关于具有给定Sylow子群正规化子

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编译原理-黑大-试题及答案

编译原理一.填空题1.①⑤②⑥③⑦④⑧2.N T N文无关文法，通常用来描述计算机语言的语法结构。

( × )5.前后文无关文法的是否具有二义性是不可判定的。

( √ )6.同一字母表上的NFA和DFA是等价的。

( √ )7.若自动机M1的状态数和自动机M2的状态数不相等，则M1与M2一定不等价( × )8.状态转换图中终态结点只有一个。

( × )9.正规集与正规式之间并不存在一一对应关系。

( √ )10某些语言不能用正规式来描述，因此正规式的描述能力是有限的。

( √ )三．求解题1.试描述文法所产生的语言。

S→aSa|bSb|c答：S→aSa→abSba→abcba L(G)={a m b n cb n a m|m,n≥0}2.试描述文法所产生的语言。

S→AB A->aAb|ab B->cBd|cd答：S→AB→aAbcBd→aabbccdd L(G)={a n b n c m d m|m,n≥0}3.试构造所产生语言的文法。

{ a m b n c n d m | m,n>=1 }答：S→AB A→aA|d B→bB|c4.试构造所产生语言的文法。

{ a n # b n |n>=0 }∪{ c n # d n |n>=0 }答：S→E|F|# E→aEb|# F→cFd|#5.改写文法消除文法左递归。

引入{ }改写：E→EAT|T，T→TMF|F答：E→T{AT}T→F{MF}6.改写文法消除文法左递归.引入E’,T’改写：E→EAT|T，T→TMF|F答：E→TE’E’→ATE’|εT→FT’T’→MF T’|ε四．综合题1.文法：S→AB|c A→bA|a B→aSb|c，给出句子w=bbaacb的最左推导和最右推导。

这种推导是属于自顶向下还是自底向上的句型分析？答：①W的最左推导S→AB→bAB→bbAB→bbaB→bbaacb②W的最右推导S→AB→AaSb →Aacb→bAacb→bbAacb→bbaacb自底向上2.假设<标识符>-><标识符>字母|<标识符>数字|字母|下划线，画出识别标识符的状态转换图。

-判定正规子群的若干条件及方法

-----------------------------------Docin Choose -----------------------------------豆丁推荐↓精品文档The Best Literature----------------------------------The Best Literature2009年 1月 China Water Transport January 2009收稿日期：2008-12-10作者简介：王娜儿（1979-），女，浙江舟山人，浙江海洋学院数理与信息学院讲师，研究方向为群论。

判定正规子群的若干条件及方法王娜儿（浙江海洋学院数理与信息学院，浙江舟山 316004）摘要：本文给出了判定群的子群成为正规子群的若干条件，并应用这些条件解决某些实际问题，本文的结论对如何寻找正规子群有一定的启示。

关键词：正规子群；可解群；单群中图分类号：O171 文献标识码：A 文章编号：1006-7973（2009）01-0264-02一、前言正规子群是群论中非常重要的子群，它在研究群可解性、同构分类等方面扮演尤为重要的角色。

事实上，对于群G ，如何确定子群H 是否为G 的正规子群对于判定G 是否可解起到关键作用。

所以讨论子群成为正规子群的条件也显得非常的重要，本文从正规子群的定义出发，给出了子群成为正规子群的若干条件，并应用部分条件解决实际问题。

二、判定正规子群的已知结果定义1：G 是群，≤H G 。

若g G ∀∈，有=gH Hg ，则称H 是G 的正规子群．记为H G 。

定理1：,≤H G 则下述条件等价：（1）a G ∀∈，有aH Ha =；（2）a G ∀∈，有⊆aH Ha ；（3）a G ∀∈，有1−⊆aHa H ；（4）a G ∀∈，有1aHa H −=；（5）a G ∀∈，h H ∈均有1aha H −∈。

