2017-2018北京市房山区高三数学理科一模试题及答案

房山区2018年高考第一次模拟测试试卷数学（理）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合{1,0,1,2}M =-，{|21,}N y y x x M ==+∈，则集合N M等于（A ）{1,1}-（B ）{1,2}（C ）{1,1,3,5}-（D ）{1,0,1,2}-（2）已知复数i 21+=z ，且复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于实轴对称，则=21z z （A ）1+i （B ）i 5453+（C ）i 54-53（D ）i 341+ （3）已知实数,x y 满足条件04010x y x y x -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则y x 的最大值是（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（4）执行如图所示的程序框图，若输出的88S =，则判断 框内应填入的条件是（A ）4k > （B ）5k > （C ）6k > （D ）7k >（5）下列函数中，与函数3y x =的单调性和奇偶性相同的函数是（A）y =B ）ln y x = （C ）tan y x =（D ）x x y e e -=-（6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）（B）（C）（D） （7）“m m >3”是“关于x 的方程sin x m =无解”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）如图，直线AB 与单位圆相切于点O ，射线OP 从OA 出发，绕着点O 逆时针旋转，在旋转的过程中，记(0)AOP x x π∠=<<，OP 经过的单位圆O 内区域（阴影部分）的面积为S ，记()S f x =，则下列判断正确．．的是 （A ）当34x π=时，3142S π=- （B ）(0,)x π∈时，()f x 为减函数 （C ）对任意(0,)2x π∈，都有()()22f x f x πππ-++=（D ）对任意(0,)2x π∈，都有()()22f x f x ππ+=+第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）抛物线24x y =的焦点坐标为.（10）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数)(*N n n ∈等于.（11）在极坐标系中，直线l 的方程为sin 3ρθ=，则点2,6π⎛⎫⎪⎝⎭到直线l 的距离为______．（12）已知函数()f x 同时满足以下条件：①周期为π；②值域为[0,1]；③()()0f x f x --=．试写出一个满足条件的函数解析式()f x =.（13）四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.某学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著均有若干本），要求每人只借阅一本名著，每种名著均有人借阅，且甲只借阅《三国演义》，则不同的借阅方案种数为.（14）如图，两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形，若直角边长为2，且μλ+=，则λμ+=.三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos2cos 0B B +=． （Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若b =，5a c +=，求△ABC 的面积．（16）（本小题13分）2017年冬，北京雾霾天数明显减少．据环保局统计三个月的空气质量，达到优良的天数超过70天，重度污染的天数仅有4天．主要原因是政府对治理雾霾采取了有效措施，如：①减少机动车尾气排放；②A B EDC实施了煤改电或煤改气工程；③关停了大量的排污企业；④部分企业季节性的停产．为了解农村地区实施煤改气工程后天燃气使用情况，从某乡镇随机抽取100户，进行月均用气量调查，得到的用气量数据（单位：千立方米）均在区间(]05，内，将数据按区间列表如下：（Ⅰ）求表中x ，m 的值，若同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该乡镇每户月平均用气量； （Ⅱ）从用气量在区间]4,3(和区间]5,4(的用户中任选3户，进行燃气使用的满意度调查，求这3户用气量处于不同区间的概率；（Ⅲ）若将频率看成概率，从该乡镇中任意选出了3户，用X 表示用气量在区间(]1,3内的户数，求X 的分布列和期望．（17）（本小题14分）如图，四棱锥ABCD P -中，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，2==CD PD ，PC =2，BC //=AD 21，AD CD ⊥. （Ⅰ）求证：⊥CD 平面PAD ；（Ⅱ）若E 为PD 中点，求CE 与面PBC 所成角的正弦值； （Ⅲ）由顶点C 沿棱锥侧面经过棱PD 到顶点A 的最短路线与PD 的交点记为F .求该最短路线的长及FDPF的值.PACDE（18）（本小题14分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>过点()0,1-，离心率2e =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F ()1,0作斜率为()0k k ≠的直线l ，l 与椭圆C 交于M ，N 两点，若线段MN 的垂直平分线交x 轴于点P ，求证：||||MN PF 为定值．