2019届高考数学一轮复习第1讲数系的扩充与复数的引入学案(无答案)文

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2019届高三数学(理)人教版一轮课件：第十一篇第1节数系的扩充与复数的引入(33)

2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
27
(2)(2017·山东卷)已知 a∈R,i 是虚数单位.若 z=a+ 3 i,z· z =4,则 a 等于( )
(A)1 或-1 (C)- 3
(B) 7 或- 7 (D) 3
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
15
4.(2017·河北唐山二模)设复数 z 满足 z 1 =1-3i,则|z|等于( B )
z2
(A)5 (C)2
(B) 5 (D) 2
解析:由 z 1 =1-3i,得 z+1=z-2-3zi+6i,即 z=2+i,则|z|= 5 .故选 B. z2
点或向量表示,并能将复平面上的点或
向量所对应的复数用代数形式表示.
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
4
知识梳理自测考点专项突破
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
5
知识梳理自测
把散落的知识连起来
【教材导读】 1.复数的几何意义是什么? 提示:复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点Z(a,b)及平面向量=OZ (a,b)(a, b∈R)是一一对应关系. 2.复数模的几何意义是什么? 提示:复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|表示复平面内点Z(a,b)到原点O(0,0)的距离,亦即向量 OZ 的模| OZ |.
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
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(2)(2017·全国Ⅲ卷)设复数 z 满足(1+i)z=2i,则|z|等于( )
(A) 1 2
(B) 2 (C) 2 (D)2 2

高考数学一轮复习作业数系的扩充与复数的引入北师大版

数系的扩充与复数的引入一、选择题1．(2021·新高考卷Ⅰ)已知z ＝2－i,则z (z ＋i)＝( ) A ．6－2i B ．4－2i C ．6＋2iD ．4＋2iC [因为z ＝2－i,所以z (z ＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i,故选C ．] 2．(2021·浙江高考)已知a ∈R ,(1＋a i)i ＝3＋i(i 为虚数单位),则a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－3D ．3C [法一：因为(1＋a i)i ＝－a ＋i ＝3＋i,所以－a ＝3,解得a ＝－3．故选C ．法二：因为(1＋a i)i ＝3＋i,所以1＋a i ＝3＋ii ＝1－3i,所以a ＝－3．故选C ．]3．(2019·全国卷Ⅱ)设z ＝－3＋2i,则在复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [∵z ＝－3＋2i,∴z ＝－3－2i,∴在复平面内,z 对应的点为(－3,－2),此点在第三象限．] 4．(1－i)4＝( )A ．－4B ．4C ．－4iD ．4i A [(1－i)4＝(－2i)2＝－4,故选A ．]5．若复数z ＝a1＋i ＋1为纯虚数,则实数a ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 A [因为复数z ＝a1＋i＋1＝a 1－i1＋i1－i＋1＝a ＋22－a2i,∵z 为纯虚数,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋22＝0，－a 2≠0，∴a ＝－2．] 6．已知1－i2z＝1＋i(i 为虚数单位),则复数z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－iD [由题意,得z ＝1－i21＋i ＝－2i1＋i＝－1－i,故选D ．] 7．已知z ＝a ＋i2 021,且|z ＋i|＝3,则实数a 的值为( )A ．0B ．1C ．± 5D ． 6 C [∵z ＝a ＋i2 021＝a ＋i,∴|z ＋i|＝|a ＋2i|＝a 2＋4＝3．∴a ＝±5,故选C ．]8．设复数z 1,z 2在复平面内对应的点关于实轴对称,z 1＝2＋i,则z 1z 2＝( ) A ．1＋i B ．35＋45i C ．1＋45iD ．1＋43iB [因为复数z 1,z 2在复平面内对应的点关于实轴对称,z 1＝2＋i,所以z 2＝2－i,所以z 1z 2＝2＋i 2－i ＝2＋i 25＝35＋45i,故选B ．] 二、填空题9．设复数z 满足z ＝|1－i|＋i(i 为虚数单位),则复数z ＝________． 2－i [复数z 满足z ＝|1－i|＋i ＝2＋i,则复数z ＝2－i ．]10．已知i 是虚数单位,则复数z ＝(1＋i)(2－i)的实部是________,虚部是________． 3 1 [z ＝(1＋i)(2－i)＝3＋i,故实部是3,虚部是1．]11．－3＋2i 是方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根,且p ,q ∈R ,则p ＋q ＝________． 38 [由题意得2(－3＋2i)2＋p (－3＋2i)＋q ＝0, 即2(5－12i)－3p ＋2p i ＋q ＝0, 即(10－3p ＋q )＋(－24＋2p )i ＝0,所以⎩⎪⎨⎪⎧10－3p ＋q ＝0，－24＋2p ＝0.所以p ＝12,q ＝26,所以p ＋q ＝38．]12．已知复数z ＝4＋2i1＋i2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上,则m ＝________．－5 [z ＝4＋2i 1＋i 2＝4＋2i2i ＝4＋2i i2i2＝1－2i,复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,－2),将其代入x －2y ＋m ＝0,得m ＝－5．]1．若(1－m i)(m ＋i)＜0,其中i 为虚数单位,则m 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．－4A [因为(1－m i)(m ＋i)＝2m ＋(1－m 2)i ＜0,所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＜0，1－m 2＝0，解得m ＝－1,故选A ．]2．(2021·合肥质检)欧拉公式e i θ＝cos θ＋isin θ把自然对数的底数e,虚数单位i,三角函数cos θ和sin θ联系在一起,充分体现了数学的和谐美,被誉为“数学的天桥”,若复数z 满足(e i π＋i)·z ＝i,则|z |＝( )A ．1B ．22 C ．32D ． 2 B [由题意知e i π＝cos π＋isin π＝－1． ∴z ＝i －1＋i ＝i －1－i －1＋i －1－i ＝12－12i,∴|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22,故选B ．]。

2019届高三数学第一轮复习(文)第1讲数系的扩充与复数的引入

B.－1 D．0
所以 m＝1.故选 A. (教材习题改编)设 x，y∈R，若(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋(2y＋1)i，则复数 z＝x＋ yi 在复平面上对应的点位于( A．第一象限 C．第三象限解析：选 D.由题意得所以 x＝4，y＝－2，所以复数 z＝4－2i 在复平面上对应的点位于第四象限，故选 D. (教材习题改编)复数 A．2＋i C．－2＋i 解析：选 B. －5 的共轭复数为( i－2 B.2－i D．－2－i －5 5（2＋i） 5 5（2＋i）＝＝＝＝2＋i. 2 － i 5 i－2 （2－i）（2＋i） ) ) B.第二象限 D．第四象限 x＋y＝2x＋3y， y－1＝2y＋1，
框图
能绘制简单实际问题的流程图，了解流程图在解决实际问题中的作用．会运用结构图梳理已学过的知识，整理收集到的资料信息. 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，
合情推理与演绎推理
了解合情推理在数学发现中的作用．了解演绎推理的重要性；掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析
直接证明与间接证明
法和综合法的思考过程、特点．了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.
第1讲
数系的扩充与复数的引入
[学生用书 P199]
1．复数的有关概念
(1)复数的定义形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是 a，虚部是 b． (2)复数的分类复数 z＝a＋bi(a，b∈R) 实数（b＝0），虚数（b≠0） (3)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数 a＋bi 与 c＋di 共轭⇔a＝c 且 b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)复数的模 → 向量OZ的模叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝ a2＋b2(r≥0， a、b∈R)． 2．复数的几何意义 (1)复数 z＝a＋bi ―→ 复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R)． → (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) ―→ 平面向量OZ. 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；（c－di） ac＋bd bc－ad z a＋bi （a＋bi） ④除法： 1＝＝＝＋ i(c＋di≠0)． z2 c＋di （c＋di）（c－di） c2＋d2 c2＋d2 (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3∈C，有 z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2) ＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

