江西省临川一中高三数学最后一次模拟试题 理
江西省临川一中高三数学5月模拟考试 理
江西省临川一中5月高考模拟试卷数学（理）一.选择题（每小题5分,共50分,答案唯一） 1.设复数i Z -=11，i Z +=32,21Z Z Z =则Z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2.设全集U=R ,若集合M ={}3222+-=x x y y ，N =⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=x x y x 23lg，则N M C U )(=（ ）. A ．（－3，2） B. （－3，0） C. （－∞，1）∪（4，+∞） D.（－3，1） 3. 已知A ⊆{0，1，2，3}，且A 中至少有一个奇数，则这样的集合A 共有( )A 、11个B 、12个C 、15个D 、16个4.在△ABC 中，4=1=，S △ABC且∠A 是锐角，则AB ·的值为（ ） A －2 B ±2 C 2 D 45.设x x x f sin cos )(-=把)(x f y =的图象按向量)0,(ϕ= (ϕ>0)平移后，恰好得到函数y =f '(x )的图象，则ϕ的值可以为（ ）A 、2πB 、43πC 、πD 、23π6.已知数列{}n a 满足431=++n n a a （1≥n ）且91=a ，其前n 项之和为S n ，则满足不等式6--n S n 1251<的最小整数n 是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．87.按如图1所示的程序框图运算，若输出2k =， 则输入x 的取值范围是（ ） A. 20072009,42⎛⎤⎥⎝⎦ B.⎥⎦⎤ ⎝⎛22011,42009 C .⎥⎦⎤ ⎝⎛22011,502 D.⎥⎦⎤⎝⎛505,420098. 点P 从O 点出发，按逆时针方向沿周长为l 的图 形运动一周，O ,P 两点连线的距离y 与点P 走过的 路程x 的函数关系如下图，那么点P 所走的图形是（ ）9．已知点A (2,2),点M 是椭圆222235y x +=1上的动点,F 2是椭圆的右焦点,则|MA|+|MF 2|的最大值是（ ）A.10+102B.10－102C. 22D. 10+2210.若⎩⎨⎧212212<-+->+x y x x y （y x ,Z ∈）则x 2+y 的最大值为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 二.填空题:（每小题5分,共25分,请将答案填在题中横线上.） 11.nxx )1(23+的展开式中只有第6项的系数最大，则展开式中不含x 的项是 .（填具体数）.12.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤=)2(0)23(4)3(1)(2x x x x x f ，则dx x x f ])([21+⎰-的值为 .13.在四面体ABC O -中，若点O处的三条棱两两垂，且其三视图均是底边长为的全等的等腰直角三角形，则在该四面体表面上与点A 距离为2的点形成的曲线长度之和为 .14.给出下列命题：①函数f (x )＝x －12x ＋1(x ≠－12)的对称中心是(－12，－12)；②已知S n 是等差数列{a n }(n ∈N ＊)的前n 项和，若S 7＞S 5则S 9＞S 3；③函数f (x )＝x |x |＋px ＋q (x ∈R)为奇函数的充要条件是q ＝0； ④已知a 、b 、m 均是正数，且a ＜b ，则a ＋mb ＋m ＞ab； 其中真命题的序号是 （将所有真命题的序号都填上）．15.（注意：本小题为选做题，A ，B 两题选做其中一题，若都做了，则按A 题答案给分） A.当21,1|1||1|,--=<++-y x u y x y x 变量时满足条件的取值范围是 . B ．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。
2022年江西省临川一中高考理科数学一模试卷及答案解析
2022年江西省临川一中高考理科数学一模试卷一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．（5分）已知集合A ＝{x |2x ﹣1＞1}，B ＝{x |x 2﹣2x ≤0}，则A ∩B ＝（ ）A ．[1，2）B ．[1，2]C ．（0，3]D ．（1，2]2．（5分）设i 为虚数单位，则复数z =1+ii 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 满足CF →=2FB →，那么EF →=（ ）A ．12AB →−13AD →B ．13AB →+12AD →C ．12AB →−23AD →D ．14AB →+12AD →4．（5分）函数y =x 2e |x|+1（其中e 为自然对数的底数）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（5分）在如图所示的正方形内任取一点M ，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A ．12B ．π2C ．π2−1D ．2−π26．（5分）(3x +1)(1x −1)5的展开式中的常数项为（ ） A ．14B ．﹣14C ．16D ．﹣167．（5分）已知α为锐角，且cosα(1+√3tan10°)=1，则α的值为（ ） A ．20°B ．40°C ．50°D ．70°8．（5分）设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点E （0，t ）（0＜t ＜b ）．已知动点P 在椭圆上，且P ，E ，F 2不共线，若△PEF 2的周长的最小值为3b ，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．√32B ．√22C ．12D ．√539．（5分）设三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝90°，AA 1=3√2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ） A ．24πB ．18πC ．26πD ．16π10．（5分）设S n 是数列{a n }的前n 项和，若a n +S n =2n ，2b n=2a n +2﹣a n +1（n ∈N *），则数列{1nb n}的前99项和为（ ） A ．9798B ．9899C ．99100D ．10010111．（5分）已知函数f （x ）={2+log 12x ，18≤x ＜12x ，1≤x ≤2．若f （a ）＝f （b ）（a ＜b ），则ab 的最小值为（ ） A ．√22B ．12C ．√24D ．√5312．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0），过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ．交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且点C 位于点A ，B 之间．已知O为原点，且|OA|=53a ，则|FA||FC|=（ ）A ．54B ．43C ．32D ．√52二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知函数f （x ）＝ax ﹣log 2（2x +1）+cos x （a ∈R ）为偶函数，则a ＝ ． 14．（5分）已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，且S 3，S 9，S 6成等差数列，a 2+a 5＝6，则a 8＝ ．15．（5分）若f （x ）＝2sin （2x +φ）（φ＞0）的图象关于直线x =π12对称，且当φ取最小值时，∃x 0∈(0，π2)，使得f （x 0）＝a ，则a 的取值范围是 ．16．（5分）在四面体P ﹣ABC 中，△ABC 为等边三角形，边长为6，P A ＝6，PB ＝8，PC ＝10，则四面体P ﹣ABC 的体积为 ． 三、解答题（共7题，每题12分，共70分）17．（12分）已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a sin （A +B ﹣C ）＝c sin （B +C ）．（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若2a +b ＝6，且△ABC 的面积为√3，求△ABC 的周长．18．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 是菱形，其对角线的交点为O ，且AB ＝AC 1，AB ⊥B 1C ． （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BB 1C 1C ：（Ⅱ）设∠B 1BC ＝60°，若直线A 1B 1与平面BB 1C 1C 所成的角为45°，求二面角A 1﹣B 1C 1﹣B 的余弦值．19．（12分）已知椭圆：C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右顶点与抛物线C 2：y 2＝2px （p＞0）的焦点重合，椭圆C 1的离心率为12，过椭圆C 1的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线所得的弦长为4√2．（Ⅰ）求椭圆C 1和抛物线C 2的方程；（Ⅱ）过点A （﹣4，0）的直线l 与椭圆C 1交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为E ．当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 是否经过一定点？请判断并证明你的结论． 20．（12分）某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1．监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量．决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的可能性相同．（Ⅰ）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（Ⅱ）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定，若抽取的是黄色汽车，则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束：并规定抽样的次数不超过n （n ∈N *）次．在抽样结束时，若已取到的黄色次车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望．21．（12分）已知函数f （x ）＝ae x ﹣e ﹣x ﹣（a +1）x （a ∈R ），f （x ）既存在极大值，又存在极小值．（Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当0＜a ＜1时，x 1，x 2分别为f （x ）的极大值点和极小值点．且f （x 1）+kf （x 2）＞0，求实数k 的取值范围． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数），设直线l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C 1．（1）求出曲线C 1的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin （θ+π4）＝4√2，点Q 为曲线C 1的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|．（Ⅰ）求不等式f （x ）≥3﹣2|x |的解集；（Ⅱ）若函数g （x ）＝f （x ）+|x ﹣5|的最小值为m ，正数a ，b 满足a +b ＝m ．求证：a 2b +b 2a≥4．2022年江西省临川一中高考理科数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12题，每题5分，共60分）1．（5分）已知集合A ＝{x |2x ﹣1＞1}，B ＝{x |x 2﹣2x ≤0}，则A ∩B ＝（ ）A ．[1，2）B ．[1，2]C ．（0，3]D ．（1，2]【解答】解：∵2x ﹣1＞1，∴A ＝{x |x ＞1}， 又x 2﹣2x ≤0，则B ＝{x |0≤x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}＝（1，2]， 故选：D ．2．（5分）设i 为虚数单位，则复数z =1+ii 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：∵z =1+ii =(1+i)(−i)−i2=1−i ， ∴复数z =1+ii在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），所在的象限是第四象限， 故选：D ．3．（5分）如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 满足CF →=2FB →，那么EF →=（ ）A ．12AB →−13AD →B ．13AB →+12AD →C ．12AB →−23AD →D ．14AB →+12AD →【解答】解：EF →=EC →+CF →=12DC →+23CB →=12AB →−23AD →，故选：C ． 4．（5分）函数y =x 2e |x|+1（其中e 为自然对数的底数）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：f （﹣x ）=(−x)2e|−x|+1=f （x ），则函数为偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，当x →+∞，f （x ）→0，排除B ，当x ＞0时，f （x ）=x 2e x+1，则f （1）=1e 2，f （12）=14e 32=14e 32，则f （1）＞f （12），排除C ， 故选：D ．5．（5分）在如图所示的正方形内任取一点M ，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A ．12B ．π2C ．π2−1D ．2−π2【解答】解：设正方形的边长为2，则正方形面积为4． 图中阴影部分的面积可看作8个弓形的面积和， 其面积为8×(14π×12−12×1×1)=2π−4． ∴所求概率P =2π−44=π2−1．故选：C ．6．（5分）(3x +1)(1x −1)5的展开式中的常数项为（ ） A ．14B ．﹣14C ．16D ．﹣16【解答】解：∵(3x +1)(1x −1)5=（3x +1）（1x 5−5x 4+10x 3−10x 2+5x−1），故它的展开式中的常数项为3×5+1×（﹣1）＝14， 故选：A ．7．（5分）已知α为锐角，且cosα(1+√3tan10°)=1，则α的值为（ ） A ．20°B ．40°C ．50°D ．70°【解答】解：cosα(1+√3tan10°)=1整理得：cosα(1+√3sin10°cos10°)=1，转换为cosα(cos10°+√3sin10°cos10°)=1， 即cosα⋅2sin(10°+30°)cos10°=1，则：cosα⋅2sin40°cos10°=1．当α＝40°时，两边相等． 故选：B ． 8．（5分）设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，点E （0，t ）（0＜t ＜b ）．已知动点P 在椭圆上，且P ，E ，F 2不共线，若△PEF 2的周长的最小值为3b ，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．√32B ．√22C ．12D ．√53【解答】解：△PEF 2的周长为|PE |+|PF 2|+|EF 2|＝|PE |+|PF 2|+|EF 1|， 当P ，E ，F 1共线时，此时周长最小， ∴|PE |+|PF 2|+|EF 1|＝|PF 2|+|PF 1|＝2a ＝3b ， ∴4a 2＝9（a 2﹣c 2），5a 2＝9c 2 ∴e =c a =√53， 故选：D ．9．（5分）设三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝90°，AA 1=3√2，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ） A ．24πB ．18πC ．26πD ．16π【解答】解：由题意知底面外接圆的圆心为斜边BC 的中点O '，则外接圆的半径r =BC2，而AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝90°，所以BC ＝2√2，所以r =√2，过BC 的中点做垂直于底面的直线交中截面与O 点，则O 为外接球的球心， 由题意得：R 2＝r 2+（AA 12）2＝2+92=132，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝26π， 故选：C ．10．（5分）设S n 是数列{a n }的前n 项和，若a n +S n =2n ，2b n=2a n +2﹣a n +1（n ∈N *），则数列{1nb n}的前99项和为（ ） A ．9798B ．9899C ．99100D ．100101【解答】解：a n +S n =2n ，a n+1+S n+1=2n+1， 两式作差得a n+1−a n +S n+1−S n =2n ， 2a n+1=a n +2n ，故2b n=2a n +2﹣a n +1＝2n +1，b n ＝n +1， 所以1nb n=1n−1n+1，所以S 99=1−12+12−13+⋯+199−1100=99100， 故选：C ．11．（5分）已知函数f （x ）={2+log 12x ，18≤x ＜12x ，1≤x ≤2．若f （a ）＝f （b ）（a ＜b ），则ab 的最小值为（ ） A ．√22B ．12C ．√24D ．√53【解答】解：画出函数f （x ）={2+log 12x ，18≤x ＜12x ，1≤x ≤2的图象，如图①所示；由f （a ）＝f （b ），且a ＜b ， 设2+log 12a ＝2b ＝k ，则2＜k ≤4；所以a =(12)k−2，b ＝log 2k ；当k ＝4时，ab =(12)2•log 24=14•2=12；考虑ab −12=(12)k−2•log 2k −12=(12)k−2•（log 2k ﹣2k ﹣3），在同一坐标系中画出函数y ＝log 2x 和y ＝2x ﹣3的图象，其中x ∈（2，4]，如图②所示；则函数y ＝log 2x 的图象总在y ＝2x﹣3的图象上方，所以ab −12≥0，即ab 的最小值为12．故选：B ．12．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0），过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ．交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且点C 位于点A ，B 之间．已知O为原点，且|OA|=53a ，则|FA||FC|=（ ）A ．54B ．43C ．32D ．√52【解答】解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F （c ，0），渐近线OB 的方程为y =ba x ，渐近线OA 的方程为y =−ba x ， 可得|BF |=√b +a 2=b ，|OB |=√c 2−b 2=a ，|AB |=√(5a3)2−a 2=4a3，可得tan ∠AOB =|AB||OB|=43=−b a −ba1−b2a2， 解得b ＝2a 或b =−12a （舍去）， 可得|AF |=4a 3+2a =10a3，由|OB |2＝|CB |•|BF |， 可得|CB |=a 2b =12a ，则|CF |＝b +12a =5a2，则|FA||FC|=43．故选：B ．二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13．（5分）已知函数f （x ）＝ax ﹣log 2（2x +1）+cos x （a ∈R ）为偶函数，则a ＝12．【解答】解：根据题意，函数f(x)=αx −log 2(2x +1)+cosx ，其定义域为R ， 若f （x ）为偶函数，则f （﹣x ）＝f （x ），则有a （﹣x ）﹣log 2（2﹣x +1）+cos （﹣x ）＝ax ﹣log 2（2x +1）+cos x ，变形可得：2ax ＝log 2（2x +1）﹣log 2（2﹣x +1）＝x ，必有a =12； 故答案为：12．14．（5分）已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，且S 3，S 9，S 6成等差数列，a 2+a 5＝6，则a 8＝ 3 ．【解答】解：S n 是等比数列{a n }的前n 项和，且设公比为q ， 由S 3，S 9，S 6成等差数列，可得2S 9＝S 3+S 6， 显然q ＝1时，18a 1＝9a 1，即a 1＝0不成立； 则2•a 1(1−q 9)1−q=a 1(1−q 3)1−q+a 1(1−q 6)1−q，化为2q 9＝q 3+q 6，即2q 6﹣q 3﹣1＝0，解得q 3=−12， 由a 2+a 5＝6，可得a 1q +a 1q 4＝a 1q （1+q 3）=12a 1q ＝6， 则a 8＝a 1q 7＝a 1q （q 6）=14a 1q =12×6＝3． 故答案为：3．15．（5分）若f （x ）＝2sin （2x +φ）（φ＞0）的图象关于直线x =π12对称，且当φ取最小值时，∃x 0∈(0，π2)，使得f （x 0）＝a ，则a 的取值范围是 （−√3，2] ． 【解答】解：f （x ）＝2sin （2x +φ）（φ＞0）的图象关于直线x =π12对称， 所以2×π12+φ=kπ+π2（k ∈Z ），解得φ=kπ+π3， 当k ＝0时，φ=π3． 所以f （x ）＝2sin （2x +π3）． 由于∃x 0∈(0，π2)， 所以π3＜2x 0+π3＜4π3，所以−√3＜f （x 0）≤2， 即a 的范围为（−√3，2]． 故答案为：（−√3，2]．16．（5分）在四面体P ﹣ABC 中，△ABC 为等边三角形，边长为6，P A ＝6，PB ＝8，PC ＝10，则四面体P﹣ABC的体积为8√11．【解答】解：∵在四面体P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，边长为6，P A＝6，PB＝8，PC＝10，∴PB2+BC2＝PC2，∴PB⊥BC，分别取BC、PC的中点D、E，连结AD、AE、DE，则AD⊥BC，AE⊥PC，DE⊥BC，且AD=√36−9=3√3，DE＝4，AE=√36−25=√11，∴AE2+DE2＝PD2，∴AE⊥DE，∵PC∩DE＝E，∴AE⊥平面PBC，∴四面体P﹣ABC的体积为：V P﹣ABC＝P A﹣PBC=13⋅S△PBC⋅AE=13×12×PB×BC×AE=13×12×8×6×√11=8√11．故答案为：8√11．三、解答题（共7题，每题12分，共70分）17．（12分）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a sin（A+B﹣C）＝c sin （B+C）．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若2a+b＝6，且△ABC的面积为√3，求△ABC的周长．