傅里叶变换就是这么简单,你学会了吗

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傅里叶变换原理

傅里叶变换是一种将时域信号转化为频域信号的数学工具，它可以将

复杂的信号分解为一系列简单的正弦和余弦函数的叠加。傅里叶变换的原

理基于基本的频谱分析原理，它以法国数学家约瑟夫·傅里叶的名字命名，傅里叶在19世纪初提出了这一数学工具。

\[ X(f)=\int_{-\infty}^\infty x(t) \cdot e^{-i2\pi ft} \, dt \]

其中，\(x(t)\)是原始信号的时域表示，\(X(f)\)是傅里叶变换后的

频域表示，\(f\)是频率，\(i\)是虚数单位。

傅里叶变换的核心思想是信号可以分解为不同频率的正弦和余弦函数

的叠加。傅里叶变换可以将时域信号表示为频域上的幅度和相位信息。幅

度表示信号在不同频率的成分的强度，相位表示信号在不同频率成分上的

相对位置。通过傅里叶变换，我们可以得到一个信号的频谱图，从而更好

地理解信号的频率特性和谐波内容。

第一个角度是将信号表示为不同频率的正弦和余弦函数的线性组合。

根据欧拉公式，任意一个信号都可以表示为正弦和余弦函数的和。傅里叶

变换就是将信号通过积分的方式拆解成一系列不同频率的正弦和余弦函数。

第二个角度是将信号视为频域上的一系列频率成分。傅里叶变换通过

对信号的积分运算，可以将信号在时域的变化转化为频域上的幅度和相位

信息。通过傅里叶变换，我们可以更加清晰地看到信号在不同频率上的成

分分布情况。

傅里叶变换的原理可以帮助我们理解信号的频谱特性和谐波内容。例如，傅里叶变换可以将复杂的音频信号分解为基频和谐波的组合，从而帮

助我们理解声音的音调和音色。傅里叶变换也可以用于信号处理和通信领域，例如滤波器的设计和频谱分析等。

傅里叶变换学习心得体会

篇一：数字信号心得体会

数字信号分析心得体会

数字信号分析技术正飞速发展，它不但自成一门学科，更是以不同形式影响和渗透到其他学科，因此受到人们的普遍关注, 在通信、雷达、语音分析、图象分析、声学、地震学、地质勘探、气象学、生物医学工程、核工程、航天工程等领域中都离不开随机数字信号分析。对于我们本专业遥感来说，更是离不开数字信号的传输、分析、存储、显示和利用，可以说，数字信号就是遥感信息的载体。数字信号的主要任务是研究数字信号分析理论的基本概念和基本分析方法，通过建立数学模型和适当的数学处理分析，来展示这些理论和方法的实际应用。

本学期在黄鹰老师的带领下，我们首先学习了离散时间信号与系统，掌握了序列及其相关运算和线性移不变系统，并了解了常系数线性差分方程，为以后数字信号分析的学习打下了良好的基础。

第二章学习了z变换与离散时间傅里叶变换。Z变换在离散时间系统中的作用就如同拉普拉斯变换在连续时间系统中的作用一样，它把描述离散系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。因此，对求解离散时间系统而言，z变换是一个极重要的数学工具。在本章中深刻理

解了z变换的定义与z 反变换及z变换的基本性质和定理，理清了序列的z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系，并对序列傅里叶变换、周期性傅里叶变换的定义及其基本性质有了深刻认识，在本章的最后学习了离散系统的系统函数及系统的频率响应。

第三章的内容是离散傅里叶变换。离散傅里叶变换除了作为有限长序列的一种傅里叶表示法在理论上相当重要之外，而且由于存在着计算离散傅里叶变换的有效快速算法即快速傅里叶变换也就是我们第四章要学习的部分，因而离散傅里叶变换在各种数字信号分析的算法中起着核心作用。在这一章中，我们首先了解了傅里叶变换的几种可能形式，即连续时间连续频率的傅里叶变换，连续时间离散频率的傅里叶级数，离散时间连续频率的序列的傅里叶变换，离散时间离散频率的离散傅里叶变换，并主要掌握了离散傅里叶级数及其相关性质和离散傅里叶变换及其相关性质，最后了解了抽样z变换------频域抽样理论。