定理2：设,()≤H G N H 表示H 的正规化子，则⇔ H G ()=G N H 。

【国家自然科学基金】_s-拟正规_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801

2008年序号 1 2 3 4 5 6 7
科研热词有限群 s-拟正规超可解群次正规拟正规幂零群 f-s-补充
推荐指数 2 2 1 1 1 1 1
2009年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
科研热词极大子群 c*-正规子群正规化子有限群 s-拟正规嵌入子群 s-拟正规 p-幂零群 p-幂零 2-极大子群
推荐指数 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2012年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
正规子群极大子群有限群既约集合套弱s-可补弱c*-正规子群同构同态 ss-拟正规子群 s-拟正规嵌入子群 s-拟正规嵌入 p-超可解 p-幂零群
2014年序号 1 2 3 4 5 6 7
科研热词超可解群有限群弱ss-拟正规子群弱s-拟正规嵌入子群 ss-拟正规子群 p-超可解群 p-幂零群
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2013年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2013年科研热词 p-幂零群有限群 s-拟正规嵌入 s-拟正规子群超中心群结构极大子群最小生成元数弱s-拟正规嵌入弱c*-正规子群 χ φ -超中心性 xφ -超中心性 ss-拟正规 p-超可解群 p-超可解 hg 推荐指数 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
推荐指数 2 2 1 1 1 1 1 1 1
2011年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

具有S-拟正规子群的有限群

设Ｇ是有限群，称Ｇ的子群Ｋ和Ｈ是可置换的，如果ＫＨ＝ＨＫ，即ＫＨ为Ｇ的子群．显然，对于Ｇ的正规子群Ｎ，Ｎ与Ｇ的所有子群可置换，但反之不一定成立．Ｏｒｅ［１］引入了拟正规子群的概念：称子群Ｈ为Ｇ的拟正规子群，如果Ｈ与Ｇ的所有子群可置换．作为拟正规子群的推广，Ｋｅｇｅｌ［２］定义了Ｓ－拟正规子群．
定义１［２］设Ｇ是有限群，Ｈ为Ｇ的子群．称Ｈ是Ｇ的Ｓ－拟正规子群，如果子群Ｈ与Ｇ的ห้องสมุดไป่ตู้有Ｓｙｌｏｗ子群可置换，即对任意的Ｐ∈Ｓｙｌ（Ｇ），有ＨＰ＝ＰＨ．
素数幂阶子群的Ｓ－拟正规性对有限群结构有着重要的影响（见文献［３－１０］）．Ｇ的素数阶子群称为Ｇ的极小子群．２００９年，Ａｓａａｄ［４］研究了每个极小子群皆为Ｓ－拟正规子群的有限群性质．他称这类群为ＭＳ－群，证明了ＭＳ－群必可解．进一步地，引入如下群类．
可知，Ｄ＝Ｔ：Ｐ为内幂零群，其中Ｔ为Ｄ的正规Ｓｙ
ｌｏｗ２－子群，Ｐ＝ｐ．由于Ｇ非可解，故Ｄ为Ｇ的
真子群．所以Ｄ是一个ＭＳ－群．因此Ｐ在Ｄ中Ｓ－
拟正规，应用引理１（２）可知Ｐ是Ｄ的一个次正规子
群．注意到Ｐ是Ｄ一个Ｓｙｌｏｗ－子群，所以Ｐ为Ｄ的
一个正规子群．这导致Ｄ是一个幂零群，与Ｄ内幂零相矛盾．故Ｇ／Φ（Ｇ）中的每一个２ｎｐ阶子群均为２－
定义２［４］设Ｇ是有限群．如果Ｇ不为ＭＳ－群，但Ｇ的每个真子群皆为ＭＳ－群，那么称Ｇ为极小非ＭＳ－群．
Ａｓａａｄ［４］证明了极小非ＭＳ－群必可解以及群阶的素因子个数为２，并给出了极小非ＭＳ－群的结构．