【解答】解：（I）∵a sin（A+B﹣C）＝c sin（B+C），∴sin A sin（π﹣2C）＝sin C sin A，∴2sin A sin C cos C＝sin C sin A，∵sin A sin C≠0，∴cos C=1 2，∵0＜C＜π，∴C =13π，（II ）由题意可得，12ab ×√32=√3，∴ab ＝4， ∵2a +b ＝6，联立可得，{a =1b =4或{a =2b =2，若a ＝1，b ＝4，则由余弦定理可得，c 2＝1+16−2×1×4×12=13，此时a +b +c ＝5+√13， 若a ＝2，b ＝2，则此时△ABC 为等边三角形，此时周长6．18．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 是菱形，其对角线的交点为O ，且AB ＝AC 1，AB ⊥B 1C ． （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BB 1C 1C ：（Ⅱ）设∠B 1BC ＝60°，若直线A 1B 1与平面BB 1C 1C 所成的角为45°，求二面角A 1﹣B 1C 1﹣B 的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵侧面BB 1C 1C 是菱形， ∴B 1C ⊥BC 1，又AB ⊥B 1C ，AB ∩BC 1＝B ，AB ，BC 1均在平面ABC 1内， ∴B 1C ⊥平面ABC 1， ∵AO ⊂平面ABC 1， ∴B 1C ⊥AO ，∵AB ＝AC 1，O 为BC 1的中点， ∴AO ⊥BC 1，又B 1C ∩BC 1＝O ，B 1C ，BC 1均在平面BB 1C 1C 内， ∴AO ⊥平面BB 1C 1C ； （Ⅱ）∵AB ∥A 1B 1，∴直线A 1B 1与平面BB 1C 1C 所成角等于直线AB 与平面BB 1C 1C 所成角，∵AO ⊥平面BB 1C 1C ，∴直线AB 与平面BB 1C 1C 所成角为∠ABO ，即∠ABO ＝45°，设菱形BB 1C 1C 的边长为2，则在等边△BB 1C 中，BO =√3，CO =B 1O =1，在直角△ABO 中，AO =BO =√3，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，O(0，0，0)，A(0，0，√3)，A 1(−√3，1，√3)，B 1(0，1，0)，C 1(−√3，0，0)，A 1B 1→=(√3，0，−√3)，A 1C 1→=(0，−1，−√3)，设平面A 1B 1C 1的一个法向量为m →=(x ，y ，z)，则{m →⋅A 1B 1→=√3x −√3z =0m →⋅A 1C 1→=−y −√3z =0，令x =√3，则m →=(√3，−3，√3)，易知平面B 1C 1B 的一个法向量为OA →=(0，0，√3)， ∴cos ＜m →，OA →＞=m →⋅OA →|m →||OA →|=3√3+9+3⋅√3=√55，又二面角A 1﹣B 1C 1﹣B 为钝角，故其余弦值为−√55．19．（12分）已知椭圆：C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右顶点与抛物线C 2：y 2＝2px （p＞0）的焦点重合，椭圆C 1的离心率为12，过椭圆C 1的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线所得的弦长为4√2．（Ⅰ）求椭圆C 1和抛物线C 2的方程；（Ⅱ）过点A （﹣4，0）的直线l 与椭圆C 1交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为E ．当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 是否经过一定点？请判断并证明你的结论． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C 1的半焦距为c ，依题意，可得a =p2，则C 2：y 2＝4ax ，代入x ＝c ，得y 2＝4ax ，即y ＝±2√ax ，所以4√ac =4√2， 则有ac ＝2，ca=12，a 2﹣b 2＝c 2⇒a ＝2，b =√3，c ＝1，p ＝4，所以椭圆C 1的方程为x 24+y 23=1，抛物线C 2的方程为y 2＝8x ；（Ⅱ）过点A （﹣4，0）的直线l 设为y ＝k （x +4），联立椭圆方程3x 2+4y 2＝12， 消去y 得（3+4k 2）x 2+32k 2x +64k 2﹣12＝0，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），E （x 1，﹣y 1）， 可得x 1+x 2=−32k23+4k2，x 1x 2=64k 2−123+4k2，直线EN 的方程为y +y 1=y 2+y1x 2−x 1（x ﹣x 1），即为y +k （x 1+4）=k(x 1+x 2)+8kx 2−x 1（x ﹣x 1）， 即y =k(x 1+x 2)+8k x 2−x 1•x −2kx 1x 2+4k(x 1+x 2)x 2−x 1， 代入韦达定理可得y =1x 2−x 1•24k 3+4k 2（x +1），则直线EN 过定点（﹣1，0）．20．（12分）某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1．监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量．决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的可能性相同．（Ⅰ）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（Ⅱ）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定，若抽取的是黄色汽车，则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束：并规定抽样的次数不超过n （n ∈N *）次．在抽样结束时，若已取到的黄色次车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3：1． ∴任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为14，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验， 取到蓝色汽车的数量X ～B （5，14），∴抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率：P （X ＝2）=C 52(14)2(34)3=135512． （Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，…，n ， P （ξ＝0）=14，P （ξ＝1）=34×14，P （ξ＝2）=(34)2⋅14，…，P （ξ＝n ﹣1）=(34)n−1⋅14，P （ξ＝n ）=(34)n ， ∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2 … n ﹣1 n P 1434⋅14(34)2⋅14…(34)n−1⋅14(34)nE （ξ）=34⋅14+2⋅(34)2⋅14+⋯+(n −1)⋅(34)n−1⋅14+n ⋅(34)n ，① 34E （ξ）=(34)2⋅14+2⋅(34)3⋅14+⋯+(n −1)⋅(34)n +n ⋅(34)n+1，②①﹣②，得：14E （ξ）=34⋅14+(34)2⋅14+(34)3⋅14+⋯+(34)n−1⋅14+(34)n ⋅14∴E （ξ）=34+(34)2+(34)3+⋯+(34)n =34[1−(34)n ]1−34＝3﹣3•(34)n ．21．（12分）已知函数f （x ）＝ae x ﹣e ﹣x ﹣（a +1）x （a ∈R ），f （x ）既存在极大值，又存在极小值．（Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当0＜a ＜1时，x 1，x 2分别为f （x ）的极大值点和极小值点．且f （x 1）+kf （x 2）＞0，求实数k 的取值范围．【解答】解：（1）f ′（x ）＝ae x+e ﹣x﹣（a +1）=ae 2x −(a+1)e x +1e x =(ae x −1)(e x −1)e x，∵f （x ）存在极大值点x 1和极小值点x 2， ∴a ＞0且a ≠1，令f ′（x ）＝0，解得x 2＝﹣lna ，或x 1＝0， ①0＜a ＜1时，﹣lna ＞0，∴当x ＜0或x ＞﹣lna 时，f ′（x ）＞0，函数单调递增，当0＜x ＜﹣lna 时，f ′（x ）＜0，函数单调递减，∴当x 1＝0时，函数取得极大值，当x 2＝﹣lna 时，函数取得极小值， ②a ＞1时，﹣lna ＜0，∴当x ＞0或x ＜﹣lna 时，f ′（x ）＞0，函数单调递增，当﹣lna ＜x ＜0时，f ′（x ）＜0，函数单调递减，∴当x 1＝0时，函数取得极小值，当x 2＝﹣lna 时，函数取得极大值， 故a 的范围为（0，1）∪（1，+∞），（2）由（1）可知0＜a ＜1，且f （x ）的极大值点为x 1＝0，极小值点为x 2＝﹣lna ， ∴f （x 2）＝f （﹣lna ）＝1﹣a +（a +1）lna ，f （x 1）＝f （0）＝a ﹣1， ∵f （x 1）＞﹣kf （x 2），令﹣k ＝m ，∵a ﹣1＞m [1﹣a +（a +1）lna ]对任意0＜a ＜1恒成立， 由于此时f （x 1）＜f （x 2）＜0，故m ＞0， 故（a +1）lna ＜（1+1m）（a ﹣1）， 即lna ＜（1+1m ）⋅a−1a+1，设g （x ）＝lnx ﹣（1+1m ））⋅x−1x+1， g ′（x ）=x 2−2x m +1x(x+1)2，令x 2−2xm +1＝0（*），Δ=4m 2−4，①m ≥1时，△≤0，故g ′（x ）＞0，g （x ）在（0，1）递增， 故g （a ）＜g （1）＝0，即lna ＜（1+1m）a−1a+1，符合题意，②0＜m ＜1时，Δ＞0，设（*）的两根为x 3，x 4，且x 3＜x 4， 则x 3+x 4＞0，x 3•x 4＝1，故0＜x 3＜1＜x 4， 则当x ∈（x 3，x 4）时，g ′（x ）＜0，g （x ）递减，故当0＜a ＜1时，g （a ）＞g （1）＝0，即lna ＞（1+1m ）⋅a−1a+1，矛盾，不合题意， 综上，m ≥1，即﹣k ≥1， ∴k ≤﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt（t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k（m 为参数），设直线l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C 1．（1）求出曲线C 1的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin （θ+π4）＝4√2，点Q 为曲线C 1的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最小值． 【解答】解：（1）∵直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），∴直线l 1的普通方程为y ＝k （x +√3），① ∵直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k （m 为参数）， ∴直线l 2的普通方程为y =13k （√3−x ），② ①×②，消k ，得：x 23+y 2＝1．∵k ≠0，∴y ≠0，∴曲线C 1的普通方程为x 23+y 2=1（y ≠0）．（2）∵直线C 2的极坐标方程为ρsin （θ+π4）＝4√2， ∴直线C 2的直角坐标方程为x +y ﹣8＝0， 由（1）知曲线C 1与直线C 2无公共点，∵曲线C 1的参数方程为{x =√3cosαy =sinα，（α为参数，α≠k π，k ∈Z ），∴曲线C 1上的点Q （√3cosα，sin α）到直线的距离为：d =|√3cosα+sinα−8|√2=|2sin(α+π3)−8|√2，∴当sin （α+π3）＝1时，d 取最小值3√2． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数f （x ）＝|x ﹣1|．（Ⅰ）求不等式f （x ）≥3﹣2|x |的解集；（Ⅱ）若函数g （x ）＝f （x ）+|x ﹣5|的最小值为m ，正数a ，b 满足a +b ＝m ．求证：a 2b +b 2a≥4．【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）＝|x ﹣1|，∴由f （x ）≥3﹣2|x |，得|x ﹣1|+2|x |≥3．∵|x ﹣1|+2|x |={3x −1，x ＞1x +1，0≤x ≤1−3x +1，x ＜0，∴由|x ﹣1|+2|x |≥3，有{3x −1≥3x ＞1或{x +1≥30≤x ≤1或{−3x +1≥3x ＜0，∴x ≥43或x ≤−23，∴不等式的解集为{x |x ≥43或x ≤−23}．（Ⅱ）证明：g （x ）＝f （x ）+|x ﹣5|＝|x ﹣1|+|x ﹣5|≥|（x ﹣1）﹣（x ﹣5）|＝4， ∴g （x ）min ＝m ＝4，∴a +b ＝m ＝4， ∴a 2b+b 2a=(a 2b+b)+(b 2a+a)−4≥2a +2b ﹣4＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号， ∴a 2b+b 2a≥4．。
江西省临川第一中学2022届高三4月模拟考试数学(理)试题
一、单选题1. 复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 如图，在长方体，中，点在平面内的射影为，则下列正确结论的序号为（ ）①多面体的外接球的表面积等于三棱锥的外接球的表面积；②点为的垂心；③﹔④.A ．①②④B ．①②C ．①③④D ．②④3.已知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，数列是以1为首项，2为公比的等比数列，设，，则当时，的最大值是（ ）．A ．9B ．10C ．11D ．124.已知抛物线的准线与轴交于点，点到直线的距离为，则的值为（ ）A．B．C ．2D ．65. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）．A ．14种B ．16种C ．18种D ．20种6. 把的图像向左平移个单位长度，可得到函数的图像，则的最小值为（ ）A．B．C．D．7. 如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面ABC 为等边三角形，O 为AC 1与A 1C 的交点，D 为AB 的中点，则下列结论：①DO平面ABC 1；②DO平面A 1BC 1；③DC ⊥平面ABB 1A 1；④DC ⊥平面ABC 1.其中所有正确结论的序号为（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④江西省临川第一中学2022届高三4月模拟考试数学(理)试题江西省临川第一中学2022届高三4月模拟考试数学(理)试题二、多选题三、填空题8. 已知向量.若存在，使得，则（ ）A ．0B．C．D．9. 为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据单位：制成如图所示的茎叶图．下列结论正确的为（）A ．甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温B ．甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温C ．甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差D ．甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差10. 如图，正方体的棱长为3，点、、分别在棱、、上，满足，，记平面与平面的交线为，则（）A ．存在使得平面截正方体所得截面图形为四边形B．当时，三棱锥的外接球表面积为C．当时，三棱锥体积为D ．当时；与平面所成的角的正弦值为11.如图三棱锥，平面平面，已知是等腰三角形，是等腰直角三角形，若，，球是三棱锥的外接球，则（）A ．球心到平面的距离是B ．球心到平面的距离是C．球的表面积是D．球的体积是12. 已知，是函数与的图像的两条公切线，记的倾斜角为，的倾斜角为，且，的夹角为（），则下列说法正确的有（ ）A．B．C ．若，则D．与的交点可能在第三象限四、解答题13. 若函数的值域为，则实数的一个取值可以为___________.14. 已知椭圆，、分别是其左，右焦点，P 为椭圆C 上非长轴端点的任意一点，D 是x 轴上一点，使得平分．过点D作、的垂线，垂足分别为A 、B ．则的最大值是__________．15. 已知，则________.16.已知函数(1)当时，求函数的单调区间；(2)若方程在区间上有实数解，求实数a 的取值范围；(3)若存在实数，且，使得，求证：．17. 函数．(1)求函数在上的极值；(2)证明：有两个零点．18. 如图，D 为圆锥DO 的顶点，O 为圆锥底面的圆心，AB 为直径，C 为底面圆周上一点，四边形OAED 为正方形，．(1)若点F 在BC上，且//面ACE ，请确定点F 的位置并说明理由；(2)求二面角的余弦值．19. 已知分别为三个内角的对边，且满足，.（1）求；（2）若是中点，，求面积.20. 在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，，平面，，，，且是的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得与所成的角为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.21. 已知函数.（1）若，求函数的单调递增区间；（2）设，是的两个不相等的正实数解，求证：.。
临川一中2020届高三模拟考试理科数学答案
2020届临川一中暨临川一中实验学校高三理科数学月考答案一、单选题1-5．ACCCA 6-10．DBBDB 11-12．DB 二、填空题13．2 14．120- 15． π41 16．4 三、解答题17．【答案】（1）3-（2）38法一：解：（1）在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin CD BC CBD BDC=∠∠，∴sin6sin 22CBD π∠== ∴0CBD π<∠<，∴3CBD π∠=或23CBD π∠= ………………3分当23CBD π∠=时，此时A B C 、、三点共线，矛盾 ∴3CBD π∠= ………………4分∴()2tan tan tan tan 333ABC ABD CBD πππ⎛⎫∠=∠+∠=+==⎪⎝⎭………………6分法二：由余弦定理222cos 242BD CD BC BDC BD BD BD CD +-∠====⋅或………………3分若2BD =时，此时23CBD π∠=，即A B C 、、三点共线，矛盾………………4分 ∴4BD =，此时3CBD π∠=∴()tan tan tan 33ABC ABD CBD ππ⎛⎫∠=∠+∠=+=⎪⎝⎭6分 （2）设BCD θ∠=，在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD θ=+-⋅(2222216θθ=+-⨯⨯=-……8分∴2111sin sin sin 222ABC BCD BAD D S S BC CD BA BD BC CD S θθθ∆∆=+=⋅+⋅=⋅四边形6cos 3πθθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭……………………11分当56πθ=时，四边形ABCD面积的最大值 ……………………12分 备注：（1）若第1问用正弦定理没写出23CBD π∠=，扣1分（2）若第1问用余弦定理没写出2BD =，并且排除2BD =，扣1分18.【答案】（1）见详细答案（2）25（1）如图，作EF PC ∥，交BC 于F ，连接AF .因为3PB BE =，所以E 是PB 的三等分点，可得23BF =. 因为2AB AD ==，23BC CD ==，AC AC =，所以ABC ADC △≌△， 因为BC ⊥AB ，所以90ABC ∠=︒，…………………1分 因为3tan 23AB ACB BC ∠===，所以30ACB ACD ∠=∠=︒，所以60BCD ∠=︒，（2分） 因为tan 323AB AFB BF ∠===，所以60AFB ∠=︒，所以AF CD ∥，……3分 因为AF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AF ∥平面PCD .……4分又EF PC ∥，EF ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .……………5分因为AF EF F =，AF 、EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ∥平面PCD ，所以AE ∥平面PCD .…6分 （2）因为PAB △是等边三角形，2AB =，所以2PB =.又因为4PC =，23BC =，所以222PC PB BC =+，所以BC PB ⊥.又BC ⊥AB ，,AB PB ⊂平面PAB ，AB PB B =，所以BC ⊥平面PAB .因为BC ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD .在平面PAB 内作Bz ⊥平面ABCD .………7分 以B 点为坐标原点，分别以,,BC BA Bz 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -， 则(23,0,0)C ，(0,2,0)A ，(0,1,3)P ，所以(23,0,0)BC =，(0,1,3)BP =，(23,2,0)AC =-，(0,1,3)AP =-.………8分设111(,,)x y z =m 为平面BPC 的法向量，则00BC BP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=m m ，即11123030x y z ⎧=+=⎪⎨⎪⎩， 令11z =-，可得(0,3,1)=-m .………………9分设222(,,)x y z =n 为平面APC 的法向量，则00AC AP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n ，即2222232030x y y z -=-+=⎧⎪⎨⎪⎩，令21z =，可得(1,3,1)=n .………………10分 所以5,25cos ==⨯m n ………………11分 则25251()n s ,5i =-=m n ，所以二面角A PC B --的正弦值为25.……………………12分 备注：若第2问用几何法做对也给满分.19．【答案】（1）83107340340y x =+（2）分布列见详解，数学期望为1310. 解：解：（1）由题意可知2361021131518118x +++++++==，112 2.56 3.5 3.5 4.538y +++++++==，………………2分由公式12221ˆ34781138313088b11340ni ii ni i x y nx yx nx==-⨯⨯==-⨯-=-∑∑………………3分83107ˆˆ311340340ay bx =-=-⨯=………………4分 ∴83107340340y x =+……………5分 （2）药品A 的三类剂型123A A A 、、经过两次检测后合格分别为事件123B B B 、、,则()()()123142321322,,255432535p B P B P B =⨯==⨯==⨯=……………7分由题意，0,1,2,3X 可取()()()()()()()()2123212312312321231231231232190115250212212111112525525021221821125255225235p X p B B B p X p B B B B B B B B B p X p B B B B B B B B B p X p B B B ⎛⎫⎛⎫===--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=-⋅+-⋅⋅-⋅=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=⋅-+-⋅⋅⋅=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=== ⎝212225⋅=⎪⎭………10分X ∴的分布列为9218213123.5050255010X ∴⨯+⨯+⨯+⨯=的期望为：EX=0…………12分20.