核按钮高考数学专题复习课件导数的概念与运算
合集下载
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用(一)课件理
第十六页，共31页。
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.若 a≤0，则 f′(x)
＞0，f(x)在(0，＋∞)单调递增；若 a＞0，则当 x∈0，1a时，f′(x) ＞0，当 x∈1a，＋∞时，f′(x)＜0，所以 f(x)在0，1a单调递增， 在1a，＋∞单调递减．
(2)由(1)知，当 a≤0 时，f(x)在(0，＋∞)单调递增，合要求；
②将 f(x)的各极值与端点处的函数值______，______进行比较，其
中最大的一个是________，最小的一个是________．
第四页，共31页。
自查自纠
1．单调递增 单调递减 常数函数 2．(1)②f′(x)＜0 f′(x)＞0 (2)②f′(x)＝0 ③极大值 极小值 3．(2)f(a) f(b) f(a) f(b) (3)②f(a) f(b) 最大值 最小值
第三章
导数(dǎo shù)及其应用
§3.2 导数(dǎo shù)的 应用（一）
第一页，共31页。
1．函数的单调性与导数 在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在 这个区间内____________；如果 f′(x)<0，那么函数 y＝f(x)在 这个区间内____________；如果在某个区间内恒有 f′(x)＝0， 那么函数 f(x)在这个区间上是________．
第六页，共31页。
(2015·北京海淀区模拟)函数 f(x)＝x2－2lnx 的单调
递减区间是( )
A．(0，1)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－1，1)
解：∵f′(x)＝2x－2x＝2（x＋1）x（x－1）(x＞0)． ∴当 x∈(0，1)时 f′(x)＜0，f(x)为减函数； 当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．故选 A.
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－a.若 a≤0，则 f′(x)
＞0，f(x)在(0，＋∞)单调递增；若 a＞0，则当 x∈0，1a时，f′(x) ＞0，当 x∈1a，＋∞时，f′(x)＜0，所以 f(x)在0，1a单调递增， 在1a，＋∞单调递减．
(2)由(1)知，当 a≤0 时，f(x)在(0，＋∞)单调递增，合要求；
②将 f(x)的各极值与端点处的函数值______，______进行比较，其
中最大的一个是________，最小的一个是________．
第四页，共31页。
自查自纠
1．单调递增 单调递减 常数函数 2．(1)②f′(x)＜0 f′(x)＞0 (2)②f′(x)＝0 ③极大值 极小值 3．(2)f(a) f(b) f(a) f(b) (3)②f(a) f(b) 最大值 最小值
第三章
导数(dǎo shù)及其应用
§3.2 导数(dǎo shù)的 应用（一）
第一页，共31页。
1．函数的单调性与导数 在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)>0，那么函数 y＝f(x)在 这个区间内____________；如果 f′(x)<0，那么函数 y＝f(x)在 这个区间内____________；如果在某个区间内恒有 f′(x)＝0， 那么函数 f(x)在这个区间上是________．
第六页，共31页。
(2015·北京海淀区模拟)函数 f(x)＝x2－2lnx 的单调
递减区间是( )
A．(0，1)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－1，1)
解：∵f′(x)＝2x－2x＝2（x＋1）x（x－1）(x＞0)． ∴当 x∈(0，1)时 f′(x)＜0，f(x)为减函数； 当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．故选 A.
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算课件文
法求导数的一般过程．
第十四页，共27页。
航天飞机发射后的一段时间内，第 t s 时的高度 h(t)＝5t3＋30t2
＋45t＋4(单位：m)．
(1)求航天飞机在第 1 s 内的平均速度；
(2)用定义方法求航天飞机在第 1 s 末的瞬时速度．
解：(1)航天飞机在第 1 s 内的平均速度为 h（1）－1 h（0）＝5＋30＋145＋4－4＝80 m/s. (2)航天飞机第 1 s 末高度的平均变化率为 h（1＋Δt）－h（1）
6．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函
数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的
最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)． 7．会用导数解决实际问题．
第二页，共27页。
• 3.1 导数的概念(gàiniàn) 及运算
第三页，共27页。
1．导数的概念 (1)定义 如果函数 y＝f(x)的自变量 x 在 x0 处有增量 Δx，那么函数 y 相应地有增量 Δy＝ f(x0＋Δx)－f(x0)，比值ΔΔyx就叫函数 y＝f(x)从 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化率，即ΔΔyx＝ f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）.如果当 Δx→0 时，ΔΔyx有极限，我们就说函数 y＝f(x)在点 x0
f（x＋Δx）－f（x）
Δx
.
