分析力学第二章虚功原理及应用
虚功原理和位移计算
位移计算的物理意义
位移是描述物体位置 变化的量，是运动学 的基本概念之一。
位移是矢量，具有大 小和方向两个物理量 ，可以用矢量表示。
位移的大小表示物体 在某一方向上移动的 距离，方向则表示移 动的方向。
位移计算的应用场景
工程设计
在机械、建筑、航空航天等工程领域中，需要进行结构分析和优 化设计，位移计算是其中的重要环节。
位移计算方法
位移计算的数学模型
线性代数模型
使用矩阵和向量表示物体的位移 ，通过建立线性方程组来求解位
移。
微积分模型
利用微积分理论，对位移进行微分 和积分运算，以描述物体的运动轨 迹和速度。
数值分析模型
采用数值分析方法，如有限差分法 、有限元法等，对位移进行离散化 计算，适用于复杂结构和非线性问 题。
发展
随着科学技术的发展，虚功原理在各个领域得到广泛应用，并不断完善和深化。
02
CATALOGUE
虚功原理的基本原理
虚功原理的数学表达
虚功原理的数学表达为
对于一个线性弹性系统，如果作用在系统上的外力所做的虚功等于内力所做的虚功，则系统的平衡状态保持不变 。
数学表达通常用微分形式表示，即
dW_外=dW_内，其中dW_外和dW_内分别表示外力和内力所做的虚功。
虚功原理的物理意义
虚功原理的物理意义在于揭示了系统平衡状态的稳定性。它 说明，如果一个系统处于平衡状态，那么任何小的外界干扰 都不会引起系统状态的改变，或者说系统会自动恢复到原来 的平衡状态。
虚功原理及其应用
例1
两滑块放在光滑水平面 上，中间用一根细线相连。 两根等长的轻杆OA、OB分别 搁在两滑块上，且可绕铰链 O自由移动，两杆夹角为θ ， 当用竖直向下的力F作用在 铰链上时，求两滑块间细绳 上的张力T的大小。
O θ F
A
B
O
y
解析
在细绳中点为原点，细线所在方向 为x轴，建立如图所示的坐标系。设 两杆长度均为l， 则O点的竖直位置坐标为：
虚功原理： Fi ri 0，
表示的是物体在力系作用下处于平衡状态，若由于其 他原因使物体产生符合约束条件的微小连续位移δ r，则 所有主动力（外力与内力）在虚位移上所做的虚功总和 为零。由于导数与微分已经引入到高中数学，这为求复 杂情况下物体的虚位移带来了方便，因此在高中应用虚 位移原理求解物理问题已成为可能。高中物理有关静力 学问题，用常规方法求解有时需要列出复杂的方程进行 繁琐的数学运算，但如果应用虚功原理求解，往往会使 问题的求解过程大大简化。下面通过几个具体实例谈谈 虚功原理在求解静力学问题中的应用。
F
A
解析
如图所示，设想在A端将链条水平向 左拉出一段微小段长度dx， 则链条重力做 功 由虚功原理得
R
dW - dxgR
Fdx dW 0
B
可得
F gR
通过对以上几个实例的分析，我们 可以看出应用虚功原理求解问题，体 现了微元法、虚拟法、动态分析法等 物理分析方法，也能为问题的求解另 辟蹊径。
虚功原理及其应用1
A
θ
F
O B
解析
y
A
建立如图所示的坐标系，设杆长为l，则A、B 两个小球的竖直位置与水平位置坐标分别为：
yA lsin，x B lcos
若在力F作用下B球向左发生一段位移dxB， 则在理想约束情况下，A球应竖直向上发生 O 一段微小位移dyA，θ角增加微小量dθ。求 微分有：
dyA lcosd，dxB -lsind
虚功原理： Fi ri 0，
表示的是物体在力系作用下处于平衡状态，若由于其
他原因使物体产生符合约束条件的微小连续位移δr，则
所有主动力（外力与内力）在虚位移上所做的虚功总和 为零。由于导数与微分已经引入到高中数学，这为求复 杂情况下物体的虚位移带来了方便，因此在高中应用虚 位移原理求解物理问题已成为可能。高中物理有关静力 学问题，用常规方法求解有时需要列出复杂的方程进行 繁琐的数学运算，但如果应用虚功原理求解，往往会使 问题的求解过程大大简化。下面通过几个具体实例谈谈 虚功原理在求解静力学问题中的应用。
