2012届高考数学第一轮复习考试题24-坐标系与参数方程

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专题13：2012-2020年高考数学真题分类汇编《坐标系与参数方程》(学生版)

《坐标系与参数方程》1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．（1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），C 2：1,1x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）. （1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩，(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点. （1）求|AB |：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程. 4．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．5．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P .（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.6．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD .（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标.7．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为24x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为12x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为()1,2，求l 的斜率．9．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题）在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y ，θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O 交于A B ，两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．10．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）．（1）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la ．11．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在曲线2C 上，求ABO ∆面积的最大值． 12．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+-=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.13．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos {1sin x a ty a t==+（t 为参数，a ＞0）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cos θ.（Ⅰ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tan α0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .14．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）,l 与C 交于,A B 两点，||AB =，求l 的斜率．15．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国3卷））在直角坐标系xOy中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=.（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值以及此时P 的直角坐标. 16．（2015年全国普通高等学校招生统一考试）在直角坐标系xOy 中，直线1;2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C ，2C 的极坐标方程；（2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN∆的面积．17．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:{sin ,x t C y t αα== （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ==（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A,1C 与3C 相交于点B,求AB 最大值.18．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知曲线194:22=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=t y t x l 222:（t 为参数）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.19．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷））在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦.（1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.20．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos {55sin x t y t=+=+（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）21．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷）已知动点,P Q 都在曲线2cos :{2sin x t C y t==（t 为参数）上，对应参数分别为t α=与()202t ααπ=<<，M为PQ 的中点．（1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 22．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（课标卷））已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形ABCD 的顶点都在上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,)3π（1）求点,,,A B C D 的直角坐标；（2）设P 为上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围.。

2012年高考数学按章节分类汇编(人教A选修4-4)第一、二章坐标系与参数方程

在极轴上 , 所以 C1 与 x 轴交点横坐标与 a 值相等 , 由 y 0, x
2 ,知a=
2
.
2
2
【点评】本题考查直线的极坐标方程、圆的极坐标方程
, 直线与圆的位置关系 , 考查转化
的思想、方程的思想 , 考查运算能力 ; 题型年年有 , 难度适中 . 把曲线 C1 与曲线 C2 的极坐
标方程都转化为直角坐标方程 , 求出与 x 轴交点 , 即得 . 3. 解析 : 2,1 . 法 1: 曲线 C1 的普通方程是 x2 y2 5( x 0 , y 0 ), 曲线 C2 的普通方程是
x2
x1
x y 1 0 , 联立解得
( 舍去
y1
y
), 所以交点坐标为 2,1 . 2
法 2: 联立
5 cos 5 si n
2 1t
2 , 消去参数 2t 2
可得 1
2
2t 2
2
2t 2
5,解得
t1 2 2 ( 舍去 ), t2
x2
2 , 于是
, 所以交点坐标为 2,1 .
y1
4.
[ 解析 ] M (2, 0) 的直角坐标也是 (2,0), 斜率 k
2cos 相交的
弦长为 ___________.
x t 1,
6．（ 2012 年高考（湖南理））在直角坐标系
xOy 中 , 已知曲线 C1 :
y
(t
1 2t
为参数 ) 与
x a sin ,
曲线 C2 :
( 为参数 , a 0 ) 有一个公共点在 X 轴上 , 则 a __ . y 3cos
7．（ 2012 年高考（湖北理）） ( 选修 4-4: 坐标系与参数方程 ) 在直角坐标系 xOy中 , 以原点 O

极坐标系与参数方程一轮复习

极坐标系与参数方程♦知识梳理、极坐标在象限确定.二、常见曲线的极坐标方程 1、圆的极坐标方程（1）圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是 _____ ；（2） ______________________________________________________________ 圆心在极轴上的点（a,0）处，且过极点0的圆的极坐标方程是 _________________________ （3）圆心在点（a,处且过极点的圆0的极坐标方程是 ___________ 。

2、直线的极坐标方程（1）过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程是 __________ ；（2） _______________________________________________________ 过点（a,0），且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ___________________________________ 三、常见曲线的参数方程1、极坐标定义：M 是平面上一点,表示0M 的长度,是MOx ，则有序实数实数对（,）,叫极径，叫极角；一般地,2、极坐标和直角坐标互化公式:COS2 2 x 2y sin或t tany （x 0）的象限由点（x, y ）所[0,2 ）， 0x y第一节平面直角坐标系中的伸缩、平移变换知识点】点P(x,y)的对应点为P'(x',y')。

称为平面直角坐标系中的伸缩变换定义 2：在平面内，将图形 F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形F 的平移。

若以向量a 表示移动的方向和长度，我们也称图形 F 按向量a 平移. F 上任意一点P 的坐标为(x, y)，向量a (h, k)，平移后因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小．所以，在平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。

【典例1】(2014年高考辽宁卷(文))将圆x 2 + /= 1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C. (I) 写出 C 的参数方程；(II )设直线1: 2x + y - 2二0与C 的交点为P i ，P 2,以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P i P 2的中点且与I 垂直的直线的极坐标方程.练习:定义 1：设 P(x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换x' x( y' y(00))的作用下，在平面直角坐标系中，设图形的对应点为P(x, y )则有:即有:x x h， y y k在平面直角坐标系中，由 (x,y) (h,k) (x,y)xh x h 所确定的变换是一个平移变换。