Sylow-正规化子属于群系$CF$的

394Vol.39,No.4 19967ACTA MATHEMATICA SINICA July,1996 Sylow-F(630715):F{f(p)}F p{f(q)}f(q)= f(q),q=p,,q=p,p-N1)F F,p.p-Sylow-F p.“G∈N.F(F)p,p-Sylow-F p G2)G p,p-Sylow-p-G p,G p-Sylow p2-p-Sylow G B-3)G B-Fσ-Sylow G∈F,p,G p-Sylow-F p;G∈N·F,p,G p-Sylow-F p GSylow-σ-Sylowp-Sylow(Sylow-)[1]Sylow-[2][3][4]p-Sylow-p-[5]Sylow-[6]Baer[7,7.23]σ-Sylow F p-Sylow-F p.[5]F,Sylow-F{f(p)}F p F p-NX·Y X Y1119949194Sylow-F4572HG H F -H F H ∩G FH/H ∩G F ∼=HG F /G F ∈F ,H F ≤H ∩G F .3GSylow p -P ,“G ∈F p ⇔G/C G (P )∈f (p )”.[8, 2.1],4PGSylow p -P ∩G F p =1,G ∈F p .P ∩G F p =1,P ×G F p .C G (P )≥G F p .G F p =A,G =G/A,P =P A/A .P ∈Syl p G .G ∈F p3,G/C G (P ∈f (p ).(|P |,|A |)=1[9,7.9]C G (P )=C G (P )A/A =C G (P )/A ,GC G (P )∼=G/A C G (P )/A=GC G (P )∈f (p ).3,G ∈F p .5Sylowσ,σ-SylowGF (G )FittingG/F (G )p ,p ||G |,p |G/F (G )|,F (G )GSylow p -P .P F (G ),F (G )P G .p ||G |,p |G/F (G )|,GH ≥F (G ),|G :H |=p .H ,HSylow Q ,Qp -QGSylowQ G ,p ,HSylow p -P 1,P 1 G .GSylowP ,P 1GG[10].GSylowSylow6FGp -Sylow-F p ,Gp -Gp -Sylow-F pGGp -Gp -Sylow-F p -1,p -Sylow-F p ,Gp -p -Sylow-N G (P )F p -A =1,1<A ≤N G (P )≤G .A ≤N G (P ),P ∩A A ,Gp -P ∩A .P ∩A =1,1,Gp -P 1.G/P 1G/P 1p -Gp -p -Sylow-N G (P ),P ∩A =1.4,N G (P )∈F p .Gp -21F(∆)F ,pp -Sylow-F p .G ∈N ·FGp -Sylow-F pGG ∈N ·F ,H ≤G .G F -GFittingF (G )H/H ∩F (G ) HF (G )/F (G )≤G/F (G )∈F ,H ∩F (G )≥H F .H F H ∩F (G ) F (G ) G .GF -GN G (P )F p -F -GN G (P )F pG(∆)F6,45839G G∈N·F,−N·F N·F[118, 1.4].G=AN,N G p-C G(N)=N,A∈N·F.[7, 6.1].Q∈Syl q A,q=p Q∈Syl q G;q=p QN∈Syl p G.M=1,q=p, N,q=p,QM G Sylow N G(QM)F q-B.B,QM N G(QM) B∩QM B,B∩QM B B∩Q B∩QM B G, B∩Q G q=p1C G(N)=N,B∩Q=1;q=p [7,§6.1,3)],B∩Q=1.N A(Q)≤N G(QM),N A(Q)≤A∩N G(QM).2,Q∩(N A(Q))F q≤N∩N G(Q)F q=Q∩B=1.4,N A(Q)∈F q,∀Q∈Syl q A.(∆),A∈F, G∈N·F,([5])G G Sylow-GF=N2F⊂N·N,G∈F p-Sylow-F p,GG∈F,G5,G σ-Sylow G∈F[6,5].3G p-Sylow p-G2, p-p2p-Sylow G Sylow G B-5G B-Fσ-Sylow G∈FSylow-F.p|G|σP∈Syl p G,N G(P)∈F,N G(P)σ-Sylow N G(P)p-P G p-[12].Gσ-Sylow[6,5],6G B Fσ-Sylow G∈N·F G Sylow-F-G1[1]Bianchi M,Mauri A G B,Hauck P.Onﬁnite groups with nilpotent Sylow-normalizers.Arch Math,1986,47:193–197.[2]Saad Admar.Uber eien Bemerkung von Glauberman.Arch Math,1987,49:187–189.[3]Zassenhaus1989,34:244–246.[4]Zassenhaus1991,36:474.4Sylow-F459[5][6]1993,38:491–493.[7]−ΣΣ1988.[8]F-F-1986,29:117–126.[9]Kurzweil H.Endliehe Gruppen.Berlin Heidelberg New York:Springer-Verlag,1977.[10]Sirnivasan S.Two suﬃcient conditions for supersolvability ofﬁnite groups.Isreal J Math,1980,35:210–214.[11]1989,9:243–246.[12]Yoshida T.Character-theoretic transfer.J Algebra,1978,52:1–38.Finite Groups Whose Sylow-Normalizers Belong to a Formation FChen Zhongmu(Department of Mathematics,Southwest-China Normal University,Chongqing,630715,China) Abstract:Suppose that F is a solvable and subgroups closed formation locally deﬁned by {f(p)}.F p is the formation locally deﬁned byf(q)=f(p),q=p class ofﬁnite groups,q=p.The principal results of this paper as follow:1)If F holds that a group belongs to F when and only when for every prime p whose p-Sylow-normalizers belong in F p,then a group G∈N·F(extentions of a nilpotent group by a F-group)when and only when for every prime p the F p-residues of p-Sylow-normalizers are subnormal in G.2)A group G is supersolvable when and only when for every prime p the p-Sylow-normalizers are supersolvable and whose nilpotent residues are subnormal in G.Keywords:Locally deﬁned formations,Sylow-normalizers,Supersolvable groups,σ-Sylow tower。