2019年高考数学一轮复习：数系的扩充与复数的引入

2019年高考数学一轮复习：数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入1．虚数单位为i ，规定：i 2＝________，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的________仍然成立．2．复数的概念形如：a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a 叫做复数的______，b 叫做复数的__________．①当________时，复数a ＋b i 为实数； ②当________时，复数a ＋b i 为虚数；③当________且________时，复数a ＋b i 为纯虚数．3．复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )⇔ ____________，特别地，a ＋b i ＝0⇔____________.4．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与复平面上的点Z (a ，b )、平面向量OZ →都可建立____________的关系(其中O 是坐标原点)．5．在复平面内，实轴上的点都表示____________；虚轴上的点除____________外都表示____________．6．复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作________或||a ＋b i .即||z ＝||a ＋b i ＝r ＝________(r ≥0，r ∈R )．7．共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为__________，复数z 的共轭复数记作________．8．数系的扩充数集扩充的过程是：自然数集(N )→____________→____________→____________→复数集(C )．数集的每一次扩充，都使得在原有数集中能实施的运算，在新的数集中仍能进行，并且解决了在原有数集中某种运算不可实施的矛盾．9．复数的加、减、乘、除的运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则(1)z 1±z 2＝____________________________； (2)z 1·z 2＝____________________________； (3)z 1z 2＝____________________________ (z 2≠0)． 10．复数加、减法的几何意义以复数z 1，z 2分别对应的向量OZ 1→，OZ 2→为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，对角线OZ 表示的向量OZ →就是____________．z 1－z 2对应的向量是____________．自查自纠1．－1 运算律2．实部虚部 ①b ＝0 ②b ≠0 ③a ＝0 b ≠0 3．a ＝c 且b ＝d a ＝b ＝0 4．一一对应5．实数原点纯虚数 6.||za 2＋b 27．共轭复数 z8．整数集(Z ) 有理数集(Q ) 实数集(R ) 9．(1)(a ±c )＋(b ±d )i (2)(ac －bd )＋(ad ＋bc )i (3)ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d2i 10．复数z 1＋z 2所对应的向量 Z 2Z 1→若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( )A ．－2B ．2C ．－ 2 D. 2 解：复数2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，所以b ＝2.故选B .(2017·全国卷Ⅱ)3＋i1＋i＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解：由复数除法的运算法则有：3＋i1＋i＝（3＋i ）（1－i ）2＝2－i.故选D .(2017·山东)已知a ∈R ，i 是虚数单位，若z ＝a＋3i ，z ·z ＝4，则a 的值为( )A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3 D. 3 解：由z ＝a ＋3i ，z ·z —＝4得a 2＋3＝4，所以a ＝±1.故选A .(2017·江苏)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z 的模是________．解：|z |＝|(1＋i)(1＋2i)|＝|1＋i||1＋2i|＝2×5＝10.故填10.(2017·浙江)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________. 解：由题意可得a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，则a 2＋b 2＝5，ab ＝2.故填5；2.类型一复数的概念下列命题中：(1)在复数集中，任意两个数都不能比较大小； (2)若z ＝m ＋n i(m ，n ∈C )，则当且仅当m ＝0，n ≠0时，z 为纯虚数；(3)若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3； (4)x ＋y i ＝1＋i ⇔x ＝y ＝1；(5)若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集一一对应．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解：(1)当两个复数都是实数时，可以比较其大小． (2)若m ＝0，n ＝i 时，则z ＝0＋i 2＝－1∈R . (3)当z 1＝1，z 2＝0，z 3＝i 时满足条件，而结论不成立．(4)只有当x ，y ∈R 时命题才正确． (5)若a ＝0，则0·i ＝0不是纯虚数．故选A . 【点拨】正确理解复数的概念，不要想当然地认为字母表示的数(特别是i 的系数)一定是实数，也不要随意将实数中的一些结论推广到复数中去．对z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 为纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ≠0，z 为实数⇔b ＝0.(1)(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z —2； p 4：若复数z ∈R ，则z —∈R . 其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解：令z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由1z ＝1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R 得b ＝0，所以z ∈R ，故p 1正确；当z ＝i 时，因为z 2＝i 2＝－1∈R ，而z ＝i ∉R ，故p 2不正确；当z 1＝z 2＝i 时，满足z 1·z 2＝－1∈R ，但z 1≠z 2，知p 3不正确；对于p 4，因为实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p 4正确．故选B .(2)(2017·天津)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i 为实数，则a 的值为________．解：a －i 2＋i ＝（a －i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝（2a －1）－（a ＋2）i 5＝2a －15－a ＋25i 为实数，则a ＋25＝0，a ＝－2.故填－2.已知A ，B 是锐角三角形的两内角，则复数(sin A －cos B )＋(sin B －cos A )i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：因为A ，B 是锐角三角形的两内角，所以A ＋B ＞π2，且0＜A <π2，0<B ＜π2.所以0＜π2－B ＜A ＜π2，由正弦函数的单调性知sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ＜sin A ，即sin A －cos B ＞0.同理可得，sin B －cos A ＞0. 故选A .【点拨】判断复数对应的点在复平面上的位置，只需判断复数的实部和虚部的正负即可，对题目中条件“A ，B 是锐角三角形的内角”的挖掘是解决此题的关键．(2017·北京)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞) 解：z ＝(1－i)(a ＋i)＝(a ＋1)＋(1－a )i ，因为对应的点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＜0，1－a ＞0，解得a ＜－1.故选B .关于x 的方程x 2－(2i －1)x ＋3m －i ＝0有实根，则实数m 的值是．解：设实根为x 0，则x 20－(2i －1)x 0＋3m －i ＝0，即x 20＋x 0＋3m －(2x 0＋1)i ＝0.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋x 0＋3m ＝0，2x 0＋1＝0.所以m ＝－13(x 20＋x 0)＝－13×⎝⎛⎭⎫14－12＝112.故填112. 【点拨】复数的分类，复数的相等，复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再根据题意求解．(2016·山东)若复数z 满足2z ＋z —＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2i解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则2z ＋z —＝3a ＋b i ＝3－2i ，故a ＝1，b ＝－2，则z ＝1－2i.故选B .类型二复数的运算i 是虚数单位，计算2i －2（1－i ）2×⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2017＝________.解：因为2（i －1）（1－i ）2＝2i －1＝－(i ＋1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2016＝21008（2i ）1008＝1，所以原式＝－(i ＋1)×2（1＋i ）＝－ 2.故填－2.【点拨】(1)复数的计算除了掌握基本运算法则外，最好熟记一些常见算式运算的结果，这对提高运算的速度和准确度都有很大的帮助．如：(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ，(1＋i)·(1－i)＝2，i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N )等．(2)除法的关键是“分母实数化”．i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2016＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝________________.解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 21008＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝⎝⎛⎭⎫2－2i 1008＋i6＝i 1 008＋i 6＝i 4×252＋i 4＋2＝1＋i 2＝0.故填0.类型三复数的模与共轭复数(1)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( )A ．2＋iB ．2－iC ．5＋iD ．5－i解：由题意得z －3＝52－i ＝2＋i ，所以z —＝5＋i ，故z ＝5－i.故选D .(2)(2017·全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.22C. 2 D ．2 解：由题意可得，z ＝2i 1＋i，由复数求模的法则，⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|可得，|z |＝|2i||1＋i|＝22＝ 2.故选C . 【点拨】复数模与共轭复数的运算性质要牢记，如zz —＝|z |2，⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|等．(1)把复数z 的共轭复数记作z —，已知(1＋2i) z —＝4＋3i ，求z 及zz. 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z —＝a －b i ，由已知得(1＋2i)·(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得a ＝2，b ＝1，所以z＝2＋i.所以zz ＝2＋i 2－i ＝（2＋i ）2（2－i ）（2＋i ）＝3＋4i 5＝35＋45i.(2)(2015·洛阳统考)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z —，则|(1－z )·z —|＝( )A.10 B ．2 C. 2 D ．1 解：依题意得(1－z )·z —＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ，则|(1－z )·z —|＝|－3＋i|＝（－3）2＋12＝10.故选A .1．处理与复数概念有关的问题，首先找准复数的实部与虚部，若复数为非标准的代数形式，应通过代数运算将其化为标准的代数形式，然后根据定义解题，复数问题实数化是解决复数问题最基本的思想方法．2．熟练掌握复数部分的一系列概念，对于求解复数题至关重要．以下三点请注意：(1)对于复数m ＋n i ，如果m ，n ∈C (或没有明确界定m ，n ∈R )，则不可想当然地判定m ，n ∈R .(2)易误认为y 轴上的点与纯虚数一一对应(注意原点除外)．(3)对于a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的充要条件，只注意了a ＝0而漏掉了b ≠0.3．复数的几何意义 (1)(其中a ，b ∈R )．(2)|z |表示复数z 对应的点与原点的距离． (3)|z 1－z 2|表示两点的距离，即表示复数z 1与z 2对应的点的距离．4．复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化．5．复数的代数运算多用于次数较低的运算，但应用i 、ω的性质可简化运算．注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i ；(3)ω2＋ω＋1＝0，ω3＝1，其中ω＝－12±32i ；(4)i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N )等．6．在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z ∈C 时，不是总成立的：(1)(z m )n＝z mn(m ，n 为分数)；(2)若z m＝z n，则m ＝n (z ≠1)；(3)若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.1．(2016·武汉调考)设i 是虚数单位，若复数a －174－i是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．－4 B ．－1 C ．4 D ．1解：a －174－i ＝a －4－i 是纯虚数，则a ＝4.故选C .2．(2016·全国卷Ⅲ)若z ＝1＋2i ，则4i·z 1z -＝( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i解：4i ·z 1z -＝4i（1＋2i ）（1－2i ）－1＝i.故选C .3．(2015·山东)若复数z 满足1iz-＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i 解：因为z —＝i(1－i)＝1＋i ，所以z ＝1－i.故选A . 4．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：ab ＝0⇔a ＝0或b ＝0⇒复数a ＋bi 为纯虚数或实数，充分性不成立；反之，若a ＋bi 为纯虚数，则必有a ＝0且b ≠0，所以ab ＝0.故选B .5．(2016·全国卷Ⅱ)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3，1)B ．(－1，3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3) 解：复数z 在复平面内对应的点在第四象限应满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，解得－3＜m ＜1.故选A . 6．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( )A ．若|z 1－z 2|＝0，则z —1＝z —2 B ．若z 1＝z —2，则z —1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z —1＝z 2·z —2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22解：对于选项A ，若|z 1－z 2|＝0，则z —1＝z —2，故z 1＝z 2，正确；对于选项B ，若z 1＝z —2，则z —1＝z =2＝z 2，正确；对于选项C ，z 1·z —1＝|z 1|2，z 2·z —2＝|z 2|2，若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z —1＝z 2·z —2，正确；对于选项D ，如令z 1＝1＋i ，z 2＝1－i ，满足|z 1|＝|z 2|，而z 21＝2i ，z 22＝－2i ，故不正确．故选D .7．(2016·北京)设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________.解：(1＋i)(a ＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ∈R ⇒a ＝－1.故填－1.8．已知复数z ＝x ＋y i(i 是虚数单位，x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________．解：因为|z －2|＝（x －2）2＋y 2＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝31＝ 3.故填3.9．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i(i 是虚数单位)，试求实数m 取何值时：(1)z 是纯虚数； (2)z 是实数；(3)z 对应的点位于复平面的第二象限．解：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧lg （m 2－2m －2）＝0，m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3.(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m ＋2＝0，m 2－2m －2＞0，解得m ＝－1或m ＝－2.(3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧lg （m 2－2m －2）＜0，m 2＋3m ＋2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＞0，m 2－2m －2＜1，m 2＋3m ＋2＞0，解得－1<m ＜1－3或1＋3＜m <3.10．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋m i ＝0有实数根，求实数m 的值．解：设x ＝k (k ∈R )是方程的实数根，则k 2＋(m ＋2i)k ＋2＋m i ＝0，即(k 2＋km ＋2)＋(2k ＋m )i ＝0.根据复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋km ＋2＝0，2k ＋m ＝0.解之得⎩⎨⎧k ＝2，m ＝－22或⎩⎨⎧k ＝－2，m ＝2 2.所以方程的实数根为x ＝2或x ＝－2，相应的实数m 的值为－22或2 2.11．设存在复数z 同时满足下列条件： (1)复数z 在复平面内对应的点位于第二象限； (2)z ·z —＋2i z ＝8＋a i(a ∈R )．试求a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由(1)得x ＜0，y ＞0，由(2)得(x ＋y i)(x －y i)＋2i(x ＋y i)＝8＋a i ，即x 2＋y 2－2y ＋2x i ＝8＋a i.由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝8， ①2x ＝a ， ②由①得x 2＋(y －1)2＝9，因为x <0，y >0，所以－3≤x <0，所以－6≤a ＜0.对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω—2＝ω1ω2，其中ω—2是ω2的共轭复数，对任意复数z 1，z 2，z 3有如下四个命题：①(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)； ②z 1*(z 2＋z 3)＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)； ③(z 1*z 2)*z 3＝z 1*(z 2*z 3)； ④z 1*z 2＝z 2*z 1；则真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解：由于ω1*ω2＝ω1ω—2，对于①，(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1＋z 2)·z —3＝z 1z —3＋z 2z —3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)，显然成立；对于②，z 1*(z 2＋z 3)＝z 1(23z z +)＝z 1(z —2＋z —3)＝z 1z —2＋z 1z —3＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)，显然成立；对于③，(z 1*z 2)*z 3＝(z 1z —2) z —3＝z 1z —2z —3，而z 1*(z 2*z 3)＝z 1*(z 2z —3)＝z 1z —2z 3，显然不成立；对于④，由于z 1*z 2＝z 1z —2，而z 2*z 1＝z 2z —1，显然不成立．故选B .2019年高考数学一轮复习第6 页共6 页。