第四页，共27页。
(3)用定义求函数 y＝f(x)在点 x0 处导数的方法
①求函数的增量 Δy＝
；
②求平均变化率ΔΔyx＝
；
③取极限，得导数 f′(x0)＝ lim x 0
Δy Δx.
2．导数的几何意义
函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y＝
第十四页，共27页。
航天飞机发射后的一段时间内，第 t s 时的高度 h(t)＝5t3＋30t2
＋45t＋4(单位：m)．
(1)求航天飞机在第 1 s 内的平均速度；
(2)用定义方法求航天飞机在第 1 s 末的瞬时速度．
解：(1)航天飞机在第 1 s 内的平均速度为 h（1）－1 h（0）＝5＋30＋145＋4－4＝80 m/s. (2)航天飞机第 1 s 末高度的平均变化率为 h（1＋Δt）－h（1）
6．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函
数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的
最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)． 7．会用导数解决实际问题．
第二页，共27页。
• 3.1 导数的概念(gàiniàn) 及运算
第三页，共27页。
1．导数的概念 (1)定义 如果函数 y＝f(x)的自变量 x 在 x0 处有增量 Δx，那么函数 y 相应地有增量 Δy＝ f(x0＋Δx)－f(x0)，比值ΔΔyx就叫函数 y＝f(x)从 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化率，即ΔΔyx＝ f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）.如果当 Δx→0 时，ΔΔyx有极限，我们就说函数 y＝f(x)在点 x0
f（x＋Δx）－f（x）
Δx
.
第四页，共27页。
(3)用定义求函数 y＝f(x)在点 x0 处导数的方法
①求函数的增量 Δy＝
；
②求平均变化率ΔΔyx＝
；
③取极限，得导数 f′(x0)＝ lim x 0
Δy Δx.
2．导数的几何意义
函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y＝
2025届高中数学一轮复习课件《导数的概念与运算》ppt
若 y＝f(x)，y＝g(x)的导数存在，则 (1)[f(x)±g(x)]′＝___f_′__(x_)_±_g_′__(_x_) __； (2)[f(x)·g(x)]′＝____f_′__(x_)_g_(_x)_＋__f_(x_)_g_′__(x_)_______； (3)gfxx′＝f′xg[xg－xf]2xg′x(g(x)≠0)．
高考一轮总复习•数学
第3页
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
一 导数的概念
1．平均变化率：对于函数 y＝f(x)，我们把比值ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0叫做函数 y＝f(x)从
x0 到 x0＋Δx 的平均变化率．
高考一轮总复习•数学
第17页
解析：(1)函数 f(x)＝x2 在区间[1,2]上的平均变化率为222－－112＝3；因为 f′(x)＝2x，所以
f(x)在
强调概念，平均变化率＝f22－－f11.
x＝2 处的导数为 2×2＝4.故答案为 3 4.
(2)∵f(x)＝x2－x，∴f′(x)＝2x－1.
lim
(2) 利 用 导 数 定 义 求 函 数 的 导 数 时 ， 先 算 函 数 值 的 变 化 量
Δy
，
再
算
比
值
Δy Δx
＝
fx＋ΔΔxx－fx，再这里有两个量，Δx 和 x，在求极限过程中，x 暂时理解为常量，此时 Δx
为变量，在极限结果中，Δx 消失，此时 x 可以看作变量了．
求极限 y′＝li m
高考一轮总复习•数学
第15页
高考一轮总复习•数学
第3页
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
一 导数的概念
1．平均变化率：对于函数 y＝f(x)，我们把比值ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0叫做函数 y＝f(x)从
x0 到 x0＋Δx 的平均变化率．
高考一轮总复习•数学
第17页
解析：(1)函数 f(x)＝x2 在区间[1,2]上的平均变化率为222－－112＝3；因为 f′(x)＝2x，所以
f(x)在
强调概念，平均变化率＝f22－－f11.
x＝2 处的导数为 2×2＝4.故答案为 3 4.