（19）（本小题13分）已知函数()1ln ()f x a x a x∈R ＝－． （Ⅰ）当1a ＝-时，（i ）求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）设()()1g x xf x =-，求函数()g x 的极值； （Ⅱ）若函数f (x )在区间21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭有两个的零点，求实数a 的取值范围．（20）（本小题13分）已知有穷数列()12:,,...,2,n B a a a n n N ≥∈数列B 中各项都是集合{}11x x -<<的元素，则称该数列为Γ数列．对于Γ数列B ，定义如下操作过程T :B 中任取两项,p q a aB 的最后，然后删除,p q a a 这样得到一个1n -项的新数列1B (约定：一个数也视作数列)．若1B 还是Γ数列，可继续实施操作过程T ，得到的新数列记作2B ，…，如此经过k 次操作后得到的新数列记作k B .房山区2018年高考第一次模拟测试试卷数学（理） 参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

(9) ()01， (10)6 (11)2 (12) x y sin =或 x y cos = 或其它满足条件的结果。

(13) 60 (14) 1三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）（Ⅰ）解：由已知得 22cos cos 10B B +-=， 即 (2cos 1)(cos 1)0B B -+=．解得 1cos 2B =，或cos 1B =-． 因为 0πB <<，故舍去cos 1B =-． 所以 π3B =． …………6分 （Ⅱ）解：由余弦定理得 2222cos b a c ac B =+-．将π3B =，b =2()37a c ac +-=． 因为5a c +=，所以 6ac =．所以 △ABC 的面积1sin 2S ac B ==．…………13分 解：（Ⅰ）=100-75=25x ，25==0.25100m 估计该村每户平均用气量为0.514+1.525+2.555+3.54+4.522.05100⨯⨯⨯⨯⨯=…………4分（Ⅱ）设A =“这3户用气量处于不同区间”，则2112424236C C +C C 164()==C 205P A =…………7分 （Ⅲ）X 的可能取值为0，1，2，3，则303411(X=0)C =55125P ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12134112(X=1)C =55125P ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 21234148(X=2)C =55125P ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 30334164(X=3)C =55125P ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1124864120+1+2+3=1251251251255EX =⨯⨯⨯⨯ 或4~3,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以4123=55EX =⨯…………13分（17）证明：证明：（Ⅰ） 由题，222PD PC CD =+∴PD ⊥CDD AD PD D =⊥ ,A CDPAD CD 面⊥∴…………5分（Ⅱ）法1：由（Ⅰ）知OB OD OB PO OD PO ⊥⊥⊥,.,∴以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示C （0,1,2）P(0,0,1), D(0,1,0) B(0,0,2) E(0,21,21))21,21,2(--=,)0,1,0(),1,0,2(=-=设面PBC 的法向量),,(z y x n =)2,0,1(0,2,1x ,02{002{{=∴=====⇒==-⇒⋅⋅n y z y x z y z x 则令 设CE 与面PBC 所成角为θ1515|cos |sin =><=∴CE θ…………10分（Ⅱ）法2：以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示 C （0,2,0）P(-1,0,1), D(0,0,0) B(0,2,1-) E(21-,0,21) )212,21(，--=,)0,0,1(),12,0(=-=，设面PBC 的法向量),,(z y x =)2,1,0(0,2,1y ,02{002{{=∴=====⇒==-⇒⋅⋅y z y x z x z y 则令 设CE 与面PBC 所成角为θ1515|cos |sin =><=∴CE θ…………10分 法3：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz,如图所示C （0,2,2）P(0,1,1), D(0,2,0) B(0,1,2) E(0,23,21))21,21,2(--=CE ,)0,1,0(),1,0,2(=-=BC PB设面PBC 的法向量),,(z y x n =)2,0,1(0,2,1x ,02{002{{=∴=====⇒==-⇒⋅⋅n y z y x z y z x 则令 设CE 与面PBC 所成角为θ1515|cos |sin =><=∴CE θ…………10分（Ⅲ）为等腰直角三角形面PDC PD CD PD ∆∴⊥∴⊂PAD将侧面PCD 绕着PD 旋转，使其与侧面PAD 共面，点C 运动到C ’，连接AC ’交PD 于E ， 则AC ’为最短路线090'=∠=∠PDC APD为平行四边形四边形P ADC '//'∴=∴DC AP 的中点，为C A PD '∴E10210222,122==+=='=∴PE AP