分析力学第二章虚功原理及应用

取 s=3N-k 个独立的广义坐标
来表示出任意质点位矢，即
r ri
r ri
(q1
,
q2
,L
, qs )
(i 1, 2, L , N)
变分得：
rri
s 1
rri q
q
W
N i 1
r Fi
rri
N i 1
r Fi
s
1
rri q
q
s
= =1
N i 1
r Fi
r ri
yC =-|OC|sin=-
R2
-
a2 4
sin
δyC
=-
R2- a2 cosδ=0
4
Q δ 0, cos 0 , 3 .
22
例4. 均匀杆OA，重P1 ，长为l1，能在竖直平面内绕固定光滑铰链O转动，此 杆的A端用光滑铰链连接另一重为P2 ，长为l2的均匀杆AB。在AB杆的B端加一
水平力。求平衡时此两杆与水平线所成的角度及。
因此必有某一虚位移与实位移重和，即
。因此
但在理想约束下，
； 于是有
显然，此结论与原假设相矛盾，这说明如果满足
质点系不能从静止进入运动；即质点系处于原来平衡状态。
2. 虚位移原理的各种形式
(1). 矢量形式
N
r Fi
r ri
0
i 1
(2). 广义坐标形式
假设N个质点组成的质点系，受到k个不可解、理想、稳定的约束，则可
x B
(xA +xB )2 +(yA +yB )2 =4R 2 -a2
y
x
C
y
C
= =
1 2 1 2
(x A (yA
+xB ) +yB )
x
2 C
+yC2
=R
2
-
a2 4
o
A
CPr
x B
因此取杆重心C的纵坐标 为广义坐标，则杆的位置完全确定。平衡时，虚
位移原理为：
PδyC =0 δyC =0
[充分性]反推由结论推导已知
设主动力的虚功之和为零，即
； 但质点系不平衡；这意
味着质点系中必有 部分质点由静止进入运动，现取这样的一个质点来分析。 当质点不平衡时作用在其上的主动力与约束力的合力不为零，即
此质点将沿着其所受的合力 的方向由静止开始运动，故 做正功为：
因此，对于整个质点系有
由于质点系受到的约束是稳定的完整约束，所以实位移是虚位移中的一个，
例3. 如图所示，均匀杆AB长为a，重P，约束在一个固定光滑的铅直圆环中。
圆环的半径为R，求其平衡位置。
解：根据已知知道该系统有三个约束条件，自由度为
s=1.设Ａ、Ｂ、C三点坐标分别为
y
x x
2 A
2 B
+y
2 A
=R
2
+y
2 B
=R
2
(xA -xB )2 +(yA -yB )2 =a2
o
A
C
r P
设力学体系由N个质点组成，受k个完整约束。对第i个质点来 说，平衡时应有
设每一个质点在平衡位置发生一个虚位移 , 则作虚功为:
对所有质点取和：
由于约束是不可解的、理想的， 因此有
于是
δW=
N
r Fi
δ
r ri
=0
i=1
N
或
δW= (Fixδ xi +Fiyδ yi +Fizδ zi )=0
i=1
是分析力学的一个基本原理。
§2、 虚位移原理的应用 1. 用虚功原理解静力学问题
例1. 离心调速器如图，已知小球AB的重量都是P，套筒C 和各杆的重量
均不计，套筒的尺寸和系统摩擦也不计。AD=BC=b，OC=OD=a，在铅直轴
上作用一力偶，其力偶矩为M。若取调速器转角为 及杆AD和BC与铅直线 间的夹角 为广义坐标，求对应的广Q义力Q和 。
Qα Q
= 2Pbsinα =M
P
P y
例2. 如图所示的劈，求平衡时P, P1, P2 之间的关系。
解：取三物体为系统，设各接触面都是光
r
P
滑的且满足理想约束条件。系统有两个自 r
r
由度。取直角坐标xoy，劈尖C(x,y)为广义 P2
r
P1
坐标，A(x1 ,0)，B(x 2 ,0) 。
BP1 A C
由虚功原理：
Pδy+P1δx1+P2δx2 =0
由几何关系写出约束方程：
x1 =x+ytgα x2 =x-ytgα
δx1 =δx+δytgα δx2 =δx-δytgα
(P-P1tgα-P2tgα)δy+(P2 -P1)δx=0
由于
是相互独立的，故得平衡条件：
PP2-P-P1t1g=α0-P2tgα=0 PP2==2PP11tgα
q
q =0
定义：
为对应于广义坐标 的广义力，则有
s
δW= Qαδqα =0 -----虚功原理的广义坐标形式 α=1
它表明受理想约束的体系处于平衡的充要条件是所有作用在体系上的广
义力等于零，即
Q
N i 1
r Fi
rri q
0,
1, 2, L , s
若不用广义坐标对虚功原理作变换，仍采用不独立的直角坐标形式，则 不能直接用来求解具体的问题，这时需要应用拉格朗日不定乘子法求解。 3. 虚功原理的意义
第二章 虚功原理及其应用 §1、虚位移原理 1.虚位移原理及其证明 虚位移原理，亦称虚功原理，其表述如下： 在不可解、理想、完整、稳定的约束下，力学系统平衡的充要条件 是作用在系统上的主动力在任何虚位移中所作元功之和等于零。
注：平衡是指在诸主动力作用下系统仍然保持原来状态。 证明：[必要性]由已知推结论
由虚功原理，有oyC1(x1, y1)P1 A
C2(x2, y2)
F
x P2 B(x3, y3 )
解：建如图直角坐标系, 系统所做虚功为：
DC
x
O
A
B
δW=Pδy1+Pδy2 +Mδ -2Pbsinαδα+Mδ P =Qαδα+Q δ
P y
-2Pbsinαδα+Mδ Qαδα+Qδ
DC
x
(Qα +2Pbsinα)δα+(Q -M)δ 0
O
由于
是相互独立的，有
A
B
Qα Q
+2Pbsinα=0 M)=0
解 ： 我们只要能确定A、B两点的位置，问题 就可解决。因为这是一个平面问题，确定A、B 两点的位置需要四个坐标，但有两个约束方程:
OA l1, AB l2
所以只有两个自由度。现取及为两个广义坐 标。因两杆均匀，则和两重力作用点分别在两
杆的中点。设此两中点的坐标分别为 (x1,y1) 和 (x2 ,y2 ), 并设的作用点B的坐标(x3,y3 ) , 则
(1). 虚功原理是静力学的最普遍的原理，由它可以推导出全部静力学。 (2). 虚位移原理是从功的观点来研究力学系统的平衡的，而几何静力学
是从力的观点来研究平衡的。 (3). 当系统有较多约束时，利用分析静力学的方法解静力学问题比几何
静力学简单得多。 (4). 虚功原理与达朗伯原理联合而构成动力学普遍方程，因此虚功原理