2021-2022年高三10月月考数学理试题
2021-2022学年广东省佛山市顺德区高三(上)质检数学试卷(一)(10月份)(学生版+解析版)
2021-2022学年广东省佛山市顺德区高三（上）质检数学试卷（一）（10月份）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|20}A x Z x x =∈--，{|1}B x x =<，则(A B = )A ．(1,1)-B ．{1-，0}C ．[1-，2]D ．{1-，0，1，2}2．（5分）已知i 为虚数单位，复数112iz i+=+，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）cos1875(︒= ) A ．622- B ．264+ C ．264- D ．624- 4．（5分）已知数列{}n a 的前n 项和22n S kn n =+，511a =，则k 的值为( ) A ．2B ．2-C ．1D ．1-5．（5分）已知函数21()(1)f x ln x x x=+-+，则函数()f x 的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．6．（5分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且22EF =，则三棱锥A BEF -的体积为( )A ．112B ．14C 2D ．不确定7．（5分）已知正实数a ，b 满足121a b+=，则23ab a b --的最小值为( ) A ．22B ．322+C ．6 D ．无最小值8．（5分）已知函数()3sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ，且有()()03f x f x π+-=，()()33f x f x ππ+=-，则()f x 在区间(0,4)π内至少有( )个零点．A ．4B ．8C ．10D ．12二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．（5分）下列说法正确的是( )A ．命题：(1x ∀∈-，1]，2230x x +-<的否定是：(1x ∃∈-，1]，2230x x +-B ．26k παπ=+，k Z ∈是1sin 2α=的充要条件C ．1a >是11a<的充分非必要条件D ．[2a ∈-，2]是命题：x R ∀∈，210x ax -+>恒成立的充分非必要条件10．（5分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为11A B ，BC 的中点，设过点E ，F ，1D 的平面为α，则下列说法正确的是( )A ．1EFD ∆为等边三角形B ．平面α交正方体1111ABCD A BCD -的截面为五边形C ．在正方体1111ABCD A B C D -中，存在棱与平面α平行 D ．在正方体1111ABCD A B C D -中，不存在棱与平面α垂直11．（5分）在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，设BC 边上的中点为M ，ABC ∆的面积为S ，其中23a =，2224b c +=，下列选项正确的是( ) A ．若3A π=，则33S = B ．S 的最大值为33C ．3AM =D ．角A 的最小值为3π12．（5分）如图，已知圆锥OP 的底面半径3r =，侧面积为23π，内切球的球心为1O ，外接球的球心为2O ，则下列说法正确的是( )A ．外接球2O 的表面积为16πB ．设内切球1O 的半径为1r ，外接球2O 的半径为2r ，则213r r =C ．过点P 作平面α截圆锥OP 3D ．设长方体1AC 为圆锥OP 的内接长方体，且该长方体的一个面与圆锥底面重合，则该长方体体积的最大值为89三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．第16题第一空2分，第二空3分． 13．（5分）已知函数141,0(),0x lnx x f x e x -->⎧=⎨⎩，则((2))f f -= ．14．（5分）已知向量(1,1)a =-，(2,3)b =，(2)a a kb ⊥+，则实数k 的值为 ． 15．（5分）已知数列{}n a ，11a =，22a =，且22(1)n n n a a +=+⨯-，则数列{}n a 的前100项的和为 ．16．（5分）已知函数22()22x x x f x axe e-=++，当a =()f x 的零点个数为 ；若函数()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<．从下面的两个条件中任选其中一个：①2()2sin cos 1f x x x x =-++；②若1()2f x =，2()0f x =，且12||x x -的最小值为4π，(0)1f =，求解下列问题： （Ⅰ）化简()f x 的表达式并求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）已知α，(6πβ∈，)2π，()f α=，sin()αβ-=，求cos β的值．18．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，sin()sin sin A B C B -=-，角A 的角平分线交BC 于点D ，且3b =，5c =． （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）求线段AD 的长．19．（12分）已知数列{}n a ，{}n b 的各项均为正数．在等差数列{}n a 中，69133a a a +=+，225a a =；在数列{}n b 中，11b =，2211320n n n n b b b b +++-=．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b 的前n 项和为n T ．20．（12分）已知函数32()f x ax bx cx d =+++的两个极值点为1-，2，且在0x =处的切线方程为210x y +-=． （Ⅰ）求函数()f x 的表达式；（Ⅱ）当1[3x ∈-，3]时，5()6f x kx >+恒成立，求实数k 的取值范围．21．（12分）某商品的包装纸如图1，其中菱形ABCD 的边长为3，且60ABC ∠=︒，AE AF =BE DF ==．将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E ，F ，M ，N 汇聚为一点P ，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．（Ⅰ）证明：PA ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）设点T 为BC 上的点，且二面角B PA T --的正弦值为2114，试求PC 与平面PAT 所成角的正弦值.22．（12分）设函数1()f x x alnx x=-+． （Ⅰ）当3a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）对任意正实数1x ，2x ，当122x x +=时，试判断12()()f x f x +与21(2)2a --的大小关系并证明．2021-2022学年广东省佛山市顺德区高三（上）质检数学试卷（一）（10月份）参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|20}A x Z x x =∈--，{|1}B x x =<，则(A B = )A ．(1,1)-B ．{1-，0}C ．[1-，2]D ．{1-，0，1，2}【解答】解：集合2{|20}{|12}{1A x Z x x x Z x =∈--=∈-=-，0，1，2}，{|1}B x x =<，{1AB ∴=-，0}．故选：B ．2．（5分）已知i 为虚数单位，复数112iz i+=+，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：1(1)(12)1223112(12)(12)555i i i i i z i i i i ++--++====-+-+， ∴3155z i =+， z ∴的共轭复数z 在复平面内对应的点31(,)55，位于第一象限．故选：A ．3．（5分）cos1875(︒= )A B C D 【解答】解：cos1875cos(536075)cos75︒=⨯︒+︒=︒，cos75cos(3045)cos30cos45sin30sin 45︒=︒+︒=︒︒-︒︒12=-=， 故选：D ．4．（5分）已知数列{}n a 的前n 项和22n S kn n =+，511a =，则k 的值为( ) A ．2B ．2-C ．1D ．1-【解答】解：根据题意554(2510)(168)9211a S S k k k =-=+-+=+=， 解得1k =． 故选：C ．5．（5分）已知函数21()(1)f x ln x x x=+-+，则函数()f x 的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数()f x 为奇函数，故选项A ，C 错误； 因为1171()404f -=>，故选项B 正确，选项D 错误．故选：B ．6．（5分）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且22EF =，则三棱锥A BEF -的体积为( )A ．112B ．14C ．212D ．不确定【解答】解：因为11//B D 平面ABCD ， 又E ，F 在直线11D B 上运动， 所以//EF 平面ABCD ，因为点B 到平面11B D 的距离不变，且2EF =所以11122122BEF S EF BB ∆=⨯⨯==因为点A 到平面BEF 的距离为22， 所以1212213312A BEF BEF V S -∆=⨯==．故选：A ．7．（5分）已知正实数a ，b 满足121a b+=，则23ab a b --的最小值为( ) A ．22B ．322+C ．6 D ．无最小值【解答】解：由121a b +=，得21b a ab+=，即2ab a b =+， 所以122223423()()332322b a b aab a b a b a b a b a b a b a b a b--=+--=+=++=+++⋅=+，当且仅当2b aa b=，即2b a 时等号成立， 所以23ab a b --的最小值为322+ 故选：B ．8．（5分）已知函数()3sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ，且有()()03f x f x π+-=，()()33f x f x ππ+=-，则()f x 在区间(0,4)π内至少有( )个零点．A ．4B ．8C ．10D ．12【解答】解：由题意()()33f x f x ππ+=-，则()f x 关于3x π=对称，所以1()32k k Z ππωϕπ⨯+=+∈，①由()()03f x f x π+-=，得()()3f x f x π=--，所以()f x 关于(6π，0)对称， 所以26k πωϕπ+=，2k Z ∈，②由①②得12()62k k πωππ=+-，1k ，2k Z ∈，即36()k k Z ω=+∈，要使()f x 在区间(0,4)π内的零点最少， 则周期T 最大，所以ω的值最小， 又因为0ω>，所以3min ω=， 把3ω=代入②，得实136k πϕπ+=，1k Z ∈， 即12k πϕπ=-+，1k Z ∈，又因为||2πϕ，所以22ππϕϕ==-或，当2πϕ=时，()3sin(3)3cos32f x x x π=+=，此时()f x 在(0,4)π内零点个数为12； 当2πϕ=-，()3sin(3)3cos32f x x x π=-=-，此时()f x 在(0,4)π内零点个数为12． 故选：D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．（5分）下列说法正确的是( )A ．命题：(1x ∀∈-，1]，2230x x +-<的否定是：(1x ∃∈-，1]，2230x x +-B ．26k παπ=+，k Z ∈是1sin 2α=的充要条件C ．1a >是11a<的充分非必要条件D ．[2a ∈-，2]是命题：x R ∀∈，210x ax -+>恒成立的充分非必要条件【解答】解：根据全称量词命题否定的方法可知，A 正确； 因为1sin 2α=，则26k παπ=+，或526k ππ+，k Z ∈，故26k παπ=+，k Z ∈是1sin 2α=的充分不必要条件，故B 错误； 由11a <得0a <，或1a >，故1a >是11a<的充分非必要条件，故C 正确； 命题：x R ∀∈，210x ax -+>恒成立，则△240a =-<，解得22a -<<，故[2a ∈-，2]是命题：x R ∀∈，210x ax -+>恒成立的必要非充分条件，故D 错误． 故选：AC ．10．（5分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别为11A B ，BC 的中点，设过点E ，F ，1D 的平面为α，则下列说法正确的是( )A ．1EFD ∆为等边三角形B ．平面α交正方体1111ABCD A BCD -的截面为五边形C ．在正方体1111ABCD A B C D -中，存在棱与平面α平行 D ．在正方体1111ABCD A B C D -中，不存在棱与平面α垂直 【解答】解：逐一考查所给的选项：对A ，设正方体棱长为2，则易得115,6,3ED EF D F ===，故1EFD ∆不是等边三角形，故A 错误；对B ，如图，取AB 中点G ，易得1//D E DG ，取CD 中点H ， 连接BH ，则易得//BH DG ，再取CH 中点M ，连接FM ，则//FM BH ，所以1//FM D E ，所以FM 是平面α与正方体底面ABCD 的交线， 延长MF ，与AB 的延长线交于N ，连接EN ，交1BB 于P ，则可得五边形1D EPFM 即为平面α交正方体1111ABCD A B C D -的截面，故B 正确；对C ，因为BC F α=，BC α⊂/，所以BC ，AD ，11A D ，11B C 都不与α平行，又11A B E α=，11A B α⊂/，所以11A B ，AB ，CD ，11C D 都不与α平行，因为11DD D α=，1DD α⊂/，所以1DD ，1CC ，1BB ，1AA 都不与α平行，故不存在棱与平面α平行，故C 错误；对D ，显然11A B 与1D E 不垂直，所以11A B 与α不垂直，则AB ，CD ，11C D 都不与α垂直； 因为1DD 与1D F 不垂直，所以1DD 与α不垂直，则1CC ，1BB ，1AA 都不与α垂直； 因为11A D 与1D E 不垂直，所以11A D 与α不垂直，则BC ，AD ，11B C 都不与α垂直； 所以不存在棱与平面α垂直，故D 正确． 故选：BD ．11．（5分）在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，设BC 边上的中点为M ，ABC ∆的面积为S ，其中23a =2224b c +=，下列选项正确的是( ) A ．若3A π=，则33S =B ．S 的最大值为33C ．3AM =D ．角A 的最小值为3π【解答】解：对于A ，若3A π=，23a =2224b c +=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得221224b c bc bc =+-=-，可得12bc =， 所以ABC ∆的面积为113sin 123322S bc A ==⨯=A 正确；对于B ，因为22242b c bc =+，可得12bc ，当且仅当23b c ==时等号成立，此时a b c ==，可得3A π=，所以ABC ∆的面积为113sin 123322S bc A =⨯=B 正确；对于C ，因为BC 边上的中点为M ，可得2AM AB AC =+，所以两边平方，可得22242AM AB AC AB AC =++⋅， 可得222222222224||2cos 22()22412362b c a AM c b bc A c b bc b c a bc +-=++=++⋅=+-=⨯-=，解得||3AM =，故C 正确；对于D ，因为22242b c bc =+，可得12bc ，当且仅当23b c ==时等号成立，所以22224121cos 22122b c a A bc+--==⨯， 因为(0,)A π∈，可得(0A ∈，]3π，所以A 的最大值为3π，故D 错误． 故选：ABC ．12．（5分）如图，已知圆锥OP 的底面半径3r =，侧面积为23π，内切球的球心为1O ，外接球的球心为2O ，则下列说法正确的是( )A ．外接球2O 的表面积为16πB ．设内切球1O 的半径为1r ，外接球2O 的半径为2r ，则213r r =C ．过点P 作平面α截圆锥OP 3D ．设长方体1AC 为圆锥OP 的内接长方体，且该长方体的一个面与圆锥底面重合，则该长方体体积的最大值为89【解答】解：由底面半径3r =23π可得侧面积：S rl π=，求得2l =， 即圆锥母线长为2，则高1h =，设圆锥外接球半径为2r ，则对2AOO ∆由勾股定理得22222AO AO OO =+， 即22222(3)(1)r r =+-，22r =，外接球面积为21416S r ππ==，故A 正确；设内切球1O 的半径为1r ，1O 垂直于交PA 于点D ， 则对1PDO ∆，22211PO DO PD =+，即22211(1)(23)r r -=+-，解得1233r =-， 故B 项错误；过点P 作平面α截圆锥OP 的截面面积的最大时， 因为h r <，故恰好PAC ∆为等腰直角三角形时取到， 点C 在圆锥底面上，12222PAC S ∆=⨯⨯=，故C 项错误；设圆锥OP 有一内接长方体，其中一个上顶点为E ，上平面中心为3O ，33EO r =， 则333PO =，3331OO =， 当长方形上平面为正方形时，上平面面积最大， 长方体体积为23313(2)(1)2V r =⋅-，233423V r r '=-，当3)3r ∈时，0V '>，3()3r ∈+∞时，0V '<，故2138()(12933max V =⋅=， 故D 正确，故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．第16题第一空2分，第二空3分． 13．（5分）已知函数141,0(),0x lnx x f x e x -->⎧=⎨⎩，则((2))f f -= 13- ．【解答】解：函数141,0(),0x lnx x f x e x -->⎧=⎨⎩，3(2)f e -∴-=，33((2))()4112113f f f e lne --∴-==-=--=-，故答案为：13-．14．（5分）已知向量(1,1)a =-，(2,3)b =，(2)a a kb ⊥+，则实数k 的值为 4- ． 【解答】解：因为(1,1)a =-，(2,3)b =， 所以2(22,32)a kb k k +=-+， 因为(2)a a kb ⊥+，所以(2)22320a a kb k k ⋅+=-++=， 解得4k =-．故答案为：4-．15．（5分）已知数列{}n a ，11a =，22a =，且22(1)n n n a a +=+⨯-，则数列{}n a 的前100项的和为 150 ．【解答】解：数列{}n a ，11a =，22a =，且22(1)n n n a a +=+⨯-， 当n 为奇数时，22n n a a +-=-（常数）， 当n 为偶数时，22n n a a +-=（常数）， 所以10050495049501(2)250215022S ⨯⨯=⨯+⨯-+⨯+⨯=． 故答案为：150．16．（5分）已知函数22()22xx x f x axe e-=++，当a =函数()f x 的零点个数为 1 ；若函数()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围为 ．【解答】解：当a 2222222()2()2(xx x x x x xf x ee e e -=++=++=，令22()(0xx f x e=+=，则20x x e+=，即2x e =，由于函数2x xy e ==与y x =的图象有且仅有一个交点，故方程2x e x =有且仅有一个实数根，∴当a ()f x 只有一个零点；若函数()f x 有两个零点，则关于x 的方程22220xx x axe e-++=，即222()220x x x x a e e +⋅+=有两个不同的实数根， 设2xx t e=，则2220t at ++=，考察关于t 的方程2220t at ++=，△248a =-，①当△0<，即a <时，关于t 的方程无实数根；②当△0=，即a =t 的方程有且仅有一个实数根，且当a t =；当a =t =③当△0>，即a <a >t 的方程有两个不同的实数根； 考察关于x 的方程2x x t e=，()i当a =t =x 的方程只有一个实数根，不合题意； ()ii当a =t =，显然0x >，由不等式2122x x ee⋅>可知，2x x e <x 的方程无实数根，不合题意；()iii 当a >t 的方程有两个不同的负实数根1t ，2t ，研究函数2212(),()x xxx g x g x ee -'==，令()0g x '=，解得2x =， 易知当(,2)x ∈-∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，当(2,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，∴2()(2)max g x g e==， 又(0)0g =，∴当0x <时，()0g x <，且当x →-∞时，()g x →-∞，当0x >时，()0g x >，且当x →+∞时，()0g x →， 直线1y t =与函数2()x x g x e=的图象有且仅有一个交点，关于x 的方程12x x t e=有且仅有一个实数根，直线2y t =与函数2()x x g x e=的图象有且仅有一个交点，关于x 的方程22xx t e=有且仅有一个实数根，∴当a x 的方程222()220xxxx a e e+⋅+=有两个不同的实数根，即函数()f x 有两个不同的零点；()iiii 当a <t 的方程有两个不同的正实数根3t ，434()t t t <，要使函数()f x 有两个不同的零点，必须342t t e<<，直线3y t =与函数2()x x g x e=的图象有且仅有两个交点，关于x 的方程32xx t e=有且仅有两个实数根， 由342t t e <<，可知关于t 的方程2220t at ++=有一个根小于2e ，有一个根大于2e， 设2()22h t t at =++，则2244()20h a e e e=++<，解得222e e a e +<-．综上，当2a =时，函数()f x 的零点个数为1；若函数()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围为22(,)(2,)2e ee+-∞+∞．故答案为：1；22(,)(2,)2e ee+-∞+∞．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<．从下面的两个条件中任选其中一个：①2()2sin 23cos 1f x x x x =-++；②若1()2f x =，2()0f x =，且12||x x -的最小值为4π，(0)1f =，求解下列问题： （Ⅰ）化简()f x 的表达式并求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）已知α，(6πβ∈，)2π，()3f α=，2sin()αβ-=，求cos β的值．【解答】解：()I 若选择条件①2()2sin 23cos 1f x x x x =-++； (cos21)3sin 212236x x k xk ππππ=-+-++cos 23x =+2x2sin(2)6x π=+，由222262k x k πππππ-+++，得236k xk ππππ-++，所以()f x 的单调递增区间为[,]36k k ππππ-++．若选择条件②，若1()2f x =，2()0f x =，即1x 是()f x 的最大值点，2x 是()f x 的零点且12||x x -的最小值为4π， 设()f x 的周期为T ， 由此可得44Tπ=，即有T π=，2ω∴= 由(0)1f =，可得(0)2sin 1f ϕ==，即有1sin 2ϕ= 可得26k πϕπ=+或52()6k k z πϕπ=+∈， 再结合||2πϕ<，可得6πϕ=，综上可得：()2sin(2)6fx x π=+，()()2sin(2)6II f παα=+=，可得sin(2)6πα+=，(,),6272(,),626ππαπππα∈∴+∈从而可得2263ππα+=，即有4πα=， (,)62ππβ∈(,)412ππαβ∴-∈-，由sin()αβ-=， 可得cos()αβ-=， 故4cos cos[()]cos cos()sin sin()5βααβααβααβ=--=-+-=． 18．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，sin()sin sin A B C B -=-，角A 的角平分线交BC 于点D ，且3b =，5c =． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求线段AD 的长．【解答】解：（Ⅰ）因为sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+， 又sin()sin sin A B C B -=-，所以sin cos sin cos sin cos sin cos sin A B B A A B B A B -=+-， 所以2sin cos sin 0B A B -=， 又sin 0B ≠， 所以1cos 2A =， 又(0,)A π∈， 所以3A π=．（Ⅱ）因为AD 为角A 的角平分线， 所以30BAD CAD ∠=∠=︒，由ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+，可得11135sin605sin303sin30222AD AD ⨯⨯⨯︒=⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒，解得AD =． 19．（12分）已知数列{}n a ，{}n b 的各项均为正数．在等差数列{}n a 中，69133a a a +=+，225a a =；在数列{}n b 中，11b =，2211320n n n n b b b b +++-=．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b 的前n 项和为n T ．【解答】解：（Ⅰ）在等差数列{}n a 中，设首项为1a ，公差为d ，由于69133a a a +=+，225a a =； 所以11121158123()4a d a d a d a d a d +++=++⎧⎨+=+⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，故21n a n =-．数列{}n b 中，11b =，2211320n n n n b b b b +++-=．整理得：11(3)()0n n n n b b b b ++-+=，即有113n n b b +=，或1n n b b +=-（舍去）；故数列{}n b 是以1为首项，13为公比的等比数列；所以113n n b -=； （Ⅱ）由（Ⅰ）得：1213n n n n a b --=， 所以0111321...333n n n T --=+++①， 1211321 (3333)n n n T -=+++②， ①-②得：2121112112(...)33333n n n n T --=++++-=整理得：111(1)221331213313n n n n T -⨯--=+⨯--，化简得：1133n n n T -+=-． 20．（12分）已知函数32()f x ax bx cx d =+++的两个极值点为1-，2，且在0x =处的切线方程为210x y +-=． （Ⅰ）求函数()f x 的表达式；（Ⅱ）当1[3x ∈-，3]时，5()6f x kx >+恒成立，求实数k 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）32()f x ax bx cx d =+++，则2()32f x ax bx c '=++， 结合题意得：(1)320(*)(2)1240f a b c f a b c '-=-+=⎧⎨'-=++=⎩， ()f x 在0x =处的切线方程为210x y +-=， (0)1f d ∴==，(0)2f c '==-，代入(*)式解得：13a =，12b =-，故3211()2132f x x x x =--+；（Ⅱ）①当0x =时，5()6f x kx >+恒成立，此时k R ∈， ②当(0x ∈，3]时，由5()6f x kx >+，分离参数得21112326k x x x<--+，设2111()2326g x x x x =--+， 则222211(1)(41)()3266x x x g x x x x-++'=--=， 故()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,1)单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 故当(0x ∈，3]时，()g x 的最小值是g （1）2=-， 此时：2k <-，③当1[3x ∈-，0)时，由5()6f x kx >+， 分离参数可得21112326k x x x>--+， 由上述过程知()g x 在1[3-，0)上单调递减， 故()g x 的最大值是162()327g -=-， 此时：6227k >-， 综上，k 的取值范围是62(27-，2)-． 21．（12分）某商品的包装纸如图1，其中菱形ABCD 的边长为3，且60ABC ∠=︒，3AE AF ==，23BE DF ==．将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E ，F ，M ，N 汇聚为一点P ，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．（Ⅰ）证明：PA ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）设点T 为BC 上的点，且二面角B PA T --的正弦值为2114，试求PC 与平面PAT 所成角的正弦值.【解答】解：()I 由菱形ABCD 的边长为3，3AE AF ==23BE DF ==， 可得222BE AB AE +，即有AB AE ⊥，同理222DF AD AF =+，即有AD AF ⊥， 在翻折的过程中，垂直关系保持不变可得PA AB ⊥，PA AD ⊥，AB AD A =，所以PA ⊥底面ABCD ；()II 如图，以点A 为原点，AB 为x 轴，过点A 作AB 的垂线为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，由第()I 问可得PA ⊥底面ABCD ，则PA AB ⊥，PA AT ⊥， 则BAT ∠为二面角B PA T --的平面角，由题意可得21sin 14BAT ∠=， 考虑BAT ∆，60ABT ∠=︒，可得321sin sin(60)14ATB ABT ∠=∠+︒=， 利用正弦定理sin AB BT ATB Sin BTA =∠∠，可得1BT =， 所以点T 的坐标为5(2，32，0)，点(0P ，0，3)，(0A ，0，0)，3(2C ，332，0)， 设面PAT 的一个法向为量(m x =，y ，)z ，则有00m AP m AT ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30530z x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，令3x =，则有(3m =，53-，0)，3(2PC =，332，3)-， 所以cos m <，3714m PCPC m PC ⋅>==-， 所以PC 与面PAT 所成角的正弦值为3714．22．（12分）设函数1()f x x alnx x=-+． （Ⅰ）当3a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）对任意正实数1x ，2x ，当122x x +=时，试判断12()()f x f x +与21(2)2a --的大小关系并证明．【解答】解：（Ⅰ）1()3(0)f x x lnx x x=-+>， 2221331()1x x f x x x x -+'∴=--+=-， 令()0f x '>3535x -+<<；令()0f x '<得350x -<<或35x +>，()f x ∴的递增区间为，递减区间为，)+∞． （Ⅱ）结论：2121()()(2)2f x f x a +--，证明如下： 1211221211()()()()f x f x x alnx x alnx x x +=-++-+ 12121212()()x x x x aln x x x x +=-++ 121222()aln x x x x =-+， 设12t x x =，由1x ，2x 均为正数且21212()12x x x x +=得01t <， 设2()2(01)g t alnt t t =-+<，则2222()a at g t t t t -'=-+=， ①当2a 时，由01t <得20at -，即()0g t '<， ()g t ∴单调递减， ()g t g ∴（1）0=，又21(2)02a --， 2121()()(2)2f x f x a ∴+--， ②当2a >时，()g t 在2(0,)a 上单调递减，在2(a，1)上单调递增， ()g t ∴的最小值为22()2g a aln a a=-+， 此时只需证2212(2)2a aln a a -+--，化简后即证21102ln a a +-， 设h （a ）211(2)2ln a a a =+->，2()02a h x a-'=>， h ∴（a ）单调递增，h ∴（a ）h >（2）0=，即证得21102ln a a +-， 综上所述，不等式得证．。
