山东省菏泽一中2018-2019学年高二上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析

山东省菏泽一中2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若a ＞b ，则下列不等式中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．2a ＞2b2．不等式≤0的解集为（ ）A ．（﹣∞，1]∪（3，+∞）B ． D ．（﹣∞，1]∪C ．（1，11）D ．（1，+∞）7．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示三角形的面积，若asinA+bsinB=csinC ，且S=，则对△ABC 的形状的精确描述是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形8．等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 2016=2016，且﹣=2000，则a 1等于（ ）A ．﹣2017B ．﹣2016C ．﹣2015D ．﹣20149．某人要利用无人机测量河流的宽度，如图，从无人机A 处测得正前方河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时无人机的高是60米，则河流的宽度BC 等于（ ）A ．米B ．米C ．米D ．米10．在数列{a n }中，a 1=2，a n =a n ﹣1+ln （1+）（n ≥2）则{a n }=（ ）A ．2+nlnnB ．2+（n ﹣1）lnnC ．2+lnnD ．1+n+lnn11．已知变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=ax+by （a ＞0，b ＞0）的最小值为2，则+的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．D ．12．已知a n =log n+1（n+2）（n ∈N +），观察下列运算：a 1•a 2=log 23•log 34==2；a 1•a 2•a 3•a 4•a 5•a 6=log 23•log 34•…•log 67•lg 78==3；…．定义使a 1•a 2•a 3•…•a k 为整数的k （k ∈N +）叫做希望数，则在区间内所有希望数的和为（ ） A ．1004 B ．2026C ．4072D ．22016﹣2二、填空题不等式kx 2﹣kx+1＞0的解集为R ，则实数k 的取值范围为 ．14．△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=，则△ABC 的面积是 ．15．《张邱建算经》是我国古代数学著作大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月，日织九匹三丈，问日益几何？”该题大意是：“一女子擅长织布，一天比一天织的快，而且每天增加的量都一样，已知第一天织了5尺，一个月后，共织布390尺，问该女子每天增加 尺．（一月按30天计）16．方程ax 2+bx+2=0的一个根在区间（0，1）上，另一根在区间（1，2）上，则2a ﹣b 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosA=asinB ．（1）求角A 的大小；（2）若a=6，△ABC 的面积是9，求三角形边b ，c 的长．18．（12分）已知关于x的不等式x2﹣ax﹣2＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞b}（b＞﹣1）．（1）求a，b的值；（2）当m＞﹣时，解关于x的不等式（mx+a）（x﹣b）＞0．19．（12分）已知数列{an }为单调递减的等差数列，a1+a2+a3=21，且a1﹣1，a2﹣3，a3﹣3成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =|an|，求数列{bn}的前项n和Tn．20．（12分）为方便市民休闲观光，市政府计划在半径为200米，圆心角为120°的扇形广场内（如图所示），沿△ABC 边界修建观光道路，其中A 、B 分别在线段CP 、CQ 上，且A 、B 两点间距离为定长米．（1）当∠BAC=45°时，求观光道BC 段的长度；（2）为提高观光效果，应尽量增加观光道路总长度，试确定图中A 、B 两点的位置，使观光道路总长度达到最长？并求出总长度的最大值．21．（12分）设等比数列{a n }的前项n 和S n ，a 2=，且S 1+，S 2，S 3成等差数列，数列{b n }满足b n =2n ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设c n =a n b n ，若对任意n ∈N +，不等式c 1+c 2+…+c n ≥λ+2S n ﹣1恒成立，求λ的取值范围．22．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+2x+c的对称轴为x=1，g（x）=x+（x＞0）．（1）求函数g（x）的最小值及取得最小值时x的值；（2）试确定c的取值范围，使g（x）﹣f（x）=0至少有一个实根；（3）若F（x）=﹣f（x）+4x+c，存在实数t，对任意x∈，使F（x+t）≤3x恒成立，求实数m的取值范围．山东省菏泽一中2018-2019学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若a＞b，则下列不等式中正确的是（）A．B．C．D．2a＞2b【考点】不等式的基本性质．【分析】取a=2，b=﹣1时，即可判断出A．B．C不成立；根据指数函数y=2x在R上单调递增，即可判断出D的正误．【解答】解：取a=2，b=﹣1时，A．B．C不成立；对于D．由指数函数y=2x在R上单调递增，a＞b，可得2a＞2b．故选：D．