高三理科数学一轮总复习第十七章坐标系与参数方程

第十七章坐标系与参数方程高考导航2.(如过极点的直线、过极点或圆心参数方程和极坐知识网络17.1 坐标系典例精析题型一极坐标的有关概念【例1】已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A (5，π6)，B (5，π2)，C (－43，π3)，试判断△ABC 的形状，并求出它的面积. 【解析】在极坐标系中，设极点为O ，由已知得∠AOB ＝π3，∠BOC ＝5π6，∠AOC ＝5π6.又|OA |＝|OB |＝5，|OC |＝43，由余弦定理得|AC |2＝|OA |2＋|OC |2－2|OA |·|OC |·cos ∠AOC ＝52＋(43)2－2×5×43·cos 5π6＝133，所以|AC |＝133.同理，|BC |＝133. 所以|AC |＝|BC |，所以△ABC 为等腰三角形. 又|AB |＝|OA |＝|OB |＝5，所以AB 边上的高h ＝|AC |2－(12|AB |)2＝1332，所以S △ABC ＝12×1332×5＝6534.【点拨】判断△ABC 的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，所以先计算边长.【变式训练1】(1)点A (5，π3)在条件：①ρ＞0，θ∈(－2π，0)下极坐标为，②ρ＜0，θ∈(2π，4π)下极坐标为；(2)点P (－12，4π3)与曲线C ：ρ＝cos θ2的位置关系是 .【解析】(1)(5，－5π3)；(－5，10π3).(2)点P 在曲线C 上.题型二直角坐标与极坐标的互化【例2】⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙O 1和⊙O 2交点的直线的直角坐标方程.【解析】(1)以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系，且两坐标系取相同单位长. 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x ，即x 2＋y 2－4x ＝0为⊙O 1的直角坐标方程. 同理，x 2＋y 2＋4y ＝0为⊙O 2的直角坐标方程.(2) 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+,04,042222y y x x y x 解得⎩⎨⎧==0,011y x 或⎩⎨⎧-==.2,222y x即⊙O 1，⊙O 2的交点为(0,0)和(2，－2)两点，故过交点的直线的直角坐标方程为x ＋y ＝0.【点拨】互化的前提条件：原点对应着极点，x 轴正向对应着极轴.将互化公式代入，整理可以得到. 【变式训练2】在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝2的距离为d ，求d 的最大值.【解析】将极坐标方程ρ＝3化为普通方程x 2＋y 2＝9， ρ(cos θ＋3sin θ)＝2可化为x ＋3y ＝2. 在x 2＋y 2＝9上任取一点A (3cos α，3sin α)，则点A 到直线的距离为d ＝|3cos α＋33sin α－2|2＝|6sin(α＋30°)－2|2，它的最大值为4.题型三极坐标的应用【例3】过原点的一动直线交圆x 2＋(y －1)2＝1于点Q ，在直线OQ 上取一点P ，使P 到直线y ＝2的距离等于|PQ |，用极坐标法求动直线绕原点一周时点P 的轨迹方程.【解析】以O 为极点，Ox 为极轴，建立极坐标系，如右图所示，过P 作PR 垂直于直线y ＝2，则有|PQ |＝|PR |.设P (ρ，θ)，Q (ρ0，θ)，则有ρ0＝2sin θ.因为|PR |＝|PQ |，所以|2－ρsin θ|＝|ρ－2sin θ|，所以ρ＝±2或sin θ＝±1，即为点P 的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4或x ＝0.【点拨】用极坐标法可使几何中的一些问题得到很直接、简单的解法，但在解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些.【变式训练3】如图，点A 在直线x ＝5上移动，等腰△OP A 的顶角∠OP A 为120°(O ，P ，A 按顺时针方向排列)，求点P 的轨迹方程.【解析】取O 为极点，x 正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x ＝5的极坐标方程为ρcos θ＝5. 设A (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，因为点A 在直线ρcos θ＝5上，所以ρ0cos θ0＝5.①因为△OP A 为等腰三角形，且∠OP A ＝120°，而|OP |＝ρ，|OA |＝ρ0以及∠POA ＝30°，所以ρ0＝3ρ，且θ0＝θ－30°.②把②代入①，得点P 的轨迹的极坐标方程为3ρcos(θ－30°)＝5.题型四平面直角坐标系中坐标的伸缩变换【例4】定义变换T ：⎩⎨⎧'=-'=+∙∙∙∙, cos sin , sin cos y y x x y x θθθθ可把平面直角坐标系上的点P (x ，y )变换成点P ′(x ′，y ′).特别地，若曲线M 上一点P 经变换公式T 变换后得到的点P ′与点P 重合，则称点P 是曲线M 在变换T 下的不动点.(1)若椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，且焦距为22，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2.求椭圆C 的标准方程，并求出当tan θ＝34时，其两个焦点F 1、F 2经变换公式T 变换后得到的点F 1′和F 2′的坐标；(2)当tan θ＝34时，求(1)中的椭圆C 在变换T 下的所有不动点的坐标.【解析】(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由椭圆定义知焦距2c ＝22⇒c ＝2，即a 2－b 2＝2.① 又由已知得a 2＋b 2＝4，② 故由①、②可解得a 2＝3，b 2＝1. 即椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1，且椭圆C 两个焦点的坐标分别为F 1(－2，0)和F 2(2，0).对于变换T ：⎩⎨⎧'=-'=+∙∙∙∙, cos sin , sin cos y y x x y x θθθθ当tan θ=43时，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'=-'=+.5453,5354y y x x y x设F 1′(x 1，y 1)和F 2′(x 2，y 2)分别是由F 1(－2，0)和F 2(2，0)的坐标经变换公式T 变换得到.于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⨯--⨯=-=⨯+-⨯=,523054)2(53,524053)2(5411y x 即F 1′的坐标为(－425，－325)；又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯-⨯==⨯+⨯=,523054253,52405325422y x即F 2′的坐标为(425，325).(2)设P (x ，y )是椭圆C 在变换T 下的不动点，则当tan θ＝34时，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+yy x x y x 5453,5354⇒x ＝3y ，由点P (x ，y )∈C ，即P (3y ，y )∈C ，得(3y )23＋y 2＝1⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=±=,23,21x y 因而椭圆C 的不动点共有两个，分别为(32，12)和(－32，－12).【变式训练4】在直角坐标系中，直线x －2y ＝2经过伸缩变换后变成直线2x ′－y ′＝4.【解析】⎩⎨⎧='='.4,y y x x总结提高1.平面内一个点的极坐标有无数种表示方法.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；反之也成立. 2.熟练掌握几种常用的极坐标方程，特别是直线和圆的极坐标方程.17.2 参数方程典例精析题型一参数方程与普通方程互化【例1】把下列参数方程化成普通方程： (1) ⎩⎨⎧+=-=θθθθ sin cos 2,sin 4 cos y x (θ为参数)；(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--2)e e (,2)e e (tt t t b y a x (t 为参数，a ，b ＞0).【解析】(1),1)94()92(94 cos ,92 sin sin cos 2, sin 4 cos 22=++-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=⇒⎩⎨⎧+=-=y x x y y x x y y x θθθθθθ所以5x 2＋4x y ＋17y 2－81＝0. (2)由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=--②.e e 2，①e e 2t t tt by ax所以①2－②2得4x 2a 2－4y 2b 2＝4，所以x 2a 2－y 2b2＝1，其中x ＞0.【变式训练1】把下列参数方程化为普通方程，并指出曲线所表示的图形.(1)⎩⎨⎧=+=; cos sin , cos sin θθθθy x (2)⎪⎩⎪⎨⎧+==;1,1t t y x (3)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=;13,13222t t y t t x (4) ⎩⎨⎧-=+= 3. tan 5, sec 46θθy x 【解析】(1)x 2＝2(y ＋12)，－2≤x ≤2，图形为一段抛物线弧.(2)x ＝1，y ≤－2或y ≥2，图形为两条射线.(3)x 2＋y 2－3y ＝0(y ≠3)，图形是一个圆，但是除去点(0,3). (4)(x －6)216－(y ＋3)225＝1，图形是双曲线.题型二根据直线的参数方程求弦长【例2】已知直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=t y t x 3,2(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝1.(1)求曲线C 的普通方程； (2)求直线l 被曲线C 截得的弦长.【解析】(1)由曲线C ：ρ2cos 2θ＝ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝1，化成普通方程为x 2－y 2＝1.①(2)方法一：把直线参数方程化为标准参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23,212(t 为参数).②把②代入①得(2＋t 2)2－(32t )2＝1，整理得t 2－4t －6＝0.设其两根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－6.从而弦长为|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝42－4(－6)＝40＝210.方法二：把直线的参数方程化为普通方程为y ＝3(x －2)，代入x 2－y 2＝1，得2x 2－12x ＋13＝0.设l 与C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝132，所以|AB |＝1＋3·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝262－26＝210.【变式训练2】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=ty t x 531,541(t 为参数)，若以O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋π4)，求直线l 被曲线C 所截的弦长.【解析】将方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=ty t x 531,541(t 为参数)化为普通方程为3x ＋4y ＋1＝0.将方程ρ＝2cos(θ＋π4)化为普通方程为x 2＋y 2－x ＋y ＝0.表示圆心为(12，－12)，半径为r ＝22的圆，则圆心到直线的距离d ＝110，弦长＝2r 2－d 2＝212－1100＝75. 题型三参数方程综合运用【例3】(2009海南、宁夏)已知曲线C 1：⎩⎨⎧+=+-=t y t x sin 3, cos 4 (t 为参数)，C 2：⎩⎨⎧==θθ sin 3,cos 8y x (θ为参数).(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎨⎧+-=+=t y t x 2,23(t 为参数)距离的最小值.【解析】(1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：x 264＋y 29＝1.C 1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；C 2是以坐标原点为中心，焦点在x 轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. (2)当t ＝π2时，P (－4,4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M (－2＋4cos θ，2＋32sin θ).C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|，从而cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取最小值855.【变式训练3】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==θθ sin 2,cos 4y x (θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ－4sin θ(ρ＞0).(1)化曲线C 1、C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)设曲线C 1与x 轴的一个交点的坐标为P (m,0)(m ＞0)，经过点P 作曲线C 2的切线l ，求切线l 的方程. 【解析】(1)曲线C 1：x 216＋y 24＝1；曲线C 2：(x －1)2＋(y ＋2)2＝5.曲线C 1为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆；曲线C 2为圆心为(1，－2)，半径为5的圆.(2)曲线C 1：x 216＋y 24＝1与x 轴的交点坐标为(－4,0)和(4,0)，因为m ＞0，所以点P 的坐标为(4,0).显然切线l 的斜率存在，设为k ，则切线l 的方程为y ＝k (x －4).由曲线C 2为圆心为(1，－2)，半径为5的圆得|k ＋2－4k |k 2＋1＝5，解得k ＝3±102，所以切线l 的方程为y ＝3±102(x －4).总结提高1.在参数方程与普通方程互化的过程中，要保持化简过程的同解变形，避免改变变量x ，y 的取值范围而造成错误.2.消除参数的常用方法有：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段.3.参数的方法在求曲线的方程等方面有着广泛的应用，要注意合理选参、巧妙消参.。