群论四大定理的探讨

本科毕业论文题目群论四大定理的探讨专业数学与应用数学作者姓名庄静学号**********单位聊城大学数学科学学院指导教师李令强2014 年 05 月教务处编原创性声明本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下，独立进行研究取得的成果。

除文中已经引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料。

对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均在文中以明确的方式表明。

本人承担本声明的相应责任。

学位论文作者签名：日期：指导教师签名:日期：目录1.引言 (1)2.群同态与同构基本定理 (2)2.1 群同态与同构 (2)2.2 群同态基本定理 (6)2.3 群同构基本定理 (7)2.4 群同态与同构的意义 (10)3.有限群理论重要定理 (11)3.1 Sylow定理 (11)3.2 有限交换群的基本定理 (16)4.定理的应用 (22)4.1 群同态与同构定理的应用 (22)4.2 Sylow定理和有限交换群基本定理的应用 (23)5.小结 (27)6.参考文献 (28)7.致谢 (29)摘要在了解有关群论的基本定义的基础上把握群论的四大定理:群同态基本定理；群同构基本定理；Sylow定理；有限交换群基本定理，理解并掌握定理的深刻含义.群同态基本定理与群同构基本定理主要探讨的是有关群的结构、数量、联系的问题,在这两个定理的研究中，是从已知的群出发，来研究与之相关联的群，一步一步慢慢引申，更进一步来研究各类群之间的联系，把成千上万的，看起来杂乱无章的群进行归类，再研究每一类群的内在结构.有限群又是群论中非常值得研究的一类群，先通过介绍Sylow引理，循序渐进的探讨了Sylow三大定理的逻辑证明过程.紧接着又进一步探讨了另一种特殊的而又重要的群——有限交换群，探究这一类群是为了对群进行分解，分解成我们所熟知的一些群类，便于研究与应用.在最后论述这四大定理的一些应用，从而说明其重要性.关键词：群；群同态基本定理；群同构基本定理；Sylow定理；有限交换群基本定理.AbstractOn the basis of the understanding about the basic definition of group theory to grasp the four theorems of group theory: Group; Group of homomorphism fundamental theorem; The basic theorem; The Sylow theorem; The basic theorem of finite Abelian group, understand the profound meaning and master theorem. Group of homomorphism fundamental theorem and the basic theorem mainly discussed about the group structure, the number and contact problem.To solve this problem is to rely on basic theorem group homomorphism and isomorphism theorems, in the study of these two theorems, starting from the known group, to the research of the group, step by step slowly extended, further to study the connection between the various groups, tens of thousands of, seem to be the group are classified, then study the internal structure each group. A finite group is a very worthy