【答案】(1) 椭圆方程为22163x y +=，准圆方程为229x y +=；①12l l ，方程为33y x y x =+=-+， ②见详解 【解析】（1）3c a b ==∴=，2分∴椭圆方程为22163x y +=， ………………3分 准圆方程为229x y +=．………………4分（2）（ⅰ）因为准圆229x y +=与y 轴正半轴的交点为(03)P ，， 设过点(03)P ，且与椭圆相切的直线为3y kx =+， 所以由223{163y kx x y =++=，，得22(12)12120k x kx +++=.……………5分 因为直线3y kx =+与椭圆相切，所以22144412(12)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±，……………6分所以12l l ，方程为33y x y x =+=-+，．……………7分 121l l k k ⋅=-，12l l ∴⊥．……………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l斜率不存在， 则1l ：x =当1l ：6x =时，与准圆交于点(63)(63)-，，，， 此时2l 为y =y =，显然直线12l l ，垂直； 同理可证当1l ：x =12l l ，垂直……………9分 ②当12l l ，斜率存在时，设点00(,)P x y ，其中22009x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022(){163y t x x y x y =-++=，，得2220000(12)4()2()60t x t y tx x y tx ++-+--=.……………10分由0∆=化简整理得()22200006230x t x y t y -++-=因为22009x y +=，所以有2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=.设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=， 所以20122616x t t x -⋅==--，即12l l ，垂直．……………11分 综合①②知：因为12l l ，经过点00()P x y ，，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直. 所以线段MN 为准圆229x y +=的直径，6MN ＝，所以线段MN 的长为定值6．……………12分 21．【答案】（1）()∞（2）22e π-解：（1）由()sin axf x e x =，得()()'sin cos axf x e a x x =+，……………1分由()f x 在63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上存在单调递增区间，可得()'0f x >在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，……………2分即sin cos 0a x x +>在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则min 1tan a x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，∴a >∴a的取值范围为()∞.……………4分 （2）设()()sin axbx e x g x f x b x =-=-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()'sin cos axg x e a x x b =+-.设()()sin cos axh x ea x xb =+-，则()()2'1sin 2cos 0ax h x e a x a x ⎡⎤=-+≥⎣⎦， ……………5分∴()h x 单调递增，即()'g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ∴()2'1,a g x b ae b π⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.……………6分当1b ≤时，()'0g x ≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()()00g x g ≥=，不符合题意；当2a b ae π≥时，()'0g x ≤，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()00g x g ≤=，符合题意；当21a b ae π<<时，由于()'g x 为一个单调递增的函数，而()'010g b =-<，2'02a g ae b ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得()0'0g x =， 从而()g x 在[]00,x x ∈上单调递减，在0,2x π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ……………9分因此只需02g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴22a e b ππ≤，∴22a b e ππ≥，从而222a a eb ae πππ≤<，综上，b 的取值范围为22,a e ππ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，……………10分因此2222ab e a ee a ππ-≥-. 设()222aG a ee a ππ=-，则()22'ae a e G π=-，令()'0G a =，则41a π=>，∴()G a 在41,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在4,π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，……………11分 从而()242e G a G ππ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭，∴2b e a -的最小值为22e π-.……………12分备注：第1问写)⎡+∞⎣扣1分22.（1）:40(0)l x y x +-=≠,22:20C x y y +-=（2【解析】（1）由82x t=+可得0x ≠， 由8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去参数t ，可得直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠．………………2分由2sin ρθ=可得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得2220x y y +-=， 所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=．…………………………5分（2）由（1）得，l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠，将其化为极坐标方程可得cos sin 40()2ρθρθθπ+-=≠，…………………………7分当()04θρπ=>时，A ρ=B ρ=|||||A B AB ρρ=-==．………………10分 备注：第1问没写0x ≠扣1分23.（1）(,0)(3,)-∞+∞ （2）见详解 【解析】（1）当0x <时，|4|()x f x x>等价于|||2|4x x +->-，该不等式恒成立； 当02x <≤时，|4|()x f x x>等价于24>，该不等式不成立； 当2x >时，|4|()x f x x >等价于2224x x >⎧⎨->⎩，解得3x >，…………………………3分 所以不等式|4|()x f x x>的解集为(,0)(3,)-∞+∞.…………………………5分 （2）因为()|||2||(2)|2f x x x x x =+-≥--=，当02x ≤≤时取等号，所以2M =,222a b c ++=，……7分由柯西不等式可得22222222224(22)(122)()9()a b c a b c a b c =++≤++++=++,当且仅当244,,999a b c ===时等号成立，所以22249a b c ++≥.…………………………10分备注：第1问结果没用集合或区间表示扣1分。
江西省临川第一中学2023届高三上学期期末考试数学(理)试题(含答案解析)
江西省临川第一中学2023届高三上学期期末考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题二、填空题16．若函数()3e 3ln x f x a x x ⎛=-+ ⎝三、解答题17．已知数列{}n a 满足数列{n a +2132n n n a a a ++=-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 18．如图，在直三棱柱ABC A -P 为线段1A B 上的点，12BG AC =(1)求点F 到平面1A AE 的距离；(2)试确定动点P 的位置，使直线19．在一次购物抽奖活动中，假设某有二等奖券3张，每张可获价值张.（1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值参考答案：因为112PF F F ⊥，所以=-Px c ，由由双曲线定义可知22||2b PF a a=+，由1212∠=∠F PF F PA 知：PA 平分∠所以1122||||||||PF AF PF AF =，即222b c ab c a a=+由222b c a =-，c e a =，可化简为e e 即22211121e e -=-++，可得21e +=故选：B 11．C【分析】设该三角形的内切圆的半径为BPm n m n +=，再利用平行线等比关系求解由222BA BC AC +=，知2B π=所以1122ABC S BA BC h AC =⋅=⋅ 由12,5h =所以1r =所以m n +的最小值为2h r h -=故选：C 12．C【分析】由()(212f x f x +=-()1,3成中心对称，得到()f x 关于4，①错误；由函数的周期及f 利用函数的周期性及对称性求出函数值的和则OE 为正四面体A BCD -内切球的半径，因为32AF BF a ==，BE =所以22h AE AF EF ==-=所以(22OE BO BE AE =-=由图可知最大球内切于高h =大中等球内切于高2h h r =-中大大最小求内切于高2h h r =-小中中所以九个球的表面积之和V =故答案为：9π16．32e e ,49 纟禳镲çú-¥睚çú镲棼铪【分析】对()f x 求导，利用导数与函数极值的关系，的图像性质即可求得a 的取值范围【详解】因为3e 3()x f x a x x ⎛=- ⎝所以()4233e x x x f x a x x --=-='设2(e )xg x x=（0x >），因为g 所以当02x <<时，()0g x '<x x则()8,0,0A ，()18,0,10A ，1B 由E 为11B C 的中点，则(0,3,10E 在平面1AA E 中，取(10,0,10AA = 则1=0=0n AA n AE ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩ ，即10=08+3+10z x y ⎧⎨-⎩故平面1AA E 的一个法向量为取()=8,0,5AF - ，由点面距公式，可得（2）由（1）可知：(8,0,0A 由1P A B ∈，1A B ⊂平面1AA B 设1==(4,0,5)2k BP BA k k，即P 在平面11AA B B 内，取(10,0,10AA = 则1=0=0m AA m AC ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩ ，即10=08+6=0z x y ''-'⎧⎨⎩故平面11AA B B 的一个法向量m 设直线FP 与平面11A ACC 所成角为。
2020届临川一中高三模拟考试 理数试卷Word版含答案
23322233⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1)(21OF OP OQ +=2020届临川一中高三模拟考试 理数试卷第一卷（选择题，共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数,2i z -=则zz 10+等于（ ） A. i -2 B. i +2 C.i 24+ D.i 36+2.设全集U = R ，A = {x |x - 2x + 1＜0}，B = {y | y = cos x ，x ∈A }，则A ∩B =( ) A.( cos2，1] C.(- 1，2 )B.[cos2，1] D.(- 1，cos2 ]3.已知 | a | = 5，| b | = 5，a ·b = - 3，则 | a + b | =( )A.23B.35C.2 11D.354.对任意非零实数b a ,，若b a *的运算原理如图所示，那么=*⎰πsin 2xdx （ ）A. B.C. D.5.某项测量中，测量结果X ~)0)(,1(2>σσN ，若X 在)1,0(内取的概率为4.0，则X 在)2,0(內取值的概率为（ ）A. 8.0B. 4.0C. 3.0D.2.06. ,0,0>>b a 设则“122≥+b a ”是“1+≥+ab b a ”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D.既不充分也不必要7.已知的展开式中的第五项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为（ ） A.128 B.64 C. 32 D.168.已知正数y x ,满足，则1log log 22++=y x z 的最大值为（ ） A.8 B.4 C. 2 D. 19.已知双曲线 上一点P 到F （3，0）的距离为6，O 为坐标原点，则15422=-y x=OQ （ ）A. 1B. 2C. 2或5D.1或5 10.已知函数)0)(sin(2)(>+=ωϕωx x f 的图像关于直线对称，且，则ω的最小值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 11.12． 已知x xxx f ln 1ln )(-+=，)(x f 在0x x =处取得最大值，以下各式正确的序号为（ ） ①00)(x x f <；②00)(x x f =；③00)(x x f >；④ 21)(0<x f ；⑤21)(0>x f .A ．①④B ．②④C ． ②⑤D ．③⑤第二卷（非选择题，共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上.13.若焦点在x 轴上的椭圆 的离心率为 ，则 ．14.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB = 2，AC = 3，则cos C 的值是 ．15.在矩形ABCD 中，AB = 4，BC = 3，沿对角线AC 把矩形折成二面角D -AC -B 的平面角为060时，则=BD ．16.已知数列{}n a 的通项公式为,15+=n n a 数列{}n c 的通项公式为nn n a c )2(-+=λ，若数列{}n c 递增，则λ的取值范围是 .三、解答题:（共计70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选做题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17.(本小题满分12分)已知函数f (x ) = cos 2(x + π12)，g (x ) = 1 + 12 sin 2x .(1) 设x = x 0是函数y = f (x )图像的一条对称轴，求g (2x 0)的值； (2) 求函数h (x ) = f (x ) + g (x )，x ∈[ 0 , π4]的值域.1222=+my x 213π=x 0)12(=πf18．(本小题满分12分)某名校从2008年到2017年考入清华，北大的人数可以通过以下表格反映出来。
【数学】江西省临川一中高三考前模拟考试试题(理)(解析版)
江西省临川一中高三考前模拟考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.全集{}2018,lo |)1(g U R A x y x ===-，{|B y y ==，则()U A B =（ ） A. []1,2 B. [)1,2C. (]1,2D. ()1,2【答案】D【解析】(){}{}{}2018log 1101A x y x x x x x ==-=->=>，{{}2B y y y y ====≥，则{}2UB x x =<，则(){}12U A B x x ⋂=<<，故选：D ． 2.若复数()21a ia R i-∈+为纯虚数，则3ai -=（ ） A.B. 13C. 10D.【答案】A【解析】由复数的运算法则有：2(2)(1)221(1)(1)22a i a i i a ai i i i ++-+-==+++-, 复数()21a ia R i -∈+为纯虚数，则2020a a +=⎧⎨-≠⎩， 即2,|3|a ai =--== 本题选择A 选项.3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 45B. 54C. 57D. 63【答案】B【解析】由三视图得，该几何体是棱长为3的正方体截去一个棱长为1的正方体，如图所示，所以该几何体的表面积与棱长为3的正方体的表面积相等，即所求表面积为26354S =⨯=． 故选：B ．4.如图为某省高考数学（理）卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，给出下面三个结论：①近三年容易题分值逐年增加；②近三年中档题分值所占比例最高的年份是2017年；③2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上．其中正确结论的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】根据对比图得：2016年，2017年，2018年容易题分值分别为40，55，96，逐年增加，①正确； 近三年中档题分值所占比例最高的年份是2016年，②错误；2018年的容易题与中档题的分值之和为96+42=138，1380.9290%150=>，③正确 故选：C ．5.已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ） A. 1 B. 1或12C.D. 【答案】C【解析】因为2474S S =，所以()()()124234344a a S S a a +=-=+，故234q =，因{}n a 为正项等比数列，故0q >，所以q =C . 6.已知()4cos cos 3f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列说法中错误的是（ ） A. 函数()f x 的最小正周期为π B. 函数()f x 在,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 C. 函数()f x 的图象可以由函数cos 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到 D. 7,112π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 【答案】C【解析】()4cos cos 3f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭22cos 22cos 213x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 所以22T ππ==，故A 正确； 当,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，20,32x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因23t x π=+在,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为增函数，2cos 1y t =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故()f x 在,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，故B 正确；函数()f x 的图象可以由函数1cos 232y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍 得到，而函数cos 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到得是2cos 223y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，故C 错误； 令2,32x k k Z πππ+=+∈，当1k =时，712x π=，故7,112π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图像的一个对称中心，故D 正确； 综上，选C.7.已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与抛物线()221y ax a x =+++相切，则a 的值为（ ） A. 0 B. 0或8C. 8D. 1【答案】C 【解析】11y x'=+，当1x =时，切线的斜率2k =， 切线方程为()21121y x x =-+=-，因为它与抛物线相切，()22121ax a x x +++=-有唯一解即220ax ax ++= 故280a a a ≠⎧⎨-=⎩ ，解得8a =，故选C. 8.设椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12e =，右焦点为(),0F c ，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点()12,P x x （ ）A. 必在圆222x y +=内B. 必在圆222x y +=上C. 必在圆222x y +=外D. 以上三种情形都有可能【答案】A【解析】∵椭圆离心率e =c a =12，∴c =12a ，b2a ， ∴ax 2+bx -c =ax 2+2ax -12a =0，∵a ≠0， ∴x 2x -12=0，又该方程两个实根分别为x 1和x 2， ∴x 1+x 2=x 1x 2=-12，∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=34+1＜2． ∴点P 在圆x 2+y 2=2的内部． 故选A ．9.十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含A 、B 两市代表团）安排至a ，b ，c 三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A 、B 两市代表团必须安排在a 宾馆入住，则不同的安排种数为（ ） A. 6 B. 12C. 16D. 18【答案】B【解析】如果仅有A 、B 入住a 宾馆，则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时共有22326C A =安排种数，如果有A 、B 及其余一个代表团入住a 宾馆，则余下两个代表团分别入住,b c ，此时共有12326C A =安排种数，综上，共有不同的安排种数为12，故选B. 10.