序列傅里叶变换公式

傅里叶变换是一种重要的信号分析工具，可以将一个时域上的连续函数或离散序列转换到频域上。

对于连续函数，其傅里叶变换公式为：

F(w) = ∫[−∞,+∞] f(t)e^(-jwt) dt

其中，F(w)表示频域上的复数函数，f(t)表示时域上的连续函数，ω为角频率。

对于离散序列，其傅里叶变换公式为：

F(k) = Σ[n=0,N-1] f(n)e^(-j2πkn/N)

其中，F(k)表示频域上的复数序列，f(n)表示时域上的离散序列，N表示序列的长度，k为频域上的整数频率。

傅里叶变换的公式可以将时域上的信号转换为频域上的复数函数或序列，从而可以分析信号的频谱特性，包括频率成分、幅度、相位等信息。这对于信号处理、通信系统设计、图像处理等领域都有着广泛的应用。

常见函数傅里叶变换

傅里叶变换是一种将一个函数分解成一系列正弦和余弦函数的方法。它是一种非常重要的数学工具，被广泛应用于信号处理、图像处理、量子力学等领域。在本文中，我们将介绍几种常见的函数傅里叶变换。

1. 正弦函数傅里叶变换

正弦函数傅里叶变换是将一个函数分解成一系列正弦函数的方法。它适用于周期函数，即函数在一个周期内重复。正弦函数傅里叶变换的公式为：

f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nπx/L) + bn*sin(nπx/L))

其中，a0/2是函数的平均值，an和bn是函数的傅里叶系数，L 是函数的周期。正弦函数傅里叶变换可以用于分析周期信号的频谱特性。

2. 傅里叶级数

傅里叶级数是将一个函数分解成一系列正弦和余弦函数的方法。它适用于周期函数，即函数在一个周期内重复。傅里叶级数的公式为：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nπx/L) + bn*sin(nπx/L))

其中，a0/2是函数的平均值，an和bn是函数的傅里叶系数，L

是函数的周期。傅里叶级数可以用于分析周期信号的频谱特性。

3. 傅里叶变换

傅里叶变换是将一个非周期函数分解成一系列正弦和余弦函数的方法。它适用于非周期函数，即函数在整个实数轴上都有定义。傅里叶变换的公式为：

F(ω) = ∫f(x)e^(-iωx)dx

其中，F(ω)是函数的傅里叶变换，f(x)是原函数，ω是频率。傅里叶变换可以用于分析信号的频谱特性。

4. 离散傅里叶变换

离散傅里叶变换是将一个离散信号分解成一系列正弦和余弦函数的方法。它适用于数字信号处理。离散傅里叶变换的公式为：

快速傅里叶变换(FFT)的原理及公式

原理及公式

非周期性连续时间信号x(t)的傅里叶变换可以表示为

式中计算出来的是信号x(t)的连续频谱。但是，在实际的控制系统中能够得到的是连续信号x(t)的离散采样值x(nT)。因此需要利用离散信号x(nT)来计算信号x(t)的频谱。

有限长离散信号x(n)，n=0，1，…，N-1的DFT定义为：

可以看出，DFT需要计算大约N2次乘法和N2次加法。当N较大时，这个计算量是很大的。利用WN的对称性和周期性，将N点DFT分解为两个N／2点

的DFT，这样两个N／2点DFT总的计算量只是原来的一半，即(N／2)2+(N／2)2=N2／2，这样可以继续分解下去，将N／2再分解为N／4点DFT等。对于N=2m点的DFT都可以分解为2点的DFT，这样其计算量可以减少为(N／2)log2N 次乘法和Nlog2N次加法。图1为FFT与DFT-所需运算量与计算点数的关系曲线。由图可以明显看出FFT算法的优越性。

将x(n)分解为偶数与奇数的两个序列之和，即

x1(n)和x2(n)的长度都是N／2，x1(n)是偶数序列，x2(n)是奇数序列，则

其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N／2点DFT。由于X1(k)和X2(k)均以N／2为周期，且WN k+N/2=-WN k，所以X(k)又可表示为：