AE C A ED PE …………14分（18）（Ⅰ）根据题意22212b c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪⎪=+⎩解得：1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的方程为2212x y +=…………… 5分 （Ⅱ）设直线l 的方程为(1)y k x =-由2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得 2222(21)4220k x k x k +-+-= 由0∆>得k R ∈且0k ≠设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 中点00(,)Q x y 那么2122421k x x k +=+，21222221k x x k -=+212000222,(1)22121x x k kx y k x k k +-===-=++设(,0)P p ，根据题意PQ MN ⊥所以20202121221ky k k x p kp k -+==---+，得2221k p k =+ 所以22221||12121k k PF k k +=-=++||MN =22)21k k +=+所以||||MN PF = ………………… 14分 （19） (Ⅰ)解：1a ＝-，()1ln f x x x＝－，()11f ＝，()211x x f x-'+＝. ()10k f ∴='＝.故所求切线方程为：1y ＝(Ⅱ) 解：()ln g x x x =,函数定义域为：{|0}x x >()ln 1g x x '=+，01x e=111(0,)(,)()()x ee e g x g x +∞'-+极小值故()g x 的极小值为1e-，无极大值. (Ⅲ)解法1：令()1ln 0f x a x x =-=，解得：1x x aln ＝（显然0a ≠） 问题等价于函数1y a=与函数y x x ln ＝的图像有两个不同交点. 由(Ⅱ)可知：2212()g e e =-，11()g e e =-，21112a eae ⎧>-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得：22e a e -≤<- 故实数a 的取值范围是2,2e e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭.(Ⅲ)解法2：()2211a ax f x x x x+=--=-， （1）0a =时，()211,f x x e ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭在上是减函数，()f x 不能有两个零点； （2）0a >时，10ax +>，所以()210ax f x x +=-<，在21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，所以()21,f x e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭在上是减函数，()f x 不能有两个零点；（3）0a <时，令()210,ax f x x +=-=，1x a=- ()(),f x f x ，变化情况如下表： ()(),1110,,0xa a a f x f x ⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+极大值 （i ）211a e -≤时，即2a e ≤-，()f x 21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭在上是增函数，所以()f x 不能有两个零点； （ii ）211a e ->时，20e a -<<()211,f x e a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭在上是减函数，()1,f x a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭在上是增函数.()10f =所以若()f x 21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭在有两个零点只需： 21010f a f e ⎧⎛⎫-< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩即：221ln 01ln 0a a a e a e ⎧⎛⎫---< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪-≥⎪⎩ 解得22a e e a <-⎧⎪⎨≥-⎪⎩ 所以22e a e -≤<-综上可知a 的范围是2,2e e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭20.解：（Ⅰ）1B 有如下的三种可能结果：11111115:,;:,;:0,32237B B B ……………………3分（Ⅱ）∀,{|11}a b x x ∈-<<，有 (1)(1)1011a b a b ab ab +----=<++且(1)(1)(1)0.11a b a b ab ab+++--=>++ 所以1a b ab++{|11}x x ∈-<<，即每次操作后新数列仍是Γ数列. 又由于每次操作中都是增加一项，删除两项，所以对Γ数列A 每操作一次，项数就减少一项，所以对n 项的Γ数列A 可进行1n -次操作（最后只剩下一项） ……………………6分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知9B 中仅有一项.对于满足,{|11)a b x x ∈-<<的实数,a b 定义运算：1a b ab ab +=+，下面证明这种运算满足交换律和结合律。