高三数学一轮复习第13知识块第1讲数系的扩充与复数的引入课件文新人教A版

(a－c)＋(b－d)i (ac－bd)＋(ad＋bc)i
④除法： (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2 z2＋z1 ，(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3)
1．下列命题正确的是(
)
①(－i)2＝－1；②i3＝－i；③若a＞b，则a＋i＞b＋i；④若z∈C，则z2＞0. A．①② B．①③ C．②③ D．①②④
解析：z＝(3＋i)i＝3i＋i2＝－1＋3i，∴点(－1,3)位于第二象限．答案：B
4．复数i2(1＋i)的实部是________．
解析：i2(1＋i)＝－(1＋i)＝－1－i. 答案：－1
解答有关复数概念的问题，首先要找准复数的实部与虚部，然后
根据定义列出方程或方程组．
【例1】 (1)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(
解析：虚数不能比较大小，故③错误．④错误．答案：A 2．(2009· 安徽)i是虚数单位，i(1＋i)等于( A．1＋i B．－1－i C．1－i ) D．－1＋i
解析：i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i. 答案：D
3．复数z＝(3
)
B．第二象限 D．第四象限
2．复数的几何意义 (1)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．x轴叫做实轴， y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示示 . 纯虚数复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．平面向量 (a，b∈R)．实数；除原点外，虚轴上的点都表
(2)复数与点：复数＝a＋bi (3)复数与向量：复数＝a＋bi (4)复数的模：向量作 |z|或|a＋bi| ， .
答案：(1)C (2)D
变式3：(1)复数

高三数学一轮复习数系的扩充与复数的引入(1)教案

江苏省徐州市贾汪区建平中学高三数学一轮复习教案：数系的扩充与复数的引入（1）教学目标 1、了解数系的扩充过程；2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件3、了解复数的代数表示法及其几何意义，能进行复数代数形式的四则运算教学重难点重难点: 复数的概念及运算，复数相等的充要条件教学参考教材,教参,学案，优化探究授课方法自学引导，讲练结合教学辅助手段多媒体专用教室教学过程设计教学二次备课一、主干知识梳理1概念：⑴复数的代数表示：⑵z=a+bi 是虚数⇔⑶z=a+bi 是纯虚数⇔⑷复数相等：a+bi=c+di ⇔2复数的代数运算：设z 1= a + bi , z 2 = c + di (a,b,c,d ∈R)，则：（1）复数的加减：（2）复数的乘法（3）复数的除法：3．复数的运算律：（1）;m n m n z z z +⋅=(2)();m n mn z z = 1212(3)()(,);m m m z z z z m n N ⋅=∈二、基础自测自评1．若 12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为．学生课前预习师生共同回顾主干知识2．若复数2(3)(,()z a a i a R =--∈2007=3．已知11m ni m n i=-+，其中，是实数，i 是虚数单位。

m ni +=则教学过程设计教学二次备课三、典例分析例题1（复数的概念）：当m 分别为何实数时，复数z=m 2－1＋(m 2＋3m ＋2)i 是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）零？例题2（复数的代数运算）：（1）i i i i 4342)1)(41(++++-；（2（3）2(2)(1)12i i i +--；（4）1998131i i i +⎛⎫- ⎪-⎝⎭ 四、巩固练习:1.若将复数1＋i 1－i表示为a ＋bi(a ，b∈R，i 是虚数单位)的形式，则a ＋b ＝________. 2.实数m 分别取什么数值时？复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)(1)实数(2)虚数（3）纯虚数五、课堂小结复数的概念及运算法则变式训练1：m 取何实数值时，复数z ＝＋是实数？是纯虚数？变式训练2：（1）计算：（2）若，求课外作业优化探究例题1,2题教学小结第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