上式的运算可以用图2表示，根据其形状称之为蝶形运算。依此类推，经过m-1次分解，最后将N点DFT分解为N／2个两点DFT。图3为8点FFT的分解流程。

FFT算法的原理是通过许多小的更加容易进行的变换去实现大规模的变换，降低了运算要求，提高了与运算速度。FFT不是DFT的近似运算，它们完全是等效的。

数字图像处理中的快速傅里叶变换算法

数字图像处理是一门非常重要的学科，它主要关注如何对数字图像进行处理和分析。在数字图像处理中，傅里叶变换是一种非常重要的工具，在很多领域都有广泛的应用。特别是在数字信号处理和图像处理领域，傅里叶变换是一种重要的工具，它可以将时域信号转化成频域信号，进行频域分析和处理，帮助我们从中获取更多的信息。在数字图像处理中，快速傅里叶变换算法是一种非常重要的算法，它拥有很高的计算效率和精度，被广泛应用于数字图像处理中。

一、傅里叶变换

傅里叶变换是数学中的一种重要的工具，它可以将任意一个函数分解为一系列正弦波的加权和。在数字图像处理中，傅里叶变换可以将图像表示为一个二维函数，其中每个分量代表着不同的频率。通过傅里叶变换，我们可以了解图像中不同颜色和亮度的分布状况，从而帮助我们更好地进行图像处理和分析。

二、快速傅里叶变换算法

快速傅里叶变换算法是对传统傅里叶变换进行优化得到的一种算法。传统的傅里叶变换算法计算复杂度很高，需要进行许多乘法和加法运算，运算时间很长，难以满足实时处理的要求。为了解决这个问题，人们开发出了快速傅里叶变换算法，它可以有效地缩短傅里叶变换的运算时间，提高计算效率。

快速傅里叶变换算法的基本思想是将傅里叶变换的计算分解为多个较小的傅里叶变换，从而实现快速计算。这样就可以通过迭代的方式，逐步将傅里叶变换的计算分解为多个较小的傅里叶变换，从而获得更高的计算效率。快速傅里叶变换算法一般采用分治的思想，将二维傅里叶变换分解为两个一维傅里叶变换，从而实现二维傅里叶变换的计算。

傅里叶变换需要具备的知识

傅里叶变换是一种数学工具，用于将一个函数或信号分解成多个不同频率的正弦和余弦函数的和。它是由法国数学家傅里叶在19世纪提出的，被广泛应用于信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域。

要理解傅里叶变换，首先需要具备以下几个基本知识点。

1. 函数的周期性：傅里叶变换是基于函数的周期性进行分解的，因此需要了解函数的周期性概念。周期函数指在一定区间内具有重复性的函数。

2. 傅里叶级数展开：傅里叶级数展开是傅里叶变换的基础。它表示任何周期函数都可以用一组正弦和余弦函数的线性组合来表示。这个展开系数就是函数在不同频率上的振幅。

3. 正弦函数和余弦函数：正弦函数和余弦函数是傅里叶变换中的基础函数。正弦函数表示周期性振动，而余弦函数则表示平稳的振动。

4. 频谱：频谱是指信号在不同频率上的能量分布情况。傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，得到信号的频谱表示。

5. 快速傅里叶变换（FFT）：FFT是一种高效的计算傅里叶变换的算法，可以大大提高计算速度。它通过将傅里叶变换的计算复杂度从O(n^2)降低到O(nlogn)，在实际应用中得到广泛使用。

在应用傅里叶变换时，需要注意以下几个方面。

1. 信号采样：傅里叶变换要求信号是连续的，而实际上我们处理的信号是离散的。因此需要对信号进行采样，将其离散化。

2. 采样定理：为了避免信号采样引入失真，需要满足一定的采样定理。最著名的是奈奎斯特采样定理，它要求采样频率至少是信号最高频率的两倍。

3. 频域滤波：傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，因此可以通过在频域对信号进行滤波来实现去噪、降噪等操作。

