高二竞赛讲义 多项式的插值与差分3
讲解多项式插值(包含例题)
第三章多项式插值方法教学目的及要求：要求掌握基本的定理及各种插值方法。
插值方法是数学分析中很古老的一个分支.它有悠久的历史.等距结点内插公式是由我国隋朝数学家刘焯(公元544—610年)首先提出的;而不等距结点内插公式是由唐朝数学家张遂(公元683—727年) 提出的.这比西欧学者相应结果早一千年.插值方法在数值分析的许多分支(例如, 数值积分, 数值微分, 微分方程数值解,曲线曲面拟合,函数值近似计算,等等)均有应用.下面仅以近似计算函数值为例来说明设已知某个函数关系()x f y =的列表函数值nn y y y yx x x x110而()n i x x i ,1,0=≠问应该如何估值().x f y =对于函数关系()x f y =,我们所知道仅仅上述的表列值,它们常常是间接求得的.例如是由实验(观测)得来的,或者是从级数或微分方程求得的.我们可以使用插值方法估计y. 插值方法的目的是寻求简单的连续函数()x ϕ,使它在n+1个点n x x x ,,,10 处取给定值()()),,1,0(n i x f y x i i i ===ϕ,而在别处希望它也能近似地代表函数()x f .因为()x ϕ已是有解析表达式的简单函数,所以它在x x =处的值可以按表达式精确地计算出来.这样我们就可以将()x ϕ看成().x f y =的近似值了给定点n x x x ,,,10 为插值结点.称函数()x ϕ为函数()x f 的关于n x x x ,,,10 的插值函数.称()x f y =为被插函数.严格的说,插值方法一词只用于x 落在给定点n x x x ,,,10 之间的情形,所以也称它为内插法.如果x 落在给定点n x x x ,,,10 之外,并且仍以插值函数()x ϕ在x 处近似地代替().x f ,则一般称这种近似计算函数的方法为外插法.本章我只研究多项式插值，亦即()x ϕ是x 的多项式的情形.这不仅仅因为多项式是最简单的函数，而且因为在许多场合，函数()x f 容易用多项式近似地表示出来.此外,用多项式作插值函数可满意地解决一系列有应用价值的重要问题.特别是数值积分与数值微分的问题.本章讲不涉及三角插值法.其实,只要理解了代数多项式插值方法的实质读者就不难自行导出关于三角多项式插值方法的一系列相应与代数多项式插值方法的理论结果§1. Lagrange 插值公式设()x f y =是实变量x 得单值函数，且已知()x f 在给定的n+1个互异点n x x x ,,,10 处的值n y y y ,,,10 ,即().,,0,n i x f y i i ==插值的基本问题是,寻求多项式()x p ,使得 ()()1.1.,0,n i y x p i i ==设()x p 是一个m 次多项式()0,2210≠++++=m m m a x a x a x a a x p则插值问题是，如何确定()x p 中的系数m a a a ,,,10 ,使得(1.1)式得以满足.所以该问题等价于求解下述的线性方程组:()2.1,,,22101121211000202010⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++n m n m n n mm mm y x a x a x a a y x a x a x a a y x a x a x a a上述的线性方程组的系数矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m n m m nnx x x x x x x x x A102211200111 它是一个(n+1)×（m+1）矩阵.当m>n 时，A 的列数大于行数.不难证明矩阵A 的秩数为n+1.因为A 的前n+1列所组成的行列式为(称为Vandermonde 行列式)()mnmm n n n n x x x x x x x x x d e f x x x W10221120010111,.,-我们有()()()3.1,.,10∏>--=ij i j n n x x x x x W为证(1.3),考虑n 次多项式()nnnn n n n n n xx xx x x x x x x x x x x x W2121112110200101111,.,----= 显然110,,,-n x x x 均为它的零点,且它的n x 系数恰为()10.,-n x x W 即 ()()()()101010.,,.,-----=n n n x x x x x x W x x x W 从而有下述递推关系式()()()()101010.,,.,-----=n n n n n n x x W x x x x x x x W运用它即可证明(1.3)式根据(1.3),并注意到诸n x x x ,,,10 互异，从而线性方程组(1.2)的系数矩阵的秩数为n+1 .它表明(1.2)的解是不唯一的，即插值问题(1.1)的解不唯一。
多项式插值_Lagrange插值
l1( x)
(x ( x1
x0 x0
)( )(
x x2) x1 x2 )
l2
(
x)
(x ( x2
x0 x0
)( )(
x x1 ) x2 x1 )
则有
l j ( xi
)
ij
1, 0,
i j i j
称 l0(x) , l1(x)，l２(x)为二次插值多项式的基函数。
An
(
xn
x0 )(
xn
yn x1)( xn
xn1 )
将
A0
(
x0
x1 )(
x0
y0 x2 )(x0
xn )
A1
(
x1
x0
)(
x1
y1 x2
)(
x1
xn
)
代入下式：
,
An
(xn
x0
)(
xn
yn x1 )(
xn
xn1 )
Ln(x) A0(x x1)( x x2 )(x xn ) A1(x x0 )( x x2 )(x xn )
xi yi
x0 y0
x1 y1
求解 L1(x)=a1 x+a0
使得 f(x) ≈ L1(x), x ∈[x0 , x1].