of study groups in group theory. This paper first introduce Sylow lemma theorem of Sylow, step by step on three theorems of the logic process of proof. Followed by a further discussion group important another special and -- finite abelian groups, study of this group is to decompose into the group, we know some class of groups, for research and application. In the last of the four theorems are discussed some applications ,to show its importance.Key words: Group; Group of homomorphism fundamental theorem; The basic theorem; The Sylow theorem; The basic theorem of finite Abelian group.1.引言群论有着悠久的历史，现在已发展成一门范围广泛和内容十分丰富的数学分支，在近世代数和整个数学中占有重要地位.对于映射的同态与同构已有所了解，而近世代数很少考察一般的映射,近世代数的研究对象是代数系统.其中群是最简单的代数系统，因为它在一个集合中只定义了一种代数运算.群的同构与同态在研究中有着它的重要作用，随着现代数学的高度抽象化和广泛应用，群的同构和同态的研究也越来越受到人们的重视.所以本文将对群论中的同态与同构进行一定的深入研究，了解其中的含义及内在意义.群的同态与同构都是研究群与群之间关系的重要手段.同构映射是群之间保持运算的映射，存在同构映射的两个群可以看成同一个群，因为它们有相同的群结构.代数中最基本与最重要的课题就是搞清楚各种代数体系在同构意义下的分类.而同态映射只要求保持运算，显然它比同构映射更灵活，它能研究两个不同构的群之间的联系.特别重要的是几个同态定理，如同态基本定理告诉我们，两个群在满同态的条件下蕴含着一个群同构.在处理一些同构问题时，我们也常常反过用这个定理，也就是说先构造出满同态.保持运算的映射既然能研究两个代数体系之间的一些关系，那么对于复杂一些的代数体系我们就可以用一些简单的代数系统去研究它们.有一种特殊的群——有限群，是值得我们深入研究的，这就要求我们必须认真把握与其有关的两大定理.2.群同态与同构基本定理2.1 群同态与同构定义：如果G 与F 是两个群，如果有一个G 到F 的映射Φ保持运算，即 )()()(b a ab ΦΦ=Φ ),(G b a ∈∀则称Φ为群G 与群F 的一个同态映射.当Φ又是满射时，则称群G 与F 同态，并表示为G ∽F .当Φ是一个双射时，称Φ为群G 到群F 的一个同构映射.如果群G 到群F 存在同构映射，就称群G 与群F 同构，记为G ≌F .群G 到自身的同态映射与同构映射，分别称为群G 的自同态映射和自同构映射，简称为群G 的自同态和自同构.注意：⑴ 同态具有方向性，即G 与F 同态，不一定G 与F 同态；⑵ 显然只含有恒元的群与任何群同态[]1.（映射规则取为乘群元素的逆一般不考虑这种同态）同态是一种等价关系①.它虽是满映射，但并不是一一映射，即F 的一个元素可对应着G 的多个元素.性质1 设G 是一个群，G 是一个有代数运算（也称为乘法）的集合.如果G 满同态于G ，则G 也是一个群.证明因为G ∽G ，G 是群，其乘法满足结合律，所以G 的乘法也满足结合①等价关系的定义：集合M 的一个关系R 满足以下条件： ⑴. 对M 中任意元素a 都有aRa ； (反身性)⑵. 如果,aRb 必有bRa ；（对称性)⑶. 如果bRc aRb ,，必有aRc . (传递性)律.设e 是群G 的单位元，a 是G 的任一元素，又设Φ是G 到G 的满同态，且在Φ之下 ,,a a e e →→于是 a e ea →.但是,a ea =故a a e =.即e 是G 的单位元.