黑龙江省龙东联盟2024-2025学年高三上学期10月月考试题 数学 PDF版含解析
高三年级10月考数学参考答案一、单项选择题 二、多项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 B C C D A A DA 三、填空题12．0 13．π 14． 4+四、解答题15.（本小题满分13分）解：（1）由223n S n n =+得当1n =时，115a S ==，当2n ≥时，22123[2(1)3(1)]41n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+所以41n a n =+由34log 141n n a b n =+=+，所以3nn b =（2）由（1）知(41)3n n n a b n =+125393(41)3nn T n =⨯+⨯+++ ①23135393(43)3(41)3n n n T n n +=⨯+⨯++-++ ② ①-②得212154343(41)3n n n T n +-=+⨯++⨯-+⨯ 119(132154(41)313n n n T n -+--=+-+⨯-），所以131(2322n n T n +=--⨯.16.（本小题满分15分）解：（1）由正弦定理得222sin C sin sin sinA B A B =+222a b c ⇒+-=， 由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==，因为(0)C π∈，，所以4C π=， 因为sin B C =所以sin B =，因为(02B π∈，，所以3B π=（2）512A B C ππ=--=，sin sin()A B C =+=由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得a==，b =由21sin 12ABC S ab C ===+△， 得2c =. 17. （本小题满分15分） 解：（1）因为()ln f x x x =-，所以()()ln a a g x f x x x x x =-=--，0x >，，2221()1a x x a g x x x x -++'=-+=，令2211()(24m x x x a x a =-++=--++ ①当14a -≤时，()0g x '≤恒成立，此时()g x 在(0)+∞，上单调递减； ②当104a -<<时，()0m x >x<<所以()g x 在(0上单调递减，在上单调递增，在)+∞上单调递减； ③当0a >时，()0m x >0x<<< 所以()g x 在(0上单调递增，在)+∞上单调递减； 9 10 11AD ABD BC综上所述： 当14a -≤时，()g x 的单调递减区间为(0)+∞，，无单调递增区间； 当104a -<<时， ()g x的单调递减区间为(0和)+∞单调递增区间为；当0a >时，()g x的单调递增区间为(0，单调递减区间为)+∞；（2）由()ln f x x x =-，1()xf x x -'=，由()0f x '>得01x <<，()0f x '<得1x >所以()f x 在(01)，上单调递增，在(1)+∞，上单调递减，所以max ()(1)1f x f ==-，所以min |()|1f x =，设ln 1()2x g x x =+，则21ln ()xg x x -'=由()0g x '>得0e x <<，由()0g x '<得e x >，所以()g x 在(0e)，上单调递增， 在(e )+∞，上单调递减，所以max ()g x =(e)g 111e 2=+<所以max min ()|()|g x f x <，所以ln 1|()|2x f x x >+对任意的(0)+∞，恒成立.18. （本小题满分17分）解：（1）(0)1()e (0)1x g g x g ''==-=，所以()g x 在(0(0))g ，处的切线方程为：(11y x =+(1)1h b c =+-，2()1(1)1bh x h b x ''=-=-，，所以()h x 在(1(1))h ，处切线方程为：(1)2y b x b c =-+-所以2111b c b -=-=-，即1(1)c a =-≥； 所以c 的最小值为1（2）()e x g x =，则()e x g x '= 所以ln (02a x ∈，时ln ()0()2a g x x '<∈+∞，，时()0g x '> 所以()g x 在ln (02a ，上单调递减，在ln ()2a +∞，上单调递增，故min ln ln ()(22a a g x g ==- ()b h x x c x =+-，则()h x在(0上单调递减，在)+∞上单调递增 令()0h x =，即20x cx b -+=，24c b ∆=- 1.0∆>即c >(0+∞，）上()h x 的两个零点为12x x ，，同时它们恰好为()g x 的零点. 12()0()0ln 102g x g x a ⎧⎪=⎪∴=⎨⎪⎪-<⎩即12122e e e x x a ⎧=⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩又1212x x c x x b +==，，则2e 1e c ab a ⎧=>⎪⎨>⎪⎩，此时 1ln ln e e e a a a b a a a b a -++--=>，令1ln y a a a =-+，则21110y a a '=--<，y ∴递减且a →+∞时y →-∞，则2212e e e (0e )y -+∈，，故2212e e e e a b a -+->. 2.0∆≤即0c <≤在(0)+∞，上()0h x ≥，此时只需min ()0g x ≥即21e a ≤≤即可. 此时，e e e b a b a a a -⋅=，令()e a a k a =，则10e a a k -'=≤，即k 在2[1e ]，递减，22e 1[e e k -∴∈，而e 1b >，故22e e e a b a -->. 综上所述，e a b a -的取值范围为22e (e )-+∞， 19．（本小题满分17分） （1）设{}n a 的公差为d ，32318S a ==所以26a =，323a a d -==，3n a n =； 由214b b q ==，313(1)141bq T q -==-，所以22520q q -+=，2q =或12q =（舍）所以2n n b =. 1132a b ==，所以1223c c ==，；2264a b ==，所以3446c c ==，3398a b ==，所以5689c c ==，；441216a b ==，所以7812c c =，16=.3574812c c c +=+==，所以1k =.（2）221233(363)(222)222nn n n n n n M S T n ++=+=+++++++=+- 231nn M b =-，即2133223212n n n n +++-=⋅-所以233222n n n +=⋅+，当1n =时符合，令233222n n r n n =+-⋅-1234081826r r r r ====，，，，524r =，64r =-16622n n n r r n +-=+-⋅当4n ≥时，10n n r r +-<所以123456r r r r r r <<<>>> 所以有且只有1n =符合.（3）由2122122(36)(1)n n n n n n n n a b d c c c c -+++=-得 1(96)2(1)(3)2(33)2n nn n n n d n n ++=-+111(1)(32(33)2n n n n n +=-++ 22221111()(32(313)2(313)2(323)2n n E +=-+++⨯⨯+⨯+⨯+） 22111()3(2)23(21)2n n n n +-+++ 21116(63)2n n +=-++16>-. .试题参考答案一．单选题1.【解析】选B.{|2}{|12}U A x x A B x x ==< ≤，≤ð，故选B.2. 【解析】选C.0a <且0b <⇒0a b +<且0ab >，反之也成立，故选C.3. 【解析】选C.12(43i)(i)=(4-3)+(4+3)i z z a a a ⋅=++为实数，所以430a +=所以43a =-，故选C. 4. 【解析】选D.因为|||2|-=+ab a b 平方得，21||2⋅=-a b b ，a 在b 方向上的投影向量为1||||2⋅⋅=-a b b b b b ，故选D. 5. 【解析】选A.53357S a a =⇒=，453623a a a a +=+=，所以616a =，所以63363a a d -==-，故选A.6. 【解析】选A.由2sin cos αα+=两边平方得2254sin 4sin cos cos 2αααα++=，所以4sin cos αα233cos 2α-=-所以2332sin 2(2cos 1)cos 222ααα=-=所以3tan 24α=.故选A. 7. 【解析】选D.因为ln()ln ln ln ln 3333xy x y x y +==⋅故选D.8. 【解析】选A.设零点为(01]t ∈，，则ln 0at b t ++=，()a b ，在直线ln 0xt y t ++=上， 22a b +的几何意义为点()a b ，到原点距离的平方，其最小值为原点到直线ln 0xt y t ++=的距离d 的平方，222ln 1t d t =+， 设22ln ()1t g t t =+，22222ln (12ln )()0(1)t t t t g t t t +-'=<+所以()g t 在(01]，单调递减，所以min ()(1)0g t g ==.故选A.二．多选题9.【解析】选AD.|||2i ||2|z z y y -==知A 对C 错，222222i z x xy y x y =+-≠+，故B 错，||||||z x y =+成立，故选AD.10. 【解析】选ABD.由21((0)22n d d S n a n d =+-≠及二次函数的性质知A B ，为真，对D 知100a d <<，从而{}n S 是递减数列，对C ：1258--- ，，，，满足{}n S 是递减数列，但0n S <不恒成立，故选ABD .11. 【解析】选BC.对A ：(0)1()1(0)2f f f π===，A 错，对B ，令sin x t =，21()sin sin 1f x x x =-++，210t t -++=则sin [02]t x x π==∈，，，有两个实根.B 对.对C ：232()sin cos f x x x =+，22()2sin cos 3cos sin f x x x x x '=-，令2()0f x '=即2cos sin 203x x ==，，2cos 3x =的两个根为123(0)(2)22x x πππ∈∈，，，，sin 20x =的根为30222ππππ，，，，，所以2()f x 的极小值点为12x x π，，，C 对.对D ：22(2)()f x f x π+=，所以2()f x 为周期函数，但232()sin cos f x x x =+，232()sin cos f x x x π+=-，22()()f x f x π≠+，D 错.三.填空题12.【解析】0.()()f x f x -=特值()()f a f a -=即cos cos |2|a a a =-所以0a =.13.【解析】π.21cos 2cos 2x x +=与cos(2)4x π-的最小正周期相同，14.【解析】4+解1：设|+a b |x =，||-a b y θ=<，，a b >=，254cos [13]x x θ=+∈，，，254cos [13]y y θ=-∈，，且2210x y +=，设x y ϕϕ==，，其中sin ϕ，则)4x y πϕ+=+，当4πϕ=，x y ==时x y +取得最大值当cos sin ϕϕ==即3x =，1y =时x y +取得最小值4,所以最大值与最小值之和为4+.解2：换元后，利用平行直线系和圆弧的位置关系四.解答题15.解：（1）由223n S n n =+得当1n =时，115a S ==，…………………………… …1分当2n ≥时，22123[2(1)3(1)]41n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+……3分所以41n a n =+…………………………………………………………… ……4分由34log 141n n a b n =+=+，所以3n n b =………………………………6分（2）由（1）知(41)3n n n a b n =+ …………………………………………………7分125393(41)3n n T n =⨯+⨯+++ ①23135393(43)3(41)3n n n T n n +=⨯+⨯++-++ ② ……………9分 ①-②得212154343(41)3n n n T n +-=+⨯++⨯-+⨯ ……………………10分 119(132154(41)313n n n T n -+--=+-+⨯-）， 所以131(2322n n T n +=--⨯. …………………………………………13分16.解：（1）因为222sin C sin sin sin A B A B =+222a b c ⇒+-=，…2分由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==， (0)C π∈，，所以4C π=， …4分因为sin B C =所以sin B =， ………………………………………6分 因为(0)2B π∈，，所以3B π= …………………………………………………7分（2）512A B C ππ=--= ……………………………………………………………8分sin sin()A B C =+=…………………………………………………10分sin sin sin a b c A B C ==得a ==，b = ………12分由21sin 12ABC S ab C ===+△， …………………………14分得2c =. ……………………………………………………………………15分 （17） 解：（1）因为()ln f x x x =-，所以()()ln a a g x f x x x x x=-=--，0x >，2221()1a x x a g x x x x -++'=-+=， ………………………………………………………2分 令2211()(24m x x x a x a =-++=--++①当14a -≤时，()0g x '≤恒成立，此时()g x 在(0)+∞，上单调递减；②当104a -<<时，()0m x >x <<所以()g x 在(0上单调递减，在上单调递增，在)+∞上单调递减；③当0a >时，()0m x >0x <<<所以()g x 在(0上单调递增，在)+∞上单调递减；……5分 综上所述： 当14a -≤时，()g x 的单调递减区间为(0)+∞，，无单调递增区间；当104a -<<时， ()g x 的单调递减区间为(0和)+∞单调递增区间为；当0a >时，()g x 的单调递增区间为(0，单调递减区间为)+∞；……………………………………………………………………7分 （2）由()ln f x x x =-，1()x f x x-'=，由()0f x '>得01x <<，()0f x '<得1x > 所以()f x 在(01)，上单调递增，在(1)+∞，上单调递减， 所以max ()(1)1f x f ==-，所以min |()|1f x =，………………………………………10分 设ln 1()2x g x x =+，则21ln ()x g x x-'= 由()0g x '>得0e x <<，由()0g x '<得e x >，所以()g x 在(0e)，上单调递增， 在(e )+∞，上单调递减，所以max ()g x =(e)g 111e 2=+< 所以max min ()|()|g x f x <，…………………………………………………………………14分 所以ln 1|()|2x f x x >+对任意的(0)+∞，恒成立. ……………………………………15分18. 解：（1）(0)1()e (0)1x g g x g ''==-=-，所以()g x 在(0(0))g ，处的切线方程为：(11y x =+………………………………………………………………2分(1)1h b c =+-，2()1(1)1b h x h b x ''=-=-，，所以()h x 在(1(1))h ，处切线方程为：(1)2y b x b c =-+-所以21b c -=，11b -=6分即1(1)c a =-≥所以c 的最小值为1. …………………………………………7分（2）()e x g x =-，则()e x g x '=- 当ln (0)2a x ∈，时ln ()0()2a g x x '<∈+∞，，时()0g x '> 所以()g x 在ln (0)2a ，上单调递减，在ln ()2a +∞，上单调递增，故min ln ln ()(22a a g x g ==- ………………………………………………………9分()b h x x c x =+-，则()h x 在(0上单调递减，在)+∞上单调递增 令()0h x =，即20x cx b -+=，24c b ∆=-1.0∆>即c >(0+∞，）上()h x 的两个零点为12x x ，，同时它们恰好为()g x 的零点.12()0()0ln 102g x g x a ⎧⎪=⎪∴=⎨⎪⎪-<⎩即12122e e e x x a ⎧=⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩又1212x x c x x b +==，，则2e 1e c ab a ⎧=>⎪⎨>⎪⎩，此时 …11分 1ln ln e e e a a a b a a a b a-++--=>，令1ln y a a a =-+，则21110y a a'=--<，y ∴递减且a →+∞时y →-∞，则2212e e e (0e )y -+∈，，故2212e e e e a b a -+->.…………………………………14分2.0∆≤即0c <≤时，在(0)+∞，上()0h x ≥，此时只需min ()0g x ≥即21e a ≤≤即可. 此时，e e e b a ba aa -⋅=，令()e a a k a =，则10e a a k -'=≤，即k 在2[1e ]，递减，22e 1[e]e k -∴∈，而e 1b >，故22e e e a b a-->.……………………………………………………………………16分 综上所述，e a b a-的取值范围为22e (e )-+∞，………………………………………………17分（19）解：（1）设{}n a 的公差为d ，32318S a ==所以26a =，323a a d -==，3n a n =； ……………………………2分由214b b q ==，313(1)141b q T q-==-，所以22520q q -+=，2q =或12q =（舍）所以2nn b =. ……………………………………………………………………4分 1132a b ==，所以1223c c ==，；2264a b ==，所以3446c c ==， 3398a b ==，所以5689c c ==，；441216a b ==，所以7812c c =，16=. 3574812c c c +=+==，所以1k =. ………………………………………5分（2）221233(363)(222)222n n nn n n n M S T n ++=+=+++++++=+- …7分231n n M b =-，即2133223212n n n n +++-=⋅-所以233222n n n +=⋅+，当1n =时符合， …………………………………………………8分 令233222nn r n n =+-⋅- 1234081826r r r r ====，，，，524r =，64r =-16622n n n r r n +-=+-⋅当4n ≥，10n n r r +-<所以123456r r r r r r <<<>>>所以有且只有1n =符合. …………………………………………………………11分（3）由2122122(36)(1)n n n n n n n n a b d c c c c -+++=-得 1(96)2(1)(3)2(33)2n nn n n n d n n ++=-+111(1)(32(33)2n n n n n +=-++ ………………13分 22231111((32(313)2(313)2(323)2n E =-+++⨯⨯+⨯+⨯+） 22111()3(2)23(21)2n n n n +-+++ ……………………………………15分 21116(63)2n n +=-++16>-.………………………………………………17分。
高三试卷数学-山东省枣庄市第三中学2024届高三上学期10月月考数学试卷及参考答案
枣庄三中高三年级10月月考数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试用时120分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡和答题纸规定的地方。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，1到8题只有一项是符合题目要求，9到12题为多项选择题。
每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1. 已知集合U =R ，{}1A y y x ==≥，{}ln(2)B x y x ==−，则UAB =A. [2,)+∞B. [1,)+∞C. [1,2)D. [1,2]2. 设x R ∈，则“12x <<”是“2230x x −−<”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3. cos 3αα+=，则2cos(2)(3πα−= ) A ．1718−B ．1718 C ．89−D ．894. 若函数21()ln 12f x x x =−+在其定义域内的一个子区间(1,1)k k −+内不是单调函数，则实数k 的取值范围A ．[1,)+∞B ．3[1,)2C ．13(,)22−D ．3(1,)25. 已知数列{}n a 是首项为3π−，公差为23π的等差数列，集合*{cos |}n S a n N =∈，则集合S 中所有元素的乘积为( ) A ．1−B ．12−C ．0D ．126. 取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下的两段分割三等分，各去掉中间一段，留剩下的更短的四段；……；将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集．若在第n 次操作中去掉的线段长度之和不小于160，则n 的最大值为 (参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)A ．6B ．7C ．8D ．97. 设函数()f x 的定义域为R ，(21)f x +为奇函数，(2)f x +为偶函数，当[1,2]x ∈时，()2x f x a b =⋅+．若(0)(3)6f f +=，则()2log 96f 的值是A. 12−B. 2−C. 2D. 128.已知函数()3sin (0)f x x x ωωω=+>在区间[,]43ππ−上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围( )A ．8[,7)3B ．8[,4)3C ．20[4,)3D ．20(,7)3二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9. 若,[,]22ππαβ∈−，且sin sin ααββ>，则下列结论中不一定成立的是( )A ．αβ>B ．0αβ+>C ．αβ<D ．||||αβ>10.如图所示，某摩天轮最高点离地面高度55米，转盘直径为50米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针方向匀速旋转t 分钟，当t ＝10时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为（ ） A ．摩天轮离地面最近的距离为5米B ．若旋转t 分钟后，游客距离地面的高度为h 米，则C ．存在t 1，t 2∈[0，15]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为20米D ．若在t 1，t 2时刻游客距离地面的高度相等，则t 1+t 2的最小值为2011.设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，且满足条件a 1＞1，a 2020a 2021＞1， （a 2020﹣1）（a 2021﹣1）＜0，则下列选项错误的是（ ） A ．q ＞1 B ．S 2020+1＞S 2021C ．T 2020是数列{T n }中的最大项D ．T 4041＞112. 已知函数()()()21e ,01,0e x xx x f x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，下列选项正确的是 （ ）A ．函数()f x 在(2,1)−上单调递增B ．函数()f x 的值域为21[,)e −+∞C ．若关于x 的方程()()20f x a f x −=⎡⎤⎣⎦有3个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是214(,)e eD ．不等式()0f x ax a −−>在()1,−+∞恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是232(,)e e三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13. 已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，n S ，n T 分别是它们的前n 项和，并且7338n n S n T n +=+，则77ab = ． 14. 已知函数 ,若关于x 的方程至少有三个不相等的实数根,则实数a 的取值范围为 ． 15. 已知实数a ，b 满足0ab >，则2a aa b a b−++的最大值为 ． 16. 已知曲线x ay e+=与2(1)y x =−恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围为 ．四．解答题（共6小题，满分70分） 17. (本题满分10分) 已知向量(sin2xa ω=，sin)2xω−，(cos2xb ω=，sin)(0)2xωω>，函数()2f x a b =⋅．（1）当2ω=时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）若1x ，2x 是函数()f x 的任意两个相异零点，且12||x x −的最小值为2π，求函数()f x 在(0,)2π上的值域．18. (本题满分12分)已知数列{}n a ，首项12a =，设该数列的前n 项的和为n S ，且*12()n n a S n N +=+∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足*2121log ()()n n b a a a n N n=∈，求数列{}n b 的通项公式；（3）在第（2）小题的条件下，令11n n n c b b +=，n T 是数列{}n c 的前n 项和，若对*n N ∈，n k T >恒成立，求k 的取值范围．2()|43|f x x x =−+()f x a x −=19. (本题满分12分)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222()sin cos a c b B B +−=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1b =，求2a c −的取值范围．20. (本题满分12分)已知函数()2sin cos f x x x x x =−−，()f x '为()f x 的导数． （1）求曲线()y f x =在点(0A ，(0))f 处的切线方程；（2）2()2()g x x x a a R =−+∈，若对任意1[0x ∈，]π，均存在2[1x ∈，2]，使得12()()f x g x >，求实数a 的取值范围．21. (本题满分12分)已知等差数列{a n }的公差不为零，其前n 项和为S n ，且2a 是1a 和5a 的等比中项，且*21)2(n n a a n N =+∈ （1）求数列{n a }的通项公式； （2）若数列{b n }满足1122n n a b a b a b +++＝（2n ﹣3）•2n +1+6，求和：T n ＝121121n n n n a b a b a b a b −−++++22. (本题满分12分)已知函数()()2ln af x ax x a x=−−∈R . (1)若()f x 是定义域上的增函数，求a 的取值范围； (2)设35a >，m ，n 分别为()f x 的极大值和极小值，若S m n =−，求S 的取值范围.高三年级10月月考数学试题参考答案一、单选题： 1-4. A A C B. 5-8. B C B B二、多选题： 9. ABC 10.ABD 11. AD 12. ACD三、填空题： 13. 2 14. 3[1,]4−−15.3−. 16.(,2ln 23)−∞−．四、解答题:17.解: （1）2ω=时，(sin ,sin )a x x =−，(cos ,sin )b x x =，故2()22sin cos 2sin sin 2cos 212sin(2)14f x a b x x x x x x π=⋅=−=+−=+− ····························· 2分要求该函数的单调递增区间，只需222242k x k πππππ−+++，k Z ∈，解得388k x k ππππ−++，k Z ∈ 即()f x 的单调递增区间为3[8k ππ−+，]8k ππ+，k Z ∈． ·················································· 5分 （2）易知2()2sincos2sin cos 1)12224xxxf x sin x x x ωωωπωωω=−=+−=+−，令()0f x =得sin()42x πω+=，因为1x ，2x 是函数()f x 的任意两个相异零点，且12||x x −的最小值为2π，因为0ω>，故123||442min x x πππω−=−=，故1ω=， ························································ 7分 所以())14f x x π=+−，当02x π<<时，3444x πππ<+<，)2sin442x πππ+，故()1]f x ∈−． ··········································· 10分18. 