根据点斜式得到
L1( x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0 )
2.1多项式和插值
x − x0 x − x1 L1 ( x ) = y 0 + y1 x 0 − x1 x1 − x 0
它是两个线性函数
x − x0 x − x1 l0 ( x ) = , l1 ( x ) = x 0 − x1 x1 − x 0
的线性组合。 也是线性插值多项式， 的线性组合。显然 l 0 ( x ) 和 l 1 ( x )也是线性插值多项式，满足
lk ( x
由此可得
i
) = δ = 0, i ≠ k .
lk ( x ) =
∏
n + 1
称为lagrange插值基函数。引入记号 插值基函数。 称为 插值基函数 n 容易求得
ω
ω
i=0 i≠k
x − xi , k = 0 ,1 , L , n , xk − xi
L
3
( 0 . 6 ) = − 0 . 509975
f
4
由于
0 .4 ≤ x ≤ 0 .8
max
( x ) ≤ 234 . 4 ,
利用余项估计式(2.1.11)可以得到 可以得到 利用余项估计式
第二章 插值与拟合
第二章
插值和拟合
在许多实际问题中，我们需要用函数 在许多实际问题中，我们需要用函数y=f(x)来表示某种内在规律 来表示某种内在规律 的数量关系，其中相当一部分函数是基于实际或观测数据而得到的。 的数量关系，其中相当一部分函数是基于实际或观测数据而得到的。 虽然f(x)在某个区间 在某个区间[a,b]上是存在的，有的还是连续的，但都只能给 上是存在的， 虽然 在某个区间 上是存在的 有的还是连续的， xi y 出[a,b]上一系列点 的函值 i = f ( x i ) ,i=0,1,……,n,这只是一个函 上一系列点 这只是一个函 数表。有的函数虽有解析表达式，但由于计算复杂，使用不方便， 数表。有的函数虽有解析表达式，但由于计算复杂，使用不方便，通 常也造一个函数表。 常也造一个函数表。 为了研究函数的变化规律， 为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在给定数据点上 的其他函数值。因此， 的其他函数值。因此，我们希望根据给定的函数值做一个既能反映 ϕ ( x) 函数f(x)的特性，又便于计算的简单函数用 的特性， 近似f(x),粗略地说， 粗略地说， 函数 的特性 近似 粗略地说 就是要对函数的离散数据建立简单的数学模型。 就是要对函数的离散数据建立简单的数学模型。 例如，从人口普查统计， 例如，从人口普查统计，已知某国新生儿累计分布为 yi = f ( xi ), xi x 的新生儿数目。 为母亲年龄， 为母亲年龄，yi为新生儿母亲年龄低于或等于i 的新生儿数目。我们 的简单数学模型。又如， 需要建立 y=f(x) 的简单数学模型。又如，由化学实验得到某种物
多项式插值
三次样条插值 (spline,csape)
interp1，interp2, griddata
Lagrange插值
• 方法介绍 对给定的n个插值点 x1 , x2 ,, xn 及对应的函 数值 y1 , y2 ,, yn ，利用n-1次Lagrange插值多项 式，则对插值区间内任意x的函数值y可通过 下式求的：
• 算例： >> years=1950:10:1990; >> service=10:10:30; >> wage = [150.697 199.592 187.625 179.323 195.072 250.287 203.212 179.092 322.767 226.505 153.706 426.730 249.633 120.281 598.243]; >> w = interp2(service,years,wage,15,1975) w= 190.6288
>> x=[0.3:0.005:0.35];y=hermite(x0,y0,y1,x); >> plot(x,y) >> y2=sin(x); hold on >> plot(x,y2,'--r')
Runge现象和分段插值
• 问题的提出：根据区间[a,b]上给出的节点做 插值多项式p(x)的近似值，一般总认为p(x)的 次数越高则逼近f(x)的精度就越好，但事实并 非如此。 1 f ( x) • 反例： 1 x2 在区间[-5,5]上的各阶导数存在，但在此 区间上取n个节点所构成的Lagrange插值多项 式在全区间内并非都收敛。 • 取n=10,用Lagrange插值法进行插值计算。
多项式插值法和数值微分
