常州市2016届高三上学期期末考试数学试题

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江苏省常州市高三上学期期末考试数学试题Word版含答案(K12教育文档)

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常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题 2014年1月参考公式：样本数据1x ,2x ,… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设集合{}21A x x x =<∈R ，，{}20B x x =≤≤，则A B = ▲ ．2．若1i1i im n +=+(m n ∈R ，，i 为虚数单位）,则mn 的值为 ▲ ． 3．已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=,则a 的值为 ▲ ．4．某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名，50名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了24 名，则在高二年级学生中应抽取的人数为 ▲ ．5．某市连续5天测得空气中PM2。

5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：3/g m ）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为 ▲ ．6．函数222sin 3cos 4y x x =+-的最小正周期为 ▲ ．7．已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ▲ ．8．已知实数x ，y 满足约束条件333x y y x +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤，，，则225z x y =--的最大值为 ▲ ．9．若曲线1C ：43236y x ax x =--与曲线2C ：e x y =在1x =处的切线互相垂直，则实数a 的值为▲ ．10．给出下列命题：（1)若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面； (2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面； (3)若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面; （4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．则其中所有真命题的序号为 ▲ ．11．已知,66⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,等比数列{}n a 中,11a =，343a ，若数列{}n a 的前2014项的和为0，则的值为 ▲ ．12．已知函数f （x )＝201,02(1),xx x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-⎩≥，，若((2))()f f f k ->，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 13．在△ABC 中,角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若tan 7tan A B =，223a b c -=，则c = ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：2216x y +=，点(1,2)P ，M ，N 为圆O 上不同的两点，且满足0PM PN ⋅=．若PQ PM PN =+,则PQ 的最小值为 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分）在△ABC 中，角A ,B ，C 的对边分别为a ,b ,c ．设向量(,)m a c =，(cos ,cos )n C A =．（1）若m n ∥,c =，求角A ；（2）若3sin m n b B ⋅=,4cos 5A =，求cos C 的值． 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB⊥BC ，E ，F 分别是1A B ，1AC 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）求证：平面AEF ⊥平面11AA B B ; (3）若1222A A AB BC a ===，求三棱锥F ABC -的体积．17．（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，已知35S a =，525S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2)若p ，q 为互不相等的正整数,且等差数列{}n b 满足pa b p =，qa b q =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．FBCE A1A 1B 1C （第16题）江苏省常州市高三上学期期末考试数学试题Word 版含答案(word 版可编辑修改)18．（本小题满分16分）圆在平面直角坐标系xOy 中，椭线为直线l ，动E :22221(0)x y a b ab+=>>的右准椭圆于A ，B 两直线y kx m =+(00)k m <>，交点，线段AB 的中点为M ，射线OM 分别交椭圆及直线l 于P ，Q 两点，如图．若A ，B 两点分别是椭圆E 的右顶点，上顶点时，点Q 的纵坐标为1e（其中e 为椭圆的离心率)，且OQ =．(1）求椭圆E 的标准方程;（2)如果OP 是OM ，OQ 的等比中项,那么mk是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．19．（本小题满分16分）几名大学毕业生合作开设3D 打印店，生产并销售某种3D 产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完,每件产品的生产成本为34元,该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出20000元．假设该产品的月销售量()t x （件)与销售价格x （元/件）（x *∈N ）之间满足如下关系：①当3460x ≤≤时，2()(5)10050t x a x =-++;②当6070x ≤≤时，()1007600t x x =-+．设该店月利润为M （元），月利润=月销售总额－月总成本．（1）求M 关于销售价格x 的函数关系式；（2)求该打印店月利润M 的最大值及此时产品的销售价格．20．（本小题满分16分）已知函数()ln af x x x x=--，a ∈R ．（第18题）(1）当0a =时，求函数()f x 的极大值；（2）求函数()f x 的单调区间;（3)当1a >时，设函数()(1)11ag x f x x x =-+-+-，若实数b 满足：b a >且 ()1b g g a b ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，()22a b g b g +⎛⎫= ⎪⎝⎭，求证：45b <<．常州市教育学会学生学业水平监测数学Ⅱ（附加题） 2014年1月21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲如图,等腰梯形ABCD 内接于⊙O ，AB ∥CD ．过点A 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ．求证：∠DAE =∠BAC .B ．选修4—2：矩阵与变换已知直线:0l ax y -=在矩阵A 0112⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线l '，若直线l '过点(1,1)，求实数a 的值．C ．选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知点3,)6P ，直线:cos()224l +=，求点P 到直线l 的距离．D ．选修4-5：不等式选讲已知1x ≥，1y ≥，求证：22221x x y xy y x y ++++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分,共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)如图，三棱锥P －ABC 中,已知平面PAB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2a ，点O ，D 分别是AB ,PB 的中点，PO ⊥AB ,连结CD ．(1)若2PA a =，求异面直线PA 与CD 所成角的余弦值的大小；（2)若二面角A －PB－C ，求PA ．23．（本小题满分10分)设集合A ,B 是非空集合M 的两个不同子集，满足：A 不是B 的子集,且B 也不是A 的子集．ABCDOP（第22题）（1)若M=1234{,,,}a a a a ，直接写出所有不同的有序集合对（A ,B ）的个数;(2）若M=123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，求所有不同的有序集合对(A ，B )的个数．常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题参考答案及评分标准一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共70分 1．[)0,1 2．1- 3． 1 4． 15 5．31。