(2)∵f(x)＝x2－x，∴f′(x)＝2x－1.
lim
(2) 利 用 导 数 定 义 求 函 数 的 导 数 时 ， 先 算 函 数 值 的 变 化 量
Δy
，
再
算
比
值
Δy Δx
＝
fx＋ΔΔxx－fx，再这里有两个量，Δx 和 x，在求极限过程中，x 暂时理解为常量，此时 Δx
为变量，在极限结果中，Δx 消失，此时 x 可以看作变量了．
求极限 y′＝li m
高考一轮总复习•数学
第15页
核按钮高考数学专题复习课件导数的概念与运算
最大值和最小值
函数的极值是最大值和最小值的 统称，可以通过导数和二阶导数 计算。
拐点和凸凹性
函数的拐点是凸凹性转换的点， 可以通过导数和二阶导数计算。
最优化问题
最优化问题是实际应用中常见的 问题类型，可以通过导数方法求 解。
总结
导数是数学和物理中的基础概念，具有广泛的应用和深刻的理论意义。希望通过本课程的学习，大家能够深入 理解导数的概念和计算方法，掌握导数分析的基本技能，从而在数学和科学领域更加自信和成功。
核按钮高考数学专题复习 课件导数的概念与运算
导数是高中数学和微积分的基本概念之一。导数用于描述函数在给定点处的 变化率，是许多数学和物理问题的核心概念。在本课程中，我们将深入了解 导数的概念、性质和计算方法。
导数的定义和几何意义
切线
导数是曲线在给定点处的切线的 斜率。
斜率
导数是函数在给定点处的斜率， 表示函数值的变化率。
隐函数
隐函数是复杂曲面的显式函数表示，导数需数
向量代数和微积分
向量函数是高维空间中的映 射，导数描述了向量场的局 部性质。
偏导数和全导数
高维函数的导数需要使用偏 导数和全导数等更复杂的计 算方法。
导数的应用
导数广泛应用于科学工程与 实际问题，如最值问题和最 优化问题等。
函数的导数和反函数的导数
1
一阶导数
函数的导数可以表示为函数的初等函数或数学公式的形式。
2
高阶导数
函数的导数也可以求二阶导、三阶导等高阶导数，揭示函数的更多性质。
3
反函数的导数
反函数的导数可以通过求导链式法则和反函数公式获得。
参数方程的导数和隐函数的导数
参数方程
参数方程描述曲线的参数关系，导数需要通过参数 求导法则计算。
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.3导数的应用(二)课件理
第三页，共32页。
4．N 型曲线与直线 y＝k 的位置关系问题 如图，方程 f(x)＝0 有三个根 x1，x2，x3 时，极大 值 f(a)＞0 且极小值 f(b)＜0. 曲线 y＝f(x)与直线 y＝k(k 是常数)有一个交点时， 见图中的直线①或直线②，极大值 f(a)______k 或极小 值 f(b)______k； 曲线 y＝f(x)与直线 y＝k(k 是常数)有两个交点时，见图中的直线③或直 线④，极大值 f(a)______k 或极小值 f(b)______k； 曲线 y＝f(x)与直线 y＝k(k 是常数)有三个交点时，见图中的直线⑤. 以上这些问题，常见于求参数的取值范围、讨论不等关系等形式的题目．
(1)若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线 y＝1 平行，求 a 的值；
(2)求函数 f(x)在区间[1，2]上的最小值．
解：f′(x)＝2x－2xa23＝2（x3x－2 a3），x≠0. (1)由题意可得 f′(1)＝2(1－a3)＝0，解得 a＝1， 此时 f(1)＝4，在点(1，f(1))处的切线为 y＝4， 与直线 y＝1 平行． 故所求 a 的值为 1.