要求考虑 1） x与插值节点的选择， 2）f ( n1) ( ) 的稳定性，n与精度的关系 结论： 减少 ( x xi ) 增加节点，可能引起振荡 增加节点，增加计算次数，增加舍入误差
Runge现象
余项估计
[例]给定 f ( x) x 的函数值如下：
差商的概念和性质
f (x) 在 xi，xj,，xk处的二阶差商
f [ xi , x j , xk ]
f [ xi , x j ] f [ x j , xk ] xi xk
(i j k )
f (x) 在x0, x1, x2,…, xk上的k阶差商
f [ x0 , x1 , , xk 1 ] f [ x1 , x2 , xk ] f [ x0 , x1 , xn ] x0 xk
多项式插值法和数值微分
第一节 插值问题介绍
插值问题的提出：给定一个表格函数，寻找与
给定表格函数相适应的近似解析表达式，求未 列点处的函数值。
x x0 x1 … xn
y=f(x)
y0
y1
…
yn
插值形式：内插和外推
插值问题
当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知时，在一 系列节点 x0 … xn 处测得函数值 y0 = f(x0), … yn = f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函 数 g(x) f(x)，满足条件g(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。这里的 g(x) 称为f(x) 的插值函数。最常 用的插值函数是多项式 …?
插值多项式
y f (x)
Pn(x)
0
a
插值法讲义
解三转角方程和解三弯矩方程得到的样条插值
多项式完全等价）。因为，它仍通过给定的函 数值，这类样条函数称为c样条。
m x m x 0
半截幂函数
,x0 ,x0
3
（5）利用节点上的一阶导数值mi 来表示插值多项式， 需要解关于mi 的方程组。因为，mi 在力学上解释
为细梁在节点截面处的转角，且与相邻节点的两
,
S' ( xn ) yn ' S" ( xn ) yn "
• 给定两个端点处的二阶导数值：
,
• 周期边界条件：y0 yn , S ' ( x0 0 ) S ' ( x n 0 ) , • 非结点边界条件：
S" ( x0 0) S" ( xn 0)
S"' ( x)在结点 x1和xn1处连续
7
平面上相邻的四个点 (xi-1 , yi-1 ) , (xi , yi ) ,
(xi+1 , yi+1 ) , (xi+2 , yi+2 ) 确定区间 [ xi , xi+1 ]上的
一个三次多项式 Pi (x ) ，使得（等距节点情况，
步长为1）：
yi 1 4 yi yi 1 y 4 yi 1 yi 2 , Pi ( x i 1 ) i 6 6 yi 1 yi 1 yi 2 yi ' ' Pi ( xi ) , Pi ( xi 1 ) , 2 2 yi 1 2 yi yi 1 yi 2 yi 1 yi 2 " " Pi ( x i ) , Pi ( x i 1 ) 2 2 Pi ( x i ) ,
1_多项式插值基本理论
yfnie@
10
二、插值多项式的构造方法
由于插值多项式的存在惟一性，无论是用何种 方法构造出的插值多项式，它们均恒等，进而 截断误差也都相同。 内容提要
Lagrange插值法 Newton插值法 等距节点插值公式 带导数的插值问题
August 6, 2012
August 6, 2012
yfnie@
13
1.2 Lagrange型插值公式
L n ( x ) f ( x i )li ( x )
i0
n
n
f ( xi )
n 1 ( x )
( x x i ) n 1 ( x i )
'
i0
不超过n次的多项式，满足所有的插值条件，因而是需 构造的插值多项式，称之为Lagrange插值多项式。
( x 1 )( x 0 ) ( 0 . 5 1 )( 0 . 5 0 )
2 3
x ( x 0 .5 )
2 ( x 1 )( x 0 . 5 )
4 3
x ( x 1)
二次插值多项式为
L 2 ( x ) f ( x 0 ) l 0 ( x ) f ( x 1 ) l1 ( x ) f ( x 2 ) l 2 ( x ) l 0 ( x ) 2 l1 ( x ) 3 l 2 ( x )
第二章 函数插值
问题提出
1 函数表达式过于复杂不便于计算, 而又需要计算许多点处的函数 值
2 仅有采样值, 而又需要知道非采样点处的函数值 ……
上述问题的一种解决思路：建立复杂函数或者未知函数的一个便于计 算的近似表达式.