(完整版)常州市届高三上学期期末考试数学试题

常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题 2014年1月参考公式：样本数据1x ，2x ，… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n i i x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．设集合{}21A x x x =<∈R ，，{}20B x x =≤≤，则A B = ▲ ．2．若1i1i im n +=+（m n ∈R ，，i 为虚数单位），则mn 的值为 ▲ ． 3．已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，则a 的值为 ▲ ． 4．某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名，50名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了24名，则在高二年级学生中应抽取的人数为 ▲ ．5．某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：3/g m m ）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为 ▲ ．6．函数222sin 3cos 4y x x =+-的最小正周期为 ▲ ．7．已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ▲ ．8．已知实数x ，y 满足约束条件333x y y x +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤，，，则225z x y =--的最大值为 ▲ ．9．若曲线1C ：43236y x ax x =--与曲线2C ：e x y =在1x =处的切线互相垂直，则实数a的值为 ▲ ．10．给出下列命题：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；（2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；（3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．则其中所有真命题的序号为 ▲ ．11．已知,66⎛⎫∈- ⎪⎝⎭p p q ，等比数列{}n a 中，11a =，343a =q ，若数列{}n a 的前2014项的和为0，则q 的值为 ▲ ．12．已知函数f (x )＝201,02(1),xx x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-⎩≥，，若((2))()f f f k ->，则实数k 的取值范围为 ▲ ．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若tan 7tan A B =，223a b c-=，则c = ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：2216x y +=，点(1,2)P ，M ，N 为圆O 上不同的两点，且满足0PM PN ⋅= ．若PQ PM PN =+ ，则PQ的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设向量(,)m a c =，(cos ,cos )n C A =．（1）若m n∥，c =，求角A ；（2）若3sin m n b B ⋅= ，4cos 5A =，求cos C 的值．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB ⊥BC ，E ，F 分别是1A B ，1AC 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）求证：平面AEF ⊥平面11AA B B ；（3）若1222A A AB BC a ===，求三棱锥F ABC-的体积．17．（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，已知35S a =，525S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若p ，q 为互不相等的正整数，且等差数列{}n b 满足p a b p =，q a b q =，求数列FBCE A 1A 1B 1C （第16题）rb{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>的右准线为直线l ，动直线y kx m=+(00)k m <>，交椭圆于A ，B 线段AB 的中点为M ，射线OM 分别交椭圆及直线l 于P ，Q 两点，如图．若A ，B 两点分别是椭圆E 的右顶点，上顶点时，点Q 的纵坐标为1e（其中e 为椭圆的离心率），且OQ =．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）如果OP 是OM ，OQ 的等比中项，那么mk是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．19．（本小题满分16分）几名大学毕业生合作开设3D 打印店，生产并销售某种3D 产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出20000元．假设该产品的月销售量()t x （件）与销售价格x （元/件）（x *∈N ）之间满足如下关系：①当3460x ≤≤时，2()(5)10050t x a x =-++；②当6070x ≤≤时，()1007600t x x =-+．设该店月利润为M （元），月利润=月销售总额－月总成本．（1）求M 关于销售价格x 的函数关系式；（2）求该打印店月利润M 的最大值及此时产品的销售价格．20．（本小题满分16分）已知函数()ln af x x x x=--，a ∈R ．（第18题）（1）当0a =时，求函数()f x 的极大值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）当1a >时，设函数()(1)11ag x f x x x =-+-+-，若实数b 满足：b a >且()1b g g a b ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，()22a b g b g +⎛⎫= ⎪⎝⎭，求证：45b <<．常州市教育学会学生学业水平监测数学Ⅱ（附加题） 2014年1月21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图，等腰梯形ABCD 内接于⊙O ，AB ∥CD ．过点A 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ．求证：∠DAE =∠BAC .B ．选修4—2：矩阵与变换已知直线:0l ax y -=在矩阵A 0112⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线l '，若直线l '过点（1,1），求实数a 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知点)6P p，直线:cos(4l +=pr q P 到直线l 的距离．D ．选修4—5：不等式选讲已知1x ≥，1y ≥，求证：22221x x y xy y x y ++++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22． (本小题满分10分)如图，三棱锥P －ABC 中，已知平面PAB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2a ，点O ，D 分别是AB ，PB 的中点，PO ⊥AB ，连结CD ．（1）若2PA a =，求异面直线PA 与CD 所成角的余弦值的大小；（2）若二面角A －PB －CPA ．23．（本小题满分10分）设集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集，满足：A不是B 的子集，且B 也不是AABCDOP（第22题）的子集．（1）若M=1234{,,,}a a a a ，直接写出所有不同的有序集合对(A ,B )的个数；（2）若M=123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，求所有不同的有序集合对(A ,B )的个数．常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．[)0,1 2．1- 3． 1 4． 155．31.6（写成1585也对） 6．p7．7108．12 9．13e 10．（1）（2） 11．9-p 12．12(log 9,4) 13．4 14．-二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）∵m n∥，∴cos cos a A c C =．由正弦定理，得sin cos sin cos A A C C =．化简，得sin 2sin 2A C =． ………………………………………………2分∵,(0,)A C p ∈，∴22A C =或22A C p +=，从而A C =（舍）或2A C p+=．∴2B p=． ………………………………4分在Rt △ABC 中，tan a A c ==6A p =． …………………………………6分（2）∵3cos m n bB ⋅=，∴cos cos 3sin a C c A b B +=．由正弦定理，得2sin cos sin cos 3sin A C C A B +=，从而2sin()3sin A C B +=．∵A B C p ++=，∴sin()sin A C B +=．从而1sin 3B =． ……………8分∵4cos 05A =>，(0,)A p ∈，∴(0,)2A p ∈，3sin 5A =． ……………………10分 ∵sin sin AB >，∴a b >，从而A B >，B 为锐角，cos B =． ………12分 ∴cos cos()cos cos sin sinC A B A B A B=-+=-+=431553-+⨯=． …………………………………14分16．证明：（1）连结1A C ．∵直三棱柱111A B C ABC -中，11AA C C 是矩形， ∴点F 在1A C 上，且为1A C 的中点．在△1A BC 中，∵E ，F 分别是1A B ，1A C 的中点， ∴EF ∥BC ． ……………2分又∵BC ⊂平面ABC ， EF ⊄平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． ………………4分（2）∵直三棱柱111A B C ABC -中，1B B ⊥平面ABC ，∴1B B ⊥BC ．∵EF ∥BC ，AB ⊥BC ，∴AB ⊥EF ，1B B ⊥ EF ． ………………………………6分∵1B B AB B = ，∴EF ⊥平面11ABB A ．………………………………8分∵EF ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面11ABB A ． ………………………………10分（3）11111223F ABC A ABC ABC V V S AA --∆==⨯⨯⨯………………………………12分=3211122326a a a ⨯⨯⨯=． ………………………………14分17．解：（1）由已知，得11133451025a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩，，解得11,2.a d =⎧⎨=⎩…………………4分∴21n a n =-．……………………………………………………………6分（2）p ，q 为正整数，由（1）得21p a p =-，21q a q =-． …………………8分进一步由已知，得21p b p -=，21q b q -=． ………………………………………10分∵{}n b 是等差数列，p q ≠，∴{}n b 的公差1222q p d q p -'==-． ………………12分由211(22)b b b p d p -'=+-=，得11b =．∴21(1)324n n n n nT nb d -+'=+=． …………………………………………14分18．解：当A ，B 两点分别是椭圆E 的右顶点和上顶点时，则(,0)A a ，(0,)B b ，(,)22a bM ．∵21(,)a Q c e ，∴由O ，M ，Q 三点共线，得21be aa c=，化简，得1b =．………2分∵OQ =，∴22a c a =2a =．由22212a b c b a ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩，，，解得225,4.a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩ …………………………………………4分（1）椭圆E 的标准方程为2215x y +=． …………………………………………6分（2）把(0,0)y kx m k m =+<>，代入2215x y +=，得222(51)10550k x mkx m +++-=． ……………………………………………8分当△0>，22510k m -+>时，2551M mk x k =-+，251Mmy k =+，从而点225(,)5151mk mM k k -++． ……………………………………………10分所以直线OM 的方程15y x k=-．由221515y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得2222551Pk x k =+． ……………………………………………12分∵OP 是OM ，OQ 的等比中项，∴2OP OM OQ =⋅，从而22252(51)P M Q mkx x x k ==-+．……………………………………………14分由2222525512(51)k mk k k =-++，得2m k =-，从而2mk=-，满足△0>． ……………15分∴mk为常数2-． ………………………………………………………………16分19．解：（1）当60x =时，(60)1600t =，代入2()(5)10050t x a x =-++，解得2a =． ………………………………………………………………2分∴2(22010000)(34)20000,3460,,()(1007600)(34)20000,6070,.x x x x x M x x x x x **⎧--+--<∈⎪=⎨-+--∈⎪⎩ΝΝ≤≤≤即32224810680360000,3460,,()1001100278400,6070,.x x x x x M x x x x x **⎧-++-<∈⎪=⎨-+-∈⎪⎩ΝΝ≤≤≤ ……………4分（注：写到上一步，不扣分．）（2）设2()(22010000)(34)20000g u u u u =--+--，3460u <≤，u ∈R ，则2()6(161780)g u u u '=---．令()0g u '=，解得18u =-，28(50,51)u =+．……………7分当3450u <<时，()0g u '>，()g u 单调递增；当5160u <<时，()0g u '<，()g u 单调递减． … ………………………………10分 ∵x *∈Ν，(50)44000M =，(51)44226M =，∴()M x 的最大值为44226．………12分当6070x ≤≤时，2()100(1102584)20000M x x x =-+--单调递减，故此时()M x 的最大值为(60)216000M =． … ………………………………14分综上所述，当51x =时，月利润()M x 有最大值44226元． ……………………15分答：该打印店店月利润最大为44226元，此时产品的销售价格为51元/件． ……16分20．解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞．（1）当0a =时，()ln f x x x =-，1()1f x x'=-，令()0f x '=得1x =． ………1分列表：x(0,1)1(1,)+∞()f x '+0 -()f x ↗极大值↘所以()f x 的极大值为(1)1f =-． …………………………………………3分(2) 2221()1a x x af x x x x -++'=-+=．令()0f x '=，得20x x a -++=，记14a ∆=+．Al t h（ⅰ）当14a -≤时，()0f x '≤，所以()f x 单调减区间为(0,)+∞； …………5分（ⅱ）当14a >-时，由()0f x '=得12x x ==①若104a -<<，则120x x >>，由()0f x '<，得20x x <<，1x x >；由()0f x '>，得21x x x <<．所以，()f x 的单调减区间为，)+∞，单调增区间为；…………………………………………………………7分②若0a =，由（1）知()f x 单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞；③若0a >，则120x x >>，由()0f x '<，得1x x >；由()0f x '>，得10x x <<．()f x 的单调减区间为)+∞，单调增区间为． ……9分综上所述：当14a -≤时，()f x 的单调减区间为(0,)+∞；当104a -<<时，()f x 的单调减区间为，)+∞，单调增区间为；当0a ≥时，()f x 单调减区间为)+∞，单调增区间为． ………………………………………………………10分（3）()ln(1)g x x =-（1x >）．由()()1bg g a b =-得1lnln(1)1a b =--．∵1a b <<，∴11b a -=-(舍)，或(1)(1)1a b --=．∵21(1)(1)(1)a b b =--<-，∴2b >． …………………………………12分由()2()2a bg b g +=得， 1ln(1)2ln(1)2ln [(1)(1)](*)22a b b a b +-=-=-+-⋅⋅⋅，因为112a b -+-，所以（*）式可化为1ln(1)2ln [(1)(1)]2b a b -=-+-，即2111[1]21b b b -=+--（）．………………………………………………14分令1(1)b t t -=>，则211[()]2t t t=+，整理，得4324210t t t -++=，从而32(1)(31)0t t t t ----=，即32310t t t ---=．记32()31,1h t t t t t =--->．2()361h t t t '=--，令()0h t '=得1t =（舍），1t =+，列表：t(1,1+(1)+∞()h t '-+()h t ↘↗所以，()h t 在(1,1+单调减，在(1)+∞单调增，又因为(3)0,(4)0h h <>，所以34t <<，从而45b <<． ………………………………………………16分常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅱ（附加题）参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．A ．选修4—1：几何证明选讲证明：∵ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ， ∴AD =BC ．从而A A AD BC=．∴∠ACD =∠BAC . ……………………………………………………4分∵AE 为圆的切线，∴∠EAD =∠ACD . …………………………………8分∴∠DAE =∠BAC . ……………………………………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：设(,)P x y 为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l '上点(,)P x y '''，则0112x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，化简，得 2,.x x y y x ''=-+⎧⎨'=⎩……………………………………………4分代入0ax y -=，整理，得(21)0a x ay ''-++=． ……………………………8分将点（1,1）代入上述方程，解得a =-1． ……………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：点P 的直角坐标为，…………………………………………………4分直线l 的普通方程为40x y --=，………………………………………8分从而点P 到直线l …………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲证明：左边-右边=2222()(1)1(1)[(1)1]y y x y x y y yx y x -+--+=--++………4分=(1)(1)(1)y xy x ---， ………………………………………………………6分∵1x ≥，1y ≥，∴0,0,0111y xy x ---≤≥≥． ………………………………………………8分从而左边-右边≤0，∴22221x x y xy y x y ++++≤． ………………………………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：连结OC ．∵平面PAB ⊥平面ABC ，PO ⊥AB ，∴PO ⊥平面ABC ．从而PO ⊥AB ，PO ⊥O C ．∵AC=BC，点O是AB的中点，∴OC⊥AB．且OA OB OC===． ……………2分如图，建立空间直角坐标系O xyz-．（1）2PA a=，PO=．(0,,0)A，,0)B，,0,0)C，)P，D．…………4分从而(0,)PA=，，()CD=．∵cos,PA CDPA CDPA CD⋅<>===∴异面直线PA与CD．……………………………6分（2）设PO h=，则(0,0,)P h．∵PO⊥O C，OC⊥AB，∴OC⊥平面P AB．从而,0,0)OC=是平面PAB的一个法向量．不妨设平面PBC的一个法向量为(,,)n x y z=，∵(0,)PB h=-，,0)BC=-，，0,0.n PBn BC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴,.hzx y==⎪⎩不妨令x=1，则y=1，z n=． ………………………8分OC nOC n⋅==，化简，得2223h a=．∴PA===．…………………………………10分23．解：（1）110；………………………………………………………………3分（2）集合M有2n个子集，不同的有序集合对(A,B)有2(21)n n-个．若A⊂≠B，并设B中含有*(1,)k k n k∈N≤≤个元素，则满足A⊂≠B的有序集合对 (A ,B ) 有1(21)232nn nk kkkkn n nnn k k k CC C ===-=-=-∑∑∑个． …………………6分同理，满足B ⊂≠A 的有序集合对(A ,B )有32n n-个． …………………8分故满足条件的有序集合对(A ,B )的个数为2(21)2(32)4223n n n n n nn---=+-⨯………………………………………………10分。

2016-2017年江苏省常州市高三上学期数学期末试卷与解析

共点，且直线 PQ 经过焦点 F，则该椭圆的离心率为． bcsinA，
13．（5 分）在△ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 a2=3b2+3c2﹣2 则 C= ．
14．（5 分）若函数的取值范围是．
在区间[1，2]上单调递增，则实数 a
二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 15．（14 分）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a+c=8，cosB= ．（1）若（2）若 sinA= =4，求 b 的值；，求 sinC 的值．
16．（14 分）在 ABC﹣A1B1C1 中，所有棱长均相等，且∠ABB1=60°，D 为 AC 的中点，求证：（1）B1C∥平面 A1BD；（2）AB⊥B1C．
[选修 4-2：矩阵与变换]（共 1 小题，满分 10 分） 22．（10 分）已知矩阵并求出 X．，列向量，若 AX=B，直接写出 A﹣1，
[选修 4-4：坐标系与参数方程]（共 1 小题，满分 0 分） 23．在平面直角坐标系中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知圆所截得的弦长为 2 被射线 θ=θ（ θ0 为常数，且 0 ρ≥0，，求 θ0 的值．）
高三数学Ⅱ试题（附加题）在 21,22,23,24 四个小题中只能选择两题，每小题 10
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分，共计 20 分[选修 4-1：几何证明选讲] 21．（10 分）如图，过圆 O 外一点 P 作圆 O 的切线 PA，切点为 A，连接 OP 与圆 O 交于点 C，过点 C 作圆 O 作 AP 的垂线，垂足为 D，若 PA=2 3，求 CD 的长．，PC：PO=1：

江苏省13市县2016届高三上学期期末联考数学考试试题分类汇编：函数

江苏省13市县2016届高三上学期期末联考数学试题分类汇编函数一、填空题（1）1、（常州市2016届高三上期末）函数22()log (22)f x x =-+的值域为2、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）定义在R 上的奇函数)(x f 满足当0≥x 时，b x a x x f +-++=)1()2(log )(2（a ，b 为常数），若1)2(-=f ，则)6(-f 的值为3、（南京、盐城市2016届高三上期末）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()22xx mf x =+，设(),1,()(),1,f x xg x f x x >⎧=⎨-≤⎩ 若函数()y g x t =-有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是 ▲ .4、（南通市海安县2016届高三上期末）若函数⎩⎨⎧>++-≤-=0,5ln 0,)()(2x a x x x a x x f 的最小值为)0(f ，则实数a 的取值范围是；5、（苏州市2016届高三上期末）函数22,0,()1,0x x f x x x ⎧⎪=⎨-+>⎪⎩≤的值域为 ▲6、（泰州市2016届高三第一次模拟）设()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()2ln4xxf x =+，记(5)n a f n =-，则数列{}n a 的前8项和为 ▲7、（无锡市2016届高三上期末）已知函数()322,1ln ,1x x x x f x x x ⎧--+<⎪=⎨≥⎪⎩，若对于(),t R f t kt∀∈≤恒成立，则实数k 的取值范围是8、（扬州市2016届高三上期末）已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则112-+b a 的最小值为 ▲9、（镇江市2016届高三第一次模拟）已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，则不等式f (x )<0的解集是________．填空题答案1、5、3(,]2-∞2、43、33[,]22- 4、［0,3］ 5、(,1]-∞ 6、－16 7、1[,1]e8、3 9、(－2，0)∪(2，＋∞)二、填空题（2）1、（常州市2016届高三上期末）已知函数2223,0()3,0x x x x f x e x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，若不等式()f x kx ≥对x R ∈恒成立，则实数k 的取值范围是2、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0)(0cos 2)(x x a x x x x x f ，若关于x 的不等式π<)(x f 的解集为)2,(π-∞，则实数a 的取值范围是．3、（南京、盐城市2016届高三上期末）设函数32,,ln ,x x x e y a x x e ⎧-+<=⎨≥⎩的图象上存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边的中点恰好在y 轴上，则实数a 的取值范围是 ▲ .4、（南通市海安县2016届高三上期末）在平面直角坐标xOy 中，将函数])2,0[(232∈-+=x x x y 的图像绕坐标原点O 按逆时针方向旋转角θ，若],0[αθ∈∀，旋转后所得曲线都是某个函数的图像，则α的最大值是；5、（苏州市2016届高三上期末）已知函数f (x )＝|sin |x －kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为0x ，则200(1)sin 2x x x +＝ ▲ ． 6、（扬州市2016届高三上期末）已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，）（a a x a x x f 3221)(--+-=. 若集合{}Φ=∈--R x x f x f x ，＞0)()1(|，则实数a 的取值范围为 ▲7、（镇江市2016届高三第一次模拟）函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ， x >0，12－⎪⎪⎪⎪12＋x ， x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝kx －k 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为________．答案1、2[3,]e - 2、()2,-π∞+ 3、1(0,]1e + 4、3π 5、12 6、1(,]6-∞ 7、【答案】[－13，1)∪(1，＋∞)．【解析】作函数图象可得，当y kx k =-过点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭时，直线的斜率最小即13k =-，当直线y k x k=-与()20y x x x =->相切时有一个交点，'1k y ==，故函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ， x >0，12－⎪⎪⎪⎪12＋x ， x ≤0，与直线y kx k =-有两个不同的交点时，k 的取值范围为[－13，1)∪(1，＋∞)，即关于x 的方程f (x )＝kx －k 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为[－13，1)∪(1，＋∞)．。