解：（1）由12n n a S +=+，得12(2)n n a S n −=+，两式相减并整理得12n n a a +=, 又当1n =时，有212a a =+，且12a =，解得24a =，满足212a a =， 所以{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以1222n n n a −=⨯=； …………………….3分 （2）由（1）可知(1)22122222n n nn a a a +⋯=⨯⨯⋯⨯=，所以(1)2211(1)1log 222n n n n n n b n n +++==⋅=， 所以{}n b 的通项公式为12n n b +=； …………………….6分 （3）由（2）可知114114()(1)(2)12n n n c b b n n n n +===−++++， …………………….8分所以1111111144()4()2233412222n T n n n n =−+−+⋯+−=−=−++++， …………………….10分 由于n N ∈，{}n T 在(0,)+∞单调递增，且123T =，所以223n T <，所以2k ，故k 的取值范围是[2，)+∞． …………………….12分 19. 解：解：（1）由222()sin cos a c b B B +−=，由余弦定理可得cos sin B B B =， cos 0B ∴=或sin B ……………………. 2分 0B π<<，2B π∴=或3B π=或23B π=． ……………………. 4分 （2）ABC ∆为锐角三角形，由（1）可得3B π=；根据正弦定理sin sin sin a c b A C B ====a A =，c C =，……………. 6分22sin )sin()]3a c A C A A π−=−=−−3(sin cos )2sin()226A A A π=−=−． ..…….………. 8分又ABC ∆为锐角三角形，∴62A ππ<<， ……………………. 10分063A ππ<−<2a c ∴−∈． ……………………. 12分20. 解：（1）()cos sin 1f x x x x '=+−，所以(0)0f '=，(0)0f =，从而曲线()y f x =在点(0A ，(0))f 处的切线方程为0y =． …………………….2分 （2）由已知，转化为()()min min f x g x >，且()min g x g =（1）1a =−． …………………….4分 设()()h x f x '=，则()cos sin 1h x x x x =+−，()cos h x x x '=．当(0,)2x π∈时，()0h x '>；当(,)2x ππ∈时，()0h x '<，所以()h x 在(0,)2π单调递增，在(,)2ππ单调递减． …………………….6分又(0)0h =，()02h π>，()2h π=−，故()h x 在(0,)π存在唯一零点．所以()f x '在(0,)π存在唯一零点． …………………….8分 设为0x ，且当0(0,)x x ∈时，()0f x '>；当0(x x ∈，)π时，()0f x '<， 所以()f x 在0(0,)x 单调递增，在0(x ，)π单调递减．又(0)0f =，()0f π=，所以当[0x ∈，]π时，()0min f x =． …………………….10分 所以01a >−，即1a <，因此，a 的取值范围是(,1)−∞． …………………….12分 21. 解：（1）由题意，设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），则a 2＝a 1+d ，a 5＝a 1+4d ， ∵a 2是a 1和a 5的等比中项，∴（a 1+d ）2＝a 1（a 1+4d ），（2a 1﹣d ）d ＝0，∵d ≠0，∴2a 1﹣d ＝0，即d ＝2a 1， ……………………………………….2分 ∴a 2n ＝a 1+（2n ﹣1）d ＝a 1+2（2n ﹣1）a 1＝（4n ﹣1）a 1， a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝a 1+2（n ﹣1）a 1＝（2n ﹣1）a 1， 又∵a 2n ＝2a n +1，∴（4n ﹣1）a 1＝2（2n ﹣1）a 1+1，化简整理，得a 1＝1， ……………………………………….4分 ∴公差d ＝2a 1＝2×1＝2，∴a n ＝1+2•（n ﹣1）＝2n ﹣1，n ∈N *． ……………………………………….6分 （2）由题意及（1），可得当n ＝1时，a 1b 1＝（2×1﹣3）•21+1+6＝2， ∵a 1＝1，∴b 1＝2，当n ≥2时，由a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ＝（2n ﹣3）•2n +1+6， 可得a 1b 1+a 2b 2+…+a n ﹣1b n ﹣1＝（2n ﹣5）•2n +6，两式相减，可得a n b n ＝（2n ﹣3）•2n +1+6﹣（2n ﹣5）•2n ﹣6＝（2n ﹣1）•2n ，……………….8分 ∵a n ＝2n ﹣1，n ∈N *，∴b n ＝2n ， ∵当n ＝1时，b 1＝2也满足上式，∴b n ＝2n ，n ∈N *， …………………….10分 ∴T n ＝a 1b n +a 2b n ﹣1+…+a n ﹣1b 2+a n b 1＝1•2n +3•2n ﹣1+•+（2n ﹣3）•22+（2n ﹣1）•21＝（2n ﹣1）•21+（2n ﹣3）•22+•+3•2n ﹣1+1•2n ，2T n ＝（2n ﹣1）•22+（2n ﹣3）•23+•+5•2n ﹣1+3•2n +1•2n +1，两式相减得﹣T n ＝（2n ﹣1）•21+（﹣2）•22+（﹣2）•23+•+（﹣2）•2n ﹣1+（﹣2）•2n ﹣1•2n +1＝4n ﹣2﹣2•（22+23+•+2n ﹣1+2n ）﹣2n +1＝4n ﹣2﹣2•﹣2n +1＝4n +6﹣3•2n +1，∴T n ＝3•2n +1﹣4n ﹣6． …………………….12分22. 解：()f x 的定义域为()0,+∞，()22222a ax x a f x a x x x−+'=+−=………………….1分 ∵()f x 在定义域内单调递增∴()0f x '≥，即220ax x a −+≥对0x >恒成立，则221x a x ≥+恒成立∴2max21x a x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭······························ 3分∵2211xx ≤+，∴1a ≥.所以a 的取值范围是[)1,+∞. ····························· 5分(2)由2440a ∆=−>且35a >，得315a <<设方程()0f x '=，即220ax x a −+=得两根为1x ，2x ，且120x x <<.则()1m f x =，()2n f x = ∵121x x =，122x x a+=∴11121023x x a <+=<，∴1113x <<， ····························· 7分 将S 表示为关于1x 的函数，112211212ln 2ln a a aS m n ax x ax x ax x x x ⎛⎫=−=−−−−−=− ⎪⎝⎭11111112ln 2ln 22ln a ax ax x ax x x x ⎛⎫⎛⎫−−−+=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵21120ax x a −+=∴12121x a x =+， 代入得222111122111114ln 4ln 112x x S x x x x ⎛⎫⎛⎫−−=−=− ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭······························ 9分令21x t =，则119t <<，得()11ln 12t g t t t −=−+，119t <<， 则()4S g t =，()()()221021t g t t t −−'=<+，∴()g t 在1,19⎛⎫⎪⎝⎭上递减，从而()()119g g t g ⎛⎫<< ⎪⎝⎭即()40ln35g t <<−∴1604ln35S <<−. ····························· 12分。
辽宁省葫芦岛市绥中县第一高级中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析
辽宁省葫芦岛市绥中县第一高级中学2021-2022学年高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. （5分）（2011秋?乐陵市校级期末）已知a，b∈R+，A为a，b的等差中项，正数G为a，b的等比中项，则ab与AG的大小关系是（）C解答：解：依题意A=，G=，∴AG﹣ab=?﹣ab=（﹣）=?≥0，∴AG≥ab．故选C2. 已知，则函数有（）A．最小值6 B．最大值6 C．最小值 D．最大值参考答案：A 3. 设是定义在上的增函数，且对任意，都有恒成立，如果实数满足不等式，那么的取值范围是（9，49）（13，49）（9，25）（3，7）参考答案：4. 设P为等边所在平面内的一点，满足，若AB=1，则的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：B略5. ，复数= ( )A. B. C.D.参考答案：A因为，可知选A6. 椭圆=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是（）A．± B．± C．± D．±参考答案：A略7. 设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A、B分别在α、β内运动时，那么所有的动点C（）A．不共面B．当且仅当A，B在两条相交直线上移动时才共面C．当且仅当A，B在两条给定的平行直线上移动时才共面D．不论A，B如何移动都共面参考答案：D【考点】LJ：平面的基本性质及推论．【分析】本题考查空间想象力，因为平面α∥平面β，所以线段AB的中点到平面α和平面β的距离相等，从而动点C构成的图形是到平面α和平面β的距离相等的一个平面．【解答】解：根据平行平面的性质，不论A、B如何运动，动点C均在过C且与α，β都平行的平面上．故选：D8. 2016年鞍山地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是（）A．0.48 B．0.6 C．0.75 D．0.8参考答案：C【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率是p，利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果．【解答】解：∵一天的空气质量为优良的概率为0.8，连续两天为优良的概率为0.6，设随后一天空气质量为优良的概率为p，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良，则有0.8p=0.6，∴p===0.75，故选：C．9. 已知3sin2α=cosα，则sinα可以是（）A．﹣B．C．D．参考答案：B【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】根据二倍角公式化简3sin2α=cosα，消去cosα求出sinα的值．【解答】解：3sin2α=cosα，∴6sinαcosα=cosα，若cosα≠0，则6sinα=1，解得sinα=．故选：B．10. 对于一组数据（，2，3，，），如果将它们改变为（，2，，）其中，则下面结论正确的是（）Ａ．平均数与方差均不变Ｂ．平均数变了，而方差保持不变Ｃ．平均数不变，而方差变了Ｄ．平均数与方差均发生了变化参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 复数Z=i（1+i）在复平面内对应的点的坐标为．参考答案：（﹣1，1）【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：Z=i（1+i）=i﹣1在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）12. 春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若X的方差，，则p=________．参考答案：0.7【分析】由题意可知：，且，从而可得值．【详解】由题意可知：∴，即,∴故答案为：0.7【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．13. 设f(x)=，则 ___.参考答案：14. 点G是△ABC 的重心，，（λ，μ∈R），若∠A=120°，，则最小值为．参考答案：【考点】向量的共线定理；两向量的和或差的模的最值；平面向量数量积的运算．【分析】欲求最小值，先求其平方的最小值，这里解决向量模的问题常用的方法．【解答】解：∵点G 是△ABC的重心，∴，∴=∵，∴AB×AC×COSA=﹣2，∴AB×AC=4．∴AG2≥故填．15. 《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有个．参考答案：2316. 设表示等差数列的前项和，且，，若，则=参考答案：15略17. 函数的零点个数为。
【KS5U发布】辽宁省沈阳二中2021届高三上学期10月月考试题 数学(理) Word版含答案
沈阳二中2022——2021学年度上学期10月份小班化学习成果 阶段验收高三（ 15 届）数学（理科）试题命题人：高三数学组 审校人：高三数学组说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷 （60分）一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.） 1．已知集合A ＝{x|0<log 4x<1}，B ＝{x|x≤2}，则A∩B ＝( ) A ．(0,1) B ．(0,2] C ．(1,2) D ．(1,2] 2．有关下列命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若x 2=1,则x=1”的否命题为:若“x 2=1则x ≠1” B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R,使得x 2+x+1<0”的否定是:“∀x ∈R,均有x 2+x+1<0” D ．命题“若x=y,则sinx=siny ”的逆否命题为真命题3．已知函数()()2531m f x m m x--=--是幂函数且是()0,+∞上的增函数,则m 的值为（ ）A ．2B ．-1C ．-1或2D ．04．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12 B ．f ⎝⎛⎭⎫12<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫13 C ．f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13<f (2) D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫12<f ⎝⎛⎭⎫13 5．函数)42sin(log 21π+=x y 的单调减区间为 （ ）A ．)(],4(Z k k k ∈-πππB ．)(]8,8(Z k k k ∈+-ππππC ．)(]8,83(Z k k k ∈+-ππππ D ．)(]83,8(Z k k k ∈++ππππ6．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值（ ）A ．2413- B. 2213-C. 2313-D. 231-7．已知函数2()ln(193)1f x x x =++，则1(lg 2)(lg )2f f +等于（ ）A ．-1 B.0 C. 1 D. 28．tan70°cos10°(1－3tan20°)的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．29．已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为( )A.14B.12C.22D.3210．.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(－∞，0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(0，1)D ．(0，＋∞)11. 设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则 （ ） A ． 32παβ-=B.32παβ+=C.22παβ-=D.22παβ+=12. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=， 若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为（ ）A.]61,61[-B.]66,66[-C. ]31,31[- D. ]33,33[-第Ⅱ卷 （90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分. 13.计算定积分=+⎰-dx x x 112)sin (__________14..设()f x R 是上的奇函数，且2'(1)0,0(1)()2()0f x x f x xf x -=>+-<当时，，则不等 式()0f x >的解集为15.对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x ≤⎧=⎨>⎩给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数②当且仅当()x k k Z ππ=+∈时，该函数取得最小值是-1 ③该函数的图象关于直线52()4x k k Z ππ=+∈对称。
2022-2023学年北京市第八中学高三10月月考数学试卷含详解
2023届高三10月测试数学试题第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{|22}A x x =-<，{|11}B x x =-< ，则（）A.A B A= B.B ⊆R Að C.R A B =∅ð D.R A B ⋃=Rð2.若复数()i 1i z =+，则2z =（）A.2- B.2C.2i- D.2i3.在621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（）A.15B.15- C.30D.30-4.在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面．平面α以任意角度截正方体，所截得的截面图形不可能为（）A.等腰梯形B.非矩形的平行四边形C.正五边形D.正六边形5.已知半径为1的圆经过点()3,4，则其圆心到点()3,4--的距离的最大值为（）A.9B.10C.11D.126.已知函数()()πsin 0,2f x x ωθωθ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，π6x =是()f x 的一个极值点，π6x =-是与其相邻的一个零点，则π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A.0B.1C.1-D.227.已知函数()2log 1f x x x =-+，则不等式()0f x >的解集是（）A.()0,1 B.()()1,22,⋃+∞ C.()1,2 D.()2,+∞8.过抛物线C ：26y x =的焦点且垂直于x轴的直线被双曲线E ：()22210xy a a-=>所截得线段长度为，则双曲线的离心率为（）A.B.512+ C.72D.9.已知数列{}n a 是递增数列，且4(1)5,4,(3)5,4n n n n a n N n λλ+--+≤⎧=∈⎨-+>⎩，则λ的取值范围是（）A.()1,2 B.51,4⎛⎫⎪⎝⎭ C.51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D.71,5⎛⎫ ⎪⎝⎭10.如图，已知1OA OB == ，OC = 4tan 3AOB ∠=-，45BOC ∠=︒，OC mOA nOB =+，则mn等于A.57 B.75C.37D.73第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则f (-8)的值是____.12.若函数()()cos sin f x x x ϕ=++的最大值为2，则ϕ的一个可能的取值为___________.13.若直线y x a =+和直线y x b =+将圆()()22111x y -+-=的周长四等分，则a b -=__________．14.若数列{}n a 满足12a =，23a =，()*21n n n a a a n +++=∈N，则2021a的值为__________．15.甲乙丙三个学生同时参加了若干门学科竞赛，至少包含数学和物理，在每科竞赛中，甲乙丙三人中都有一个学生的分数为x ，另一个学生的分数为y ，第三个学生的分数为z ，其中x ，y ，z 是三个互不相等的正整数．在完成所有学科竞赛后，甲的总分为47分，乙的总分为24分，丙的总分为16分．（1）甲乙丙三个学生参加的学科竞赛门数为________；（用x ，y ，z 表示）；（2）若在甲乙丙这三个学生中乙的数学竞赛成绩排名第一，则下列正确的序号为________．①甲乙丙三个学生至少参加了四门学科竞赛②x ，y ，z 这三个数中的最大值可以取到21③在甲乙丙这三个学生中，甲学生的物理竞赛成绩可能排名第二④在甲乙丙这三个学生中，丙学生的物理竞赛成绩一定排名第二三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC 中，1cos 7C =，8c =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）b 的值；（2）角A 的大小和ABC 的面积.条件①：7a =；条件②：11cos 14B =.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，O 是AD 边的中点，PO ⊥底面,1ABCD PO =．在底面ABCD 中，//,,1,2BC AD CD AD BC CD AD ⊥===．（1）求证：//AB 平面POC ；（2）求二面角B AP D --的余弦值．18.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m ．以上（含950m ．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E （X ）；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点(，且离心率为12．设A ，B 为椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆上异于A ，B 的一点，直线AP ，BP 分别与直线:4l x =相交于M ，N 两点，且直线MB 与椭圆C 交于另一点H ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：直线AP 与BP 的斜率之积为定值；（3）判断三点A ，H ，N 是否共线：并证明你的结论．20.已知函数()e 1xf x ax =--.（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若()2f x x ≥在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.21.设m 为正整数，若无穷数列{}n a 满足(1,2,,;1,2,)ik i ik a a i i m k +=+== ，则称{}n a 为m P 数列.（1）数列{}n 是否为1P 数列？说明理由；（2）已知,,,,n s n a t n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数其中,s t 为常数.若数列{}n a 为2P 数列，求,s t ；（3）已知3P 数列{}n a 满足10a <，82a =，666(1,2,)k k a a k +<= ，求n a .2023届高三10月测试数学试题第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{|22}A x x =-<，{|11}B x x =-< ，则（）A.A B A =B.B ⊆R A ðC.R A B =∅ð D.R A B ⋃=RðD【分析】根据集合的运算法则判断各选项．【详解】由题意1{|1}A B x x =-<≤ ，A 错；{|2R A x x =≤-ð或2}x >，B 错；{|1B x x =≤-R ð或1}x >，{|21R A B x x =-<≤- ð或12}x <≤，C 错；R A B R ⋃=ð，D 正确．故选：D ．2.若复数()i 1i z =+，则2z =（）A.2-B.2C.2i- D.2iC【分析】结合复数乘法公式直接求解.【详解】因为i(1i)1i z =+=-+，所以22i z =-.故选：C3.在621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为（）A.15B.15- C.30D.30-A【分析】根据二项展开式的通项公式直接求解.【详解】()663166211rr rr r r r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令630r -=，得2r =，所以常数项是()2236115T C =-=.故选：A4.在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面．平面α以任意角度截正方体，所截得的截面图形不可能为（）A.等腰梯形B.非矩形的平行四边形C.正五边形D.正六边形C【分析】在正方体中依次分析，经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形，其他情况都可构造例子.【详解】画出截面图形如图：可以画出等腰梯形，故A 正确；在正方体1111ABCD A B C D 中，作截面EFGH （如图所示）交11C D ，11AB ，AB ，CD 分别于点E ，F ，G ，H ，根据平面平行的性质定理可得四边形EFGH 中，//EF HG ，且//EH FG ，故四边形EFGH 是平行四边形，此四边形不一定是矩形，故B 正确；经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形，故C 错误；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故D 正确．故选：C5.已知半径为1的圆经过点()3,4，则其圆心到点()3,4--的距离的最大值为（）A.9 B.10C.11D.12C【分析】根据圆的性质，求得轨迹方程，由点与圆的位置关系，可得答案.【详解】由题意，圆心的轨迹方程为()()22341x x -+-=，则其圆心到点()3,4--的距离的最大值为111=.故选：C.6.已知函数()()πsin 0,2f x x ωθωθ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，π6x =是()f x 的一个极值点，π6x =-是与其相邻的一个零点，则π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A.0B.1C.1-D.22D【分析】根据题中条件求出ω的值，结合θ的取值范围可求得θ的值，可得出函数()f x 的解析式，然后代值计算可得π3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.【详解】由题意可知，函数()f x 的最小正周期为π4π4263T =⨯⨯=，2π32T ω∴==，()3sin 2x f x θ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，因为π6x =是()f x 的一个极值点，则()3πππZ 262k k θ⨯+=+∈，则()ππZ 4k k θ=+∈，因为π2θ<，π4θ∴=，则()3πsin 24x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因此，ππππsin cos 32442f ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.7.已知函数()2log 1f x x x =-+，则不等式()0f x >的解集是（）A.()0,1B.()()1,22,⋃+∞C.()1,2 D.()2,+∞C【分析】利用导数可求得()f x 单调性，结合()()120f f ==可得不等式的解集.【详解】()f x 定义域为()0,∞+，()11ln 21ln 2ln 2x f x x x -'=-=，∴当10,ln 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>；当1,ln 2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；()f x \在10,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；又()()120f f ==，且112ln 2<<，()0f x ∴>的解集为()1,2.故选：C8.过抛物线C ：26y x =的焦点且垂直于x 轴的直线被双曲线E ：()22210xy a a-=>所截得线段长度为，则双曲线的离心率为（）A.B.512+C.2D.213D【分析】根据题意，代入32x =，求得弦长=即可求得a ，再由基本量的计算即可得解.【详解】抛物线C ：26y x =的焦点为3(,0)2，令32x =，可得y =所以=，32a =，由1b =，所以2c ==，所以7212332c e a ===.故选：D9.已知数列{}n a 是递增数列，且4(1)5,4,(3)5,4n n n n a n N n λλ+--+≤⎧=∈⎨-+>⎩，则λ的取值范围是（）A.()1,2 B.51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C.51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D.71,5⎛⎫ ⎪⎝⎭D【分析】根据数列{}n a 是递增数列，列出符合条件的不等式组，求出λ的取值范围即可.【详解】数列{}n a 是递增数列，且4(1)5,4,(3)5,4n n n n a n N n λλ+--+≤⎧=∈⎨-+>⎩，则5410314(1)5(3)5λλλλ-->⎧⎪->⎨⎪-+≤-+⎩，解得715λ<<，故λ的取值范围是71,5⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：D10.如图，已知1OA OB ==，OC = 4tan 3AOB ∠=-，45BOC ∠=︒，OC mOA nOB =+，则mn等于A.57 B.75C.37D.73A【分析】依题意建立直角坐标系，根据已知角，可得点B、C 的坐标，利用向量相等建立关于m、n 的方程，求解即可．【详解】以OA 所在的直线为x 轴，过O 作与OA 垂直的直线为y轴，建立直角坐标系如图所示：因为1OA OB == ，且4tan 3AOB ∠=-，∴34cos sin 55AOB AOB ∠=-∠=，，∴A（1，0），B（3455-，），又令θAOC ∠=，则θ=AOB BOC ∠-∠，∴413tanθ413--=-=7，又如图点C 在∠AOB 内，∴cosθ=210，sin θ=7210,又OC =，∴C（1755，），∵OC mOA nOB =+ ，（m ，n ∈R ），∴（1755，）=（m,0）+（3455n n -，）=(m 35n -，45n ）即15=m 35n -，7455n =，解得n=74，m=54，∴57m n =，故选A ．【点睛】本题考查了向量的坐标运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是常用的处理向量运算的方法，涉及到三角函数的求值，属于中档题．第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x=，则f (-8)的值是____.4-【分析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.12.若函数()()cos sin f x x x ϕ=++的最大值为2，则ϕ的一个可能的取值为___________.2π-（答案不唯一）【分析】化简可得出()()cos cos 1sin sin f x x x ϕϕ=+-，可得出()max2f x ==，求出sin ϕ的值，即可得解.