由虚功原理得：
FdxB mgdy A 0
解得：
F mgcot
F θ
Bx
例3
如图3所示，一条长
θ
为L、质量为M的均
匀链条套在一表面
光滑顶角为2θ的圆
锥上处于静止状态，
求链条中的张力T的
大小。
理论力学 第2章 虚功原理
5、约束对运动的影响
2.1 约束
2.2 自由度和广义坐标
问题： 1.用什么量描述质点(系)在 空间的位置？ 2.描述其在空间位置的量有 多少个？
13
2.2 自由度和广义坐标
一个自由质点在空间的位置：（ x, y, z )
3个
一个自由质点系在空间的位置：( xi , yi , zi ) (i=1,2…,n) 3n个 对一个非自由质点系，受s个完整约束，（3n-s )个独立坐
标。
确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的数
目，称为该质点系的自由度数（degree of freedom) ，简称为
确定系统位置的参数数目：N
自由度。 独立的约束方程数：s
k N s
自由度：k
2.2 自由度和广义坐标
用来确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。
由n个质点组成的质点系，受到s个完整约束，其n个位 矢并不独立，具有k=3n-s个自由度。取k个独立变量q1、 q2、……、qk为其广义坐标，质点系内各质点的坐标及矢径 可表为广义坐标的函数。
1
1
x l cos
1
1
x l sin l sin
2
1
2
x l cos l cos
2
1
2
l2
y l cos
1
1
y l sin
虚功原理的内容及应用条件
虚功原理的内容及应用条件
1. 虚功原理的概念
虚功原理是力学中的基本原理之一，它根据体系处于平衡状态时的平衡条件，从而推导出力学中的一些重要定理。根据虚功原理，一个约束系统在平衡位置上的任意虚位移所做的虚功等于零。虚功原理是可以应用在各个领域的一个重要原理，包括物理学、工程学等。
2. 虚功原理的条件
虚功原理适用于满足以下条件的体系： - 约束体系：虚功原理主要应用于约束体系，即约束在某些条件下运动的物体体系。 - 平衡位置：虚功原理适用于约束体系处于某个平衡位置的情况。 - 虚位移：虚功原理建立在虚位移的基础上，即物体在平衡位置上的任意虚位移。
3. 虚功原理的应用
虚功原理在力学中有广泛的应用，以下是几个常见的应用领域：
3.1 静力学应用
在静力学中，虚功原理可以应用于分析力的平衡和支持结构的设计等问题。通过建立平衡方程和应用虚功原理，可以推导出约束体系的平衡条件和约束反力等。
3.2 动力学应用
在动力学中，虚功原理可以用于分析非平衡状态下的物体运动。通过应用虚功原理，可以推导出物体受力和加速度之间的关系，并得到物体的运动方程。
3.3 物体变形分析
虚功原理还可以应用于物体的变形分析。通过对物体进行虚位移，利用虚功原理和弹性力学理论，可以计算物体在受力作用下的变形情况。
3.4 热力学应用
在热力学中，虚功原理可以应用于分析热力学平衡和传热等问题。通过应用虚功原理，可以推导出热平衡条件和传热方程等。
3.5 其他应用领域
除了上述应用领域外，虚功原理还可以应用于弹性体的弹性力学分析、流体力学中的动量守恒和能量守恒等问题。
虚功原理(虚位移原理)
§5、2虚功原理（虚位移原理）
一、虚位移和实位移
实位移：由于运动而实际发生的位移 dt v r d
= 对应时间间隔dt ，同时满足运动微分方
程
虚位移：t 时刻，质点在约束允许情况下可能发生的无限小位置变更
虚位移是可能位移，纯几何概念（非运动学概念），以i r
δ表示
（1）特点（本质）：想象中可能发生的位移，它只取决于质点在t 时刻的位置和约束
方程，并不对应一段时间间隔（)0=t δ，它是一个抽象的等时变分概念