高考数学(理)一轮复习课件：坐标系与参数方程-2参数方程

π
当α＝ 4 时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝
2 2
，与
C2交点B1的横坐标为x′＝3
10 10 .
π
当α＝－ 4 时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别
与A1，B1关于x轴对称，因此四边形A1A2B2B1为梯形．故四边形A1A2B2B1的面积为（2x′＋2x）2 （x′－x）＝25.
(2)由(1)知xy＝＝t12＋2t
① ②
由①得t＝x－2 1，代入②得y＝(x－2 1)2，∴(x－1)2－4y＝0.
[答案] (1)1 (2)(x－1)2－4y＝0
[规律总结] 化参数方程为普通方程，关键是消去参
数建立关于x，y的二元方程F(x，y)＝0，常用方法有代入
消元法，加减消元法，恒等式法，方法的选取是由方程
＝0.
由题意可得圆心C(－1，0)，则圆心到直线x＋y＋3＝
0的距离即为圆的半径，故r＝
2＝ 2
2 ，所以圆的方程为
(x＋1)2＋y2＝2.
高考测点典例研习
参数方程与普通方程的互化
例1 [教材改编]已知某曲线C的参数方程为
x＝1＋2t y＝at2
(其中t是参数，a∈R)，点M(5，4)在该曲线
点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝
π 2
时，这
两个交点重合．
(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
(2)设当α＝
π 4
时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1.当α
＝－
π 4
时，l与C1
，C2的交点分别为A2，B2求四边形
A1A2B2B1的面积．
[思路点拨] (1)将参数方程化成普通方程； (2)求出A1B1A2B2点的坐标结合图形求四边形的面积．

高考数学大一轮复习第十二章系列4选讲 12.2 坐标系与参数方程(第1课时)坐标系教案(含解析)