江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：圆锥曲线

江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编圆锥曲线一、填空题1、（常州市2016届高三上期末）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点P （1，－2），则该双曲线的离心率为2、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）抛物线x y 42=的焦点到双曲线191622=-y x 渐近线的距离为 3、（南京、盐城市2016届高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点(1,3)P ，则其焦点到准线的距离为 ▲ 4、（南通市海安县2016届高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线的方程为x y 3=则该双曲线的离心率为 5、（苏州市2016届高三上期末）双曲线22145x y -=的离心率为 ▲6、（泰州市2016届高三第一次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2212x y -=的实轴长为 ▲ ．7、（无锡市2016届高三上期末）设ABC ∆是等腰三角形，120ABC ∠=o ，则以A 、B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为8、（扬州市2016届高三上期末）双曲线116922=-y x 的焦点到渐近线的距离为 ▲ 9、（镇江市2016届高三第一次模拟）以抛物线y 2＝4x 的焦点为焦点，以直线y ＝±x 为渐近线的双曲线标准方程为________．填空题答案1 2、35 3、924、25、326、 7、12+ 8、4 9、【答案】x 212－y 212＝1．【解析】由题意设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，y 2＝4x 的焦点为()1,0，则双曲线的焦点为()1,0；y ＝±x 为双曲线的渐近线，则1ba=，又因222a b c +=，所以2211,22a b ==，故双曲线标准方程为x 212－y 212＝1．二、解答题1、（常州市2016届高三上期末）在平面直角坐标系xoy 中，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率是e ，定义直线by e=±为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为y =±，长轴长为4。

2016年江苏省常州市高三上学期苏教版数学期末考试试卷

2016年江苏省常州市高三上学期苏教版数学期末考试试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知集合，，，则．2. 已知，若是纯虚数（其中为虚数单位），则．3. 某单位有老人人，中年人人，青年人人，现采用分层抽样的方法从所有人中抽取一个容量为的样本，已知青年人抽取的人数为人，则．4. 双曲线的右焦点与左准线之间的距离是．5. 函数的定义域为．6. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值．7. 满足等式的值为．8. 设为等差数列的前项和，若，，则．9. 男队有号码，，的三名乒乓球运动员，女队有号码为，，，的四名乒乓球运动员，现两队各出一名运动员比赛一场，则出场的两名运动员号码不同的概率为．10. 以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为．11. 在中，，是的外心，若，则的取值范围为．12. 已知抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，若，是椭圆与抛物线的公共点，且直线经过焦点，则该椭圆的离心率为13. 在中，角，，的对边分别为，，，若，则．14. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是．二、解答题（共12小题；共156分）15. 在中，角，，的对边分别为，，，若，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．16. 在三棱柱中，所有棱长均相等，且，为的中点，求证：（1）平面；（2）．17. 已知圆：与椭圆：的一个公共点为，为椭圆的右焦点，直线与圆相切于点．（1）求的值及椭圆的方程；（2）过点任作与坐标轴都不垂直的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在一定点，使恰为的平分线?18. 某辆汽车以千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升，其中为常数，且．（1）若汽车以千米/小时的速度行驶时，每小时的油耗为升，欲使每小时的油耗不超过升，求的取值范围；（2）求该汽车行驶千米的油耗的最小值．19. 已知函数．（1）若曲线在点处的切线方程为，求的单调区间；（2）若，且关于的方程在上恰有两个不等的实根，求实数的取值范围；（3）若，，当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围（其中是自然对数的底数，）．20. 已知数列满足，．（1）若是等差数列，，且，求公差的取值集合；（2）若，，，成等比数列，公比是大于的整数，且，求正整数的最小值；（3）若，，，成等差数列，且，求正整数的最小值及取最小值时公差的值．21. 如图，过圆外一点作圆的切线，切点为，连接与圆交于点，过点作圆作的垂线，垂足为，若，，求的长．22. 已知矩阵，列向量，，若，直接写出，并求出．23. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．已知圆被射线（，为常数，且）所截得的弦长为，求的值．24. 已知，，且，求的最小值．25. 如图，以正四棱锥的底面中心为坐标原点建立空间直角坐标系，其中，，为中点，正四棱锥的底面边长为，高为，且有．（1）求的值；（2）求二面角的余弦值．26. 对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法．利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式．例如：考察恒等式，左边的系数为，而右边，的系数为，因此可得到组合恒等式．（1）根据恒等式两边（其中，，）的系数相同，直接写出一个恒等式；（2）利用算两次的思想方法或其他方法证明：，其中是指不超过的最大整数．答案第一部分1.【解析】因为集合，，，所以，．2.【解析】，纯虚数（其中为虚数单位），所以，，，解得．3.【解析】由题意，因为，所以青年人中抽取总人数的，故．4.【解析】双曲线的，，，可得右焦点与左准线方程即，即右焦点与左准线之间的距离是．5.【解析】因为，根据二次根式定义得根据对数函数定义得联立解得：．6.【解析】当时，执行循环体，不满足退出循环的条件，故；当时，执行循环体，不满足退出循环的条件，故；当时，执行循环体，不满足退出循环的条件，故；当时，执行循环体，满足退出循环的条件，故输出的值为．7.【解析】因为等式，即，即，求得（舍去），或，所以．8.【解析】因为为等差数列的前项和，，，所以解得，，所以．9.【解析】男队有号码，，的三名乒乓球运动员，女队有号码为，，，的四名乒乓球运动员，现两队各出一名运动员比赛一场，基本事件总数，出场的两名运动员号码不同的对立事件是出场的两名运动员号码相同，所以出场的两名运动员号码不同的概率．10.【解析】设圆锥的底面半径为，由题意圆锥底面半径等于圆锥的高，可知圆锥的侧面积为：．圆柱的侧面积为：．所以圆柱的侧面积与圆锥的侧面积之比为：．11.【解析】设圆的半径为，则由题意，不能同时为正，所以因为，是的外心，所以，两边平方即可得出因为由得．12.【解析】由题意，，不妨取，即代入椭圆方程，可得，整理可得，因为，所以．13.【解析】根据余弦定理由可得：，化简：因为，所以，所以，此时，故得，即，所以．14.【解析】，因为，所以时，，，由，解得：，即时，，在上单调递增，即的取值范围是：．第二部分15. （1）由，，所以，因为，可得：，即，，解得：．（2）因为，即，所以，又因为，所以，所以．则．16. （1）连接和，交于，连接，由，分别为，的中点，可得，由平面，平面，即有平面．（2）取中点，连接，，则．在正中，为的中点，所以，因为，所以平面，所以．17. （1）由题意知，，因为，，所以，则，因为，所以．因为，所以，则．所以椭圆的方程为．（2）设，，设：，代入，化简得．所以，，若点存在，设，由题意，．所以，所以．即所以，得．即在轴上存在一定点，使恰为的角平分线．18. （1）由题意可得当时，，解得，由，即，解得，又，可得，每小时的油耗不超过升，的取值范围为；（2）设该汽车行驶千米油耗为升，则，令，则，即有，对称轴为，由，可得，①若即，则当，即时，；②若即，则当，即时，．答：当，该汽车行驶千米的油耗的最小值为升；当，该汽车行驶千米的油耗的最小值为升．19. （1），由题意且，所以，，此时，令，得令，得，所以递增区间是，递减区间是．（2）时，，所以，令，，则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，而，，，所以，所以．（3），时，，所以，令，则对恒成立，，令，则对恒成立，所以在递增，所以，即对恒成立，所以①当，即时，恒成立，所以在递增，所以成立；②当即时，，令，则，令，解得：，当时，，所以递减，，即，所以递减，所以当时，，不成立，综上，．20. （1）由得，，又，所以，即对任意的恒成立，所以，即公差的取值集合是．（2）因为，且，所以，则，因为公比是大于的整数，所以，所以，化简得，，又为正整数，解得，即正整数的最小值是．（3）由条件得，，解得，因为，所以，所以，化简得，，解得，即的最小值是，此时．21. 连接，延长与圆相交于点，因为与相切于点，所以，又，则．所以．设，则，由切割线定理可得：，所以，解得．所以．22. 解法一：因为矩阵，所以，因为，所以解法二：因为矩阵，所以，因为，所以，所以解得所以．23. 圆即，即的直角坐标方程为：，即，射线（为常数，且）的直角坐标方程可以设为，则圆心到直线的距离，根据题意得：，解得：，即，，故．24. 根据柯西不等式可得：，化为：，当且仅当时取等号，所以的最小值为．25. （1）由题意，可得，，，，，所以，．故，又，所以，解得：．（2）由，得，．且，．设平面的一个法向量为，则即取，得；同理可得平面的一个法向量．所以．所以二面角的余弦值为．26. （1）．（2）考察等式，等式右边的常数项为：，因为当且仅当时，为常数，等式左边的常数项为：，所以成立．。

