【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修五《正、余弦定理》同步测试题及解析

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修五
一．选择题
1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B （ ）
A ．60°
B ．60°或120
C ．30°或150°
D ．120°
2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ）
A ．a=1,b=2 ,c=3
B ．a=1,b=2 , ∠A=30°
C ．a=1,b=2,∠A=100° C ．b=c=1, ∠B=45°
3、在锐角三角形ABC 中，有（ ）
A ．cosA>sin
B 且cosB>sinA B ．cosA<sinB 且cosB<sinA
C ．cosA>sinB 且cosB<sinA
D ．cosA<sinB 且cosB>sinA
4、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是（ ）
A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
5．在△ABC 中，BC ＝2，B ＝π3，若△ABC 的面积为32
，则tan C 的值为( ) A. 3 B ．1 C.33 D.32
6.已知△ABC 中，AB a =，AC b =，0a b ⋅<，154ABC S ∆=，3,5a b ==，则BAC ∠= （ ）
A.． 30 B ．150- C ．0150 D ． 30或0
150
7．三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，则三角形的另一边长为( )
A ．52
B ．2 13
C ．16
D ．4
8．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A ．－2 23 B.2 23
C ．－
63 D.63
9．已知两座灯塔A 和B 与观察站C 的距离都等于10 km ，A 在C 的北偏东40°，B 在
C 的南偏东20°，则灯塔A 与B 的距离为( )
A ．10 km
B ．10 2 km
C ．10 3 km
D ．15 km
10．若△ABC 的周长等于20，面积是10 3，A ＝60°，则BC 边的长是( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
二、填空题
11．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船行的速度为________海里/时．
12．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3
，则a ＝__________. 13．等边△ABC 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，那么a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________.
14．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为____
三．解答题
15．(本小题满分12分)已知在△ABC 中，A ＝45°，a ＝2 cm ，c ＝ 6 cm ，求角B 、C 及边b .
16．△ABC 的面积是30，内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，cos A ＝1213
. (1)求AB
→·AC →； (2)若c －b ＝1，求a 的值．
17．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3a b c B π=，4cos ,35
A b ==。

（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积.
18：如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC 于E，AB=2．
（1）求cos CBE
∠的值；（2）求AE．
答案：
15．解：由正弦定理得：
sin C ＝c a sin A ＝62×22＝32
， ∴C ＝60°或C ＝120°.
当C ＝60°时，B ＝180°－(A ＋C )＝75°，
b ＝a sin A ·sin B ＝2sin45°
×sin75°≈2.7(cm)； 当C ＝120°时，B ＝180°－(A ＋C )＝15°，
b ＝a sin A ·sin B ＝2sin45°
×sin15°≈0.7(cm)． ∴b ≈2.7 cm ，C ＝60°，B ＝75°，
或b ≈0.7 cm ，C ＝120°，B ＝15°.
16．解：由cos A ＝1213
， 得sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513
. 又12
bc sin A ＝30，∴bc ＝156. (1)AB →·AC →＝bc cos A ＝156×1213
＝144. (2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(c －b )2＋2bc (1－cos A )
＝1＋2·156·⎝
⎛⎭⎪⎫1－1213＝25. ∴a ＝5.
例5：解：（Ⅰ）因为0009060150,BCD ∠=+=CB AC CD ==
所以015CBE ∠=，()0062cos cos 45304CBE +∴∠=-= （Ⅱ）在ABE ∆中，2AB =，故由正弦定理得
()()00002s i n 4515
s i n 9015AE =-+ 故0
0122sin 30262cos1562
4AE ⨯===-+。