傅里叶变换公式

傅里叶变换的公式如下：

F(ω)=∫f(t)·e^(-iωt)·dt

其中，f(t)为一个非周期函数，F(ω)为该函数在频域上的表示，e^(-iωt)为复指数函数，ω为角频率。

傅里叶变换的物理意义是，任何一个非周期函数都可以表示成许多不同频率的正弦和余弦函数的和。这些正弦和余弦函数称为基频率，基频率的频率是连续的，可以取任意实数值。

傅里叶变换通俗理解

傅里叶变换是一种数学工具，用来将一个函数在时域中的表达转换为在频域中的表达。它的原理是将一个函数表示为一系列正弦和余弦函数的叠加，从而得到函数在不同频率下的分量。这个变换在信号处理、图像处理和物理学中都有广泛的应用。

傅里叶变换的概念最早由法国数学家傅里叶提出，他发现任何一个周期函数都可以表示为一系列正弦和余弦函数的和。这个发现引起了人们的广泛兴趣，随后傅里叶变换逐渐被推广到非周期函数上。傅里叶变换可以将一个函数在时域中的信息转换到频域中，从而可以更好地分析和处理信号。

在傅里叶变换中，函数在时域中的表示被称为时域函数，函数在频域中的表示被称为频域函数。时域函数表示了函数在时间上的变化，而频域函数表示了函数在频率上的变化。通过傅里叶变换，我们可以得到一个函数在不同频率下的分量，这些分量可以帮助我们更好地理解和处理信号。

傅里叶变换可以将一个函数表示为正弦和余弦函数的和，这些正弦和余弦函数可以看作是不同频率下的振动。通过傅里叶变换，我们可以将一个函数的振动分解为不同频率下的分量，从而可以更好地理解和处理信号。傅里叶变换可以用来分析信号的频谱，从而可以帮助我们更好地理解信号的特性。

傅里叶变换在信号处理中有广泛的应用。通过傅里叶变换，我们可以将一个信号转换到频域中，从而可以更好地分析和处理信号。例如，通过傅里叶变换，我们可以将一个音频信号转换到频域中，从而可以分析音频信号的频谱特性。在图像处理中，傅里叶变换可以帮助我们分析图像的频谱特性，从而可以实现图像的滤波和增强等操作。

傅里叶变换的应用不仅局限于信号处理领域，它在物理学、工程学和数学等领域也有广泛的应用。在物理学中，傅里叶变换可以用来分析电磁波的频谱特性，从而可以帮助我们理解光的传播和干涉等现象。在工程学中，傅里叶变换可以用来分析电路的频谱特性，从而可以帮助我们设计和优化电路。在数学中，傅里叶变换可以用来研究函数的周期性和振荡性质，从而可以帮助我们理解函数的性质和行为。

详解快速傅里叶变换FFT算法

快速傅里叶变换（FFT）算法是一种高效的计算离散傅里叶变换的方法。它通过将傅里叶变换问题分解为更小的子问题，从而减少计算量。

FFT算法广泛应用于信号处理、图像处理和其他科学与工程领域。

FFT算法的核心思想是将一个长度为N的复数序列分解为两个长度为

N/2的复数序列，并重用其计算结果。这种分解是通过将序列的奇数项与

偶数项分为两组来实现的。分解后可以继续将长度为N/2的序列分解为长

度为N/4的序列，直到序列长度为1时停止。然后，通过合并这些子问题

的解，我们可以得到原始问题的解。

FFT算法的关键步骤可以概括为以下几点：

1.首先，将输入序列通过位逆序操作重新排列。这是为了便于分解和

合并子问题的解。

2.然后，将序列分解为两个长度为N/2的子序列。一组是奇数项，另

一组是偶数项。

3.对两个子序列进行递归调用FFT算法，分别计算它们的傅里叶变换。

4.将子问题的解合并为原始问题的解。这是通过使用每个子问题的解

的一部分和一些旋转因子来完成的。

5.重复以上步骤，直到得到最终的傅里叶变换结果。

FFT算法的时间复杂度是O(NlogN)，相对于朴素的傅里叶变换（时间

复杂度为O(N^2)），有着显著的性能优势。这个优势主要来自于FFT算

法中子问题的重用和分治思想的应用。

FFT算法的应用非常广泛。在信号处理中，FFT算法可以用来分析信

号的频域特征，还可以用于滤波、频谱分析和频率估计等。在图像处理中，FFT算法被用来进行图像变换，包括傅里叶变换、离散余弦变换等。此外，FFT算法还被广泛应用于通信、雷达和声音等领域中的数据处理和分析。