内容提要
高二竞赛讲义 多项式的插值与差分3
高二数学竞赛班二试讲义第3讲 多项式的插值与差分班级 姓名一、知识点金1．拉格朗日插值公式：存在唯一的一个次数不超过1n -的多项式()f x 满足(),1,2,,i i f x y i n ==⋅⋅⋅（()f x 的图象经过n 个不同点(,)i i x y ）；并且()f x 可表示为2313121213121232()()()()()()()()()()()()()()()n n n n x x x x x x x x x x x x f x f x f x x x x x x x x x x x x x --⋅⋅⋅---⋅⋅⋅-=++⋅⋅⋅--⋅⋅⋅---⋅⋅⋅-12121111121121()()()()()()()()()()()()()()n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x -----------⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--++-⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--2．对于函数()f x 及固定的0h ≠，()()f x h f x +-称为()f x 的步长为h 的一阶差分，记作1()h f x ∆。
11()()(2)2()()h h f x h f x f x h f x h f x ∆+-∆=+-++，称为()f x 的步长为h 的二阶差分。
记作211()()()h h h f x f x h f x ∆=∆+-∆。
一般地，()f x 的步长为h 的n 阶差分定义为11()(())n n h h h f x f x -∆=∆∆。
3．对于函数()f x ，有0()(1)()nn n ii hn i f x C f x ih -=∆=-+∑数学归纳法证明：1n =时结论显然成立。
假设0()(1)()nn n ii hn i f x C f x ih -=∆=-+∑，则1()(1)()(1)()nnn n ii n i ihnn i i f x C f x h ih C f x ih +--==∆=-++--+∑∑1111(1)()(1)()n n n i i n ii nni i Cf x ih C f x ih +-+--===-+--+∑∑（1i -代替上式0ni =∑中i 的位置）1110(1)()()n n i i i n n i C C f x ih +-+-==-++∑ （注意：定义10n C -=，10n n C +=） 1110(1)()n n i i n i C f x ih +-++==-+∑ 因此0()(1)()nnn ii hn i f x C f x ih -=∆=-+∑对一切正整数n 成立。
《分析05-插值法上》PPT课件
a
5-3
W
Y
插值法概述(续1）
如行星在太空中的定位问题：当行星在空间运行时， 可星是动去构通所一，通造过在批它过一精位离在观个密置散任测简观 数 一 得 单S(t测 据 时 到 的i)，仪 间 ， 便(ti无,器插于tS（(论t在值计i与)花)不逼算,tii=费不同近的1,多同2的是近,…少）时利似)人的，用函间力位而这数ti(物置i行组（=力S星离 解1(t,，)2是散 析，,…所在数 表我)得作观据 达们到连测式(只ti的,续到）S能(只t运行，i再)) 用它可求任何时间的函数值（称为插值），对这个近似 解析表达式也能求导，讨论其各种性质。
工后沉降的大小，沉降速率都直接影响铁路，
公路的养护运营，行车速度等，因此要对其进
行严格控制。
通过对已建成路基面标高（路肩）进行测
量观测，可得到一批数据，对这些数据进行分
析（包括作插值），可推算出：
①某一时刻路基沉降（如3年，5年）的沉
使其满足在给定点处与f(x)相同，即满足插值条件： n ( x i ) f ( x i ) y i ( i 0 , 1 , 2 , , n )( 5 - 2
[an,b(x]称)称为为插插值值区多间项。式，xi(i=0,1,2,…,n)称为插值节点，
a
