江苏版高考数学一轮复习专题1.6矩阵与变换测理

专题11.6 矩阵与变换
1. 已知矩阵1214A，求矩阵A的特征值和特征向量．

【答案】属于特征值12的一个特征向量121属于特征值23的一个特征向量211

2.已知直线1yxl：在矩阵10nmA对应的变换作用下变为直线1yxl：，求矩阵A.
【答案】1201A
【解析】
设直线:1lxy上任意一点(,)Mxy在矩阵A的变换作用下，变换为点(,)Mxy．

由''01xmnxmxnyyyy,得xmxnyyy …………5分
又点(,)Mxy在l上,所以1xy,即()1mxnyy

依题意111mn,解得12mn，1201A …………10分
3.选修4—2：矩阵与变换
求矩阵3 11 3的特征值及对应的特征向量．
【答案】属于λ1＝2的一个特征向量为1－1，属于λ1＝4的一个特征向量为11．

4.（选修4—2：矩阵与变换）
设矩阵 02 1aM的一个特征值为2，若曲线C在矩阵M变换下的方程为221xy，求曲线C的方程.
【答案】22841xxyy
【解析】由题意，矩阵M的特征多项式()()((1)fa，
因矩阵M有一个特征值为2，(2)0f，所以2a. …………4分

所以2 0M2 1xxxyyy，即22xxyxy，
代入方程221xy，得22(2)(2)1xxy，即曲线C的方程为22841xxyy.…10分
5.选修42：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知二阶矩阵M有特征值=3及对应的一个特征向量111e，并且矩阵M对应的变换将点(-1,2)变换成
(9,15) ，求矩阵M.
【答案】1436
6.已知矩阵A＝2 a1 3，其中a∈R，若点P(1,2)在矩阵A对应的变换作用下得到点P′(6,7)．
(1)求实数a的值与矩阵A；
(2)求矩阵A的特征值及相应的特征向量．
【答案】（1）a＝2，∴A＝2 21 3.（2）属于特征值1的一个特征向量为－2 1，属于特征值4的一个特征向
量为11.
【解析】解：(1)由题意知，2 a1 312＝2＋2a 7＝67，

∴2＋2a＝6，∴a＝2，∴A＝2 21 3.
(2)由(1)知，A＝2 21 3，其特征多项式为
f
(λ)＝λ－2 －2－1 λ－3＝(λ－2)(λ－3)－2，

令f(λ)＝0，即λ2－5λ＋4＝0，解得λ1＝1，λ2＝4.
当λ1＝1时，设对应的特征向量为α＝mn，

则2 21 3mn＝mn，即 2m＋2n＝m，m＋3n＝n，取n＝1，
则m＝－2，故α＝－21；
当λ2＝4时，设对应的特征向量为β＝xy，
则2 21 3xy＝4xy，即 2x＋2y＝4x，x＋3y＝4y，取x＝1，
则y＝1，故β＝11.
∴矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为－2 1，属于特征值4的一个特征向量为11.
7. 设M是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y轴方向伸长为原来5倍的伸缩变换．
(1)求直线4x－10y＝1在M作用下的方程；

(2)求M的特征值与相应的特征向量．
【答案】（1）4x－2y＝1.（2）当λ1＝1时，特征向量α1＝10；当λ2＝5时，特征向量α2＝01.

8.已知矩阵A＝6 24 4.
(1)求矩阵A的特征值及对应的特征向量；
(2)计算矩阵An.

【答案】（1）当λ1＝8时，A属于λ1的特征向量为α1＝11；当λ2＝2时，A属于λ2的特征向量为α
2

＝1－2.

（2）2×8n＋2n3 8n－2n32×8n－2n＋13 8n＋2n＋13
c＝2×8n－2n＋13，d
＝8n＋2n＋13.

故An＝2×8n＋2n3 8n－2n32×8n－2n＋13 8n＋2n＋13
9.已知a，bR，若M=13ab所对应的变换TM 把直线2x - y = 3变换成自身，试求实数a，b．
【答案】4,1ba
【解析】

10.已知曲线C：1xy，若矩阵22222222M对应的变换将曲线C变为曲线C，求曲线C的方程.
【答案】222yx
【解析】
试题解析：设曲线C一点(,)xy对应于曲线C上一点(,)xy，

22222222xxyy，
2222xyx，22
22
xyy
，……5分
2xyx，2yxy，122xyyxxy，
曲线C的方程为222yx. …10分

11.变换1T是逆时针旋转2的旋转变换，对应的变换矩阵是1M；变换2T对应用的变换矩阵是21101M
（Ⅰ）求点(2,1)P在1T作用下的点'P的坐标；
（Ⅱ）求函数2yx的图象依次在1T，2T变换的作用下所得曲线的方程。
【答案】（Ⅰ）'(1,2)P（Ⅱ）2yxy
【解析】

12.已知二阶矩阵M有特征值8及对应的一个特征向量111e，并且矩阵M对应的变换将点(1,2)变换
成(2,4), 求矩阵M．.

【答案】6244
【解析】
试题解析：设M=abcd，则abcd11=811=88，故8,8.abcd
abcd12=24，故22,24.abcd





联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=6244．………10′
13.设矩阵00abM（其中00ab＞，＞），若曲线C：221xy+=在矩阵M所对应的变换作用下得到曲线
2
2
14xCy：
，求ab+的值．

【答案】3．
【解析】