【详解】因为()()cos cos sin sin sin cos cos 1sin sin f x x x x x x ϕϕϕϕ=-+=+-，故()max 2f x ===，可得sin 1ϕ=-.故()2Z 2k k πϕπ=-∈.故答案为：2π-（答案不唯一）.13.若直线y x a =+和直线y x b =+将圆()()22111x y -+-=的周长四等分，则a b -=__________．2【分析】由条件可得直线y x a =+和直线y x b =+间的距离为，由此可求a b -的值.【详解】设直线y x a =+和圆()()22111x y -+-=相交与点,A B ，直线y x b =+与圆()()22111x y -+-=相交于点,M N ，圆心为C ，因为直线y x a =+和直线y x b =+将圆()()22111x y -+-=的周长四等分，所以圆心位于两直线之间，且2ACB MCN π∠=∠=,所以ACB △为等腰直角三角形，所以圆心为C 到直线y x a =+的距离为22，同理可得圆心为C 到直线y x b =+的距离为2，故直线y x a =+和直线y x b =+间的距离为，=，所以2a b -=，故答案为：2.14.若数列{}n a 满足12a =，23a =，()*21n n n a a a n +++=∈N ，则2021a 的值为__________．3-【分析】由递推式求数列的前几项，确定数列的项的规律，由规律确定2021a .【详解】解：132a a a +=，则3211a a a =-=，243a a a +=，则4322a a a =-=-，354a a a +=，则5433a a a =-=-，6541a a a =-=-，7652a a a =-=，8763a a a =-=，⋅⋅⋅⋅⋅⋅∴数列{}n a 为周期数列，且周期6T =，又202163365=⨯+，∴202153a a ==-．故答案为：-3.15.甲乙丙三个学生同时参加了若干门学科竞赛，至少包含数学和物理，在每科竞赛中，甲乙丙三人中都有一个学生的分数为x ，另一个学生的分数为y ，第三个学生的分数为z ，其中x ，y ，z 是三个互不相等的正整数．在完成所有学科竞赛后，甲的总分为47分，乙的总分为24分，丙的总分为16分．（1）甲乙丙三个学生参加的学科竞赛门数为________；（用x ，y ，z 表示）；（2）若在甲乙丙这三个学生中乙的数学竞赛成绩排名第一，则下列正确的序号为________．①甲乙丙三个学生至少参加了四门学科竞赛②x ，y ，z 这三个数中的最大值可以取到21③在甲乙丙这三个学生中，甲学生的物理竞赛成绩可能排名第二④在甲乙丙这三个学生中，丙学生的物理竞赛成绩一定排名第二①.87x y z ++②.④【分析】（1）甲乙丙三人总分为87，即可求得甲乙丙三个学生参加的学科竞赛门数；（2）不妨设x y z >>，由472416293x y z ++++==，利用排除法即可判断①；再由甲乙丙这三个学生中乙的数学竞赛成绩排名第一，依次判断②③④.【详解】（1）甲乙丙三人总分为47241687++=，又每科竞赛中，甲乙丙三人中都有学生的分数为x ，y ，z ，故甲乙丙三个学生参加的学科竞赛门数为87x y z++（2）不妨设x y z >>，由题意可得472416293x y z ++++==，对于①，假设甲乙丙只参加了三门竞赛，当20,7,2x y z ===时，若甲：2020747++=，乙：202224++=，丙：77216++=，此时符合题意，故①错误；对于②，若21x =，有8y z +=，丙的分数无法满足；因为2116>，且x ，y ，z 是正整数，16不能整除3，必有216y z +=，但由于8y z +=，则2()16y z +=与216y z +=矛盾，故②错误；对于③④，当20,7,2x y z ===时，对于甲有2020747++=，对于乙有202224++=，对于丙有77216++=，由于甲乙丙这三个学生中乙的数学竞赛成绩排名第一，所以甲乙丙的数学成绩分为7,20,2，物理成绩分别为20,2,7，所以甲学生的物理竞赛成绩是第一，丙学生的物理竞赛成绩一定排名第二，故③错误，④正确；故答案为：87x y z++，④【点睛】关键点点睛：本题考查了合情推理的应用，主要考查了逻辑推理能力，正确理解题意是解题的关键，属于较难题.三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC 中，1cos 7C =，8c =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）b 的值；（2）角A 的大小和ABC 的面积.条件①：7a =；条件②：11cos 14B =.（1）5b =（2）3A π=，ABC S = 【分析】（1）若选①，则直接利用余弦定理可求得b ，若选②，先由同角三角函数的关系求出sin ,sin B C ，然后由正弦定理可求出b ，（2）若选①，先求出sin C ，再利用正弦定理可求出角A ，利用面积公式可求出其面积，若选②，由于cos cos()A B C =-+，利用两角和的余弦公式展开计算可求出角A ，利用面积公式可求出其面积，【小问1详解】选择条件①因为1cos 7C =，8c =，7a =，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得216449147b b =+-⨯，化简得22150b b --=，解得5b =或3b =-（舍）.所以5b =；选择条件②因为11cos 14B =，0B π<<，所以53sin 14B ==，因为1cos 7C =，0C π<<，所以43sin 7C ===，由正弦定理得sin sin b c B C =5343147=解得5b =；【小问2详解】选择条件①因为1cos 7C =，0C π<<，所以43sin 7C ===.由正弦定理sin sin a c A C =，得7sin 437A =，所以3sin 2A =，因为c a >，所以C A >，所以A 为锐角，所以3A π=，所以1143sin 75227ABC S ab C ==⨯⨯⨯= ，选择条件②由（1）知53sin 14B =，43sin 7C =，又因为11cos 14B =，1cos 7C =，在ABC 中，()A B C π=-+，所以cos cos()cos cos sin sin A B C B C B C=-+=-+111534311471472=-⨯+⨯=因为0A π<<所以3A π=，所以113sin 58222ABC S bc A ==�△17.如图，在四棱锥P ABCD -中，O 是AD 边的中点，PO ⊥底面,1ABCD PO =．在底面ABCD 中，//,,1,2BC AD CD AD BC CD AD ⊥===．（1）求证：//AB 平面POC ；（2）求二面角B AP D --的余弦值．（1）证明见解析；（2）33．【分析】（1）证明//AB OC 后可证线面平行；（2）以,,OB OD OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．【详解】（1）由题意BC OA =，又//BC OA ，所以BCOA 是平行四边形，所以//AB OC ，又AB ⊄平面POC ，OC ⊂平面POC ，所以//AB 平面POC ；（2）,//BC OD BC OD =，所以BCDO 是平行四边形，所以//OB DC ，OB CD =，而CD AD ⊥，所以OB AD ⊥，以,,OB OD OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(1,0,0)B ，(0,1,0)A -，(0,0,1)P ，(1,1,0)AB = ，(0,1,1)= AP ，设平面ABP 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则00n AB x y n AP y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩ ，取1x =，则1,1y z =-=，即(1,1,1)n =- ，易知平面APD 的一个法向量是(1,0,0)m = ，所以13cos ,313m n m n m n ⋅<>===⨯ ，所以二面角B AP D --的余弦值为33．【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，求二面角．求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．18.在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m ．以上（含950m ．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m ）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（1）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（2）设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E （X ）；（3）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）（1）0.4（2）75（3）丙【分析】(1)由频率估计概率即可(2)求解得X 的分布列，即可计算出X 的数学期望.(3)计算出各自获得最高成绩的概率，再根据其各自的最高成绩可判断丙夺冠的概率估计值最大.【小问1详解】由频率估计概率可得甲获得优秀的概率为0.4，乙获得优秀的概率为0.5，丙获得优秀的概率为0.5，故答案为0.4【小问2详解】设甲获得优秀为事件A 1,乙获得优秀为事件A 2，丙获得优秀为事件A 31233(0)()0.60.50.520P X P A A A ===⨯⨯=，123123123(1)()()()P X P A A A P A A A P A A ==++80.40.50.50.60.50.50.60.50.520=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，123123123(2)()()()P X P A A A P A A A P A A A ==++70.40.50.50.40.50.50.60.50.520=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，1232(3)()0.40.50.520P X P A A A ===⨯⨯=.∴X 的分布列为X0123P 320820720220∴38727()0123202020205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=【小问3详解】丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为14，甲获得9.80的概率为110，乙获得9.78的概率为16.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(，且离心率为12．设A ，B 为椭圆C 的左、右顶点，P 为椭圆上异于A ，B 的一点，直线AP ，BP 分别与直线:4l x =相交于M ，N 两点，且直线MB 与椭圆C 交于另一点H ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：直线AP 与BP 的斜率之积为定值；（3）判断三点A ，H ，N 是否共线：并证明你的结论．（1）22143x y +=（2）定值为34-，证明见解析.（3）三点A ，H ，N 共线，证明见解析.【分析】（1）首先根据题意得到22212b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，再解方程组即可.（2）设00(,)P x y ，()2,0A -，()2,0B ，再计算AP BP k k ⋅即可.（3）分别计算AH k 和AN k ，根据AN AH k k =，A 为公共点，即可证明A ，H ，N 三点共线.【小问1详解】由题知：2222121b a c b a c a b c ⎧==⎧⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎩，所以椭圆C ：22143x y +=.【小问2详解】由题知：AP k ，BP k 存在，且不为零，设00(,)P x y ，()2,0A -，()2,0B ，则2200143x y +=，即()200344x y -=.()202000220000343422444AP BP x y y y k k x x x x -⋅=⋅===-+---.所以直线AP 与BP 的斜率之积为定值34-.【小问3详解】A ，H ，N 三点共线，证明如下：设直线AP ：()2y k x =+，则直线BP ：()324=--y x k，将4x =代入直线AP ，BP 得：()4,6M k ，34,2N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，6342BM k k k ==-，设直线HM ：()32y k x =-，联立()()22222211124848404332x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+-=⎨⎪=-⎩，设()11,H x y ，则2124842121k x k -=+，解得212242121k x k -=+，所以()1121232121k y k x k -=-=+，即22224212,121121k k H k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，所以31264AN k k k-==-，22212112124242121AH kk k k k k -+==--++，所以AN AH k k =，A 为公共点，所以A ，H ，N 三点共线.20.已知函数()e 1xf x ax =--.（1）当1a =时，求()f x 的极值；（2）若()2f x x ≥在[)0,x ∈+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.（1）()f x 有极小值(0)0f =，无极大值；（2）(],e 2-∞-【分析】（1）求出函数的导数，判断出函数的单调性，即可求出极值；（2）由题可得2e 10x x ax ---≥在[0,)+∞上恒成立，易得0x =时满足，当0x >时，e 1x a x x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭在(0,)+∞上恒成立，构造函数e 1()x g x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求出导数，判断()g x 的单调性，得出min ()e 2g x =-，即可求出a 的取值范围．【详解】（1）当1a =时，()e 1x f x x =--，所以()e 1x f x '=-，当0x <时()0f x '<；当0x >时()0f x '>，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以当0x =时函数()f x 有极小值(0)0f =，无极大值.（2）因为2()f x x ≥在[0,)+∞上恒成立，所以2e 10x x ax ---≥在[0,)+∞上恒成立，当0x =时00≥恒成立，此时R a ∈，当0x >时e 1x a x x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭在(0,)+∞上恒成，令e 1()x g x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则2222(1)e (1)e (1)1()xx x x x x g x x x x ⎡⎤--+⎛⎫--⎣⎦'=-= ⎪⎝⎭，由（1）知0x >时()(0)0f x f >=，即e (1)0x x -+>，当01x <<时()0g x '<；当1x >时()0g x '>，所以()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min ()e 2g x =-，所以e 2a ≤-，综上可知，实数a 的取值范围是(],e 2-∞-.【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题一般采用分离参数法求参数范围，若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或()()g x x D λ≤∈恒成立，进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.21.设m 为正整数，若无穷数列{}n a 满足(1,2,,;1,2,)ik i ik a a i i m k +=+== ，则称{}n a 为m P 数列.（1）数列{}n 是否为1P 数列？说明理由；（2）已知,,,,n s n a t n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数其中,s t 为常数.若数列{}n a 为2P 数列，求,s t ；（3）已知3P 数列{}n a 满足10a <，82a =，666(1,2,)k k a a k +<= ，求n a .（1）是1P 数列，理由见解析；（2）1,0t s =-=；（3）6n a n =-.【分析】(1)根据1P 数列的性质判断即可；(2)根据2P 数列的性质，求出123,,a a a 即可；(3)根据3P 数列的性质，利用所给的条件，合理演绎即可.【小问1详解】∵()()11111(1)11n n n a a n a ⨯-+⨯-==-+=+()2n ≥，∴()()111111n n a a ⨯-+⨯-=+，符合1P 的定义，故数列n a n =是1P 数列；【小问2详解】依题意，2a t =，13a a s ==，因为n a 是2P 数列，2111111a a a t t ⨯+==+=+=，1t ∴=-，3121211a a a t s ⨯+==+=+=，0s ∴=；【小问3详解】∵n a 是3P 数列，817171a a a ⨯+∴==+，823262a a a ⨯+==+，76122a a ∴+=+=…①，9181813a a a ⨯+==+=，9323633a a a ⨯+==+=…②由①②得670,1a a ==，∴猜想n a 是首项为-5，公差为1的等差数列，即6n a n =-，检验：111611k k k a a k a ⨯++==-+=+，∴是1P 数列；222222262622k k k a a k k a ⨯++==+-=-+=+，∴是2P 数列；3333363633k k a k k a +=+-=-+=+，∴是3P 数列，并且66666,6666k k a k a k k +=-=+-=，（1,2,3,k = ），∴666k k a a +＜，150a =-＜符合题意，故6n a n =-，综上，n a n =是1P 数列，1t =-，0s =，6n a n =-.。
2021-2022年高三上学期第二次月考数学(理)试题含答案
2021-2022年高三上学期第二次月考数学（理）试题含答案一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集为R ，集合A={x|（）x ≤1}，B={x|x 2﹣6x+8≤0}， 则A∩（）=（ ）A ．{x|x ≤0}B ．{x|2≤x ≤4}C ．{x|0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x|0＜x ≤2或x ≥4}2.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) (A)y=tanx (B)y=3x (C)y= (D)y=lg|x|3.下列四种说法中,错误的个数是( ) ①A={0,1}的子集有3个;②“若am 2<bm 2,则a<b ”的逆命题为真;③“命题p ∨q 为真”是“命题p ∧q 为真”的必要不充分条件;④命题“∀x ∈R,均有x 2-3x-2≥0”的否定是:“∃x 0∈R,使得x 02-3x 0-2≤0”. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 4.已知函数则f(f())的值是( ) (A)9(B)(C)-9(D)-5.若a=log 20.9,则( )(A)a<b<c (B)a<c<b (C)c<a<b(D)b<c<a6.若函数y=-x 2+1(0<x<2)的图象上任意点处切线的倾斜角为α,则α的最小值是( )()()()()53A B C D 4664ππππ7.已知命题p:函数f(x)=2ax 2-x-1(a ≠0)在(0,1)内恰有一个零点;命题q:函数y=x 2-a 在(0,+∞)上是减函数.若p 且﹁q 为真命题,则实数a 的取值范围是 ( ) (A)a>1(B)a ≤2 (C)1<a ≤2(D)a ≤1或a>28.函数f(x)=的大致图象为( )9．设函数f （x ）=x 2+xsinx ，对任意x 1，x 2∈（﹣π，π）， 若f （x 1）＞f （x 2），则下列式子成立的是（ ） A ．x 1＞x 2B ．C ．x 1＞|x 2|D ．|x 1|＜|x 2|10函数y=f(x)(x ∈R)满足f(x+1)=-f(x)，且x ∈［-1,1］时f(x)=1-x 2，函数()lg x,x 0,g x 1,x 0,x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间［-5，4］内的零点的个数为( ) (A)7(B)8(C)9(D)10二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11．已知集合M={y|y=x 2﹣1，x ∈R}，，则M∩N=_____ 12．已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是 [﹣1，0]，则a+b= ．13.已知p:≤x ≤1,q:(x-a)(x-a-1)>0,若p 是﹁q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是 .14．若f （x ）=是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为 ． 15.若方程有正数解，则实数的取值范围是_______三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．（12分）已知p ：∀x ∈R ，2x ＞m （x 2+1），q ：∃x 0∈R ， x+2x 0﹣m ﹣1=0，且p ∧q 为真，求实数m 的取值范围．17、（12分）已知函数．（1）求f（x）的定义域；（2）讨论f（x）的奇偶性；（3）证明f（x）在（0，1）内单调递减．18．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=﹣是f（x）的极值点，求f（x）在[1，4]上的最大值．19．(12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．20. （13分）已知函数f(x)满足()()()x 121f x f 1e f 0x x .2-='-+(1)求f(x)的解析式及单调区间.(2)若f(x)≥x 2+ax+b,求(a+1)b 的最大值.21、 (14分)已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a R =-++∈．（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a 的值； （Ⅱ）求f （x ）的单调区间；（Ⅲ）设g （x ）=x 2﹣2x ，若对任意x 1∈（0，2]，均存在x 2∈（0，2]，使得 f （x 1）＜g （x 2），求a 的取值范围．高三数学第一次检测题答案解析1. C ．2.C.3.D.4.B.5.B.6.D.7.C 8、D.9.【解析】∵f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣xsin （﹣x ）=x 2+xsinx=f （x ），∴函数f （x ）=x 2+xsinx 为偶函数，又f′（x ）=2x+sinx+xcosx ，∴当x ＞0时，f′（x ）＞0，∴f （x ）=xsinx 在[0，π]上单调递增，∴f （﹣x ）=f （|x|）；∵f （x 1）＞f （x 2），∴结合偶函数的性质得f （|x 1|）＞f （|x 2|），∴|x 1|＞|x 2|，∴x 12＞x 22．故选B ．10.选A.由f（x＋1）＝－f（x），可得f（x＋2）＝－f（x＋1）＝f（x），所以函数f（x）的周期为2，求h（x）＝f（x）－g（x）的零点，即求f（x）＝g（x）在区间［－5,4］的解的个数.画出函数f（x）与g（x）的图象，如图，由图可知两图象在［－5,4］之间有7个交点，所以所求函数有7个零点，选A.11、解：∵集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}={y|y≥﹣1}，={x|﹣}，∴M∩N=．故答案为：．12、解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b=﹣1，=0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，所以，解得b=﹣2，a=，综上a+b=，故答案为：13.q:x>a+1或x<a,从而﹁q:a≤x≤a+1.由于p是﹁q的充分不必要条件,故a111a2≥⎧⎪⎨≤⎪⎩＋，，即0≤a≤.答案:[0,]14、解：∵f（x）=是R上的单调函数，∴，解得：a≥，故实数a的取值范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）15.16、解：不等式2x＞m（x2+1），等价为mx2﹣2x+m＜0，若m=0，则﹣2x＜0，即x＞0，不满足条件．若m≠0，要使不等式恒成立，则，即，解得m＜﹣1．即p：m＜﹣1．———————————————————————4分若∃x0∈R，x+2x﹣m﹣1=0，则△=4+4（m+1）≥0，解得m≥﹣2，即q：m≥﹣2．———————————————————————8分若p∧q为真，则p与q同时为真，则，即﹣2≤m＜﹣1————12分17、解：（1）⇔﹣1＜x＜0或0＜x＜1，故f（x）的定义域为（﹣1，0）∪（0，1）；————————————4分（2）∵，∴f（x）是奇函数；————————————————————————————6分（3）设0＜x1＜x2＜1，则∵0＜x1＜x2＜1，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，（1﹣x1）（1+x2）=1﹣x1x2+（x2﹣x1）＞1﹣x1x2﹣（x2﹣x1）=（1+x1）（1﹣x2）＞0∴，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（0，1）内递减——————————————————12分另解：∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0故f（x）在（0，1）内是减函数．—————————————————12分18、解：（1）求导函数，可得f′（x）=3x2﹣2ax﹣3，∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立∴3x2﹣2ax﹣3≥0在区间[1，+∞）上恒成立∴且f′（1）=﹣2a≥0∴a≤0———4分（2）∵x=﹣是f（x）的极值点，∴∴∴a=4——6分∴f（x）=x3﹣4x2﹣3x，f′（x）=3x2﹣8x﹣3，∴x1=﹣，x2=3令f′（x）＞0，1＜x＜4，可得3＜x＜4；令f′（x）＜0，1＜x＜4，可得1＜x＜3；∴x=3时，函数取得最小值﹣18∵f（1）=﹣6，f（4）=﹣12∴f（x）在[1，4]上的最大值为﹣6．————————————————12分19、解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v （x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．——————4分（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．—————————————————————————10分答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．——————————————————————————12分20.(1)∵f(x)=f′(1)e x-1-f(0)x+x2,∴f′(x)=f′(1)e x-1-f(0)+x,令x=1得：f(0)=1,∴f(x)=f′(1)e x-1-x+x2,∴f(0)=f′(1)e-1=1,∴f′(1)=e得：f(x)=e x-x+x2.—————————4分设g(x)=f′(x)=e x-1+x,g′(x)=e x+1>0,∴y=g(x)在R上单调递增.令f′(x)>0=f′(0)，得x>0,令f′(x)<0=f′(0)得x<0，∴f(x)的解析式为f(x)=e x-x+x2且单调递增区间为（0，+∞),单调递减区间为（-∞,0).————————————-4分(2)由f(x)≥x2+ax+b得e x-(a+1)x-b≥0，令h(x)=e x-(a+1)x-b,则h′(x)=e x-(a+1).①当a+1≤0时，h′(x)>0⇒y=h(x)在x∈R上单调递增.x→-∞时，h(x)→-∞与h(x)≥0矛盾.——————————6分②当a+1>0时，由h′(x)>0得x>ln(a+1),由h′(x)<0得x<ln(a+1)=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b≥0.———8分得当x=ln(a+1)时，h(x)min（a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1) (a+1>0).令F(x)=x2-x2ln x(x>0)，则F′(x)=x（1-2ln x),——————10分由F′(x)>0得0<x<,由F′(x)<0得x>,当x=时，F（x)=,∴当a=-1,b=时，（a+1)b的最大值为.—————————max—————————————13分21、解：（Ⅰ）∵函数，∴（x＞0）．∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，∴f'（1）=f'（3），即，解得．————————————4分（Ⅱ）（x＞0）．①当a≤0时，x＞0，ax﹣1＜0，在区间（0，2）上，f'（x）＞0；在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．②当时，，在区间（0，2）和上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2）和，单调递减区间是③当时，，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．④当时，，在区间和（2，+∞）上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是和（2，+∞），单调递减区间是．————————————8分（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）max ＜g（x）max．由已知，g（x）max=0，由（Ⅱ）可知，①当时，f（x）在（0，2]上单调递增，故f（x）max=f（2）=2a﹣2（2a+1）+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2，所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，故．——————————————————12分②当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故．由可知，2lna＞﹣2，﹣2lna＜2，所以，﹣2﹣2lna＜0，f（x）max＜0，综上所述，a＞ln2﹣1．————————————————14分21072 5250 剐31873 7C81 粁31426 7AC2 竂z33043 8113 脓e35722 8B8A 變 39463 9A27 騧K34467 86A3 蚣38124 94EC 铬=40272 9D50 鵐。
合肥168中2021届高三10月月考数学(理)试卷及答案