（2）直观意义（求法）：
对于非稳定约束，在t 时刻将约束“冻结”，然后考察在约束允许情况下的
可能位移，即视约束方程中的t 不变（)0=t δ，对约束方程进行等时变分运算（同微分运算，注意)0=t δ即可得虚位移；
对于稳定约束，由于约束方程中不显含t ，“冻结”已无实际意义，等时变
分运算与微分运算完全相同。
Example 质点被限制在以等速u 匀速上升的水平面内运动，
约束方程为 0=-ut z 0=z δ udt dz =
（3）实位移是唯一的，虚位移可若干个；
对稳定约束，实位移为若干个虚位移中的某一个；
对非稳定约束，实位移与虚位移不一致。见273p 图5.2－1
二、理想约束
实功－作用在质点上的力（含约束力i R ）在实位移r
d
中所作的功 dW
虚功－作用在质点上的力（含约束力i R ）在任意虚位移r
δ中所作的功 W δ
其中 i R
为第i 个质点受的约束力 若
∑
=⋅i
i i r R 0
δ
体系所受诸约束反力在任意虚位移中所作元功之和等于零⇒理想约束
例如 光滑曲面、曲线约束，刚性杆，不可伸长的绳索等
分析力学第二章
qk
ri t
其r中i 和：qrki称是之广为义广坐义标速和度时间的函数与广义速度无关
qk t
ri
ri
qk qk
证明（2）
d dt
ri qk
ri qk
d dt
ri qk
q1
ri qk
q1
q2
ri qk
q2
qN
ri qk
qN
t
ri qk
qk
ri q1
q1
ri q2
该系统为两
自由度系统：
广义坐标：x,
物体B的质心速度x
物体A的质心速度s x r
系统所受主动力：m1g, m2 gfs ,
系统所受惯性力：Fg1 m1s m1x r;
Fg 2
m2x; M g1
1 2
m1r 2
由动力学普遍方程：
m2
gf s
m2 xx
m1g
m1x
rs
1 2
m1r 2
0
s x r代入：
Fi FNi Fgi 0
假设质点虚位移ri，由虚功原理：
Fi FNi Fgi •ri 0
对于理想约束： FNi •ri 0
因此：
Fi Fgi
• ri
0或：
Fi
mai
• ri
0
写成标量形式：
虚功原理
§2、虚功原理上次课主要是介绍了分析力学中经常要用到的一些基本概念，并由虚功的概
念和理想约束的概念导出了解决静力学问题的虚功原理：0=⋅∑i r i F δ。虚功
原理适用的范围是：质点组，它适用的前提条件是只受理想约束。这次课就举一些具体例子，使我们能够了解如何利用虚功原理去解决静力学问题。三、应用虚功原理解题：例1、如图所示，有一质量为m ，长度为 的刚性杆子，靠在墙上，在与地面
接触的B 端上受一水平向左的外力F ，杆子两端
的接触都是光滑的，当杆子与水平地面成α角时，
要使杆子处于平衡状态，问作用在杆子B 端上的力
F 有多大？求F =？解：由题意可知它是一个静力学问题，而且接
触都是光滑的，显然可以应用虚功原理来求解这个
问题。这个例子很简单，简单的题目往往能够清楚
地说明物理意义，为了说明虚功原理的意义，如果一开始就举复杂的例子，由于复杂的数字计算将会掩盖物理意义，所以就以这个简单的例子来看看如何应用虚功原理来解出它。第一步当然也是确定研究对象，即①选系统：在这个例题中，我们就取杆子为应用虚功原理的力学系统。②找主动力：作用在我们所选取的系
统上的主动力有几个？有两个。一个是水平作用力F ，还有一个是重力m g 作用
在杆子的质心上。因为杆子两端A 、B 处的接触是光滑的，∴在该两处的约束力也就不必考虑。③列出虚功方程：主动力找出来以后，视计算方便起见，适当选好坐标，并根据虚功原理列出虚功方程。现在选取如图所示的直角坐标，于是我们现在就可列出系统的虚功方程。列虚功方程时，正、负号是个很重要的问题，如果按虚位移的实际方向与力的方向间的关系确定虚功的正负号，很容易弄错。为了不容易弄错，我们还是按力的作用点的坐标的正方向与力的方向间的关系来确定虚功的正负号。这种方法既方便而又不容易搞错。在列方程时必须要注意这个
