{高中试卷}北京市人大附中高三数学中档题练习四[仅供参考]

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人大附中2021届高三数学试卷及答案

人大附中2021届高三数学试卷一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{sin ,0}A x y x x π==<<，{cos 0}A y y x x π==<<，，则A B =（）A.{}4πB.}C.{(}4πD. 以上答案都不对2．已知向量(,1)t =a ，(1,2)=b .若⊥a b ，则实数t 的值为（）A ．2- B.2 C.12-D.123．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（）A.12y x = B.1sin sin y x x=+C.2log y x =D.x x y e e -=-4. 已知抛物线212y x =-的焦点与双曲线2214x y a -=的一个焦点重合，则a =（）C.5D.5. 已知3log 6a =，54log b =，若12log a m b >>，m *∈N ，则满足条件的m 可以为（）A.18B.14C.12D.16．圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7. “3a =”是“直线21:+60l ax a y +=和直线2:(2)320l a x ay a -++=平行”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（）A. (2)(2)(0)f f f <-<B.(0)(2)(2)f f f <<-C. (2)(0)(2)f f f -<<D.(2)(0)(2)f f f <<-9．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（） A ．3 B ．2 C ．52 D ．3210.某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（） A. 每场比赛的第一名得分a 为4 B.甲至少有一场比赛获得第二名 C.乙在四场比赛中没有获得过第二名 D.丙至少有一场比赛获得第三名二、填空题；共5小题，每小题5分，共25分 11．设i 为虚数单位，则11ii-+的虚部为． 12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为．13．数列}{n a 的前n 项和为S n ，且111,2,1,2,3,n n a a S n +===.则3=_______;a234+1_______.n a a a a +++⋅⋅⋅+=14. 椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且同时满足：①是等腰三角形； ②是钝角三角形； ③线段12F F 为的腰； ④椭圆上恰好有4个不同的点P . 则椭圆的离心率的取值范围是．15.已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,, .由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论：① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）；2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F P 12F F P ∆12F F P ∆12F F P ∆C C②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3；③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则23CD =+；④白色“水滴”图形的面积是1136π-.其中正确的有．三、解答题：共3小题，共35分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. （本小题满分11分）已知2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+.（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅰ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.17. （本小题满分12分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．18. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>经过两点2P ，(Q . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅰ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点F ），求AB EF ⋅的最大值.四、选做题（本小题满分10分）设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数．（Ⅰ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．人大附中2021届高三数学试卷答案一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{sin ,0}A x y x x π==<<，{cos 0}A y y x x π==<<，，则A B =（ D ）A.{}4πB.}C.{(}4πD. 以上答案都不对2．已知向量(,1)t =a ，(1,2)=b .若⊥a b ，则实数t 的值为（ A ）A ．2- B.2 C.12-D.123．下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是（ D ）A.12y x = B.1sin sin y x x=+C.2log y x =D.x x y e e -=-4. 已知抛物线212y x =-的焦点与双曲线2214x y a -=的一个焦点重合，则a =（ C ）C.5D.5. 已知3log 6a =，54log b =，若12log a m b >>，m *∈N ，则满足条件的m 可以为（ C ） A.18B.14C.12D.16．圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( C )A.1个B.2个C.3个D.4个7. “3a =”是“直线21:+60l ax a y +=和直线2:(2)320l a x ay a -++=平行”的（ D ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ A ）（A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<- 9．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ B ） A ．3 B ．2 C ．52 D ．3210.某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入了的最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（C ）A. 每场比赛的第一名得分a 为4B.甲至少有一场比赛获得第二名C.乙在四场比赛中没有获得过第二名D.丙至少有一场比赛获得第三名二、填空题；共5小题，每小题5分，共25分 11．设i 为虚数单位，则11ii-+的虚部为．-112．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为．（答案：21-5）13．数列}{n a 的前n 项和为S n ，且111,2,1,2,3,n n a a S n +===.则3=_______;a234+1_______.n a a a a +++⋅⋅⋅+= 63 1.n-；14. 椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且同时满足：①是等腰三角形；②是钝角三角形； ③线段12F F 为的腰； ④椭圆上恰好有4个不同的点P .则椭圆的离心率的取值范围是___________.1(,2-1)315.已知集合{}22()|(cos )(sin )40P x y x y θθθ=-+-=≤≤π,, .由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”. 给出下列结论： ① “水滴”图形与y 轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为（0，1）； ②在集合P 中任取一点M ，则M 到原点的距离的最大值为3； ③阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记为C ，D ，则23CD =+；④白色“水滴”图形的面积是1136π-.其中正确的有__________．②④三、解答题：共3小题，共35分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. （本小题满分11分）设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+.2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F P 12F F P ∆12F F P ∆12F F P ∆C C（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间；（Ⅰ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.解：（Ⅰ）由题意1cos(2)12()sin 222x f x x π++=- x x 2sin 21212sin 21+-= 212sin -=x . …………………………………………2分由 ππππk x k 223222+≤≤+, 得ππππk x k +≤≤+434(Z k ∈), 所以)(x f 的单调递增区间是]4,4[ππππk k ++-（Z k ∈）. ……………………4分（II ）11()sin 0,sin 222A fA A =-=∴= 由题意A 是锐角，所以 cos 2A =, …………………………………………6分由余弦定理：A bc c b a cos 2222-+= 2212b c bc=+≥可得32321+=-≤∴bc ，且当c b =时成立. (9)分2sin 4bc A +∴≤,ABC ∆∴面积最大值为432+.………………………11分 17. （本小题满分12分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，即22e()3e 3xx m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，所以0m =. ……………… 1分此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 2分当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以(h 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增.………… 4分所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =. ……………… 5分（Ⅰ）由2()e 30xf x m x =-+=，得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. ……………… 6分对函数()g x 求导，得223()exx x g x -++'=. ……………… 7分由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……………… 8分当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以g 在(2,1)--，上单调递减，在(1,3)-上单调递增. ………… 10分又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =<-，413(4)(1)e g g =>-，所以当4132e e m -<<或36e m =时，直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点. 即当4132e em -<<或36e m =时，函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点.…… 12分 18. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>经过两点2P ，(Q . （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅰ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点F ），求AB EF ⋅的最大值.18.解：（Ⅰ）因为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>过点(1,2P ，(Q ，所以22111,2a a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩得1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故椭圆C 的标准方程为2212x y +=．……………………………4分（Ⅰ）由题易知直线l 的斜率不为0，设l ：1x ty =+，由221,1,2x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210t y ty ++-=，显然0∆>.设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122221,22t y y y y t t --+==++.……5分又12AB y =-===………………………7分以FP为直径的圆的圆心坐标为(1,4，半径为4r =，故圆心到直线l的距离为d ==所以EF ===分所以AB EF ⋅=== 因为211≥t +，所以221(1)21≥t t +++，即221114(1)21≤t t ++++．所以1≤AB FE ⋅=．…………………………………11分当0t =时，直线与椭圆有交点，满足题意，且1AB FE ⋅=，所以AB FE ⋅的最大值为1．………………………………12分四、选做题（本小题满分10分）设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数．（Ⅰ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．（Ⅰ）证明：记()()()2h x f x g x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭．依题意有()e (cos sin )x g x x x =-，从而()2e sin x g'x x =-．当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0()g'x <，故()()()()(1)()022h'x f 'x g'x x g x g'x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．………………….2分因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭．…….……………………….4分（Ⅱ）证明：依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos e 1n x n x =．记2n n y x n =-π，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()()22e cos e cos 2e n n y x n n n n n f y y x n n π--π==-π=∈N ．因为()()20e 1n n f y f y -π==≤及（Ⅰ），所以0n y y ≥． (6)分由（I ）知当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()004n g y g y g π⎛⎫≤<= ⎪⎝⎭．又由（I ）知，()()02n n n f y g y y π⎛⎫+-≥⎪⎝⎭， ………………………………….8分故()()()()()022********s e e e e e in cos sin cos n n n n n n y n n f y y g y g y g y y y x x -π-π-π-ππ--=-≤-=--≤<．所以，20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．…………………………………………….10分。