又设 11--→a a则 a a a a 11--→但是,1e a a =-故e a a =-1.即1-a 是a 的单位元. 因此G 也是一个群.应注意性质1，如果集合G 与G 各有一个代数运算，且G ∽G ，则当G 为群时，G 不一定是群.而且性质1的意义在于，要验证一个集合G 对所指的代数运算作成群，可找一个已知群，并通过同态来实现.性质2 设Φ是群G 到群F 的一个同态映射（不一定是满射）.则群G 的单位元的像是群F 的单位元，G 的元素a 的逆元的像是a 的像的逆元.即11--=a a 或 ()()11--Φ=Φa a 例1 令{=G 全体正负奇数}，代数运算为数的普通乘法；又{}1,1-=G 关于数的普通乘法作成群，令 :Φ正奇数1→，负奇数1-→.则易知Φ是G 到G 的一个同态满射，故G ∽G .G 是群，但G 却不是群.例2 证明：{}3,2,1,0=G 对代数运算r b a = （r 为b a +用4除所得余数）作成一个群.证明令Z 是整数加群，则易知':x x →Φ )(Z x ∈∀是Z 到G 得一个同态满射，其中'x 为x 整数用4除所得余数.由于Z 是群，故由性质1知，G 也是群. 这样在证明G 是一个群时，可以减少一些麻烦的验算过程.性质3 设Φ是群G 到G 的一个同态映射（不一定是满射），则⑴ 当H ≤G ①时，有()G H ≤Φ，且H ∽()H Φ；⑵ 当G H ≤时，有()G H ≤Φ-1，,且在Φ之下诱导出()H 1-Φ到H 的一个同态映射.证明 ⑴ 任取()H b a Φ∈,，且在Φ之下令 b b a a →→,，其中H b a ∈,.由于G H ≤，故H ab ∈，且 b a ab →. 从而()H b a Φ∈，即()H Φ对G 的乘法封闭，且H ∽()H Φ但H 是子集，从而()H Φ也是群且是G 的子群.⑵ 当G H ≤时，由于()H 1-Φ显然非空，任取()H b a 1,-Φ∈，且在Φ之下令 b b a a →→,.则11--→b a ab ，①符号“G H ≤”表示群H 是群G 的子群，即H 是G 的非空子集，如果H 本身对G 的乘法也做成一个群，则称H 为群G 的子群.其中H b a ∈,，而G H ≤，故H b a ∈-1，从而()H ab 11--Φ∈. 即()G H ≤Φ-1，且显然Φ诱导出()H 1-Φ到H 的一个同态映射.性质4 群G 到群G 的同态映射Φ是单射[]2的充要条件是，群G 的单位元e 的逆像只有e .证明必要性显然，下证充分性.设Φ是群G 到群G 的任一同态映射，且在Φ之下e 的逆像只有e ，又设在Φ之下 b b a a →→,，当b a ≠时，必有b a ≠：因若b a =，则由于 e b a ab =→--11，故b a e ab ==-,1，矛盾.因此，Φ是单射.性质5 设N 是群G 的任一正规子群①，则G ∽N G ，即任何群都与其商群②同态.证明在群G 与商群N G 之间建立以下映射：)(:G a aN a ∈∀→τ，这显然是G 到N G 的一个满射.① 正规子群的定义：设N 是群G 的一个子群，若果对G 中每个元素a 都有 Na aN =，即N aNa=-1，则称N 是群G 的一个正规子群（或不变子群）. ② 商群的定义：将正规子群H 及其全部陪集作为元素，以陪集乘法定义为群乘法而形成的新群称之G 相对正规子群H 的商群，通常记为H G /.商群的单位元素为H ，各个陪集是商群的其它元素.又任取G b a ∈,，则有))(()(bN aN N ab ab =→，即τ是G 到N G 的同态满射，故G ∽N G .今后称群G 到商群N G 的这个同态满射τ为G 到商群N G 的自然同态.2.2 群同态基本定理群同态基本定理：设Φ是群G 到群G 的一个同态满射，则Φ=Ker N 是G 的正规子群，且 G N G ≅/.证明首先，由于G 的单位元是G 的一个正规子群，由此可知，其所有逆象的集合，即ΦΦ=Ker N 的核也是G 的一个正规子群.其次，设 a a →Φ: ),(G a G a ∈∈ 则在G 与N G /间建立以下映射： )(:a a aN Φ=→σ⑴ 设bN aN =，则N b a ∈-1.于是 b a e b a b a ===--,11即N G /中的每个陪集在σ之下在G 中只有一个象，因此，σ确N G /为到G 的一个映射；⑵ 任取G a ∈，则因Φ是满射，故有G a ∈使a a =Φ)(.