虚功原理
分析力学
2.虚功原理(1/13)
2.1 虚位移和实位移
在时间间隔 内发生的真实位移 称为 实位移 只要满足约束条件，沿任何方向的位移 都 可以设想为该时刻 的虚位移 实位移是真实的、由动力学规律唯一确定的位移，虚 位移是设想的、满足约束条件的任何方向的位移 实位移对应的时间增量 不等于零，虚位移对应的时 间增量 等于零
√
2. 虚功原理(6/13)
2.3 虚功原理的广义坐标表述和广义力
广义坐标表述虚功原理，广义力
称 Q 为广义力，Qa 为广义力在 a 方向上的分量 当广义坐标 qa 是线量时，相应的广义力 Qa 是力的分 量；当广义坐标是角量时，相应广义力是力矩的分量 平衡状态下 Qa (q1, …, qs;t) = 0, (a = 1, …, s) 已经包含约束方程 广义虚位移是相互独立的
平衡方程
√
2. 虚功原理(9/13)
例：(求绳的张力) 解：坐标系如右图所示 重力 P、水平外力 FT 和 -FT ，分 别作用于 C,B,D 点 C,B,D 三点共9个坐标参量：
8个约束：AB = l, zB = 0, xD = -xB, yD = yB, zD = 0, BC = l, xC = 0, zC = 0 虚功原理和广义坐标
虚功原理应用的条件是
虚功原理应用的条件是
1. 无摩擦力的情况
当应用虚功原理时，必须满足系统中不存在摩擦力或摩擦力可以忽略不计的条件。在没有摩擦力的系统中，物体的动能可以完全转化为势能或其他形式的能量。如果存在摩擦力，它将对物体做功，导致能量损失，从而违反了虚功原理。
2. 动力学平衡的情况
虚功原理适用于动力学平衡的情况，即系统中的物体处于静止或匀速运动的状态。在动力学平衡的系统中，物体受到的合外力为零，根据虚功原理，物体所受的内力之和也必须为零。只有在这种平衡状态下，才能应用虚功原理来分析物体的运动。
3. 非弹性碰撞情况
应用虚功原理时，需要排除非弹性碰撞的情况。非弹性碰撞会导致能量的损失，而虚功原理是基于能量守恒的原理进行推导的。如果碰撞过程中存在能量的损失，虚功原理将无法准确地描述物体的运动。
4. 理想弹簧的应用
虚功原理在弹簧系统中有广泛的应用。当弹簧呈现线性弹性特性时，即只有弹
性形变而没有塑性形变时，可以通过虚功原理来分析物体与弹簧之间的作用力和位移的关系。在这种情况下，弹簧的力和位移满足虚功原理所描述的能量守恒关系。
5. 适用于静态和稳态的系统
虚功原理适用于静态和稳态的系统。静态系统是指物体处于静止状态，没有任
何运动；稳态系统是指物体虽然处于运动状态，但各物体之间的相对位置以及系统的性质都保持不变。在这种情况下，虚功原理可以用来分析系统中物体的平衡和力的平衡，以及判断系统是否处于稳定状态。
总结
虚功原理是力学中一个重要的原理，它描述了在一些特定的条件下，物体由于
受到力的作用而发生的位移与力的关系。为了正确应用虚功原理，我们需要满足无摩擦力、动力学平衡、非弹性碰撞、理想弹簧、静态和稳态等条件。只有在这些条件下，虚功原理才能准确地描述和分析物体的运动和力学行为。在工程、物理学等领域中，虚功原理的应用十分广泛，对于解决问题和优化设计具有重要意义。
虚功原理
虚功原理
单力作功力学上，一力F在其方向上产生位移始作功。例如，下图所示之力F，以位置向量r说明其在路径s上之位置。若力沿路径移至新位置r ' = r + d r，其位移为d r，而功dU为一纯量，以点积(dot product)定义如下
dU= F⋅d r
因d r为一微小量，其大小以ds表示，乃沿路径之微小弧长。若d r与F尾端间夹角为θ，如上图，依点积之定义，上述方程式可写为
dU= Fds cosθ