2019届一轮复习北师大版数系的扩充与复数的引入学案

1．若复数（a+i）（3+4i）的实部与虚部相等，则实数a=A．7 B．–7 C．1 D．–1【答案】B复数的定义形如a+b i（a，b∈R）的数叫作复数，其中a叫作复数的实部，b叫作复数的虚部，i为虚数单位且规定i2=–1．注意：复数的虚部是b，而不是b i．2．已知i是虚数单位，复数（2+i）2的共轭复数虚部为A．4i B．–4 C．3 D．4【答案】B【解析】∵（2+i）2=4+4i+i2=3+4i，∴复数（2+i）2的共轭复数为3–4i，虚部为–4．故选B．共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数．互为共轭复数的充要条件：a+b i与c+d i互为共轭复数⇔a=c，b=–d（a，b，c，d∈R）．求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准代数形式，然后其实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．3．设复数满足2i 2iiz ++=，则| |=A ．3BC ．9D ．10【答案】A复数的模向量OZ 的长度r 叫作复数 =a +b i 的模，记作| |或|a +b i|，则| |=|a +b i|=rr ≥0，r ∈R ），即复数a +b i 的模表示点（a ，b ）与原点O 的距离．学特别地，b =0时， =a +b i 是实数a ，则| |=|a |．求复数的模时，直接根据复数的模的公式 |a +bi|=和性质| 2|=|z |2= ·z ，| 1·2|=| 1|·| 2|，|12z z |=12||||z z ，|z |=| |等进行计算．1．若复数满足（1–2i ） =2–i ，则在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】由（1–2i ） =2–i ，得 =()()()()2i 12i 2i 43i 12i 12i 12i 55-+-==+--+，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（4355，），位于第一象限．故选A．学复数的几何意义2．已知复数=m2–3m+m i（m∈R）为纯虚数，则m=A．0 B．3 C．0或3 D．4 【答案】B复数的分类=a+b ibaba=⎧⎪=⎧⎨≠⎨⎪≠⎩⎩实数（）纯虚数（）虚数（）非纯虚数（）注意：（1）一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0；（2）两个不全是实数的复数不能比较大小；（3）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示．3．已知复数=1+2i1i-，则1++2+ (2018)A．1+i B．1–i C．i D．0【答案】C复数的四则运算1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，把含有虚数单位i的项看作一类同类项，不含i的项看作另一类同类项，分别合并即可；复数除法运算的关键是分母实数化，注意要把i的幂化成最简形式．2．复数运算中的常用结论：（1）（1±i）2=±2i；（2）1i1i+-=i；（3）1i1i-+=–i；（4）iia b+=b–a i；（5）i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=–1，i4n+3=–i，i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0（n∈N）．1．如果复数2i12ib -+（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于A B ．23C ．–23D ．22．复数满足（1–2i ）=3+2i ，则z =A ．18i 55--B ．18i 55-+C ．78i 55+D ．78i 55-3．设i 是虚数单位，若（1+2i ）i=a +b i （a ，b ∈R ），则a +b =A ．–3B ．3C ．1D ．–14．已知复数 =a +i （a ∈R ），若 +z =4，则复数的共轭复数z =A ．2+iB ．2–iC ．–2+iD ．–2–i5．设i 为虚数单位，a ∈R ，若（1–i ）（1–a i ）为纯虚数，则复数1–a i 的模是AB ．2C ．1D ．06．若复数满足12iz-=1–i ，则其共轭复数z 在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．在复平面内，表示复数 =（a +3i ）（2–a i ）的点在第二象限，则实数a 满足A ．0a <<B ．a <C ．0a <<D ．a <<8．复数（1+i ）3的虚部为A ．–2B ．2C ．2iD ．–2i1．【答案】C2．【答案】A【解析】由（1–2i ）=3+2i ，得 =()()()()32i 12i 32i 32i 6i 418i 12i 12i 12i 555+++++-===-+--+，∴18i 55z =--．故选A ．学 3．【答案】D【解析】由（1+2i ）i=–2+i=a +b i ，得a =–2，b =1．∴a +b =–1．故选D ． 4．【答案】B【解析】∵ =a +i ，∴ +z =2a =4，∴a =2．∴复数的共轭复数z =2–i ．故选B ． 5．【答案】A【解析】（1–i ）（1–a i ）=1–i –a i+a i 2=（1–a ）–（a +1）i ，∵（1–i ）（1–a i ）为纯虚数，∴1010a a -=⎧⎨+≠⎩，解得a =1，∴1–a i=1–i ，∴复数1–a i =A ．7．【答案】A【解析】∵ =（a +3i ）（2–a i ）=2a +6i –a 2i+3a =5a +（6–a 2）i 对应的点在第二象限，∴25060a a -><⎧⎨⎩，解得0a <<．故选A ．8．【答案】B【解析】（1+i ）3=（1+i ）2（1+i ）=2i （1+i ）=–2+2i ，虚部为2，故选B ．。

2019年高考数学一轮复习学案+训练+课件(北师大版文科)：数系的扩充与复数的引入课件

州
二
次
质
检
)
定
义
运
算
a c
b d
＝
ad
－
bc
，
则
符
合
条
件
z 2
11＋i＝0 的复数 z 对应的点在(
A．第一象限
) B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A [由题意得 z×1－2(1＋i)＝0，则 z＝2＋2i 在复平面内对应的点为(2,2)，位
于第一象限，故选 A．]
[变式训练 1] (1)(2017·合肥二次质检)已知 i 为虚数单位，复数 z＝2＋i i的虚部为
( ) 【导学号：00090142】
A．－15
B．－25
C．15
D．25
(2)设 z＝1＋1 i＋i，则|z|＝(
)
A．12
B．
2 2
C．
3 2
(1)D (2)B
D．2 [(1)复数 z＝2＋i i＝2＋i2i－2i－ i＝1＋5 2i＝15＋25i，则其虚部为25，故
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔_a_＝__c_，__b_＝__d_ (a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔_a_＝__c_，__b_＝__－__d_ (a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模：设复数 z＝a＋bi 在复平面内对应的点是 Z(a，b)，点 Z 到原点的距离|OZ|叫作复数 z 的模式绝对值．即|z|＝|a＋bi|＝__a_2_＋__b_2__.
[规律方法] 1.复数 z、复平面上的点 Z 及向量O→Z相互联系，即 z＝a＋bi(a，b ∈R)⇔Z(a，b)⇔O→Z. 2．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．

2019-2020年高三数学《数系的扩充与复数的引入(第一课时)》说课稿

2019-2020年高三数学《数系的扩充与复数的引入（第一课时）》说课稿教材分析：从近两年的高考试题来看，复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点，主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算。

学情分析：学生对复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算比较好，只是容易遗忘，运算能力还需要加强。

教学目标：1. 知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念教学重点：复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算教学难点：复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算教学过程：一、知识梳理： 1、复数的有关概念 ①虚数单位: 12-=i②复数的定义：形如),(R b a bi a Z ∈+=的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部,全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示.对于复数，当且仅当b=0时，复数a+bi(a 、b ∈R)是实数a ；当b≠0时，复数z=a+bi 叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi 叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z 就是实数0.③ 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，这就是说，如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a+bi=c+di ⇔a=c ，b=d ④共轭复数：a+bi 与c+di 共轭⇔a=b 且c=-d （a ，b ，c ，d ∈R ） ⑤复数的模：22b a bi a Z +=+=2.复数的几何意义：复数),(R b a bi a Z ∈+=与复平面内点(a,b)与平面向量→oz 是一一对应的关系。

3.复数的运算①运算法则：21Z Z +；21Z Z -；21Z Z ②几何意义：复数的加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行。

2019届高考数学一轮复习：《数系的扩充与复数的引入》教学案(含解析)