数学2016-2017学年度第一学期期末考试试题

2016－2017学年度第一学期期末考试试题一、细心选一选.（每小题3分，共30分）1．在下列各式的计算中，正确的是（）．A ．5x 3·（-2x 2）=-10x 5B ．4m 2n-5mn 2 = -m 2nC ．(-a)3÷(-a) =-a 2D ．3a+2b=5ab2．点M 1（a-1，5）和M 2(2,b-1)关于x 轴对称,则a,b 的值分别为（）．A ．3，－2B ．－3，2C ．4，－3D ．3，－4 3．下列图案是轴对称图形的有（）．A. 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．下列说法正确的是( )．A ．等腰三角形任意一边的高、中线、角平分线互相重合B ．顶角相等的两个等腰三角形全等C ．等腰三角形的一边不可以是另一边的两倍D ．等腰三角形的两底角相等5．如图所示,下列图中具有稳定性的是( )．6．下列各组线段中，能组成三角形的是（）．A ． a=2，b=3，c=8B ．a=7，b=6，c=13C ． a=12，b=14，c=18D ．a=4，b=5，c=67．下列多项式中，能直接用完全平方公式因式分解的是（）．A. x 2+2xy- y 2B. -x 2+2xy+ y 2C. x 2+xy+ y 2D. 42x -xy+y 28．在△ABC 和△DEF 中，给出下列四组条件：（1） AB=DE, BC=EF, AC=DF（2） AB=DE, ∠B=∠E, BC=EF （3）∠B=∠E , BC=EF, ∠C=∠FDC B A（4） AB=DE, AC=DF, ∠B=∠E 其中能使△ABC ≌△DEF 的条件共有 ( ).A.1组B.2组C.3组D.4组9．已知 a=833， b=1625, c=3219, 则有（）.A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b10．如图，在直角△ABC 中，∠ACB=90°，∠A 的平分线交BC 于D ．过C 点作CG ⊥AB 于G, 交AD 于E, 过D 点作DF ⊥AB 于F.下列结论：（1）∠CED=∠CDE （2）∠ADF=2∠FDB （3）CE=DF （4）△AEC 的面积与△AEG 的面积比等于AC:AG其中正确的结论是（）.A ．（1）（3）（4）B ．（2）（3）C ．(2) (3)（4）D ．(1)(2)(3)(4)二、耐心填一填.（每小题3分，共30分）11．实验表明，人体内某种细胞的形状可近似地看作球体，它的直径约为0.00000156m ，这个数用科学记数法表示为__________ m. 12. 如果把分式yx x＋2中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值． 13.已知ab=1，m =a ＋11+b＋11 ,则m 2016的值是 . 14．如果一个多边形的边数增加一条，其内角和变为1260°，那么这个多边形为边形．15．如图，若△ACD 的周长为19cm , DE为AB 边的垂直平分线,则 AC+BC= cm.16．若（x-1）0-2(3x-6)-2有意义，则x 的取值范围是 .17．如图，在直角△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，将AB 边沿AD 折叠，发现B 的对应点E 正好在AC 的垂直平分线上，则∠C= .18．如图，在△ABC 中,∠A=50°，点D 、E 分别在AB ，AC 上，EF 平分∠CED ，DF 平分∠BDE ，则 ∠F = ．19．已知等腰△ABC ，AB=AC,现将△ABC 折叠，使A 、B 两点重合，折痕所在的直线与直线AC 的夹角为40°，则∠B 的度数为．E DCBAGFEDCBAF EDC BA EDCBA20．如图，在△ABC 中，AB=AC,点D 在AB 上，过点D 作DE ⊥AC 于E ，在BC 上取一点F ，且点F 在DE 的垂直平分线上，连接DF ，若∠C=2∠BFD ，BD=5，CE=11，则BC 的长为．三、用心答一答.（60分） 21．（9分）(1) 分解因式： 8xy+ (2x-y)2（2）先化简，再求值：(a+b)2- b(2a+b)- 4b ，其中a=-2， b=-43；（3）先化简，再求值：（4482＋－＋x x x -x －21）÷xx x 232－＋，其中 x=-222．（6分）图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长为1，点A 、点B 和点C 在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各画一个四边形，满足以下要求：（1）在图1中画出以A 、B 、C 和D 为顶点的四边形，此四边形为轴对称图形，并画出一条直线将此四边形分割为两个等腰三角形；（2）在图2中画出以A 、B 、C 和E 为顶点的四边形，此四边形为轴对称图形，并画出此四边形的对称轴；（3）两个轴对称图形不全等．FEDCB A图1图223．（9分）已知关于x 的方程21＋＋x x - 1-x x = ）（＋1-)2(x x a的解是正数，求a 的取值范围.24．(6分) 如图，△ABC 与△ABD 都是等边三角形，点E 、F 分别在BC ，AC 上，BE=CF,AE 与BF 交于点G.（1）求∠AGB 的度数；（2）连接DG,求证：DG=AG+BG.25．（10分）百姓果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完；由于水果畅销，第二次购买时，每千克进价比第一次提高10%，用1452元所购买的数量比第一次多20kg ，以每千克9元出售100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果. （1）求第一次水果的进价是每千克多少元？（2）该果品店在这次销售中，总体是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？G F E DC B A26．（10分）（1）已知3x =4y =5z ，求yx y z 5332＋－的值．（2）已知6122－－－x x x =2＋x A +3－x B，其中A 、B 为常数，求2A+5B 的值．（3）已知 x+y+z ≠0，a 、b 、c 均不为0，且zy x＋=a, x z y ＋=b ， yx z ＋=c 求证：a a ＋1+b b ＋1+cc ＋1=127．（10分）如图1，AD//BC,AB ⊥BC 于B ，∠DCB=75°，以CD 为边的等边△DCE 的另一顶点E在线段AB 上.（1）求∠ADE 的度数；（2）求证：AB=BC ；（3）如图2，若F 为线段CD 上一点，∠FBC=30°，求DF:FC 的值.D图1E CBA D图2FE CBA。

