基于单片机的电动自行车调速系统设计

基于单片机的电动自行车调速系统设计
摘要：近年来，随着人们生活的改善，摩托车、燃油助力车得到迅速发展，其排放的尾气已造成城市空气严重污染，一些城市相继制定法规限制摩托车、燃油助力车的使用来保护环境。

发展短距离的绿色交通工具替代摩托车、燃油助力车成为一些国家的经济和社会课题。

电动自行车具有“零排放”，是一种比较好的短距离绿色交通工具。

由于电池问题，限制了电动自行车的行驶距离，但可以通过提高系统的效率来改善其性能。

本课题研制的电动自行车用无位置传感器直流无刷永磁电动机来驱动，用PIC16C74单片机作为主控芯片，它不仅克服了有刷直流电机的噪音、换向火花等缺点，而且避免了有位置传感器直流无刷电机因位置传感器带来的不足；同时，它降低了制造和使用过程中的成本，提高了使用和维护的方便性，具有效率高、环保、经济和方便的特点以及具有良好运行性能和巨大的市场潜力。

关键词：电动自行车；位置传感器；直流无刷电动机；单片机控制
Based on the SCM system design
speed electric bicycles
Abstract:In the recent years，the motorbike has rapidly developed with the improving of living Chinese People. Because of air pollution of internal combustion engine the local governments of different cities in China come on a lot of rules of law to restrict the use of combustion engine and then to promote the environment protection. To replace the motorbike with a short green transportation has become some nations’ economic and social issue.
This paper deals with an electric motor driven bike (EB) and its control stratagem. Without fail，EB 15 very helpful to environment protection. Nevertheless EB has its disadvantages，especially the too weak continuous run distance. Except the battery problem，the efficiency of the whole system 15 also one of the most important problems to be solved. A permanent brush-less and sensor-less DC motor and its control set are specially designed for this developed EB.A study on control stratagem and electronic resorts are given in this paper.A microchip PIC16C74 used as CPU and corresponding software developed by author 15 introduced in this control system. The experiments of the prototype show that the performance，including system efficiency，noise，spark，maintenance-free and its cost are obviously improved. It may be expected，that this EB driving system has really huge market potential.
Key Words: Motor Bike；Position Sensor；BLDC Motor；Microcomputer controlled
第1章概述
1.1 电动自行车的意义及发展状况
1.1.1 电动自行车的意义
人类在进入工业化社会之后，大量使用地球上石油、煤等化石能源，使得空气中的二氧化碳和二氧化硫急剧增加，造成了酸雨蔓延和温室效应，特别是二十世纪后期，酸雨大面积扩展，几乎蔓延至所有国家，“厄尔尼诺现象”、“拉尼拉现象”频繁出现。

酸雨造成农作物减产，大片森林死亡；温室效应给工农业生产和人民生活造成的损失，无法估量。

目前，发展中国家的空气还在进一步恶化，我国作为世界上最大的发展中国家，环境问题已经引起党和国家以及人民群众重视。

研究表明，造成大气污染的主要气体有非甲烷有机物、氧化氮和一氧化碳等气体。

具统计，在美国城区的大气中，43%的非甲烷有机物、57%氧化氮和82%一氧化碳都是由燃油机动车废气排放产生的，而全世界20%的一氧化碳排放量来源于燃油机动车的废气。

由此可见，燃油机动车的废气己成为城市大气污染的一个主要来源。

燃油机动车废气中的氮氧化物在太阳紫外线的照射下，容易形成高毒性的光化学烟雾，再加上机动车的噪音，严重污染着我们赖以生存的自然环境，直接危害着我们的身体健康。

因此，在大城市，燃油机动车的废气和噪音已成为倍受关注的公害之一。

随着我国改革开放的深入，人民的生活水平日益提高，在家用轿车还没有普及的情况下，摩托车和燃油助动车得以广泛使用，这给我国城市的环境问题带来很大压力，例如在上海市，1995年中心城区内机动车的一氧化碳、非甲烷有机物和氧化氮排污负荷分别占该区域内相应的排放总量的76%、93%和44%；一些城市如上海、广州、合肥、济南等，己相继出台政策法规，停止或限量核发摩托车和燃油助动车的牌照。