上式功的表示式可以用二种不同方式予以说明：即F与位移在力之方向分量ds cosθ之乘积；或位移与力在位移方向之分量F cosθ之乘积。若0≤θ≤90︒，则力分量与位移方向相同，功为正值；若90︒≤θ≤180︒，则两向量方向相反，功为负值。又力与位移垂直，因cos90︒= 0，则dU = 0，或力作用在固定点上，因ds = 0，则功亦为零。
功之基本单位是力及位移之组合单位。在SI系统，一焦耳(J)相当于1牛顿力使物体移动1米之位移所作之功(1 J = 1 N⋅m)。在FPS系统，则功之单位为ft⋅lb (呎．磅)。力矩与功之单位相同；但是力矩与功之观念毫无相关。力矩为一向量，而功为一纯量。
力偶作功当力偶绕一与其作用面垂直之轴旋转时，此力偶作功。考虑上图(a)中一物体受到一大小M = Fr之力偶作用。物体任意微小位移可视为平移与旋转之组合。物体平移时，沿力作用线方向之位移分量为ds t，如上图(b)
所示，一力作正功( Fds t )，而另一力作负功(-Fds t )，两者相互抵消。物体绕一与力偶作用面垂直且交于O点之轴旋转一微小角度dθ，如上图(c)。(亦可考虑作用面上任意点)，图中各力均在其方向产生位移dsθ= ( r /2) dθ。因此，二力作功为
分析力学讲义-第二章
(2.9)
（3） 若力系{Fi}（i=1,2,…,N）中所有力均为有势力，即系统处于势力场中，相应的势 能为 V=V（xi，yi，zi，t） （i=1,2,…,N） ，则各个质点合力 Fi 的分量可以表示为：
∂V ∂V ∂V Fix = − − − , Fiy = , Fiz = ∂xi ∂yi ∂ zi
将（d）(e)带人（c）得到 (e)
{T1l1 cos ϕ1 − m1 gs1 sin ϕ1 + T2l1 cos ϕ1 − m2 gs1 sin ϕ1 + T3l cos ϕ1 − m3 gl1 sin ϕ1}δϕ1 + {T2l2 cos ϕ2 − m2 gs2 sin ϕ 2 +
(f) T3l2 cos ϕ2 − m3 gl2 sin ϕ 2 }δϕ 2 + {T3l3 cos ϕ3 − m3 gs3 sin ϕ3}δϕ3 = 0 因 δϕ1 , δϕ 2 , δϕ3 彼此独立，由式(f)的系数为零，得到
ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 ，各杆长分别为 l1，l2，l3，杆重
心到铰链的距离为 s1，s2，s3（图 2.1） 。需 确定线的张力 T1 , T2 , T3 。 图 2.1
解： 将三条水平线约束解除， 代之以线受到的张力 T1 , T2 , T3 。 系统有 3 个自由度， 取 ϕ1 , ϕ 2 , ϕ3 为广义坐标。
虚功原理(物理竞赛)
§2、虚功原理上次课主要是介绍了分析力学中经常要用到的一些基本概念，并由虚功的概
念和理想约束的概念导出了解决静力学问题的虚功原理：0=⋅∑i r i F δ。虚功
原理适用的范围是：质点组，它适用的前提条件是只受理想约束。这次课就举一些具体例子，使我们能够了解如何利用虚功原理去解决静力学问题。三、应用虚功原理解题：例1、如图所示，有一质量为m ，长度为 的刚性杆子，靠在墙上，在与地面
接触的B 端上受一水平向左的外力F ，杆子两端的
接触都是光滑的，当杆子与水平地面成α角时，要
使杆子处于平衡状态，问作用在杆子B 端上的力F
有多大？求F =？解：由题意可知它是一个静力学问题，而且接
触都是光滑的，显然可以应用虚功原理来求解这个
问题。这个例子很简单，简单的题目往往能够清楚
地说明物理意义，为了说明虚功原理的意义，如果一开始就举复杂的例子，由于复杂的数字计算将会掩盖物理意义，所以就以这个简单的例子来看看如何应用虚功原理来解出它。第一步当然也是确定研究对象，即①选系统：在这个例题中，我们就取杆子为应用虚功原理的力学系统。②找主动力：作用在我们所选取的系
统上的主动力有几个？有两个。一个是水平作用力F ，还有一个是重力m g 作用在