数系的扩充与复数的引入[知识能否忆起]一、复数的有关概念1．复数的概念：形如a ＋bi(a ，b ∈R)的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋bi 为实数；若b≠0，则a ＋bi 为虚数；若a ＝0，b≠0，则a ＋bi 为纯虚数．2．复数相等：a ＋bi ＝c ＋di ⇔a ＝c ，b ＝d(a ，b ，c ，d ∈R)．3．共轭复数：a ＋bi 与c ＋di 共轭⇔a ＝c ，b ＋d ＝0(a ，b ，c ，d ∈R)．4．复数的模：向量OZ ―→的长度叫做复数z ＝a ＋bi 的模，记作|z|或|a ＋bi|，即|z|＝|a ＋bi|＝a 2＋b 2. 二、复数的几何意义复数z ＝a ＋bi ―→复平面内的点Z(a ，b)―→平面向量OZ . 三、复数的运算1．复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)，则：(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋bi)＋(c ＋di)＝(a ＋c)＋(b ＋d)i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋bi)－(c ＋di)＝(a －c)＋(b －d)i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋bi)·(c ＋di)＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ； (4)除法：z 1z 2＝a ＋bi c ＋di ＝＋－＋－＝＋＋－c 2＋d2(c ＋di≠0)．2．复数加法、乘法的运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)；z 1·z 2＝z 2·z 1，(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)，z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3.[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若(1－2i)(a ＋i)为纯虚数，则a 的值等于( ) A ．－6 B ．－2 C ．2D ．6解析：选B 由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a)i 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝0，1－2a≠0，由此解得a ＝－2.2．(2018·湖南高考)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－1解析：选D 由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋ai ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1.3．(2018·天津高考)i 是虚数单位，复数5＋3i4－i ＝( )A ．1－iB ．－1＋iC ．1＋iD ．－1－i 解析：选C 5＋3i4－i＝＋＋－＋＝20＋5i ＋12i ＋3i 216－i 2＝17＋17i 17＝1＋i. 4．若复数z 满足z1＋i＝2i ，则z 对应的点位于第________象限．解析：z ＝2i(1＋i)＝－2＋2i ，因此z 对应的点为(－2,2)，在第二象限内．答案：二5．若复数z 满足z ＋i ＝3＋ii ，则|z|＝________.解析：因为z ＝3＋ii －i ＝1－3i －i ＝1－4i ，则|z|＝17.答案：17 1.复数的几何意义除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意 (1)|z|＝|z －0|＝a(a>0)表示复数z 对应的点到原点的距离为a ； (2)|z －z 0|表示复数z 对应的点与复数z 0对应的点之间的距离． 2．复数中的解题策略(1)证明复数是实数的策略：①z ＝a ＋bi ∈R ⇔b ＝0(a ，b ∈R)；②z ∈R ⇔z ＝z . (2)证明复数是纯虚数的策略：①z ＝a ＋bi 为纯虚数⇔a ＝0，b≠0(a，b ∈R)； ②b≠0时，z －z ＝2bi 为纯虚数；③z 是纯虚数⇔z ＋z ＝0且z≠0.典题导入[例1] (1)(2018·陕西高考)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 (2)(2018·郑州质检)如果复数2－bi1＋2i(其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A ．－23B.23C. 2D ．2[自主解答] (1)若复数a ＋b i ＝a －bi 为纯虚数，则a ＝0，b≠0，ab ＝0；而ab ＝0时a ＝0或b ＝0，a ＋bi 不一定是纯虚数，故“ab＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．(2)2－bi1＋2i＝－－＋－＝－－＋5，依题意有2－2b ＝4＋b ，解得b ＝－23.[答案] (1)B (2)A由题悟法处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)由它的实部与虚部唯一确定，故复数z 与点Z(a ，b)相对应．以题试法1．(2018·东北模拟)已知x1＋i ＝1－yi ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋yi 的共轭复数为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选D 依题意得x ＝(1＋i)(1－yi)＝(1＋y)＋(1－y)i ；又x ，y ∈R ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋y ，1－y ＝0，解得x ＝2，y ＝1.x ＋yi ＝2＋i ，因此x ＋yi 的共轭复数是2－i.典题导入[例2] (2018·山西四校联考)已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则2－iz (i 为虚部单位)在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [自主解答] 选C 依题意得2－iz ＝2－i －1＋2i ＝－－1－－1＋－1－＝－4－3i5，因此该复数在复平面内对应的点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，－35，位于第三象限．由题悟法复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．以题试法2．(1)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i(2)(2018·连云港模拟)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ＝λOA ＋μOB ，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．解析：(1)复数6＋5i 对应的点为A(6,5)，复数－2＋3i 对应的点为B(－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C(2,4)，故点C 对应的复数为2＋4i.(2)由条件得OC ＝(3，－4)，OA ＝(－1,2)，OB ＝(1，－1)，根据OC ＝λOA ＋μOB 得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1. 答案：(1)C (2)1典题导入[例3] (1)(2018·山东高考)若复数z 满足z(2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)(2018·重庆高考)复数i 2＋i 3＋i41－i ＝( )A ．－12－12iB ．－12＋12iC.12－12iD.12＋12i [自主解答] (1)z ＝11＋7i2－i ＝＋＋－＋＝15＋25i 5＝3＋5i.(2)i 2＋i 3＋i 41－i ＝－＋－＋11－i＝－i 1－i＝－＋－＋＝1－i 2＝12－12i.[答案] (1)A (2)C由题悟法1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度：①(1±i)2＝±2i；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i ＝－i ；④a ＋bi i ＝b －ai ；⑤i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N)．以题试法3．(1)(2018·山西四校联考)设复数z 的共轭复数为z ，若z ＝1－i(i 为虚数单位)，则zz＋z 2的值为( )A ．－3iB ．－2iC ．iD ．－i(2)i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝________.解析：(1)依题意得zz ＋z 2＝1＋i 1－i ＋(1－i)2＝－i 2＋i 1－i－2i ＝i －2i ＝－i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋224＝i 4＝1. 答案：(1)D (2)11．(2018·江西高考)若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为( ) A ．0 B ．－1 C ．1D ．－2解析：选A ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴z 2＋z 2＝(z ＋z )2－2z z ＝4－4＝0，∴z 2＋z 2的虚部为0. 2．(2018·北京高考)在复平面内，复数10i3＋i 对应的点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1)解析：选A 由10i3＋i＝－＋－＝＋10＝1＋3i 得，该复数对应的点为(1,3)．3．(2018·长春调研)若复数(a ＋i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C. 2D ．－ 2解析：选B 因为复数(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2ai ，所以其在复平面内对应的点的坐标是(a 2－1,2a)，又因为该点在y 轴负半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，2a<0，解得a ＝－1. 4．(2018·萍乡模拟)复数＋＋－2等于( )A.52 B ．－52C.52iD ．－52i解析：选B＋＋－＝2＋4i ＋i ＋2i 2－2i ＝5i －2i ＝－52.5．(2018·河南三市调研)已知i 为虚数单位，复数z ＝2＋i 1－2i ，则|z|＋1z＝( ) A ．iB ．1－iC ．1＋iD ．－i解析：选B 由已知得z ＝2＋i 1－2i ＝－2i 2＋i1－2i ＝－1－2i ＝i ，|z|＋1z ＝|i|＋1i＝1－i.6．(2018·安徽名校模拟)设复数z 的共轭复数为z ，若(2＋i)z ＝3－i ，则z·z 的值为( ) A ．1 B ．2 C. 2D ．4解析：选B 设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，代入(2＋i)z ＝3－i ，得(2a －b)＋(2b ＋a)i ＝3－i ，从而可得a ＝1，b ＝－1，那么z·z ＝(1－i)(1＋i)＝2.7．(2018·长沙模拟)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ，i 2，1i ，＋2i，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z∩M 中的元素个数是( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：选B 由已知得M ＝{i ，－1，－i,2}，Z 为整数集，∴Z∩M＝{－1,2}，即集合Z∩M 中有2个元素． 8．定义：若z 2＝a ＋bi(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋bi 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是( )A ．1－2i 或－1＋2iB ．1＋2i 或－1－2iC ．－7－24iD ．7＋24i解析：选B 设(x ＋yi)2＝－3＋4i(x ，y ∈R)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝－3，xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.9．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA 和OB ，其中O 为坐标原点，则|AB |＝________. 解析：由题意知A(1,1)，B(－1,3)，故|AB |＝－1－2＋－2＝2 2.答案：2 210．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝________.解析：z 2－2zz －1＝－2－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i－i·i＝－2i.答案：－2i11．设复数z 满足|z|＝5且(3＋4i)z 是纯虚数，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则有a 2＋b 2＝5. 于是(3＋4i)z ＝(3a －4b)＋(4a ＋3b)i.由题设得⎩⎪⎨⎪⎧3a －4b ＝04a ＋3b≠0得b ＝34a 代入得a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2＝25，a ＝±4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3.∴z ＝4－3i 或z ＝－4＋3i. 答案：±(4－3i) 12.－1＋＋i3＝________. 解析：－1＋＋i3＝－3＋i－i＝－1－3i.答案：－1－3i13．(2018·上海高考改编)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.解析：(z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R. 则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i) ＝(2a ＋2)＋(4－a)i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i. 答案：4＋2i14．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R)是纯虚数，则1z ＋a的虚部为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i＝1－2i ＋－＝15－25i ，根据虚部的概念，可得1z ＋a 的虚部为－25.答案：－251．(2018·山东日照一模)在复数集C 上的函数f(x)满足f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ∈R ，－，x ∉R ，则f(1＋i)等于( )A ．2＋iB ．－2C ．0D ．2解析：选D ∵1＋i ∉R ，∴f(1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝2.2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a>12”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a)i ，若其对应的点在第四象限，则a ＋2>0，且1－2a<0，解得a>12.即“a>12”是“点M 在第四象限”的充要条件．3．已知复数z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________．解析：|z －2|＝－2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3. 答案： 34．复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i ，与复数12＋16i 互为共轭复数，则实数m ＝________. 解析：根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16. 解之得m ＝1.答案：15．已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i.∴(z ＋ai)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i. 由于(z ＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，－，解得2<a<6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．6．设z 是虚数，ω＝z ＋1z ，且－1<ω<2.(1)求|z|的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z ，求证：u 为纯虚数．解：(1)设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R ，b≠0)，ω＝a ＋bi ＋1a ＋bi ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －b a 2＋b 2i ，∵ω是实数，∴b －ba 2＋b2＝0.又b≠0，∴a 2＋b 2＝1.∴|z|＝1，ω＝2a. ∵－1<ω<2，∴－12<a<1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. (2)u ＝1－z 1＋z ＝1－a －bi 1＋a ＋bi ＝1－a 2－b 2－2bi ＋2＋b 2＝－ba ＋1i. ∵－12<a<1，b≠0，∴u 为纯虚数．