因此，研制生产出一种无污染、低噪音的交通工具来替代摩托车和燃油助动车，已是时代的需要。

电动自行车正是在这样的呼唤下，逐步走进人们的生活中。

电动自行车与摩托车、燃油助动车相比较，它具有突出的优点：
（1）无污染
电动自行车是以蓄电池发出的电能作为驱动能源，以电动机作为动力，运行过程中没有废气排放；因此和摩托车、燃油助动车相比，没有污染。

（2）低噪音、振动小
电动自行车是由电动机驱动的，电动机在运行中产生的噪音比较小，运行比较平稳。

而摩托车、燃油助动车是由燃油发动机驱动，其汽缸产生的噪音比较大，由于受到体积限制，其发电机的缸数较少，运行时不够平稳，振动较大。

（3）最高时速20公里，行驶安全
摩托车、燃油助动车的速度快，在机动车道上行驶，事故率较高；而电动自行车，国家强制性规定（国标GB 17761-1999）其速度不能超过20km/h，并且电动自行车一般不能在机动车道上行驶，因此相比之下安全很多。

（4）效率高
摩托车、燃油助动车的效率一般只有30%左右，而电动自行车的效率可以达到70%以上。

（5）结构简单、轻便，易维护、维修
电动自行车一般是有蓄电池、控制板、电机和车身组成；蓄电池用的是免维护的，电机的故障率较低，基本上不要维护，控制板由于现代的电力电子技术比较成熟，损坏率也比较低，另外电动自行车没有机械传动结构，体积小、重量轻，因此相比摩托车、燃油助动车来说，其日常的维护、维修量少得多。

正是由于以上原因，电动自行车逐渐受到人们的欢迎。

1.1.2 电动自行车的发展状况
为了解决燃油车对环境造成的严重污染和缓解日益突出的能源危机，许多国家都在寻找替代燃油机车的交通工具。

相继开发了以天然气、甲醇为燃料的交通工具，相比之下，电动车以零污染、高效率、低噪音的特点被认为是真正的“绿色”交通工具，而电动汽车受到机电、电池的限制，批量进入市场还有一定的难度，电动自行车却得到迅速的发展。

1、自从1993年雅马哈公司的PAS（能量辅助系统）进入市场以来，电动自行车在日本己经成为短距离用交通工具的主流。

日本本土1996年电动自行车的销售量在20万辆以上，1998年6、7两个月日本共生产电动自行车29432辆，据报道日本电动自行车的需求量在750万辆，而且每年以5%~10%速度递增，其中还有一半需进口。

相继之下，不少公司如本田、三菱、五十铃等50多家公司参与电动自行车、电动助力车的研究开发，共生产出48个品种规格。

日本的电动自行车的驱动系统多为永磁无刷电机，工作电压为24V或36V，功率在180W~250W之间；蓄电池一般以镍铬或镍氢为主，容量在5~ 10Ah之间，充电一次行驶里程约25~40Km；车速低于24Km/h。

美国的电动自行车年需求量在1500万辆左右，每年以5%~10%速度递增大部分靠进口；美国克莱斯勒汽车公司的一款电动自行车年销售量在5万量以上，而尤尼克公司
于1998年6月推出的一款电动自行车，年销售目标在1000万辆。

美国ZAP（Zero Air Pollution）公司生产的电动自行车是采用摩擦轮驱动方式，其主要特点是安装方便，可以直接改装普通自行车，下坡或进行锻炼时，驱动电机可作为发电机向蓄电池充电，从而延长行驶里程和蓄电池的使用寿命，节约能源。