北京市中国人民大学附属中学2020届高三数学4月考参考答案及评分标准

人大附中2019~2020 学年度高三4 月质量检测试题
数学参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共10 个小题，每小题 4 分，共40 分．）
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共30 分）
注：①13题其他合理答案也给分，如：从 2 月10 日开始两个省的新增人数都在下降；2 月10 日两个省的新增人数在一周内都达到了最大值；等等。

要求至少有一个数据信息能涉及到平均数或方差，并且给出的两个数据信息都是正确，才给满分5 分；若两个结论都没有涉及到平均数或方差，两个数据信息都正确也要扣2 分。

②14题第一个空 2 分，第二个空3 分
三、解答题（本大题共 6 小题，满分85 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明）
16.
17.。

北京海淀区中国人民大学附属中学2024学年高三数学试题下学期第二次质量检测试题

北京海淀区中国人民大学附属中学2024学年高三数学试题下学期第二次质量检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为-12，则实数a 的值为（） A ．-2B ．-3C ．2D ．32．复数z 满足()11i z i +=-，则z =（）A ．1i -B ．1i +C ．2222i - D ．2222i + 3．某校为提高新入聘教师的教学水平，实行“老带新”的师徒结对指导形式，要求每位老教师都有徒弟，每位新教师都有一位老教师指导，现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师，则不同的师徒结对方式共有（）种. A ．360B ．240C ．150D ．1204．己知四棱锥-S ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，120BAD ︒∠=，ΔSAD 是等边三角形，且23SA AB ==；若点P 在四棱锥-S ABCD 的外接球面上运动，记点P 到平面ABCD 的距离为d ，若平面SAD ⊥平面ABCD ，则d 的最大值为（） A ．131+ B ．132+ C ．151+ D ．152+5．已知函数，其中04?,?04b c ≤≤≤≤，记函数满足条件：(2)12{(2)4f f ≤-≤为事件A ，则事件A发生的概率为 A ．14B ．58C ．38D ．126．已知随机变量i ξ满足()()221kkk i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.若21211p p <<<，则（） A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ< B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ>C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ< D ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ>7．若21i iz =-+，则z 的虚部是A ．3B ．3-C ．3iD ．3i -8．已知集合{}{}2|1,|31x A x x B x ==<，则()RAB =（）A ．{|0}x x <B ．{|01}x xC ．{|10}x x -<D ．{|1}x x -9．函数()256f x x x =-+的定义域为（）A ．{2x x ≤或}3x ≥B ．{3x x ≤-或}2x ≥- C ．{}23x x ≤≤D ．{}32x x -≤≤-10．圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．12πB ．32π C ．2π D ．3π11．欧拉公式为cos sin ix e x i x =+,(i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e π表示的复数位于复平面中的（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数（即质数）的和”，如16511=+，30723=+．在不超过20的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20的概率是（） A ．114B ．112C ．328D ．以上都不对二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市朝阳区人大附中2024届高三数学试题下学期第四次月考试题

北京市朝阳区人大附中2024届高三数学试题下学期第四次月考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>2．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini aS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x >； ③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=. 其中正确的是： A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④ 3．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，离心率为2，1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P在双曲线C 上运动，若12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是（） A ．()27,8B ．()25,7C ．()25,8D ．()27,74．已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若|OA |=|OF |，则双曲线的离心率为（） A ．3 B ．5C ．2D ．3+15．设全集U=R ，集合()2log 41{|}A x x =-≤，()()35{|}0B x x x =-->，则()U B A =（）A ．[2]5，B ．[2]3，C ．[)24，D ．[)34，6．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（）A ．[32]-，B ．[42]-，C ．[0]2，D ．2[3]e -，7．已知平面向量,a b 满足||||a b =，且2)b b -⊥，则,a b 所夹的锐角为（）A ．6πB ．4π C ．3π D ．08．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（） A ．,5()4k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 9．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．72B ．64C ．48D ．3210．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．11．己知函数()()1,0,ln ,0,kx x f x x x ->⎧=⎨--<⎩若函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围是（）A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()0,∞+D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12．已知集合{}0,1,2,3A =，{|22}B x x =-≤≤，则AB 等于（）A ．{}012,,B ．{2,1,0,1,2}--C ．{}2,1,0,1,2,3--D ．{}12, 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市人大附中2024-2025高三10月月考数学试卷及答案