第1课时坐标系考情考向分析极坐标方程与直角坐标方程互化是重点，主要与参数方程相结合进行考查，以解答题的形式考查，属于低档题．1．平面直角坐标系在平面上，取两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定一个长度单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系．它使平面上任意一点P都可以由唯一的有序实数对(x，y)确定，(x，y)称为点P的坐标．2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O称为极点，射线Ox称为极轴．平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为点M 的极径，θ称为点M的极角．一般认为ρθ的取值X围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们约定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．(2)极坐标与直角坐标的互化设M为平面内的任一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)，这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 3．常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆ρ＝r (0≤θ<2π)圆心为(r,0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos_θ⎝⎛⎭⎪⎫－π2≤θ<π2圆心为⎝⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin_θ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R )过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos θ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2过点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a (0<θ<π)题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( × )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.( √ )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( √ ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( × ) 题组二教材改编2．[P11例5]在直角坐标系中，若点P 的坐标为(－2，－6)，则点P 的极坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫22，4π3 解析 ρ＝(－2)2＋(－6)2＝22，tan θ＝－6－2＝3，又点P 在第三象限，得θ＝4π3，即P ⎝⎛⎭⎪⎫22，4π3. 3．[P32习题T4]若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为________________________．答案 ρ＝1cos θ＋sin θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2解析 ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.4．[P32习题T5]在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ(ρ≥0,0≤θ<2π)的圆心的极坐标是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫1，3π2解析由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，3π2.题组三易错自纠5．在极坐标系中，已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是________．答案 ρsin θ＝1解析先将极坐标化成直角坐标，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即P (3，1)，过点P (3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.6．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为____________．答案 x 2＋y 2－2y ＝0解析由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.7．在极坐标系下，若点P (ρ，θ)的一个极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3，求以⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ2为坐标的不同的点的极坐标．解 ∵⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3为点P (ρ，θ)的一个极坐标．∴ρ＝4或ρ＝－4.当ρ＝4时，θ＝2k π＋2π3(k ∈Z )，∴ρ2＝2，θ2＝k π＋π3(k ∈Z )．当ρ＝－4时，θ＝2k π＋5π3(k ∈Z )， ∴ρ2＝－2，θ2＝k π＋5π6(k ∈Z )． ∴⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，θ2有四个不同的点：P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋π3(k ∈Z )，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋4π3(k ∈Z )，P 3⎝⎛⎭⎪⎫－2，2k π＋5π6(k ∈Z )，P 4⎝⎛⎭⎪⎫－2，2k π＋11π6(k ∈Z )．题型一极坐标与直角坐标的互化1．(2018·某某模拟)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，圆心C 为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－3与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系，则直线方程为y ＝3x －23，点P 的直角坐标为(1，3)，令y ＝0，得x ＝2，所以C (2,0)，所以圆C 的半径PC ＝(2－1)2＋(0－3)2＝2，所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －0)2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.2．(2019·某某省某某一中月考)在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝4cos θ被直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝a 截得的弦长为23，某某数a 的值．解因为圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，直线l 的直角坐标方程为x －3y ＋2a ＝0，所以圆心C 到直线l 的距离d ＝|2＋2a |2＝|1＋a |，因为圆C 被直线l 截得的弦长为23，所以r 2－d 2＝3. 即4－(1＋a )2＝3，解得a ＝0或a ＝－2.3．(2018·某某期中)已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ＋2，y ＝r sin θ＋2(θ为参数，r >0)．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1＝0.(1)求圆C 的圆心的极坐标；(2)当圆C 与直线l 有公共点时，求r 的取值X 围．解 (1)由C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ＋2，y ＝r sin θ＋2，得(x －2)2＋(y －2)2＝r 2，∴曲线C 是以(2,2)为圆心，r 为半径的圆， ∴圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，π4.(2)由直线l ：2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋1＝0，得直线l 的直角坐标方程为x ＋y ＋1＝0，从而圆心(2,2)到直线l 的距离d ＝|2＋2＋1|2＝522.∵圆C 与直线l 有公共点，∴d ≤r ，即r ≥522.思维升华(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．题型二求曲线的极坐标方程例1将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C .(1)求曲线C 的标准方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与直线l 垂直的直线的极坐标方程．解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的任一点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1，得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的标准方程为x 2＋y 24＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线的斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sin θ－2cos θ.思维升华求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点．(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式． (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．跟踪训练1已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＝0，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝t (t 为参数)，射线OM 的极坐标方程为θ＝3π4.(1)求圆C 和直线l 的极坐标方程；(2)已知射线OM 与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解 (1)∵ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＝0， ∴ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0，∴圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4. 又直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝t (t 为参数)，消去t 后得y ＝x ＋1，∴直线l 的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ.(2)当θ＝3π4时，OP ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝22，∴点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，OQ ＝122＋22＝22，∴点Q 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，故线段PQ 的长为322.题型三极坐标方程的应用例2在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足OM ·OP ＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题意知OP ＝ρ，OM ＝ρ1＝4cos θ.由OM ·OP ＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题意，知OA ＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12·OA ·ρB ·sin∠AOB＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3. 思维升华极坐标应用中的注意事项(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴正半轴重合；③取相同的长度单位．(2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题． (3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系．跟踪训练2在极坐标系中，求直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2被圆ρ＝4截得的弦长．解由ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，得22(ρsin θ＋ρcos θ)＝2，可化为x ＋y －22ρ＝4可化为x 2＋y 2＝16，圆心(0,0)到直线x ＋y －22＝0的距离d ＝|22|2＝2，由圆中的弦长公式，得弦长l ＝2r 2－d 2＝242－22＝4 3.故所求弦长为4 3.1．(2018·某某省某某师X 大学附属中学模拟)在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝22cos θ和直线l ：θ＝π4(ρ∈R )相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解圆C ：ρ＝22cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2－22x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝2，直线l ：θ＝π4(ρ∈R )的直角坐标方程为y ＝x ，圆心C 到直线l 的距离d ＝|2－0|2＝1，所以AB ＝2(2)2－1＝2.2．在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为ρ2－8ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＋13＝0，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫1，3π2，B ⎝⎛⎭⎪⎫3，3π2，P 为圆C 上一点，求△PAB 面积的最小值．解圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋43x －4y ＋13＝0，即(x ＋23)2＋(y －2)2＝3，由题意，得A (0，－1)，B (0，－3)，所以AB ＝2.P 到直线AB 距离的最小值为23－3＝3，所以△PAB 面积的最小值为12×2×3＝ 3.3．(2018·某某省姜堰、某某、前黄中学联考)圆C ：ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，与极轴交于点A (异于极点O )，求直线CA 的极坐标方程．解圆C ：ρ2＝2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2ρcos θ＋2ρsin θ，所以x 2＋y 2－2x －2y ＝0，所以圆心C ⎝⎛⎭⎪⎫22，22，与极轴交于A (2，0)．直线CA 的直角坐标方程为x ＋y ＝2，即直线CA 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝1.4．在以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若OP ＝3OQ ，求直线l 的极坐标方程．解 (1)∵ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ， ∴ρ＝21－sin θ化为ρ－ρsin θ＝2，∴曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4.(2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )，根据题意知21－sin θ0＝3·21－sin (θ0＋π)，解得θ0＝π6或θ0＝5π6，∴直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π6(ρ∈R )．5．在极坐标系中，P 是曲线C 1：ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线C 2：ρ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6上的动点，求PQ 的最大值．解对曲线C 1的极坐标方程进行转化，∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36.对曲线C 2的极坐标方程进行转化， ∵ρ＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，∴ρ2＝12ρ⎝⎛⎭⎪⎫cos θcosπ6＋sin θsin π6， ∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0，∴(x －33)2＋(y －3)2＝36， ∴PQ max ＝6＋6＋(33)2＋32＝18.6．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即MN ＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 为等腰直角三角形，所以△C 2MN 的面积为12.7．(2018·某某江阴中学调研)在极坐标系中，设圆C ：ρ＝4cos θ与直线l ：θ＝π4(ρ∈R )交于A ，B 两点，求以AB 为直径的圆的极坐标方程．解以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则由题意，得圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，直线l 的直角坐标方程为y ＝x .由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－4x ＝0，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，所以交点的坐标分别为(0,0)，(2,2)．所以以AB 为直径的圆的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，即x 2＋y 2＝2x ＋2y ，将其化为极坐标方程为ρ2＝2ρ(cos θ＋sin θ)，即ρ＝2(cos θ＋sin θ)．8．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－2π3＝－3，⊙C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ.(1)求直线l 和⊙C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦AB 的长．解 (1)直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－2π3＝－3， ∴ρ⎝⎛⎭⎪⎫sin θcos 2π3－cos θsin 2π3＝－3， ∴y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－x ·32＝－3，即y ＝－3x ＋2 3. ⊙C ：ρ＝4cos θ＋2sin θ，ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ，∴x 2＋y 2＝4x ＋2y ，即x 2＋y 2－4x －2y ＝0.(2)⊙C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝5.∴圆心C (2,1)，半径R ＝5，∴⊙C 的圆心C 到直线l 的距离 d ＝|1＋23－23|(3)2＋12＝12， ∴AB ＝2R 2－d 2＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝19. ∴弦AB 的长为19.9．在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2θ，点R ⎝⎛⎭⎪⎫22，π4. (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．解 (1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1，点R 的直角坐标为R (2,2)．(2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意，设PQ ＝2－3cos θ，QR ＝2－sin θ，∴PQ ＋QR ＝4－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，当θ＝π6时，PQ ＋QR 取最小值2， ∴矩形PQRS 周长的最小值为4，此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 10．(2018·某某)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－θ＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．解因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，所以曲线C 是圆心为(2,0)，直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为 ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝2，则直线l 过点A (4,0)，且倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6.如图，连结OB .因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2，所以AB ＝4cos π6＝2 3. 因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.11．已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2＋5cos α，y ＝1＋5sin α(α为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程； (2)若直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ＋cos θ)＝1，求直线l 被曲线C 截得的弦长．解 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2＋5cos α，y ＝1＋5sin α(α为参数)，∴曲线C 的普通方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入并化简得ρ＝4cos θ＋2sin θ，即曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ＋2sin θ.(2)∵l 的直角坐标方程为x ＋y －1＝0，∴圆心C (2,1)到直线l 的距离d ＝22＝2， ∴弦长为25－2＝2 3.12．在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝32，C 与l 有且仅有一个公共点．(1)求a ；(2)O 为极点，A ，B 为曲线C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求OA ＋OB 的最大值．解 (1)曲线C ：ρ＝2a cos θ(a >0)，变形为ρ2＝2aρcos θ，化为x 2＋y 2＝2ax ，即(x －a )2＋y 2＝a 2，∴曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆．由l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝32，展开为12ρcos θ＋32ρsin θ＝32， ∴l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0.由题意，知直线l 与圆C 相切，即|a －3|2＝a ，又a >0，∴a ＝1.(2)由(1)知，曲线C ：ρ＝2cos θ.不妨设A 的极角为θ，B 的极角为θ＋π3，则OA ＋OB ＝2cos θ＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3 ＝3cos θ－3sin θ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6，当θ＝11π6时，OA ＋OB 取得最大值2 3.。