欧盟许多国家对电动自行车的年需求在量1000万辆左右。

德国的MSG公司、DIAMANT公司、SAGHS公司、英国的ASGHBAGH公司、奥地利的VEIECKRO公司、SCHACHANER公司生产的电动自行车己投入市场，销路很好，致使德国奔驰、法国标致等大公司也把目标投入到电动自行车这一产品上来。

2、我国电动自行车在70~80年代经历了几次大起大落之后，到90年代初又再度形成热点，顺应了20世纪世界环保的潮流。

从1996年的“上海国际自行车展览会”到1997年在浙江上虞召开的“全国电动自行车信息交流会”的短短的一年里，国内开发厂家从20多家一跃发展到100多家。

许多地方如上海、天津、江苏、四川等省市都将电动自行车产业列入“九五”重点发展品种。

电动自行车充分运用当今新技术、新材料，尤其采用集成电路、电子元器件，提高了电动自行车控制器的质量，使其可靠性、安全性、灵活性得到了提高。

中国是一个自行车王国，据报道全国自行车拥有量为4.5亿。

随着我国城市化进程加快，用电动自行车替代摩托车、燃油助动车和自行车，一方面可以缓解城市中大气污染问题，另一方面也可以提高人们的生活节奏，因此电动自行车的社会需求市场巨大，据专家预测，本世纪初，我国电动自行车年需求量将达到100万辆以上。

目前，我国市场上国产电动自行车的品种规格较多，驱动多数用有刷或无刷的轮式直流电机，工作电压为24V、36V或48V，功率在150W~400W之间；蓄电池一般用的是免维护铅酸蓄电池，容量为12Ah，充电时间在3~8小时左右，充电一次行驶里程约50Km左右；车速低于20Km/h，爬坡能力在4度上下；车型有普通型和豪华型，车重约35Kg，载重量约75Kg，百公里耗电量1Kwh左右。

1.2 本课题的主要任务
由于电动自行车的诸多优点，市场需求量大，因此电动自行车在未来的发展潜力比较大；但是目前市场上的电动自行车还或多或少存在一些不够完善的地方。

使用有刷直流电动机容易解决电压的换向问题，但是噪音大，而且碳刷容易磨损、损坏，增大维护、维修难度、增加使用成本；使用位置传感器，容易解决直流无刷电机换向时，转子的位置检测，但是增大了电机的设计、制造、安装的难度和电机的体积，也增加成本。

因此，本课题主要任务是利用现代电力电子技术来解决无位置传感器无刷直流电机
换向问题，从而解决电动自行车控制、驱动中不完善的地方，同时设计出方便用户使用的电动自行车运行参数显示和防盗系统。

本论文主要内容包括：
l、根据直流无刷电机的原理，利用美国Microchip公司生产的芯片PIC16C74A做为主控芯片，检测直流无刷电机运转时产生的反电势来确定转子的位置，从而确定换向点和换向时刻。