合肥168中2021届高三10月月考数学(理)试卷及答案----b3b6c2dc-6eac-11ec-bbd4-7cb59b590d7d合肥一六八中学2021届高三第二次段考数学（理科）试卷时间：120分钟总分：150分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求在答题纸上相应的位置填写答案。
）22n??x,y?x2?y?0,x?r,y?r，1.设集合m??x,y?x?y?1,x?r,y?r，则集合m?n中???? 元素的数量为（）a.1b.2c.3d.42.函数y?log21(x?1)的定义域为（）2a。
？？2.1.1,2? b、（？2，？1）？（1,2）c。
？？2.1.1,2? d、（？2，？1）？(1,2)3.设曲线y=ax－ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=（）a.0b.1c.2d.34.在曲线y＝x2上切线倾斜角为? 4的点是（）A.（0，0）B.（2，4）C.（111416）d.（2，14）[来5.偶函数f(x)的定义域为r，若f(x＋2)为奇函数，且f(1)＝1，则f(89)＋f(90)为(a．－2b.－1c.0d.16.已知a为常数，则使得a??e11xdx成立的一个充分而不必要条件是()a．a?0b．a?0c．a?ed．a?e7.若f?(xf(x0?h)?f(x0?3h)0)??3，则limh?0h?（）a、 ?。
？3b。
？12c。
？9d。
？68.已知的三次函数f（x）？ax3？bx2？cx？图中显示了D的图像，然后f?(?3)f?(1)?（）a、 -1b。
2c.-5d.-三)9.已知f(x)=x3?3x?m，在区间[0,2]上任取三个数a,b,c,均存在以f(a),f(b),f(c)为边长的三角形，则m的取值范围是（）上午2b。
M4c。
M6d。
M八a2b10.已知f(x),g(x)都是r上的奇函数，f(x)?0的解集为(a,b)，g(x)?0的解集为(,)，且222b，那么f（x）？g（x）？0的解集是（）2BB222BA（？，a）？（a，）b.（？，a）？（？a，）222B2222BC。
山东省枣庄市第八中学2024届高三上学期10月月考数学试题
山东省枣庄市第八中学2024届高三上学期10月月考数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A ．()3,1-
B ．()1,3-
C ．()(),31,-¥-È+¥
D ．[]
1,3-
因此()f x 有极小值()1f ，也有最小值()1f ，有极大值()3f -，但无最大值．若方程
()f x b =恰有一个实数根，则3
6b e ->或2b e =-；若方程()f x b =恰有三个不同实数根，则
306b e -<<．故选：BD 11．AC
【分析】根据二次函数的性质可得函数与x 轴的另一交点为()3,0，结合函数图象及对称轴即可判断；
【详解】解：依题意抛物线()20y ax bx c a =++¹与x 轴交于点()1,0A -，顶点坐标为()1,n ，
所以函数与x 轴的另一交点为()3,0，所以当3x >时，0y <，故A 正确；当2x =时，420y a b c =++>，故B 错误；
Q 抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，且a<0
0a b c \-+=，2b a =-Q ，
角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．。
2021-2022年高三数学上学期第三次月考试卷 理(含解析)
2021-2022年高三数学上学期第三次月考试卷理（含解析）一、选择题B=( ) 1．已知全集U=R，集合A={x|2x＞1}，B={x|x2﹣3x﹣4＞0}，则A∩CUA．{x|0≤x＜4} B．{x|0＜x≤4}C．{x|﹣1≤x≤0} D．{x|﹣1≤x≤4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：利用全集U=R，B={x|x2﹣3x﹣4＞0}，先求出CB={x|﹣1≤x≤4}，再由集UB．合A={x|2x＞1}，求出集合A∩CU解答：解：全集U=R，集合A={x|2x＞1}={x|x＞0}，B={x|x2﹣3x﹣4＞0}={x|x＞4或x＜﹣1}，C U B={x|﹣1≤x≤4}，∴A∩C U B={x|0＜x≤4}．故选B．点评：本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．函数f（x）=﹣lnx的零点个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3考点：根的存在性及根的个数判断．专题：作图题．分析：问题等价于：函数y=与函数y=lnx图象交点的个数，在同一坐标系中，作出它们的图象可得结论．解答：解：函数f（x）=﹣lnx的零点个数等价于函数y=与函数y=lnx图象交点的个数，在同一坐标系中，作出它们的图象：由图象可知，函数图象有1个交点，即函数的零点个数为1故选B点评：本题考查根的存在性及个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．3．定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，则f（）的值为( )A．﹣B．C．﹣D．考点：函数单调性的性质；函数的周期性．专题：计算题；压轴题．分析：要求f（），则必须用f（x）=sinx来求解，那么必须通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间[0]上，再应用其解析式求解．解答：解：∵f（x）的最小正周期是π∴f（）=f（﹣2π）=f（﹣）∵函数f（x）是偶函数∴f（）=f（）=sin=．故选D点评：本题主要考查了函数的奇偶性，周期性以及应用区间上的解析性求函数值，是基础题，应熟练掌握．4．下列命题：p：函数f（x）=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；q：已知向量=（λ，1），=（﹣1，λ2），=（﹣1，1），则（+）∥的充要条件是λ=﹣1；r：若（a＞1），则a=e．其中所有的真命题是( )A．r B．p，q C．q，r D．p，r考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题．分析：化简f（x）=sin4x﹣cos4x后求周期，判断出命题p为真命题；由建立λ的方程求解λ；由建立关于a的方程，求出a的值再判断．解答：解：命题P：f（x）=sin4x﹣cos4x=（sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x，所以函数f（x）为π，故命题P为真命题；命题q：=（λ﹣1，λ2+1），由得，﹣（λ2+1）+（λ﹣1）=0，解得λ=0或λ=﹣1，故命题q为假命题；命题r：由得，lna﹣ln1=1，解得a=e，所以命题r是真命题．故选D．点评：本题主要以判断命题的真假为背景，考查了简单三角变换公式、正弦函数的周期、两向量的加法运算、两个向量共线的充要条件、定积分计算、方程思想的综合应用．5．为了得到函数y=sin2x的图象，可将函数y=sin（2x）的图象( ) A．向左平移个长度单位 B．向左平移个长度单位C．向右平移个长度单位 D．向右平移个长度单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：利用函数y=sin（2x）的图象变换即可求得答案．解答：解：令y=f（x）=sin（2x），则f（x﹣）=sin[2（x﹣）]=sin2x，∴为了得到函数y=sin 2x的图象，可将函数y=sin（2x）的图象向右平移个单位．故选D．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，掌握平移变换的规律是解决问题的关键，属于中档题．6．已知函数f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，则的值为( ) A．B．﹣2 C．﹣2或D．不存在考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题．分析：由于f′（x）=3x2+2ax+b，依题意知，f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b﹣a2﹣7a=10，于是有b=﹣3﹣2a，代入f（1）=10即可求得a，b，从而可得答案．解答：解：∵f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a，∴f′（x）=3x2+2ax+b，又f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1处取得极大值10，∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b﹣a2﹣7a=10，∴a2+8a+12=0，∴a=﹣2，b=1或a=﹣6，b=9．当a=﹣2，b=1时，f′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），当＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在x=1处取得极小值，与题意不符；当a=﹣6，b=9时，f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）当x＜1时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0，∴f（x）在x=1处取得极大值，符合题意；∴=﹣=﹣．故选A．点评：本题考查函数在某点取得极值的条件，求得f′（x）=3x2+2ax+b，利用f′（1）=0，f （1）=10求得a，b是关键，考查分析、推理与运算能力，属于中档题．7．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是( )A．（，）B．[，）C．（，）D．[，）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：压轴题．分析：由题设条件偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加可得出此函数先减后增，以y轴为对称轴，由此位置关系转化不等式求解即可解答：解析：∵f（x）是偶函数，故f（x）=f（|x|）∴f（2x﹣1）=f（|2x﹣1|），即f（|2x﹣1|）＜f（||）又∵f（x）在区间[0，+∞）单调增加得|2x﹣1|＜，解得＜x＜．故选A．点评：本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，在这里要注意本题与下面这道题的区别：已知函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（2x﹣1）＜的x取值范围是( )8．在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，且a＞b，则∠B=( )A．B．C．D．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，两边除以sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值，即可确定出B的度数．解答：解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，∵sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，∵a＞b，∴∠A＞∠B，即∠B为锐角，则∠B=．故选A点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．9．已知α∈（0，2π），且α的终边上一点的坐标为（sin，cos），则α等于( ) A．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由α的终边上一点的坐标为（sin，cos），利用三角函数的定义，可求tanα，结合点所在象限，即可得出结论．解答：解：∵α的终边上一点的坐标为（sin，cos），∴tanα==﹣，且点在第四象限，∵α∈（0，2π），∴α=．故选B．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查特殊角的三角函数，属于基础题．10．若存在正数x使2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是( )A．（﹣∞，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣1，+∞）考点：其他不等式的解法；函数单调性的性质．专题：不等式的解法及应用．分析：转化不等式为，利用x是正数，通过函数的单调性，求出a的范围即可．解答：解：因为2x（x﹣a）＜1，所以，函数y=是增函数，x＞0，所以y＞﹣1，即a＞﹣1，所以a的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：D．点评：本题考查不等式的解法，函数单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力．二、填空题（每小题5分，共25分）11．已知平面向量，的夹角为120°，||=2，||=2，则与的夹角是60°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由题意求得和的值，可得||的值，再求出（）•=2．设除与的夹角是θ，则由两个向量的数量积得定义求得（）•=2•2•cosθ，从而得到2•2•cosθ=2，解得cosθ 的值，可得θ的值．解答：解：由题意可得=2×2×cos120°=﹣2，又=++2=4，∴||=2，∴（）•=+=2．设与的夹角是θ，则（）•=||•||=2•2•cosθ，∴2•2•cosθ=2，解得cosθ=．再由0≤θ≤π，可得θ=60°，故答案为60°．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求两个向量的夹角的方法，属于中档题．12．已知，则=．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：根据诱导公式可知=sin（﹣α﹣），进而整理后，把sin（α+）的值代入即可求得答案．解答：解：=sin（﹣α﹣）=﹣sin（α+）=﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．属基础题．13．函数y=3x2﹣2lnx的单调减区间为．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：利用导数判断单调区间，导数大于0的区间为增区间，导数小于0的区间为减区间，所以只需求导数，再解导数小于0即可．解答：解：函数y=3x2﹣2lnx的定义域为（0，+∞），求函数y=3x2﹣2lnx的导数，得，y′=6x﹣，令y′＜0，解得，0＜x＜，∴x∈（0，）时，函数为减函数．∴函数y=3x2﹣2lnx的单调减区间为故答案为点评：本题考查了利用导数求函数的单调区间，属于导数的常规题，应当掌握．14．设，则=．考点：微积分基本定理．专题：计算题．分析：由于函数f（x）为分段函数，则=，再根据微积分基本定理，即可得到定积分的值．解答：解：由于，定义当x∈[1，e]时，f（x）=，则====，故答案为．点评：本题考查微积分基本定理，要注意被积函数为分段函数时，在每段的端点处，都应使函数有意义．15．关于函数f（x）=sin2x﹣cos2x有下列命题：①函数y=f（x）的周期为π；②直线是y=f（x）的一条对称轴；③点是y=f（x）的图象的一个对称中心；④将y=f（x）的图象向左平移个单位，可得到的图象．其中真命题的序号是①③．（把你认为真命题的序号都写上）考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：利用辅助角公式可得f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），利用三角函数的性质对①②③④进行一一判断；解答：解：∵f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），可得周期为：T==π，故①正确；当x=可得，y=1＜，故x=不是对称轴，故②错误；f（x）的对称中心为：2x﹣=kπ，k∈Z，解得x=+，故③正确；可知f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），将其向左平移个单位，可以得到y=sin2x，故④错误，故答案为①③；点评：此题主要考查命题的真假判断与应用，主要考查三角函数的性质以及函数平移的内容这也是常考的内容，此题是一道基础题；三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题，共75分）16．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负根，命题q：4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，P 且q为真命题，求实数m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：若命题p为真，由一元二次方程的判别式和韦达定理，联列不等式组并解之得m＞2；若命题q为真，则方程4x2+4（m﹣2）x+1=0的根的判别式小于0，解之得1＜m＜3．命题p 且q为真，说明命题p和q都是真命题，取交集即得实数m的取值范围．解答：解：由题意，得p：，解之得m＞2，q：△=16（m﹣2）2﹣16=16（m2﹣4m+3）＜0，解之得1＜m＜3…∵p且q为真，∴p，q同时为真，则，解之得2＜m＜3，…∴实数m的取值范围是2＜m＜3．…．点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式和不等式的解法等知识，属于基础题．17．在△ABC中，已知2sinBcosA=sin（A+C）．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若BC=2，△ABC的面积是，求AB．考点：余弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由三角形的内角和定理及诱导公式得到sin（A+C）=sinB，代入已知的等式，根据sinB不为0，可得出cosA的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由A的度数求出cosA的值，再由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将已知的面积及sinA的值代入求出AB•AC的值，记作①，利用余弦定理得到BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA，求出将cosA，BC及AB•AC的值代入，整理后求出AB2+AC2的值，再根据AB•AC 的值，利用完全平方公式变形，开方求出AB+AC的值，记作②，联立①②即可求出AB的长．解答：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵A+B+C=π，∴sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB，…∴2sinBcosA=sin（A+C）化为：2sinBcosA=sinB，…∵B∈（0，π），∴sinB＞0，∴cosA=，…∵A∈（0，π），∴A=；…（Ⅱ）∵A=，∴cosA=，又BC=2，S△ABC=AB•AC•sin=，即AB•AC=4①，∴由余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=AB2+AC2﹣AB•AC，…∴AB2+AC2=BC2+AB•AC=4+4=8，…∴（AB+AC）2=AB2+AC2+2AB•AC=8+8=16，即AB+AC=4②，联立①②解得：AB=AC=2，则AB=2．…点评：此题考查了余弦定理，诱导公式，三角形的面积公式，完全平方公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．已知向量=（cosθ，sinθ），=（），．（Ⅰ）当⊥时，求θ的值；（Ⅱ）求|+|的取值范围．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模．专题：计算题；平面向量及应用．分析：（I）根据垂直的向量数量积为0，列出关于θ的方程，结合同角三角函数的关系，得，结合θ的范围可得θ的值；（II）根据向量模的公式，结合题中数据，化简整理得|+|=，再结合θ的范围，利用正弦函数的图象与性质，可得|+|的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵⊥，∴•=…整理，得又∵，∴θ=…（Ⅱ）∵||==1，||==2，•=∴|+|===…∵∴…∴，可得∴，即|+|的取值范围是[，3]…点评：本题给出向量坐标为含有θ的三角函数的形式，求向量的模的取值范围，考查了向量数量积的坐标运算，同角三角函数的基本关系和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．19．已知向量=（2sinx，cosx），=（sinx，2sinx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若不等式f（x）≥m对x∈[0，]都成立，求实数m的最大值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；三角函数的最值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：（Ⅰ）根据向量=（2sinx，cosx），=（sinx，2sinx），函数f（x）=•，利用向量的数量积公式，结合二倍角、辅助角公式化简函数，从而可得f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）不等式f（x）≥m对x∈[0，]都成立，即f（x）min≥m成立．解答：解：（Ⅰ）∵向量=（2sinx，cosx），=（sinx，2sinx），函数f（x）=•．∴f（x）=2sin2x+2sinxcosx=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1∴≤2x﹣≤（k∈Z）∴（k∈Z）∴f（x）的单调递增区间为（k∈Z）；（Ⅱ）不等式f（x）≥m对x∈[0，]都成立，即f（x）min≥m成立∵x∈[0，]，∴2x﹣∈∴sin（2x﹣）∈∴f（x）=2sin（2x﹣）+1∈[0，3]∴m≤0∴m的最大值为0．点评：本题考查向量的数量积运算，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确确定函数解析式是关键．20．已知函数f（x）=A sin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）设0＜x＜，且方程f（x）=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）根据图象过点（0，1），得到sinφ=，再根据其范围求解；（2）直接根据三角函数的图象与性质进行求解．解答：解：（1）显然，A=2，又图象过点（0，1），∴f（0）=1，∴sinφ=，∵|φ|＜，∴φ=，由图象结合“五点法”可知，（，0）对应函数y=sinx图象的点（2π，0），∴所求函数的解析式为：f（x）=2sin（2x+），（2）当0＜x＜时，2x+∈（，），2sin（2x+）∈[﹣2，2]，∵方程f（x）=m有两个不同的实数根，∴m∈（1，2）．点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质、五点法画图等知识，属于中档题．21．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣2处取得极值，并且它的图象与直线y=﹣3x+3在点（1，0）处相切．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的单调区间；（3）若关于x的方程f（x）=m有三个不同的是根，求m的值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的极值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求出函数的导数，利用已知条件得到方程组即可求出a、b、c，然后求f（x）的解析式；（2）求出函数的导数，通过导函数的符号，判断f（x）的单调性，求出单调区间；（3）若关于x的方程f（x）=m有三个不同的是根，求出函数的极值，然后求m的值．解答：解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，∵函数f（x）在x=﹣2时取得极值，∴f′（﹣2）=0，即12﹣4a+b=0①，∵函数图象与直线y=﹣3x+3切于点P（1，0）．∴f′（1）=﹣3，即 3+2a+b=﹣3②，由f（1）=0，即1+a+b+c=0③，由①②③解得a=1，b=﹣8，c=6；（2）由（1）知，f（x）=x3+x2﹣8x+6，f′（x）=3x2+2x﹣8=（3x﹣4）（x+2），由f′（x）＞0得，x＜﹣2或x＞，由f′（x）＜0得，﹣2＜x＜，所以f（x）在（﹣∞，﹣2）和（，+∞）上递增，在（﹣2，）上递减，（3）由（2）知，当x=﹣2时f（x）取得极大值f（﹣2）=18，当x=时f（x）取得极小值f（）=，因为关于x的方程f（x）=m有三个不同实根，所以函数y=f（x）和y=m图象有三个交点，所以＜m＜18，即为m的取值范围．点评：本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的极值，考查分析问题解决问题的能力．26665 6829 栩!25772 64AC 撬28173 6E0D 渍+\€ 30768 7830 砰H29875 74B3 璳24601 6019 怙\A21476 53E4 古。
2021-2022年高三上学期10月月考数学(理)试题含答案
2021-2022年高三上学期10月月考数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集集合{}{}1,2,5,4,5,6U A C B ==，则集合A. B. C. D.2.若，则下列不等式中成立的是A. B. C. D.3.函数的零点有A.0个B.1个C.2个D.3个 4.设0.13592,1,log 210a b g c ===，则a,b,c 的大小关系是 A. B. C. D.5.下面几种推理过程是演绎推理的是A.两条直线平行，同旁内角互补，如果是两条平行直线的同旁内角，则B.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C.某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D.在数列中，()11111,221n n n a a a n a -⎛⎫==+≥ ⎪-⎝⎭，计算，由此猜测通项 6.已知函数的导函数为，且满足，则A. B. C.1 D.e7.函数)0,0y a a =>≠的定义域和值域都是，则A.1B.2C.3D.48.函数满足，那么函数的图象大致为9.设函数是定义在R 上周期为3的奇函数，若，则有 A. B. C.D.10.已知()32log ,03,,,,1108,333x x f x a b c d x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩是互不相同的正数，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是A.B. C. D.第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在题中横线上.11. __________.12.设实数满足240,0,0.x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪>⎩则的最大值为_________.13.观察下列式子222222131151117:1,1,1222332344+<++<+++<，…，根据上述规律，第n 个不等式应该为__________________________.14.在等式“”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数依次为_______、_______.15.下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab ”；②若命题，则；③若命题“”与命题“”都是真命题，则命题q 一定是真命题；④命题“若，则()1log 1log 1a a a a ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭”是真命题. 其中正确命题的序号是_________.（把所有正确命题序号都填上）三、解答题：本大题有6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16. （本题满分12分）已知集合{}{}22log 8,0,14x A x x B xC x a x a x +⎧⎫=<=<=<<+⎨⎬-⎩⎭. （I ）求集合；（II ）若，求实数a 的取值范围.17. （本题满分12分）设命题p ：函数在R 上是增函数，命题()2:,2310q x R x k x ∃∈+-+=，如果是假命题，是真命题，求k 的取值范围.18. （本题满分12分）已知函数.（I ）若函数的图象在处的切线方程为，求a,b 的值；（II ）若函数在R 上是增函数，求实数a 的最大值.19. （本题满分12分）已知二次函数()()2,f x x bx c b c R =++∈. （I ）若，且函数的值域为，求函数的解析式；（II ）若，且函数在上有两个零点，求的取值范围.20. （本题满分13分）某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y （单位：毫克/立方米）随着时间x （单位：天）变化的函数关系式近似为161,04815,42x x y x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤10⎪⎩，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到去污作用.（I ）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？（II ）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒a （1≤a ≤4）个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a 的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）.21. （本题满分14分）设，函数.（I）求的单调递增区间；（II）设，问是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（III）设是函数图象上任意不同的两点，线段AB的中点为，直线AB的斜率为为k.证明：.T *35356 8A1C 訜21153 52A1 务24278 5ED6 廖37058 90C2 郂40714 9F0A 鼊B21961 55C9 嗉35803 8BDB 诛e24194 5E82 庂F。
天津市经济技术开发区第一中学2021届高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析
当 时， 时， ，当 时， ， 是极大值点．
∴ 极大值 ．
（3）由（2）知 时， 的极大值为 ，
∴ ，即 ，
设 ，易知函数 在 上是增函数，而 ，
∴由 得 ．
【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，掌握导数与极值的关系是解题关键．本题属于中档题．
2Hale Waihona Puke .已知函数（1）若 ，求函数 在 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调性；
（3）若关于 的不等式 恒成立，且 的最小值是 ，求证： .