2024北京人大附中高三10月月考数学命题人：薛坤陈佳杰审题人：杨良庆吴文庆说明：本试卷21道题，共150分；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．已知集合{}{}2280,A x x x B x y y =−−<==∈Z 则A B =（） A ．()2,4− B ．[)0,4 C ．[]0,1 D ．{}0,12．下列函数中，在定义域上为奇函数，且在[)0,+∞上递减的是（）A ．()1f x x =B ．()cos f x x =C ．()13f x x =− D ．()x x f x e e −=− 3．已知0a b >>，以下四个数中最大的是（）A ．bBC ．2a b +D 4．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点ππsin ,cos 33P ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则角α的一个可能值为（）A ．π6−B ．π6C ．π3− D ．π3 5．已知函数()9lg 1f x x x =−+，则()0f x >的解集为（）A ．()0,10B ．()1,10C ．()()0,110,+∞D ．()(),110,−∞+∞6．已知定义域为R 的函数()f x 满足()2f x −是奇函数，()f x 是偶函数，则下列各数一定是()f x 零点的是（）A ．2019B ．2022C ．2025D ．20287．深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：00G OL L D =，其中，L 表示每一轮优化时使用的学习率，0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，0G 表示衰减速度．已知，某个指数衰减学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18．经过18轮迭代学习时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下所需要的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：lg 20.3010=）A ．71B ．72C ．73D ．748．已知,a b 均为正实数．则“11a b >”是“2256a b ab +>”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件9．音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”．它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次．如图所示，某一条葫芦曲线的方程为122sin ,02πx y x x ω⎛⎫⎡⎤=−≥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，其中[]x 表示不超过x 的最大整数．若该条曲线还满足()1,3ω∈，经过点33π,42M ⎛⎫ ⎪⎝⎭．则该条葫芦曲线与直线7π6x =交点的纵坐标为（）A ．12± B．2± C．2± D ．1±10．如图所示，直线y kx m =+与曲线()y f x =相切于()()()()1122,,,x f x x f x 两点，其中12x x <．若当()10,x x ∈时，()f x k '>，则函数()f x kx −的在()00,x 上的极大值点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）11．函数()f x =的定义域为______12．函数()121,102,01xx f x x x ⎧⎛⎫−≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪≤≤⎪⎩的值域为______．13．已知对任意实数x ，均有()πcos sin ,6x x ωω⎛⎫−=+∈ ⎪⎝⎭R ，写出一组满足条件的(),ωϕ=______． 14．已知函数()()ln 1f x x k =+−有两个零点,()a b a b <，则()21ab ++的取值范围为______．15．已知函数()12(0)f x x ax a =++−>定义域为R ，最小值记为()M a ，给出以下四个结论： ①()M a 的最小值为1；②()M a 的最大值为3；③()f x 在(),1−∞−上单调递减；④a 只有唯一值使得()y f x =的图象有一条垂直于x 轴的对称轴．其中所有正确结论的是：______．三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．请在答题纸上的相应位置作答．）16．（本小题13分）已知数列{}n a 的前n 项和为2*3,n S n n n =+∈N ．（1）求{}n a 的通项公式：（2）若等比数列{}n b 满足1223,b a b a ==，求{}n b 的前n 项和n T ．17．（本小题13分）已知函数()πsin cos cos sin 0,2f x x x ωωωϕ⎛⎫=−><⎪⎝⎭．（1）若()02f =−，求ϕ的值；（2）已知()f x 在π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，2π13f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，从以下三个条件中选一个作为已知，使得函数()f x 唯一确定，求,ωϕ的值． ①5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭是曲线()y f x =的一个对称中心； ②π132f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭； ③()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； 18．（本小题14分）已知函数()32243f x x x x a =+−+ （1）若0a =，求曲线()y f x =的斜率为4−的切线方程；（2）求函数的单调递增区间；（3）若函数在[]1,2−上恰有1个零点，直接写出a 的取值集合．19．（本小题15分）海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分）（1）根据以上数据，可以用函数()sin 0,||2y A x b ωϕωϕ⎛⎫=++><⎪⎝⎭来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式；（2）某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长．20．（本小题15分）已知函数()()2x f x e x x =+，记其在点()(),a f a 处的切线方程为：()a y g x =．定义关于x 的函数()()()a a F x f x g x =−．（1）求()1g x 的解析式；（2）当0a >时，判断函数()a F x 的单调性并说明理由；（3）若a 满足当x a ≠时，总有()()0a f x g x x a−>−成立，则称实数a 为函数()f x 的一个“Q 点”，求()f x 的所有Q 点．21．（本小题15分）已知集合(){}{}12,,,,0,1,1,2,,n n i X X x x x x i n Ω==⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，对于任意n X ∈Ω，操作一：选择X 中某个位置（某两个数之间或第一个数之前或最后一个数之后），插入连续k 个1连续k 个0，得到()1n k Y k +∈Ω≥；操作二：删去X 中连续k 个1或连续k 个0，得到()411n Y k n →∈Ω≤≤−；进行一次操作一或者操作二均称为一次“10月变换”，在第n 次()*n ∈N“10月变换”的结果上再进1次“10月变换”称为第1n +次“10月变换”．（1）若对()0,1,0X =进行两次“10月变换”，依次得到42,Y Z ∈Ω∈Ω．直接写出Y 和Z 的所有可能情况．（2）对于()1000,0,,0X =∈Ω和()1000,1,0,1,,0,1Y =⋅⋅⋅∈Ω至少要对X 进行多少次“10月变换”才能得到Y ？说明理由．（3）证明：对任意2,n X Y ∈Ω，总能对X 进行不超过1n +次“10月变换”得到Y ．。