5-7
W
Y
从几何上看（如图代5-数1所插示值），（n续次多2）项式插值就是
另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似 函数过已知样点，只要求在某种意义下它在这些点
上的总偏差最小。这类方法称为曲线（数据）拟合 法，将在下一章介绍。
本章主要讨论构造插值多项式的几种常用的方法及 其误差 用插值法求函数的近似表达式时，首先要选定 函数的形式。可供选择的函数很多，常用的是多项式 函数。因为多项式函数计算简便，只需用加、减、乘 等a运算，便于上机计算，而且其导数与积分仍为多项5-式6 。
第三章 1多项式插值
第二章 函数插值(function interpolation )摘要 介绍多项式插值的数学描述，求解多项式插值表达式的几种不同方法：Gram 方法、Lagrange 插值法、Neville 方法、Newton 方法，介绍差商、差商与微商的关系、差商的应用和插值余项及其应用。
2.1 多项式插值(polynomial interpolation)2.1.1 插值 (interpolation) 概念 给定函数()f x 在n+1个不同点121,,,,n n x x x x +上的函数值(),1,2,,1i i f f x i n ==+，在函数空间{}121,,,n span ϕϕϕ+H =中找一个函数11()()n i i i x a x ϕ+=Γ=∑，使得(),1,2,,1i i x f i n Γ==+. （1）插值条件（interpolation conditions ）: (1) 插值函数（interpolation function ）: ()x Γ 被插值函数(interpolated function): ()f x 插值函数空间: H 插值节点: 121,,,,n n x x x x +问题2.1：插值的目的是什么？根据()f x 的已知信息推导()f x 在,1,,1i x x i n ≠=+的近似信息。
例2.1 概率积分 ()2xt f x e dt -=⎰，由概率积分表有()0.5200.53790,(0.521)0.53876,(0.522)0.53962,(0.523)0.54048,f f f f ====如何获得表中没有的()0.52136f 或()0.52218f 值？2.1.2 多项式插值定义2.1 如果插值函数空间{}1,,,nspan x x H =，那么上述插值问题就称为多项式插值.A 、 插值函数()0()nii i x P x a x =Γ==∑满足插值条件 (),1,2,, 1.i i P x f i n ==+ （2）问题2.2 ：为什么选多项式作为插值函数？● 多项式计算简单，只有+、—、⨯运算； ● 多项式可以很好地逼近任意光滑函数。
插值多项式简介
在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。
插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。
早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。
17世纪之后，I.牛顿，J.-L.拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。
在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。
插值问题的提法是：假定区间[a，b］上的实值函数f（x）在该区间上n＋1个互不相同点x0，x1……xn 处的值是f [x0］，……f（xn），要求估算f（x）在[a，b］中某点的值。
其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数C0，C1，……Cn的函数类Φ(C0，C1，……Cn)中求出满足条件P（xi）＝f（xi）（i＝0，1，…… n）的函数P(x)，并以P()作为f()的估值。