简单介绍快速傅里叶变换

1. 简单介绍快速傅里叶变换。

答：快速傅里叶变换是一种离散傅里叶变换，可以在时间内完成，它能够够将信号从频域转换到时域进行分析与处理。FFT 从本质上可分为时间抽取法和频率抽取法。

2. 傅里叶变换的公式，FFT ，DFT 都可以。

答：FFT 是有效的DFT 算法，下面两式子为DFT 的运算：

X (k )=DFT[x (n )]=∑x (n )W N kn ,k =0,1,…N−1n=0

x (n )=IDFT [X (k )]=∑X (k )W N −kn ,N−1

k=0

n =0,1,

3. 乘的旋转因子是什么?x(n)是什么?X(k)是什么?

答：W N =e −j 2πN ，信号序列x(n)，频谱序列X(k)。

4. 为什么可以用快速傅里叶变换的方式进行呢?

答：FFT 可以将一个信号的频谱提取出来，进行频谱分析，为后续滤波准备。

5. 图像的特征是什么?语音信号的特征是什么?为什么要用IIR?

答：在设计滤波器时，本设计需要设计一个语音信号滤波器，而IIR 数字滤波器最大的优点是给定一组指标时，它的阶数要比相同组的FIR 滤波器的低得多，故选择IIR 数字滤波器。

图像和语音信号对相位的要求不同，图像对相位的要求较高，语音信号对相位的要求低，而IIR 数字滤波器的幅频特性精度高，相位非线性，可应用于相位信息不敏感的音频信号。

傅里叶变换基本原理

傅里叶变换的基本原理是基于一个重要的数学定理，即任何连续函数都可以表示为无穷多个正弦和余弦函数的和。

这个数学定理称为傅里叶级数展开。在实际应用中，傅里叶变换通过将一个函数分解成各种频率的正弦和余弦函数的和来分析该函数的频谱。傅里叶变换将原始函数转换为一个频谱图，其中横轴表示不同的频率，纵轴表示每个频率分量的强度。通过分析频谱图，我们可以获得原始函数的频率成分信息，例如哪些频率分量更强或更弱，进而帮助我们理解信号或图像的特征。

图像处理技术中的傅里叶变换原理与应用

傅里叶变换是一种重要的数学工具，被广泛应用于图像处理领域。图像处理技术中的傅里叶变换可以将图像从空域转换到频域，从而实现图像的频谱分析、滤波、图像增强等操作。本文将详细介绍傅里叶变换的原理以及在图像处理中的应用。

傅里叶变换的原理

傅里叶变换是基于信号的频谱分析理论，它可以将一个函数在时域上的表示变为在频域上的表示。在图像处理中，我们可以将图像看作二维函数，将图像灰度值作为函数的值。傅里叶变换可以将图像从空域转换到频域，通过分析图像的频谱，我们可以获取到图像中各个频率成分的信息。

傅里叶变换通过将图像分解为一系列正弦和余弦函数的和，来描述图像中的各个频率成分。它的数学形式可以表示为以下公式：

F(u, v) = ∫∫ f(x, y) * e^(-j2π(ux+vy)) dx dy

其中，F(u, v)为频域中的函数，f(x, y)为空域中的函数。傅里叶变换将函数f(x, y)转换为了频域中的函数F(u, v)。

傅里叶变换的应用

图像的频域分析：通过对图像进行傅里叶变换，我们可以将图像从空域转换到频域，得到图像的频谱信息。通过分析图像的频谱，我们可以了解图像中各个频率成分的强弱，从而对图像进行分析和处理。例如，我们可以通过频谱分析来检测图像中的噪声，并对其进行滤波处理。

图像的滤波处理：傅里叶变换可以对图像进行频域滤波，从而实现图像的去噪、增强等操作。频域滤波是通过对图像的频谱进行操作，再进行逆变换得到处理后的图像。通过选择合适的滤波器函数，我们可以实现不同的滤波效果。例如，利