北京市中国人民大学附属中学2023届高三统练(4)数学试题

一、单选题1. 在等腰直角中，在边上且满足：，若，则的值为A．B．C．D．2. 宝鸡市在创建“全国文明城市”活动中大力加强垃圾分类投放宣传．某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”四种不同的垃圾桶．一天，居民小陈提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有两袋垃圾投对的概率为（）A．B．C．D．3. 已知直线过点，与圆相交于B ，C使得，则满足条件的直线的条数为（）A ．0B ．1C ．2D ．34. 已知函数在上单调递减，且当时，，则关于的不等式的解集为A．B．C．D．5. 甲、乙两人独立地破译密码,已知甲、乙能破译的概率分别是,则两人都成功破译的概率是（）A．B．C．D．6. 圆心都在直线上的两圆相交于两点，，则（）A．B ．1C．D ．27. 已知函数是定义在上的偶函数，且，，则（）A．B ．0C ．1D ．20208. “阿基米德多面体”也称为半正多面体（semi -regularsolid ），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，它是由正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥得到.已知，若该半正多面体的表面积为，体积为，则为（）A．B．C ．2D．9. 在斜三角形中，（）A ．1B．C ．2D．10.用模型拟合一组数据组，其中，设，得变换后的线性回归方程为，则（）A．B．C ．70D ．3511. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A．B．C．D．12.若直线与平行，则实数的值为（）北京市中国人民大学附属中学2023届高三统练（4）数学试题二、多选题A．B．C．D．13. 若函数的最小值为，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．14. 已知平面向量，，满足，，若，共线，且，则（）A．B．C．D．15. 如图，△ABC中，，，P 为CD 上一点，且满足，若AC ＝3，AB ＝4，则的值为（）A．B．C．D．16. 下列椭圆中最扁的一个是A．B．C．D．17. 已知直线与圆，则下列说法中正确的是（）A ．直线l 与圆M 一定相交B ．若，则直线l 与圆M 相切C ．当时，直线l 与圆M 的相交弦最长D ．圆心M 到直线l的距离的最大值为18. 以下条件能够判断平面与平面平行的是（）A ．平面内有两条直线与平面平行B ．两不同平面，平行于同一个平面C ．平面内的任意一条直线与平面无公共点D ．夹在平面与平面间的两条平行线段相等19. “圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O 的半径为2，点P 是圆O 内的定点，且，弦AC 、BD 均过点P ，则下列说法正确的是（）A ．为定值B ．的取值范围是C ．当时，为定值D ．的最大值为1220.已知函数的定义域为，其导函数为，且，，则（）A．B．C ．在上是减函数D ．在上是增函数21. 已知函数为上的奇函数，且，当时，，则（）三、填空题四、解答题A．B．C．D．22. 已知，，且，则（）A．B．C．D．23. 下列说法其中正确的是（）A ．对于回归分析，相关系数r 的绝对值越小，说明拟合效果越好；B ．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c ，k 的值分别是和0.3；C．已知随机变量，若，则的值为；D ．通过回归直线及回归系数，可以精确反映变量的取值和变化趋势．24.将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象与图象重合，则的值可以为（）A ．-4B ．8C ．12D ．1625. 已知直线与曲线相切，则实数的值为_______．26. 已知正实数，满足，则的最大值是______.27. 已知向量，，若在方向上的投影为，则实数_____．28. 已知，，若，则______.29. 已知函数，则下列结论正确的是________．（写出所有正确结论的序号）①的最小正周期为；②是奇函数；③的值域为；④在上单调递增．30. 已知，，为，的夹角，且，则在上的投影向量的坐标为__________．31.设､是双曲线的左､右焦点，为坐标原点，若上存在点，使得，且，则此双曲线的离心率为___________.32. 对于定义域为D 的函数f (x )，若存在且，使得，则称函数f (x )具有性质M ，若函数，具有性质M ，则实数a 的最小值为__．33.已知（1）化简；（2）若，求的值；（3）若，求的值.五、解答题34. 化简：．35.已知函数.(1)若的图象经过点，，且点恰好是的图象中距离点最近的最高点，试求的解析式；(2)若，且在上单调，在上恰有两个零点，求的取值范围.36. 化简，并求函数的值域和最小正周期．37. 如图，平行六面体的底面是菱形，且．试用尽可能多的方法解决以下两问：(1)若，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值；(2)当的值为多少时，能使平面？38. （1）求值：；（2）已知，求的值.39. 已知函数.（1）在给定的坐标系中，作出函数在区间上的图象；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.40. 中国大学先修课程,是在高中开设的具有大学水平的课程,旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练,为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备，某高中每年招收学生1000人,开设大学先修课程已有两年,共有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人,学习先修课程的优等生有50人，这两年学习先修课程的学生都参加了考试,并且都参加了某高校的自主招生考试，结果如下表所示:分数人数20551057050参加自主招生获得通过的概率0.90.80.60.50.4(1)填写列联表,并画出列联表的等高条形图,并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系，根据列联表的独立性体验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系?优等生非优等生总计学习大学先修课程没有学习大学先修课程总计(2)已知今年有150名学生报名学习大学先修课程,以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人,求他获得某高校自主招生通过的概率;②某班有4名学生参加了大学先修课程的学习,设获得某高校自主招生通过的人数为,求的分布列,并求今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数.参考数据:0.150.100.050.0250.0100.0052.072 2.7063.841 5.024 6.6357.879参考公式: ，期中，41. 某市公安交管部门曾于2017年底公布了一组统计数据：一年来全市范围内共发生涉及电动自行车的交通事故（一般程序）共3558起，造成326人死亡（因颅脑损伤导致死亡占），死亡人数中有263人未佩戴头盔（占）.驾乘电动自行车必须佩戴头盔，既是守法的体现，也是对家庭和社会负责的表现.该市经过长期开展安全教育，取得了一定的效果.表一是该市某主干路口连续5年监控设备抓拍到的驾乘人员未佩戴头盔的统计数据：表一年度20172018201920202021年度序号x12345未佩戴头盔人数y125012001010920870(1)请利用表一数据求未佩戴头盔人数y与年度序号x之间的回归直线方程，并预测该路口2022年驾乘人员未佩戴头盔的人数；(2)交管部门从年在该路口发生涉及电动自行车的交通事故案例中随机抽取了50起作为样本制作出表二：未佩戴头盔佩戴头盔合计伤亡61016无伤亡43034合计104050请问能否有的把握认为驾乘电动自行车未佩戴头盔的行为与事故伤亡有关？附：参考公式及数据：；，其中.0.100.050.0250.0100.005k 2.706 3.841 5.024 6.6357.87942. 如图，在正方体的上底面内有一点，点为线段的中点.六、解答题（1）经过点在上底面画出一条线与垂直，并说明画出这条线的理由；（2）若点为线段靠近的三等分点，求与平面所成角的正切值.43. 如图，在三棱锥中，和均是边长为4的等边三角形.是棱上的点，，过的平面与直线垂直，且平面平面.(1)在图中画出，写出画法并说明理由；(2)若直线与平面所成角的大小为，求过及点的平面与平面所成的锐二面角的余弦值.44. 为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据(单位:).根据这100个样本数据，制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图(如图所示).（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（i ）求；（ii ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间的人数为，试求.附：，若~，，.45.如图，在三棱台中，平面，，.（1）求证：平面平面；（2）若E，F分别为，的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．46. 如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，平面平面.（1）求证：平面;（2）求三棱锥的体积.47. 如图，三棱锥中，，为等边三角形，为上的一个动点.(1)证明：平面平面；(2)当时，求二面角的余弦值.48. 如图，在圆柱中，四边形ABCD是其轴截面，EF为的直径，且，，.(1)求证：；(2)若直线AE与平面BEF所成角的正弦值为，求二面角平面角的余弦值.49. 已知函数．(1)当时，若恒成立，求的取值范围；(2)若在上有极值点，求证：．50.已知点A为圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点．(1)求点的轨迹的方程；(2)设轨迹E与轴分别交于两点（在的左侧），过的直线与轨迹交于两点，直线与直线的交于，证明：在定直线上．七、解答题51. 2022年2月4日至20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口成功举办.为了普及冬奥知识，某社区举行知识竞赛，规定：①每位参赛选手共进行3轮比赛，每轮比赛从A､B难度问题中限选1题作答，取其中最好的2轮成绩之和作为最终得分；②每轮比赛中答对A难度问题得10分，答对B难度问题得5分，答错则得0分.已知某选手在比赛中答对A难度问题的概率为，答对B难度问题的概率为，且每轮答题互不影响.(1)若该选手3轮比赛都选择A难度问题，求他最终得分为10分的概率；(2)若该选手3轮比赛中，前2轮选择B难度问题，第3轮选择A难度问题，记他的最终得分为X，求X的分布列和数学期望.52. 某学校最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏班主任把8个小球（只是颜色有不同）放入一个袋子里，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个，现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分为获胜，否则为负．并规定如下：①一个人摸球，另一人不摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋子中摸出1球，若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，摸球人的得分为两次摸出的球的记分之和；(1)若由甲摸球，如果甲先摸出了绿色球，求该局甲获胜的概率；(2)若由乙摸球，如果乙先摸出了红色球，求该局乙得分的分布列和数学期望；(3)有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由．53. 某水产品经销商销售某种鲜鱼，售价为每公斤元，成本为每公斤元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，未售出的全部降价处理完，平均每公斤损失元.根据以往的销售情况，按，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于公斤，而另一天日销售量低于公斤的概率；(2)在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值.（i）求日需求量的分布列；（ii）该经销商计划每日进货公斤或公斤，以每日利润的数学期望值为决策依据，他应该选择每日进货公斤还是公斤？54. 在商品营销中，通过广告可以激发和诱导消费，扩大产品的知名度，从而增加销量．某工厂生产的某种产品每销售一件可获得利润10元，该广准备通过广告投入来增加销量，对过去的广告投入以及年销量增加情况进行了统计，得到了广告投入（单位：百万元）与年销量增加（单位：万件）的数据如表所示，根据数据绘制广告投入与年销量增加的散点图如图所示．1234567611213466101196（1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用指数函数模型对两个变量的关系进行拟合，并求出关于的回归方程；（2）若该厂今年准备在广告中投入8百万元，则该厂今年能增加利润多少万元？参考数据：2535其中，．参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．55. 某超市采购了一批袋装的进口牛肉干进行销售，共1000袋，每袋成本为30元，销售价格为50元，经过科学测定，每袋牛肉干变质的概率为，且各袋牛肉干是否变质相互独立．依据消费者权益保护法的规定：超市出售变质食品的，消费者可以要求超市退一赔三．为了保护消费者权益，针对购买到变质牛肉干的消费者，超市除退货外，并对每袋牛肉干以销售价格的三倍现金赔付，且把变质牛肉干做废物处理，不再进行销售．（1）若销售完这批牛肉干后得到的利润为X ，且，求p 的取值范围；（2）已知，若超市聘请兼职员工来检查这批牛肉干是否变质，超市需要支付兼职员工工资5000元，这样检查到的变质牛肉干直接当废物处理，就不会流入到消费者手中．请以超市获取的利润为决策依据，判断超市是否需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质？56. 随着消费者对环保、低碳和健康生活的追求不断加强，新能源汽车的市场需求也在不断增加.新能源汽车主要有混合动力汽车、纯电动汽车、燃料电池汽车等类型.某汽车企业生产的型汽车，有混合动力和纯电动两种类型，总日产量达台，其中有台混合动力汽车，台纯电动汽车.(1)若从中随机抽检台汽车，用表示抽检混合动力汽车的台数，分别就有放回抽检与不放回抽检，求的分布列及数学期望；(2)若从每日生产的台型汽车中随机地抽取台样本，用表示样本中混合动力汽车台数，分别就有放回抽取和不放回抽取，用样本中的混合动力汽车台数的比例估计总体中混合动力汽车台数的比例，求误差不超过的概率，并比较在相同的误差限制下，采用哪种抽取估计的结果更可靠.二项分布概率值超几何分布概率值00.056310.0492910.187710.1825420.281570.2905130.250280.2613440.146000.1470150.058400.0539660.016220.0130770.003090.0020680.000390.0002090.000030.00001100.000000.00000总计1.000001.00000八、解答题参考数据：（概率值精确到）57.已知函数.(1)当时，求在处的切线与y 轴的交点坐标；(2)已知，若时，恒成立，求m 的取值范围.58. 设函数，为自然对数的底数.（I ）当时，函数在点处的切线为，证明：除切点外，函数的图像恒在切线的上方；（II）当时，证明：.59.已知数列的前项和为(1)试求数列的通项公式；(2)求.60. 已知函数，在定义域内有且只有一个零点，存在，使得不等式成立.若，是数列的前项和.（I ）求数列的通项公式；（II ）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数，令（为正整数），求数列的变号数；（Ⅲ）设（且），使不等式恒成立，求正整数的最大值.61. 如图，在四棱锥中，，，M 为棱AP的中点．(1)棱PB 上是否存在点N ，使平面PDC ?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(2)若平面平面ABCD ，，，求二面角的正弦值．62.设为等差数列的前项和，，.（1）求的通项公式；（2）求的最小值及对应的值.。