1．已知a ＋2ii ＝b ＋i(a ，b ∈R)，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．3 解析：选Ba ＋2ii＝＋i2＝2－ai ＝b ＋i ，由复数相等的条件得b ＝2，a ＝－1，则a ＋b ＝1.2．对任意复数z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A ．|z －z |＝2y B ．z 2＝x 2＋y 2C ．|z －z |≥2xD ．|z|≤|x|＋|y|解析：选D ∵z －z ＝2yi ，∴|z －z |＝2|y|，选项A 、C 错误；而z 2＝(x ＋yi)2＝x 2－y 2＋2xyi ，选项B 错误；而|z|＝x 2＋y 2，|z|2＝x 2＋y 2，(|x|＋|y|)2＝x 2＋y 2＋2|xy|≥x 2＋y 2，因此|z|≤|x|＋|y|.3．已知虚数z ，使得z 1＝z 1＋z 2和z 2＝z21＋z 都为实数，求z. 解：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R ，且y≠0)，则z 2＝x 2－y 2＋2xyi ，∴z 1＝2＋y 2＋＋－x 2－y 22－y 2＋2＋4x 2y2，∵z 1∈R ，又y≠0，∴x 2＋y 2＝1，同理，由z 2∈R 得x 2＋2x ＋y 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.三角函数、解三角形平面向量、数系的扩充与复数的引入一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2018·新课标全国卷)复数z ＝－3＋i2＋i的共轭复数是( ) A ．2＋i B ．2－i C ．－1＋iD ．－1－i 解析：选D z ＝－3＋i2＋i ＝－3＋－＋－＝－1＋i ，所以z ＝－1－i.2．(2018·潍坊模拟)已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( ) A.724 B ．－724 C.247D ．－247解析：选D 依题意得sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，tan x ＝sin x cos x ＝－34，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247. 3．(2018·广州调研)设复数z 1＝1－3i ，z 2＝3－2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 因为z 1z 2＝1－3i3－2i ＝－＋－＋＝9－7i 13，所以z 1z 2在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫913，－713，在第四象限．4．(2018·邵阳模拟)已知a ＝(1，sin 2x)，b ＝(2，sin 2x)，其中x ∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则tan x 的值等于( )A ．1B ．－1 C. 3D.22解析：选A 由|a·b|＝|a||b|知， a ∥b ，所以sin 2x ＝2sin 2x ，即2sin xcos x ＝2sin 2x ，而x ∈(0，π)，所以sin x ＝cos x ，tan x ＝1.5．(2018·福州质检查)“cos α＝35”是“cos 2α＝－725”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵cos α＝35，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝2×925－1＝－725，∴由cos α＝35可推出cos 2α＝－725. 由cos 2α＝－725得cos α＝±35，∴由cos 2α＝－725不能推出cos α＝35. 综上，“cos α＝35”是“cos 2α＝－725”的充分而不必要条件．6．若函数f(x)＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2 B.2π3 C.3π2D.5π3解析：选C ∵f(x)为偶函数，∴φ3＝k π＋π2(k ∈Z)，∴φ＝3k π＋32π(k ∈Z)．又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝32π.7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若ccos A ＝b ，则△ABC( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是钝角三角形 C ．一定是直角三角形 D ．一定是斜三角形解析：选C 在△ABC 中，因为ccos A ＝b ，根据余弦定理，得c·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ，故c 2＝a 2＋b 2，因此△ABC一定是直角三角形．8．设点A(2,0)，B(4,2)，若点P 在直线AB 上，且|AB |＝2|AP |，则点P 的坐标为( ) A ．(3,1)B ．(1，－1)C ．(3,1)或(1，－1)D ．无数多个解析：选C 设P(x ，y)，则由|AB |＝2|AP |，得AB ＝2AP 或AB ＝－2AP .AB ＝(2,2)，AP ＝(x －2，y)，即(2,2)＝2(x －2，y)，x ＝3，y ＝1，P(3,1)，或(2,2)＝－2(x －2，y)，x ＝1，y ＝－1，P(1，－1)．9．(2018·福州质检)将函数f(x)＝sin 2x(x ∈R)的图象向右平移π4个单位后，所得到的图象对应的函数的一个单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0B.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π 解析：选B 将函数f(x)＝sin 2x(x ∈R)的图象向右平移π4个单位后得到函数g(x)＝sin2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝－cos 2x的图象，则函数g(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，而满足条件的只有B. 10．(2018·西安名校三检)已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，且α，β∈(0，π)，则sin α的值为( )A.6365 B.1365 C.3365D.6365或3365解析：选A 依题意得sin β＝45，cos β＝35；注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365.11．(2018·河南三市调研)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＝a 2－ac ＋c 2，C －A ＝90°，则cos Acos C ＝( )A.14B.24 C ．－14D ．－24解析：选C 依题意得a 2＋c 2－b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.又0°<B<180°，所以B ＝60°，C ＋A＝120°.又C －A ＝90°，所以C ＝90°＋A ，A ＝15°，cos Acos C ＝cos Acos(90°＋A)＝－12sin 2A ＝－12sin 30°＝－14.12．(2018·广东高考)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝( )A.52 B.32 C ．1D.12解析：选D a ∘b ＝a·b b·b ＝|a||b|cos θ|b|2＝|a|cos θ|b|，① b ∘a ＝b·a a·a ＝|b||a|cos θ|a|2＝|b|cos θ|a|.② ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴0<cos θ<22.①×②得(a ∘b)(b ∘a)＝cos 2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.因为a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，设a ∘b ＝n 12，b ∘a ＝n 22(n 1，n 2∈Z)，即(a ∘b)·(b ∘a)＝cos 2θ＝n 1n 24，所以0<n 1n 2<2，所以n 1，n 2的值均为1，故a ∘b＝n 12＝12. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知a ＝2，b ＝3，则sin A ＋＝________.解析：sin A ＋＝sin A sin B ＝a b ＝23. 答案：2314．(2018·安徽高考)设向量a ＝(1,2m)，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m)．若(a ＋c)⊥b ，则|a|＝________. 解析：a ＋c ＝(1,2m)＋(2，m)＝(3,3m)． ∵(a ＋c)⊥b ，∴(a ＋c)·b＝(3,3m)·(m＋1,1)＝6m ＋3＝0. ∴m ＝－12.∴a ＝(1，－1)．∴|a|＝ 2. 答案： 215.如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°，且座位A 、B 的距离为106米，则旗杆的高度为________米． AN sin 45°＝解析：由题可知∠BAN ＝105°，∠BNA ＝30°，由正弦定理得106sin 30°，解得AN ＝203(米)，在Rt △AMN 中，MN ＝203sin 60°＝30(米)．故旗杆的高度为30米．答案：3016．已知函数f(x)＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈R ，若函数h(x)＝f(x ＋α)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0对称，且α∈(0，π)，则α的值为________．解析：∵f(x)＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴h(x)＝f(x ＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2α－π3.∵函数h(x)的图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0∴－2π3＋2α－π3＝k π.∴α＝＋π2，k ∈z.又α∈(0，π)，∴α＝π2.答案：π2三、解答题(本题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)(2018·广州二测)已知函数f(x)＝Asin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3(A>0，ω>0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，－2.(1)求A 和ω的值；(2)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝45，求f(α)的值．解：(1)∵函数f(x)在某一周期内的图象的最高坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，∴A ＝2，得函数f(x)的周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2πT＝2. (2)由(1)知f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝45， ∴cos α＝1－sin 2α＝35，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－725. ∴f(α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2αcos π3－cos 2αsin π3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2425×12＋725×32＝24＋7325.18．(本小题满分12分)(2018·天津高考)已知函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2cos 2x －1，x ∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．解：(1)f(x)＝sin 2x·cos π3＋cos 2x·sin π3＋sin 2x·cos π3－cos 2x·sin π3＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 所以f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，故函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c)cos B ＝bcos C. (1)求角B 的大小；(2)设m ＝(sin A ，cos 2A)，n ＝(4k,1)(k>1)，且m·n 的最大值是5，求k 的值．解：(1)因为(2a －c)cos B ＝bcos C ，所以在△ABC 中，由正弦定理，得(2sin A －sin C)cos B ＝sin Bcos C ，所以2sin Acos B ＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ，即2sin Acos B ＝sin A.又在△ABC 中，sin A>0，B ∈(0，π)，所以cos B ＝12.所以B ＝π3.(2)因为m ＝(sin A ，cos 2A)，n ＝(4k,1)(k>1)，所以m·n＝4ksin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋4ksin A ＋1，即m·n＝－2(sin A －k)2＋2k 2＋1.又B ＝π3，所以A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3.所以sin A ∈(0,1]．所以当sin A ＝1⎝⎛⎭⎪⎫A ＝π2时，m·n 的最大值为4k －1.又m·n 的最大值是5，所以4k －1＝5.所以k ＝32.20．(本小题满分12分)已知复数z 1＝sin 2x ＋ti ，z 2＝m ＋(m －3cos 2x)i(i 为虚数单位，t ，m ，x ∈R)，且z 1＝z 2.(1)若t ＝0且0<x<π，求x 的值；(2)设t ＝f(x)，已知当x ＝α时，t ＝12，试求cos ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋π3的值．解：(1)因为z 1＝z 2，所以⎩⎨⎧sin 2x ＝m ，t ＝m －3cos 2x ，即t ＝sin 2x －3cos 2x.若t ＝0，则sin 2x －3cos 2x ＝0，得tan 2x ＝ 3. 因为0<x<π，所以0<2x<2π，所以2x ＝π3或2x ＝4π3，所以x ＝π6或x ＝2π3.(2)因为t ＝f(x)＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，因为当x ＝α时，t ＝12，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＝12，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－14，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋π3＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π6－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－142－1＝－78.21．(本小题满分12分)(2018·长春调研)如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos α和sin β；(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值；(3)已知点C(－1，3)，求函数f(α)＝OA ·OC 的值域．解：(1)根据三角函数的定义，得sin α＝45，sin β＝1213.又α是锐角，所以cos α＝35.(2)由(1)知sin β＝1213.因为β是钝角，所以cos β＝－513. 所以cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－513×35＋1213×45＝3365. (3)由题意可知，OA ＝(cos α，sin α)，OC ＝(－1，3)．所以f(α)＝OA ·OC ＝3sin α－cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6，因为0<α<π2，所以－π6<α－π6<π3，所以－12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6<32，从而－1<f(α)< 3. 所以函数f(α)的值域为(－1, 3)．22．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边长，已知 2sin A ＝3cos A. (1)若a 2－c 2＝b 2－mbc ，求实数m 的值； (2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝12或cosA ＝－2(舍)．而a 2－c 2＝b 2－mbc 可以变形为b 2＋c 2－a 22bc ＝m2，即cos A ＝m 2＝12，所以m ＝1.(2)由(1)知 cos A ＝12，则sin A ＝32.又b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以bc ＝b 2＋c 2－a 2≥2bc－a 2，即bc≤a 2.当且仅当b ＝c 时等号成立．故S △ABC ＝bc 2sin A≤a 22·32＝334.。