2、利用液晶技术，设计出电动自行车的运行过程中的参数显示系统。

3、实验、计算、分析结果得出结论。

第2章电动自行车的研究
2.1 直流无刷电机原理简介
2.1.1 直流无刷电机的发展
直流无刷电机是在直流有刷电机的基础上发展起来的。

由于直流有刷电机的换向器和电刷在电机高速运行时容易产生火花，引起火灾、爆炸等事故，因此许多环境限制了直流有刷电机的应用。

随着科学技术的发展，开关型晶体管的研制成功，为直流电机的发展带来生机。

经过不断的研究和实践，人们终于找到了用位置传感器和电子换向线路来替代直流有刷电机的机械换向装置。

六十年代初出现了用霍尔元件传感器的直流无刷电机，七十年代初出现了比霍尔元件传感器灵敏度高许多倍的磁敏二极管换流的直流无刷电机。

随着人们的不断努力，又发现了不用位置传感器，而依靠电机绕组在运转时产生的反电势来获得位置信号实现换向的直流无刷电机。

通常把这种利用检测绕组反电势获得位置信号的直流无刷电机称为反电势法无刷直流电机或直流无刷无位置传感器电机。

由于直流无刷电机具有没有换向火花，抗干扰性强，运行可靠，维护简便，使用寿命长等优点，使其得以广泛应用于家庭、办公、工业、军事、航空航天等领域。

2.1.2 直流无刷电机的运行原理
一般的永磁式直流电动机的定子由永久磁钢组成，其主要作用是在电动机气隙中建立磁场，其电枢绕组通电后产生电枢反应磁场，由电力电子逆变器供给电枢绕组的电流并不是正弦波，而是120°的方波，因而三相合成磁动势不是恒速旋转的，而是跳跃式的步进磁动势，它和恒速旋转的转子磁动势产生献转矩除了平均转矩之外，还有脉动分量。

由于电力电子逆变器的换向作用，使得这两个磁场的方向在电动机运动的过程中始终保持一定的角度，从而产生最大平均转矩而驱动电动机不停地运转，与直流有刷电动机不同，直流无刷电动机的电枢转一圈，定子绕组只换相6次，每个极下换相三次，相当于只有三个换向片的直流电动机。

图2-1 逆变器主电路
电子换向逆变器主电路如图2-1所示，AA‵、BB‵、CC‵代表直流无刷电动机的三相定子绕组，采用Y型连结，逆变器为两两通电方式，120°导电型。

首先假设转子处于图2-2(a)的位置，若此时使V3、V4导通，则电流从B端流入，A端流出，定子磁动势为Fa，如图-2(a)示，在Fa的作用下，转子将顺时针旋转，转到图2-2(b)的位置时，
图2-2 无刷直流电动机的运行原理图
如果使V4、V5导通，则电流由C端流入，A端流出，定子磁动势为Fb，在Fb的作用
下，转子将继续顺时针旋转，依次类推，如果每隔60°电角度顺序使V5和V6、V1和V6、V1和V2、V3和V2两两导通，即可使定子磁动势分别如图2-2(c)、图2-2(d)、图2-2(e)、图2-2(f)所示，从而形成旋转磁动势，在这个磁动势的作用下，转子也会随之旋转，如果使开关管反复按上述规律导通，即可使转子持续旋转下去，且定子磁动势总是超前于转子磁极轴线角度60°~120°之间。

其各相绕组导通示意图如图2-3所示。

图2-3 各相绕组导通示意图
由上述的分析可见，要使直流无刷电动机正确的换相运行，必须知道图2-2所示的六个转子关键位置，六个转子关键位置即对应着直流无刷电动机的反电动势的过零点后的30°（电角度）处。

如果是有位置传感器直流无刷电动机，则可以通过传感器来直接获得转子的六个转子关键位置的信息，如果是无位置传感器无刷直流电动机，则需要通过直流无刷电动机的三相定子绕组的反电势直接或间接的获得转子的位置信息。

2.2 电动自行车的驱动电机原理
电动自行车的发展离不开其所采用的核心驱动元件——电机的发展，电机是电动自行车发展的主要标志。

第一代电动自行车使用的的是有刷高速绕组式电机，电机的转速达3000转左右，通过齿轮减速，其噪音大，效率低，故障率高；第二代电动自行车使用的的是有刷低速电机或有位置传感器的无刷电机，其噪音、故障率有所下降，效率有所提高，但维护、安装难度还是比较大；第三代电动自行车使用的的是无刷无位置传感器的稀土永磁电机，其噪音小，效率高，维护、安装都比较方便。