北京市人大附中2019届高考模拟预测卷四文科数学试题(解析版)

北京市人大附中2019届高考模拟预测卷四文科数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知全集U=R，集合A={x|x+1＜0}，B={x|x-4≤0}，则∁U（A∩B）=（）A. 或B. 或C. D.2.若a=log3，b=log39.1，c=20.8，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.3.设x，y∈R，则“|x|≤1且|y|≤1“是“x2+y2≤2“的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.设不等式组表示的平面区域为D．若直线ax-y=0上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.5.若直线x+y+a=0是圆x2+y2-2y=0的一条对称轴，则a的值为（）A. 1B.C. 2D.6.执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A. 3B. 4C. 5D. 67.某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；小赵说：“甲团队获得一等奖”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁8.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，BC=1，点P在侧面A1ABB1上．满足到直线AA1和CD的距离相等的点P（）A. 不存在B. 恰有1个C. 恰有2个D. 有无数个二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）=sin（ωx+φ）的图象，则ω=______，φ=______．10.已知点A（2，0），B（0，1），若点P（x，y）在线段AB上，则xy的最大值为______．11.某高中校高一、高二、高三三个年级人数分别为300，300，400通过分层抽样从中抽取40人进行问卷调查，高三抽取的人数是______．12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是______．13.已知函数，，＞，其中a∈R．如果函数f（x）恰有两个零点，那么a的取值范围是______．14.设A，B是R中两个子集，对于x∈R，定义：∈∈①若A⊆B．则对任意x∈R，m（1-n）=______；②若对任意x∈R，m+n=1，则A，B的关系为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知等差数列{a n}满足a1=1，a2+a4=10．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和．16.已知函数．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的定义域；（Ⅲ）求函数f（x）在，上的取值范围．17.（Ⅱ）甲从B市的销售点中随机挑选一个购买1吨小麦，乙从C市的销售点中随机挑选一个购买1吨小麦，求甲花费的费用比乙高的概率；（Ⅲ）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大．请你对A、B、C三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）．18.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD，E为棱AA1的中点，AB=2，AA1=3．（Ⅰ）求证：A1C∥平面BDE；（Ⅱ）求证：BD⊥A1C；（Ⅲ）求三棱锥A-BDE的体积．19.已知函数，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．20.已知点B（0，-2）和椭圆M：．直线l：y=kx+1与椭圆M交于不同两点P，Q．（Ⅰ）求椭圆M的离心率；（Ⅱ）若，求△PBQ的面积；（Ⅲ）设直线PB与椭圆M的另一个交点为C，当C为PB中点时，求k的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A={x|x＜-1}，B={x|x≤4}；∴A∩B={x|x＜-1}；∴∁U（A∩B）={x|x≥-1}．故选：C．可求出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可．考查描述法表示集合的概念，以及交集、补集的概念及运算．2.【答案】C【解析】解：∵a=log3＜log31=0，b=log39.1＞log39=2，1=20＜c=20.8＜21=2，∴a，b，c的大小关系为a＜c＜b．故选：C．利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.【答案】A【解析】解：“|x|≤1且|y|≤1“⇒x2+y2≤2，反之不成立，例如取x=0，y=．∴“|x|≤1且|y|≤1“是“x2+y2≤2“的充分不必要条件．故选：A．“|x|≤1且|y|≤1“⇒x2+y2≤2，反之不成立，例如取x=0，y=．即可判断出结论．本题考查了绝对值不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】B解：由不等式组作出可行域如图，∵直线ax-y=0过定点O（0，0），要使直线ax-y=0上存在区域D上的点，则直线ax-y=0的斜率a∈[k OB，k OA]，联立，得A（1，3），联立，得B（2，1），∴，．∴a，故选：B．由题意作出可行域，利用直线过定点，结合直线的斜率，求得满足直线ax-y=0上存在区域D上的点时的a的范围．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法及数学转化思想方法，是中档题．5.【答案】B【解析】解：圆x2+y2-2y=0化为x2+（y-1）2=1，圆心坐标为（0，1），∵直线x+y+a=0是圆x2+y2-2y=0的一条对称轴，∴0+1+a=0，即a=-1．故选：B．化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标，把圆心坐标代入直线方程求解．本题考查直线与圆的位置关系的应用，理解题意是关键，是基础题．6.【答案】D【解析】解：模拟程序的运行，可得执行循环体，k=2，S=10不满足条件S≤0，执行循环体，k=4，S=6不满足条件S≤0，执行循环体，k=6，S=0满足条件S≤0，退出循环，输出k的值为6．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S，k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.【答案】D【解析】解：（1）若甲获得一等奖，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符；（2）若乙获得一等奖，则只有小张的预测正确，与题意不符；（3）若丙获得一等奖，则四人的预测都错误，与题意不符；（4）若丁获得一等奖，则小王、小李的预测正确，小张、小赵的预测错误，符合题意．故选：D．分别假设获得一等奖的团队是甲、乙、丙、丁，分析四位同学的预测结果，能求出正确结果．本题考查学生的逻辑推理能力，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8.【答案】D【解析】解：以AB，AA1为轴建立平面直角坐标系，设P（x，y），设P到AB的距离为y，到AA1的距离为x，∴x=，即x2-y2=1（x≥1），∴P点轨迹为双曲线的右支的一部分，故选：D．设P到AB的距离为x，到AA1的距离为y，求出P到直线CD的距离，列方程得出P点轨迹，得出答案．本题考查了空间距离的计算，属于中档题．9.【答案】【解析】解：将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）=sin（x+）的图象，故答案为：，直接利用正弦函数的图象的伸缩变换求出结果．本题考查的知识要点：正弦型函数的图象的伸缩变换．10.【答案】【解析】解：A（2，0），B（0，1），可得AB的方程为+y=1，（0≤x≤2），由+y≥2，可得xy≤2•（+y）2=，当且仅当x=，y=时，取得最大值，故答案为：．求得线段AB的方程，由基本不等式，计算可得所求最大值．本题考查直线方程的求法和基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．11.【答案】16【解析】解：某高中校高一、高二、高三三个年级人数分别为300，300，400，通过分层抽样从中抽取40人进行问卷调查，高三抽取的人数是：40×=16．故答案为：16．利用分层抽样性质直接求解．本题考查高三中抽取的学生人数的求法，考查分层抽样等基础知识，考查推运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12.【答案】【解析】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以侧视图为底面的三棱锥，其直观图如图所示：在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中：该几何体为图中的四面体D1-A1BD，体积：V==；故答案为：．由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，计算出各个面的面积，可得答案．本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．13.