设函数()tan 2x f x =，若()3log 2a f =，151log 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.22c f =，则（ ） A. a b c << B. b c a <<C. c a b <<D. b a c <<【答案】D【解析】()1551log log 22b f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为35log 2log 20>>且0.2033221log 3log 2>==>，故0.2530log 2log 212π<<<<<，又()tan2xf x =在()0,π上为增函数， 所以()()()0.253log 2log 22f f f <<即b a c <<，故选D .11.如图，1F 和2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB ∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D. 1【答案】D【解析】设F 1F 2=2c ， ∵△F 2AB 是等边三角形， ∴∠A F 1F 2==30°， ∴AF 1=c ，AF 2，∴a-c )÷2，e =2c ÷-c， 故选D.12.在四面体P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，边长为3，3PA =，4PB =，5PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ） A. 3B.C.D.【答案】C【解析】如图，延长CA 至D ，使得3AD =，连接,DB PD ， 因为3AD AB ==，故ADB ∆为等腰三角形， 又180120DAB CAB ∠=︒-∠=︒，故()1180120302ADB ∠=︒-︒=︒， 所以90ADB DCB ∠+∠=︒即90DBC ∠=︒，故CB DB ⊥，因为4,5,3PB PC BC ===，所以222PC PB BC =+，所以CB PB ⊥， 因DBPB B =，DB ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，所以CB ⊥平面PBD ，所以13PBD P CBD C PBD V V CB S ∆--==⨯⨯三棱锥三棱锥， 因A 为DC 的中点，所以1113262PBD PBD P ABC P CBD V V S S ∆∆--==⨯⨯=三棱锥三棱锥，因为3DA AC AP ===，故PDC ∆为直角三角形，所以PD ==又DB ==4PB =，故222DB PD PB =+即PBD ∆为直角三角形，所以142PBD S ∆=⨯=P ABC V -=三棱锥C .二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量()3,4a =，()1,b k =-，且a b ⊥，则4a b +与a 的夹角为________． 【答案】4π 【解析】因为a b ⊥，故0a b ⋅=，所以340k -+=，故34k =， 故()41,7a b +=-，设4a b +与a 的夹角为θ，则cos 2θ===，因[]0,θπ∈，故4πθ=，填4π.14.已知实数x ，y 满足不等式组00y y x x y m ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，且目标函数32z x y=-最大值为180，则实数m 的值为________． 【答案】60【解析】不等式组对应的可行域如图所示， 因为不等式组有解，所以0m ≥，当动直线320x y z --=平移到(),0A m 时，z 有最大值，故320180m ⨯-⨯=， 所以60m =，填60.15.如图，点D 在ABC ∆的边AC 上，且3CD AD =，BD ，cos2ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为________．【解析】因为cos2ABC ∠=，所以221cos 2cos 121244ABC ABC ⎛∠∠=-=-= ⎝⎭的因为3CD AD =，所以3CD DA =即()3BD BC BA BD -=-，整理得到3144BD BA BC =+，两边平方后有22291316168BD BA BC BA BC =++⋅，所以22913216168BA BC BA BC =++⋅即2291312||||161684BA BC BA BC =++⋅⨯， 整理得到2233292BA BC BA BC =++⋅， 设,c BA a BC ==，所以()22239329322c a ac c a ac =++=+-，因为2933332222ac a c a c ⨯⨯+⎛⎫=≤⨯ ⎪⎝⎭，所以()()()()2222935323333288c a ac c a c a c a =+-≥+-+=+，3c a +≤=，当且仅当5a =，15c =时等号成立，. 16.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得120i i PA PA ⋅=，则双曲线离心率的取值范围是____________.【答案】⎭【解析】设c 为半焦距，则(),0F c ，又()0,B b ， 所以:0BF bxcy bc +-=，以12A A 为直径的圆的方程为O ：222x y a +=，因为120i i PA PA ⋅=，1,2i =， 所以O 与线段BF 有两个交点（不含端点），所以ab a<>⎩即422422302c a c a c a ⎧-+<⎨>⎩，故4223102e e e ⎧-+<⎨>⎩，e <<故填⎭. 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2212n n n S a a n *+=+∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）已知对于N n *∈，不等式1231111nM S S S S ++++<恒成立，求实数M 的最小值； 解：（1）1n =时，2111212a a a +=+，又0n a >，所以11a =， 当2n ≥时，()2212n n n S a a n *+=+∈N ()2111212n n n S a n a --*-+=+∈N ，作差整理得：()()1112n n n n n n a a a a a a ---+=+-， 因为0n a >，故10n n a a ->+，所以112n n a a --=， 故数列{}n a 为等差数列，所以12n n a +=． （2）由（1）知()34n n n S +=，所以()14411333nS n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 从而1231111nS S S S ++++ 411111111111=134253621123n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦411111411111221323123361239n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=++---=---< ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭．所以229M ≥，故M 的最小值为229．18.如图所示，在棱台1111ABCD A BC D -中，1AA ⊥平面ABCD ，1112224CD AB BC AA A B ====，90ABC BCD ︒∠=∠=（1）求证：11A D BC ⊥； （2）求二面角11C A D D --的大小（1）证明：连结1AD ，设4CD =，因为11//C D CD ，//CD AB ，所以11//C D AB ， 又因11AB C D =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，因此11//BC AD ，在直角梯形11ADD A中，11tan 2A AD ∠=，1tan DA A ∠=， 因此11190A AD AA D ︒∠+∠=，所以11A D AD ⊥，因此11A D BC ⊥（2）解：因为1AA ⊥平面ABCD ，所以建立如图空间直角坐标系，设111=A B ，则()0,0,0A ，()10,0,2A ，()2,2,0D -，()2,2,0C ，()10,0,2AA=，()2,2,0AD =-，()0,4,0DC =，()12,2,2AC =-， 设向量()111,,x y z =m 为平面1AA D法向量，则有100m AA m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11120,220,z x y =⎧⎨-=⎩，令11x =，取平面1AA D 的一个法向量()1,1,0m =.设向量()222x y z =,,n 为平面1CA D 的法向量，则有100n AC n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22222220,40,x y z y +-=⎧⎨=⎩ 令21x =，取平面1CA D 的一个法向量()1,0,1n =， 1cos ,2m n m n m n⋅==⋅, 设二面角1C A D A --的平面角为θ，则1cos 2θ=因此二面角11C A D D --的大小为120︒.19.2019年4月，甲乙两校的学生参加了某考试机构举行的大联考，现对这两校参加考试的学生的数学成绩进行统计分析，数据统计显示，考生的数学成绩X 服从正态分布(110,144)N ，从甲乙两校100分及以上的试卷中用系统抽样的方法各抽取了20份试卷，并将这40份试卷的得分制作成如图所示的茎叶图：（1）试通过茎叶图比较这40份试卷的两校学生数学成绩的中位数；（2）若把数学成绩不低于135分的记作数学成绩优秀，根据茎叶图中的数据，判断是否有90%的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关？（3）从所有参加此次联考的学生中（人数很多）任意抽取3人，记数学成绩在134分以上的人数为ξ，求ξ的数学期望．附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(2P X μσμ-<≤+2)0.9544σ=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤．参考公式与临界值表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．解：（1）由茎叶图可知：甲校学生数学成绩的中位数为128135131.52+=，乙校学生数学成绩的中位数为128129128.52+=，所以这40份试卷的成绩，甲校学生数学成绩的中位数比乙校学生数学成绩的中位数高． （2）由题意，作出22⨯列联表如下：计算得2K的观测值40(1013107)0.9207 2.70620201723k ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有9000的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关．（3）因为~(110,144)X N ，所以110μ=，12σ=， 所以(86134)0.9544P X <≤=，所以10.9544(134)0.02282P X ->==， 由题意可知~(3,0.0228)B ξ，所以30.02280.0684E ξ=⨯=．20.已知抛物线24y x =，过点()8,4P -的动直线l 交抛物线于A ，B 两点 （1）当P 恰为AB 的中点时，求直线l 的方程；（2）抛物线上是否存在一个定点Q ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点Q ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）设A ，B 两点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，当P 恰为AB 的中点时， 显然12x x ≠，故1212124AB y y k x x y y -==-+，又128y y +=-，故12AB k =-则直线l 的方程为12y x =-（2）假设存在定点Q ，设200,4y Q y ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线l 斜率存在时，设()():840l y k x k =--≠，()11,A x y ，()22,B x y ，联立()24,84y x y k x ⎧=⎪⎨=--⎪⎩整理得2432160ky y k ---=，>0∆，124y y k +=，121632y y k=--， 由以弦AB 为直径的圆恒过点Q 知0QA QB ⋅=，即()()2200121020044y y x x y y y y ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即()()2222001210204444y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()102010201016y y y y y y y y ++⎡⎤+--=⎢⎥⎣⎦故()()102016y y y y ++=-，即()2120120160y y y y y y ++++=整理得()()20016440y k y -+-=即当04y =时，恒有0QA QB ⋅=，故存在定点()4,4Q 满足题意；当直线l 斜率不存在时，:8l x =，不妨令(8,A，(8,B -，()4,4Q ，也满足0QA QB ⋅=综上所述，存在定点()4,4Q ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点Q 21.已知函数()e x f x ax b =--.（其中e 为自然对数的底数） （1）若()0f x ≥恒成立，求ab 的最大值；（2）设()ln 1g x x =+，若()()()F x g x f x =-存在唯一的零点，且对满足条件的,a b 不等式e 1)-+≥（ma b 恒成立，求实数m 的取值集合. 解：（1）()xg x e a '=-，当0a <时，()0g x '>，()g x 在R 上单调递增，取1min 0,b m a -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，当0x m <时，()000010xg x e ax b ax b =--<-+-<矛盾；当0a =时，()xg x e b b =->-，只要0b -≥，即0b ≤，此时0ab =； 当0a >时，令()0g x '>，ln x a >，所以()g x 在()ln ,a +∞单调递增，在(),ln a -∞单调递减，()()ln ln g x g a a a a b ≥=--，所以ln 0a a a b --≥，即ln b a a a ≤-， 此时22ln ab a a a ≤-，令()22ln h a a a a =-，()()2122ln 12ln h a a a a aa a a'=--=-， 令()0h a '=，a =当(a ∈，()0h a '>，()h a在(上为增函数；当)a ∈+∞，()0h a '<，()h a在)+∞上为减函数．所以()1122h a he e e ≤=-=，所以2e ab ≤，故ab 的最大值为2e．（2）()1xFx e a x'=-+在()0,∞+单调递减且()F x '在()0,∞+的值域为R ， 设()F x 的唯一的零点为0x ，则()00F x =，()00F x '=，即00000ln 1010x x x e ax b e a x ⎧+-++=⎪⎨-+=⎪⎩ 所以01xa e x =-，()001ln xo b x e x =--， 由()1m a e b -+≥恒成立，则()00000111ln x x m e e x e x x ⎛⎫--+≥-- ⎪⎝⎭，得()()00001ln 10xmx m ex m e x +-+-+-+≥在()0,∞+上恒成立． 令()()()1ln 1xmk x x m e x m e x=+-+-+-+，()0,x ∈+∞， ()()()2211x x m k x x m e x m e x x x '⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭．若0m ≥，()0k x '>，()k x 在()0,∞+上为增函数，注意到()10k =，知当()0,1x ∈时，()0k x <，矛盾；当(),x m ∈-+∞时，()0k x '>，()k x 为增函数，若01m <<-，则当()1,x m ∈-时，()0k x '<，，()k x 为减函数， 所以()1,x m ∈-时，总有()()10k x k <=，矛盾；若01m <-<，则当(),1x m ∈-时，()0k x '>，，()k x 为增函数， 所以(),1x m ∈-时，总有()()10k x k <=，矛盾；所以1m -=即1m =-，此时当()1,x ∈+∞时，()0k x '>，()k x 为增函数，， 当()0,1x ∈时，()0k x '<，()k x 为减函数，而(1)0k =， 所以()F x 有唯一的零点. 综上，m 的取值集合为{}1- ． 选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为22312sin ρθ=+（1）求曲线E 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，求线段AB 的长解：（1）E 的方程可化为2222sin 3ρρθ+=，将222x y ρ=+，sin y ρθ=，代入其中得2233x y +=，所以曲线E 的直角坐标方程为2213x y +=.（2）直线l 过定点()1,0P ，将直线l 的参数方程代入曲线E的直角坐标方程得2340t +-=，12t t +=1243t t =-，所以12AB t t =-3==. 选修4-5：不等式选讲23.已知函数()211f x x x =--+． （1）解不等式()4f x ≤；（2）记函数()31y f x x =++的最小值m ，正实数a ，b 满足3ma b +=，求证：341log 2a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭．解：（1）()4f x ≤等价于12114x x x ≤-⎧⎨-+++≤⎩ 或1122114x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+--≤⎩或122114x x x ⎧≥⎪⎨⎪---≤⎩， 故21x -≤≤-或112x -<<或162x ≤≤， 综上()4f x ≤解集为[]2,6-.（2）()()31212221223f x x x x x x ++=-++≥--+= 当且仅当()()21220x x -+≤取等号，∴3m =，1a b +=， ∴()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当21,33a b ==时等号成立，∴3341log log 92a b ⎛⎫+≥= ⎪⎝⎭．。
江西省临川第一中学2022-2023学年高三上学期期末考试理科数学试卷
卷面满分：150江西省临川一中2022—2023学年上学期期末考试高三年级数学理科试卷分考试试卷：120分钟命题人：黄维京审题人：上官学辉一、单选题（每题5分，共60分）1.设集合2{|230}A x Z x x =∈-- ，{0,1}B =，则A B =ð()A.{3,2,1}--- B.{1,2,3}- C.{1,0,1,2,3}- D.{0,1}2.在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA =(1,−2)，OB =(−3,1)，则复数z 1z 2对应的点位于()A .第一象限B .第二象限C.第三象限D.第四象限3.对于实数，条件G +1≠52,条件G ≠2且≠12，那么是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设a >0，b >0，且2a +b =1，则1a +2aa+b ()A.有最小值为4B.有最小值为22+1B.C.有最小值为14D.无最小值5.设a =57,b =c =log 3145，则a ，b ，c 的大小顺序是()A.b <a <cB.c <a <bC.b <c <aD.c <b <a6.已知(0,)4πα∈，4cos 25α=，则2sin (4πα+=()A.15B.25C.35 D.457.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2+b 2−c 2)⋅(acosB +bcosA)=abc ，则角C =()A.30°B.45°C.60°D.90°8.已知函数=l 2−B +3在0,1上是减函数，则实数的取值范围是()A.0,1B.1,4C.0,1∪1,4D.2,49.已知圆：(−3)2+(−4)2=4和两点o −3s 0)，o 3s 0)(>0).若圆上存在点，使得∠B =90°，则的最小值为()A.6B .5 C.2 D.310.已知双曲线22−22=1>0,>0的左、右焦点分别为1，2，点的坐标为−2,0，点是双曲线在第二象限的部分上一点，且∠1B 2=2∠1B ，B 1⊥12，则双曲线的离心率为()A.3B.2C.32D.211.在△B 中，B =4，B =3，B =5，点在该三角形的内切圆上运动，若B =B+B (s 为实数)，则+的最小值为()A.12B.13C.16D.1712.若函数的定义域为，且2+1偶函数，3−1关于点1,3成中心对称，则下列说法正确的个数为()①的一个周期为2②2x =2−2x③的一个对称中心为6，3④J119=57 A.1B.2C.3D.4二、填空题（每题5分，共20分）13.已知2100+236=1上一点，1，2分别是椭圆的左、右焦点，若∠1B 2=60°，则△B 12的面积为________．14.若(1−3x)n 展开式中第6项的二项式系数与系数分别为p ､q ，则pq =_________．15.如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体BB 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体BB 棱长为26，则模型中九个球的表面积和为__________．16.若函数op=3−o3+lnp的极小值点只有一个，则的取值范围是_________．三、解答题17.(12分)已知数列{}满足数列{r1−}为等比数列，1=1，2=2，且对任意的∈∗，r2=3r1−2.（1）求{}的通项公式;（2）=∙，求数列{}的前n项和S．18.(12分)如图，在直三棱柱B−111中，，，分别为线段11,1及B的中点，为线段1上的点，B=12B,B=8,B=6，三棱柱B−111的体积为240．(1)求点到平面1B的距离；(2)试确定动点的位置，使直线B与平面1B1所成角的正弦值最大．19.(12分)在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从这10张中任抽2张.(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列．20(12分)已知抛物线：2=2B,抛物线上两动点A x1,y1,B x2,y2,x1≠x2且x1+x2=6（1）若线段AB过抛物线焦点，且B=10，求抛物线C的方程．（2）若线段AB的中垂线与X轴交于点C，求∆ABC面积的最大值．21(12分)已知op =ｅ+2−s op =2−B −,s ∈(1)若op 与op 在x=1处的切线重合，分别求，的值．(2)若∀∈s op −op ≥op −op 恒成立，求的取值范围．四、选做题（共10分，请考生在22，23题任选一题作答，如果多选，则按所做第一题计分）22.(10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线312:12x l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)与圆23cos :(3sin x C y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相交于A，B 两点.(1)求直线及圆C 的普通方程；(2)已知(1,0)F ，求||||FA FB +的值.23.(10分)已知0a >，0.b >(1)求证：3+3≥2+B 2；(2)若3a b +=，求14a b+的最小值.。