高中数学一轮总复习文科基础复习题及解析(二)

高中数学一轮总复习文科基础复习题及解析第二部分选考部分第十二讲选考内容第一节选修4－4 坐标系与参数方程1．在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．解析：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一，(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t ，－3≤t ≤ 3.2．已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6，(1)写出直线l 的参数方程．(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．解析：(1)直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6(t 为参数)，即⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．(2)把直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)代入x 2＋y 2＝4得(1＋32t )2＋(1＋12t )2＝4，t 2＋(3＋1)t －2＝0， ∴t 1t 2＝－2，则点P 到A ，B 两点的距离之积为2.3．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解析：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1 得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)因为M 点的直角坐标为(2,0)， N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．4．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2 α，α∈[0,2π)，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝－ 2. (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin α，y ＝cos 2α，α∈[0,2π)得x 2＋y ＝1，x ∈[－1,1]．(2)由ρsin(θ＋π4)＝－2得曲线D 的普通方程为x ＋y ＋2＝0.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，x 2＋y ＝1得x 2－x －3＝0.解得x ＝1±132∉[－1,1]，故曲线C 与曲线D 无公共点．5．以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α是参数)，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝2 3. (1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)设点P 为曲线C 上任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．解析：(1)∵直线l 的极坐标方程为 ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝23， ∴ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π6－sin θsin π6＝23， ∴32x －12y ＝2 3. 即直线l 的直角坐标方程为3x －y －43＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α 得x 24＋y 23＝1. 即曲线C 的普通方程为x 24＋y 23＝1.(2)设点P (2cos α，3sin α)，则点P 到直线l 的距离 d ＝|23cos α－3sin α－43|2＝|15cos (α＋φ－43)|2，其中tan φ＝12.当cos(α＋φ)＝－1时，d max ＝15＋432，即点P 到直线l 的距离的最大值为15＋432. 6．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解析：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4；因为ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2，所以ρ2－22ρ(cos θcos π4＋sin θ·sin π4)＝2.所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin(θ＋π4)＝22.7．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1) 求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解析：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4，注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1，所以⎩⎨⎧b2＝1，－ab2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.8．在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．解析：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)⎝⎛⎭⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x .(2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)⎝⎛⎭⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0.(2)又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32＜r ，故直线l 与圆C 相交．第二节选修4－5 不等式选讲1．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a ，a ∈R ，g (x )＝|2x －1|.(1)若当g (x )≤5时，恒有f (x )≤6，求a 的最大值； (2)若当x ∈R 时，恒有f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．解析：(1)g (x )≤5⇔|2x －1|≤－5⇔2x －1≤5⇔－2≤x ≤3；f (x )≤6⇔|2x －a |≤6－a ⇔a －6≤2x －a ≤6－a ⇔a －3≤x ≤3. 依题意有，a －3≤－2，a ≤1. 故a 的最大值为1.(2)f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋|2x －1|＋a ≥|2x －a －2x ＋1|＋a ＝|a －1|＋a ，当且仅当(2x －a )(2x －1)≤0时符号成立．解不等式|a －1|＋a ≥3，得a 的取值范围是[2，＋∞)．2．已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．解析：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a ，得a ＝2.(2)记h (x )＝f (x )－2f (x2)，则h (x )＝⎩⎨⎧1(x ≤－1)，－4x －3⎝⎛⎭⎫－1＜x ＜－12，－1(x ≥－12)所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.3．已知函数f (x )＝|2x ＋2|＋|2x －3|.(1)若∃x 0∈R ，使得不等式f (x 0)＜m 成立，求m 的取值范围； (2)求使得不等式f (x )≤|4x －1|成立的x 的取值范围．解析：(1)∵f (x )＝|2x ＋2|＋|2x －3|≥|(2x ＋2)－(2x －3)|＝5，∴∃x 0∈R ，使得不等式f (x 0)＜m 成立的m 的取值范围是(5，＋∞)． (2)∵f (x )＝|2x ＋2|＋|2x －3|≥|2x ＋2＋2x －3|＝|4x －1|， ∴|2x ＋2|＋|2x －3|≥|4x －1|，当且仅当(2x ＋2)(2x －3)≥0时取等号， ∴x 的取值范围是(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 4．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若f (x )≤m 的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a ，m 的值； (2)当a ＝2且t ≥0时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2t )．解析：(1)由|x －a |≤m ，得a －m ≤x ≤a ＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －m ＝－1，a ＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，m ＝3.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，f (x )＋t ≥f (x ＋2t )，即 |x －2＋2t |－|x －2|≤t .①当t ＝0时，不等式①恒成立，即x ∈R ；当t ＞0时，不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2－2t ，2－2t －x －(2－x )≤t或⎩⎪⎨⎪⎧2－2t ≤x ＜2，x －2＋2t －(2－x )≤t 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －2＋2t －(x －2)≤t ，解得x ＜2－2t 或2－2t ≤x ≤2－t 2或x ∈∅，即x ＝2－t 2.综上，当t ＝0时，原不等式的解集为R ；当t ＞0时，原不等式的解集为{x |x ≤2－t2}．5．已知a ，b ，c 为实数，且a ＋b ＋c ＝2m －2，a 2＋14b 2＋19c 2＝1－m .(1)求证：a 2＋b 24＋19c 2≥(a ＋b ＋c )214； (2)求实数m 的取值范围．解析：(1)由柯西不等式得：⎣⎡⎦⎤a 2＋⎝⎛⎭⎫12b 2＋⎝⎛⎭⎫13c 2·(12＋22＋32)≥(a ＋b ＋c )2，即⎝⎛⎭⎫a 2＋14b 2＋19c 2·14≥(a ＋b ＋c )2，所以a 2＋14b 2＋19c 2≥(a ＋b ＋c )214，当且仅当|a |＝14|b |＝19|c |时，取等号． (2)由已知得(a ＋b ＋c )2＝(2m －2)2，结合(1)的结论可得：14(1－m )≥(2m －2)2，即2m 2＋3m －5≤0，所以－52≤m≤1，又a2＋14b2＋19c2＝1－m≥0，所以m≤1，故m的取值范围为－52≤m≤1.6．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．证明：(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(a＋b)2＞(c＋d)2.因为a＋b＞c＋d.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得a＋b＋c＋d，②若a＋b＞c＋d则(a＋b)2＞(c＋d)2，即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.综上，a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．7．设f(x)＝|x－1|－2|x＋1|的最大值为m.(1)求m；(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，a2＋2b2＋c2＝m，求ab＋bc的最大值．解析：(1)当x≤－1时，f(x)＝3＋x≤2；当－1＜x＜1时，f(x)＝－1－3x＜2；当x ≥1时，f (x )＝－x －3≤－4. 故当x ＝－1时，f (x )取得最大值m ＝2.(2)a 2＋2b 2＋c 2＝(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＝2(ab ＋bc )，当且仅当a ＝b ＝c ＝22时，等号成立．此时，ab ＋bc 取得最大值1.8．已知函数f (x )＝|x －2|＋|x －4|的最小值为m ，实数a ，b ，c ，n ，p ，q 满足a 2＋b 2＋c 2＝n 2＋p 2＋q 2＝m .(1)求m 的值；(2)求证：n 4a 2＋p 4b 2＋q 4c2≥2.解析：(1)f (x )＝|x －2|＋|x －4|≥|(x －2)－(x －4)|＝2，当且仅当2≤x ≤4时，等号成立，故m ＝2.(2)因为[(n 2a )2＋(p 2b )2＋(q 2c )2]·(a 2＋b 2＋c 2)≥(n 2a ·a ＋p 2b ·b ＋q 2c ·c )2，即(n 4a 2＋p 4b 2＋q 4c 2)×2≥(n 2＋p 2＋q 2)2＝4，所以n 4a 2＋p 4b 2＋q 4c2≥2.9．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )＜4的解集为M . (1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |＜|4＋ab |. 解析：(1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ＜－1，2，－1≤x ≤1.2x ，x ＞1，当x ＜－1时，由－2x ＜4，得－2＜x ＜－1；当－1≤x ≤1时，f (x )＝2＜4，∴－1≤x ≤1；当x ＞1时，由2x ＜4，得1＜x ＜2. ∴M ＝(－2,2)．(2)证明：a ，b ∈M 即－2＜a ＜2，－2＜b ＜2.∵4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)·(4－b 2)＜0， ∴4(a ＋b )2＜(4＋ab )2， ∴2|a ＋b |＜|4＋ab |.10．已知二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的定义域为[－1,1]，且|f (x )|的最大值为M . (1)试证明|1＋b |≤M ； (2)试证明M ≥12；(3)当M ＝12时，试求出f (x )的解析式．解析：(1)∵M ≥|f (－1)|＝|1－a ＋b |，M ≥|f (1)|＝|1＋a ＋b |，∴2M ≥|1－a ＋b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )＋(1＋a ＋b )|＝2|1＋b |，∴M ≥|1＋b |.(2)依题意，M ≥|f (－1)|，M ≥|f (0)|，M ≥|f (1)|，又|f (－1)|＝|1－a ＋b |，|f (1)|＝|1＋a ＋b |，|f (0)|＝|b |，∴4M ≥|f (－1)|＋2|f (0)|＋|f (1)|＝|1－a ＋b |＋2|b |＋|1＋a ＋b |≥|(1－a ＋b )－2b ＋(1＋a ＋b )|＝2.∴M ≥12.(3)当M ＝12时，|f (0)|＝|b |≤12，－12≤b ≤12.①同理－12≤1＋a ＋b ≤12.②－12≤1－a ＋b ≤12.③ ②＋③得－32≤b ≤－12.④由①④得b ＝－12，当b ＝－12时，分别代入②③得⎩⎨⎧－1≤a ≤0，0≤a ≤1⇒a ＝0，因此f (x )＝x 2－12. 11．已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|.(1)若关于x 的不等式f (x )＜|1－2a |的解集不是空集，求实数a 的取值范围； (2)若关于t 的一元二次方程t 2＋26t ＋f (m )＝0有实根，求实数m 的取值范围．解析：(1)∵f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|≥|(2x ＋1)－(2x －3)|＝4，∴|1－2a |＞4， ∴a ＜－32或a ＞52，∴实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞. (2)Δ＝24－4(|2m ＋1|＋|2m －3|)≥0.即|2m ＋1|＋|2m －3|≤6，∴不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞32，(2m ＋1)＋(2m －3)≤6或 ⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤m ≤32，(2m ＋1)－(2m －3)≤6或 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－12，－(2m ＋1)－(2m －3)≤6.∴32＜m ≤2或－12≤m ≤32或－1≤m ＜－12， ∴实数m 的取值范围是[－1,2]．12．已知函数f (x )＝|3x ＋2|.(1)解不等式f (x )＜4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n ＞0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n(a ＞0)恒成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)不等式f (x )＜4－|x －1|.即|3x ＋2|＋|x －1|＜4.当x ＜－23时，即－3x －2－x ＋1＜4，解得－54＜x ＜－23：当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1＜4，解得－23≤x ≤12；当x ＞1时，即3x ＋1＋x －1＜4，无解．综上所述，x ∈⎝⎛⎭⎫－54，12.(2)1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋m n≥4，令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎨⎧2x ＋2＋a ，x ＜－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x ＞a .∴x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0＜a ≤103.。