【答案】（1） ；（2）答案见解析；（3）证明见解析．
【答案】
【解析】
【分析】
不等式变形为 （ ），然后求出函数 的最小值即可得．
【详解】∵ ，∴不等式 可化为 ，
设 ， ，
当 时， ， 递减， 时， ， 递增，
∴ ，
不等式 在 上恒成立，则 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题方法是分离参数法，转化为求函数的最值．
16.函数 是定义在 上的奇函数，对任意的 ，满足 ，且当 时， ，则 __________．
故选：D．
【点睛】本题考查命题的真假判断，考查了充分不必要条件的定义，命题的否定，基本不等式，函数的奇偶性与对称性等知识，属于中档题．
8.将函数 的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的 ，再把所得图象上的所有点向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象，若函数 在 处取得最大值，则函数 的图象（）
A 关于点 对称B. 关于点 对称
10.函数 ，若函数 恰有 个零点，则 的取值范围为（）
A. 或 B. 或 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
吉林省长春市重点高中2021年高三上学期第一次月考理科数学试题及参考答案
根据题意,分析得当 , 与 相交,在 有两个交点,再根据周期性,作出函数图像,数形结合求解即可.
【试题解析】
解:当 时, 即
当 时,直线 过点 ,此时直线与半圆 相交,
当 时,圆心 到直线 的距离为 ,此时直线与与半圆 相切,
所以当 , 与 相交,在 有两个交点,
因为 的周期为 , 的周期为 ,且 是奇函数,
A. B. C. D.
3.已知向量 , 满足 ,且 与 夹角为 ,则 ()
A. B. C. D.
4.下列函数中,既是 上的增函数,又是以 为周期的偶函数的是()
A. B.
C. D.
5.已知命题 ：函数 在 内恰有一个零点；命题 ：函数 在 上是减函数.若 为真命题,则实数 的取值范围是()
A. B.
C. D.
6.若 , , ,则 ､ ､ 的大小关系为()
A. B. C. D.
7.已知函数f(x)＝lg(x2－2x－3)在(-∞,a)单调递减,则a的取值范围是()
A.(－∞,－1]B.(－∞,2]C.[5,＋∞)D.[3,＋∞)
8.已知函数 则不等式 的解集为()
A. B.
C. D.
9.2020年12月17日凌晨,嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆.嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度,主要是因为它采用弹跳式返回弹道,实现了减速和再入阶段弹道调整,这与“打水漂”原理类似(如图所示).现将石片扔向水面,假设石片第一次接触水面的速率为100 m/s,这是第一次“打水漂”,然后石片在水面上多次“打水漂”,每次“打水漂”的速率为上一次的90%,若要使石片的速率低于60 m/s,则至少需要“打水漂”的次数为(参考数据：取ln 0.6≈－0.511,ln 0.9≈－0.105)()
2021-2022年高三上学期10月月考数学试卷 含答案
2021年高三上学期10月月考数学试卷 含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1、已知函数，则该函数的定义域为__________．2、不等式的解集是 ．3、若，则的取值范围是 _________．4、函数在区间[，]上的最小值为m ，最大值为M ，则M+m 的值为___6_______．5、函数)(1)(3R x x x x f ∈++=，若，则__0____．6、已知集合只含有一个元素，则 0 或1 ．7、展开式中的系数为_____28_____．8、计算：_______3_2222210n n n n n n n C C C C =++++ ． 9、在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 ．（结果用分数表示）10、若圆锥的侧面积为，且母线与底面所成的角为，则此圆锥的体积为________．（答案保留）11、若是R 上的减函数, 且的图象过点A(0,3), B(3,－1)，则不等式的解集是___________．12、已知函数242(1)()log (1)ax ax x f x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩，在区间上是减函数，则的取值范围为______________.13、由函数、的图象及直线、所围成的封闭图形的面积是 10 ．14、设定义域为的函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=--11121x ax x f x ，若关于的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解，则满足题意的的取值范围是___________．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸上的相应位置，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15、下列函数中，与函数相同的函数是（ C ）（A ）． （B ） ． （C ） ． （D ） ．16、已知平面和直线、，且，则“”是“”的（ A ）(A)充分不必要条件．(B)必要不充分条件． (C)充要条件． (D)既不充分也不必要条件．17、设M 、P 是两个非空集合，定义M 与P 的“差集”为{}P x M x x P M ∉∈=-且|，则等于（ B ）（A ）P ． （B ）． （C ）． （D ）M ．18、气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续天的日平均温度均不低于”．现有甲、乙、丙三地连续天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)：①甲地：个数据的中位数为，众数为；②乙地：个数据的中位数为，总体均值为；③丙地：个数据中有一个数据是，总体均值为，总体方差为，则肯定进入夏季的地区有（ C ）(A)个． (B)个． (C)个． (D)个．三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．19、(本题满分14分) 本题共有2个小题。
江苏省扬州市高邮市2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(含答案)
2024-2025学年第一学期高三年级10月学情调研测试数学试题一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，若，则实数的值为（ ）A. B. C.12D.62.已知，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.关于实数的不等式的解集是或，则关于的不等式的解集是（A. B.C. D.4.若，则点位于（ ）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.6.将函数的图象向左平移个单位，所得的函数图象关于对称，则（）A. B. C. D.7.如图，在四边形中，的面积为3，{}{}21,2,3,4,70U Mx x x p ==-+=∣{}U 1,2M =ðp 6-12-,a b ∈R 1122log log a b >22a b <x 20x bx c ++>{2xx <-∣5}x >x 210cx bx ++>)11,,25∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,,52∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,25⎛⎫- ⎪⎝⎭11,52⎛⎫- ⎪⎝⎭ππ24α-<<-()sin cos ,tan sin P αααα+-()11,2,2x a x x f x xa x -⎧+-≥⎪=⎨⎪<⎩R a ()0,1(]1,2(]1,4[]2,4()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<π6π6x =ϕ=π6π32π35π6ABCD ,cos AB AD B ACB BC ACD ∠⊥===V则长为（ ）8.已知函数的定义域均是满足，，则下列结论中正确的是（ ）A.为奇函数B.为偶函数C.D.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列各结论正确的是（）A.“”是“”的充要条件B.命题“，有”的否定是“，使”的最小值为2D.若，则10.某物理量的测量结果服从正态分布，下列选项中正确的是（ ）A.越大，该物理量在一次测量中在的概率越大B.该物理量在一次测量中小于10的概率等于0.5C.该物理量在一次测量中小于9.98与大于10.02的概率相等D.该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等11.已知函数，有下列四个结论，其中正确的结论为（）A.的图像关于轴对称CD ()(),f x g x (),f x R ()()()()40,021f x f x g g ++-===()()()()g x y g x y g x f y ++-=()f x ()g x ()()11g x g x --=-+()()11g x g x -=+0x y≥0xy ≥0x ∀>20x x +>0x ∃>20x x +≤+0,0a b m <<<a a m b b m+>+()210,N σσ()9.8,10.2()9.8,10.2()9.9,10.3()cos2cos f x x x =+()f x yB.不是的一个周期C.在区间上单调递减D.当时，的值域为三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是__________.13.已知__________.14.若对一切恒成立，则的最大值为__________.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知（1）化简；（2）若，求的值.16.（15分）已知三棱锥底面，点是的中点，点为线段上一动点，点在线段上.（1）若平面，求证：为的中点；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的余弦值.17.（15分）在每年的1月份到7月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量（单位：台）”与“当年π()f x ()f x π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 2⎤⎥⎦2,20x x x a ∀∈-+>R a πsin sin 3αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭ln 2ax x b ≥+()0,x ∞∈+b a()()()23ππsin cos tan π22πsin πcos 2f αααααα⎛⎫⎛⎫-+⋅-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()fα()2f α=3cos2sin2αα-,A BCD AD -⊥,,4,2BCD BC CD AD BC CD ⊥===P AD Q BC M DQ PM ∥ABC M DQ Q BC DQ ABC的月份”线性相关.根据统计得下表：月份123456销量101931455568（1）根据往年的统计得，当年的月份与销量满足回归方程.请预测当年7月份该品牌的空调可以销售多少台？（2）该销售商从当年的前6个月中随机选取2个月，记为销量不低于前6个月的月平均销量的月份数，求的分布列和数学期望18.（17分）已知锐角的内角，所对的边分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，求面积的取值范围.19.（17分）已知函数.（1）讨论在区间上的单调性；（2）若在上有两个极值点.①求实数的取值范围：②求证：.xy x y ˆ10yx t =+X X ABC V A B C ､､a b c ､､1cos c A b A=B 2b =ABC V ()()2e 23x f x x a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦()f x R ()f x ()0,312,x x a ()()2124e f x f x <2024—2025学年第一学期高三年级10月学情调研测试参考答案1.C2.A3.C4.C5.B6.D7.B8.D9.BD 10.BC 11.ABD12. 13.14.13.（1）.（2）由（1）得，所以14.（1）连结因为平面平面，平面平面，所以，又因为是的中点，所以是中点.（2）方法一：因为底面，如图建立坐标系，则，可得，，设平面的法向量为，则，令，则，可得，(],1∞-19-12()()()()2cos sin tan tan sin sin f ααααααα-⋅⋅==--⋅-tan 2α=-()22223cos sin 2sin cos 3cos2sin2sin cos αααααααα--⋅-=+2233tan 2tan 31241tan 141ααα---+===-++AQPM∥,ABC PM ⊂ADQ ADQ ⋂ABC AQ =PM ∥AQ P AD M DQ AD ⊥,BCD BC CD ⊥()()()()2,0,0,0,2,0,2,0,4,0,1,0D B A Q ()2,1,0DQ =- ()()2,0,4,0,2,0CA CB == ABC (),,n x y z = 24020n CA x z n CB y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 0,20y x z ∴=+=1z =0,2y x ==-()2,0,1n =-，设直线与平面所成角为，又则.因此直线与平面所成角的余弦值为.方法二：过点作交于，连接，因为底面底面，则，且平面，则平面，由平面，可得，且，平面，所以平面，可知即为直线与平面所成角.在中，，则，所以，又则.所以直线与平面所成角的余弦值为.17.解：（1），，又回归直线过样本中心点，所以，得，4cos ,5DQ n DQ n DQ n⋅<>=== DQ ABC 4,sin cos ,5DQ n θθ∴=<>= π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦3cos 5θ=DQ ABC 35D DN AC ⊥AC N QN AD ⊥,BCD BC ⊂BCD AD BC ⊥,,,BC CD AD CD D AD CD ⊥⋂=⊂ACD BC ⊥ACD DN ⊂ACD BC DN ⊥AC BC C ⋂=,AC BC ⊂ABC DN ⊥ABC DQN ∠DQ ABC Rt ACD V 2,4CD AD ==AC =DN =DQ QN ==3cos 5QN DQN QD ∠==DQ ABC 35123456 3.56x +++++==101931455568386y +++++==()x y 3810 3.5t =⨯+3t =所以，当时，，所以预测当年7月份该品牌的空调可以销售73台；（2）因为，所以销量不低于前6个月的月平均销量的月份数为，所以所以所以的分布列为：012故数学期望18.（1）由，得，即根据正弦定理，得.因为，所以，即因为，所以，所以，又则.（2）在中由正弦定理得：所以，ˆ103yx =+7x =ˆ73y =38y =4,5,60,1,2X =()()()21123333222666C C C C 1310,1,2C 5C 5C 5P X P X P X ⋅=========X XP 153515()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=1cos c A b A =1cos c b A =sin cos c A b A =+sin sin sin cos C B A B A =+()()sin sin πsin C A B A B ⎡⎤=-+=+⎣⎦sin cos cos sin sin sin cos A B A B B A B A +=+sin cos sin A B B A=()0,πA ∈sin 0A ≠tan B =()0,πB ∈π6B =ABC V sin sin sin a b c A B C ==4sin ,4sin a A c C ==215πsin 4sin sin 4sin sin 2sin cos 26ABC S ac B A C A A A A A ⎛⎫===-=+ ⎪⎝⎭V πsin22sin 23A A A ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭因为为锐角三角形，所以，即.所以，所以所以即面积的取值范围为19.（1）当，即时，恒成立，则在上单调递增；当，即或时，令，得或令综上所述：当时，单调递增区间是，无单调递减区间；当或时，的单调递增区间是和单调减区间是（2）①因为在有两个极值点，所以在有两个不等零点，所以解得，所以实数的取值范围为②由①知.所以同理.ABC V π025ππ062A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ππ32A <<ππ2π2,333A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭πsin 23A ⎤⎛⎫-∈⎥ ⎪⎝⎭⎦(2ABC S ∈+V ABC V (2+()()2e 1,x f x x ax x '-=+∈R 2Δ40a =-≤22a -≤≤()0f x '≥()f x R 2Δ40a =->2a <-2a >()0f x '>x <x >()0f x '<x <<22a -≤≤()f x (),∞∞-+2a <-2a >()f x ∞⎛- ⎝∞⎫+⎪⎪⎭()f x ()0,312,x x ()21g x x ax =-+()0,312,x x ()()2Δ4003201031030a a g g a ⎧=->⎪⎪<<⎪⎨⎪=>⎪=->⎪⎩1023a <<a 102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭1212,1x x a x x +==()()()()1112111111e 23e 123e 22x x x f x x a x a ax a x a x a ⎡⎤⎡⎤=-+++=--+++=-++⎣⎦⎣⎦()()222e 22x f x x a =-++所以.设所以，所以函数在区间上单调递减，所以，所以()()()()()()1212121212221e 2222e 422(2)x x x x f x f x x a x a x x a x x a ++⎡⎤⎣⎦=-++-++=-++++()()22e 422(2)e 8a a a a a a ⎡⎤=-+++=-⎣⎦()()210e 8,2,3x h x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭()()()e 420x h x x x =-+-<'()h x 102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭()()224e h x h <=()()2124e f x f x <。
2021-2022学年辽宁省丹东市高三(上)段考数学试卷(10月份)(学生版+解析版)
2021-2022学年辽宁省丹东市高三（上）段考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|x＞1}，N＝{y|y＞2}，则（）A．M∩N＝∅B．M∩N＝M C．M∩N＝N D．M∪N＝N 2．（5分）已知（1﹣i）2z＝2+2i，则|z|＝（）A．√2B．2C．1﹣i D．1+i3．（5分）若定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）＝﹣f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）＝﹣f（x0）4．（5分）已知当且仅当n＝6时，等差数列{a n}的前n项和S n取得最大值，若a1＝30，则公差为d的取值范围为（）A．（﹣6，﹣5）B．[﹣6，﹣5]C．（﹣∞，﹣6）∪（﹣5，+∞）D．（﹣∞，﹣6]∪[﹣5，+∞）5．（5分）若a＞0，b＞0，则“ab≤4”是“a+b≤4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）高三（1）班男女同学人数之比为3：2，班级所有同学进行踢毽球（毽子）比赛，比赛规则是：每个同学用脚踢起毽球，落地前用脚接住并踢起，脚接不到毽球比赛结束．记录每个同学用脚踢起毽球开始到毽球落地，脚踢到毽球的次数，已知男同学用脚踢到毽球次数的平均数为17，方差为11，女同学用脚踢到毽球次数的平均数为12，方差为16，那么全班同学用脚踢到毽球次数的平均数和方差分别为（）A．14.5，13.5B．15，13C．13.5，19D．15，197．（5分）若（2x+1）5＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+a4（x+1）4+a5（x+1）5，则a3＝（）A．﹣80B．﹣40C．40D．808．（5分）当﹣1≤x≤1时，ax3≥3x﹣1，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，4]B．[2，4]C．[2，+∞）D．{4}二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表：在该市场中任意买一部手机，用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌，其他品牌，B表示可买到的优质品，则（）A．P（A1）＝0.50B．P（B|A2）＝0.90C．P（BA3）＝0.70D．P（B）＝0.8110．（5分）已知a，b∈R，且3a＜3b＜1，则（）A．a2＜b2B．ln|a|＞ln|b|C．ba +ab＞2D．a+b+2√ab＞011．（5分）参加工作5年的小郭，因工作需要向银行贷款A万元购买一台小汽车，与银行约定：这A万元银行贷款分10年还清，贷款的年利率为r，每年还款数为X万元，则（）A．X=Ar (1+r)10−1B．小郭第3年还款的现值为X(1+r)万元C．小郭选择的还款方式为“等额本金还款法”D．小郭选择的还款方式为“等额本息还款法”12．（5分）函数f（x）的定义域为R，当x∈[﹣2，0）∪（0，2]时，f(x)={ax+b，−2≤x＜0，ax−1，0＜x≤2，若f（x）与f（x+2）都为奇函数，则（）A．a=1 2B．|f（x）|的最大值为1C．f(2021)=1 2D．f（x）的图象关于点（﹣2，0）对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若a log43=12，则3a+9a＝．14．（5分）设关于x的方程x2﹣8x+m＝0的两根分别为p和q，且3p+2q＝18，则m＝．15．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，数列{a n}满足a n＝f（n），已知两个条件：①函数f（x）在[1，+∞）是增函数；②{a n}是递增数列．（1）写出一个满足①和②的函数f（x）解析式：；（2）写出一个满足②但不满足①的函数f（x）解析式：．16．（5分）数列{a n}中，若a1＝1，a n+1=nn+2a n，则∑19k=1a k=．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）晚上睡眠充足是提高学习效率的必要条件，河北衡水某高中的高三年级学生晚上10点10分必须休息，中午强制午睡一个小时；另一所同类高中的高三年级学生晚上11点休息，并鼓励学生还可以继续进行夜自习，稍晚再休息，中午没有强制午睡要求．这两所高中早上起床时间相同．有关人员分别从这两所高中的高三年级学生中随机抽取50名，进行学习效率问卷调查，其中衡水某高中有30名学生的学习效率高，且从这100名学生中随机抽取1人，抽到学习效率高的学生的概率是0.4．（1）完成下面2×2列联表：（2）根据（1）中的列联表估计，两所同类高中高三年级学习效率高的学生的百分比分别是多少？并判断能否有99.9%的把握认为“学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足”有关？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)．18．（12分）数列{a n}中，a n＞0，a1=12，2a n+12+a n a n+1﹣a n2＝0．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{（2n+1）a n}的前n项和T n．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个零件，并测量其尺寸．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的10个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数．（1）求P（X≥1）值及X的数学期望E（X）的值；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，检验员判断这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，检验员的判断是否合理？说明理由．附：0.997410≈0.9743．若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9974．20．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣1）e x﹣ax2+b．（1）证明：当x＞1时，f（x）＞（1﹣a）x2﹣（1﹣b）；（2）若0＜a＜12，b≤2a，证明：f（x）有且仅有一个零点．21．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=12，S n＝n2a n﹣n2（n﹣1）．（1）设b n=n+1nS n，证明：当n≥2时，b n﹣b n﹣1＝n；（2）求{a n}的通项公式．22．（12分）已知函数f（x）＝2ln（1+x）−√1+4x+1．（1）求f（x）的单调区间；（2）设a＝2ln1.01，b＝ln1.02，c=√1.04−1，比较a，b，c的大小．2021-2022学年辽宁省丹东市高三（上）段考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|x＞1}，N＝{y|y＞2}，则（）A．M∩N＝∅B．M∩N＝M C．M∩N＝N D．M∪N＝N【解答】解：集合M＝{x|x＞1}，N＝{y|y＞2}，∴N⊊M，∴M∩N＝N，M∪N＝M，故选：C．2．（5分）已知（1﹣i）2z＝2+2i，则|z|＝（）A．√2B．2C．1﹣i D．1+i【解答】解：∵（1﹣i）2z＝2+2i，∴﹣2iz＝2+2i，∴z=2+2i−2i=(2+2i)i−2i⋅i=−1+i，故|z|=√2，故选：A．3．（5分）若定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则（）A．∀x∈R，f（﹣x）≠f（x）B．∀x∈R，f（﹣x）＝﹣f（x）C．∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0）D．∃x0∈R，f（﹣x0）＝﹣f（x0）【解答】解：若定义域为R的函数f（x）是偶函数，则∀x∈R，都有f（﹣x）＝f（x）成立，所以，定义域为R的函数f（x）不是偶函数，等价为∃x0∈R，f（﹣x0）≠f（x0），故选：C．4．（5分）已知当且仅当n＝6时，等差数列{a n}的前n项和S n取得最大值，若a1＝30，则公差为d的取值范围为（）A．（﹣6，﹣5）B．[﹣6，﹣5]C．（﹣∞，﹣6）∪（﹣5，+∞）D．（﹣∞，﹣6]∪[﹣5，+∞）【解答】解：根据题意，有{a 6＞0a 7＜0，得{a 1+5d ＞0a 1+6d ＜0，即{30+5d ＞030+6d ＜0，解得﹣6＜d ＜﹣5，所以公差d 的取值范围是（﹣6，﹣5）． 故选：A ．5．（5分）若a ＞0，b ＞0，则“ab ≤4”是“a +b ≤4”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：∵a ＞0，b ＞0，假设4≥a +b ≥2√ab ， ∴2≥√ab ，∴ab ≤4，即a +b ≤4⇒ab ≤4， 若a ＝4，b =14，则ab ＝1≤4， 但a +b ＝4+14＞4， 即ab ≤4推不出a +b ≤4，∴ab ≤4是a +b ≤4的必要不充分条件． 故选：B ．6．（5分）高三（1）班男女同学人数之比为3：2，班级所有同学进行踢毽球（毽子）比赛，比赛规则是：每个同学用脚踢起毽球，落地前用脚接住并踢起，脚接不到毽球比赛结束．记录每个同学用脚踢起毽球开始到毽球落地，脚踢到毽球的次数，已知男同学用脚踢到毽球次数的平均数为17，方差为11，女同学用脚踢到毽球次数的平均数为12，方差为16，那么全班同学用脚踢到毽球次数的平均数和方差分别为（ ） A ．14.5，13.5B ．15，13C ．13.5，19D ．15，19【解答】解：设该班男生人数为3n ，女生人数为2n ， 则全班同学用脚踢到毽球次数的平均数为：15n（3n ×17+2n ×12）＝15，由此排除AC ，全班同学用脚踢到毽球次数的方差大于男同学用脚踢到毽球次数的方差， 也大于女同学用脚踢到毽球次数的方差， 由此排除B ． 故选：D ．7．（5分）若（2x +1）5＝a 0+a 1（x +1）+a 2（x +1）2+a 3（x +1）3+a 4（x +1）4+a 5（x +1）5，则a3＝（）A．﹣80B．﹣40C．