临川一中2020届高三模拟考试理科数学答案
2020届临川一中暨临川一中实验学校高三理科数学月考答案一、单选题1-5．ACCCA 6-10．DBBDB 11-12．DB 二、填空题13．2 14．120- 15． π41 16．4 三、解答题17．【答案】（1）3-（2）38法一：解：（1）在BCD ∆中，由正弦定理得sin sin CD BC CBD BDC=∠∠，∴sin6sin 22CBD π∠== ∴0CBD π<∠<，∴3CBD π∠=或23CBD π∠= ………………3分当23CBD π∠=时，此时A B C 、、三点共线，矛盾 ∴3CBD π∠= ………………4分∴()2tan tan tan tan 333ABC ABD CBD πππ⎛⎫∠=∠+∠=+==⎪⎝⎭………………6分法二：由余弦定理222cos 242BD CD BC BDC BD BD BD CD +-∠====⋅或………………3分若2BD =时，此时23CBD π∠=，即A B C 、、三点共线，矛盾………………4分 ∴4BD =，此时3CBD π∠=∴()tan tan tan 33ABC ABD CBD ππ⎛⎫∠=∠+∠=+=⎪⎝⎭6分 （2）设BCD θ∠=，在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD θ=+-⋅(2222216θθ=+-⨯⨯=-……8分∴2111sin sin sin 222ABC BCD BAD D S S BC CD BA BD BC CD S θθθ∆∆=+=⋅+⋅=⋅四边形6cos 3πθθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭……………………11分当56πθ=时，四边形ABCD面积的最大值 ……………………12分 备注：（1）若第1问用正弦定理没写出23CBD π∠=，扣1分（2）若第1问用余弦定理没写出2BD =，并且排除2BD =，扣1分18.【答案】（1）见详细答案（2）25（1）如图，作EF PC ∥，交BC 于F ，连接AF .因为3PB BE =，所以E 是PB 的三等分点，可得23BF =. 因为2AB AD ==，23BC CD ==，AC AC =，所以ABC ADC △≌△， 因为BC ⊥AB ，所以90ABC ∠=︒，…………………1分 因为3tan 23AB ACB BC ∠===，所以30ACB ACD ∠=∠=︒，所以60BCD ∠=︒，（2分） 因为tan 323AB AFB BF ∠===，所以60AFB ∠=︒，所以AF CD ∥，……3分 因为AF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AF ∥平面PCD .……4分又EF PC ∥，EF ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .……………5分因为AF EF F =，AF 、EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ∥平面PCD ，所以AE ∥平面PCD .…6分 （2）因为PAB △是等边三角形，2AB =，所以2PB =.又因为4PC =，23BC =，所以222PC PB BC =+，所以BC PB ⊥.又BC ⊥AB ，,AB PB ⊂平面PAB ，AB PB B =，所以BC ⊥平面PAB .因为BC ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD .在平面PAB 内作Bz ⊥平面ABCD .………7分 以B 点为坐标原点，分别以,,BC BA Bz 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -， 则(23,0,0)C ，(0,2,0)A ，(0,1,3)P ，所以(23,0,0)BC =，(0,1,3)BP =，(23,2,0)AC =-，(0,1,3)AP =-.………8分设111(,,)x y z =m 为平面BPC 的法向量，则00BC BP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=m m ，即11123030x y z ⎧=+=⎪⎨⎪⎩， 令11z =-，可得(0,3,1)=-m .………………9分设222(,,)x y z =n 为平面APC 的法向量，则00AC AP ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n ，即2222232030x y y z -=-+=⎧⎪⎨⎪⎩，令21z =，可得(1,3,1)=n .………………10分 所以5,25cos ==⨯m n ………………11分 则25251()n s ,5i =-=m n ，所以二面角A PC B --的正弦值为25.……………………12分 备注：若第2问用几何法做对也给满分.19．【答案】（1）83107340340y x =+（2）分布列见详解，数学期望为1310. 解：解：（1）由题意可知2361021131518118x +++++++==，112 2.56 3.5 3.5 4.538y +++++++==，………………2分由公式12221ˆ34781138313088b11340ni ii ni i x y nx yx nx==-⨯⨯==-⨯-=-∑∑………………3分83107ˆˆ311340340ay bx =-=-⨯=………………4分 ∴83107340340y x =+……………5分 （2）药品A 的三类剂型123A A A 、、经过两次检测后合格分别为事件123B B B 、、,则()()()123142321322,,255432535p B P B P B =⨯==⨯==⨯=……………7分由题意，0,1,2,3X 可取()()()()()()()()2123212312312321231231231232190115250212212111112525525021221821125255225235p X p B B B p X p B B B B B B B B B p X p B B B B B B B B B p X p B B B ⎛⎫⎛⎫===--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=-⋅+-⋅⋅-⋅=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=⋅-+-⋅⋅⋅=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=== ⎝212225⋅=⎪⎭………10分X ∴的分布列为9218213123.5050255010X ∴⨯+⨯+⨯+⨯=的期望为：EX=0…………12分20.【答案】(1) 椭圆方程为22163x y +=，准圆方程为229x y +=；①12l l ，方程为33y x y x =+=-+， ②见详解 【解析】（1）3c a b ==∴=，2分∴椭圆方程为22163x y +=， ………………3分 准圆方程为229x y +=．………………4分（2）（ⅰ）因为准圆229x y +=与y 轴正半轴的交点为(03)P ，， 设过点(03)P ，且与椭圆相切的直线为3y kx =+， 所以由223{163y kx x y =++=，，得22(12)12120k x kx +++=.……………5分 因为直线3y kx =+与椭圆相切，所以22144412(12)0k k ∆=-⨯+=，解得1k =±，……………6分所以12l l ，方程为33y x y x =+=-+，．……………7分 121l l k k ⋅=-，12l l ∴⊥．……………8分（ⅱ）①当直线12l l ，中有一条斜率不存在时，不妨设直线1l斜率不存在， 则1l ：x =当1l ：6x =时，与准圆交于点(63)(63)-，，，， 此时2l 为y =y =，显然直线12l l ，垂直； 同理可证当1l ：x =12l l ，垂直……………9分 ②当12l l ，斜率存在时，设点00(,)P x y ，其中22009x y +=. 设经过点00()P x y ，与椭圆相切的直线为00()y t x x y =-+， 所以由0022(){163y t x x y x y =-++=，，得2220000(12)4()2()60t x t y tx x y tx ++-+--=.……………10分由0∆=化简整理得()22200006230x t x y t y -++-=因为22009x y +=，所以有2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=.设12l l ，的斜率分别为12t t ，，因为12l l ，与椭圆相切， 所以12t t ，满足上述方程2220000(6)2(6)0x t x y t x -++-=， 所以20122616x t t x -⋅==--，即12l l ，垂直．……………11分 综合①②知：因为12l l ，经过点00()P x y ，，又分别交其准圆于点M N ，，且12l l ，垂直. 所以线段MN 为准圆229x y +=的直径，6MN ＝，所以线段MN 的长为定值6．……………12分 21．【答案】（1）()∞（2）22e π-解：（1）由()sin axf x e x =，得()()'sin cos axf x e a x x =+，……………1分由()f x 在63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上存在单调递增区间，可得()'0f x >在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，……………2分即sin cos 0a x x +>在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，则min 1tan a x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，∴a >∴a的取值范围为()∞.……………4分 （2）设()()sin axbx e x g x f x b x =-=-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()()'sin cos axg x e a x x b =+-.设()()sin cos axh x ea x xb =+-，则()()2'1sin 2cos 0ax h x e a x a x ⎡⎤=-+≥⎣⎦， ……………5分∴()h x 单调递增，即()'g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 ∴()2'1,a g x b ae b π⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.……………6分当1b ≤时，()'0g x ≥，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()()00g x g ≥=，不符合题意；当2a b ae π≥时，()'0g x ≤，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，()()00g x g ≤=，符合题意；当21a b ae π<<时，由于()'g x 为一个单调递增的函数，而()'010g b =-<，2'02a g ae b ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得()0'0g x =， 从而()g x 在[]00,x x ∈上单调递减，在0,2x π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ……………9分因此只需02g π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴22a e b ππ≤，∴22a b e ππ≥，从而222a a eb ae πππ≤<，综上，b 的取值范围为22,a e ππ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，……………10分因此2222ab e a ee a ππ-≥-. 设()222aG a ee a ππ=-，则()22'ae a e G π=-，令()'0G a =，则41a π=>，∴()G a 在41,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在4,π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，……………11分 从而()242e G a G ππ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭，∴2b e a -的最小值为22e π-.……………12分备注：第1问写)⎡+∞⎣扣1分22.（1）:40(0)l x y x +-=≠,22:20C x y y +-=（2【解析】（1）由82x t=+可得0x ≠， 由8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去参数t ，可得直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠．………………2分由2sin ρθ=可得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得2220x y y +-=， 所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=．…………………………5分（2）由（1）得，l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠，将其化为极坐标方程可得cos sin 40()2ρθρθθπ+-=≠，…………………………7分当()04θρπ=>时，A ρ=B ρ=|||||A B AB ρρ=-==．………………10分 备注：第1问没写0x ≠扣1分23.（1）(,0)(3,)-∞+∞ （2）见详解 【解析】（1）当0x <时，|4|()x f x x>等价于|||2|4x x +->-，该不等式恒成立； 当02x <≤时，|4|()x f x x>等价于24>，该不等式不成立； 当2x >时，|4|()x f x x >等价于2224x x >⎧⎨->⎩，解得3x >，…………………………3分 所以不等式|4|()x f x x>的解集为(,0)(3,)-∞+∞.…………………………5分 （2）因为()|||2||(2)|2f x x x x x =+-≥--=，当02x ≤≤时取等号，所以2M =,222a b c ++=，……7分由柯西不等式可得22222222224(22)(122)()9()a b c a b c a b c =++≤++++=++,当且仅当244,,999a b c ===时等号成立，所以22249a b c ++≥.…………………………10分备注：第1问结果没用集合或区间表示扣1分。
江西省临川一中2021届高三数学最后一次模拟考试试题 理
江西省临川一中2021届高三数学最后一次模拟考试试题 理 新人教A 版A.{}|12x x -<<B.{}1,2-C.{}|22x x -<<D.{}|24x x -<<2.设i 为虚数单位,假设复数()()2231i z m m m =+-+-是纯虚数,那么实数m =（ ）A ．3- B ．3-或1 C ．3或1- D ．13.函数1)55ln()1()(2-+-+=x x x x x f 的零点个数为（ ）A ．3 B. 2 C. 1 D. 0 4.函数31)(x x f =在原点处的切线方程是（ ） A ．x=0 B.y=0 C.x=0或y=0 D.不存在 5.已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设依照上表数据所得线性回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．假设某同窗依照上表中的最后两组数据(5，2)和(6，0)求得的直线方程为''y b x a =+，那么以下结论正确的选项是( )A.ˆˆ','bb a a >> B.ˆˆ','b b a a >< C.ˆˆ','b b a a << D.6.给出30个数：1，2,4,7，……其规律是：第1个数是1；第2个数比第1个数大1；第3个数比第2个数大2；第4个数比第3个数大3；……以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如下图，那么框图中判定框①处和执行框②处应别离填入（ ）A.30;1i p p i ≤=+- B.29;1i p p i ≤=++C. 31;i p p i ≤=+D. 30;i p p i ≤=+7.如图，O 为线段20130A A 外一点，假设20133210,,,,,A A A A A 中任意相邻两点的距离相等，=0OA a ，=2013OA b用a ，b 表示①NY01232013...OA OA OA OA OA +++++其结果为( )A ．)(1006b a +B ．)(1007b a +C ．)(2012b a +D ．)(2014b a + 8.已知集合A B C 、、，且A ={直线}，B ={平面}，C AB =，假设,,a A b B cC ∈∈∈，有四个命题①////;//a b a c c b ⎧⇒⎨⎩②//;a b a c c b ⊥⎧⇒⎨⊥⎩③//;a b a c c b⎧⇒⊥⎨⊥⎩④;//a b a c c b ⊥⎧⇒⊥⎨⎩其中所有正确命题的序号是（） A ．①②③ B ．②③④ C ．②④ D ．④9.设1F ，2F 别离为双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右核心，A 为双曲线的左极点，以12F F 为直径的圆交双曲线某条渐近线于M 、N 两点，且知足120MAN ∠=︒，那么该双曲线的离心率为（ ）C. 73二.选做题：请在以下两题当选一题作答. 假设两题都做，那么按第一题评阅计分.此题共5分. 11. (1) （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点π(2,)3和圆θρcos 2=的圆心的距离为( )A.3B. 2C.D. (2) (不等式选做题) 假设正数a,b 知足ab=a+b+3,则ab 的最值范围为( ) A.[)+∞,6 B.[)+∞,9 C.(]9,∞- D. [)+∞,6 第II 卷三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.12.已知角θ的极点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线2y x =上，那么22cos sin θθ-等于 13.已知等差数列{}n a 的公差和首项都不等于0，且2a ，4a ，8a 成等比数列，那么36945a a a a a ++=+14.设()()542345012345212,x x a a x a x a x a x a x -++=+++++则024a a a ++=15.已知偶函数()f x 知足对任意x R ∈，均有(1)(3)f x f x +=-且2(1),[0,1]()1,(1,2]m x x f x x x ⎧-∈=⎨-∈⎩，假设方程3()f x x =恰有5个实数解，那么实数m 的取值范围是_______.四、解答题:本大题共6小题，共75分. 解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.16. （本小题总分值12分）已知函数()1sin 3f x x ωπ⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的部份图象如下图，其中P 为函数图象的最高PABOEDC点，,A B 是函数图象与x 轴的相邻两个交点，假设y 轴不是函数()f x 图象的对称轴，且1tan 2APB ∠=. （1）求函数()f x 的解析式；（2）假设[]1,2x ∈，求函数()f x 的取值范围.17. （本小题总分值12分）在一次抢险救灾中，某救援队的50名队员被别离分派到四个不同的区域参加救援工作，其散布的情形如下表，从这50名队员中随机抽出2人去完成一项特殊任务． 区域 A B C D 人数2010515（1）求这2人来自同一区域的概率；（2）假设这2人来自区域A ，D ，并记来自区域A 队员中的人数为X ，求随机变量X 的散布列及数学期望． 18.（本小题总分值12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，CD ⊥平面PAD ，BC ∥AD ，PA ＝PD ，O ，E 别离为AD ，PC 的中点，PO ＝AD ＝2BC ＝2CD ．（1）求证：AB ⊥DE ；（2）求二面角A -PC -O 的余弦值．19. （本小题总分值12分）已知正项数列{}n a ，其前n 项和n S 知足2843,n n n S a a =++且2a 是1a 和7a 的等比中项.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2) 符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数，记23[log ()]4n n a b +=，求1232n b b b b +++.20. （本小题总分值13分）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，点A B 、别离为其左、右极点，点12F F 、别离为其左、右核心，以点A 为圆心，1AF 为半径作圆A ；以点B 为圆心，OB 为半径作圆B ；假设直线3:3l y x =被圆A 和圆B 156（1）求椭圆C 的离心率；（2）己知7=a ，问是不是存在点P ，使得过P 点有无数条直线被圆A 和圆B 截得的弦长之比为34；假设存在，请求出所有的P 点坐标；假设不存在，请说明理由． 是21. （本小题总分值14分）设函数()(1)f x x α=+的概念[1,)-+∞,其中常数0α>.(1)假设1α>,求()y f x =的过原点的切线方程.(2)当2α>时,求最大实数A ,使不等式2()1f x x Ax α>++对0x >恒成立.(3)证明当1α>时,对任何*n N ∈,有12111(())n k k n k kααα+=-<+<∑.2021年临川一中考前模拟试卷答案：1—5 DACAB 6—10 DBDAB 11.（1）A （2）B 12.35- 13.2 14. 110 15. 8448(,)(,)3333--16. 17.18. (1)因为CD ⊥平面PAD ，CD ⊂平面ABCD ，因此平面ABCD ⊥平面PAD ，又PA PD=，O是AD的中点，那么PO AD ⊥，且平面ABCD PAFD AD ⋂=平面，因此PO ⊥平面ABCD ． (2)知2111843(2,)n n n S a a n n N ---=++≥∈② ----------------------1分 由①-②得1118()()44n n n n n n n a a a a a a a ---=-++-整理得11(4)()0(2,)n n n n a a a a n n N ----+=≥∈ ----------------------2分 ∵{}n a 为正项数列∴10,n n a a -+>，∴14(2,)n n a a n n N --=≥∈ ----------------------3分 因此{}n a 为公差为4的等差数列，由2111843,a a a =++得13a =或11a = ----------4分 当13a =时，277,27a a ==，不知足2a 是1a 和7a 的等比中项. 