从而在σ之下元素a 在N G /中有逆象aN ，即σ为到G 的一个满射； ⑶ 又若bN aN ≠，则N b a ∉-1，从而b a e b a ≠≠-,1，即σ为N G /到G 的一个单射.因此，σ是N G /到G 的一个双射.又由于有 b a ab abN bN aN =→=))((故σ为同构映射，从而G N G ≅/.应注意，本定理中的Φ是一个同态满射.如果Φ只是一个同态映射（不一定是满射），虽然也有ΦKer 是群G 的正规子群，但最后结论应改为 ΦKer G ≌()Φ=ΦIm G .由上一节的性质5和群同态基本定理知：G G −→−Φ，)(a a a Φ=→；又G N G G −→−−→−στ，)(a a aN a Φ=→→，其中Φ=Ker N .因此，στ=Φ.上一节的性质5表明，任何群都同它的商群同态[]3；本节群同态基本定理表明，如果一个群G 同另一个群G 同态，则这个群G 在同构意义下是G 的一个商群.因此，在同构意义下，两个的意思是：每个群能而且只能同它的商群同态.这是群论中最重要的结论之一，在很多场合下，都要经常用到这个事实. 另外，由群同态基本定理的证明知，若G ∽G ，且同态核①是N ，则G 中每个元素的全体逆象恰好是关于N 的一个陪集.G 中元素与陪集的这种对应不仅是一个双射，而且是一个同构映射.2.3 群同构基本定理这部分我们将介绍三个定理，这三个定理在群论的研究中都很重要，它们的证明有多种方法，其中有的与群同态基本定理有直接的关系.① 设Φ是群G 到群Ｆ的一个同态映射，G 的单位元在Φ之下所有逆像作成的集合，叫作Φ的核，记为ΦKer .定理 1（第一同构定理[]4）设Φ是群G 到群'G 的一个同态满射，又N Ker ⊆Φ是G 的正规子群，)(N N Φ=，则N G /≅N G /证明令τ：N G G →()N a a Φ→ （G a ∈∀）⑴ τ是映射：设b a =（G b a ∈,），因为Φ是同态映射，故()()b a Φ=Φ从而()()N b N a Φ=Φ，即τ是G 到N G 的映射.⑵ τ是满射：任取N G N a ∈（G a ∈），则因Φ是满同态，故有G a ∈使()a a =Φ从而在τ之下N a 有逆像a ，即τ是满射.⑶ τ保持运算：在τ之下有()()()()()N b N a N b a N ab ab b a Φ⋅Φ=ΦΦ=Φ→=⋅，故τ为G 到N G 的同态满射.又因为τKer ={G a ∈|()}N a =τ={G a ∈|()}N N a =Φ ={G a ∈|()}N a ∈Φ={G a ∈|()}N a 1-Φ∈={G a ∈|()}N ΦΦ-1={G a ∈|}N a ∈=N故由群同态基本定理知 N G ≌N G .以上的同构当然也可以写成 N G ≌()()N G ΦΦ但应注意，定理1中的Φ必须是满同态而且N 必须是G 的包含核Φker 的正规子群. 另外，此定理的证明也可以是找一个τ是商群N G 到N G 的一个同构映射，依次证明τ是映射，是单射，满射且保持运算.定理2（第二同构定理）设G 是群，又G H ≤，N 是G 的正规子群，则N H 是H 的正规子群，并且)/(/N H H N HN ≅证明因为G H ≤，N 是G 的正规子群，故G HN ≤，且N 是HN 的正规子群，又易知xN x →Φ: )(H x ∈∀是子群H 到商群N HN /的同态满射，且核为N H ，故由群同态基本定理知： N H 是H 的正规子群且 N H H ≌N HN从而结论成立.定理3（第三同构定理[]5）设G 是群，又N 是G 的正规子群，N G H /≤.则 ⑴ 存在G 的惟一子群H ⊇N ，且N H H /=；⑵ 又当H 是N G /的正规子群时，有惟一的H 是G 的正规子群使 NH H /=且 N H N G H G ///≅ 证明 ⑴ 设在自然同态G :σ∽N G / 之下H 的逆象为H ，则G H H N ≤=⊆-)(1σ，且因σ是满同态，故可知 []H H H ==-)()(1σσσ但又知，N H H /)(=σ故 N H H /=由同态基本定理的定理，由于G 中含N 的不同子群其象也不同，故可知这样的H 也是惟一的.