杆子的质心上。因为杆子两端A 、B 处的接触是光滑的，∴在该两处的约束力也就不必考虑。③列出虚功方程：主动力找出来以后，视计算方便起见，适当选好坐标，并根据虚功原理列出虚功方程。现在选取如图所示的直角坐标，于是我们现在就可列出系统的虚功方程。列虚功方程时，正、负号是个很重要的问题，如果按虚位移的实际方向与力的方向间的关系确定虚功的正负号，很容易弄错。为了不容易弄错，我们还是按力的作用点的坐标的正方向与力的方向间的关系来确定虚功的正负号。这种方法既方便而又不容易搞错。在列方程时必须要注意这个问
虚功原理-分析力学
uu r 3、图示曲柄式压榨机的销钉上作用有水平力 F ，
此力位于平面 ABC 内。作用线平分 ∠ABC ， 各处摩擦及杆重不计， 设 AB = BC , ∠ABC = 2θ ，各处摩擦及杆重不计， 求对物体的压缩力。 求对物体的压缩力。
l
4、如图长度同为l 的四根轻棒光滑的联成一菱形 AD ABCD 。 AB、 两边支于同一水平线上相距为 C 2a 的两个光滑的钉子上， 点系一重量为 W 的 的两个光滑的钉子上，
实位移
为约束所允许
1）实际发生 ） 2) 具有唯一性 3）可大可小 ） 4）遵循力学规律，与初始条 ）遵循力学规律， 件有关 5） d t ≠ 0 ）
不同点
表示方法
用变分符号表示， 用变分符号表示，如
用微分符号表示， 用微分符号表示，如
相互关系
在稳定的完整约束条件下，实位移是虚位移中的一个， 在稳定的完整约束条件下，实位移是虚位移中的一个，非稳定 完整约束条件下实位移一般不是虚位移中的一个。 完整约束条件下实位移一般不是虚位移中的一个。
虚功原理的证明
必要性
设质点系处于静力平衡状态， 设质点系处于静力平衡状态，证明作用于质点系所 有主动力所做虚功之和为 0。 。 r r Fi + Ri = 0 已知 设该体系有一虚位移， 设该体系有一虚位移，则对其中某一质点有
r r r ( Fi + R i ) ⋅ δ ri = 0
应用虚功原理的条件是什么
应用虚功原理的条件是什么
1. 概述
应用虚功原理是力学中常用的一种分析方法，用于解决平衡力的问题。虚功指
的是系统所受的外力在平衡状态下所做的功。应用虚功原理可以简化复杂的结构系统，并基于力的平衡条件得到相应的解答。以下是应用虚功原理的条件。
2. 条件
以下是应用虚功原理的条件：
•等势系：系统内的力学元件必须处于等势系中。等势系是指所有的力学元件所受的力都可以由势函数表示。势函数满足某种规律，当力学元件沿特定路径运动时，沿该路径的虚功为零。因此，在应用虚功原理时，我们需要确定系统中的各个力学元件是否满足该条件。
•受力平衡：系统内的各个力学元件必须满足力的平衡条件。即，合力和合力矩都等于零。只有当系统处于力的平衡状态下，才能应用虚功原理进行分析。如果系统不处于力的平衡状态，虚功原理将无法得到正确的结果。
•约束条件：系统中的各个力学元件之间可能存在约束关系，这些约束关系限制了力学元件的运动。在应用虚功原理时，我们需要考虑这些约束条件的影响。特别是在计算虚功时，需要将约束条件纳入考虑，以确保计算结果的准确性。
•更新运动：应用虚功原理的条件之一是系统中的力学元件必须处于虚位移状态。虚位移是指各个元件无实际位移，只存在微小的变形。这是因为虚功原理基于微小的位移进行计算，如果元件存在实际位移，将无法准确计算虚功。
•独立变量：在使用虚功原理时，需要选择独立变量。独立变量是指对系统进行分析时所选择的自由度。选择恰当的独立变量可以简化问题，并使分析更为方便。在选择独立变量时，通常需要考虑系统的特点和问题的复杂性。
应用虚功原理的条件
应用虚功原理的条件
1. 弹性变形
要应用虚功原理，首先需要满足物体存在弹性变形的条件。弹性变形是指物体
在受力作用下发生的可恢复的形状变化。只有在物体存在弹性变形的情况下，才能计算虚功，因为虚功是通过计算弹性势能的变化而得到的。