当11a =时，275,25a a ==，知足2a 是1a 和7a 的等比中项.因此1(1)443n a n n =+-=-. ----------------------6分 (2) 由43n a n =-得223[log ()][log ]4n n a b n +==， ----------------------7分 由符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数知，当122m m n +≤<时， 2[log ]n m =，--------------8分 因此令12322222[log 1][log 2][log 3][log 2]n n S b b b b =+++=+++∴1234112223242(1)2n S n n -=⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯+① ----------------------9分2345212223242(1)22n S n n =⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯+② ----------------------10分①-②得 即1232n b b b b +++(2)22n n n =-++. ----------------------12分20.解：（1）由l k =l 的倾斜角为150︒， 那么点A 到直线l 的距离1sin(180150)2a d a =︒-︒=， 故直线l 被圆A截得的弦长为1L ==，直线l 被圆B截得的弦长为22cos(180150)L a =︒-︒=，据题意有：12L L ==（4分）化简得：2163270e e -+=，（5分）解得：74e =或14e =，又椭圆的离心率(0,1)e ∈；故椭圆C 的离心率为14e =． (6分) （2）假设存在，设P 点坐标为(,)m n ，过P 点的直线为L ；当直线L 的斜率不存在时，直线L 不能被两圆同时所截；故可设直线L 的方程为()y n k x m -=-， 那么点)0,7(-A 到直线L 的距离2117k nkm k D ++--=，由（1）有14c e a ==，得34A a r a c =-==421，故直线L 被圆A截得的弦长为1'L =，那么点)0,7(B 到直线L 的距离2217k n km k D ++-=，7=B r ，故直线L 被圆B截得的弦长为2'L =据题意有：1234L L =，即有22221216()9()AB r D r D -=-，整理得1243D D =， 即2174knkm k ++-2173knkm k ++-=，两边平方整理成关于k 的一元二次方程得 ………9分07)14350()3433507(222=++-++n k mn m k m m ，关于k 的方程有无穷多解，故有： ⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+=++49010070143500343350722m n m n n mn n m m 或，故所求点P 坐标为（－1，0）或（－49，0）．（注设过P 点的直线为m kx y +=后求得P 点坐标一样得分） ………..13分 21.(1)1()(1)f x x αα-'=+.假设切点为原点,由(0)f α'=知切线方程为1y x α=+;.若,那么,由知对恒成立,从而对恒有,即在单调增,从而对恒成立,从而在单调增,对恒成立. 若,那么,由知存在,使得对恒成立,即11(1)22ααα<-+<，， 11(1)33ααα<-+<，11(1)44ααα<-+<，11(1)55ααα<-+<，…………………………11(1)11n n ααα<-+<++， 将以上不等式相加得：121(1)n k n n k k ααα+=<-+<∑，即12111(())n k k n k k ααα+=-<+<∑。
2025届江西省抚州市临川一中高考冲刺押题(最后一卷)数学试卷含解析
2025届江西省抚州市临川一中高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A ⋃B ，则集合中的元素共有 （ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 2．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1f =，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，若两个正数,a b 满足(2)1f a b +<，11b a ++则的取值范围是（ ）A ．(11,53) B ．1(,)(5,)3-∞⋃+∞ C ．(1,53) D ．(,3)-∞3．设a ，b ，c 分别是ABC ∆中A ∠，B ，C ∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ⋅--=与sin sin 0bx B y C +⋅+=的位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直4．总体由编号为01，02，...，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）A ．23B ．21C ．35D ．325．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若816S =，61a =，则数列{}n a 的公差为（ ）A ．32B ．32-C ．23D ．23- 6．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．7．已知1111143579π≈-+-+-，如图是求π的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入A ．121i n =--B ．12i i =-+ C ．(1)21ni n -=+ D ．(1)2n i i -=+ 8．函数||1()e sin 28x f x x =的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．9．已知0x =是函数()(tan )f x x ax x =-的极大值点，则a 的取值范围是A ．(,1)-∞-B ．(,1]-∞C ．[0,)+∞D ．[1,)+∞10．设1,0(){2,0x x x f x x -≥=<，则((2))f f -=（ ） A ．1- B ．14 C ．12 D ．32 11．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是 （ ）A ．16216πB ．1628πC ．8216πD ．828π12．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ）A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江西省抚州市临川区第一中学高三数学全真模拟(最后一模)试题理(扫描版,无答案)(2021年整理)
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题理(扫描版，无答案）。
江西省抚州市临川区一中2025届高三最后一模数学试题含解析
江西省抚州市临川区一中2025届高三最后一模数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD ，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则直线AC 与BD 所成角余弦值为（ ）A ．23B ．63C ．33D ．133．已知复数(2)1ai i z i +=-是纯虚数，其中a 是实数，则z 等于（ ） A ．2i B ．2i - C ．i D ．i -4．设直线l 过点()0,1A-，且与圆C ：2220x y y +-=相切于点B ，那么AB AC ⋅=（ ） A ．3± B ．3 C 3D ．15．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．射线测厚技术原理公式为0t I I e ρμ-=，其中0I I ，分别为射线穿过被测物前后的强度，e 是自然对数的底数，t 为被测物厚度，ρ为被测物的密度，μ是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241（241Am ）低能γ射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（ ）（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln 20.6931≈，结果精确到0.001） A ．0.110 B ．0.112 C ．0.114 D ．0.1167．已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象( )A ．向左平移8π个单位长度B ．向右平移8π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度 8．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ． 9．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．5⎛ ⎝⎦B ．5⎫⎪⎪⎣⎭C ．25⎛ ⎝⎦D ．25⎫⎪⎪⎣⎭10．设全集为R ，集合{}02A x x =<<，{}1B x x =≥，则()AB =R A ．{}01x x <≤ B ．{}01x x <<C ．{}12x x ≤<D ．{}02x x << 11． 若数列{}n a 满足115a =且1332n n a a +=-，则使10k k a a +⋅<的k 的值为( )A ．21B ．22C ．23D ．2412．在复平面内，复数21(1)i i +-对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届江西省临川第一高三最后一模数学(理)试题(解析版)
2019届江西省临川第一高三最后一模数学（理）试题一、单选题1．全集{}2018,lo |)1(g U R A x y x ===-，{|B y y ==，则()U A B ⋂=（ ）A ．[]1,2B ．[)1,2C ．(]1,2D ．()1,2【答案】D【解析】先求出集合A 、B 的等价条件，结合集合交集、补集的定义进行计算即可． 【详解】解：(){}{}{}2018log 1101A x y x x x x x ==-=->=>，{{}2B y y y y ====≥，则{}2UB x x =<，则(){}12UA B x x ⋂=<<，故选D ． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键． 2．若复数()21a ia R i-∈+为纯虚数，则3ai -=（ ）A ．B ．13C ．10D【答案】A【解析】由题意首先求得实数a 的值，然后求解3ai -即可． 【详解】由复数的运算法则有：2(2)(1)221(1)(1)22a i a i i a ai i i i ++-+-==+++-, 复数()21a ia R i -∈+为纯虚数，则2020a a +=⎧⎨-≠⎩，即2,|3|a ai =--=本题选择A选项.【点睛】复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．45B．54C．57D．63【答案】B【解析】由三视图得，该几何体是棱长为3的正方体截去一个棱长为1的正方体得到的组合体.【详解】由三视图得，该几何体是棱长为3的正方体截去一个棱长为1的正方体，如图所示，所以该几何体的表面积与棱长为3的正方体的表面积相等，即所求表面积为2S=⨯=．6354故选B．【点睛】本题考查了正方体的三视图，结构特征与表面积的计算问题，属于基础题．4．如图为某省高考数学（理）卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，给出下面三个结论：①近三年容易题分值逐年增加；②近三年中档题分值所占比例最高的年份是2017年；③2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上．其中正确结论的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】根据对比图，对①②③分析计算即可. 【详解】 根据对比图得：2016年，2017年，2018年容易题分值分别为40，55，96，逐年增加，①正确； 近三年中档题分值所占比例最高的年份是2016年，②错误； 2018年的容易题与中档题的分值之和为96+42=138，1380.9290%150=>，③正确 故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查对比图的性质等基础知识，考查识图能力，属于基础题． 5．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ） A ．1 B ．1或12C 3D ．3±【答案】C【解析】由2474S S =可得()()123434a a a a +=+，故可求q 的值. 【详解】因为2474S S =，所以()()()124234344a a S S a a +=-=+， 故234q =，因{}n a 为正项等比数列，故0q >，所以3q =，故选C. 【点睛】一般地，如果{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a =；（2）公比1q ≠时，则有nn S A Bq =+，其中,A B 为常数且0A B +=；（3）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等比数列（0n S ≠ ）且公比为n q .6．已知()4cos cos 3f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列说法中错误的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 在,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．函数()f x 的图象可以由函数cos 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到 D ．7,112π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 【答案】C【解析】()f x 可化为()2cos 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用复合函数的讨论方法可求该函数的周期、对称中心、单调区间等，利用图像变换可考虑它与函数cos 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像变换关系. 【详解】()4cos cos 3f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭22cos 22cos 213x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以22T ππ==，故A 正确； 当,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，20,32x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因23t x π=+在,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为增函数，2cos 1y t =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故()f x 在,612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，故B 正确；函数()f x 的图象可以由函数1cos 232y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍 得到，而函数cos 213y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上各点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到得是2cos 223y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，故C 错误；令2,32x k k Z πππ+=+∈，当1k =时，712x π=，故7,112π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图像的一个对称中心，故D 正确； 综上，选C. 【点睛】 形如()22sinsin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为()()'sin 2'f x A x B ωϕ=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．7．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与抛物线()221y ax a x =+++相切，则a的值为（ ） A ．0 B ．0或8C ．8D ．1【答案】C【解析】求出曲线在点()1,1处的切线方程，再联立切线方程和抛物线方程并消去y ，利用判别式为零可求a 的值. 【详解】11y x'=+，当1x =时，切线的斜率2k =， 切线方程为()21121y x x =-+=-，因为它与抛物线相切，()22121ax a x x +++=-有唯一解即220ax ax ++= 故280a a a ≠⎧⎨-=⎩，解得8a =，故选C. 【点睛】对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核心是切点的横坐标.一般地，曲线():C y f x =在()()00,P x f x 处的切线方程为()()()000y f x x x f x '=-+.8．设椭圆的离心率为，右焦点为 ，方程的两个实根分别为 和 ，则点（ ）A ．必在圆外B ．必在圆上C ．必在圆内 D ．以上三种情形都有可能【答案】C 【解析】∵，∴，∵ 和是方程的两个实根， ∴由韦达定理：，，∴，∴点必在圆内，故选C.9．十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含A 、B 两市代表团）安排至a ，b ，c 三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A 、B 两市代表团必须安排在a 宾馆入住，则不同的安排种数为（ ） A ．6 B ．12C ．16D ．18【答案】B【解析】按入住a 宾馆的代表团的个数分类讨论. 【详解】如果仅有A 、B 入住a 宾馆，则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时共有22326C A =安排种数，如果有A 、B 及其余一个代表团入住a 宾馆，则余下两个代表团分别入住,b c ，此时共有12326C A =安排种数，综上，共有不同的安排种数为12，故选B. 【点睛】本题考查排列、组合计数，注意要先分组再分配，否则容易出现重复计数的错误. 10．设函数()tan 2xf x =，若()3log 2a f =，151log 2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.22c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】D【解析】把b 化成()5log 2f ，利用对数函数的性质可得351log 2log 20>>>，再利用指数函数的性质得到0.221>，最后根据()f x 的单调性可得,,a b c 的大小关系. 【详解】()1551log log 22b f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为35log 2log 20>>且0.2033221log 3log 2>==>，故0.2530log 2log 212π<<<<<，又()tan2xf x =在()0,π上为增函数， 所以()()()0.253log 2log 22f f f <<即b a c <<，故选D.【点睛】本题考查对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数的运算性质统一底数.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递.11．如图，1F 和2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，A 和B 是以O为圆心，以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB ∆是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A 3B 5C 5D ．13【答案】D 【解析】【详解】 解：，设F 1F 2=2c ，∵△F 2AB 是等边三角形， ∴∠A F 1F 2==30°， ∴AF 1=c ，AF 23，∴3÷2，e=2c ÷33+1， 故选D12．在四面体P ABC -中，ABC 是边长为3的等边三角形，3PA =，4PB =，5PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ）A ．3B ．23C 11D 10【答案】C【解析】把四面体补成如图所示的三棱锥，其中3AD =，可以证明CB ⊥平面PBD 且PDC ∆、PBD ∆均为直角三角形，通过计算C PBD V -三棱锥可得P ABC V -三棱锥.【详解】如图，延长CA 至D ，使得3AD =，连接,DB PD ， 因为3AD AB ==，故ADB ∆为等腰三角形， 又180120DAB CAB ∠=︒-∠=︒，故()1180120302ADB ∠=︒-︒=︒， 所以90ADB DCB ∠+∠=︒即90DBC ∠=︒，故CB DB ⊥，因为4,5,3PB PC BC ===，所以222PC PB BC =+，所以CB PB ⊥， 因DBPB B =，DB ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，所以CB ⊥平面PBD ，所以13PBD P CBD C PBD V V CB S ∆--==⨯⨯三棱锥三棱锥， 因A 为DC 的中点，所以1113262PBD PBD P ABC P CBD V V S S ∆∆--==⨯⨯=三棱锥三棱锥，因为3DA AC AP ===，故PDC ∆为直角三角形， 所以22362511PD CD PC =-=-=，又333DB AD ==，而4PB =，故222DB PD PB =+即PBD ∆为直角三角形， 所以14112112PBD S ∆=⨯⨯=，所以11P ABC V -=三棱锥，故选C.【点睛】不规则三棱锥的体积的计算，应尽量找寻其高，如果高难以确定，则可以把给定的几何体补成容易计算体积的几何体，注意补体时利用已有的垂直关系.二、填空题13．已知向量()3,4a =，()1,b k =-，且a b ⊥，则4a b +与a 的夹角为________． 【答案】4π 【解析】先计算出k ，再求出4a b +，a 的坐标，计算出它们的夹角的余弦后可求夹角的大小. 【详解】因为a b ⊥，故0a b ⋅=，所以340k -+=，故34k =， 故()41,7a b +=-，设4a b +与a 的夹角为θ，则cos 2θ===，因[]0,θπ∈，故4πθ=，填4π. 