目前，国内市场上电动自行车使用的电机有三种：有刷电机、有位置传感器无刷电机和无刷无位置传感器电机。

2.2.1 有位置传感器的直流无刷电机原理
有位置传感器的直流无刷电机主要由电动机的本体、位置传感器和电子开关线路三个部分组成，其原理框图如图2-4所示。

有位置传感器的直流无刷电机的电流换向主要是通过位置传感器测得转子位置，确定功率开关器件的导通或关闭，其结构原理图如图2-5所示，位置传感器是由六只光电器件Pl、P1‵、P2、P2‵、P3、P3‵组成，位置各
图2-4 有位置传感器的直流无刷电机原理框图
相差60°，均匀分布在电机的一端，借助安装在电机轴上的旋转遮光板（或称截光器）的作用，使得从光源依次照射在各个光电器上，并依照某光电器是否被照射到光线来判断转子的位置。

当某光电器被光照射到时，它所连接的功率开关器件就导通，当某光电器没有被光照射到它所连接时的功率开关器件就关闭。

图2-5中旋转遮光板所在位置，光电器P2、Pl‵被光照射到，它所连接的V3、V4导通，其所对应的转子位置和绕组产生的磁动势Fa如图2-2(a)所示；当电机按顺时针方向运转，光电器依次是pl‵、P3，P3、P2‵，P2‵、Pl，P1、P3、，P3‵、P2被光照射到使得它们所对应连接的功率开关器件V4、V5，V5、V6，V6、V1，V1、V2 ，V2、V3依次导通，其所对应的转子位置和绕组产生的磁动势Fa分别如图2-2(b)、2-2(c)、2-2(d)、2-2(e)、2-2(f)所示，从而实现直流无刷电机的换向。

图2-5 有位置传感器无刷电机的结构原理图
2.2.2 无位置传感器的直流无刷电机原理
有位置传感器的直流无刷电机的换向主要靠位置传感器检测转子的位置，确定功率开关器件的导通顺序来实现的，由于安装位置传感器增大了电机的体积，同时安装位置传感器的位置精度要求比较高，带来安装的难度；因此人们在研究过程中发现，利用电子线路替代位置传感器检测电机在运行过程中产生的反电势来确定电机转子的位置，实现换向。

从而出现了无位置传感器的直流无刷电机，其原理框图如图2-6所示。

由图2-2无刷直流电动机的运行原理图可知，当电机在运行过程中，总有一相绕组没有导通，此时可以在该相绕组的端口检测到该绕组产生的反电势，该反电势在60°的电角度是连续的，由于电难度极大，因此必须找到该反电势与转子位置的关系，才能确定转子的位置。

从图2-7中可以看出，反电势在60°的电角度过程中总有一次经过坐标轴（过零点），而此点的电角度和下一次换向点的电角度正好相差30°，故可以通过检测反电势过零点，再延时30°换向。

以图2-2为例，假设转子在图2-2 (a)所示的位置为0°电角度，V3, V4导通，A-A 、相、B-B ‵相有外加电压，C-C ‵相的产生的反电势如图2-7；当转子旋转30°时，和磁动势Fa 相垂直，C-C ‵相产生的反电势正好过零点；当转子再旋转30°时（即检测到反电势过零点再延时30°），到图2-2 (b)所示的位置，此时使V4, V5导通，V3关闭，让A-A ‵相、C-C 相有外加电压，B-B ‵相没有外加电压，可以检测B-B ‵相产生的反电势过过零点再延时30°，让V5, V6导通，V4关闭，依次类推，可以实现无位置传感器直流无刷电机的换向。

图2-6 无位置传感器的直流无刷电机原理框图 当然也可以通过检测反电势经过电角度0°, 60°, 120°， 180°, 240°， 300°，360°这些特殊点处直接实现换向，这将在下一章进行叙述，这里将不再赘述。

图2-7 电机运行时各相产生的反电势示意图
2. 3 电动自行车的转矩
电动自行车作为交通工具，在行驶过程中经常会遇到上坡或下坡，衡量电动自行车性能好坏时，其中有一项指标就是爬坡性能，也就是电动自行车的转矩性能，而电动自行车的驱动力主要来自于电机，因此电动自行车电机的电磁转矩大小直接影响电动自行车爬坡性能的好坏。