2019-2020学年高考数学总复习数系的扩充与复数的引入学案.doc

2019-2020学年高考数学总复习数系的扩充与复数的引入学案一、复习目标：1、理解复数的基本概念，复数相等的充要条件；2、了解复数代数表示法及几何意义；3、会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数心形式加、减的几何意义；二、定向导学·互动展示自研自探环节合作探究环节展示提升环节·质疑提升环节自学指导（内容·学法·时间）互动策略展示方案（内容·方式·时间）【考点1】复数的概念及分类学法指导：认真自研选修1-2，从课本中提取信息，特别是你怎样理解复平面，并结合创新设计的要点梳理，解决以下问题：1、复数的概念形如a＋bi (a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的和 .若，则a＋bi为实数，若，则a＋bi为虚数，若，则a＋bi为纯虚数．2、复数相等：a＋bi＝c＋di⇔(a，b，c，d∈R)．3、共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔(a，b，c，d∈R)．4、复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．叫做实轴，叫做虚轴．实轴上的点都表示；除原点外，虚轴上的点都表示；各象限内的点都表示．5、复数的模：向量OZ 的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作或，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2.自我巩固：1、若复数 z＝(x2－1)＋(x－1)i 为纯虚数，则实数 x 的值2．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 m 和 n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为3．（2010·上海）若复数z＝1－2i (i为虚数单位)，则z·z＋z ＝________. ①两人对子间相互批改自学指导内容，并用红笔予以等级评定，针对批改中存在的疑惑对子间相互交流，进行初步解决：②六人共同体先解决对子间存在的疑惑，并结合议题中的具体问题探讨疑难，重点交流议题一：“交流如何复数有哪些分类及相等、共轭满足的条件”；【议题1】（方案提示：①分析下列问题，回顾运用知识点，②先展示本组在解决题目是时遇到的困惑，在展示你们是如何解决困惑的；③归纳解决此类问题的方法及其注意点）1、已知m∈R，复数z＝m m＋m－1＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z＝12＋4i.(5)复数z对应的点在复平面内的第二象限．例2：已知复数z＝(1－i)2＋3(1＋i)2－i，若z2＋az＋b＝1－i，求实数a、b的值．例4：下列类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a、b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a、b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a、b、c、d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a、b、c、d∈Q，则a＋b×2＝c＋d×2⇒a＝c，b＝d”；③“若a、b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a、b∈C，则a－b>0⇒a>b”．其中类比结论正确的个数是()【考点2】复数的几何意义学法指导：认真自研选修1-2，在书中提取重要信息，结合资料上的要点梳理，从而解决以下问题：1、复数z ＝a ＋bi −−−→←一一对应复平面内的点Z(a ，b)(a ，b ∈R)．2、复数z ＝a ＋bi (a ，b ∈R)−−−→←一一对应. 3、根据复数与平面向量的对应，归纳复数的加、减法法则及几何意义。

--高中数学第一轮复习学案---(11)数系的扩充与复数的引入

“数系的扩充与复数的引入”复习学案广东高考考试大纲说明的具体要求：（1）复数的概念：①理解复数的基本概念 ②理解复数相等的充要条件.③了解复数的代数表示法及其几何意义.（2）复数的四则运算：①会进行复数代数形式的四则运算. ②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.（一）基础知识梳理：1.虚数单位“i ”的两条规定：①i 2=-1, ② i 与实数在一起，可以进行通常的四则运算。

2.复数的概念：形如)R b ,a (bi a ∈+的数叫做_______,其中i 叫做___________，a 与b 分别叫做复数a+bi 的______部和_______部。

复数通常用字母_____来表示。

________________叫做复数的代数形式。

全体复数所成的集合叫做________集。

用字母________来表示。

3.复数a+bi=c+di 的充要条件是：____________________. 特例a+bi=0⇔_______________. 4.对于复数a+bi ，当且仅当___________时，它是实数；当且仅当__________时，它是纯虚数。

5.复数的几何表示：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________,x 轴叫做________轴，y 轴叫做_______轴.实轴上的点都表示______数；除原点外，虚轴上的点都表示__________数。

6.复数的模：向量的模，叫做复数 z=a+bi 的模，即=+=bi a z ________________. 7.共轭复数：当两个复数实部______,虚部_____________时，这两个复数叫做共轭复数。