傅里叶变换的原理以及应用

1. 傅里叶变换的原理

傅里叶变换是一种数学变换，将一个函数表示为不同频率的正弦和余弦波的线

性组合。它可以将一个时域的函数转换为频域的函数，揭示了信号在频域上的组成成分。

傅里叶变换的数学表达式为：

F(w) = ∫[f(t) * e^(-jwt)] dt

其中，F(w)表示函数在频域上的表示，f(t)表示函数在时域上的表示，e^(-jwt)

是复指数函数。

傅里叶变换的原理可以简单总结为以下几点： - 任何连续周期函数都可以由一

组正弦和余弦函数构成。 - 傅里叶变换将函数从时域转换到频域，将函数分解为不

同频率的成分。 - 傅里叶变换可以用于信号处理、图像处理、音频处理等领域。

2. 傅里叶变换的应用

傅里叶变换在各个领域都有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用案例。

2.1 信号处理

傅里叶变换在信号处理领域有着重要的作用，可以将时域信号转换为频域信号，从而提取出信号的频率特征。通过傅里叶变换，我们可以分析信号的频谱特征，如频率分布、幅度和相位信息等。这对于音频信号处理、图像处理等都有重要的应用。例如，在音频处理中，我们可以利用傅里叶变换将音频信号转换为频域信号，进而实现音频的滤波、降噪、音频识别等功能。

2.2 图像处理

傅里叶变换在图像处理领域也有广泛的应用。通过将图像进行傅里叶变换，我

们可以将图像转换到频域，在频域上进行操作，如去除图像中的噪声、增强图像的细节等。傅里叶变换在图像压缩、图像识别、图像恢复等方面也有重要的应用。

2.3 通信系统

傅里叶变换在通信系统中也起到了重要的作用。在通信系统中，我们需要传输

实施简易傅里叶变换实验的步骤

实施简易傅里叶变换实验的步骤傅里叶变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、图像处

理等领域。通过傅里叶变换，我们可以将一个信号从时域转换到频域，进而分析信号的频谱与频率特性。为了更好地理解傅里叶变换的原理

和应用，进行简易傅里叶变换实验是必要的。下面将为您介绍实施简

易傅里叶变换实验的步骤。

第一步：准备实验器材和材料

进行简易傅里叶变换实验，首先需要准备以下器材和材料：

1. 函数发生器：用于产生不同频率、不同振幅的信号；

2. 示波器：用于显示信号的波形；

3. 快速傅里叶变换（FFT）仪器：用于进行实时的频域分析。

第二步：连接实验仪器

将函数发生器、示波器和FFT仪器按以下步骤依次连接起来：

1. 将函数发生器的输出端连接到示波器的输入端；

2. 将示波器的输出端连接到FFT仪器的输入端。

第三步：设置函数发生器

根据实验需求，设置函数发生器的参数：

1. 设置信号的频率：可以选择不同的频率进行实验，例如100Hz、500Hz、1kHz等；

2. 设置信号的振幅：根据需要调节信号的振幅。

第四步：观察时域波形

打开示波器，将示波器的时间基准设置为适当的量程。观察示波器

上显示的时域波形，可以通过调节函数发生器的参数，观察到不同频

率和振幅的信号波形。

第五步：进行频域分析

将FFT仪器的模式切换到频域分析模式，观察频谱。可以通过示波

器上的操作按钮将信号波形转换为频域谱线。观察频谱，可以看到信

号的频率成分和强度分布情况。

第六步：记录实验结果

根据实验观察结果，记录不同频率和振幅下的信号波形和频谱特征。可以通过拍照或者记录数据的方式进行记录。

傅里叶变换快速算法

如果直接使用傅里叶变换的定义进行计算，时间复杂度将会非常高。

而傅里叶变换的快速算法可以大大提高计算效率，其中应用最广泛的是快

速傅里叶变换（Fast Fourier Transform, FFT）。

快速傅里叶变换是由高速数学库（Fast Fourier Transform Library, FFT）提出的。它的核心思想是将N个复数的DFT（Discrete Fourier Transform）分解为多个规模较小的DFT相加。通常情况下，N可以表示