证法二：由于方程ex＝ex等价于exx＝1e.
设 h(x)＝exx，分析方法类似证法一．
第二十三页，共32页。
【点拨】本题通过作差或作商构造出新的函 数，求出新函数的单调区间、极值点、区间端点 处的函数值、特殊点(如图象与 x 轴，y 轴交点)， 来判断交点的个数，这是函数与方程思想的体现．
↘
极小值
↗
由上表可得 y＝f(x)在[1，2]上的最小值为 f(a)＝3a2＋1.
③当 a≥2 时，f′(x)≤0 在[1，2]上恒成立，所以 y＝f(x)在[1，2]上递减．
4．N 型曲线与直线 y＝k 的位置关系问题 如图，方程 f(x)＝0 有三个根 x1，x2，x3 时，极大 值 f(a)＞0 且极小值 f(b)＜0. 曲线 y＝f(x)与直线 y＝k(k 是常数)有一个交点时， 见图中的直线①或直线②，极大值 f(a)______k 或极小 值 f(b)______k； 曲线 y＝f(x)与直线 y＝k(k 是常数)有两个交点时，见图中的直线③或直 线④，极大值 f(a)______k 或极小值 f(b)______k； 曲线 y＝f(x)与直线 y＝k(k 是常数)有三个交点时，见图中的直线⑤. 以上这些问题，常见于求参数的取值范围、讨论不等关系等形式的题目．
(1)若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线 y＝1 平行，求 a 的值；
(2)求函数 f(x)在区间[1，2]上的最小值．
解：f′(x)＝2x－2xa23＝2（x3x－2 a3），x≠0. (1)由题意可得 f′(1)＝2(1－a3)＝0，解得 a＝1， 此时 f(1)＝4，在点(1，f(1))处的切线为 y＝4， 与直线 y＝1 平行． 故所求 a 的值为 1.
证法二：由于方程ex＝ex等价于exx＝1e.
设 h(x)＝exx，分析方法类似证法一．
第二十三页，共32页。
【点拨】本题通过作差或作商构造出新的函 数，求出新函数的单调区间、极值点、区间端点 处的函数值、特殊点(如图象与 x 轴，y 轴交点)， 来判断交点的个数，这是函数与方程思想的体现．
↘
极小值
↗
由上表可得 y＝f(x)在[1，2]上的最小值为 f(a)＝3a2＋1.
③当 a≥2 时，f′(x)≤0 在[1，2]上恒成立，所以 y＝f(x)在[1，2]上递减．
第4章+第2讲+导数的概念及运算2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex，错误；对于 C，(xcosx)′＝cosx
－xsinx，错误；对于 D，x－1x′＝1－1x′＝1＋x12，错误．故选 A．
解析 答案
x－3 (2)(2021·贵阳模拟)已知 f(x)的导函数为 f′(x)，f(x)＝ ex ＋2f′(1)·x， 则 f′(1)＝________. 答案 －3e 解析 ∵f(x)＝x－ex 3＋2f′(1)·x，∴f′(x)＝4－ex x＋2f′(1)，∴f′(1)＝3e＋ 2f′(1)，解得 f′(1)＝－3e.
解析 由导函数图象可知两函数的图象在x0处的切线斜率相等,故选D.
解析 答案
4. (2021·长沙检测)如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线 l：y＝kx＋3 是 曲线 y＝f(x)在 x＝1 处的切线，令 h(x)＝fxx，h′(x)是 h(x)的导函数，则 h′(1) 的值是( )
A．2
B．1
解
导数的运算方法 (1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导． (2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分 式函数，再求导． (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导． (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导． (5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．
的值，即ΔΔyx有极限，则称 y＝f(x)在 x＝x0 处可导，并把这个确定的值叫做 y
＝f(x)在 x＝x0 处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即
f′(x0)＝ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0
2023版高考数学一轮总复习第三章导数及其应用第一讲导数的概念及运算课件理
先化为和、差的形式,再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式,再求导
三角形式
先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导
复合形式
先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元
P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k= f ＇(x0) .相应地,切线方程为y-f(x0)=
f ＇(x0)(x-x0).
