为 v 和 r. 4 3 V = πr , r = r(t) . 显然 3 V 发生联系, 所以 通过中间变量 r 与时间 t 发生联系,是一个复合函数 4 V = π[r(t)]3 . 3
求导法则及基本求导公式
求导法则及基本求导公式
1. 求导法则：
- 常数法则：导数为0。
- 加法法则：导数等于各项的导数之和。
- 常数倍法则：导数等于常数倍的导数。
- 乘法法则：导数等于第一个函数乘以第二个函数的导数，再加上第一个函数的导数乘以第二个函数。
- 除法法则：导数等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子，再除以分母的平方。
- 复合函数求导法则：导数等于外层函数对内层函数求导，再乘以内层函数对自变量求导。
- 指数函数求导法则：对于以常数e为底的指数函数，导数等于指数函数的常数倍。
- 对数函数求导法则：对于以常数e为底的对数函数，导数等于函数的倒数。
2. 基本求导公式：
- 常数函数：导数为0。
- 幂函数：对于函数y=x^n，当n≠0时，导数为y'=nx^(n-1)。
- 指数函数：对于函数y=a^x（其中a>0，a≠1），导数为
y'=a^xlog(a)。
- 对数函数：对于函数y=log_ax（其中a>0，a≠1），导数为y'=(1/x)log_ae。
- 三角函数：对于函数y=sin(x)，导数为y'=cos(x)；对于函数y=cos(x)，导数为y'=-sin(x)；对于函数y=tan(x)，导数为
y'=sec^2(x)。
其中sec^2(x)是sec(x)的平方。
- 反三角函数：对于函数y=arcsin(x)，导数为y'=1/√(1-x^2)；对于函数y=arccos(x)，导数为y'=-1/√(1-x^2)；对于函数
y=arctan(x)，导数为y'=1/(1+x^2)。
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y dy lim lim d x x 0 x x 0
u ] f ( u) ( x ) x
3
1、设y (ax b )100，求y.
100 解: y u , u ax +b
1 3 2、设y ( ) 4 , 求y. x
解: y ( )
铃
一、四则运算求导法则
P88
第二节 函数的求导法则
一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题
定理1. 如果函数 u u( x ) 及 v v ( x ) 都在点 x 处可导，
在点 x 处 则其和、差、积、商（除分母为零的点外） 也可导， 且
要熟记!
1 3 2 ( ) x 2 2
例2、y arctan 2 ( x 1), 求
dy dx
x 1
2 解: y u , u arctan v , v
dy 1 1 arctan( x 1) 2u dx 1 v 2 2 x [1 (2 x 1)2 ] x
(sin 2 x ) (2sin x cos x )
2[cos x cos x sin x ( sin x )] 2cos 2 x
2 2 lim sin ( x x ) sin x (sin 2 x ) x 0 x
◆基本初等函数的导数公式 (16个 )
例1、y lnsin x , 求
dy dx
y 证: y f ( u) 可导， 故 lim f ( u ) u 0 u y f ( u ) u u
解: y ln u, u sin x
1 d y dy du 1 cos x cos x cot x sin x d x du dx u
y 解 : y log a x 与 x a 互为反函数.
－反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
定理 2 设 y f ( x ) 为 x f ( y ) 的反函数 ,
1 f 1 ( y ) 在区间I y内单调可导，且 [ f ( y )] 0
1且x a y 在( 来自, )内单调可导，y
3 1 1 ( ) 4 4 x
y
dy du 99 100u99 a 100(ax b ) a du dx
3 1 4 x
1 4
1 ( ) x
也可以不写出中间变量
3 1 1 1 ( ) 4 ( 2 ) x 4 x
或y [ x
3 4
4
例2、y arctan 2 ( x 1), 求
dy dx
x 1
复合函数链式求导法则： 若y f ( u ) , u ( x ) , 则 d y d y du d x du d x
解: y u2 , u arctan v , v
dy 1 1 arctan( x 1) 2u 2 dx 1 v 2 x [1 (2 x 1)2 ] x
例3、y x cos x , 求 y.
解: y x cos x x (cos x ) cos x x ( sin x )
u( x ) v ( x ) u( x ) v( x )
1
例4、设 (1) y tan x ,(2) y csc x , 求y.
分解到基本初等函数或基本初等函数的四则运算.