江苏省常州市2016届高三上学期第一次调研测试数学试题

江苏省常州市2016届高三上学期第一次调研测试数学试题本试卷包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)．本卷满分160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 设复数z 满足(z ＋i )(2＋i )＝5(i 为虚数单位)，则z ＝________．2. 设全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，3}，B ＝{2，3}，则B ∩∁U A ＝________．(第7题)3. 某地区有高中学校10所、初中学校30所、小学学校60所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取20所学校对学生进行体质健康检查，则应抽取初中学校________所．4. 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点P (1，－2)，则该双曲线的离心率为________．5. 函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________．6. 某校从2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工，则选出的学生中男女生都有的概率为________．7. 如图所示的流程图中，输出S 的值是________． 8. 已知四棱锥PABCD 的底面ABCD 是边长为2，锐角为60°的菱形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝3.若点M 是BC 的中点，则三棱锥MPAD 的体积为________．9. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，4x ＋3y ≤20，x ≥0，y ≥0，则2x ＋y 的最大值为________．10. 已知平面向量a ＝(4x，2x)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，2x－22x ，x ∈R ，若a ⊥b ，则|a －b |＝________．11. 已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＋a 2＝49，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝40，则a 7＋a 8＋a 99的值为________．(第12题)12. 如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)则1m ＋1n的最小值为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线x ＋3y －b ＝0上，过P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为A ，B ，若满足PB ＝2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．14. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x ，x ≤0，e x ＋e 2， x>0若不等式f (x )≥kx 对z ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos (B －C)＝1－cos A ，且b ，a ，c 成等比数列．求：(1) sin B ² sin C 的值； (2) A ；(3) tan B ＋tan C 的值．16. (本小题满分14分)如图，正三棱柱A 1B 1C 1ABC ，点D ，E 分别是A 1C ，AB 的中点． (1) 求证：ED ∥平面BB 1C 1C ；(2) 若AB ＝2BB 1，求证：A 1B ⊥平面B 1CE.(第16题)已知等差数列{a n}的公差d为整数，且a k＝k2＋2，a2k＝(k＋2)2，其中k为常数且k∈N*.(1) 求k及a n；(2) 设a1>1，{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的首项为1，公比为q(q>0)，前n项和为T n.若存在正整数m，使得S2S m＝T3，求q.18. (本小题满分16分)如图，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧AB是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭．现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP(点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合)建栈桥．考虑到美观需要，设计方案为DP＝DC，∠CDP＝60°且圆弧栈桥BP 在∠CDP的内部．已知BC＝2OB＝2(km)，设湖岸BC与直线栈桥CD，DP及圆弧栈桥BP 围成的区域(图中阴影部分)的面积为S(km2)，∠BOP＝θ.(1) 求S关于θ的函数关系式；(2) 试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cosθ的值，若不存在，说明理由．(第18题)在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率是e ，定义直线y ＝±ba为椭圆的“类准线”．已知椭圆C 的“类准线”方程为y ＝±23，长轴长为4.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 点P 在椭圆C 的“类准线”上(但不在y 轴上)，过点P 作圆O ：x 2＋y 2＝3的切线l ，过点O 且垂直于OP 的直线与l 交于点A ，问点A 是否在椭圆C 上？证明你的结论．20. (本小题满分16分)已知a ，b 为实数，函数f (x )＝ax 3－bx.(1) 当a ＝1且b ∈[1，3]时，求函数F (x )＝|f （x ）x－lnx|＋2b ＋1⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤12，2的最大值M (b )；(2) 当a ＝0，b ＝－1时，记h (x )＝lnxf （x ）.①函数h (x )的图象上一点P (x 0，y 0)处的切线方程为y ＝y (x )，记g (x )＝h (x )－y (x )．问：是否存在x 0，使得对于任意x 1∈(0，x 0)，任意x 2∈(x 0，＋∞)，都有g (x 1)g (x 2)<0恒成立？若存在，求出所有可能的x 0组成的集合；若不存在，说明理由．②令函数H (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2e ， x ≥s ，h （x ）， 0<x<s ，若对任意实数k ，总存在实数x 0，使得H (x 0)＝k成立，求实数s 的取值集合．数学附加题21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. 选修4-1：几何证明选讲如图所示，△ABC 是⊙O 的内接三角形，且AB ＝AC ，AP ∥BC ，弦CE 的延长线交AP 于点D .(第21-A )求证：AD 2＝DE·DC.B. 选修4-2：矩阵与变换已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 24b 的属于特征值8的一个特征向量是e ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，点P (－1，2)在M 对应的变换作用下得到点Q ，求Q 的坐标．C. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎨⎧x ＝6cos αy ＝2sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(cos θ＋3sin θ)＋4＝0.求曲线C 上的点到直线l 的最大距离．D. 选修4-5：不等式选讲已知|x |<2，|y |<2，求证：|4－xy |>2|x －y |.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面ADD1A1⊥底面ABCD，D1A＝D1D＝2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2.(1) 在平面ABCD内找一点F，使得D1F⊥平面AB1C；(2) 求二面角CB1AB的平面角的余弦值．(第22题)23. (本小题满分10分)已知数列{a n}满足a n＝a n＋1－a－n－1a－a－1(n∈N*)，a≠－1，0，1.设b＝a＋1a.(1) 求证：a n＋1＝ba n－a n－1(n≥2，n∈N*)；(2) 当n(n∈N*)为奇数时，a n＝(－1)i C i n－i b n－2i，猜想当n(n∈N*)为偶数时，a n关于b的表达式，并用数学归纳法证明.(常州市) 数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 2－2i2. {2}3. 64.5 5.⎝⎛⎦⎤－∞，326. 9107. 238. 3 9. 7.5 10. 2 11. 11712. 7＋434 13. ⎝⎛⎭⎫－203，4 14. [－3，e 2]二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 解：(1) 因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C)．由cos (B －C)＝1－cos A ，得cos (B －C)＝1＋cos (B ＋C)，展开，整理得sin B sin C ＝12.(2分)(2) 又因为b ，a ，c 成等比数列，所以a 2＝bc ，由正弦定理，得sin 2A ＝sin B sin C ，从而sin 2A ＝12.(6分)因为A ∈(0，π)，所以sin A ＝22，又因为a 边不是最大边，所以A ＝π4.(8分)(3) 因为B ＋C ＝π－A ＝3π4，所以cos (B ＋C)＝cos B cos C －sin B sin C ＝－22，从而cos B cos C ＝1－22.(10分)所以tan B ＋tan C ＝sin B cos B ＋sin Ccos C＝sin （B ＋C ）cos B cos C(12分)＝221－22＝－2－ 2.(14分) 16. 证明：(1) 连结AC 1，BC 1，因为AA 1C 1C 是矩形，D 是A 1C 的中点，所以D 是AC 1的中点．(2分)在△ABC 1中，因为D ，E 分别是AC 1，AB 的中点，所以DE ∥BC 1.(4分)因为DE ⊄平面BB 1C 1C ，BC 1⊂平面BB 1C 1C ，所以ED ∥平面BB 1C 1C.(6分)(2) 因为△ABC 是正三角形，E 是AB 的中点，所以CE ⊥AB.又因为正三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，交线为AB ，所以CE ⊥平面ABB 1A 1. 从而CE ⊥A 1B.(9分)在矩形ABB 1A 1中，因为A 1B 1B 1B＝2＝B 1BBE，所以Rt △A 1B 1B ∽△Rt △B 1BE ，从而∠B 1A 1B ＝∠BB 1E.因此∠B 1A 1B ＋∠A 1B 1E ＝∠BB 1E ＋∠A 1B 1E ＝90°，所以A 1B ⊥B 1E.(12分) 又因为CE ，B 1E ⊂平面B 1CE ，CE ∩B 1E ＝E ，所以A 1B ⊥平面B 1CE.(14分)17. 解：(1) 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧dk ＋a 1－d ＝k 2＋2， ①2dk ＋a 1－d ＝（k ＋2）2， ②(2分) ②－①，得d ＝4＋2k.因为d ，k ∈N *，所以k ＝1，或k ＝2.(4分)当k ＝1时，d ＝6，代入①，解得a 1＝3，所以a n ＝6n －3.当k ＝2时，d ＝5，代入①，解得a 1＝1，所以a n ＝5n －4.(6分)(2) 因为a 1>1，所以a n ＝6n －3，从而S n ＝3n 2.(7分)由S 2S m ＝T 3，得123m 2＝1＋q ＋q 2，整理，得q 2＋q ＋1－4m2＝0.(9分)因为Δ＝1－4⎝⎛⎭⎫1－4m 2≥0，所以m 2≤163. 因为m ∈N *，所以m ＝1或m ＝2.(11分) 当m ＝1时，q ＝－13－12(舍)，q ＝13－12. 当m ＝2时，q ＝0或q ＝－1(均舍去)．综上所述，q ＝13－12.(14分) 18. 解：(1) 在△COP 中， CP 2＝CO 2＋OP 2－2CO·OP cos θ＝10－6cos θ，从而△CDP 的面积S △CDP ＝34CP 2＝32(5－3cos θ)．又因为△COP 的面积S △COP ＝12OC ²OP sin θ＝32sin θ，(6分)所以S ＝S △CDP ＋S △COP －S 扇形OBP ＝12(3sin θ－33cos θ－θ)＋532，0<θ≤θ0<π，cos θ0＝1－10512.(9分)(注：定义域2分．当DP 所在直线与半圆相切时，设θ取得最大值θ0，此时在△COP 中，OP ＝1，OC ＝3，∠CPO ＝30°，CP ＝10－6cos θ0，由正弦定理得10－6cos θ0＝6sin θ0，cos θ0＝1±10512.)(2) 存在．S ′＝12(3cos θ＋33sin θ－1)，令S′＝0，得sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝16.(12分)当0<θ<θ0时，S ′>0，所以当θ＝θ0时，S 取得最大值．(14分)(或者：因为0<θ<π，所以存在唯一θ0∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使得sin ⎝⎛⎭⎫θ0＋π6＝16.当0<θ<θ0<π时，S ′>0，所以当θ＝θ0时，S 取得最大值．)此时cos ⎝⎛⎭⎫θ0＋π6＝－356，cos θ＝cos [(θ0＋π6)－π6]＝1－10512.(16分) 19. 解：(1) 由题意⎩⎪⎨⎪⎧ab c ＝23，a ＝2又a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝3，c ＝1.(4分)所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(5分)(2) 点A 在椭圆C 上．证明如下：设切点为Q(x 0，y 0)，x 0≠0，则x 20＋y 20＝3，切线l 的方程为x 0x ＋y 0y －3＝0.当y P ＝23时，x P ＝3－23y 0x 0，即P ⎝⎛⎭⎪⎫3－23y 0x 0，23，则k OP ＝233－23y 0x 0 ＝2x 03－2y 0，(7分)所以k OA ＝2y 0－32x 0，直线OA 的方程为y ＝2y 0－32x 0x.(9分) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2y 0－32x 0x ，x 0x ＋y 0y －3＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6x 06－3y 0，y ＝3（2y 0－3）6－3y即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 06－3y 0，3（2y 0－3）6－3y 0，(11分) 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 06－3y 024＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3（2y 0－3）6－3y 023＝9（3－y 20）＋3（4y 20－43y 0＋3）3y 20－123y 0＋36＝3y 20－123y 0＋363y 20－123y 0＋36＝1，所以点A 的坐标满足椭圆C 的方程．(14分)当y P ＝－23时，同理可得点A 的坐标满足椭圆C 的方程，所以点A 在椭圆C 上．(16分)20. 解：(1) F(x)＝|x 2－ln x －b|＋2b ＋1，记t(x)＝x 2－ln x ，x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，则t′(x)＝2x －1x ，令t′(x)＝0，得x ＝22.(1分) 当12<x<22时，t ′<0，t(x)在⎝⎛⎭⎫12，22上为单调减函数，当22<x<2，t ′>0，t(x)在⎝⎛⎭⎫22，2上为单调增函数，又t ⎝⎛⎭⎫12＝14＋ln 2，t(2)＝4－ln 2，t ⎝⎛⎭⎫22＝1＋ln 22且t(2)－t ⎝⎛⎭⎫12＝154－2ln 2>0，所以t的取值范围为⎣⎡⎦⎤1＋ln 22，4－ln 2.(3分) 当b ∈[1，3]时，记v(t)＝|t －b|＋2b ＋1，则v(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋3b ＋1，1＋ln 22≤t ≤b ，t ＋b ＋1， b<t ≤4－ln 2.因为函数v(t)在⎣⎡⎦⎤1＋ln 22，b 上单调递减，在(b ，4－ln 2]上单调递增，且v ⎝⎛⎭⎫1＋ln 22＝3b ＋1－ln 22，v(4－ln 2)＝b ＋5－ln 2，v ⎝⎛⎭⎫1＋ln 22－v(4－ln 2)＝2b ＋ln 2－92，所以当b ≤9－ln 24时，最大值M(b)＝v(4－ln 2)＝b ＋5－ln 2，当b>9－ln 24时，最大值M(b)＝v ⎝⎛⎭⎫1＋ln 22＝3b ＋1－ln 22，所以M(b)＝⎩⎨⎧b ＋5－ln 2， 1≤b ≤9－ln 24，3b ＋1－ln 22， 9－ln 24<b ≤3(5分) (2) h(x)＝ln xx ，①h ′(x)＝1－ln x x 2，h ′(x 0)＝1－ln x 0x 20，所以y(x)＝1－ln x 0x 20(x －x 0)＋y 0，g(x)＝ln xx －y 0－1－ln x 0x 20(x －x 0)，g(x 0)＝0.(7分)g ′(x)＝1－ln x x 2－1－ln x 0x 20，g ′(x)＝0.令G(x)＝g′(x)＝1－ln x x 2－1－ln x 0x 20， G ′(x)＝－3＋2ln xx 3，所以g′(x)在()0，e 32上单调递减，在()e 32，＋∞上单调递增，若x 0<e 32，则x ∈(0，x 0)时，g ′(x)>0，g(x)单调递增，g(x)<g(x 0)＝0；x ∈()x 0，e 32时，g ′(x)<0，g(x)单调递减，g(x)<g(x 0)＝0，不符合题意；若x 0>e 32，则x ∈()e 32，x 0时，g ′(x)<0，g(x)单调递减，g(x)>g(x 0)＝0；x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x)>0，g(x)单调递增，g(x)>g(x 0)＝0，不符合题意；若x 0＝e 32，则x ∈()0，e 32时，g(x)<0，x ∈()e 3，＋∞时g(x)>0，符合题意．综上，存在x 0满足要求，且x 0的取值集合为{}e32.(10分)②因为对任意实数k ，总存在实数x 0，使得H(x 0)＝k 成立，所以函数y ＝H(x)的值域为一切实数．y ＝12e x 在[s ，＋∞)上是增函数，其值域为⎣⎡⎭⎫s2e ，＋∞.(11分) 对于函数y ＝ln xx ，y ′＝1－ln x x2，当x ＝e 时，y ′＝0，当x>e 时，y ′>0，在(e ，＋∞)上为单调增函数，当0<x<e 时，y ′<0，在(0，e )上为单调减函数．若s>e ，则函数y ＝ln xx在(0，e ]是增函数，[e ，s)是减函数，其值域为⎝⎛⎦⎤－∞，1e ，又1e <s2e ，不符合题意，舍去； (13分) 若0<s ≤e ，则函数y ＝ln xx 在(0，s)是增函数，值域为⎝⎛⎭⎫－∞，ln s s ，由题意得s 2e ≤ln ss，即s 2－2eln s ≤0. ①记u(s)＝s 2－2eln s ，u ′(s)＝2s －2es＝2（s 2－e ）s当0<s<e 时，u ′(s)<0，u(s)在(0，e )上为单调减函数．当s>e 时，u ′(s)>0，u(s)在(e ，e )上为单调增函数，所以，当s ＝e 时，u(s)有最小值u(e )＝0，从而u(s)≥0恒成立(当且仅当s ＝e 时，u(s)＝0)． ②(15分)由①②得，u(s)＝0，所以s ＝e .综上所述，实数s 的取值集合为{e }．(16分)附加题21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只有选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A. 选修4—1：几何证明选讲证明：连接AE ，则∠AED ＝∠B .(2分) ∵ AB ＝AC ，∴ ∠ACB ＝∠B ， ∴ ∠ACB ＝∠AED .(4分)∵ AP ∥BC ，∴ ∠ACB ＝∠CAD ， ∴ ∠CAD ＝∠AED .(6分)又∠ACD ＝∠EAD ，∴ △ACD ∽△EAD .(8分)∴CD AD ＝ADED，即AD 2＝DE ·DC .(10分)B. 选修4—2：矩阵与变换解：由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 24 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8³⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＝8，4＋b ＝8解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝4.(5分) ∴ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－24， ∴ 点Q 的坐标为(－2，4)．(10分)C. 选修44：坐标系与参数方程解：将l 转化为直角坐标方程为x ＋3y ＋4＝0.(3分)在C 上任取一点A (6cos α，2sin α)，α∈[0，2π)，则点A 到直线l 的距离为d ＝|6cos α＋6sin α＋4|2＝⎪⎪⎪⎪23sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋42＝23sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋42.(7分)当α＝π4时，d 取得最大值，最大值为2＋3，此时A 点为(3，1)．(10分)D. 选修45：不等式选讲证明：因为|4－xy |2－4|x －y |2＝(4－xy ＋2x －2y )(4－xy －2x ＋2y )(2分)＝(2＋x )(2－y )(2－x )(2＋y )＝(4－x 2)(4－y 2)>0，(7分)∵ |x |<2，|y |<2，∴ |4－xy |>2|x －y |.(10分)【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22. 解：(1) 以A 为原点，建立空间直角坐标系，如图，A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D 1(0，1，1)，B 1(1，－1，1)，设F(a ，b ，0)，则D 1F →＝(a ，b －1，－1)，(3分)由⎩⎪⎨⎪⎧D 1F →²AC →＝a ＋b －1＝0，D 1F →²AB 1→＝a －b ＝0，得a ＝b ＝12，(5分)∴ F ⎝⎛⎭⎫12，12，0，即F 为为AC 的中点．(6分)(2) 由(1)可取平面B 1AC 的一个法向量 n 1＝D 1F →＝⎝⎛⎭⎫12，－12，－1.(7分) 设平面B 1AB 的法向量n 2＝(x ，y ，z )，⎩⎪⎨⎪⎧n 2²AB →＝x ＝0，n 2²AB 1→＝x －y ＋z ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝z ，取n 2＝(0，1，1)．(8分)则cos 〈n 1，n 2〉＝－322³32＝－32.(9分)∴ 二面角CB 1AB 的平面角的余弦值为32.(10分)23. 解：(1) ba n －a n－1＝（a ＋a －1）（a n ＋1－a－n －1）a －a －1－a n －a －na －a －1＝a n ＋2－a －n －2a －a －1＝a n ＋1.(3分) (2) 猜想当n(n ∈N *)为偶数时，a n ＝错误!,i ＝0,错误!(－1)i C 错误!b n－2i(4分)下面用数学归纳法证明这个猜想．①当n ＝2时，a 2＝a 3－a －3a －a1＝a 2＋1＋a－2＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2－1＝b 2－1，结论成立．(5分) ②假设当n ＝k(k 为偶数)时，结论成立，即a k ＝(－1)i C i k －i b－2i＝b k －C 1k －1bk －2＋…＋(－1)i C i k －i b k －2i ＋…＋(－1)k2，此时k ＋1为奇数，∴ a k ＋1＝(－1)i C i k ＋1－i b k ＋1－2i＝b k ＋1－C 1k bk －1＋…＋(－1)iC i k ＋1－i b k ＋1－2i ＋…＋(－1)k 2C k2k ＋22b ，(6分)则当n ＝k ＋2(k 为偶数)时a k ＋2＝ba k ＋1－a k ＝[b k ＋2－C 1k b k＋…＋(－1)iC i k ＋1－i bk ＋2－2i＋…＋(－1)k 2C k2k ＋22b 2]－[b k －C 1k －1bk －2＋…＋(－1)i C i k －i b k －2i ＋…＋(－1)k2] ＝b k＋2－b k ＋…＋(－1)i (C i k ＋1－i ＋C i －1k －（i －1）)bk ＋2－2i ＋…＋(－1)k ＋22＝b k＋2－b k ＋…＋(－1)i C i k ＋2－i bk＋2－2i＋…＋(－1)k ＋22＝ (－1)i C i k ＋2－i bk＋2－2i，结论也成立．(9分)根据①和②，可知当n(n ∈N *)为偶数时，均有a n ＝(－1)i C i n －i bn －2i.(10分)。