z=a+bi 的共轭复数记作_____________.虚部不为零的两个共轭复数也叫做____________. 性质：2222b a z zz z +===⋅，a z z 2=+； ()()22b a bi a bi a +=++8.复数加、减法法则：(a+bi)+(c+di)=__________________. (a+bi)-(c+di)=__________________. 9．复数代数形式的加、减运算的几何意义：（二）典型例题分析：例1. (2008福建理)若复数(a 2-3a +2)+(a-1)i 是纯虚数，则实数a 的值为（）A.1B.2C.1或2D.-1例2. (2008山东文、理)设z 的共轭复数是z ，或z +z =4,z ·z ＝8，则zz等于（）（A ）1 （B ）-i (C)±1 (D) ±i例3.（2006安徽理））A ．iB ．i -C iD i例4.（2003北京理科）若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5例5.（2004广东）已知复数z 与(z +2)2－8i 均是纯虚数，则z = .（三）基础训练：1．（2005湖南理科）复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是（）A 、－1B 、0C 、1D 、i2．(2008海南、宁夏文、理)已知复数1z i =-，则21z z =-（） A. 2 B. －2 C. 2i D. －2i3．(2008广东理)已知0<a<2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是( )A ．(1,5) B.(1,3) C. (1,5) D.(1,3)4.（2008浙江理）已知a 是实数，iia +-1是纯虚数，则a =（）（A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）-25．（2007山东文）复数43i1+2i+的实部是（） A ．2- B ．2 C ．3 D ．46. (2007广东文、理)若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数）则b ＝（） A ．-2 B ．12-C. 12D ．27．（2006全国Ⅰ卷理）如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =（）A ．1B ．1- C．8．（2000广东，全国文科、理科，江西、天津理科）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时钟方向旋转3π，所得向量对应的复数是：（）（A ）23 （B ）i 32- （C ）3i 3- （D ）3+i 39． (1992全国理科、文科)已知复数z 的模为2,则│z -i│的最大值为：( )(A)1 (B)2 (C)(D)310．(2008上海文、理)若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z = ．11.（2005北京理科）若 12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为．12.(2006上海理)若复数z 同时满足z －-z ＝2i ，-z ＝iz （i 为虚数单位）,则z ＝ __ ．历届高考中的“复数”试题精选（自我检测）一、选择题：(每小题5分，计70分)1．(2008广东文)已知0<a<2，复数z=a+i （i 是虚数单位），则z 的取值范围是（）A ．(1,3) B. (1,5) C. ( 1,3) D.(1,5)2.（2006北京理）在复平面内，复数1ii+对应的点位于（）（A ）第一象限 (B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．(2008辽宁理) 复数11212i i +-+-的虚部是（） A ．15iB ．15C ．15i - D ．15-4．（2005广东）若i b i i a -=-)2(，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则22b a +=（）A ．0B ．2C ．25D ．55．(2008全国Ⅰ卷理)设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（）A ．2B ．1C ．0D ．1-6．（2007湖南理）复数22i 1+i ⎛⎫⎪⎝⎭等于（）A ．4iB ．4i -C ．2iD ．2i -7．（2005福建理科）复数iz -=11的共轭复数是（）A ．i 2121+ B ．i 2121- C ．i -1 D ．i +18.（2007全国Ⅱ理）设复数z 满足i z2i1=+，则z =（） (A) -2+i(B) -2-i(C) 2-i(D) 2+i9.（2007全国Ⅰ理）设a 是实数，且211ii a +++是实数，则a ＝（）（A ）21 （B ）1 （C ）23（D ）210.（2006四川理）复数3)i 1(-的虚部为（）（A ）3. （B ）－3. （C ）2 （D ）－211.（2006浙江理）已知=+-=+ni m i n m ni im是虚数单位，则是实数，，，其中11（） (A)1+2i (B) 1-2i (C) 2 —i (D)i 2+12．(2005天津理科)若复数iia 213++（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（）（A ）-2 (B)4 (C) -6 (D)613.(2004浙江理科) 已知复数i t z i z +=+=21,43,且21z z ⋅是实数,则实数t=（）(A) 43 (B) 34 (C) --34 (D) --4314．（2004辽宁）设复数z 满足=+=+-|1|,11z i zz则（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．2二、填空题：（每小题5分，计20分）15．（2008北京理）已知2()2a i i -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ．16.（2007重庆理）复数322i i+的虚部为________.17.(2006上海文)若复数z 满足(2)(1)z m m i =-++(i 为虚数单位)为纯虚数,其中m R ∈。

新2019高中数学第3章数系的扩充与复数的引入阶段复习课学案新人教A版选修1-2

第三课数系的扩充与复数的引入[核心速填]1．复数的有关概念及分类(1)代数形式为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中实部为a ，虚部为b ； (2)共轭复数为z ＝a －b i(a ，b ∈R )． (3)复数的分类复数a ＋ba ，b ∈R⎩⎪⎨⎪⎧实数b ＝⎩⎨⎧有理数⎩⎪⎨⎪⎧整数分数无理数无限不循环小数虚数b⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a＝非纯虚数a①若 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是实数，则z 与z 的关系为z ＝z .②若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数，则z 与z 的关系为z ＋z ＝0(z ≠0)． 2．与复数运算有关的问题 (1)复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ，b ＝d(a ，b ，c ，d ∈R )．(2)复数的模复数z ＝a ＋b i 的模|z |z ·z ＝|z |2＝a 2＋b 2.(3)复数的四则运算，若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R ) ①加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ； ②减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ； ④除法：z 1z 2＝a 1a 2＋b 1b 2＋a 2b 1－a 1b 2i a 22＋b 22＝a 1a 2＋b 1b 2a 22＋b 22＋a 2b 1－a 1b 2a 22＋b 22i(z 2≠0)； 3．复数的几何意义(1)任何一个复数z ＝a ＋b i 一一对应着复平面内一个点Z (a ，b )，也一一对应着一个从原点出发的向量OZ →.(2)复数加法的几何意义若复数z 1、z 2对应的向量OZ →1、OZ →2不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ →1、OZ →2为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(3)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ →1、OZ →2的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数．[题型探究](1)为实数；(2)为纯虚数； (3)对应的点在第一象限内； (4)复数z 对应的点在直线x －y ＝0.【导学号：48662162】[解] (1)z ∈R ⇔a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝1或a ＝2.(2)z 为纯虚数，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＝0，a 2－3a ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝2，a ≠1且a ≠2.故a ＝0.(3)z 对应的点在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a >0，a 2－3a ＋2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，或a >2，a <1，或a >2，∴a ＜0，或a ＞2.∴a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． (4)依题设(a 2－2a )－(a 2－3a ＋2)＝0，∴a ＝2. a ，的形式时，要通过变形化为求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根1．(1)若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为( ) A ．0 B ．－1 C ．1D ．－2(2)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(1)A (2)D [(1)因为z ＝1＋i ，所以z ＝1－i ，所以z 2＋z 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i ＋(－2i)＝0.故选A.(2)因为a －103－i＝a －＋－＋＝a －＋10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.](1)在复平面内，复数3－4i (i 是虚数单位)所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a ＋b i ，z 3＝1－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝2OA →＋OB →，则a ＝________，b ＝________.[解析] (1)－2＋3i3－4i＝－2＋＋25＝－18＋i 25＝－1825＋125i ，∴复数－2＋3i 3－4i 对应的点位于第二象限．(2)∵OC →＝2OA →＋OB →∴1－4i ＝2(2＋3i)＋(a ＋b i)即⎩⎪⎨⎪⎧1＝4＋a ，－4＝6＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－10.][答案] (1)B (2)－3 －10 [跟踪训练]2．若i 为虚数单位，如31图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )图31A ．EB ．FC ．GD ．HD [∵点Z (3,1)对应的复数为z ，∴z ＝3＋i ，z 1＋i ＝3＋i1＋i＝＋－＋－＝4－2i 2＝2－i ，该复数对应的点的坐标是(2，－1)，即H 点．](1) 已知z 是z 的共轭复数，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－i(2)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝3＋2i ＋2，则z 1z 2＝( ) A ．－4＋3i B ．3＋4i C ．3－4iD ．4－3i(1)[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，代入z ·z i ＋2＝2z 中得，(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，∴2＋(a 2＋b 2)i ＝2a ＋2b i ，由复数相等的条件得，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a 2＋b 2＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.∴z ＝1＋i ，故选A.(2)z 1z 2＝－＋23＋2i＝－－＋2＋－＝－＋13＝4－3i.[答案] (1)A (2)D－＋＋2－－＋－＝1625－6325i.] a ，的结构形式(3)利用复数相等，可实现复数问题的实数化已知z 是复数，z ＋2i ，2－i均为实数，且(z ＋a i)2的对应点在第一象限，求实数a 的取值范围.【导学号：48662164】[解] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i 为实数，∴y ＝－2. 又z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i 为实数， ∴x ＝4.∴z ＝4－2i ，又∵(z ＋a i)2＝(4－2i ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i 在第一象限．∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0a －，解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．yx ，，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数3．已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y . [解] 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则y ＝a －b i.又(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ， ∴4a 2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，a 2＋b 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋i y ＝1－i或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－i ，y ＝1＋i 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋i ，y ＝－1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i.。

2019年高考数学(文)复习课件5.4 数系的扩充与复数的引入

故选C.
关闭
C
解析答案
知识梳理
-10-
知识梳理双基自测
12345
3.(2018 广东珠海摸底)设复数 z=1+i i,则|z|=( )
A.2
B.1
C.
2 2
D. 2
∵z=1+i i = (1i+2i)i=1-i, ∴|z|= 1 + 1 = 2.
D
关闭关闭
解析答案
知识梳理
-11-
知识梳理双基自测
解析: (1)∵(3-4i)z=|4+3i|,
∴z=3-54i
=
5(3+4i) (3-4i)(3+4i)
=
3 5
+
45i.
(2)z=-23++ii
=
(-3+i)(2-i) (2+i)(2-i)
=
-5+5 5i=-1+i,故
z
的共轭复数为-1-i.
考点1
考点2
考点3
核心考点
-21-
考点 3 复数的几何意义
12345
4.复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
由题意可得z=-1-2i,在复平面内对应点(-1,-2), 则该点位于第三象限.故选C. C
关闭关闭
解析答案
知识梳理
知识梳理双基自测
12345
5.(教材习题改编P129TB1)已知(1+2i) �� =4+3i,则z=
核心考点
考点1
考点2
考点3

2019届高考数学一轮复习 第1讲 数系的扩充与复数的引入学案(无答案)文

2019届高三数学(理)人教版一轮课件：第十一篇第1节 数系的扩充与复数的引入(33)

高考数学一轮复习作业数系的扩充与复数的引入北师大版

2019届高三数学第一轮复习(文)第1讲 数系的扩充与复数的引入