【答案】，【解析】解：x≤1时，y=a+2x∈（a，2+a]，x＞1时，y=+a∈（，+∞），两个函数都是增函数，函数f（x）恰有两个零点，可得：，解得a∈[-2，）．故答案为：[-2，）．通过分段函数，利用指数函数以及一次函数，利用函数的值域，转化求解即可．本题考查函数与方程的应用，函数的单调性以及函数的值域，分段函数的应用，考查计算能力．14.【答案】0 A=∁R B【解析】解：①∵A⊆B．则x A时，m=0，m（1-n）=0．x∈A时，必有x∈B，∴m=n=1，m（1-n）=0．综上可得：m（1-n）=0．②对任意x∈R，m+n=1，则m，n的值一个为0，另一个为1，即x∈A时，必有x B，或x∈B时，必有x A，∴A，B的关系为A=∁R B．故答案为：0，A=∁R B．①由A⊆B．由x A时，m=0，可得m（1-n）．x∈A时，必有x∈B，可得m=n=1．②对任意x∈R，m+n=1，则m，n的值一个为0，另一个为1，可得：x∈A时，必有x B，或x∈B时，必有x A，即可得出A，B的关系．本题考查了集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】（共13分）解：（I）设{a n}的公差为d，因为a2+a4=2a3=10，所以a3=5．所以a3-a1=2d=5-1=4．解得d=2．所以a n=a1+（n-1）d=1+（n-1）×2=2n-1．……………………………..（7分）（Ⅱ）由（I）知，，所以{b n}的前n项和为==．……………………..（13分）【解析】（Ⅰ）利用等差数列，求出数列的公差，然后求解{a n}的通项公式；（Ⅱ）通过，利用等差数列以及等比数列求和公式求解数列{b n}的前n项和．本题考查等差数列以及等比数列的求和，考查计算能力．16.【答案】解：（Ⅰ）∵ ，∴ ；（Ⅱ）由cos x≠0，得，∈，∴函数的定义域是，∈；（Ⅲ）==sin x+cos x=，∵∈，，即＜＜，∴＜＜，则＜sin（x+）≤1，∴＜．∴函数f（x）在，上的取值范围为，．【解析】（Ⅰ）在函数解析式中直接取x=0求解；（Ⅱ）由分母不为0求解三角不等式得答案；（Ⅲ）把f（x）化简，再由x的范围求得相位的范围，则函数f（x）在上的取值范围可求．本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数的恒等变换应用，是中档题．17.【答案】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）B市一共有5个销售点，价格分别为：2500，2500，2500，2450，2460按照价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500B市5个销售点小麦价格的中位数为2500．…………………（3分）（Ⅱ）记事件“甲的费用比乙高”为AB市5个销售点按照价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500C市一共有4个销售点，价格分别为：2580，2470，2540，2400按照价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580甲乙两个购买小麦分别花费的可能费用有如下组合：（2450，2400），（2460，2400），（2500，2400），（2500，2400），（2500，2400），（2450，2470），（2460，2470），（2500，2470），（2500，2470），（2500，2470），（2450，2540），（2460，2540），（2500，2540），（2500，2540），（2500，2540），（2450，2580），（2460，2580），（2500，2580），（2500，2580），（2500，2580），一共有20组．其中满足甲的费用高于乙的有如下组合：（2450，2400），（2460，2400），（2500，2400），（2500，2400），（2500，2400），（2500，2470），（2500，2470），（2500，2470）一共有8组．所以，甲的费用比乙高的概率为：．………………（10分）（Ⅲ）三个城市按照价格差异性从大到小排列为：C，A，B．………………（13分）【解析】（Ⅰ）B市一共有5个销售点，价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500，由此能求出B市5个销售点小麦价格的中位数．（Ⅱ）记事件“甲的费用比乙高”为A，B市5个销售点按照价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500，C市一共有4个销售点，价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580，甲乙两个购买小麦分别花费的可能费用有20组．其中满足甲的费用高于乙的有8组．由此利用列举法能求出甲的费用比乙高的概率．（Ⅲ）三个城市按照价格差异性从大到小排列为：C，A，B．本题考查中位数、概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】（Ⅰ）证明：设AC∩BD=O，连接OE，在△ACA1中，∵O，E分别为AC，AA1的中点，∴OE∥A1C，∵A1C⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴A1C∥平面BDE；（Ⅱ）证明：∵侧棱AA1⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴AA1⊥BD，∵底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵A1C⊂平面ACC1A1，∴BD⊥A1C；（Ⅲ）解：∵侧棱AA1⊥底面ABCD于A，E为棱DD1的中点，且AA1=3，∴AE=，即三棱锥E-ABD的高为．由底面正方形的边长为2，得△ ．∴△ ．【解析】（Ⅰ）设AC∩BD=O，连接OE，由三角形中位线定理可得OE∥A1C，再由线面平行的判定可得A1C∥平面BDE；（Ⅱ）由侧棱AA1⊥底面ABCD，得AA1⊥BD，再由底面ABCD为正方形，得AC⊥BD，结合线面垂直的判定可得BD⊥平面ACC1A1，从而得到BD⊥A1C；（Ⅲ）由侧棱AA1⊥底面ABCD于A，E为棱DD1的中点，且AA1=3，可得三棱锥E-ABD的高为，求出三角形ABD的面积，再由等积法求三棱锥A-BDE 的体积．本题考查空间中直线与直线，直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，f′（x）=ae x（x+1）-x-1=（x+1）（ae x-1）．当a=1时，f′（0）=0，f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=0．………………………..（5分）（Ⅱ）f′（x）=ae x（x+1）-x-1=（x+1）（ae x-1）．（1）当a≤0时，ae x-1＜0，所以当x＞-1时，f′（x）＜0；当x＜-1时，f′（x）＞0．所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），单调递减区间为（-1，+∞）．（2）当a＞0时，令f′（x）=0，得x1=-1，x2=-ln a．①当-ln a=-1，即a=e时，f′（x）≥0，所以f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），无单调递减区间；②当-ln a＜-1，即a＞e时，当-ln a＜x＜-1时，f′（x）＜0；当x＜-ln a或x＞-1时，f′（x）＞0．所以f（x）的单调递减区间为（-ln a，-1），单调递增区间为（-∞，-ln a），（-1，+∞）；③当-ln a＞-1，即0＜a＜e时，当-1＜x＜-ln a时，f′（x）＜0；当x＜-1或x＞-ln a时，f′（x）＞0．所以f（x）的单调递减区间为（-1，-ln a），单调递增区间为（-∞，-1），（-ln a，∞）．………………………………（12分）【解析】（Ⅰ）当a=1时，求出函数f（x），利用导数的几何意义求出x=0处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；（II）当a＞0时，令f′（x）=0，得x1=-1，x2=-lna．分三种情况①-lna=-1，②当-lna＜-1，③当-lna＞-1，讨论f（x）的单调区间．本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数零点、解不等式等基础知识，考查了计算能力和分类讨论的思想．20.【答案】解：（Ⅰ）因为a2=4，b2=2，所以，，，所以离心率．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），若，则直线l的方程为，由，得3x2+4x-4=0，解得，，设A（0，1），则△ ．（Ⅲ）法一：设点C（x3，y3），因为P（x1，y1），B（0，-2），所以，又点P（x1，y1），C（x3，y3）都在椭圆上，所以，解得或，所以或．法二：设C（x3，y3），显然直线PB有斜率，设直线PB的方程为y=k1x-2，由，得，所以△ ＞，又，解得或，所以或，所以或．【解析】（Ⅰ）利用已知条件求出a，c，然后求解椭圆的离心率即可．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为，与椭圆联立，求出坐标，然后求解三角形的面积．（Ⅲ）法一：设点C（x3，y3），P（x1，y1），B（0，-2），结合椭圆方程求出P（x1，y1），然后求解斜率．法二：设C（x3，y3），显然直线PB有斜率，设直线PB的方程为y=k1x-2，与椭圆联立，利用韦达定理求出P的坐标，求解斜率即可．本题考查椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．。