(完整版)江苏省常州市高三上学期期末考试数学试题Word版含答案,推荐文档

（2） p ， q 为正整数，由（1）得 ap 2 p 1， aq 2q 1． …………………8 分
进一步由已知，得 b2 p1 p ， b2q1 q ． ………………………………………10 分
∵{bn} 是等差数列，
p
q
，∴{bn} 的公差
d
q 2q
p 2p
1 2
．
………………12 分
答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22． (本小题满分 10 分)
如图，三棱锥 P－ABC 中，已知平面 PAB⊥平面 ABC，AC⊥BC，AC=BC=2a，点 O，D 分
别是 AB，PB 的中点，PO⊥AB，连结 CD．
（1）若 PA 2a ，求异面直线 PA 与 CD 所成角的余弦
值的大小；
2
13．4 14． 3 3 5
二、解答题：本大题共6 小题，共计 90 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．解：（1）∵ m∥ n ，∴ a cos A c cos C ．由正弦定理，得 sin Acos A sin C cos C ．
化简，得 sin 2A sin 2C ．
由 b2b1 b1 (2 p 2)d p ，得 b1 1．
∴ Tn
2．若 1 mi 1 ni （ m， n R ，i 为虚数单位），则 mn 的值为 ▲ ． i
3．
已知双曲线 x2 a2
y2 4
1(a 0) 的一条渐近线方程为 2x y 0 ，则 a 的值为
▲
．
4．某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有 80 名，50 名．现用分层抽
20．（本小题满分 16 分）
已知函数 f (x) ln x x a ， a R ． x

江苏省常州市2016届高三上学期期末考试数学试题(WORD版答案图片版)

常州市2016届高三上学期期末学业水平监测数学I 试题 2016.01一、填空题（70分）1、设复数z 满足（z ＋i ）（2＋i ）＝5（i 为虚数单位），则z ＝2、设全集U ＝{}1,2,3,4，集合A ＝{}1,3，B ＝{}2,3，则U B C A ＝3、某地区有高中学校10所，初中学校30所，小学学校60所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取20所学校对学生进行体质健康检查，则应抽取初中学校所。

4、已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点P （1，－2），则该双曲线的离心率为5、函数22()log (22)f x x =-+的值域为6、某校从2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工，则选出的学生中男女生都有的概率为7、如图所示的流程图中，输出S 的值是8、已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为2，锐角为60°的菱形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝3，若点M 是BC 的中点，则三棱锥M －PAD 的体积为9、已知实数,x y 满足410432000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2x y +的最大值为 10、22(4,2),(1,)2x x x xa b -== ，x R ∈，若a b ⊥ ，则||a b - ＝11、已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且1249a a +=，3456a a a a +++＝40，则7899a a a ++的值为 12、如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足(,AP mAB nAD m n =+ 均为正数），则11m n+的最小值为 13、在平面直角坐标系xoy 中，已知圆O ：222211,:(4)4x y O x y +=-+=，动点P在直线30x y b +-=上，过P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为AB ，若满足PB ＝2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是14、已知函数2223,0()3,0x x x x f x e x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，若不等式()f x kx ≥对x R ∈恒成立，则实数k 的取值范围是二、解答题（90分）15、（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知cos()1cos B C A -=-，且,,b a c 成等比数列，求：（1）sin sin B C的值；（2）A ；（3）tan tan B C +的值。

江苏省市县高三上学期期末考试数学试题分类汇编：立体几何含附加题含答案

江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编立体几何一、填空题1、（常州市2016届高三上期末）已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为2，锐角为60°的菱形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝3，若点M 是BC 的中点，则三棱锥M －PAD 的体积为 2、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）已知矩形ABCD 的边4=AB ，3=BC 若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC ⊥平面BAC ,则三棱柱ABC D -的体积为 3、（南京、盐城市2016届高三上期末）设一个正方体与底面边长为2310正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为 ▲ .4、（南通市海安县2016届高三上期末）正四棱锥的底面边长为 2 cm ，侧面与底面所成二面角的大小为 60°，则该四棱锥的侧面积为 cm 25、（苏州市2016届高三上期末）将半径为5的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为123,,r r r ，则123r r r ++＝ ▲6、（泰州市2016届高三第一次模拟）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，O 为1BD 的中点，三棱锥O ABD -的体积为1V ，四棱锥11O ADD A -的体积为2V ，则12V V的值为 ▲ ．7、（无锡市2016届高三上期末）在圆锥VO 中，O 为底面圆心，半径OA OB ⊥且1OA VO ==，则O 到平面VAB 的距离为8、（扬州市2016届高三上期末）已知正四棱锥底面边长为24，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为 ▲9、（镇江市2016届高三第一次模拟）设b ，c 表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：①若b ⊂α，c ∥α，则b ∥c ； ②若b ⊂a ，b ∥c ，则c ∥a ； ③若c ∥α，α⊥β，则c ⊥β； ④若c ∥α，c ⊥β，则α⊥β.其中正确的命题是________．(写山所有正确命题的序号)（第9题）OCDBC 1A B 1A D 1填空题答案 1、3 2、2453、24、85、56、127、33 8、5 9、④二、解答题1、（常州市2016届高三上期末）如图，正三棱柱A 1B 1C 1－ABC ，点D 、E 分别是A 1C 、AB 的中点。

2016年秋高三(上)期末测试卷(理科数学)试题和参考答案

2016年秋高三(上)期末测试卷(理科数学)试题和参考答案2016年秋高三(上)期末测试卷理科数学一、选择题1.已知$a+2i$，其中$i$是虚数单位，则$ab=b+i$，其中$a$，$b$是实数。

(D)3.已知集合$A=\{1,2,3,4\}$，$B=\{xy=2x,y\in A\}$，则$A\cap B=\{2\}$。

(A)4.命题$p$：甲的数学成绩不低于100分，命题$q$：乙的数学成绩低于100分，则$p\lor(\neg q)$表示甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分。

(D)5.在平面直角坐标系$xOy$中，不等式组$\begin{cases}-1\leq x\leq 3\\ x+y-1\geq x-y-1\end{cases}$表示的平面区域的面积为$12$。

(D)7.执行如图所示的程序框图，若分别输入1，2，3，则输出的值得集合为$\{1,3\}$。

(D)8.设曲线$x=2y-y^2$上的点到直线$x-y-2=0$的距离的最大值为$a$，最小值为$b$，则$a-b$的值为$2$。

(B)9.函数$y=\sin x-\frac{1}{2}$的图像大致是$\begin{cases}y=\sin x-\frac{1}{2},-\pi\leq x\leq \pi\\ y=-\frac{1}{2}\end{cases}$。

(A)10.已知$\triangle ABC$的外接圆半径为$2$，$D$为该圆上一点，且$AB+AC=AD$，则$\triangle ABC$的面积的最大值为$4\sqrt{3}$。

(D)A）设定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(2-x)=f(x)，x1+x22>2，x1<x2，则（）B）f(x1)=f(x2)C）f(x1)>f(x2)D）f(x1)与f(x2)的大小不能确定答案：（C）改写后：设在定义在实数集上的函数f(x)的导数为f'(x)，且满足f(2-x)=f(x)，当x1+x22>2，x1f(x2)。