40D．80【解答】解：∵（2x+1）5＝[﹣1+2（x+1）]5＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+a3（x+1）3+a4（x+1）4+a5（x+1）5，[﹣1+2（x+1）]5展开式的通项公式为T r+1=C5r（﹣1）5﹣r•2r（x+1）r，∴a3=C53（﹣1）2•23＝80，故选：D．8．（5分）当﹣1≤x≤1时，ax3≥3x﹣1，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，4]B．[2，4]C．[2，+∞）D．{4}【解答】解：构造函数f(x)=3x−1 x3，则f'（x）=−6x+3 x4，当x＜12时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，当x＞12时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，因为ax3≥3x﹣1对于﹣1≤x≤1恒成立，①当﹣1≤x＜0时，等价于a≤x−1x3对于﹣1≤x＜0恒成立，则a≤f（x）min，因为f（x）在[﹣1，0）上单调递增，则f（x）min＝f（﹣1）＝4，所以a≤4；②当x＝0时，0≥﹣1恒成立，所以a∈R；③当0＜x≤1时，等价于a≥x−1x3对于0＜x≤1恒成立，则a≥f（x）max，因为f（x）在(0，12)上单调递增，在（12，1]上单调递减，则f(x)max=f(12)=4，所以a≥4．综上所述，实数a的取值范围为{4}．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表：在该市场中任意买一部手机，用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌，其他品牌，B表示可买到的优质品，则（）A．P（A1）＝0.50B．P（B|A2）＝0.90C．P（BA3）＝0.70D．P（B）＝0.81【解答】解：由题中表格可得，P（A1）＝50%，P（A2）＝30%，P（A3）＝20%，故A 正确，P（B|A1）＝80%，P（B|A2）＝90%，P（B|A3）＝70%，故B正确，P（BA3）＝P（A3）P（B|A3）＝20%×70%＝0.14，故C错误，P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）＝50%×80%+30%×90%+20%×70%＝0.81，故D正确．故选：ABD．10．（5分）已知a，b∈R，且3a＜3b＜1，则（）A．a2＜b2B．ln|a|＞ln|b|C．ba +ab＞2D．a+b+2√ab＞0【解答】解：∵3a＜3b＜1，∴a＜b＜0，对于A，D：当a＝﹣2，b＝﹣1时，a2＞b2，a+b+2√ab=−3+2√2＜0∴A，D错误，对于B：∵a＜b＜0，∴|a|＞|b|＞0，∴ln|a|＞ln|b|，∴B正确，对于C：∵a＜b＜0，∴ba +ab＞2√1=2，∴C正确，故选：BC．11．（5分）参加工作5年的小郭，因工作需要向银行贷款A万元购买一台小汽车，与银行约定：这A万元银行贷款分10年还清，贷款的年利率为r，每年还款数为X万元，则（）A．X=Ar (1+r)10−1B．小郭第3年还款的现值为X(1+r)万元C ．小郭选择的还款方式为“等额本金还款法”D ．小郭选择的还款方式为“等额本息还款法”【解答】解：∵小郭与银行约定，每年还一次欠款，并且每年还款的钱数都相等， ∴小郭选择的还款方式为“等额本息还款法”，故D 正确，C 错误， 设每年应还X 元，还款10次，则该人10年还款的现金与利息和为X [1+（1+r ）+（1+r ）2+•+（1+r ）9]， 银行贷款A 万元10年后的本利和为A （1+r ）10， ∴X [1+（1+r ）+（1+r ）2+•+（1+r ）9]＝A （1+r ）10，∴X ⋅1×[1−(1+r)10]1−(1+r)=A （1+r ）10，即X =Ar(1+r)10(1+r)10−1，故A 错误， 设小郭第三年还款的现值为y ， 则y •（1+r ）3＝X ，解得y =X (1+r)3，故B 正确．故选：BD ．12．（5分）函数f （x ）的定义域为R ，当x ∈[﹣2，0）∪（0，2]时，f(x)={ax +b ，−2≤x ＜0，ax −1，0＜x ≤2，若f （x ）与f （x +2）都为奇函数，则（ ） A ．a =12B ．|f （x ）|的最大值为1C ．f(2021)=12D ．f （x ）的图象关于点（﹣2，0）对称【解答】解：f （x ）与f （x +2）都为奇函数，可得f （﹣x ）＝﹣f （x ）， f （﹣x +2）＝﹣f （x +2），即f （﹣x ）＝﹣f （x +4）， 所以f （x +4）＝f （x ），即f （x ）的最小正周期为4，由当x ∈[﹣2，0）∪（0，2]时，f(x)={ax +b ，−2≤x ＜0，ax −1，0＜x ≤2，可得f （﹣2）+f （2）＝﹣2a +b +2a ﹣1＝0，可得b ＝1，又f （﹣2）＝f （4﹣2）＝f （2），即有﹣2a +1＝2a ﹣1，解得a =12，故A 正确；由f （x ）={12x +1，−2≤x ＜012x −1，0＜x ≤2，可得f （x ）在[﹣2，2]的值域为（﹣1，1），则|f （x ）|的值域为[0，1），则|f （x ）|无最大值，故B 错误；f （2021）＝f （4×505+1）＝f （1）=12−1=−12，故C 错误；由f （﹣x ）+f （﹣4+x ）＝f （﹣x ）+f （x ）＝0，可得f （x ）的图象关于点（2，0）对称，故D 正确． 故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）若a log 43=12，则3a +9a ＝ 6 ．【解答】解：由a log 43=12，可得a =12log 43=12log 34＝log 32， 所以3a +9a ＝3log 32+32log 32=2+4＝6．故答案为：6．14．（5分）设关于x 的方程x 2﹣8x +m ＝0的两根分别为p 和q ，且3p +2q ＝18，则m ＝ 12 ． 【解答】解：根据题意，判别式Δ＝（﹣8）2﹣4m ≥0，解得，m ≤16， ∵关于x 的方程x 2﹣8x +m ＝0的两根分别为p 和q ， ∴p +q ＝8，pq ＝m ，由{p +q =83p +2q =18，解得{p =2q =6， 所以m ＝pq ＝2×6＝12． 故答案为：12．15．（5分）已知函数f （x ）的定义域为R ，数列{a n }满足a n ＝f （n ），已知两个条件： ①函数f （x ）在[1，+∞）是增函数； ②{a n }是递增数列．（1）写出一个满足①和②的函数f （x ）解析式： f （x ）＝x ；（2）写出一个满足②但不满足①的函数f （x ）解析式： f(x)=x 2−52x ． 【解答】解：（1）该函数满足在[1，+∞）是增函数，且a n ＝f （n ）也是单调递增， 故可以考虑一次函数， 所以f （x ）＝x ；（2）由题意，函数f （x ）在[1，+∞）不是增函数， 故可以考虑二次函数，又数列{a n }满足a n ＝f （n ），且{a n }是递增数列，则考虑对称轴应该在x =32的左侧，且二次函数的图象开口向上， 所以f(x)=x 2−52x ．故答案为：（1）f （x ）＝x ；（2）f(x)=x 2−52x ． 16．（5分）数列{a n }中，若a 1＝1，a n+1=nn+2a n ，则∑ 19k=1a k = 1910． 【解答】解：数列{a n }中，若a 1＝1，a n+1=nn+2a n ， 可得a n+1a n =n n+2，所以a n a n−1⋅a n−1a n−2⋅⋅⋅a 3a 2⋅a 2a 1=n−1n+1⋅n−2n⋅n−3n−1•24⋅13=2n(n+1)，a n =2n(n+1)，则∑ 19k=1a k =2[(1−12)+(12−13)+⋅⋅⋅+(119−120)]=1910． 故答案为：1910．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）晚上睡眠充足是提高学习效率的必要条件，河北衡水某高中的高三年级学生晚上10点10分必须休息，中午强制午睡一个小时；另一所同类高中的高三年级学生晚上11点休息，并鼓励学生还可以继续进行夜自习，稍晚再休息，中午没有强制午睡要求．这两所高中早上起床时间相同．有关人员分别从这两所高中的高三年级学生中随机抽取50名，进行学习效率问卷调查，其中衡水某高中有30名学生的学习效率高，且从这100名学生中随机抽取1人，抽到学习效率高的学生的概率是0.4． （1）完成下面2×2列联表：（2）根据（1）中的列联表估计，两所同类高中高三年级学习效率高的学生的百分比分别是多少？并判断能否有99.9%的把握认为“学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足”有关？附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)．【解答】解：（1）100名学生中，学习效率高的学生数为0.4×100＝40名， 完成的2×2列联表如下：（2）根据（1）中的列联表估计，衡水某高中高三年级学习效率高的学生的百分比为3050×100%＝60%，另一所同类高中高三年级学习效率高的学生的百分比为1050×100%＝20%，由表可知，K 2=100×(30×40−10×20)240×60×50×50≈16.667＞10.828， 所以有99.9%的把握认为“学生学习效率高低与晚上睡眠是否充足”有关． 18．（12分）数列{a n }中，a n ＞0，a 1=12，2a n +12+a n a n +1﹣a n 2＝0． （1）求{a n }的通项公式；（2）求数列{（2n +1）a n }的前n 项和T n ．【解答】解：（1）由2a n+12+a n a n+1−a n 2=0，可得（2a n +1﹣a n ）（a n +1+a n ）＝0． 因为a n ＞0，所以a n+1a n =12．因此{a n }是首项为12，公比为12的等比数列，于是a n =12(12)n−1=(12)n ．（2）由（1）可得(2n +1)a n =(2n +1)(12)n ，所以T n =3×12+5×(12)2+7×(12)3+⋅⋅⋅+(2n +1)(12)n ．①从而12T n =3×(12)2+5×(12)3+7×(12)4+⋅⋅⋅+(2n +1)(12)n+1．②①﹣②得12T n =3×12+2×(12)2+2×(12)3+⋅⋅⋅+2×(12)n −(2n +1)(12)n+1=3×12+2×(12)2−2×(12)n×121−12−(2n+1)(12)n+1，于是T n=5−(2n+5)(12)n．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个零件，并测量其尺寸．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的10个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数．（1）求P（X≥1）值及X的数学期望E（X）的值；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，检验员判断这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，检验员的判断是否合理？说明理由．附：0.997410≈0.9743．若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9974．【解答】解：（1）抽取一个零件尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，从而零件尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为0.0026，故X～B（10，0.0026），因此P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝1﹣0.997410＝0.0257，E（X）＝10×0.0026＝0.026．（2）检验员的判断是合理的，理由如下：如果生产状态正常，一天抽取的10个零件中，出现尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为0.0257，发生的概率很小，期望值为0.026，也很小，因此这种情况一旦发生，就有理由认为这条生产线在这一天生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见检验员的判断是合理的．20．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣1）e x﹣ax2+b．（1）证明：当x＞1时，f（x）＞（1﹣a）x2﹣（1﹣b）；（2）若0＜a＜12，b≤2a，证明：f（x）有且仅有一个零点．【解答】解：（1）证明：当x＞1时，f（x）＞（1﹣a）x2﹣（1﹣b）等价于e x＞x+1．设g（x）＝e x﹣x﹣1，当x＞1时，g'（x）＝e x﹣1＞0，g（x）单调递增，故g （x ）＞g （1），e x ﹣x ﹣1＞e ﹣2＞0，即e x ＞x +1．于是当x ＞1时，f （x ）＞（1﹣a ）x 2﹣（1﹣b ）．（2）证明：f （x ）定义域为（﹣∞，+∞），f '（x ）＝x （e x ﹣2a ）， 若0＜a ＜12，当x ＜ln 2a 或x ＞0时，f '（x ）＞0， 当ln 2a ＜x ＜0时，f '（x ）＜0，故f （x ）在（﹣∞，ln 2a ）单调递增，在（ln 2a ，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增． f （ln 2a ）＝（ln 2a ﹣1）2a ﹣a （ln 2a ）2+b ≤aln 2a （2﹣ln 2a ）＜0， 因为0＜a ＜12，b ≤2a ，所以b ＜1， 当x 0满足x 0＞1且x 0＞√1−b1−a时， 由（1）可知f （x 0）＞（1﹣a ）x 02﹣（1﹣b ）＞0， 因此f （x ）有且仅有一个零点．21．（12分）数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=12，S n ＝n 2a n ﹣n 2（n ﹣1）． （1）设b n =n+1n S n，证明：当n ≥2时，b n ﹣b n ﹣1＝n ； （2）求{a n }的通项公式．【解答】（1）证明：由S n =n 2a n −n 2(n −1)， 可知n ≥2时，S n =n 2(S n −S n−1)−n 2(n −1)．可得S n =n 2n 2−1S n−1+n 2n+1．所以b n −b n−1=n+1n S n −n n−1S n−1=n+1n (n 2n 2−1S n−1+n 2n+1)−nn−1S n−1=nn−1S n−1+n −nn−1S n−1=n ． （2）因为S 1=a 1=12，所以b 1＝2S 1＝1，当n ≥2时，b n ＝（b n ﹣b n ﹣1）+（b n ﹣1﹣b n ﹣2）+⋅⋅⋅+（b 2﹣b 1）+b 1 =n +(n −1)+⋅⋅⋅+2+1=n(n+1)2． 当n ＝1，1(1+1)2=b 1，于是b n =n(n+1)2． 所以n+1nS n =n(n+1)2，从而S n =n 22．由n 22=n 2a n −n 2(n −1)，可得a n =2n−12． 22．（12分）已知函数f （x ）＝2ln （1+x ）−√1+4x +1． （1）求f （x ）的单调区间；（2）设a ＝2ln 1.01，b ＝ln 1.02，c =√1.04−1，比较a ，b ，c 的大小． 【解答】解：（1）f （x ）的定义域为(−14，+∞)，f ′(x)=2x(2−x)(1+x)(√1+4x+1+x)√1+4x．由f '（x ）＞0得0＜x ＜2，由f '（x ）＜0得−14＜x ＜0，或x ＞2，于是f （x ）在(−14，0)单调递减，在（0，2）单调递增，在（2，+∞）单调递减． （2）由（1）可知f （0.01）＞f （0），即2ln1.01＞√1.04−1，所以a ＞c ． 设g(x)=ln(1+x)−√1+2x +1， 则当x ＞−12时，g ′(x)=−x 2(1+x)(1+2x+1+x)1+2x0．g （x ）在(−12，+∞)单调递减，所以g （0.02）＜g （0），即ln1.02＜√1.04−1，因此c ＞b ． 综上a ＞c ＞b ．。
2021-2022年高三上学期10月月考试题数学(理)含答案
2021-2022年高三上学期10月月考试题数学（理）含答案一、填空题：1. 设全集为，集合，集合，则(∁)= ▲2. 命题“对，都有”的否定为 ▲3. 对于函数,“是奇函数”是“的图象关于轴对称”的_____▲_____条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）4. 函数)12(log 1)(21+=x x f 的定义域为 ▲5. 已知向量，，，若，则实数 ▲6. 过原点作曲线的切线，则此切线方程为 ▲7. 已知的零点在区间上，则的值为 ▲8. 已知为非零向量，且夹角为，若向量，则 ▲9. 函数]2,0[,sin 21π∈-=x x x y 的单调增区间为 ▲ 10. 设是定义在上周期为4的奇函数，若在区间，⎩⎨⎧≤<-<≤-+=20,102,)(x ax x b ax x f ，则 ▲ 11. 已知定义在上的奇函数和偶函数满足2)()(+-=+-x x a a x g x f ，且，若，则 ▲12. 在面积为2的中，分别是的中点，点在直线上，则的最小值是 ▲13.若函数定义在上的奇函数，且在上是增函数，又，则不等式的解集为 ▲14. 已知函数)(|1|)(22R m x mx x x f ∈--+=，若在区间上有且只有1个零点，则实数的取值范围是 ▲二、解答题：15. 已知函数为定义在上的奇函数，且当时，.（1）求的解析式；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.16. 设集合，|lg ,0,3x a B x y a a R a x -⎧⎫==≠∈⎨⎬-⎩⎭. （1）当1时，求集合；（2）当时，求的取值范围．17. 如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，（1）若，求，的值；（2）若，，，且与的夹角为60°时，求 的值.18. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.（1）求的值；（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.19.中心在原点，焦点在轴上的椭圆的焦距为2，两准线间的距离为10. 设过点作直线交椭圆于两点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点（1）求椭圆的方程;（2）求证直线过轴上一定点（3）若过点作直线与椭圆只有一个公共点求过两点，且以为切线的圆的方程.20.已知函数．（1）求函数的极值；（2）求函数（为实常数）的单调区间；（3）若不等式对一切正实数恒成立，求实数的取值范围．数学答题纸xx.10一、填空题(14×5＝70分)1、2、，3、充分不必要4、5、16、7、18、9、10、11、12、13、14、或二、解答题（共90分）19、（16分）（1）设椭圆的标准方程为依题意得：222,1,,210,c c a a c=⎧=⎧⎪⎪⎨⎨==⎪⎩⎪⎩得 所以，椭圆的标准方程为（2）设，，AP=tAQ ，则.结合⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+14514522222121y x y x ，得⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=t t x t x 233221. 设B (x ，0)，则，，所以，直线过轴上一定点B (1，0). （3）设过点的直线方程为：代入椭圆方程 得： 2222(45)50125200k x k x k +-+-=.依题意得：即2222(50)4(45)(12520)0k k k -+-=得：且方程的根为.当点位于轴上方时，过点与垂直的直线与轴交于点,直线的方程是：11),(,0)5y x E =-∴.所求的圆即为以线段为直径的圆，方程为：22324()(;5525x y -+-=同理可得：当点位于轴下方时，圆的方程为：22324()(.5525x y -++=20. 已知函数．（1）求函数的极值；（2）求函数（为实常数）的单调区间；（3）若不等式对一切正实数恒成立，求实数的取值范围．解：（1）g （x ）＝lnx －x ＋1，g′（x ）＝1x －1＝1－x x ，当0＜x ＜1时，g′（x ）＞0；当x ＞1时，g′（x ）＜0，可得g （x ）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，故g （x ）有极大值为g （1）＝0，无极小值．（2）h （x ）＝lnx ＋|x －a|．当a ≤0时，h （x ）＝lnx ＋x －a ，h′（x ）＝1＋1x ＞0恒成立，此时h （x ）在（0，＋∞）上单调递增；当a ＞0时，h （x ）＝⎩⎨⎧lnx ＋x －a ，x ≥a ，lnx －x ＋a ，0＜x ＜a ．①当x ≥a 时，h （x ）＝lnx ＋x －a ，h′（x ）＝1＋1x ＞0恒成立，此时h （x ）在（a ，＋∞）上单调递增；②当0＜x ＜a 时，h （x ）＝lnx －x ＋a ，h′（x ）＝1x －1＝1－x x ．当0＜a ≤1时，h′（x ）＞0恒成立，此时h （x ）在（0，a ）上单调递增；当a ＞1时，当0＜x ＜1时h′（x ）＞0，当1≤x ＜a 时h′（x ）≤0，所以h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，a ）上单调递减．综上，当a ≤1时，h （x ）的增区间为（0，＋∞），无减区间；当a ＞1时，h （x ）增区间为（0，1），（a ，＋∞）；减区间为（1，a ）．（3）不等式（x 2－1）f （x ）≥k （x －1）2对一切正实数x 恒成立，即（x 2－1）lnx ≥k （x －1）2对一切正实数x 恒成立．当0＜x ＜1时，x 2－1＜0；lnx ＜0，则（x 2－1）lnx ＞0；当x ≥1时，x 2－1≥0；lnx ≥0，则（x 2－1）lnx ≥0．因此当x ＞0时，（x 2－1）lnx ≥0恒成立．又当k ≤0时，k （x －1）2≤0，故当k ≤0时，（x 2－1）lnx ≥k （x －1）2恒成立． 下面讨论k ＞0的情形．当x ＞0且x ≠1时，（x 2－1）lnx －k （x －1）2＝（x 2－1）[lnx －k(x －1)x ＋1]． 设h （x ）＝lnx －k(x －1)x ＋1（ x ＞0且x ≠1），222)1(1)1(2)1(21)('++-+=+-=x x x k x x k x x h ． 记△＝4（1－k ）2－4＝4（k 2－2k ）．① 当△≤0，即0＜k ≤2时，h′（x ）≥0恒成立，故h （x ）在（0，1）及（1，＋∞）上单调递增．于是当0＜x ＜1时，h （x ）＜h （1）＝0，又x 2－1＜0，故（x 2－1） h （x ）＞0，即（x2－1）lnx＞k（x－1）2．当x＞1时，h（x）＞h（1）＝0，又x2－1＞0，故（x2－1）h（x）＞0，即（x2－1）lnx＞k（x－1）2．又当x＝1时，（x2－1）lnx＝k（x－1）2．因此当0＜k≤2时，（x2－1）lnx≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立．②当△＞0，即k＞2时，设x2＋2（1－k）x＋1＝0的两个不等实根分别为x1，x2（x1＜x2）．函数φ（x）＝x2＋2（1－k）x＋1图像的对称轴为x＝k－1＞1，又φ（1）＝4－2k＜0，于是x1＜1＜k－1＜x2．故当x∈（1，k－1）时，φ（x）＜0，即h′（x）＜0，从而h（x）在（1，k－1）在单调递减；而当x∈（1，k－1）时，h（x）＜h（1）＝0，此时x2－1＞0，于是（x2－1）h（x）＜0，即（x2－1）lnx＜k（x－1）2，因此当k＞2时，（x2－1）lnx≥k（x－1）2对一切正实数x不恒成立．综上，当（x2－1）f （x）≥k（x－1）2对一切正实数x恒成立时，k≤2，即k的取值范围是（－∞，2]．22481 57D1 埑S=}20695 50D7 僗lo37408 9220 鈠39810 9B82 鮂"p38024 9488 针T。
无锡市第一中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试卷
江苏省无锡市第一高级中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数1211iz i+=--，则z 在复平面内的对应点位于（）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.设集合2{|326},{|log 2}A x m x m B x x =-<<+=<，若A B A = ，则实数m 的取值范围是（）A .∅B .[3,1]--C .(1,3)-D .[1,3]-3.函数3||()2()x f x x x e =-的图像大致是（）A .B .C .D .4.已知{}n a 为等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和.若10370,0S a a <+>，，则当n S 取最大值时，n 的值为（）A .3B .4C .5D .65.已知0,0a b ><，且320a b ab -+=，则3a b -的最小值是（）A .6B .8C .12D .166.把一条线段分割成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是一个无理数512，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割.黄金分割不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用，在△ABC 中，点D 为线段BC 的黄金分割点(),BD DC >2,3AB AC ==，60BAC ∠= ，则AD BC ⋅=（）A .592B .952-C .572-D .752-7.已知定义在[0,)+∞上的函数()f x 满足：对任意的1212,[0,),x x x x ∈+∞≠，都有2121()()2f x f x x x ->-，(1)2022f =，则满足不等式(2022)2(1012)f x x ->-的x 解集是（）A .(2022,)+∞B .(2023,)+∞C .[2022,2023)D .[2021,2023)8.在等比数列{}n a 中，已知20200a >，则“20212024a a >”是“20222023a a >”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知0a b >>，且1ab =，则下列式子正确的有（）A .22log log 1a b +>B .22log log 0a b ⋅<C .224a b +>D .210b a->10.某同学在研究函数()()1||xf x x R x =∈+时，给出下面几个结论中正确的有（）A .()f x 的图象关于点(1,1)-对称B .若12x x ≠，则12()()f x f x ≠C .()f x 的值域为(1,1)-D .函数()()g x f x x =-有三个零点11.已知函数3()sin(),0,||,(0,()()288f x x f f x f πππωϕωϕ=+><-=≤恒成立，且函数()y f x =在区间(,)1224ππ-上单调，那么下列说法中正确的是（）A .存在ϕ，使得()f x 是偶函数B .3(0)(4f f π=C .ω是奇数D .ω的最大值为312.已知数列{}n a 满足*11101,ln(2)()n n n a a a a n N ++<<=-∈，n S 为数列1{}na 的前n 项和，则下列结论正确的是（）A .(1)2n n n S +>B .202212022a >C .01n a <<D .若113a =，则1132n n a -≥⋅三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若3339,22a S ==，则q =.14.设,,a b c 分别为△ABC 内角,,A B C 的对边，若B C A =≠，且2222()a b c a b c +-=，则角A =.15.已知M 为△ABC 中线AD 的中点，过点M 的直线与AB ，AC 分别交于点E ，F ，若AE AB λ=，ΔAEF 与ΔABC 的面积之比为932，则实数入的值为.16.已知曲线x a y e +=与2(1)y x =-恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知向量3,cos ),(cos ,cos )a x xb x x ==（1）若a ∥b，且(,0)x π∈-，求x 的值；（2）若函数()21f x a b =⋅- ，且1()23x f =，求sin(26x π-的值；18.（本小题满分12分）在①121,,4a a 成等差数列，②123,1,a a a +成等比数列，③334S =，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，*1132(),0,n n S a a n N a =+∈≠，且.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记22log n n n b a a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .已知数列{}n a 的前n 项之积为n b ，且2*1212()2n na a a n n n Nb b b +++⋅⋅⋅+=∈（1）求数列{}nna b 和{}n a 的通项公式；（2）求1212()n n n n f n b b b b +-=++⋅⋅⋅++的最大值.20.（本小题满分12分）如图所示，在平面四边形ABCD 中，2,3,6AB BD ABD ACD π==∠=∠=，设,(0,)3CAD πθθ∠=∈.