2. 无滑移条件
应用虚功原理的第二个条件是无滑移条件。滑移指的是物体表面的相对移动。
在应用虚功原理时，必须保证物体各部分之间不存在相对滑移，才能准确计算出虚功。如果存在滑移，虚功计算将变得复杂，导致误差的产生。
3. 静力平衡
虚功原理的另一个条件是静力平衡。静力平衡是指物体所受外力和内力之间的
平衡关系。在应用虚功原理时，必须保证物体处于静力平衡状态，才能得到准确的结果。如果物体不处于静力平衡状态，虚功计算将产生误差，无法得到正确的结论。
4. 宏观系统
虚功原理适用于宏观系统。宏观系统指的是大量微观粒子组成的系统，它的尺
度远大于微观粒子的尺度。在应用虚功原理时，我们通常将物体看作是一个完整的宏观系统，而不是考虑物体内部的微观结构。这样可以简化计算，并得到符合实际的结果。
5. 稳定力场
应用虚功原理的最后一个条件是稳定力场。稳定力场指的是物体所受力场的稳
定性。在应用虚功原理时，必须保证物体所受的外力场是稳定的，不存在突变或变化过大的情况。如果外力场不稳定，虚功计算也将产生误差。
综上所述，要应用虚功原理，需要满足以下条件：物体存在弹性变形、无滑移、静力平衡，考虑宏观系统，以及稳定力场。只有在满足这些条件的情况下，才能准确计算出虚功，并得到符合实际的结果。
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Qα Q
= 2Pbsinα =M
P
P y
例2. 如图所示的劈，求平衡时P, P1, P2 之间的关系。
解：取三物体为系统，设各接触面都是光
r
P
滑的且满足理想约束条件。系统有两个自 r
r
由度。取直角坐标xoy，劈尖C(x,y)为广义 P2
r
P1
坐标，A(x1 ,0)，B(x 2 ,0) 。
BP1 A C
是分析力学的一个基本原理。
§2、 虚位移原理的应用 1. 用虚功原理解静力学问题
例1. 离心调速器如图，已知小球AB的重量都是P，套筒C 和各杆的重量
均不计，套筒的尺寸和系统摩擦也不计。AD=BC=b，OC=OD=a，在铅直轴
上作用一力偶，其力偶矩为M。若取调速器转角为 及杆AD和BC与铅直线 间的夹角 为广义坐标，求对应的广Q义力Q和 。
由虚功原理：
Pδy+P1δx1+P2δx2 =0
由几何关系写出约束方程：
x1 =x+ytgα x2 =x-ytgα
δx1 =δx+δytgα δx2 =δx-δytgα
(P-P1tgα-P2tgα)δy+(P2 -P1)δx=0
由于
是相互独立的，故得平衡条件：
PP2-P-P1t1g=α0-P2tgα=0 PP2==2PP11tgα
q
q =0
定义：
为对应于广义坐标 的广义力，则有
s
δW= Qαδqα =0 -----虚功原理的广义坐标形式 α=1
它表明受理想约束的体系处于平衡的充要条件是所有作用在体系上的广
义力等于零，即
Q
N i 1
r Fi
rri q
0,
1, 2, L , s
若不用广义坐标对虚功原理作变换，仍采用不独立的直角坐标形式，则 不能直接用来求解具体的问题，这时需要应用拉格朗日不定乘子法求解。 3. 虚功原理的意义
解 ： 我们只要能确定A、B两点的位置，问题 就可解决。因为这是一个平面问题，确定A、B 两点的位置需要四个坐标，但有两个约束方程:
OA l1, AB l2
所以只有两个自由度。现取及为两个广义坐 标。因两杆均匀，则和两重力作用点分别在两
杆的中点。设此两中点的坐标分别为 (x1,y1) 和 (x2 ,y2 ), 并设的作用点B的坐标(x3,y3 ) , 则
例3. 如图所示，均匀杆AB长为a，重P，约束在一个固定光滑的铅直圆环中。
圆环的半径为R，求其平衡位置。
解：根据已知知道该系统有三个约束条件，自由度为
s=1.设Ａ、Ｂ、C三点坐标分别为
y
x x
2 A
2 B
+y
2 A