江苏省常州市高三期末数学试卷

2015-2016学年江苏省常州市高三（上）期末数学试卷一、填空题1．设复数z满足（z+i）（2+i）=5（i为虚数单位），则z=______．2．设全集U={1，2，3，4}，集合A={1，3}，B={2，3}，则B∩∁U A=______．3．某地区有高中学校10所、初中学校30所，小学学校60所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取20所学校对学生进行体质健康检查，则应抽取初中学校______所．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点P（1，﹣2），则该双曲线的离心率为______．5．函数f（x）=log2（﹣x2+2）的值域为______．6．某校从2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工，则选出的学生中男女生都有的概率为______．7．如图所示的流程图中，输出S的值是______8．已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2，锐角为60°的菱形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=3，若点M是BC的中点，则三棱锥M﹣PAD的体积为______．9．已知实数x，y满足，则2x+y的最大值为______．10．已知平面向量，，x∈R，若，则||=______．11．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a1+a2=，a3+a4+a5+a6=40．则的值为______．12．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AD=AB=4，CD=1，动点P在边BC上，且满足（m，n均为正实数），则的最小值为______．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，O1：（x﹣4）2+y2=4，动点P在直线x+y﹣b=0上，过P分别作圆O，O1的切线，且点分别为A，B，若满足PB=2PA的点P 有且只有两个，则实数b的取值范围是______．14．已知函数f（x）=若不等式f（x）≥kx，对x∈R恒成立，则实数k的取值范围是______．二、简答题15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos（B﹣C）=1﹣cosA，且b，a，c成等比数列，求：（1）sinB•sinC的值；（2）A；（3）tanB+tanC的值．16．如图，正三棱柱A1B1C1﹣ABC，点D，E分别是A1C，AB的中点．（1）求证：ED∥平面BB1C1C（2）若AB=BB1，求证：A1B⊥平面B1CE．17．已知等差数列{a n}的公差d为整数，且a k=k2+2，a2k=（k+2）2，其中k为常数且k∈N*（1）求k及a n（2）设a1＞1，{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的首项为l，公比为q（q＞0），前n项和为T n，若存在正整数m，使得，求q．18．如图，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP（点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合）建栈桥，考虑到美观需要，设计方案为DP=DC，∠CDP=60°且圆弧栈桥BP在∠CDP的内部，已知BC=2OB=2（km），设湖岸BC与直线栈桥CD，DP是圆弧栈桥BP围成的区域（图中阴影部分）的面积为S（km2），∠BOP=θ（1）求S关于θ的函数关系式；（2）试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cosθ的值，若不存在，说明理由．19．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆（a＞b＞0）的离心率是e，定义直线y=为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为y=，长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O：x2+y2=3的切线l，过点O且垂直于OP的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论．20．已知a，b为实数，函数f（x）=ax3﹣bx．（1）当a=1且b∈[1，3]时，求函数F（x）=||+2b+1（x∈[]的最大值为M（b））；（2）当a=0，b=﹣1时，记h（x）=①函数h（x）的图象上一点P（x0，y0）处的切线方程为y=y（x），记g（x）=h（x）﹣y （x）．问：是否存在x0，使得对于任意x1∈（0，x0），任意x2∈（x0，+∞），都有g（x1）g （x2）＜0恒成立？若存在，求也所有可能的x0组成的集合；若不存在，说明理由．②令函数H（x）=，若对任意实数k，总存在实数x0，使得H（x0）=k成立，求实数s的取值集合．选修4-1：几何证明选讲21．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB=AC，AP∥BC，弦CE的延长线交AP 于点D，求证：AD2=DE•DC．选修4-2：矩形与变换22．已知矩阵M=的属于特征值8的一个特征向量是e=，点P（﹣1，2）在M对应的变换作用下得到点Q，求Q的坐标．2015-2016学年江苏省常州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．设复数z满足（z+i）（2+i）=5（i为虚数单位），则z=2﹣2i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（z+i）（2+i）=5，得z+i=，∴z=2﹣2i．故答案为：2﹣2i．2．设全集U={1，2，3，4}，集合A={1，3}，B={2，3}，则B∩∁U A={2} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出（∁U A），再根据交集的运算法则计算即可【解答】解：∵全集U={1，2，3，4}，集合A={1，3}，∴（∁U A）={2，4}∵B={2，3}，∴（∁U A）∩B={2}故答为：{2}3．某地区有高中学校10所、初中学校30所，小学学校60所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取20所学校对学生进行体质健康检查，则应抽取初中学校6所．【考点】分层抽样方法．【分析】从100所学校抽取20所学校做样本，样本容量与总体的个数的比为1：5，得到每个个体被抽到的概率，即可得到结果．【解答】解：某城地区有学校10+30+60=100所，现在采用分层抽样方法从所有学校中抽取20所，每个个体被抽到的概率是=，∴用分层抽样进行抽样，应该选取初中学校×30=6人．故答案为：6．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点P（1，﹣2），则该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的渐近线过点P，建立a，b，c的关系，结合离心率的公式进行求解即可．【解答】解：焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，∵一条渐近线经过点P（1，﹣2），∴点P（1，﹣2）在直线y=﹣x，即=2，则b=2a，则c2=a2+b2=5a2，即c=a，则双曲线的离心率e===，故答案为：5．函数f（x）=log2（﹣x2+2）的值域为（﹣∞，]．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据对数函数以及二次函数的性质解答即可．【解答】解：∵0＜﹣x2+2≤2，∴x=0时，f（x）最大，f（x）=f（0）==，最大值故答案为：（﹣∞，]．6．某校从2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工，则选出的学生中男女生都有的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，由选出的学生中男女生都有的对立事件是选出的3名学生都是女生，由此利用对立事件概率计算公式能求出选出的学生中男女生都有的概率．【解答】解：某校从2名男生和3名女生中随机选出3名学生做义工，基本事件总数n==10，选出的学生中男女生都有的对立事件是选出的3名学生都是女生，∴选出的学生中男女生都有的概率为p=1﹣=1﹣=．故答案为：．7．如图所示的流程图中，输出S的值是【考点】程序框图．【分析】运行流程图，写出每次i ＜1026成立时S ，k 的值，当k=2016，k ＜1026不成立，退出循环，输出S 的值为．【解答】解：运行如图所示的流程图，有S=3，k=1，k ＜1026成立，S=，k=2k ＜1026成立，S=，k=3k ＜1026成立，S=3，k=4…观察规律可得S 的取值周期为3，由于2016=672×3，所以：k ＜1026成立，S=，k=2016k ＜1026不成立，退出循环，输出S 的值为．故答案为：．8．已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是边长为2，锐角为60°的菱形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA=3，若点M 是BC 的中点，则三棱锥M ﹣PAD 的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由AD ∥BC 可知S △ADM =S △ABD ，则V M ﹣PAD =V P ﹣ADM =．【解答】解：∵底面ABCD 是边长为2，锐角为60°的菱形，S △ADM =S △ADB ==， ∵PA ⊥底面ABCD ，∴V M ﹣PAD =V P ﹣ADM ==．故答案为．9．已知实数x，y满足，则2x+y的最大值为．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），令z=2x+y，得y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为．故答案为：．10．已知平面向量，，x∈R，若，则||=2．【考点】向量的模．【分析】根据向量的垂直关系求出，，从而求出||即可．【解答】解：平面向量，，x∈R，若，则4x+2x﹣2=0，解得：2x=1，∴=（1，1），=（1，﹣1）∴﹣=（0，﹣2），∴||=2，故答案为：2．11．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a1+a2=，a3+a4+a5+a6=40．则的值为117．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1+a2=，a3+a4+a5+a6=40．∴，解得a1=，q=3．则===117．故答案为：117．12．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AD=AB=4，CD=1，动点P在边BC上，且满足（m，n均为正实数），则的最小值为．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】假设=λ，用表示出，使用平面向量的基本定理得出m，n与λ的关系，得到关于λ的函数，求出函数的最值．【解答】解：=，==﹣+，设=λ=﹣+λ（0≤λ≤1），则==（1﹣）+λ．∵，∴m=1﹣，n=λ．∴===≥=．当且仅当3（λ+4）=即（λ+4）2=时取等号．故答案为：．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=1，O1：（x﹣4）2+y2=4，动点P在直线x+y﹣b=0上，过P分别作圆O，O1的切线，且点分别为A，B，若满足PB=2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是﹣＜b＜4．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出P的轨迹方程，动点P在直线x+y﹣b=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，转化为直线与圆x2+y2+x﹣=0相交，即可求出实数b的取值范围．【解答】解：由题意O（0，0），O1（4，0）．设P（x，y），则∵PB=2PA，∴（x﹣4）2+y2=4（x2+y2），∴x2+y2+x﹣=0，圆心坐标为（﹣，0），半径为，∵动点P在直线x+y﹣b=0上，满足PB=2PA的点P有且只有两个，∴直线与圆x2+y2+x﹣=0相交，∴圆心到直线的距离d=＜，∴﹣﹣＜b＜﹣+故答案为：﹣＜b＜4．14．已知函数f（x）=若不等式f（x）≥kx，对x∈R恒成立，则实数k的取值范围是﹣3≤k≤e2．【考点】函数恒成立问题．【分析】根据分段函数的表达式，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．【解答】解：当x=0时，不等式f（x）≥kx等价为0≥0成立，当x＜0时，由f（x）≥kx得2x2﹣3x≥kx，即2x﹣3≤k，当x＜0，2x﹣3＜﹣3，则k≥﹣3；当x＞0时，由f（x）≥kx得e x+e2≥kx，≥k，设h（x）=，当x＞0时，h′（x）=，设g（x）=xe x﹣e x﹣e2，则g′（x）=xe x，当x＞0时，g′（x）＞0，即函数g（x）为增函数，∵g（2）=2e2﹣e2﹣e2=0，∴当x＞2时，g（x）＞0，h′（x）＞0，函数h（x）为增函数，当0＜x＜2时，g（x）＜0，h′（x）＜0，函数h（x）为减函数，即当x=2时，函数h（x）取得极小值，同时也是最小值h（2）==e2，此时k≤e2，综上﹣3≤k≤e2，故答案为：﹣3≤k≤e2．二、简答题15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos（B﹣C）=1﹣cosA，且b，a，c成等比数列，求：（1）sinB•sinC的值；（2）A；（3）tanB+tanC的值．【考点】正弦定理；三角函数的化简求值．【分析】（1）利用三角形内角和定理及两角和的余弦函数公式化简cos（B﹣C）=1﹣cosA 即可求得sinBsinC的值．（2）由等比数列的性质可得a2=bc，由正弦定理得sin2A=sinBsinC，由（1）解得sin2A=，结合范围A∈（0，π），a边不是最大边，即可解得A的值．（3）由B+C=π﹣A=，可得cos（B+C）=cosBcosC﹣sinBsinC=﹣，解得cosBcosC的值，利用同角三角函数基本关系式及两角和的正弦函数公式化简所求后计算即可得解．【解答】（本题满分为14分）解：（1）∵cos（B﹣C）=1﹣cosA=1+cos（B+C），∴cosBcosC+sinBsinC=1+cosBcosC﹣sinBsinC，∴sinBsinC=．…2分（2）∵b，a，c成等比数列，∴a2=bc，由正弦定理，可得sin2A=sinBsinC，从而sin2A=，因为A∈（0，π），所以sinA=，又因为a边不是最大边，所以A=…8分（3）因为B+C=π﹣A=，所以cos（B+C）=cosBcosC﹣sinBsinC=﹣，从而cosBcosC=，…10分所以tanB+tanC====﹣2﹣…14分16．如图，正三棱柱A1B1C1﹣ABC，点D，E分别是A1C，AB的中点．（1）求证：ED∥平面BB1C1C（2）若AB=BB1，求证：A1B⊥平面B1CE．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AC1，BC1，则DE∥BC1，由此能证明ED∥平面BB1C1C．（2）推导出CE⊥AB，从而CE⊥平面ABB1A1，进而CE⊥A1B，再推导出Rt△A1B1B∽Rt△B1BE，从而A1B⊥B1E，由此能证明A1B⊥平面B1CE．【解答】证明：（1）连结AC1，BC1，∵AA1C1C是矩形，D是A1C的中点，∴D是AC1的中点，在△AA1C1C中，∵D、E分别是AC1、AB的中点，∴DE∥BC1，∵DE⊄平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，∴ED∥平面BB1C1C．（2）∵△ABC是正三角形，E是AB的中点，∴CE⊥AB，又∵正三棱柱A1B1C1﹣ABC中，平面ABC⊥平面ABB1A1，交线为AB，∴CE⊥平面ABB1A1，∴CE⊥A1B，在矩形ABB1A1中，∵，∴Rt△A1B1B∽Rt△B1BE，∴∠B1A1B=∠BB1E，∴∠B1A1B+∠A1B1E=∠BB1E+∠A1B1E=90°，∴A1B⊥B1E，∵CE，B1E⊂平面B1CE，CE∩B1E=E，∴A1B⊥平面B1CE．17．已知等差数列{a n}的公差d为整数，且a k=k2+2，a2k=（k+2）2，其中k为常数且k∈N*（1）求k及a n（2）设a1＞1，{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的首项为l，公比为q（q＞0），前n项和为T n，若存在正整数m，使得，求q．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）根据等差数列{a n}的公差d为整数，且a k=k2+2，a2k=（k+2）2，其中k为常数且k∈N*，可得a1+（k﹣1）d=k2+2，a1+（2k﹣1）d=（k+2）2，解得d=4+，即可得出．（2）由于a1＞1，可得a n=6n﹣3，S n=3n2．而，可得T3==1+q+q2．整理为：q2+q+1﹣=0，利用△≥0，解得m，即可得出．【解答】解：（1）∵等差数列{a n}的公差d为整数，且a k=k2+2，a2k=（k+2）2，其中k为常数且k∈N*，∴a1+（k﹣1）d=k2+2，a1+（2k﹣1）d=（k+2）2，解得d=4+，∵k=1或2，∴当k=1时，d=6，a1=3，a n=3+6（n﹣1）=6n﹣3；当k=2时，d=5，a1=1，a n=1+5（n﹣1）=5n﹣4．（2）∵a1＞1，∴a n=6n﹣3，∴S n==3n2．∵，∴T3===1+q+q2．整理为：q2+q+1﹣=0，∵△=1﹣4≥0，解得m2≤，∵m∈N*，∴m=1或2．当m=1时，q2+q﹣3=0，q＞0，解得q=．当m=2时，q2+q=0，q＞0，舍去．综上可得：q=．18．如图，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP（点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合）建栈桥，考虑到美观需要，设计方案为DP=DC，∠CDP=60°且圆弧栈桥BP在∠CDP的内部，已知BC=2OB=2（km），设湖岸BC与直线栈桥CD，DP是圆弧栈桥BP围成的区域（图中阴影部分）的面积为S（km2），∠BOP=θ（1）求S关于θ的函数关系式；（2）试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cosθ的值，若不存在，说明理由．【考点】在实际问题中建立三角函数模型．【分析】（1）根据余弦定理和和三角形的面积公式，即可表示函数关系式，（2）存在，存在，S′=（3cosθ+3sinθ﹣1），根据两角和差的余弦公式即可求出．【解答】解：（1）在△COP中，CP2=CO2+OP2﹣2OC•OPcosθ=10﹣6cosθ，从而△CDP得面积S△CDP=CP2=（5﹣3cosθ），又因为△COP得面积S△COP=OC•OP=sinθ，=（3sinθ﹣3cosθ﹣θ）+，0＜θ＜θ0＜π，所以S=S△CDP+S△COP﹣S扇形OBPcosθ0=，当DP所在的直线与半圆相切时，设θ取的最大值为θ0，此时在△COP中，OP=1，OC=3，∠CPO=30°，CP==6sinθ0，cosθ0=，（2）存在，S′=（3cosθ+3sinθ﹣1），令S′=0，得sin（θ+）=，当0＜θ＜θ0，S′＞0，所以当θ=θ0时，S取得最大值，此时cos（θ0+）=﹣，∴cosθ0=cos[（θ0+）﹣]=cos（θ0+）cos+sin（θ0+）sin=19．在平面直角坐标系xOy中，设椭圆（a＞b＞0）的离心率是e，定义直线y=为椭圆的“类准线”，已知椭圆C的“类准线”方程为y=，长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）点P在椭圆C的“类准线”上（但不在y轴上），过点P作圆O：x2+y2=3的切线l，过点O且垂直于OP的直线l交于点A，问点A是否在椭圆C上？证明你的结论．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程，联立方程组求得a2=4，b2=3，c2=1，则椭圆方程可求；（2）设P（x0，2）（x0≠0），当x0=时和x0=﹣时，求出A的坐标，代入椭圆方程验证知，A在椭圆上，当x0≠±时，求出过点O且垂直于0P的直线与椭圆的交点，写出该交点与P点的连线所在直线方程，由原点到直线的距离等于圆的半径说明直线是圆的切线，从而说明点A在椭圆C上．【解答】解：（1）由题意得：==2，2a=4，又a2=b2+c2，联立以上可得：a2=4，b2=3，c2=1．∴椭圆C的方程为+y2=1；（2）如图，由（1）可知，椭圆的类准线方程为y=±2，不妨取y=2，设P（x0，2）（x0≠0），则k OP=，∴过原点且与OP垂直的直线方程为y=﹣x，当x0=时，过P点的圆的切线方程为x=，过原点且与OP垂直的直线方程为y=﹣x，联立，解得：A（，﹣），代入椭圆方程成立；同理可得，当x0=﹣时，点A在椭圆上；当x0≠±时，联立，解得A1（，﹣），A2（﹣，），PA1所在直线方程为（2+x0）x﹣（x0﹣6）y﹣x02﹣12=0．此时原点O到该直线的距离d==，∴说明A点在椭圆C上；同理说明另一种情况的A也在椭圆C上．综上可得，点A在椭圆C上．20．已知a，b为实数，函数f（x）=ax3﹣bx．（1）当a=1且b∈[1，3]时，求函数F（x）=||+2b+1（x∈[]的最大值为M（b））；（2）当a=0，b=﹣1时，记h（x）=①函数h（x）的图象上一点P（x0，y0）处的切线方程为y=y（x），记g（x）=h（x）﹣y （x）．问：是否存在x0，使得对于任意x1∈（0，x0），任意x2∈（x0，+∞），都有g（x1）g （x2）＜0恒成立？若存在，求也所有可能的x0组成的集合；若不存在，说明理由．②令函数H（x）=，若对任意实数k，总存在实数x0，使得H（x0）=k成立，求实数s的取值集合．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）记t（x）=x2﹣lnx，x∈[，2]，求出t（x）的范围是[，4﹣ln2]，b∈[1，3]时，记v（t）=|t﹣b|+2b+1，求出函数的单调性，求出M（b）即可；（2）①求出h（x）的导数，求出g（x）的表达式，结合函数的单调性求出x0的值即可；②求出H（x）的值域，根据y=x在[s，+∞）递增，值域是[，+∞），若s＞e，则函数y=在（0，e）递增，[e，s）是减函数，其值域是（﹣∞，]，得到≤，即s2﹣2elns≤0，①，记u（s）=s2﹣2elns，根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（1）F（x）=|x2﹣lnx﹣b|+2b+1，记t（x）=x2﹣lnx，x∈[，2]，则t′（x）=2x﹣，令t′（x）=0，得：x=，＜x＜2时，t′（x）＜0，t（x）在（，）上递减，＜x＜2时，t′（x）＞0，t（x）在（，2）上递增，又t（）=+ln2，t（2）=4﹣ln2，t（）=且t（2）﹣t（）=﹣2ln2＞0，∴t（x）的范围是[，4﹣ln2]，b∈[1，3]时，记v（t）=|t﹣b|+2b+1，则v（t）=，∵v（t）在[，b]上递减，在（b，4﹣ln2]递增，且v（）=3b+，v（4﹣ln2）=b+5﹣ln2，v（）﹣v（4﹣ln2）=2b+，∴b≤时，最大值M（b）=v（4﹣ln2）=b+5﹣ln2，b＞时，最大值M（b）=v（）=3b+，∴M（b）=；（2）h（x）=，①h′（x）=，h′（x0）=，∴y（x）=（x﹣x0）+y0，g（x）=﹣y0﹣（x﹣x0），g（x0）=0，g′（x）=﹣，g′（x0）=0，令G（x）=g′（x）=﹣，G′（x）=，∴g′（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，若x0＜，则x∈（0，x0）时，g′（x）＞0，g（x）递增，g（x）＜g（x0）=0，x∈（x0，）时，g′（x）＜0，g（x）递减，g（x）＜g（x0）=0，不符合题意，若x0＞，则x∈（，x0）时，g′（x）＜0，g（x）递减，g（x）＞g（x0）=0，x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）递增，g（x）＞g（x0）=0，不符合题意，若x0=，则x∈（0，）时，g（x）＜0，x∈（，+∞）时，g（x）＞0，符合题意，综上，存在x0满足要求，且x0的取值集合是{}，②∵对任意实数k，总存在实数x0，使得H（x0）=k成立，∴y=H（x）的值域是R，y=x在[s，+∞）递增，值域是[，+∞），对于y=，y′=，x=e时，y′=0，x＞e时，y′＞0，在（e，+∞）递增，0＜x＜e时，y′＜0，在（0，e）递减，若s＞e，则函数y=在（0，e）递增，[e，s）是减函数，其值域是（﹣∞，]，又＜，不符合题意，舍去，若0＜s≤e，则函数y=在（0，s）递增，其值域是（﹣∞，），由题意得：≤，即s2﹣2elns≤0，①，记u（s）=s2﹣2elns，u′（s）=2s﹣=，0＜s＜时，u′（s）＜0，u（s）在（0，）递减，s＞时，u′（s）＞0，u（s）在（，e）递增，∴s=时，u（s）有最小值u（）=0，从而u（s）≥0恒成立（当且仅当s=时，u（s）=0）②，由①②得：u（s）=0，得：s=，综上，实数s的取值集合是{}．选修4-1：几何证明选讲21．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB=AC，AP∥BC，弦CE的延长线交AP 于点D，求证：AD2=DE•DC．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连接AE，通过证明∠AED=∠CAD，∠ACD=∠EAD，得到△ACD∽△EAD，即可证明结论．【解答】证明：连接AE，则∠AED=∠B，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B，∴∠AED=∠ACB，∵AP∥BC，∴∠ACB=∠CAD，∴∠AED=∠CAD．∵∠ACD=∠EAD，∴△ACD∽△EAD，∴，∴AD2=DE•DC．选修4-2：矩形与变换22．已知矩阵M=的属于特征值8的一个特征向量是e=，点P（﹣1，2）在M对应的变换作用下得到点Q，求Q的坐标．【考点】矩阵特征值的定义；特征向量的定义；特征向量的意义．【分析】利用矩阵的特征值和特征向量的定义，求出矩阵，即可求Q的坐标．【解答】解：由题意，=8×，∴，∴a=6，b=4，∴，∴Q的坐标是（﹣2，4）．。