2025届北京市人民大学附属中学高三第三次模拟考试数学试卷含解析

2025届北京市人民大学附属中学高三第三次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为2a 的正方形模型内均匀投点，落入阴影部分的概率为p ，则圆周率π≈（）A ．42p +B ．41p +C ．64p -D ．43p +2．设实数满足条件则的最大值为（） A ．1B ．2C ．3D ．43．在边长为1的等边三角形ABC 中，点E 是AC 中点，点F 是BE 中点，则AF AB ⋅=（） A ．54B ．34C ．58D ．384．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW ，达到114.6GW ，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（）A ．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B ．10年来全球新增装机容量连年攀升C ．10年来中国新增装机容量平均超过20GWD ．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过135．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是( ) A ．18种B ．36种C ．54种D ．72种6．已知函数()32,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则3=3f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．22B ．12C ．3log 2-D ．3log 27．设,,D E F 分别为ABC ∆的三边BC,CA,AB 的中点，则EB FC +=（） A ．12AD B ．AD C ．BCD ．12BC 8．若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞）9．已知函数log ()a y x c =+（a ，c 是常数，其中0a >且1a ≠）的大致图象如图所示，下列关于a ，c 的表述正确的是（）A ．1a >，1c >B ．1a >，01c <<C ．01a <<，1c >D ．01a <<，01c <<10．已知复数2(1)(1)i z a a =-+-（i 为虚数单位，1a >），则z 在复平面内对应的点所在的象限为（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知函数()sin 3cos f x a x x =-的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( ) A ．3π-B ．0C ．3π D ．23π 12．已知函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）在区间[],2m m 上的值域为[],2m m ，则a =（）A ．2B ．14C ．116或2 D ．14或4 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

{高中试卷}北京市人大附中高三数学中档题练习一[仅供参考]

20XX年高中测试
高
中
试
题
试
卷
科目：
年级：
考点：
监考老师：
日期：
北京市人大附中高三数学中档题练习一
1．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角 A 、B 、C 的对边，C ＝2A ，
3
cos 4A =，（1）求cos C , cos B 的值；
（2）若272BA BC ⋅=
，求边AC 的长。

2．某次演唱比赛，需要加试综合素质，每位参赛选手需加答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答。

（1）求某选手在3次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率；
（2）求某选手抽到体育类题目数ξ的分布列和数学期望E ξ.
3．如图，正三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的各棱长都等于2，D 在 AC 1上，F 为BB 1中点，且FD ⊥AC 1。

（1）试求
1AD
DC 的值；（2）求二面角F －AC 1－C 的大小；
（3）求点C 1到平面 AFC 的距离.
4．数列{a n }的前n 项和为S n ，且*11152,2()33n n a a a n n N +==++∈
（1）若一等差数列{b n }恰使数列{n n a b +}是以31
为公比的等比数列，求通项b n ；（2）求通项a n 及2lim
n
n S n →∞。

2023届北京北大附中数学高三上期末质量检测试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z 满足)1z z i -+=，复数z 的共轭复数是z ，则z z +=（）A ．1B ．0C ．1-D ．122i -+ 2．设复数z 满足|3|2z -=，z 在复平面内对应的点为(,)M a b ，则M 不可能为（）A ．B ．(3,2)C ．(5,0)D ．(4,1)3．已知函数()1f x +是偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3b f =，()0c f =，则a b c 、、的大小关系为（） A ．b a c <<B ．c b d <<C ．b c a <<D ．a b c <<4．设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为( )A ．23B ．34C D ．45．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()32222x y x y +=.给出下列四个结论：①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为18； ④四叶草面积小于4π. 其中，所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④6．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（） A ．43B ．916C ．34D ．1697．已知向量0,2a ，()23,b x =，且a 与b 的夹角为3π，则x =（）A ．-2B ．2C ．1D ．-18．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是 A ．2()(2)3-∞+∞，，B ．2(2)3， C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，， 9．定义在[]22-,上的函数()f x 与其导函数()f x '的图象如图所示，设O 为坐标原点，A 、B 、C 、D 四点的横坐标依次为12-、16-、1、43，则函数()xf x y e=的单调递减区间是（）A ．14,63⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫-⎪⎝⎭C ．11,26--⎛⎫⎪⎝⎭ D ．()1,2 10．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（） A ．-1B ．1C ．0D ．211．已知函数()2sin()(0,0)3f x x A ωωπ=->>，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=，则ω的最小值为 A ．16B ．23 C ．53D ．5612．数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n +1+a n +2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( ) A ．132B ．299C ．68D ．99二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

北京市人大附中高三数学基础练习题四(含答案)

北京市人大附中高三数学基础练习题四(含答案)某某选择题:北京市附中高三数学基础练习题四1.设A={—3,某+1,某,,B={某—5,A.—1B.0C.122某-1,某+1}，若AnB={—3}，故实数某等于(D.2函数32f某a某(a1)某48(b3）某b的图象关于原点中心对称，则A.43,4I3上为增函数B.在4二,4\3上为减函数C.上为增函数，在,4.3上为减函数D.4.3上为增函数，在农3,上为减函数已知函数丄2ee2某（其中e为大于的常数），则（）C.2D.已知为锐角，inCOS则y与某的关系是A.B.y3Ji某25C.4某05D.5.已知函数f某2（其中ab），且是方程f0的两根），则实数a,b,,的关系是A.B.D.a6.P,QR为正方体表面上的三点，VPQR在正方体三个两两垂直的面上的射影如下图, A.C.这个截面是一个三角形这个截面是六边形B.这个截面是四边形D.这个截面过正方体的一个顶点若某1，则-乩2有(2某2A.最小值1B.最大值1C.最小值D.最大值1若向量u=3,6,v=4,2,w=12,6,则下列结论中错误的是A.B.v//wC.w=u—3vuuuD.对任一向量AB，存在实数a,b使uurAB=au+bv9.已知F1,F2为双曲线左，右焦点,以双曲线右支上任意一点P为圆心，以|PF1|为半径1的圆与以F2为圆心，-FF2为半径的圆内切，则双曲线两条渐近线的夹角是B.-2D.-310.已知a,b,ab成等差数列,a,b,ab成等比数列，且0logmab1，则m的取值范围是（）A(1,8)B.(8,+8)C.(0,1)8D.(-,1)8二.填空题:11.命题A两曲线F某,y0和G某,y0相交于点P某0,y0.命题B曲线F某,yG某,y0（为常数）过点P某0,y0，则A是B的条件.12.二次函数f某的二次项系数为正，且对于任意实数某恒有f2某，若f12某22某某2，则某的取值范围是13.设某j,某2为方程4某24m某m20的两个实根，当m=2时，某12某2有最小值14.函数f某在R上为增函数，则y某1的一个单调区间是15.如果函数f某在R上为奇函数，在1,0上是增函数，且f某2f某,试比TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"12f1,f2,f1的大小关系是.\o"CurrentDocument"3316下列四个命题中：①ab2ab:②in2某4；③设某,y都是正整数,若in某丄91,则某y的最小值为12；④若某2,y2,则某y2，其中所有某y真命题的序号是练习题四答案选择题题号12345678910答案ABDBACACDB填空题:11、充分不必要条件；12、（—2,1）；13、m=—1,最小值1214、增区间［—1,+8），减区间(—8,—1］；15、谆25)f(1)；16④。