说明 函数y=f(x)在某点处的导数、曲线y=f(x)在某点处切线的斜率和
倾斜角,这三者是可以相互转化的.
考点2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
导数的运算
1.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)=C(C为常数)
y=3x-1,则f(1)+f ＇(1)=
5
.
考向扫描
考向1
导数的运算
1.典例 求下列函数的导数:
(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);
2
(2)y=sin (1-2cos );
2
4
2−1
1
(3)y=ln
(x> ).
2+1
2
考向1
解析
导数的运算
(1)因为y=(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,
f ＇(x)=
a
考点2
导数的运算
2.导数的四则运算法则
若f ＇(x),g＇(x)存在,则
(1)[f(x)±g(x)] ＇ =f ＇(x)±g＇(x) ;
(2)[f(x)·g(x)]＇= f ＇(x)g(x)+f(x)g＇(x) ;
高考数学一轮总复习课件：导数的概念与运算
(4)f(x)＝ 1－1 2x2；
π (5)f(x)＝cos(3x2－ 6 )．
【解析】 (1)∵f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′，
∴f′(x)＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.
(2)∵f(x)＝11＋ －
xx＋11＋－
x x
＝（1＋ 1－xx）2＋（1－ 1－xx）2
π 5．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝ 2 处的瞬时变化率为
k1，k2，则k1，k2的大小关系为( A )
A．k1>k2
B．k1<k2
C．k1＝k2
D．不确定
解析 ∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx. π
k1＝cos0＝1，k2＝cos 2 ＝0，∴k1>k2.
授人以渔
题型一 导数的概念(自主学习)
(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为k＝x02＝1， 解得x0＝±1，故切点为1，53或(－1，1)． 故所求切线方程为y－53＝x－1或y－1＝x＋1. 即3x－3y＋2＝0或x－y＋2＝0.
【答案】 (1)4x－y－4＝0 (2)4x－y－4＝0或x－y＋2＝0 (3)3x－3y＋2＝0或x－y＋2＝0
状元笔记
求曲线的切线方程的两种类型 (1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在 点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线， 一定是以点P为切点；过点P的切线，不确定点P在不在曲线上， 点P不一定是切点． (2)求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
数的平均变化率Δ Δyx的极限是否存在．
(2)利用导数定义求函数的导数时，先算函数的增量Δy，
高三数学复习课_导数的概念与计算课件.ppt
知识要点：函数变化快慢与图象的关系 (1) (2)
函数值增加得越来越快 函数值增加得越来越慢 f'(x)>0且越来越大 f'(x)>0且越来越小
(3)
(4)
函数值减少得越来越快 函数值减少得越来越慢 f'(x)<0且越来越小 f'(x)<0且越来越大
题型:求参数的取值范围 [例2] 已知f ( x ) ax 3 x x 1,
解不等式f'(x)<0，得函数单调减区间.
***例1***
判断下列函数的单调性 , 并求出 单调区间: (1) f ( x ) e x;
x
( 2) f ( x ) x x x .
3 2
练习1:函数y=lnx－x的单调增区间 是_____.
小 结2
一般地, 如果一个函数在某
y y=f(x) b x
Hale Waihona Puke 知识要点 3、函数极值的判断： 1)当x0 附近的左侧f '(x)>0,右侧f '(x)<0,
那么f(x0)是极大值;
2) 当x0 附近的左侧f '(x)<0,右侧f '(x)>0, 那么,f(x0)是极小值. 可导函数f(x)在极值点处的导数为0.但 导数为0的点不一定为极值点。
知识要点
4、求函数极值的步骤：
在图3.3-14、图3.3-15中，观察[a, b] 上的函数y=f(x)的图象，它们在[a, b]上 有最大值、最小值吗？如果有，最大值 和最小值分别是什么？
三、范例
1 3 [例5] 求函数f ( x ) x 4 x 4 3 在区间[0,3]上的最大值与最小值 .
相关主题