此处f（x）称为被插值函数，c0，x1，……xn 称为插值结(节)点，Φ(C0，C1，……Cn)称为插值函数类，上面等式称为插值条件，Φ（C0，……Cn）中满足上式的函数称为插值函数，R（x）＝ f（x）－P（x）称为插值余项。
当估算点属于包含x0，x1……xn 的最小闭区间时，相应的插值称为内插，否则称为外插。
多项式插值这是最常见的一种函数插值。
在一般插值问题中，若选取Φ为n次多项式类，由插值条件可以唯一确定一个n次插值多项式满足上述条件。
从几何上看可以理解为：已知平面上n＋1个不同点，要寻找一条n次多项式曲线通过这些点。
插值多项式一般有两种常见的表达形式，一个是拉格朗日插值多项式，另一个是牛顿插值多项式。
埃尔米特插值对于函数f（x），常常不仅知道它在一些点的函数值，而且还知道它在这些点的导数值。
这时的插值函数P（x），自然不仅要求在这些点等于f(x）的函数值，而且要求P（x）的导数在这些点也等于f（x)的导数值。
2. 插值公式
§2 插值公式一、 不等距节点插值公式(差商插值多项式)已知单变量函数f(x)的n+1个节点n x x x x ,,,,210 及其对应的函数值)(k k x f y =),,,2,1,0(n k = 对于插值区间}]{max },{min [00i ni i ni x x ≤≤≤≤上任一点x ,函数值f(x)可按下面的差商插值多项式计算:)()())(())(()()()()(110,,2,1,0102,1,001,00x R x x x x x x y x x x x y x x y y x R x P x f n n n n n +---+++--+-+=+=-式中n y y y ,,2,1,02,1,01,0,, 分别为},,,{10n y y y 的一阶差商，二阶差商，...，n 阶差商。
可按下列程序从左到右逐列进行计算∶表中一阶差商 ii ii i i x x y y y --=+++111, )1,,1,0(-=n i二阶差商ii i i i i i i i x x y y y --=++++++21,2,12,1, )2,,1,0(-=n i三阶差商ii i i i i i i i i i i x x y y y --=+++++++++32,1,3,2,13,2,1, )3,,1,0(-=n i…………………………………… n 阶差商1,,2,1,0,,2,1,,2,1,0x x y y y n n n n --=-差商插值多项式中的余项)())(()!1()()(10)1(n n n x x x x x x n f x R ---+=+ ξ}{m a x }{m i n00i ni i ni x x ≤≤≤≤≤≤ξ 余项也可以写成)())(()(10,,1,0,n n x n x x x x x x y x R ---=式中n x y ,,1,0, 表示},,,,{10n y y y y 的n+1阶差商。
计算方法课件-第4章-多项式插值方法
定义：称 的一阶均差.
为函数 f ( x)关于点 x0 , x1
f [ x0 , x1 , x2 ]
f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 ] x2 x0
称为 f ( x) 关于点 x0 , x1 , x2 的二阶均差. 一般地，称
f [ x1 , , xn1 , xn ] f [ x0 , x1 , xn1 ] f [ x0 , x1 , xn ] xn x0
l0 ( x ), l1 ( x ), l 2 ( x ) 是二次函数，
l0 ( x0 ) 1,
l1 ( x1 ) 1,
l0 ( x j ) 0,
l1 ( x j ) 0,
( j 1,2);
( j 0,2);
l 2 ( x2 ) 1,
l 2 ( x j ) 0,
( j 0,1).
函数时，相应的插值法称为分段插值。其中三角插值 主要用于处理周期函数。本章仅介绍最基本的多项式
插值。
定理 4.1 惟一。
4
在 n+1 个互异点
x0 , x1 ,,上满足插 xn
值条件 (4-1) 的次数不超过n次的插值多项式Pn(x) 存在且
证明： 记实系数多项式
Pn ( x ) ak x k
为 f ( x)的 n 阶均差
（均差也称为差商）.