=R
2
+y
2 B
=R
2
(xA -xB )2 +(yA -yB )2 =a2
o
A
C
r P
设力学体系由N个质点组成，受k个完整约束。对第i个质点来 说，平衡时应有
设每一个质点在平衡位置发生一个虚位移 , 则作虚功为:
对所有质点取和：
由于约束是不可解的、理想的， 因此有
于是
δW=
N
r Fi
δ
r ri
=0
i=1
N
或
δW= (Fixδ xi +Fiyδ yi +Fizδ zi )=0
i=1
x B
(xA +xB )2 +(yA +yB )2 =4R 2 -a2
y
x
C
y
C
= =
1 2 1 2
(x A (yA
+xB ) +yB )
x
2 C
+yC2
=R
2
-
a2 4
o
A
CPr
x B
因此取杆重心C的纵坐标 为广义坐标，则杆的位置完全确定。平衡时，虚
位移原理为：
PδyC =0 δyC =0
(1). 虚功原理是静力学的最普遍的原理，由它可以推导出全部静力学。 (2). 虚位移原理是从功的观点来研究力学系统的平衡的，而几何静力学
是从力的观点来研究平衡的。 (3). 当系统有较多约束时，利用分析静力学的方法解静力学问题比几何
静力学简单得多。 (4). 虚功原理与达朗伯原理联合而构成动力学普遍方程，因此虚功原理
解：建如图直角坐标系, 系统所做虚功为：
DC
x
O
A
B
δW=Pδy1+Pδy2 +Mδ -2Pbsinαδα+Mδ P =Qαδα+Q δ
P y
-2Pbsinαδα+Mδ Qαδα+Qδ
DC
x
(Qα +2Pbsinα)δα+(Q -M)δ 0
O
由于
是相互独立的，有
A
B
Qα Q
+2Pbsinα=0 M)=0
第二章 虚功原理及其应用 §1、虚位移原理 1.虚位移原理及其证明 虚位移原理，亦称虚功原理，其表述如下： 在不可解、理想、完整、稳定的约束下，力学系统平衡的充要条件 是作用在系统上的主动力在任何虚位移中所作元功之和等于零。
注：平衡是指在诸主动力作用下系统仍然保持原来状态。 证明：[必要性]由已知推结论
因此必有某一虚位移与实位移重和，即
。因此
但在理想约束下，
； 于是有
显然，此结论与原假设相矛盾，这说明如果满足
质点系不能从静止进入运动；即质点系处于原来平衡状态。
2. 虚位移原理的各种形式
(1). 矢量形式
N
r Fi
r ri
0
i 1
(2). 广义坐标形式
假设N个质点组成的质点系，受到k个不可解、理想、稳定的约束，则可
[充分性]反推由结论推导已知
设主动力的虚功之和为零，即
； 但质点系不平衡；这意
味着质点系中必有 部分质点由静止进入运动，现取这样的一个质点来分析。 当质点不平衡时作用在其上的主动力与约束力的合力不为零，即
此质点将沿着其所受的合力 的方向由静止开始运动，故 做正功为：
因此，对于整个质点系有
由于质点系受到的约束是稳定的完整约束，所以实位移是虚位移中的一个，
取 s=3N-k 个独立的广义坐标
来表示出任意质点位矢，即
r ri
r ri
(q1
,
q2
,L
, qs )
(i 1, 2, L , N)
变分得：
rri
s 1
rri q
q
W
N i 1
r Fi
rri
N i 1
r Fi
s
1
rri q
q
s
= =1
N i 1
r Fi
r ri
由虚功原理，有
o
y
C1(x1, y1)
P1 A
C2(x2, y2)
F
x P2 B(x3, y3 )
yC =-|OC|sin=-
R2
-
a2 4
sin
δyC
=-
R2- a2 cosδ=0
4Baidu Nhomakorabea
Q δ 0, cos 0 , 3 .
22
例4. 均匀杆OA，重P1 ，长为l1，能在竖直平面内绕固定光滑铰链O转动，此 杆的A端用光滑铰链连接另一重为P2 ，长为l2的均匀杆AB。在AB杆的B端加一
水平力。求平衡时此两杆与水平线所成的角度及。