【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用a a a = ；（2）计算角，cos ,a b a b a b⋅=.特别地，两个非零向量,a b 垂直的等价条件是0a b ⋅=14．已知实数x ，y 满足不等式组00y y x x y m ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，且目标函数32z x y =-的最大值为180，则实数m 的值为________． 【答案】60【解析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线320x y z --=可得何时z 有最大值，从而求出m 的值. 【详解】不等式组对应的可行域如图所示， 因为不等式组有解，所以0m ≥，当动直线320x y z --=平移到(),0A m 时，z 有最大值，故320180m ⨯-⨯=， 所以60m =，填60.【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考虑二元函数的几何意义，比如34x y +表示动直线340x y z +-=的横截距的三倍 ，而21y x +-则表示动点(),P x y 与()1,2-的连线的斜率． 15．如图，点D 在ABC ∆的边AC 上，且3CD AD =，2BD =，10cos24ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为________．【答案】1655【解析】先计算出cos ABC ∠的值，利用3CD DA =可得3144BD BA BC =+，两边平方后整理可得22913216168BA BC BA BC =++⋅，设,c BA a BC ==，则2233292c a ac =++，利用基本不等式可求3c a +的最大值. 【详解】 因为10cos2ABC ∠=， 所以22101cos 2cos 12124ABC ABC ∠∠=-=-=⎝⎭因为3CD AD =，所以3CD DA =即()3BD BC BA BD -=-， 整理得到3144BD BA BC =+，两边平方后有22291316168BD BA BC BA BC =++⋅， 所以22913216168BA BC BA BC =++⋅即2291312||||161684BA BC BA BC =++⋅⨯， 整理得到2233292BA BC BA BC =++⋅， 设,c BA a BC ==，所以()22239329322c a ac c a ac =++=+-，因为2933332222ac a c a c ⨯⨯+⎛⎫=≤⨯ ⎪⎝⎭，所以()()()()2222935323333288c a ac c a c a c a =+-≥+-+=+，832165355c a ⨯+≤=，当且仅当855a =，8515c =时等号成立， 故填1655. 【点睛】三角形中可根据点分线段成比例得到向量之间的关系，从而得到所考虑的边的长度之间的关系.三角形中关于边的和的最值问题，可通过基本不等式来求，必要时需代数变形构造所需的目标代数式.16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，12,A A 是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点(1,2)i P i =，使得120i i PA PA ⋅=，则双曲线离心率的取值范围是____________.【答案】5122⎫⎪⎪⎭，【解析】根据120i i PA PA ⋅=，1,2i =可得以12A A 为直径的圆与线段BF 有两个交点（不含端点），从而得到,,a b c 满足的不等式组，从这个不等式组可求离心率的取值范围. 【详解】设c 为半焦距，则(),0F c ，又()0,B b ， 所以:0BF bx cy bc +-=， 以12A A 为直径的圆的方程为O ：222x y a +=，因为120i i PA PA ⋅=，1,2i =， 所以O 与线段BF 有两个交点（不含端点），所以ab a<>⎩即422422302c a c a c a ⎧-+<⎨>⎩，故4223102e e e ⎧-+<⎨>⎩，12e <<.故填⎭. 【点睛】圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组．三、解答题17．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2212n n n S a a n *+=+∈N．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知对于N n *∈，不等式1231111nM S S S S ++++<恒成立，求实数M 的最小值；【答案】（1）12n n a +=；（2）229. 【解析】（1）利用1n n n S S a --=可得关于{}n a 的递推关系，整理得到112n n a a --=，从而{}n a 为等差数列，利用公式可求其通项. （2）利用等差数列的前n 项和的公式得到()34n n n S +=，故141133nS n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用裂项相消法可求1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和后可求其该和的范围为221,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭，从而可求M 的最小值. 【详解】（1）1n =时，2111212a a a +=+，又0n a >，所以11a =，当2n ≥时，()2212n n n S a a n *+=+∈N()2111212n n n S a n a --*-+=+∈N ，作差整理得：()()1112n n n n n n a a a a a a ---+=+-， 因为0n a >，故10n n a a ->+，所以112n n a a --=， 故数列{}n a 为等差数列，所以12n n a +=． （2）由（1）知()34n n n S +=，所以()14411333nS n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 从而1231111nS S S S ++++ 411111111111=134253621123n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦411111411111221323123361239n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=++---=---< ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭． 所以229M ≥，故M 的最小值为229．【点睛】数列的通项{}n a 与前n 项和n S 的关系式11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，我们常利用这个关系式实现{}n a 与n S 之间的相互转化. 数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.18．如图所示，在棱台1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，1112224CD AB BC AA A B ====，90ABC BCD ∠=∠=︒（1）求证：11A D BC ⊥； （2）求二面角1C A D A --的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）3π. 【解析】（1）连接1AD ，推得四边形11ABC D 是平行四边形，得到11//BC AD ，进而求得11A D AD ⊥，即可求解；（2）在直角梯形ABCD 中，得到AC AD ⊥，进而推得1AA D ∆为1CA D ∆在平面11AA D D 内的射影三角形，利用射影面积法，即可求解.【详解】（1）连接1AD ，设4CD =，因为11//C D CD ，//CD AB ，所以11//C D AB ，又11AB C D =，所以四边形11ABC D 是平行四边形，则11//BC AD ， 在底面ABCD 中，4CD =且22CD AB BC ==，所以2,2AB BC ==，又由90ABC BCD ∠=∠=︒，可得22AD =， 又由1144CD A B ==，所以111A B =，所以112A D =因为1AA ⊥平面ABCD ，所以1AA AD ⊥，同理可得111AA A D ⊥， 在直角1DA A ∆中，可得11tan 2ADDA A AA ∠==，所以145DA A ∠=， 在直角11D AA ∆中，可得111112tan 2AA A D D AA =∠=，所以1145D AA ∠=， 所以111tan 90DA A D AA ∠+∠=，所以11A D AD ⊥， 所以11A D BC ⊥；（2）在直角梯形ABCD 中，由22CD AB BC ==，可得AC AD ⊥， 又1AC A A ⊥，所以AC ⊥平面11AA D D ，故1AA D ∆为1CA D ∆在平面11AA D D 内的射影三角形， 设4CD =，则122AA D S ∆=，142CA D S ∆=， 设二面角1C A D A --的平面角为θ，则112222m 1cos 242mAA D CA DS S θ∆∆===， 又因为二面角1C A D A --为锐二面角，所以3πθ=.【点睛】本题主要考查了直线与直线垂直的判定，以及二面角的求解，其中解答中熟练应用面积射影法求解二面角是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 19．2019年4月，甲乙两校的学生参加了某考试机构举行的大联考，现对这两校参加考试的学生的数学成绩进行统计分析，数据统计显示，考生的数学成绩X 服从正态分布(110,144)N ，从甲乙两校100分及以上的试卷中用系统抽样的方法各抽取了20份试卷，并将这40份试卷的得分制作成如图所示的茎叶图：（1）试通过茎叶图比较这40份试卷的两校学生数学成绩的中位数；（2）若把数学成绩不低于135分的记作数学成绩优秀，根据茎叶图中的数据，判断是否有90%的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在有关？（3）从所有参加此次联考的学生中（人数很多）任意抽取3人，记数学成绩在134分以上的人数为ξ，求ξ的数学期望．附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(2P X μσμ-<≤+2)0.9544σ=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤．参考公式与临界值表：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）甲131.5，乙128.5；（2）没有90％的把握；（3）0.0684. 【解析】（1）由茎叶图的中位数计算即可；（2）得2×2列联表，再根据表中数据计算K 2，结合临界值表可得； （3）因为~(110,144)X N ，所以10.9544(134)0.02282P X ->==，,由题意可知~(3,0.0228)B ξ，计算E ξ即可.【详解】（1）由茎叶图可知：甲校学生数学成绩的中位数为128135131.52+=，乙校学生数学成绩的中位数为128129128.52+=，所以这40份试卷的成绩，甲校学生数学成绩的中位数比乙校学生数学成绩的中位数高． （2）由题意，作出22⨯列联表如下：计算得2K的观测值240(1013107)0.9207 2.70620201723k⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有9000的把握认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在有关．（3）因为~(110,144)X N ，所以110μ=，12σ=， 所以(86134)0.9544P X <≤=，所以10.9544(134)0.02282P X ->==， 由题意可知~(3,0.0228)B ξ，所以30.02280.0684E ξ=⨯=．【点睛】本题考查了茎叶图的中位数，独立性检验和正态分布与二项分布的综合，属于中档题. 20．已知抛物线24y x =，过点()8,4P -的动直线l 交抛物线于A ，B 两点 （1）当P 恰为AB 的中点时，求直线l 的方程；（2）抛物线上是否存在一个定点Q ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点Q ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）12y x =-；（2）见解析 【解析】（1）利用点差可求12AB k =-，从而得到直线l 的方程. （2）设200,4y Q y ⎛⎫⎪⎝⎭，设()():840l y k x k =--≠，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和抛物线方程后消元可得2432160ky y k ---=，利用0QA QB ⋅=及韦达定理可以得到()()20016440y k y -+-=恒成立，故求得()4,4Q .【详解】（1）设A ，B 两点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，当P 恰为AB 的中点时， 显然12x x ≠，故1212124AB y y k x x y y -==-+，又128y y +=-，故12AB k =-则直线l 的方程为12y x =-（2）假设存在定点Q ，设200,4y Q y ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线l 斜率存在时，设()():840l y k x k =--≠，()11,A x y ，()22,B x y ，联立()24,84y x y k x ⎧=⎪⎨=--⎪⎩整理得2432160ky y k ---=，>0∆，124y y k+=，121632y y k =--，由以弦AB 为直径的圆恒过点Q 知0QA QB ⋅=，即()()2200121020044y y x x y y y y ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即()()2222001210204444y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()102010201016y y y y y y y y ++⎡⎤+--=⎢⎥⎣⎦故()()102016y y y y ++=-，即()2120120160y y y y y y ++++=整理得()()20016440y k y -+-=即当04y =时，恒有0QA QB ⋅=，故存在定点()4,4Q 满足题意；当直线l 斜率不存在时，:8l x =，不妨令(8,A ，(8,B -，()4,4Q ，也满足0QA QB ⋅=综上所述，存在定点()4,4Q ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点Q 【点睛】圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 21．已知函数()e x f x ax b =--.（其中e 为自然对数的底数） （1）若()0f x ≥恒成立，求ab 的最大值；（2）设()ln 1g x x =+，若()()()F x g x f x =-存在唯一的零点，且对满足条件的,a b不等式e 1)-+≥（ma b 恒成立，求实数m 的取值集合. 【答案】（1）2e；（2）{}1-． 【解析】（1）就0,0,0a a a <=>三种情况利用导数讨论()f x 的单调性及其相应的最小值后可得：0a =时，0b ≤成立，0a >时，ln b a a a ≤-成立，对后一种情况构建新函数()22ln h a a a a =-，利用导数可求()h a 的最大值即可.（2）求出()F x '，它是一个减函数且值域R ，故()F x '存在唯一的零点0x ，再由题设条件可以得到()00F x =，()00F x '=，用0x 表示,a b 后可把不等式()1m a e b -+≥化为()()00001ln 10x mx m ex m e x +-+-+-+≥，构建新函数()()()1ln 1x mk x x m e x m e x=+-+-+-+，就0,0m m ≤>两类情况利用导数讨论函数的单调性后可得实数m 的取值，注意后者的进一步讨论以m -与1的大小为分类标准. 【详解】（1）()xg x e a '=-，当0a <时，()0g x '>，()g x 在R 上单调递增，取1min 0,b m a -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， 当0x m <时，()000010xg x e ax b ax b =--<-+-<矛盾；当0a =时，()xg x e b b =->-，只要0b -≥，即0b ≤，此时0ab =； 当0a >时，令()0g x '>，ln x a >，所以()g x 在()ln ,a +∞单调递增，在(),ln a -∞单调递减，()()ln ln g x g a a a a b ≥=--，所以ln 0a a a b --≥，即ln b a a a ≤-， 此时22ln ab a a a ≤-，令()22ln h a a a a =-，()()2122ln 12ln h a a a a aa a a'=--=-，令()0h a '=，a =当(a ∈，()0h a '>，()h a 在(上为增函数；当)a ∈+∞，()0h a '<，()h a 在)+∞上为减函数．所以()1122h a he e e ≤=-=，所以2e ab ≤，故ab 的最大值为2e．（2）()1xFx e a x'=-+在()0,∞+单调递减且()F x '在()0,∞+的值域为R ， 设()F x 的唯一的零点为0x ，则()00F x =，()00F x '=，即00000ln 1010x x x e ax b e a x ⎧+-++=⎪⎨-+=⎪⎩ 所以01x a e x =-，()001ln xo b x e x =--， 由()1m a e b -+≥恒成立，则()00000111ln x x m e e x e x x ⎛⎫--+≥-- ⎪⎝⎭，得()()00001ln 10xmx m e x m e x +-+-+-+≥在()0,∞+上恒成立． 令()()()1ln 1xmk x x m e x m e x=+-+-+-+，()0,x ∈+∞， ()()()2211x x m k x x m e x m e x x x '⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭． 若0m ≥，()0k x '>，()k x 在()0,∞+上为增函数，注意到()10k =，知当()0,1x ∈时，()0k x <，矛盾；当(),x m ∈-+∞时，()0k x '>，()k x 为增函数，若01m <<-，则当()1,x m ∈-时，()0k x '<，，()k x 为减函数， 所以()1,x m ∈-时，总有()()10k x k <=，矛盾；若01m <-<，则当(),1x m ∈-时，()0k x '>，，()k x 为增函数， 所以(),1x m ∈-时，总有()()10k x k <=，矛盾；所以1m -=即1m =-，此时当()1,x ∈+∞时，()0k x '>，()k x 为增函数，， 当()0,1x ∈时，()0k x '<，()k x 为减函数，而(1)0k =， 所以()F x 有唯一的零点. 综上，m 的取值集合为{}1- ． 【点睛】含参数的函数不等式的恒成立问题，可以导数为工具讨论新函数的单调性从而得到新函数的最值，最后由最值的正负得到不等式成立.也可以考虑参变分离的方法，把问题归结为不含参数的函数的值域问题.函数的零点问题，可利用导数讨论函数的单调性，再结合函数已有的零点来讨论参数的取值.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为22312sin ρθ（1）求曲线E 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，求线段AB 的长 【答案】（1）2213x y +=；（2 【解析】（1）利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线E 的直角坐标方程.（2）直线l 的参数方程代入曲线E 的直角坐标方程，消元后利用韦达定理可求AB 的长.【详解】（1）E 的方程可化为2222sin 3ρρθ+=，将222x y ρ=+，sin y ρθ=，代入其中得2233x y +=，所以曲线E 的直角坐标方程为2213x y +=. （2）直线l 过定点()1,0P，将直线l 的参数方程代入曲线E 的直角坐标方程得2340t+-=，123t t +=-，1243t t =-， 所以12AB t t=-3==. 【点睛】 极坐标方程与直角方程的互化，关键是cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，必要时须在给定方程中构造cos ,sin ρθρθ．直线的参数方程有很多种，如果直线的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（其中t 为参数），注意t 表示直线上的点(),P x y 到()00,P x y 的距离，我们常利用这个几何意义计算直线上线段的长度和、差、积等．23．已知函数()211f x x x =--+.（1）解不等式()4f x ≤；（2）记函数()31y f x x =++的最小值为m ，正实数a ，b 满足3m a b +=，求证241log 2a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭. 【答案】（1）[]2,6-；（2）证明见解析.【解析】（1）化简函数()2,112113,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪=--+=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，分段求解不等式，即可求解.（2）利用绝对值三角不等式求出最小值m ，再利用基本不等式，即可证得结论.【详解】（1）由题意，函数()2,112113,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪=--+=--≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩， 因为()4f x ≤，可得241x x -+≤⎧⎨<-⎩或34112x x -≤⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩或2412x x -≤⎧⎪⎨>⎪⎩， 解得21x -≤<-或112x ≤≤-或162x <≤，26x -≤≤， 所以26x -≤≤，即不等式的解集为[2,6]-.（2）由()()31212221223f x x x x x x ++=-++≥--+=当且仅当()()21220x x -+≤取等号，所以3,1m a b =+=， 所以()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4b a a b =时，即21,33a b ==等号成立，所以3341log log 92a b ⎛⎫+≥= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的解法，以及合理应用绝对值的三角不等式求解最值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.。