江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：平面向量

江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编平面向量一、填空题1、（常州市2016届高三上期末）22(4,2),(1,)2x x x x a b -==r r ，x R ∈，若a b ⊥r r ，则||a b -r r ＝2、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）已知2||||==OB OA ，且1=⋅OB OA ，若点C 满足1||=+，则||的取值范围是．3、（南京、盐城市2016届高三上期末）如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，1cos 3BAC ∠=，2DC BD =u u u r u u u r ，则AD BC ⋅u u u r u u u r 的值为 ▲ 4、（南通市海安县2016届高三上期末）在正五边形ABCDE 中，已知9=•AC AB ，则该正五边形的对角线的长为； 5、（苏州市2016届高三上期末）已知向量a =(1，2)，b =(x ，-2)，且a ⊥(a -b )，则实数x = ▲6、（泰州市2016届高三第一次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 分别为x 轴，y 轴上一点，且2AB =，若点P ，则AP BP OP ++u u u r u u u r u u u r 学科网的取值范围是 ▲ ． 7、（无锡市2016届高三上期末）已知平面向量,αβu r u r 满足1β=u r ，且αu r 与βα-u r u r 的夹角为120o ，则αu r的模的取值范围是 8、（扬州市2016届高三上期末）已知)sin (cos αα，=，)12(，=，⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈22ππα，，若1=⋅n m ，则=+)232sin(πα ▲ . 9、（镇江市2016届高三第一次模拟）已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(1，0)，则|2a ＋b |＝________．10、（常州市2016届高三上期末）如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足(,AP mAB nAD m n =+u u u r u u u r u u u r 均为正数），则11m n +的最小值为 A B C D 第3题图填空题答案1、22、[61,6+1]-3、－24、325、96、[7,11]7、8、725- 9、13 10743+、二、解答题 1、（泰州市2016届高三第一次模拟）在ABC ∆中，角,A B 的对边分别为,a b ，向量(cos ,sin ),(cos ,sin )A B B A ==m n ．（1）若cos cos a A b B =，求证：//m n ；（2）若⊥m n ,a b >，求tan2A B -的值．2、（无锡市2016届高三上期末）在ABC ∆中，三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知(sin sin ,sin sin )a B C C A =--r ，(sin sin ,sin )b B C a =+r ，且a b ⊥r r 。

江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：数列

江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编数列一、填空题1、（常州市2016届高三上期末）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且1249a a +=，3456a a a a +++＝40，则7899a a a ++的值为2、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）若公比不为1的等比数列}{n a 满足13)(log 13212=⋯a a a ，等差数列}{n b 满足77a b =，则1321b b b +⋯++的值为3、（南京、盐城市2016届高三上期末）设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，0n a >，若6325S S -=，则96S S -的最小值为 ▲4、（南通市海安县2016届高三上期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P (−1，0) ，Q (2 ，1) ，直线 l ：0=++c by ax 其中实数 a ，b ，c 成等差数列，若点 P 在直线 l 上的射影为 H ，则线段 QH 的取值范围是；5、（苏州市2016届高三上期末）已知{}n a 是等差数列，a 5＝15，a 10＝－10，记数列{}n a 的第n 项到第n +5项的和为T n ，则n T 取得最小值时的n 的值为 ▲6、（泰州市2016届高三第一次模拟）已知公差为2的等差数列{}n a 及公比为2的等比数列{}n b 满足11220,0a b a b +>+<，则33a b +的取值范围是 ▲7、（无锡市2016届高三上期末）对于数列{}n a ，定义数列{}n b 满足：1()n n n b a a n N *+=-∈，且1341(),1,1n n b b n N a a *+-=∈==-则1a =8、（扬州市2016届高三上期末）已知等比数列{}n a 满足4212=+a a ，523a a =，则该数列的前5项的和为 ▲9、（镇江市2016届高三第一次模拟）S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S n S 2n ＝n ＋14n ＋2，则a 3a 5＝________．填空题答案1、1172、263、20 4、 5、5或6 6、(,2)-∞- 7、8 8、31 9、【答案】35．【命题立意】本题旨在考查等差数列的通项公式及前n 项和，考查学生的运算能力，难度中等．【解析】由S n S 2n ＝n ＋14n ＋2可得，()()111212122212n n n n n a a a a n n a a a a n +++==+++，当1n =时，112223a a a =+，212112,a a d a a a ==-=，311511233455a a d a a a d a +===+．二、解答题1、（常州市2016届高三上期末）已知等差数列{}n a 的公为d 为整数，且22k a k =+，22(2)k a k =+，其中k 为常数且*k N ∈。