为2的整数幂，这样可以将整个计算过程逐步分解为规模为N/2的子问题。

快速傅里叶变换的主要步骤如下：

1.将N个复数分为两个序列经过奇偶分解，分别计算奇数点的傅里叶

变换和偶数点的傅里叶变换。

2.对于奇数点的傅里叶变换，可以继续递归地分解为更小规模的傅里

叶变换。递归的停止条件是只有一个复数。

3.按照分解的次序对奇数点的结果和偶数点的结果进行合并计算。合

并的方式为将奇数点的结果与对应的偶数点的结果进行乘积运算。因为在

频域中，奇数点和偶数点的结果有一定的对称性，所以可以通过乘积运算

将它们合并为一组复数。

4.重复以上步骤，直到将整个序列分解为规模为1的子问题。最终得

到整个序列的傅里叶变换结果。

快速傅里叶变换的时间复杂度为O(NlogN)，比直接计算的O(N^2)要

低得多。这是因为通过将序列分解为多个较小规模的子问题进行计算，避

免了大量的重复计算。此外，快速傅里叶变换还具有良好的数值稳定性和

精度。

快速傅里叶变换除了在信号分析中广泛应用外，还在许多其他领域有

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傅里叶变换就是这么简单，你学会了吗

不用任何数学公式

来解释傅里叶变换

学习傅里叶变换需要面对大量的数学公式，数学功底较差的同学听到傅里叶变换就头疼。事实上，许多数学功底好的数字信号处理专业的同学也不一定理解傅里叶变换的真实含义，不能做到学以致用!事实上，傅里叶变换的相关运算已经非常成熟，有现成函数可以调用。对于绝大部分只需用好傅里叶变换的同学，重要的不是去记那些枯燥的公式，而是解傅里叶变换的含义及意义。本文试图不用一个数学公式，采用较为通俗的语言深入浅出的阐述傅里叶变换的含义、意义及方法，希望大家可以更加亲近傅里叶变换，用好傅里叶变换。1伟大的傅里叶、伟大的争议！

1807年，39岁的法国数学家傅里叶于法国科学学会上展示了一篇论文(此时不能算发表，该论文要到21年之后发表)，论文中有个在当时极具争议的论断：“任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成”。这篇论文，引起了法国另外两位著名数学家拉普拉斯和拉格朗日的极度关注!58岁的拉普拉斯赞成傅里叶的观点。71岁的拉格朗日(貌似现在的院士，不用退休)则反对，反对的理由是“正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号” 。屈服于朗格朗日的威望，该论文

直到朗格朗日去世后的第15年才得以发表。之后的科学家证明：傅里叶和拉格朗日都是对的!有限数量的正弦曲线的确无法组合成一个带有棱角的信号，然而，无限数量的正弦曲线的组合从能量的角度可以非常无限逼近带有棱角的信号。2傅里叶变换的定义

后人将傅里叶的论断进行了扩展：满足一定条件的函数可以表示成三角函数(正弦和/或余弦函数)或者它们的积分的线性组合。如何得到这个线性组合呢?这就需要傅里叶变换。一定条件是什么呢?这是数学家研究的问题，对于大多数搞电参量测量的工程师而言，不必关注这个问题，因为，电参量测量中遇到的周期信号，都满足这个条件。这样，在电参量测量分析中，我们可以用更通俗的话来描述傅里叶变换：任意周期信号可以分解为直流分量和一组不同幅值、频率、相位的正弦波。分解的方法就是傅里叶变换。并且，这些正弦波的频率符合一个规律：是某个频率的整数倍。这个频率，就称为基波频率，而其它频率称为谐波频率。如果谐波的频率是基波频率的N倍，就称为N次谐波。直流分量的频率为零，是基波频率的零倍，也可称零次谐波。3傅里叶变换的意义

1、为什么要进行傅里叶变换呢?傅里叶变换是描述信号的需要。只要能反映信号的特征，描述方法越简单越好!信号特征可以用特征值进行量化。所谓特征值，是指可以定量描述一

个波形的某种特征的数值。全面描述一个波形，可能需要多个特征值。比如说：正弦波可以用幅值和频率两个特征值全面描述;方波可以用幅值、频率和占空比三个特征值全面描述(单个周期信号不考虑相位)。上述特征值，我们可以通过示

