高考绿色通道 对数函数

第二模块 函数、导数及其应用
数学
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4．若 f(x)＝logax 在[2，＋∞)上恒有 f(x)>1，则实数 a 的 取值范围是 1 A．( ，1) 2 C．(1,2) 1 B．(0， )∪(1,2) 2 1 D．(0，2)∪(2，＋∞) ( )
解析：据题意a>1，f(x)为增函数，∴当x∈[2，＋∞)时， f(x)≥loga2. 故 要 使 f(x)>1 恒 成 立 ， 只 需 f(x)min ＝ loga2>1 ， ∴1<a<2. 答案：C
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1．对数的概念 (1)对数的定义 ax＝N(a>0且a≠1) 如果 ，那么数x叫做以a为底 N的对数，记作 x＝logaN ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数．
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(2)几种常见对数
对数形式 一般对数 常用对数 自然对数 特点 底数为a(a> 0且a≠1) 底数为 10 底数为 e 记法 logaN lgN lnN
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3．对数函数的图象与性质
a>1 0<a<1
图 象
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(0，＋∞) (1)定义域： (2)值域： R (3)当x＝1时，y＝0，即过定点( 1,0 )
性 质
(5)在(0，＋∞)上为 增函数
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解：(1)原式＝lg 2(2lg 2＋lg5)＋ (lg 2)2－2lg 2＋1 ＝lg 2(lg2＋lg5)＋|lg 2－1| ＝lg 2·lg(2×5)＋1－lg 2＝1.
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4．反函数 指数函数y＝ax与对数函数 y＝logax 互为反函数，它 们的图象关于直线 y＝x 对称．
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1．已知 log7[log3(log2x)]＝0，那么 x 2等于( 1 A.3 2 C. 4 3 B. 6 3 D. 3
－
1
)
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答案：(1)A (2)A
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题(1)属函数图象的确定问题，应抓住定义域、值域、 奇偶性、单调性、对称性等特征；题(2)属识图、用图问题， 应观察图象中的特殊点、区域、单调性等特征，将其转化 为代数关系式是关键的一步，在这个过程中要设法利用所 需要的有效信息来解决问题.
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3．若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则( A．a<b<c C．b<a<c B．c<a<b D．b<c<a
)
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解析：∵ <x<1，∴－1<lnx<0. 令t＝lnx，则－1<t<0. ∴a－b＝t－2t＝－t>0.∴a>b. c－a＝t3－t＝t(t2－1)＝t(t＋1)(t－1)， 又∵－1<t<0，∴0<t＋1<1，－2<t－1<－1， ∴c－a>0，∴c>a.∴c>a>b. 答案：C
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lg2＋lg5－lg8 【例 1】 (1)化简： ； lg50－lg40 (2)化简：23＋log0.54； (3)已知 loga2＝m，loga3＝n，求 a2m n 的值．
＋
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B. 15 D．225
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解析：∵3a＝5b＝A，∴a＝log3A，b＝log5A， 1 1 ∴ ＋ ＝logA3＋logA5＝logA15＝2， a b ∴A2＝15，∴A＝ 15或 A＝－ 15(舍)．
答案：B
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解析：由条件知 log3(log2x)＝1，∴log2x＝3，∴x＝8， 2 ∴x 2＝ 4 .
－
1
答案：C
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1 1 2．已知 3 ＝5 ＝A，且 ＋ ＝2，则 A 的值是( a b
a b
)
A．15 C．± 15
；
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(3)对数的运算法则： 如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，那么 ①log (M·N)＝ logaM＋logaN ；
a
M log M－log N ②loga ＝ ； a a N ③logaMn＝ nlogaM (n∈R)； ④logamMn＝ logaM.
a 1
(
)
1b 1c 1 (2)设 a，b，c 均为正数，且 2 ＝log a，( ) ＝log b，( ) 2 2 2 2 ＝log2c，则 A．a<b<c C．c<a<b B．c<b<a D．b<a<c
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(
)
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思路分析： (1)由函数的奇偶性先求出a，再解不等式； (2)看能否通过等式和对数函数的性质确定a，b，c的 范围，从而比较a，b，c的大小．
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x＋3 解析：∵y＝lg ＝lg(x＋3)－1.故选 C. 10
答案：C
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2 【例 3】 (1)设 f(x)＝lg( ＋a)是奇函数，则使 f(x)<0 1－x 的 x 的取值范围是 A．(－1,0) C．(－∞，0) B．(0,1)Байду номын сангаасD．(－∞，0)∪(1，＋∞)
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5．已知log23＝a，log37＝b，试用a，b表示log1456.