2012年高考数学坐标系与参数方程练习题及答案

2012年高考数学二轮复习同步练习：专题10 选考内容第2讲坐标系与参数方程一、选择题1．(2011·安徽理，5)在极坐标系中点⎝⎛⎭⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( ) A ．2 B.4＋π29C.1＋π29D. 3[答案] D[解析] 极坐标⎝⎛⎭⎫2，π3化为直角坐标为2cos π3，2sin π3，即(1，3)，圆的极坐标方程ρ＝2cos θ可化为ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心坐标为(1,0)，则由两点间距离公式d ＝(1－1)2＋(3－0)2＝3，故选D.2．(2011·北京理，3)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A ．(1，π2)B ．(1，－π2)C ．(1,0)D ．(1，π)[答案] B[解析] 由ρ＝－2sin θ得：ρ2＝－2ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，∴圆心直角坐标为(0，－1)，极坐标为(1，－π2)，选B.3．(2010·湖南卷)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．圆、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．直线、直线[答案] A[解析] 将题中两个方程分别化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝x,3x ＋y ＋1＝0，它们分别表示圆和直线．4．(2010·北京卷)极坐标方程为(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A ．两个圆B ．两条直线C ．一个圆和一条射线D ．一条直线和一条射线[答案] C[解析] 由(ρ－1)(θ－π)＝0得ρ＝1或者θ＝π，又ρ≥0，故该方程表示的图形是一个圆和一条射线．二、填空题5．(2011·上海理，5)在极坐标系中，直线ρ(2cos θ＋sin θ)＝2与直线ρcos θ＝1的夹角大小为________．(结果用反三角函数值表示)[答案] arctan 12[解析] 极坐标方程化普通方程时要注意等价性．∵ρ(2cos θ＋sin θ)＝2，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得一般方程为2x ＋y ＝2. ρcos θ＝1的一般方程为x ＝1.直线2x ＋y ＝2的倾斜角的补角为arctan2，设两直线夹角为α，则tan α＝tan(π2－arctan2)＝cot(arctan2)＝1tan (arctan2)＝12，∴α＝arctan 12.6．(2011·陕西理，15)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θy ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．[答案] 3[解析] C 1为圆(x －3)2＋(y －4)2＝1，C 2为圆x 2＋y 2＝1.∴|AB |min ＝32＋42－1－1＝3.7．(2011·天津理，11)已知抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t ，(t 为参数)，若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.[答案]2[解析] 根据抛物线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t2y ＝8t，得出y 2＝8x ，得出抛物线焦点坐标为(2,0)，所以直线方程：y ＝x －2，利用圆心到直线距离等于半径，得出r ＝22＝ 2. 8．(2011·广东理，14)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θy ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2y ＝t(t∈R )，它们的交点坐标为________．[答案] ⎝⎛⎭⎫1，255[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θy ＝sin θ(0≤θ≤π) 化为普通方程为x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1)，而⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2y ＝t 化为普通方程为x ＝54y 2，由⎩⎨⎧ x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1)x ＝54y2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝255，即交点坐标为⎝⎛⎭⎫1，255.三、解答题9．(2011·福建理，21)在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为(4，π2)，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． [解析] (1)把极坐标系的点P (4，π2)化为直角坐标，得P (0,4)，因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线 l 上． (2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为 (3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos (α＋π6)＋42＝2cos(α＋π6)＋22，由此得，当cos(α＋π6)＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.10．(2011·新课标理，23)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α.(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.[解析] (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2.由于M 点在C 1上，所以⎩⎨⎧x2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.11．已知参数C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)，曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝22t －2，y ＝22t(t 为参数)．(1)指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；(2)若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C 1′，C 2′.写出C 1′，C 2′的参数方程．C 1′与C 2′公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由．[解析] (1)C 1是圆，C 2是直线．C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，圆心C 1(0,0)，半径r ＝1. C 2的普通方程为x －y ＋2＝0.因为圆心C 1到直线x －y ＋2＝0的距离为1，所以C 2与C 1只有一个公共点． (2)压缩后的参数方程分别为C 1′：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)，C 2′：⎩⎨⎧x ＝22t －2，y ＝24t(t 为参数)．化为普通方程为C 1′：x 2＋4y 2＝1，C 2′：y ＝12x ＋22，联立消元得2x 2＋22x ＋1＝0，其判别式△＝(22)2－4×2×1＝0，所以压缩后的直线C 2′与椭圆C 1′仍然只有一个公共点，和C 1与C 2公共点个数相同．12．(2010·辽宁理，23)已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．[解析] (1)由已知，M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3，故点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫π3，π3.(2)M 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫π6，3π6，A (1,0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋⎝⎛⎭⎫π6－1t ，y ＝3π6t ，(t 为参数)．。