【点评】本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．不等式≤0的解集为（）A．（﹣∞，1]∪（3，+∞）B．D．（﹣∞，1]∪=2n+1，n=1时也成立．∴a=2n+1，n∴==．∴数列的前项n和=++…+==．故选：A．【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．函数f（x）=的定义域为（）A．（﹣∞，11）B．（1，11] C．（1，11）D．（1，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】函数f（x）=有意义，只需1﹣lg（x﹣1）≥0，且x﹣1＞0，解不等式即可得到所求定义域．【解答】解：函数f（x）=有意义，只需1﹣lg （x ﹣1）≥0，且x ﹣1＞0， 即为lg （x ﹣1）≤1且x ＞1， 解得1＜x ≤11， 则定义域为（1，11]． 故选：B ．【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意运用偶次根式被开方数非负，对数的真数大于0，考查运算能力，属于基础题．7．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示三角形的面积，若asinA+bsinB=csinC ，且S=，则对△ABC 的形状的精确描述是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形 【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由正弦定理化简已知可得a 2+b 2=c 2，利用勾股定理可得C=，利用余弦定理，三角形面积公式化简可得sinB ﹣cosB=0，可求sin （B ﹣）=0，结合范围B ∈（0，），可求B=A ，即可得解三角形的形状．【解答】解：∵asinA+bsinB=csinC ，∴由正弦定理可得：sin 2A+sin 2B=sin 2C ，可得：a 2+b 2=c 2，∴C=，△ABC 是直角三角形．又∵S==acsinB ，∴×2accosB=acsinB ，解得：sinB ﹣cosB=0，可得：sin （B ﹣）=0，∴B ﹣=k π，可得：B=k π+，k ∈Z ，∵B ∈（0，），B ﹣∈（﹣，），∴B ﹣=0，可得：B=，A=π﹣B ﹣C=，∴△ABC 是等腰直角三角形．故选：D ．【点评】本题主要考查了正弦定理，勾股定理，余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．8．等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 2016=2016，且﹣=2000，则a 1等于（ ）A ．﹣2017B ．﹣2016C ．﹣2015D ．﹣2014 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】由==n+，可知：数列是等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：由==n+，可知：数列是等差数列，设公差为d ．∴﹣=2000=2000d ，解得d=1．∴1==+2015×1，解得a 1=﹣2014．故选：D ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．某人要利用无人机测量河流的宽度，如图，从无人机A 处测得正前方河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时无人机的高是60米，则河流的宽度BC 等于（ ）A ．米B ．米 C ．米D ．米【考点】解三角形的实际应用．【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC 和DB 的长度，作差后可得答案．【解答】解：如图由图可知，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）=2﹣．在Rt △ADB 中，又AD=60，∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt △ADC 中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD•tan60°=60．∴BC=DC ﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（﹣1）（m ）．∴河流的宽度BC 等于120（﹣1）m ．故选：C ．【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B 、C 两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．10．在数列{a n }中，a 1=2，a n =a n ﹣1+ln （1+）（n ≥2）则{a n }=（ ）A ．2+nlnnB ．2+（n ﹣1）lnnC ．2+lnnD ．1+n+lnn 【考点】数列递推式． 【分析】根据条件，，即a n ﹣lnn=a n ﹣1﹣ln （n ﹣1），故{a n ﹣lnn}是常数数列，所以a n ﹣lnn=a 1﹣ln1=2，即a n =2+lnn ．【解答】解：∵ =，（n ≥2）∴a n =a n ﹣1+lnn ﹣ln （n ﹣1），（n ≥2） ∴a n ﹣lnn=a n ﹣1﹣ln （n ﹣1），（n ≥2） ∴{a n ﹣lnn}是常数数列，∴an ﹣lnn=a1﹣ln1=2，∴an=2+lnn．故选：C【点评】本题考查的知识点是数列的递推公式和对数的运算性质，属于基础题．11．已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最小值为2，则+的最小值为（）A．2 B．4 C．D．【考点】简单线性规划．