波器观测实时波形获取，称为时域分析法。事实上，许多人都习惯于时域分析法，想要了解一个信号时，一定会说：“让我看看波形!”可是，除了一些常见的规则信号，许多时候，

给你波形看，你也看不明白!复杂的不讲，看看下面这个波形，能看出道道吗?我们能看到的仅仅是一个类似正弦波的波形，其幅值在按照一定的规律变化。如何记载这个波形的信息呢?尤其是量化的记载!很难!事实上，上述波形采用傅里叶变换后，就是一个50Hz的正弦波上叠加一个40Hz的正弦波，

两者幅度不同，40Hz的幅度越大，波动幅度就越大，而波

动的频率就是两者的差频10Hz(三相异步电动机叠频温升试验时的电流波形)。再看一个看似简单的波形：这个波形有点像正弦波，但是，比正弦波尖，俗称“尖顶波”，多见于变压

器空载电流输入波形。我们很难准确定量其与正弦波的区别。采用傅里叶变换后，得到下述频谱(幅值谱)：主要包括3、5、7、9次谐波，一目了然!傅里叶变换是一种信号分析方法，

让我们对信号的构成和特点进行深入的、定量的研究。把信号通过频谱的方式(包括幅值谱、相位谱和功率谱)进行准确的、定量的描述。这就是傅里叶变换的主要目的。现在，我

们知道傅里叶变换的目的了，剩下的问题是：2、为什么傅里叶变换要把信号分解为正弦波的组合，而不是方波或三角波?其实，如果张三能够证明，任意信号可以分解为方波的组合，其分解的方法不妨称为张三变换;李四能够证明，任意信号可以分解为三角波的组合，其分解的方法也可以称为李四变换。傅里叶变换是一种信号分析的方法。既然是分析方法，其目的应该是把问题变得更简单，而不是变得更复杂。傅里叶选择了正弦波，没有选择方波或其它波形，正好是其伟大之处!正弦波有个其它任何波形(恒定的直流波形除外)所不具备的特点：正弦波输入至任何线性系统，出来的还是正弦波，改变的仅仅是幅值和相位，即：正弦波输入至线性系统，不会产生新的频率成分(非线性系统如变频器，就会产生新的频率成分，称为谐波)。用单位幅值的不同频率的正弦波输入至某线性系统，记录其输出正弦波的幅值和频率的关系，就得到该系统的幅频特性，记录输出正弦波的相位和频率的关系，就得到该系统的相频特性。线性系统是自动控制研究的主要对象，线性系统具备一个特点，多个正弦波叠加后输入至一个系统，输出是所有正弦波独立输入时对应输出的叠加。也就是说，我们只要研究正弦波的输入输出关系，就可以知道该系统对任意输入信号的响应。这就是傅里叶变换的最主要的意义!4如何求傅里叶变换?

文章开始就说了，具体求傅里叶变换，有成熟的函数可供调

用。本文只讲述如何理解傅里叶变换的思想。如果你掌握了这个思想，不用再记公式，也不用去调用什么函数，自己编个简单程序就可实现。就算你不会编程，只要你学过三角函数，至少可以理解傅里叶变换的过程。傅里叶的伟大之处不在于如何进行傅里叶变换，而是在于给出了“任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成”这一伟大的论断。知道了这一论断，只要知道正弦函数的基本特性，变换并不难，不要记公式，你也能实现傅里叶变换!正弦函数有一个特点，叫做正交性，所谓正交性，是指任意两个不同频率的正弦波的乘积，在两者的公共周期内的积分等于零。这是一个非常有用的特性，我们可以利用这个特性设计一个如下的检波器(下称检波器A)：检波器A由一个乘法器和一个积分器构成，乘法器的一个输入为已知频率f的单位幅值正弦波(下称标准正弦信号f)，另一个输入为待变换的信号。检波器A的输出只与待变换信号中的频率为f的正弦分量的幅值和相位有关。待变换信号可能包含频率为f的分量(下称f分量)，也可能不包含f分量，总之，可能包含各种频率分量。一句话，待变换信号是未知的，并且可能很复杂!没关系，我们先看看，待变换信号是否包含f分量。因为其它频率分量与标准正弦信号f的乘积的积分都等于零，检波器A可以当它们不存在!

经过检波器A，输出就只剩下与f分量有关的一个量，这个

量等于待变换信号中f分量与标准正弦信号f的乘积的积分。