北京市人大附中高三数学中档题练习四

北京市人大附中高三数学中档题练习四
1．已知向量=-=+-+=)(),1,(cos ),1sin 2cos ,1cos 2(x f x x x x 定义.⋅ （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；
（Ⅱ）若x x 求时当,1
),2,0(-<⋅∈π的取值范围.
2．编号为1，2，3的三位学生任意入坐编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设学生编号与座位编号相同的个数为ξ.
（Ⅰ）求ξ=0时的概率；
（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列及数学期望。

3．如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是等腰直角三角形，∠A 1C 1B 1=90°，A 1C 1=1，AA 1=2，D 是线段A 1B 1的中点。

（Ⅰ）证明：C 1D ⊥平面A 1B 1BA ；
（Ⅱ）求点A 1到平面AB 1C 1的距离；
（Ⅲ）求二面角A 1—AB 1—C 1的大小.
4．已知{a n }、{b n }为两个数列，点M （1，2），A n （2，a n ），)2,1(n n n B n -为平面直角坐标系上的点.
（Ⅰ）对*,N n ∈若点M 、A n 、B n 在同一直线上，求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足,32212211-=++++++n a a a b a b a b a n
n n 求数列{b n }的前n 项和。

北京市人大附中近年届高考数学模拟预测卷四文(含解析)(最新整理)

北京市人大附中2019届高考模拟预测卷四文科数学试题一、选择题（本大题共8小题,共40。

0分)1.已知全集U=R，集合A={x|x+1＜0｝，B=｛x|x-4≤0｝，则∁U(A∩B)=( )A. 或B. 或C。

D.【答案】C【解析】【分析】可求出集合A,B，然后进行交集、补集的运算即可．【详解】解：A=｛x｜x＜—1｝，B=｛x|x≤4}；∴A∩B={x｜x＜-1｝；∴∁U(A∩B)={x|x≥—1}．故选：C．【点睛】考查描述法表示集合的概念,以及交集、补集的概念及运算．2。

若a=log3，b=log39.1，c=20。

8，则a，b，c的大小关系为（）A。

B. C. D。

【答案】C【解析】【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【详解】.故选：C．【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小,一方面要比较两个实数或式子形式的异同,底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围,来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用,有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．3。

设x，y∈R，则“|x|≤1且|y|≤1" 是“x2+y2≤2"的( )A。

充分不必要条件 B. 必要不充分条件C。

充要条件D。

既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分必要条件的定义分析判断得解。

【详解】解：|x｜≤1且｜y｜≤1,所以,反之不成立，例如取x=0，y=．∴“｜x｜≤1且｜y｜≤1” 是“x2+y2≤2”的充分不必要条件．故选:A．【点睛】本题考查了绝对值不等式的性质、充分必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.设不等式组表示的平面区域为D．若直线ax-y=0上存在区域D上的点，则实数a 的取值范围是（）A. B. C。

D。

【答案】B【解析】【分析】由题意作出可行域，利用直线过定点，结合直线的斜率,求得满足直线ax—y=0上存在区域D 上的点时的a的范围．【详解】解：由不等式组作出可行域如图，∵直线ax-y=0过定点O（0，0）,要使直线ax—y=0上存在区域D上的点，则直线ax—y=0的斜率a∈［k OB，k OA］，联立，得A（1,3）,联立，得B（2，1），∴．∴a，故选：B．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法及数学转化思想方法,是中档题．5.若直线是圆的一条对称轴，则的值为（ )A。

2020-2021北京市人大附中高三数学下期中模拟试卷(带答案)

2020-2021北京市人大附中高三数学下期中模拟试卷(带答案)一、选择题1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（）A ．2B ．-4C ．2或-4D ．42．若正实数x ，y 满足141x y +=，且234y x a a +>-恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．[]1,4-B ．()1,4-C ．[]4,1-D ．()4,1-3．已知x ，y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则14a b+的最小值为（） A ．3B ．32C ．2D ．524．在R 上定义运算：A()1B A B =-，若不等式()x a -()1x a +<对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<<B ．02a <<C ．1322a -<< D ．3122a -<< 5．设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则1210b b b a a a ++⋯+=（） A ．1033B ．1034C ．2057D ．20586．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则10N =（）A ．1020B ．1010C ．510D ．5057．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（） A ．12B ．10C ．2D ．628．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（）A ．-3B ．1C ．-1D ．39．已知数列{}n a 的通项公式为()*21log N 2n n a n n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值3110．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（） A ．2018B ．2019C ．4036D ．403711．在等差数列{}n a 中，如果123440,60a a a a +=+=，那么78a a +=（） A ．95B ．100C ．135D ．8012．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 二、填空题13．已知lg lg 2x y +=，则11x y+的最小值是______.14．设函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 .15．已知函数()2xf x =，等差数列{}n a 的公差为2，若()2468104f a a a a a ++++=，则()()()()212310log f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅=⎡⎤⎣⎦L ___________.16．若关于 x 的不等式 ()2221x ax -< 的解集中的整数恰有 3 个，则实数 a 的取值范围是________________． 17．已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．18．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为__________．19．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 20．如图所示，在平面四边形ABCD 中，2AB =，3BC =，AB AD ⊥，AC CD ⊥，3AD AC =，则AC =__________．三、解答题21．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且2cos 2a C c b +=. （1）求角A 的大小；（2）若1a =，求ABC ∆面积的最大值。

北京市人大附中高三数学中档题练习二

北京市人大附中高三数学中档题练习二
1．某校一个研究性学习团队从网上查得，某种植物种子在一定条件下发芽成功的概率为2
1于是该学习团队分两个小组进行验证性实验. （Ⅰ）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；
（Ⅱ）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则就继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但实验的次数不超过5次。

求这一小组所做的种子发芽实验次数ξ的分布列和数学期望.
2．在三棱锥M —ABC 中，CM ⊥平面ABC ，MA=MB ，NA=NB=NC.
（Ⅰ）求证：AM ⊥BC ；
（Ⅱ）若∠AMB=30°，求二面角M —AB —C 的余弦值.
3．已知向量]2,2[),1,1(),2sin ,2(cos ),23sin ,23(cos ππ-∈-=-==x x x x x 其中（Ⅰ）求证：)()(-⊥+；
（Ⅱ）设函数3|)(|3|(|)(22-+-+=x f )，求)(x f 的最大值和最小值。

4．已知)(323
2)(23R a x ax x x f ∈--=. （Ⅰ）若)(x f 在区间（－1，1）上为减函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）试讨论y=)(x f 在（－1，1）内的极值点的个数.。