【分析】画出可行域，利用目标函数去最小值得到a，b的等式， +的最小值【解答】解：约束条件对应的区域如图：目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）经过C时取最小值为2，所以a+b=2，则+=（+）（a+b）=（2+）≥2；当且仅当a=b时等号成立；故选A．【点评】本题考查了简单线性规划问题和基本不等式的应用求最值；关键是求出a+b=2，对所求变形为基本不等式的形式求最小值．12．已知a n =log n+1（n+2）（n ∈N +），观察下列运算：a 1•a 2=log 23•log 34==2；a 1•a 2•a 3•a 4•a 5•a 6=log 23•log 34•…•log 67•lg 78==3；…．定义使a 1•a 2•a 3•…•a k 为整数的k （k ∈N +）叫做希望数，则在区间内所有希望数的和为（ ） A ．1004B ．2026C ．4072D ．22016﹣2【考点】对数的运算性质．【分析】a n =log n+1（n+2）=，可得a 1•a 2•a 3•…•a n ==k ，n=2k﹣2．即可得出．【解答】解：a n =log n+1（n+2）=，∴a 1•a 2•a 3•…•a n =•…==k ，∴n+2=2k ．n ∈，∴n=22﹣2，23﹣1，…，210﹣2，∴在区间内所有希望数的和为=22﹣2+23﹣2+…+210﹣2=﹣2×9=2026， 故选：B ．【点评】本题考查了对数的运算性质、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（2016秋•寿光市期中）不等式kx 2﹣kx+1＞0的解集为R ，则实数k 的取值范围为 ，利用余弦定理可求，结合基本不等式可求x+y ≤120，从而可求观光道路总长度最长值．【解答】解：（1）在△ABC 中，由已知及正弦定理得，即，∴．（2）设CA=x ，CB=y ，x ，y ∈（0，200]，在△ABC 中，AB 2=AC 2+CB 2﹣2AC•CB•cos120°，即，∴，故x+y ≤120，当且仅当x=y=60时，x+y 取得最大值，∴当A 、B 两点各距C 点60米处时，观光道路总长度达到最长，最长为．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．21．（12分）（2016秋•寿光市期中）设等比数列{a n }的前项n 和S n ，a 2=，且S 1+，S 2，S 3成等差数列，数列{b n }满足b n =2n ． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设c n =a n b n ，若对任意n ∈N +，不等式c 1+c 2+…+c n ≥λ+2S n ﹣1恒成立，求λ的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由S 1+，S 2，S 3成等差数列，可得，化简为，又因为，解得a 1和q ，即可求出等比数列{a n }的通项公式；（2）因为{a n }是等比数列，{b n }是等差数列，而c n =a n b n ，故利用错位相减法即可求出T n =c 1+c 2+…+c n ，将T n 和S n 代入不等式，并整理得，记f （n ）=，利用作差法可得f（n）关于n单调递减，则f（n）max=f（1）=1，故，即λ≤2．【解答】解：（1）设数列{an}的公比为q，∵成等差数列，∴，∴，∵，∴，∴，∴．（2）设数列{cn }的前项n和为Tn，则Tn=c1+c2+c3+…+cn，又，∴，，两式相减得，∴，又，∴对任意n∈N+，不等式恒成立等价于恒成立，即恒成立，即恒成立，令，，∴f（n）关于n单调递减，∴，∴λ≤2，∴λ的取值范围为（﹣∞，2]．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、错位相减求和及利用数列的单调性求最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22．（12分）（2016秋•寿光市期中）已知二次函数f（x）=ax2+2x+c的对称轴为x=1，g（x）=x+（x＞0）．（1）求函数g（x）的最小值及取得最小值时x的值；（2）试确定c的取值范围，使g（x）﹣f（x）=0至少有一个实根；（3）若F（x）=﹣f（x）+4x+c，存在实数t，对任意x∈，使F（x+t）≤3x恒成立，求实数m的取值范围．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）根据基本不等式即可求出函数的最值；（2）根据对称轴求出a=﹣1，分别求出f（x）max =1+c，g（x）min=2，即1+c≥2，解得即；（3）把f（x+t）≤3x转化为（x+t）2+2（x+t）≤3x，即h（x）=x2+（2t﹣1）x+t2+2t，在x ∈恒小于0问题，考查h（x）的图象与性质，求出m的取值范围．【解答】解：（1）∵x＞0，∴，∴，当且仅当，即x=1时“=”成立，即g（x）min=2，此时x=1．（2）f（x）的对称轴为x=1，∴a=﹣1，∴f（x）=﹣x2+2x+c，g（x）﹣f（x）=0至少有一个实根，∴g（x）=f（x）至少有一个实根，即g（x）与f（x）的图象在（0，+∞）上至少有一个交点，f（x）=﹣（x﹣1）2+1+c，∴f（x）max =1+c，g（x）min=2，∴1+c≥2，∴c≥1，∴c的取值范围为，使（x+t）2+2（x+t）≤3x恒成立．∴x2+（2t﹣1）x+t2+2t≤0．令h（x）=x2+（2t﹣1）x+t2+2t，∴，即，转化为存在t∈，使t2+（2m+2）t+m2﹣m≤0成立．令G（t）=t2+（2m+2）t+m2﹣m，∴G（t）的对称轴为t=﹣（m+1），∵m＞1，∴﹣（m+1）＜﹣2．①当﹣4＜﹣（m+1）＜﹣2，即1＜m＜3时，，∴，∴1＜m＜3．②当﹣（m+1）≤﹣4，即m≥3时，，∴，∴，∴3≤m≤8．综上，实数m的取值范围为（1，8]．【点评】本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题的应用，解题时应讨论对称轴在区间内还是在区间左侧，还是区间右侧，从而确定函数的最值．。