例3、设y x a a x a a ( a 0), 求y.
a a x
a a 解: y a x
a
1
x a a x ln a ( x a ) a ln a (a )
a
x
aa xa
a
1
a x ln a ax a 1 a a ln a a x ln a
解2: 利用导数定义: f ( x ) f (0) f (0) lim x 0 x0 x ( x 1)( x 2)( x 99) 0 lim x 0 x
99!
二、反函数的求导法则
P90
如已知( a x ) a x ln a , 求(log a x ).
cos 2 x sin 2 x sec 2 x 2 cos x
推论:
(2) (csc x ) (
(sin x ) cos x 1 ) sin x sin 2 x sin 2 x
1) ( u v w ) u v w
2) ( uvw ) u v w u vw u v w
解:
当y (
2 2 ,
当y (
)时单调可导 ,
1 1 sin 2 y
利用 arccos x arcsin x 2 同理可得
, )时单调可导 , 2 2
dx dy
1 cos y
cos y 0
dx dy
1 1 sec 2 y 1＋tan 2 y
(log a x )
则其反函数 y f ( x ) 在对应区间I x内 也可导，且
1 (a )
y
1 1 a ln a x ln a
y
f ( x )
1
[ f ( y )]
1
或
dy dx
1 dx dy
2
例1、设y arcsin x , 求y.
解:
例2、设y arctan x , 求y.
LOGO
基本思路:
初等函数微分法
求导数的方法称为微分法。用定义只能求 出一些较简单的函数的导数，对于比较复杂的 函数则往往很困难。本节我们就来建立求导数 的基本公式和基本法则，借助于这些公式和法 则就能比较方便地求出常见的函数——初等函 数的导数，从而使初等函数的求导问题系统化， 简单化。
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也可以不写出中间变量
关键: 弄清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
dy 2arctan( x 1) (arctan( x 1)) dx 1 ( x 1) 2arctan(2 x 1) 1 ( x 1)2 1 1 2arctan(2 x 1) 1 ( x 1)2 2 x
a
x
a a (1) y sin( e x ) ( ) b ( ) x ，求y . x b a b 1 a a x a x x 解: y cos(e ) ( e ) b ( ) ( ) ( ) ln( ) ( x ) x b b x
1 1 x2
arctan x arccot x
2
重要公式
(arcsin x ) (arctan x )
1 1 x 1 1 x2
2
三、复合函数求导法则
1 1 x2 1 1 x2
(arccos x ) (arccot x )
问题： (sin x ) cos x , (sin 2 x ) ? cos 2 x
y 100(ax b )99 (ax b )
100(ax b )99 a
3 7 ] x 4 4
(3) y cos 2 x cos x cos x ，求y .
2 2
(3) y cos 2 x cos 2 x cos x 2，求y .
2 解: y sin 2 x ( 2 x ) 2cos x (cos x ) ( sin x ) ( x 2 ) 2 sin 2 x 2 2cos x ( sin x ) ( sin x )2 x
y f [ ( x ) ] 也可导，且 d y dy du f ( u ) ( x ) d x du dx
P92
则复合函数 设y f ( u)、u ( x )都可导，
y f ( u ) u
( 为u 0时的无穷小)
d y d y du f ( u ) ( x ) d x du d x
csc x cot x
1、y x tan x , 求y
解: y
3、设f ( x ) x ( x 1)( x 2)( x 99), 求f (0).
解1: 利用求导公式:
1 1 2 x 2 tan x x sec x 2
f ( x ) ( x )[( x 1)( x 2)( x 99)]
( 构造性定义 ) 本节内容
( C ) 0 ( sin x ) cos x 1 ( log a x ) x ln a ( a x ) a x ln a
( x ) x 1
求导法则 其它基本初等 函数求导公式
初等函数求导问题
例2、y x 2 2 x log 2 x
1 e 2 , 求 y. x2 1 x 2 x 3 解: y 2 x 2 ln 2 x ln 2
lim u( x h) u( x ) v ( x h) u( x ) v ( x h) v ( x ) h 0 h h
(4) y
7
x x 7 7 7 , 求y.
(5) y cot
x 2 , 求y . tan 2 x
(4) y
7
x x 7 7 7 , 求y .
6 1 1 7 1 x 7 x ln 7 ( ) 7 x 1 1 7 x ln 7 ( 2 ) x
解: y ( x 7 7 x 7 7 )
f ( x ) lim
h0
例1、求 y x 3 2 x 2 sin x ln 2 的导数 .