16
4.3
4.3.1
表2 1 xk x0 x1 x2 x3 x4
Newton插值多项式
均差的定义和性质
利用如下均差表来计算均差：
f ( xk ) （1st）均差 （2nd）均差 f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ) f ( x4 ) f [ x0 , x1 ] f [ x1 , x2 ] f [ x 2 , x3 ] f [ x3 , x 4 ] f [ x0 , x1 , x2 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x 2 , x3 , x 4 ] f [ x0 , x1 , x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 , x4 ] f [ x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ] （3rd）均差 （4th）均差
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高二数学竞赛班二试讲义第3讲 多项式的插值与差分班级 姓名一、知识点金1．拉格朗日插值公式：存在唯一的一个次数不超过1n -的多项式()f x 满足(),1,2,,i i f x y i n ==⋅⋅⋅（()f x 的图象经过n 个不同点(,)i i x y ）；并且()f x 可表示为2313121213121232()()()()()()()()()()()()()()()n n n n x x x x x x x x x x x x f x f x f x x x x x x x x x x x x x --⋅⋅⋅---⋅⋅⋅-=++⋅⋅⋅--⋅⋅⋅---⋅⋅⋅-12121111121121()()()()()()()()()()()()()()n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x -----------⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--++-⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--2．对于函数()f x 及固定的0h ≠，()()f x h f x +-称为()f x 的步长为h 的一阶差分，记作1()h f x ∆。
11()()(2)2()()h h f x h f x f x h f x h f x ∆+-∆=+-++，称为()f x 的步长为h 的二阶差分。
记作211()()()h h h f x f x h f x ∆=∆+-∆。
一般地，()f x 的步长为h 的n 阶差分定义为11()(())n n h h h f x f x -∆=∆∆。
3．对于函数()f x ，有0()(1)()nn n ii hn i f x C f x ih -=∆=-+∑数学归纳法证明：1n =时结论显然成立。
假设0()(1)()nn n ii hn i f x C f x ih -=∆=-+∑，则1()(1)()(1)()nnn n ii n i ihnn i i f x C f x h ih C f x ih +--==∆=-++--+∑∑1111(1)()(1)()n n n i i n ii nni i Cf x ih C f x ih +-+--===-+--+∑∑（1i -代替上式0ni =∑中i 的位置）1110(1)()()n n i i i n n i C C f x ih +-+-==-++∑ （注意：定义10n C -=，10n n C +=） 1110(1)()n n i i n i C f x ih +-++==-+∑ 因此0()(1)()nnn ii hn i f x C f x ih -=∆=-+∑对一切正整数n 成立。
4．设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++，当n m ≤时，()n h f x ∆是一个m n -次多项式；而对于n m >，()n h f x ∆恒为零。
证明：由定义可知，100()()()[()][]m mh m m f x f x h f x a x h a a x a ∆=+-=++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+1m m mha x -=+低次项，这是一个1m -次多项式，首项为1m m mha x -，依此类推，11()!m m h m f x m h a x --∆=+常数项，()!m m h m f x m h a ∆=，从而当n m >时，()0n h f x ∆=。
5．综合第3、4条，取步长1h =，可得出（1）设()f x 是m 次多项式，首项系数为m a ，则00,,(1)()!,,n n i in i m m n C f x i m a m n -=<⎧-+=⎨=⎩∑若若（2）特别地，取()mf x x =，并在上面等式中取0x =，得欧拉恒等式00,,(1)(1)!,,nii mnni m n C i n m n =<⎧-⋅=⎨-=⎩∑若若6．整值多项式：如果当x 取整数时，复系数多项式()f x 为整数，则称()f x 为整值多项式。
整系数多项式当然都是整值多项式。
但组合数(1)(1)!kx x x x k C k -⋅⋅⋅-+=是非整系数的整值多项式。
7．n 次复系数多项式()f x 为整值多项式的充分必要条件是，它可表示成11110n n n x n x x a C a C a C a --++⋅⋅⋅++，其中(0,1,2,,)i a i n =⋅⋅⋅均为整数，且0n a ≠证明：充分条件是显然的。
现证明必要性。