江西省抚州市临川第一中学2021届高三下学期5月高考模拟考试数学(理)试题含答案
2021年临川一中高三模拟考试试题理科数学一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定为（）A．∀x∉R，x2≥0B．∀x∈R，x2＜0C．∃x∈R，x2≥0D．∃x∈R，x2＜0 3．已知集合A＝{1，2}，集合B＝{0，2}，设集合C＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，则下列结论中正确的是（）A．A∩C＝∅B．A∪C＝C C．B∩C＝B D．A∪B＝C4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行B．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交、平行或异面C．若m⊥α，l∥α，则直线m与n一定垂直D．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则直线m与n一定平行5．已知向量，满足||＝1，＝（1，﹣2），且|+|＝2，则cos＜，＞＝（）A．B．C．D．6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“b cos A﹣c＜0”是“△ABC为锐角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，且直线x＝﹣（c是双曲线的半焦距）与抛物线y2＝4x的准线重合，则此双曲线的方程为（）A．＝1B．＝1C．＝1D．＝18．《算数书》是我国现存最早的系统性数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈L 2h ．用该术可求得圆率π的近似值．现用该术求得π的近似值，并计算得一个底面直径和母线长相等的圆锥的表面积的近似值为27，则该圆锥体积的近似值为（ ） A ．B ．3C ．3D ．99．已知ππ3sin()sin()66αα-=+，则cos2α=A ．17B ．17-C ．1113D ．1113-10.“六艺”源于中国周朝的贵族教育体系,具体包括“礼､乐､射､御､书､数”为弘扬中国传统文化,某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识竞赛活动,现有六位同学,每位同学准备了六艺”中的一类相关知识,且各不相同,每位同学随机从这六类知识中抽取不同的一项参加回答,则恰有三位同学抽到自己准备的知识的概率为1.18A 2.15B1.6C1.4D11．已知函数222()131xx f x x =-++.若存在(1,4)m ∈使得不等式 2(4)(3)2f ma f m m -++>成立,则实数a 的取值范围是A ．(,7)-∞B ．(,7]-∞C ．(,8)-∞D ．(,8]-∞ 12．设a ，b ∈R ，函数f （x ）＝若函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b恰有3个零点，则（ ） A ．a ＜﹣1，b ＜0B ．a ＜﹣1，b ＞0C ．a ＞﹣1，b ＜0D ．a ＞﹣1，b ＞0 二、填空题：（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．二项式（﹣）6的展开式中，常数项为 ．14．已知椭圆C 1：＝1与双曲线C 2：＝1（m ＞0，n ＞0）有相同的焦点F 1，F 2，且两曲线在第一象限的交点为P ，若PF 2⊥F 1F 2，且a ＝2b ，则双曲线C 2的离心率为 ．15．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f （x ）＝x 2，若对任意的x ∈[t ，t +2]，不等式f （x +t ）≥2f （x ）恒成立，则实数t 的取值范围是 ． 16．一个组合体上部分是一个半球，下部分是一个圆柱，半球的底面与圆柱的上底面重合．若该组合体的体积为V ，则当圆柱底面半径 r = 时，该组合体的表面积最小．二、解答题：共70分。
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临川一中2013届高三数学压轴卷（理科）卷面满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数 ,1i z -=则=+z z1A.i 2321+B.i 2321- C.i 2323- D.i 2123- 2．已知函数)1lg()(2+=x x f 的值域为M ，函数⎪⎩⎪⎨⎧<>=1,2,3)(3x x x x g x 的定义域为N ，则M N =IA. )1,0[B. (2,)+∞C. [)+∞,0D. [)),2(1,0+∞Y3．若C C n n 62=，32102a x dx =⎰，二项式nxa x )1(3-的展开式中常数项是A ．28-B ．7-C ．7D ．284．关于直线,,a b l 以及平面βα,，下面命题中正确的是 A ．若,//,//βαb a 则.//b aB ．若,,//a b a ⊥α则.α⊥bC ．若,//,βαa a ⊥则.βα⊥D ．若βα⊂⊂b a ,，且,//,b l a l ⊥，则.α⊥l5．右图的程序框图输出结果i=A ．6B ．7C ．8D ．96．若方程22(2cos )(2sin )1(02)x y θθθπ-+-=≤≤的任意一组解(,)x y 都满足不等式x y ≤，则θ的取值范围是 A.5[,]44ππB.513[,]1212ππ C.7[,]46ππ D.77[,]126ππ 7.在四棱锥ABCD P -中，)3,2,4(-=→AB ，)0,1,4(-=→AD ，)8,2,6(--=→AP ，则这个四棱锥的高=hA. 1B. 2C. 13D. 26开始S=0，i =0S=S+2i -1S ≥20 i =i +2结束输出i否是8.设)(n G 表示正整数n 的个位数，),()(2n G n G a n -=则数列}{n a 的前2013项的和为 A. 0 B. 2 C. 6 D. 8 9.下列命题中，正确命题的个数是①命题“x R ∃∈，使得013<+x ”的否定是“x R ∀∈，都有013>+x ”.②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 中，F 为右焦点，A 为左顶点，点),0(b B 且0=⋅→→BF AB ，则此双曲线的离心率为215+. ③将9个人（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分法的种数为70种.④已知,a b r r 是夹角为120o的单位向量，则向量a b λ+r r 与2a b -r r 垂直的充要条件是45=λ.A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个10.如图，给定等边三角形ABC,当正方形PQRS 三个顶点P 、Q 、R 分别在三边AB 、BC 、CA 上移动时，另一点S 的轨迹是A . 抛物线的一部分B .圆的一部分C . 椭圆的一部分 D.线段二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11.设点),(y x P 在以)1,2()2,1()0,1(C B A 、、三点构成的三角形区域（包含边界）内，则xy 的最大值为 .12.已知三次函数)(x f y =有三个零点321,,x x x ，且在点))(,(i i x f x 处的切线的斜率为)3,2,1(=i k i .则=++321111k k k . 13.已知数列{}n a 满足11log (1)n n a a n ==+，*2()n n N ≥∈，.定义：使乘积12a a ⋅⋅…k a ⋅为正整数的*()k k N ∈叫做“积整数”.则在]2013,1[内所有“积整数”的和为 .14.椭圆191622=+y x 的内切圆为922=+y x ，圆的一条不与x 轴垂直的切线与椭圆交于点B A 、，且切线AB 与圆的切点Q 在y 轴右侧，F 为椭圆的右焦点，则ABF ∆的周长为 .三、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按所做的第一题评阅计分.本题共5分.请把答案填在答题卡上.第（10）题图15A ．（极坐标与参数方程选讲选做题） 在极坐标系中，点)3,2(π到圆θρcos 2=的圆心的距离为 .15B ．（不等式选讲选做题）已知集合{},),0(,14,1143⎭⎬⎫⎩⎨⎧+∞∈+=∈=≤-++∈=t tt x R x B x x R x A 则 集合B A I =________.四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分） 已知函数)42tan()(π+=x x f .（1）求()f x 的最小正周期和单调增区间； （2）设)2,4(ππα∈，若()2cos 2,2f αα=求α的大小.17．（本小题满分12分）已知正方形ABCD 的边长为2，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点． （1）在正方形ABCD 内部随机取一点P ，求满足2<PE 的概率；（2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离的平方．．为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ．18.（本小题满分12分）如图是三棱柱111C B A ABC -的三视图，正（主）视图和俯视图都是矩形，侧（左）视图为等边三角形，D 为AC 的中点.正（主）视图俯视图侧（左）视图(1)求证：1AB ∥平面1BDC ；(2)设1AB 垂直于1BC ，求二面角C BC D --1的大小. 19.（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的首项20131=a ，公比21-=q ，数列{}n a 前n 项的积．记为n T . （1）求使得n T 取得最大值时n 的值；（2）证明{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为n d d d d ,,,321⋅⋅⋅，求数列{}n d 的通项公式. （参考数据1021024=）20.（本小题满分13分）已知抛物线)0(22>=p py x ，直线062=+-y x 截抛物线C 所得弦长为58.(1)求抛物线的方程；(2)已知B A 、是抛物线上异于原点O 的两个动点，记),90(ο≠=∠ααAOB 若,tan αm S AOB =∆试求当m 取得最小值时αtan 的最大值;(3)设抛物线的内接RST ∆的重心为焦点F ,试探求222→→→++FT FS FR 是否为定值?若是，求出该定值，若不是，请说明理由.21．（本小题满分14分）已知函数)0(),1ln()(>+=k xkx x f 在1=x 处取得极小值. (1)求k 的值；(2)若()f x 在))21(,21(f 处的切线方程为)(x g y =，求证：当0>x 时，曲线)(x f y =不可能在直线)(x g y =的下方；(3)若),,1(,0*∈≤≤>N n n i m i 且121=+⋅⋅⋅++n m m m ，试比较)1()1)(1(2211n n m m m m m m +⋅⋅⋅++与nn n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+12的大小，并证明你的结论.临川一中2013届高三数学压轴卷（理科）参考答案及评分标准一．选择题.D D C C C B B D C D10.解析：设,,,,θ=∠===RQC r QR x QC a BC由正弦定理，.)30sin(60sin ,)60sin(60sin 0000θθ+-=+=xa r x r 结合等比性质，.)60sin()30sin(60sin 000θθ+++=a r a r SQC QS 233)45sin(2sin 0-=+=∠∴θ （定值）所以所求轨迹为线段 .（2）填空题. 11.4912. 0 13. 2036 14.8 15(A)3 (B)[4,6]14.解析：,479,4742222x y x OQ AO AQ x AF =-+=-=-=故,4=+AQ AF 同理8,4=∴=+∆ABF C BQ BF 三．解答题16.（Ⅰ）由()tan(2),4f x x π=+得()f x 的最小正周期为2π.....2分 令2422πππππ+<+<-k x k 得82832ππππ+<<-k x k 所以函数()tan(2),4f x x π=+的单调增区间为)(82,832Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛+-ππππ...............6分 （Ⅱ）由()2cos 2,2f αα=得tan()4πα+2cos 2,α=即22sin()42(cos sin )cos()4παααπα+=-+, 整理得:sin cos 2(cos sin )(cos sin )cos sin αααααααα+=-+-,因为sin cos 0αα+≠,所以可得21(cos sin )2αα-=,解得1sin 22α=,...............10分由)2,4(ππα∈得),2(ππα∈,所以πα652=,πα125=..........12分 17解：（1）这是一个几何概型．所有点P 构成的平面区域是正方形ABCD 的内部，其面积是224⨯=．…………………………………………1分满足2<PE 的点P 构成的平面区域是以E 为圆心，2为半径的圆的内部与正方形ABCD 内部的公共部分，它可以看作是由一个以E 为圆心、2为半径、圆心角为3π的扇形的内部与两个直角边分别为1和3的直角三角形内部构成． …………………………………2分其面积是3323121223212+=⨯⨯⨯+⨯⨯ππ．………………4分 所以满足2<PE 的概率为.4364332+=+ππ…………………………………5分（2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，任意选取两个点，共可构成28C 28=条不同的线段． ………………………………6分其中长度为1的线段有84条，长度为2的线段有6条，长度为的线段有8条，长度为的线段有2条．所以ξ所有可能的取值为8,5,4,2,1．……………………7分且72288)1(===ξP ， 71284)2(===ξP ， 143286)4(===ξP ，72288)5(===ξP ， 141282)8(===ξP ． ………………………………9分所以随机变量ξ的分布列为：随机变量ξ的数学期望为.72414187251434712721=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………………………12分18.……10分(1)由三视图画出直观图，如图，这是一个正三棱柱，连接1BC 和C B 1，交点为O ,则O 为C B 1的中点，连接OD ,因为D 为中点，所以111111////BDC AB BDC AB BDC OD AB OD 平面平面平面⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂,……………………6分(2)过D 作BC DG ⊥,垂足为G ,连接GO ，因为侧面垂直于底面，所以11B BCC DG 侧面⊥，所以OD 在11B BCC 侧面内的射影为GO ，因为⊥1AB 1BC ，所以DO BC ⊥1,又DG BC ⊥1,D DO DG =I ，所以1BC ⊥DOG 平面,所以GO BC ⊥1,所以DOG ∠就是所求的二面角的平面角 (10)分取BC 中点F ，连接OF AF ,,则有,,BC AF BC OF ⊥⊥在直角三角形BOG 中，BG OF ⊥,所以BC BC BC 43G O ,4341G B G F G O 2=⨯=⋅=,BCAF D 4321G ==, 故在直角三角形DGO 中，ο45,=∠=DOG OG DG ,即所求的二面角的大小为45o …12分 19.解：（1），n n a a a a T ⋅⋅⋅=321Θ，n n nn a T T )21(201311==∴++，101122013122013<<Θ，则当10≤n 时，n n T T >∴+1；当11≥n 时，n n T T <∴+1，11max T T n =∴，又,0,0,0,01291110>><<T T T Tn T ∴的最大值是129,T T 中的较大者.1)21(2013310121110912>⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==a a a T T Θ，,912T T >∴，因此当n=12时，n T 最大.........................6分（2）对1,n n a a +进行调整，||n a 随n 增大而减小，{}n a 奇数项均正，偶数项均负. ①当n 是奇数时，调整为12,,n n n a a a ++.则1111111()()222n n n n n a a a a a -++=-+-=，1121122()22n n n a a a ++=-=， 12122,,,n n n n n n a a a a a a ++++∴+=成等差数列；②当n 是偶数时，调整为21,,n n n a a a ++；则1111111()()222n n n n n a a a a a -++=-+-=-，1121122()22n n n a a a ++=-=-， 12212,,,n n n n n n a a a a a a ++++∴+=成等差数列；综上可知，{}n a 中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列.①n 是奇数时，公差112111311[()()]222n n n n n n ad a a a ++++=-=---=； ②n 是偶数时，公差111211311[()()]222n n n n n n ad a a a +-++=-=---=. 无论n 是奇数还是偶数，都有1132n n a d +=，则112n n d d -=，因此，数列{}n d 是首项为134a ，公比为12的等比数列,160392n n d +=..................12分（20）解：（1）联立0124062222=--⇒⎩⎨⎧=+-=p px x y x py x ，048162>+=∆p p.158481621124222121=⇒=++=⇒⎩⎨⎧-==+p p p MN px x px x y x C 2:2=∴..................................................4（分）8.,tan αm S AOB=∆Θ.21,cos sin sin 21→→⋅=⇒=∴OB OA m m OB OA ααα.......5（分）设)0,4(),2,(),2,(21222211-≠x x xx B x x A 则),4(21222121x x x x m +=令)0,4(21-≠=t x x t],4)2[(81)4(2122-+=+=t t t m 当2-=t 时，.21min -=m 此时,221-=x x ...................8（分）不妨设1>x 则22)2(221221)tan(tan 11121212-≤+-=+-=+-=-=x x x x x x k k k k OAOB OA OB θθα(其中21,θθ为直线OB OA ,的倾斜角)当且仅当112x x =，即21=x 时等号成立. 故当21min -=m 时，αtan 的最大值为22-....................10（分） （3）答：222→→→++FT FS FR 为定值.827证明如下：...................11（分） 设),,(),,(),,(T T S S R R y x T y x S y x R 三角形RST 的重心为焦点)21,0(F ，23,0=++=++T S R T S R y y y x x x ，由对称性，不妨设0,0,<≥T S R x x x ， ),,(22T S R i y x i i ==则)1()43(230222232⋅⋅⋅-+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++SR S R T S RT S RT S R T S R y y y y yy y y y y y y y y y y 由23=++T S R y y y 知， )2()(23)(2249)(249222⋅⋅⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--=++-=++S R S R S R T R T S S R T S R y y y y y y y y y y y y y y y 将（1）代入（2）得89222=++T S R y y y ，则8274943212121222222222222=+++=++++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++→→→T S R T S R T S R T S R y y y y y y y y y y y y FT FS FR................13（分）21解：（1）)1(1)(22+-='kx x kx x f ，由已知得.1011)1(=⇒=+-='k k k f ................3分 当1=k 时)1(1)(22+-='x x x x f ，此时)(x f y =在)1,0(单调递减，在),1(+∞单调递增......4分7．)1(1)(22+-='x x x x f ,56)21(-='=f k ,)(x f y =在)25ln ,21(的切线方程为)21(5625ln--=-x y ，即25ln 5356)(++-==x x g y ...............................6分当0>x 时，曲线)(x f y =不可能在直线)(x g y =的下方⇔)()(x g x f ≥在),0(+∞恒成立，令25ln 5356)1ln()()()(--++=-=x x x x g x f x ϕ，)(5)1086)(21()(32x x x x x x +++-='ϕ 当0)(),,21(,0)(),21,0(>'+∞∈<'∈x x x x ϕϕ，0)21()(min ==ϕϕx ，即0)(≥x ϕ)()(x g x f ≥在),0(+∞恒成立，所以当0>x 时，曲线)(x f y =不可能在直线)(x g y =的下方.............................................9分（3）n n i i in n m m )1()1(1+≥+∑=....................10分先求)(x f y =在))1ln(,1(n n n +处的切线方程，.1)1(23n n n n f +-='故)(x f y =在))1ln(,1(nn n +的切线方程为)1(1)1ln(23n x n n n n n y -+-=+-，即)1ln(1112223nn n n x n n n y +++--+-=，下先证明)1ln(111)(2223n n n n x n n n x f +++--+-≥，令)0)(1ln(111)1ln()(2223>+-+-++--+=x n n n n x n n n x x x h )1)((]2))[(1()(233223+++++--='n x x n n x n x n n n x x h ， 当0)(),,1(,0)(),1,0(>'+∞∈<'∈x n x x n x ϕϕ，0)1()(min ==nx ϕϕ)1ln(111)(2223nn n n x n n n x f +++--+-≥∴),,1(,0*∈≤≤>N n n i m i Θ)1ln(111)1ln(2223n n n n m n n n m m i i i +++--+-≥+∴3222111111ln()ln()ln()11nni ii i i n n n m m n n n n n m n n n n ==--∴+≥-++=+++∑∑nni i i nn m m )1()1(1+≥+∴∑=.......................14分。