（1）若4πθ=，求CD 的长；（2）当θ为何值时，△BCD 的面积取得最大值，并求出该最大值.已知函数2()ln ()2a f x x x a R =+∈（1）当1a =时，对于函数()()3ln ,G x f x x =-存在12,[1,4]x x ∈，使得12()()G x G x m -≥成立，求满足条件的最大整数m ；（ln 20.693≈）（2）设函数32()3g x x =，若()()f x g x ≤在)e +∞上恒成立，求实数a 的取值范围.设()21x f x ae x =--，其中a R ∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）令5()()(0)4xF x e f x a a=+≠，若()0F x ≤在R 上恒成立，求a 的最小值.江苏省无锡市第一高级中学2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数1211iz i+=--，则z 在复平面内的对应点位于（）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】B2.设集合2{|326},{|log 2}A x m x m B x x =-<<+=<，若A B A = ，则实数m 的取值范围是（）A .∅B .[3,1]--C .(1,3)-D .[1,3]-【答案】D3.函数3||()2()x f x x x e =-的图像大致是（）A .B .C .D .【答案】B4.已知{}n a 为等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和.若10370,0S a a <+>，，则当n S 取最大值时，n 的值为（）A .3B .4C .5D .6【答案】C5.已知0,0a b ><，且320a b ab -+=，则3a b -的最小值是（）A .6B .8C .12D .16【答案】B6.把一条线段分割成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是一个无理数512，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割.黄金分割不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用，在△ABC 中，点D 为线段BC 的黄金分割点(),BD DC >2,3AB AC ==，60BAC ∠= ，则AD BC ⋅=（）A .592B .952-C .572-D .752-【答案】A7.已知定义在[0,)+∞上的函数()f x 满足：对任意的1212,[0,),x x x x ∈+∞≠，都有2121()()2f x f x x x ->-，(1)2022f =，则满足不等式(2022)2(1012)f x x ->-的x 解集是（）A .(2022,)+∞B .(2023,)+∞C .[2022,2023)D .[2021,2023)【答案】B8.在等比数列{}n a 中，已知20200a >，则“20212024a a >”是“20222023a a >”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知0a b >>，且1ab =，则下列式子正确的有（）A .22log log 1a b +>B .22log log 0a b ⋅<C .224a b +>D .210b a->【答案】BC10.某同学在研究函数()()1||xf x x R x =∈+时，给出下面几个结论中正确的有（）A .()f x 的图象关于点(1,1)-对称B .若12x x ≠，则12()()f x f x ≠C .()f x 的值域为(1,1)-D .函数()()g x f x x =-有三个零点【答案】BC11.已知函数3()sin(),0,||,(0,()()288f x x f f x f πππωϕωϕ=+><-=≤恒成立，且函数()y f x =在区间(,)1224ππ-上单调，那么下列说法中正确的是（）A .存在ϕ，使得()f x 是偶函数B .3(0)(4f f π=C .ω是奇数D .ω的最大值为3【答案】BC12.已知数列{}n a 满足*11101,ln(2)()n n n a a a a n N ++<<=-∈，n S 为数列1{}na 的前n 项和，则下列结论正确的是（）A .(1)2n n n S +>B .202212022a >C .01n a <<D .若113a =，则1132n n a -≥⋅【答案】ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若3339,22a S ==，则q =.【答案】1或12-14.设,,a b c 分别为△ABC 内角,,A B C 的对边，若B C A =≠，且2222()a b c a b c +-=，则角A =.【答案】3π15.已知M 为△ABC 中线AD 的中点，过点M 的直线与AB ，AC 分别交于点E ，F ，若AE AB λ=，ΔAEF 与ΔABC的面积之比为932，则实数入的值为.【答案】34或3816.已知曲线x a y e +=与2(1)y x =-恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围为.【答案】(,2ln 23)-∞-四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知向量3,cos ),(cos ,cos )a x xb x x ==（1）若a ∥b，且(,0)x π∈-，求x 的值；（2）若函数()21f x a b =⋅- ，且1()23x f =，求sin(26x π-的值；【答案】2x π=-或56π-（2）1718-18.（本小题满分12分）在①121,,4a a 成等差数列，②123,1,a a a +成等比数列，③334S =，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，*1132(),0,n n S a a n N a =+∈≠，且.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记22log n n n b a a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）选①或②或③，都是11()2n n a -=-（2）41[1(31)()]92nn T n =-+--19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项之积为n b ，且2*1212()2n n a a a n n n N b b b +++⋅⋅⋅+=∈（1）求数列{}nna b 和{}n a 的通项公式；（2）求1212()n n n n f n b b b b +-=++⋅⋅⋅++的最大值.【答案】（1）,1n nna nn a b n ==+（2）5620.（本小题满分12分）如图所示，在平面四边形ABCD 中，2,3,6AB BD ABD ACD π==∠=∠=，设,(0,)3CAD πθθ∠=∈.（1）若4πθ=，求CD 的长；（2）当θ为何值时，△BCD 的面积取得最大值，并求出该最大值.11【答案】（1）2CD =（2）6πθ=时，△BCD 的面积取得最大值，此时面积为3421.（本小题满分12分）已知函数2()ln ()2a f x x x a R =+∈（1）当1a =时，对于函数()()3ln ,G x f x x =-存在12,[1,4]x x ∈，使得12()()G x G x m -≥成立，求满足条件的最大整数m ；（ln 20.693≈）（2）设函数32()3g x x =，若()()f x g x ≤在)e +∞上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）满足条件的最大整数4m =（2）433e e a e-≤22.（本小题满分12分）设()21x f x ae x =--，其中a R ∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）令5()()(0)4x F x e f x a a=+≠，若()0F x ≤在R 上恒成立，求a 的最小值.【答案】（1）0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；0a >时，()f x 在2(,ln )a -∞上单调递减，在2(ln ,)a+∞上单调递增（2）a 的最小值为22e -。
四川省成都石室中学2021届高三数学10月月考试题 理.doc
四川省成都石室中学2021届高三数学10月月考试题 理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{|(1)(2)0},{|0}=--≤=>M x x x N x x ，则（ ） A. N M ⊆ B. M N ⊆ C. M N ⋂=∅ D. M N =R 2.已知i 为虚数单位，则232019i i i i ++++等于（ ） A. i B. 1 C. i - D. 1- 3.已知命题p ：2(,0),2310x x x ∀∈-∞-+>，命题q ：若0x ≥，则22310x x -+≤，则以下命题正确的为（ ）A.p 的否定为“2[0,),2310x x x ∃∈+∞-+≤”，q 的否命题为“若0x <，则22310x x -+>”B.p 的否定为“2(,0),2310x x x ∃∈-∞-+≤”，q 的否命题为“若0x <，则22310x x -+>”C.p 的否定为“2[0,),2310x x x ∃∈+∞-+≤”，q 的否命题为“若0x ≥，则22310x x -+>”D.p 的否定为“2(,0),2310x x x ∃∈-∞-+≤”，q 的否命题为“若0x ≥，则22310x x -+>” 4.已知{}n a 是公差为12的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和.若2614,,a a a 成等比数列，则5S =（ ） A.352B.35C. 252D. 255.中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．意思是现有松树高5尺，竹子高2尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图所示是源于其思想的一个程序框图，若输入的5x =，2y =，输出的4n =，则程序框图中的中应填（ ） A. x y ≤B.y x ≤C. y x <D.x y =6.设函数2,1(),12x x f x x x -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则满足()()12f f a f a =⎡⎤⎣⎦的a 的取值范围是（ ）A. (],0-∞B. []0,2C. [)2,+∞D. (][),02,-∞⋃+∞7. 若直线()42y k x -=-与曲线24y x =-有两个交点，则k 的取值范围是（ ）A.[)1,+∞B.31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C. 3,14⎛⎤⎥⎝⎦D. (],1-∞-8.已知2ln3a =，3ln 2b =，6c e=，其中e 是自然对数的底数．则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a c b >> B. b c a >> C. c a b >> D. c b a >>9.2021年广东新高考将实行312++模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学生物四选二，共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率（ ）A.136 B.116 C.18 D.1610.高斯函数[]()f x x =（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），若函数()2x xg x e e -=--的零点为0x ，则[]0()g f x =（ ）A.12e e --B.2-C. 12e e --D.2212e e-- 11.已知双曲线2222:1x y C a b -=（0,0a b >>）的焦距为4，其与抛物线2:3E y x =交于,A B 两点，O为坐标原点，若OAB ∆为正三角形，则C 的离心率为（ ）A.2B.212.已知函数31()21xx f x x x e e=-++-，其中e 是自然对数的底数．若()2(1)22f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是（ ）A. 11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,1D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知数列{}n a 满足11a =，11lg lg 2n n a a +=+，则5a =______． 14.现有5人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有______种．（用数字作答）15.已知球O 的内接圆锥体积为23π，其底面半径为1，则球O 的表面积为______．16.已知抛物线C ：20)2(y px p =＞的焦点为F ，且F 到准线l 的距离为2，直线1:0l x my -=与抛物线C 交于,P Q 两点（点P 在x 轴上方），与准线l 交于点R ，若3QF =，则QRF PRFS S ∆∆=______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，sin 2sin C B =.（Ⅰ）求BDCD； （Ⅱ）若1AD AC ==，求BC 的长．为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生积极参加身体锻炼，教育部印发《国家学生体质健康标准（202X 年修订）》，要求各学校每开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作.为做好全省的迎检工作，某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试（健康指数满分100分），并从中随机抽取了200名学生的数据，根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）估计这200名学生健康指数的平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该组区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由频率分布直方图知，该市学生的健康指数X 近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s . ①求(63.498.2)P X <<；②已知该市高三学生约有10000名，记体质健康指数在区间()63.4,98.2的人数为ξ，试求E ξ. 附：参考数据 1.35 1.16≈， 若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.683P X μσμσ-<<+≈，(22)0.955P X μσμσ-<<+≈，(33)0.997P X μσμσ-<<+≈.19.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，12AB BC CD AD ===，G 是PB 的中点，PAD ∆是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：CD ⊥平面GAC ；（Ⅱ）求二面角P AG C --大小的正弦值.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点()0,1A ，且椭圆的离心率为3(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)斜率为1的直线l 交椭圆C 于()()1122,,,M x y N x y 两点，且12x x >．若直线3x =上存在点P ，使得PMN ∆是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l 的方程．21.（本小题满分12分）已知函数2()12xx f x e =--．（Ⅰ）若直线y x a =+为()f x 的切线，求a 的值；（Ⅱ）若[)0,x ∀∈+∞，()f x bx ≥恒成立，求b 的取值范围．22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中,圆C ：()2244x y +-=.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（Ⅰ）求圆心C 的极坐标；（Ⅱ）从原点O 作圆C 的弦，求弦的中点轨迹的极坐标方程.成都石室中学2021~2021度上期高2021届10月月考数学试卷（理科）答案一、选择题：B D B C A D C C D B C A 二、填空题：13. __100____．14. ___36___．15.____ 254π__．16. ___67___．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由正弦定理可得在ABD ∆中，sin sin AD BDB BAD=∠， 在ACD ∆中，sin sin AD CDC CAD=∠，…………………………3分 又因为BAD CAD ∠=∠，sin 2sin BD CCD B==.…………………………6分 （Ⅱ）sin 2sin C B =，由正弦定理得22AB AC ==， 设DC x =，则2BD x =，则222254cos cos 24AB AD BD x BAD CAD AB AD +--∠==∠⋅，2222222AC AD CD x AC AD +--==⋅.…………………………9分因为BAD CAD ∠=∠，所以2254242x x --=，解得x =32BC x ==.…………………………12分 18.（本小题满分12分）∴()14555515654075758545952075200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，…………………3分 ()()()()2222251540454575557565758575200200200200s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯()2209575135200+-⨯=.………………………6分（Ⅱ）①由（Ⅰ）知X 服从正态分布()75,135N ，且11.6σ≈，∴11(63.498.2)(-+2)=0.9550.6830.81922P X P X μσμσ<<=<<⨯+⨯=.………………9分②依题意，ξ服从二项分布，即()410,0.819B ξ，则8190E np ξ==.………………12分19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）取AD 的中点为O ，连结OP ，OC ，OB ，设OB 交AC 于H ，连结GH .//AD BC ，12AB BC CD AD ===四边形ABCO 与四边形OBCD 均为菱形 OB AC ∴⊥，//OB CD CD AC ⊥ PAD ∆为等边三角形，O 为AD 中点 PO AD ∴⊥…………………………2分平面PAD ⊥平面ABCD 且平面PAD 平面ABCD AD =. PO ⊂平面PAD 且PO AD ⊥ PO ∴⊥平面ABCD CD ⊂平面ABCD PO CD ∴⊥H ，G 分别为OB ， PB 的中点 //GH PO ∴ GH CD ∴⊥…………………………5分 又GH AC H ⋂= ,AC GH 平面GACCD 平面GAC …………………………6分（Ⅱ）取BC 的中点为E ，以O 为空间坐标原点，分别以OE ，OD ，OP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.…………………………7分 设4=AD ，则(0,0,23P ，()0,2,0A -，)3,1,0C，()0,2,0D ，31322G - ⎝.(0,2,23AP =,33322AG ⎛= ⎝.设平面PAG 的一法向量(),,n x y z →=.由00n AP n AG ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 2230333022y z x y z ⎧+=⇒+=⎩ 3y z x z ⎧=⎪⇒⎨=⎪⎩. 令1z =，则()1,3,1n =-.…………………………10分 由（Ⅰ）可知，平面AGC 的一个法向量()3,1,0CD =-.∴二面角P AG C --的平面角θ的余弦值2315cos 25n CD n CDθ⋅=-=-=.二面角P AG C --大小的正弦值为5.…………………………12分 20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得2221,,3.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩…………………………………………3分解得23a =．所以椭圆C 的方程为2213x y +=． …………………………………………4分（Ⅱ）设直线l 的方程为y x m =+，(3,)P P y ,由2213x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2246330x mx m ++-=. …………………………6分 令223648480m m ∆=-+>，得22m -<<．1232x x m +=-，2123(1)4x x m =-． ……………………………………7分因为PMN ∆是以PMN ∠为顶角的等腰直角三角形，所以NP 平行于x 轴． ………………………………8分 过M 做NP 的垂线，则垂足Q 为线段NP 的中点．设点Q 的坐标为(),Q Q x y ，则2132Q M x x x x +===．由方程组1221221323(1)432x x m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩，，，解得2210m m ++=，即1m =-．而()122m =-∈-，， 所以直线l 的方程为1y x =-． …………………………………………12分21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设切点为()00,P x y ，()'xf x e x =-，∴()000'1xf x e x =-=，……………………2分令()xh x e x =-，则()'1xh x e =-，当0x >时，()'0h x >，()h x 在()0,∞+上为增函数； 当0x <时，()'0h x <，()h x 在(),0-∞上为减函数； 所以()()min 01h x h ==，所以00x =，又0200112xe x x a --=+，所以0a =．……………………4分 （Ⅱ）[)0,x ∀∈+∞，()f x bx ≥恒成立2102xx e bx ⇔---≥，[)0,x ∈+∞．令2()12xx g x e bx =---，[)0,x ∈+∞．()()'x g x e x b h x =--=，()'1x h x e =-,当0x >时，()'10xh x e =->，所以()h x 在[)0,+∞上为增函数，()min 1h x b =-，①若1b ≤，则当0x >时'()0g x >，故()g x 在[)0,+∞上为增函数，故[)0,x ∈+∞时，有()()00g x g ≥=即2102xx e bx ---≥恒成立，满足题意.…………8分②若1b >，因为()'g x 为()0,∞+上的增函数且()'010g b =-<，()()'ln 2ln ln 21ln 21ln 20g b b b b b =-->---=->⎡⎤⎣⎦，故存在()()00,ln 2x b ∈，使得0'0g x .当()00,x x ∈时，()'0g x <，()g x 在()00,x 为减函数，()()00g x g <=，矛盾，舍去. 综上1b ≤．………………………12分22. （本小题满分10分）解：（Ⅰ）4,2π⎛⎫⎪⎝⎭…………………………3分 （Ⅱ）4sin ρθ=………………………7分233ππθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭……………………10分。
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2021年高三10月月考数学理试题
一.选择题.(每小题5分,共50分)
1.若集合,则=( )
A.{0,1}
B.{0,2}
C.{1,2}
D.{0,1,2}
2.已知,=( )
A. B.0 C.1 D.2
3. 已知命题p：x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0，则p是( )
(A) x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0
(B) x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0
(C) x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)<0
(D) x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)<0
4.已知向量,若,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.若,则有( )
A. B. C. D.
6.是等差数列前项和.且.则=( )
A. B. C. D.
7.若,且.则的最大值是( )
A. B. C. D.
8.在中，角所对边长分别为，若，则角的最大值为（）
A. B. C. D.
9、设，、，且＞，则下列结论必成立的是（）
A. ＞
B. +＞0
C. ＜
D. ＞
10、已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x－4）＝f（x），且在区间［0,2］上是增函数，则当时不等式
()()()()()()
A.-2,02,4
B.-4,-20,2
C.-2,0
D. 0,2
二.填空题.(每小题5分,共25分)
11.已知复数 (i为虚数单位)，则|z|=_____.
12.设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为，则______.
13、直线是曲线的一条切线，则实数b＝．
14.已知,则= .
15．有下列各式：，，，……
则按此规律可猜想此类不等式的一般形式
为： ．
三.解答题.(共6小题,共75分)
16、（12分）已知函数在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为，.
(1) 求和的值;
(2) 已知,且, 求的值.
17、(12分)已知等差数列满足：，，的前n 项和为．
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）令=()，求数列的前项和．
18、(12分)已知函数
（１）试判断函数的单调性，并说明理由；
（２）若恒成立，求实数的取值范围；
219ABC A,B,C .sin (1)sin 12cos ,2,ABC .4c a a b c b C A
B b -∆===∆cosA-2cos
C 、在中，内角所对的边分别为,,,已知
cosB 求
的值；（）若求的面积
20、设函数
(1)求的单调区间；
(2)若关于的方程在区间上有唯一实根，求实数的取值范围.
21、设数列的前项和.数列满足:.
(1)求的通项.并比较与的大小;
(2)求证:.
数学答案
一.选择题.(每小题5分,共50分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C B B A C C D A
二.填空题.(每小题5分,共25分)
11.10 12. 13、ln2－1 14. 15．（）；
三.解答题.(共75分)
16．(1) 解:∵函数的图象的最高点坐标为，∴.
依题意,得函数的周期，
∴.
(2)解:由(1)得. ∵,且,
∴.
∴,
.
∴。
17、（Ⅰ）设等差数列的公差为d ，因为，，所以有
，解得，
所以；==。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以b n ===，
所以==
18．解：（1） 故在递减
（2）
记
再令 在上递增。
，从而 故在上也单调递增
2sin sin 19.(1)sin()2sin(),sin 2.(2)(2,2,2,,115sin 2C A A B B C B
c a b S ac B -=⇒+=+==⇒====cosA-2cosC 由正弦定理得
cosB sinC 即是sinC=2sinA,所以sinA c 15由1)知又由余弦定理知a=1,c=2,sinB=a 4
20、(1)函数的定义域为 '12(1)(3)()2[(2)]22x x f x x x x ++=+-=++ 当时， 当时，
故的单调增区间是单调递减区间是
(2)由得： 令
则时，
故在上递减，在上递增，
要使方程在区间上只有一个实数根，
则必须且只需 或或
解之得或
所以
21.解:(1)由 ① 当时,.
当时, ② 由①-②有. ∵
∴是2为首项,2为公比的等比数列. 从而.
设
∵. ∴时, . 当时,
又. ∴当时,即.
当时,显见
(2)首先我们证明当时,
事实上,记. ∵
由(1)时,. ∴. 而.
∴当时,即. 从而.
当时,不等式的
左
容易验证当时,不等式也显然成立.
从而对,所证不等式均成立.。