以nx C 除()f x ，商必为常数，设为n a ，则 1()()x n n f x a C f x =+，1()f x 或者为零，或者次数小于n ；在用1n -次多项式1n x C -除1()f x ，如此进行，便得到11110()n n n x n x x f x a C a C a C a --=++⋅⋅⋅++，这种表示显然是惟一的。
二、例题分析例1．设n 次多项式()f x 满足11()(0,1,,)kn f k k n C +==⋅⋅⋅。
求(1)f n +。
例1．法一：由多项式插值公式得，00()()nk i ki nx if x f k k i=≠≤≤-=-∑∏，对于m n >，有 10(1)()()()(1)(1)()()!()!nn n kn k k n km m k k k m m m n f m f k f k C C m k k n k -----==-⋅⋅⋅-=-=---∑∑所以00,(1)(1)1nn kk n f n n -=⎧+=-=⎨⎩∑若为奇数，，若为偶数法二：因为n 次多项式()f x 的1n +阶差分为零，所以1110(1)()0n n iin i C f x i ++-+=-+=∑令0x =，并以11()(0,1,,)i n f i i n C +==⋅⋅⋅代人，得110(1)(1)()0nn i in i f n C f i +-+=++-=∑ 所以00,(1)(1)1nn ii n f n n -=⎧+=-=⎨⎩∑若为奇数，，若为偶数例2．设n 次多项式()f x 满足1()(1,2,,1)f k k n k==⋅⋅⋅+。
求(2)f n +。
例1．法一由多项式插值公式得。
略法二：因为n 次多项式()f x 的1n +阶差分为零，所以1110(1)()0n n ii n i C f x i ++-+=-+=∑令1x =，并以1()(0,1,,)f i i n i ==⋅⋅⋅代人，得1101(2)(1)01nn i in i f n C i +-+=++-⋅=+∑ 111200,11(2)(1)[(11)(1)1]2222nn i i n n n i n f n C n n n n -++++=⎧⎪+=-⋅=-+--+=⎨++⎪+⎩∑为奇数，，为偶数法三：对于本题还有更好的做法，考虑1n +次多项式()()1g x xf x =-。
有已知条件，()g x 有1n +个不同的零点1,2,,1x n =⋅⋅⋅+，又(0)1g =-， 于是(1)(2)(1)()(1)(1)!n x x x n g x n --⋅⋅⋅--=-+，因此1(2)(1)ng n +=-，进而0,1(1)(2)222n n f n n n n ⎧+-⎪+==⎨+⎪+⎩为奇数，，为偶数 例3．设()f x 是一个n 次多项式，满足()2(1,2,,1)kf k k n ==⋅⋅⋅+，求(3)f n +的值。
例3．因为n 次多项式()f x 的1n +阶差分为零，所以1110(1)()0n n ii n i C f x i ++-+=-+=∑ ①取1x =，111(2)(1)20nn iii n i f n C+-++=++-=∑，11121(2)(1)220n n i i i n n i f n C ++-+++=++--=∑ 11210(2)2(1)220n n i i i n n i f n C ++-++=++--=∑，12(2)2(21)20n n f n ++++--=， 所以2(2)22n f n ++=-再用 ①取2x =，112110(3)(2)(1)20n nn i i i n n i f n Cf n C -+-+++=+-++-=∑ 112321110(3)(2)(1)2220n nn i i i n n n n n n i f n C f n C C ++-++++++=+-++--+=∑ 11321110(3)(2)4(1)2220n n n i i i n n n n n n i f n Cf n C C ++-+++++=+-++--+=∑ 13211(3)(2)4(12)220n n n n n n n f n C f n C ++++++-++-+-+= 所以3(3)226n f n n ++=--例4．设121,,,n x x x +⋅⋅⋅是任意1n +个互不相同的整数。
则任意n 次多项式11n n n x a x a -++⋅⋅⋅+在点121,,,n x x x +⋅⋅⋅处所取得的1n +个值中，至少有一个的绝对值!2n n ≥例4．记所说的多项式为()f x ，由多项式插值公式得，11()()()()kn k ii ikk ix x f x f i x x +≠=≠-=-∏∑∏由于()f x 的首项系数为1，故由上式得出111()1()n i i k k i f i x x +=≠=-∑∏记M 是()(1,2,,)f i i n =⋅⋅⋅的最大值，则有1111()n i ikk iM x x +=≠⋅≥-∑∏但121,,,n x x x +⋅⋅⋅是任意1n +个互不相同的整数，可设121n x x x +<<⋅⋅⋅<，我们有1111()()()()()ikiii i i i n k ix x x x x xx x x x -++≠-=-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-∏1!(1)(2)12(1)(1)!(1)!i nn i i n i i n i C -≥--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-=-+-=于是110111111!!12!()n i n n n n n n n i i ikk in n M C C C C n x x +-+==≠≥≥==++⋅⋅⋅+-∑∑∏ 例5．设3k ≥是奇数。
证明：存在一个次数为k 的非整系数的整值多项式()f x ，具有下面的性质：（1）(0)0,(1)1f f ==；（2）有无穷多个正整数n ，使得对21ks <-，方程 12()()()s n f x f x f x =++⋅⋅⋅+没有整数解12,,,s x x x ⋅⋅⋅。