江苏版高考数学一轮复习专题1.6矩阵与变换测理
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题11.6 矩阵与变换
1. 已知矩阵1214A ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
，求矩阵A 的特征值和特征向量． 【答案】属于特征值12λ=的一个特征向量121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦属于特征值23λ=的一个特征向量211α⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
2.已知直线1=+y x l ：在矩阵⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=10n m A 对应的变换作用下变为直线1=-'y x l ：，求矩阵A . 【答案】1201A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
【解析】
设直线:1l x y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 的变换作用下，变换为点(,)M x y '''．
由''01x m n x mx ny y y y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,得x mx ny y y '=+⎧⎨'=⎩
…………5分
又点(,)M x y '''在l '上,所以1x y ''-=,即()1mx ny y +-=
依题意111m n =⎧⎨-=⎩,解得12m n =⎧⎨
=⎩，
1201A ⎡⎤
∴=⎢⎥⎣⎦ …………10分 3.选修4—2：矩阵与变换
求矩阵⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤3 11
3的特征值及对应的特征向量．
【答案】属于λ1＝2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，属于λ1＝4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11．
4.（选修4—2：矩阵与变换）
设矩阵 02 1a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
M 的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为22
1x y +=，求曲线C 的方程.
【答案】22841x xy y ++=
【解析】由题意，矩阵M 的特征多项式()()((1)f a λλλ=--，
因矩阵M 有一个特征值为2，(2)0f =，所以2a =. …………4分
所以 2 0M 2 1x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即22x x
y x y '=⎧⎨'=+⎩
，
代入方程221x y +=，得22(2)(2)1x x y ++=，即曲线C 的方程为22841x xy y ++=.…10分 5.选修4 2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知二阶矩阵M 有特征值λ=3及对应的一个特征向量111⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
e ，并且矩阵M 对应的变换将点(-1,2)变换成
(9,15) ，求矩阵M .
【答案】1436-⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
6.已知矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
2 a 1
3，其中a ∈R ，若点P (1,2)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(6,7)．
(1)求实数a 的值与矩阵A ；
(2)求矩阵A 的特征值及相应的特征向量． 【答案】（1）a ＝2，∴A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤
2
21
3.（2）属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－2 1，属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11.
【解析】解：(1)由题意知，⎣⎢
⎡⎦⎥⎤2
a 1
3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋2a 7＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
67，
∴2＋2a ＝6，∴a ＝2，∴A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2 21
3.
(2)由(1)知，A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2
21
3，其特征多项式为
f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
λ－2 －2－1 λ－3＝(λ－2)(λ－3)－2，
令f (λ)＝0，即λ2
－5λ＋4＝0，解得λ1＝1，λ2＝4.
当λ1＝1时，设对应的特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
m n ，
则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 21
3⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
2m ＋2n ＝m ，
m ＋3n ＝n ，取n ＝1，
则m ＝－2，故α＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－21；
当λ2＝4时，设对应的特征向量为β＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x y ，
则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 21
3⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥
⎤
x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋2y ＝4x ，x ＋3y ＝4y ，
取x ＝1，
则y ＝1，故β＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11.
∴矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1，属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11.
7. 设M 是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y 轴方向伸长为原来5倍的伸缩变换． (1)求直线4x －10y ＝1在M 作用下的方程； (2)求M 的特征值与相应的特征向量．
【答案】（1）4x －2y ＝1.（2）当λ1＝1时，特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10；当λ2＝5时，特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
01
.
8.已知矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤6
24
4.
(1)求矩阵A 的特征值及对应的特征向量；
(2)计算矩阵A n
.
【答案】（1）当λ1＝8时，A 属于λ1的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
11；当λ2＝2时，A 属于λ2的特征向量为α
2
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1－2. （2）
⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤2×8n ＋2n 3 8n －2
n
3
2×8n
－2n ＋1
3
8n
＋2
n ＋1
3