选修4-4坐标系与参数方程(2012-2021)高考数学真题分项详解(全国通用)(解析版)

x = 4 cos2 ，
2．（2020
年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知曲线
C1，C2
的参数方程分别为
C1：
y
=
4
sin
2
（θ
为参数），C2：
x y
= =
t t
+ −
1, t 1
（t
为参数）.
t
（1）将 C1，C2 的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1，C2 的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过
（2）设 C 上点的坐标为： (cos , 2sin )
则C
上的点到直线 l
的距离
d
=
2 cos + 2
3 sin
+11
=
4
sin
+
6
+ 11
7
7
当 sin
+
6
=
−1 时，
d
取最小值
则 dmin = 7
5．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））在极坐标系中，O 为极点，点 M (0 ,0 )(0 0) 在
C1
表示以坐标原点为圆心，半径为
1
的圆；（2）
(
1 4
,
1 4
)
.
x = cos t
【分析】（1）当
k
= 1 时，曲线 C1
的参数方程为
y
=
sin
t
(t
为参数），
两式平方相加得 x2 + y2 = 1 ，
所以曲线 C1 表示以坐标原点为圆心，半径为 1 的圆；

2012年高考数学试题分项版解析专题19 选修系列：坐标系与参数方程(学生版) 理

2012年高考试题分项版解析数学（理科）专题19 选修系列：坐标系与参数方程（学生版）一、填空题:1. (2012年高考广东卷理科14)（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为1:x t C t y =⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）和2:(x C y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），则曲线C 1与C 2的交点坐标为______.2．(2012年高考北京卷理科9)直线t t y t x (12⎩⎨⎧--=+=为参数)与曲线ααα(sin 3cos 3⎩⎨⎧==y x 为参数)的交点个数为______。

4. (2012年高考湖南卷理科9)在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,12x t y t=+⎧⎨=-⎩ (t 为参数)与曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，0a >) 有一个公共点在X 轴上，则__a =. 5.(2012年高考天津卷理科12)己知抛物线的参数方程为2=2,=2,x pt y pt ⎧⎨⎩（t 为参数），其中>0p ，焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点M 作的垂线，垂足为E ，若||=||EF MF ，点M 的横坐标是3，则=p.7. (2012年高考江西卷理科15)（1）（坐标系与参数方程选做题）曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2-2x =0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C 的极坐标方程为___________。

8.(2012年高考安徽卷理科13)在极坐标系中，圆4sin ρθ=的圆心到直线()6R πθρ=∈的距离是_____9．(2012年高考陕西卷理科15)C ．（坐标系与参数方程）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为．二、解答题:3.(2012年高考辽宁卷理科23) (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy 中，圆221:4C x y +=，圆222:(2)4C x y -+=。

2012届高考数学第一轮专题复习测试卷第一讲坐标系 2含答案

第一讲坐标系一､选择题:（本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内。

）1。

点M 的直角坐标为（—1,—，则它的球坐标为( ） 5.2,,.2,,444453.2,,.2,,4444A B C D ππππππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解析：2,1,tan 0,tan 02,x 0.411,,15.4r y x ϕϕθϕθπθππθ======<-=-=<==由≤≤得又≤所以答案:B2.在平面直角坐标系中，以（1,1)角坐标系的原点为极点，以Ox 为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为( ）()B..C.os(1)D.4in 14A ρθρθππρθρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝=-=⎭=-解析:由题意知圆的直角坐标方程为(x-1）2+（y —1)2=2.化为极坐标方程为（ρcosθ-1)2+（ρsinθ-1)2=2。

∴0.42042,04044 ..cos ρρθρθρρππππθρθρπθ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎡⎤⎛-∴-∴⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=也过极点与等价对应的极坐标方程为答案:A3.在极坐标系中,点(ρ,θ）与(—ρ，π—θ)的位置关系为( ）A.关于极轴所在直线对称B 。

关于极点对称C 。

重合D.关于直线θ=2π （ρ∈R）对称解析：点(ρ,θ)也可以表示为（—ρ，π+θ),而（-ρ，π+θ)与（—ρ,π—θ)关于极轴所在直线对称,故选A 。

答案:A4.在柱坐标系中，两点24,,04,,333M N ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与的距离为（） A.3 B.4C 。

5D 。

8解析:解法一：由柱坐标可知M 在Oxy 平面上,N 在Oxy 平面上的射影坐标为N |MN |4,24,,0MN 5.3.,C π'∴'==⎛⎫ ⎪⎝⎭再由勾股定理得故选解法二:可将M ､N 化为直角坐标,N(MN 5..C =-∴=故选答案：C5.两直线θ=α和ρcos（θ—α）=a 的位置关系是（）A.平行 B 。

2012高考数学文一轮复习(北师大)精品学案2坐标系与参数方程

2
4
x2 sin2θ
-
4
y2 cos2θ
=是1 双曲线.
当θ=kπ(k∈Z)时，x=0，它表示y轴.
当θ=kπ+ （π k∈Z）时，y=0,x=±( t +)，1 它表示x
2
t
轴上以（-2，0）和(2,0)为端点的向左和向右的两条射线.
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参数方程化普通方程要注意参数的范围. 返回目录
设抛物线的轴与准线l交于A点,过点A作割线ABC交抛物线于B,C两点,又过焦点作割线QFR与直线ABC平行, 且交抛物线于Q,R两点,求证:|AB|·|AC|=|QF|·|FR|.
∵α∈［0,π),∴tanα= - 4 + 7
6
∴弦AB所在直线方程为y-1= - 4 + 7(x-2).
6
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考查直线的参数方程应用. 返回目录
已知点P(3,2)平分抛物线y2=4x的一条弦,求弦AB的长.
x=3+tcosα
{ 设弦AB所在直线参数方程为
(t为参数),
y=2+tsinα
代入方程y2=4x,整理得t2sin2α+4(sinα-cosα)·t-8=0.①
∵点P(3,2)是弦AB的中点,由参数t的几何意义可知,方程①的
两个实根t1,t2满足关系t1+t2=0,
即sinα-cosα=0.∵0≤α<π,∴α= . π
4
∴|AB|=|t1-t2|=
(t1 + t2 )2 - 4t1t2 =
8
4· sin2
π
=8
4
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1.极坐标(ρ,θ)与(ρ,2kπ+θ)(k∈Z)表示同一个点.平面内一个点的极坐标有无数种表示.