2. 3. 1 直流无刷电机的平均电磁转矩
当直流无刷电机有负载时，通过绕组中的电流与气隙中的合成磁场相互作用而产生电磁转矩。

为了简化分析，以三相三状态为例，假定：(1)气隙磁密成正弦分布；(2)电枢反应的影响不计；3)控制电路开关状态时，功率管的导通压降△Ut 不变；(4)绕组电感不计；(5)绕组为60°相带、均匀、整距的三相对称绕组。

另外，为了推导的方便，对下面需要用到的符号进行定义：
Φδ—每极最大磁通； Φa 、Φb 、Φc —表示A, B, C 三相的磁通；ω—转子的电角速度，ω=60
2pn π；p —极对数；n —转速，r ∕min ； m E —相电势的最大值，δπΦ=W fk E w m 2，60
pn f =；w k —基波绕组系数；W —每相串联匝数；α—绕组的并联支路对数；τ—极距；αf —计算极弧系数，气隙磁密正弦分布时，取 π
α21=；δB —气隙最大磁密；x B —导体所在处的磁密，)cos(t x B B x ωδ-= ； I —导体有效长度；U —电源电压；R a ，R b ，R c —分别为A, B, C 相电阻；△Ut —功率管的导通压降；i a 、i n 、i c —分别表示A, B, C 三相的
电流；i —导体中的电流，α
m i i =；n D —电枢的内径。

那么各相磁通的表达式为：
t a ωδs i n
Φ=Φ )3
2s i n (πωδ-Φ=Φt b （2-1） )3
2s i n (πωδ+Φ=Φt c 而气隙磁密成正弦分布，电机绕组为整距的三相对称绕组，则：
δδτπ
IB 2=Φ （2-2） 电机各相电势的表达式为：
t E e m a ωc o s
= ⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=πω32cos t E e m b （2-3） ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=πω32cos t E e m c 电机各相电流的表达式为：
a
t a a R u e U i ∆--=
b
t b b R u e U i ∆--= （2-4） c t c c R u e U i ∆--= 根据li B f n x =可得在A 相电枢表面任一点X 处的导体受到的电磁力为： dx R u e U p l t x B dx p
li B df a
t a n n ⋅∆--⋅-==τωωτα
ω3)
cos(32* （2-5） 则对应的电磁转矩为：
2
m D df dM ⋅= （2-6） 而电磁转矩M 为：
⎰-=6
6
2ππdM p M （2-7）
综合式（2-1）—（2-7）可得平均电磁转矩av M 为：
[]m t a
i av E u U R p W t d M M 395.0502.023-∆-⋅==⎰）（αφωπδ （2-8） 由式（2-8）可以看出，对于一个直流无刷电机来说，它的平均电磁转矩与电压、
电机内部的结构、材料等成一定的关系。

2.3.2 电动自行车的转矩
在讨论电动自行车在行驶时的转矩，为了方便起见，假定：(1)电动自行车自重35公斤，载重75公斤，前后车轮直径均为0.6lM ；(2)电动自行车的效率为70%，电机功率为150W ；(3)路面平坦、无风、最大速度为20公里/小时。

当电动自行车在水平路面上行驶时，由公式V F P *=可得电动自行车的推动力9.18==V
P F 牛顿，那么电动自行车的转矩NM R F M 76.5=⋅=，也就是电机的输出电磁转矩应为5.76 NM 。

当电动自行车在上坡路（坡面角为α）面上行驶时，电动自行车的推动力=水平路面上行驶时的推动力+载重和车重沿坡面的分量，即：
9.18sin 1087sin 21+⋅=+⋅+=ααF g M M F ）（ 而9
.18sin 1078105+⋅==αF P V ， 当ɑ=1°时，h Km S M V /02.10/784.2==；
当ɑ=2°时，h Km V /69.6=；
当ɑ=3°时，h Km V /02.5=；
当ɑ=3.44°时，h Km V /52.4=（目前城市道路的坡度一般不超过3.44°）。