log356 log37＋log38 解：log1456＝ ＝ log314 log32＋log37 3 log37＋3log32 b＋a ab＋3 7 3log ab 3 ＝ ＝ ＝ . 1 log32＋log37 ab＋1 ＋b a
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变式迁移
1
(1) 计 算 ： 2(lg 2 )2 ＋ lg 2 ·lg5 ＋
(lg 2)2－2lg 2＋1. (2)计算 23－log0.54. (3)已知 10a＝2,10b＝3，求 1002a b 的值．
－
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思路分析：(1)、(2)为化简题目，可由原式联想指数 与对数的运算法则、公式的结构形式来寻找解题思路．(3) 可先求出2m＋n的值，再用公式来求a2m＋n的值．
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2×5 5 lg 8 lg4 解：(1)原式＝ ＝ ＝1. 50 5 lg40 lg4
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π π 【例 2】 (1)函数 y＝lg cosx(－ <x< )的图象是( 2 2
)
(2)已知函数 f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如右 图所示，则 a，b 满足的关系是 ( )
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(5)在(0，＋∞)上为 减函数
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如何确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关 系？ 提示：作一直线y＝1，该直线与四个函数图象交点的 横坐标即为它们相应的底数． ∴0<c<d<1<a<b.
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2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a>0且a≠1)： ①loga1＝0 ；②logaa＝1 ； ③alogaN＝ N ；④logaaN＝ N .
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(2)对数的重要公式： ①换底公式：
A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1 C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1
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解析：(1)解法一：∵f(－x)＝lg cos(－x)＝lg cosx，而 π π x∈(－ ， )， 2 2 ∴f(x)是偶函数． π 又当 x∈[0， )时，cosx 递减， 2 ∴y＝lg cosx 递减， π ∴函数在(－ ，0]上递增，故选 A. 2
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变式迁移 2
(2009·北京高考)为了得到函数 y＝
x＋3 的图象，只需把函数 y＝lgx 的图象上所有的点 lg 10 ( B．向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 C．向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 D．向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 ) A．向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度
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(
)
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π π 解法二：∵－ <x< ，∴0<cosx≤1， 2 2 π π ∴y≤0，即当 x∈(－ ， )时，均有 y≤0. 2 2 (2) (2)由图象知，函数在 R 上单调递增． ∴a>1. 又当 x＝0 时，－1<y<0，即－1<logab<0， 1 1 ∴ <b<1，∴0< <b<1，选 A. a a
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解析：(1)∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0， 即 lg(2＋a)＝0.∴2＋a＝1. ∴a＝－1. 1＋x 2 从而 f(x)＝lg( －1)＝lg . 1－x 1－x 1＋x 由 f(x)<0，得 lg <0. 1－x 1＋x ∴0< <1.∴－1<x<0. 1－x
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变式迁移 3 为 5 A．( ，＋∞) 2 5 C．(－∞， ) 2
(1)函数 y＝log1(x2－5x＋6)的单调增区间
2
( B．(3，＋∞) D．(－∞，2)
)
(2)设 a>1， m＝loga(a2＋1)， 且 n＝loga(a－1)， p＝loga(2a)， 则 m，n，p 的大小关系为 A．n>m>p C．m>n>p B．m>p>n D．p>m>n
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1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转 化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数 考 纲 图象通过的特殊点． 要 求 3．知道对数函数是一类重要的函数模型． 4．了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且 a≠1)互为反函数. 1.本节内容主要出现在高考卷中的选择、填空题中，难度为中、低 档． 2．命题的热点为对数函数的图象、以对数函数为载体的复合函数 热 点 问题． 提 示 3．命题的重点是对数式的变形运算、图象与性质的应用，考查单 调性、值域(最值)、某些参数范围． 4．对数方程，对数不等式在2008年的试卷中也多处出现． 5．注重对数形结合思想、分类讨论思想的灵活运用的考查. 第二模块 函数、导数及其应用
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(2)易知 a>0，b>0，c>0，
1 1 ∴0<a<2，2<b<1,1<c<2. 故 a<b<c.
答案：(1)A (2)A
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本题要求熟练应用对数函数的性质：当 a>1，b>1 或 0<a<1,0<b<1 时，logab>0；当 a>1,0<b<1 或 0<a<1，b>1 时， logab<0.同时熟练应用单调性求解不等式：logab>1，logab<1 等.