2012年高考试题(文科)分项专题18 选修系列：坐标系与参数方程

实用文档2012年高考试题（文科）分项专题18 选修系列：坐标系与参数方程一、填空题1、(2012年高考陕西卷文科15)C （坐标系与参数方程）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为32、(2012年高考湖南卷文科10)在极坐标系中，曲线1C ：(2cos sin )1ρθθ+=与曲线2C ：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，则a =_______.3、(2012年高考广东卷文科14)（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为5cos 5sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和21222x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），则曲线C 1与C 2的交点坐标为_______。

二、解答题4、（2012年高考辽宁卷文科23）在直角坐标xOy 中，圆221:4C x y +=，圆222:(2)4C x y -+=。

(Ⅰ)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C 的极坐标方程，并求出圆12,C C 的交点坐标(用极坐标表示)；实用文档(Ⅱ)求圆12C C 与的公共弦的参数方程。

5、（2012年高考江苏卷21）在极坐标中，已知圆C 经过点()24P π，，圆心为直线()3sin 32ρθπ-=-与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．6、（2012年高考新课标全国卷文科23）已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3) (Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC | 2+ |PD|2的取值范围.以下是答案一、填空题1、 3.实用文档【解析】化极坐标为直角坐标得直线2213,(1)1,2= 3.2x x y =-+=⨯圆由勾股定理可得相交弦长为【考点定位】本题主要考察极坐标系与极坐标方程，先化为普通方程后求解.2、3、二、解答题4、实用文档【考点定位】本题主要考查点的极坐标表示、圆的极坐标方程、参数方程的表示及参数方程与一般方程的转换、解方程组的知识，难度较小。

2012版高考数学一轮精品复习学案：选修系列(第1部分：坐标系与参数方程)

2012版数学一轮精品复习学案：选修系列第一部分：坐标系与参数方程【高考目标定位】一、坐标系1．考纲点击（1）理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；（2）了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置。

能进行极坐标和直角坐标的互化；（3）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程。

2．热点提示（1）根据具体问题选择适当坐标系，简捷解决问题；（2）极坐标系的应用；（3）直角坐标与极坐标的互化。

二、参数方程1．考纲点击（1）了解参数方程，了解参数的意义；（2）能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。

2．热点提示（1）参数方程和普通方程互化；（2）会利用直线参数方程中参数的几何意义解决有关线段问题；（3）会利用圆、椭圆的参数方程，解决有关的最值问题。

【考纲知识梳理】1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ;以极轴Ox为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩222tan (0)x y yx x ρθ=+=≠在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r 的圆(02)r ρθπ=≤<圆心为(,0)r ,半径为r 的圆2cos ()22r ππρθθ=-≤<圆心为(,)2r π,半径为r 的圆2sin (0)r ρθθπ≤<过极点,倾斜角为α的直线(1)()()R R θαρθπαρ=∈=+∈或 (2)(0)(0)θαρθπαρ=≥=+≥和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos ()22a ππρθθ=-<<过点(,)2a π,与极轴平行的直线sin (0)a ρθθπ=<<注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),ρθρπθρπθρπθ+-+--+都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,ρθ=点(,)44M ππ可以表示为5(,2)(,2),444444ππππππππ+-或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44ππ的极坐标满足方程ρθ=.二、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t y g t =⎧⎨=⎩①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t =,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t =,那么()()x f t y g t =⎧⎨=⎩就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。

2012届高考数学一轮精品27.1坐标系与坐标变换(学生版A、B卷)(答案+解析)

2012届高考数学一轮精品：27.1 坐标系与坐标变换（学生版A 、B 卷）（答案+解析）27.1 坐标系与坐标变换1.在直角坐标系中，点A的坐标为(-，则在相应的极坐标系中它的极坐标可以是（C ） A.5(2,)6π B ．5(2,)3π C ．5(2,)3π- D ．11(2,)6π- 2.设点M的直角坐标为，则在相应的球坐标系中，点M 的坐标为（D ） A.(2,,)43ππ B ．(2,,)44ππ C．,)43ππ D．,)44ππ提示：由球坐标到直角坐标的坐标变换公式为：cos sin sin sin cos x y z ρθϕρθϕρϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以由直角坐标到球坐标的坐标变换公式为：2222cos tan x y z z y x ρϕρθ⎧⎪=++⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩. 3. 将直角坐标系按向量(,)am n =平移，新坐标系中的点B 与原坐标系中的点(1,2)A 有相同的坐标，且||5AB =，则必有（D ）A.3,4m n == B．1,mn == C ．225m n += D ． 2225m n +=提示：设点B 在原坐标系中的坐标为(,)x y ，则有1,2x m y n -=-=，∴点B 在原坐标系中的坐标为(1,2)m n ++， ∴222[(1)1][(2)2]5m n +-++-=，即2225m n +=.（注意坐标系不变，点按向量平移与坐标系按向量平移的区别）4. 点M 的极坐标为5(5,)6π,则它的直角坐标为. 5()25. 直线2310x y +-=经过变换可以化为10mx ny +-=，则坐标变换公式是 . 提示：设直线2310x y +-=上任一点的坐标为(,)x y ，直线6610x y +-=上任一点的坐标为(,)x y ''，坐标变换公式为x kx y hy '=⎧⎨'=⎩，即11x x k y y h ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，将其代入直线方程2310x y +-=，得2310x y k h ''+-=，将其与6610x y +-=比较，得11,32k h ==. 6.在极坐标系中，求点5(4,)12M π关于直线3πθ=的对称点的坐标. 解：设点5(4,)12M π关于直线3πθ=的对称点为(,)M ρθ'，线段MM '交直线3πθ=于点 A ，则512312M OA MOA πππ'∠=∠=-=， ∴点M '的极角θ=3124πππ-=，又点,M M ' 的极半径相等， ∴4ρ=， ∴点M '的极坐标为(4,)4π. 7.（1）在极坐标系中，求点(6,)4M π绕极点按顺时针方向旋转6π后的坐标；（2）在直角坐标系中，求点(6,A 绕原点按逆时针方向旋转3π后的坐标. 解：（1）点(6,)4M π绕极点按顺时针方向旋转6π后，极半径不变，极角变为4612πππ-=， ∴旋转后点M 的对应点的坐标为(6,)12π 8. 将圆224x y +=按向量(1,2)a =-平移后再按坐标变换公式1213x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩进行伸缩变换，求所得图形的中心坐标、焦点坐标及准线方程.解：圆224x y +=按向量(1,2)a =-平移后所得的方程为22(1)(2)4x y ++-=.设圆22(1)(2)4x y ++-=上任意一点的坐标为(,)x y ，伸缩变换后对应点的坐标为(,)x y ''， ∵坐标变换公式为1213x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩①， ∴23x x y y '=⎧⎨'=⎩ ②，将②代入方程22(1)(2)4x y ++-=，得22(21)(32)4x y ''++-=，化简得，222()13()1429yx'-'++=，即222()13()1429yx-++=.此方程中，451,,99a b c===，295ac=.方程表示的曲线为椭圆，中心为12(,)23-；焦点坐标为192(,)183-和12(,)183；准线方程为2310x=-和1310x=.。