由此可以看出，随着路面坡度的增加，电动自行车在输出功率不变的情况下，其最大速度在迅速减小，这给用户的使用带来不便；为了解决这个问题，一方面，电动自行车在上坡时，对其施加外力（如用脚踩电动自行车的脚蹬）来增大转矩，提高速度；另一方面，在选用电动自行车的驱动电机时，不仅要考虑到电机的功率，而且要考虑电机的电磁转矩，使用大功率的或输出转矩大的电机，也可以解决电动自行车上坡时遇到的问题，但电动自行车的成本也提高了。

第3章 直流无刷无位置传感器电动自行车的控制设计
3.1 无位置传感器直流无刷电机的数学模型
直流无刷电机本体的三相绕组通常是二线制的，要检测不导通相绕组产生的反电势，必须要找一个基准参考点，为了更好地解释和说明检测反电势过零的原理，现建立以电源中点为基准参考点的无位置传感器直流无刷电机数学模型。

假设功率开关器件导通时的压降为0，电机三相绕组是对称的，相电阻均为R 、电感均为L 。

可知：
当At S 、Bb S 导通时，即电流从A 相流入，B 相流出，A B i i -=，
VR B A VA U U U U +-= (3-1)
iA A A A U dt
di L
Ri U ++= (3-2) iR B B B U dt di L Ri U ++= (3-3) 当At S 、Cb S 导通时，即电流从A 相流入，C 相流出，A C i i -=，
VC C A VA U U U U +-= (3-4)
由（3-1）（3-4）可得：
()C B A VC VB VA A U U U U U U U +++--=
231 （3-5） 同理可得：
()C B A VA VC VB B U U U U U U U +++--=
23
1 （3-6） ()C B A VB VA VC C U U U U U U U +++--=231 （3-7） 再由（3-2）（3-3）及A B i i -=可得：
iB iA U +=+U U U B A （3-8）
同理可得：
iC iB C B U U U U +=+ （3-9）
iA iC A C U U U U +=+ （3-10） 综合式（3-8）（3-9）（3-10）可得：
iC iB iA C B A U U U U U U ++=++ （3-11） 将式（3-11）分别代入式（3-5）（3-6）（3-7）得：
()iC iB iA VC VB VA A U U U U U U U +++--=
23
1 （3-12） ()iC iB iA VA VC VB B U U U U U U U +++--=23
1 （3-13） ()iC iB iA VB VA VC C U U U U U U U +++--=23
1 （3-14） ()iC iB iA VC VB VA U U U U U U U ---++=3
10 （3-15） 0=++C B A i i i （3-16） 将式（3-2）代入式（3-12）得：
dt di L Ri U U U U A A C A X C A X iA VX iA VA +=⎪⎭
⎫ ⎝⎛---∑∑==31 （3-17） 同理可得：
dt di L Ri U U U U b B C A X C A X iA VX iB VB +=⎪⎭
⎫ ⎝⎛---∑∑==31 （3-18） dt di L Ri U U U U C C C A X C A X iA VX iC VC +=⎪⎭
⎫ ⎝⎛---∑∑==31 （3-19） 当At S 、Bb S 导通时，即电流从A 相流入，B 相流出，C 相没有电流，此时：
A B i i -=，0=C i
d VB VA U U U =+
0=++iC iB iA U U U
若iC U 过零（即0=iC U ），则2
2d VB VA VC U U U U =+=，同理可得：2d VA U U =，2d VB U U =。

这就是在建立无位置传感器直流无刷电机的数学模型时为什么以电源中点为基准参考点的原因。

当At S 、Ab S 导通时，即电流从A 相流入，B 相流出，C 相没有电流，此时：
A B i i -=，0=C i
d VA U U 2
1=，d VB U U 21-=， 0=++iC iB iA U U U
由（3-19）可知：
iC VC U U 2
3= （3-20） 同理可得：
iA VA U U 2
3= （3-21） iB VB U U 2
3= （3-22）。