⑵ 当H 是N G /的正规子群时，由2.3.1中的定理2可知，G 有惟一正规子群N H ⊇使N H H /=，又由于在自然同态G ∽N G /之下有N H ⊇，且H 的象是N H /，故由第一同构定理知， N H H G H G ///≅此定理表明，商群N G /的子群仍为商群，且呈N H /形，其中H 是G 的含N 的子群；又H 是G 的正规子群当且仅当N H /是N G /的正规子群.通过群同构三大定理的证明过程我们看出，群同态基本定理是群同构三大定理的基础，通过群同态基本定理只要找准同态核就能很容易的找出一对具有同构关系的群.2.4 群同态与同构的意义由群同态基本定理知，在同构的意义下，任何群都能而且只能与其商群同态.所以要特别强调一下群同构的意义[]6.设}{ ,,,c b a M =是一个有代数运算的群，而M {} ,,,c b a =是另一个有代数运算的群.如果M ≌M ，且在这个同构之下，c c b b a a →→→,,…则根据同构的定义，c b a = 当且仅当c b a = .这就是说，除去元素本身的性质和代数运算名称与所用的符号不同之外，从运算的性质看，M 与M 并没有任何实质性的差别.更具体的说，就是由M 仅根据代数运算所推演出来的一切性质和结论.都可以自动地全部转移到与M 同构的一切代数系统上去.因此，在近世代数中常把同构的代数系统等同起来，甚至有时候不加区分.这正表现出这门学科所研究的问题的实质所在.3.有限群理论重要定理有限群是代数学的一个重要分支，它在群的理论中占有非常重要的地位.有限群之所以重要，不仅因为这种理论对数学本身特别是群产生重要影响，而且在实际应用中，例如在理论物理、量子力学、量子化学以及结晶学等方面都有广泛应用，所以本节将集中介绍有限群理论中两个最基本最重要的内容，即Sylow 定理和有限交换群①基本定理.3.1 Sylow 定理为了证明Sylow 定理，下面先介绍重陪集概念及其简单性质.定义1 设K H ,为群G （不一定有限）的两个子集，又令G x ∈，则称G 的子集{hxk HxK =|}K k H h ∈∈,为群G 关于子群K H ,的重陪集.简称HxH 为关于子群H 的一个重陪集.引理1 对群G 的任二重陪集Hxk 与HyK ，若≠HyK HxK φ，则必有HyK HxK =.证明由于≠HyK HxK φ，故有元素∈a HyK HxK .令()K k H h yk h xk h a i i ∈∈==,2211则HyK k yk h h x ∈=--112211.从而对任意K k H h ∈∈,，有HyK k k k y h hh hxk ∈=--)()(112211①如果对群G 中任意二元素b a ,均有a b b a =，即群的代数运算满足交换律，则称G 为交换群.而且群G 中只含有有限个元素，则称群G 为有限交换群.因此，HyK HxK ⊆.同理有HxK HyK ⊆.故HyK HxK =.下面的引理回答了包含在重陪集HxK 内的H 右陪集有多少个. 引理2 在群G 的重陪集HxK 中，含子群H 的右陪集的个数等于（H :K Hx x 1- ）；含子群K 的左陪集的个数等于（H :1-xKx H ）.证明设{Hxk S =|}K k ∈， {k Hx x K T )(1-= |}K k ∈；并令)()(:1K k k Hx x K Hxk ∈∀→Φ-如果),(2121K k k Hxk Hxk ∈=，则Hx x k k H x k xk 11211121,----∈∈⋅，从而Hx x K k k 1121--∈ .因此 2111)()(k Hx x K k Hx x K --= ，这说明Φ是S 到T 的一个映射.类似证明，可知Φ是单射，又显然Φ是满射.因此Φ是S 到T 的一个双射.同理可证引理中的另一结论.引理3[]7 设H Hx H Hx H Hx G r 21=是有限群G 关于子群H 的重陪集分解，则对任意)(H N Ha ⊂，都有某个j Hx 使)1(r j Hx Ha j ≤≤=.证明因为任何右陪集必含于某个重陪集之中，故不妨设 H Hx Ha j ⊆，r j ≤≤1，于是H Hx a j ∈.令),(2121H h h h x h a j ∈=，则1211--=ah h x j .据此，并根据)(H N Ha a ⊆∈与Ha aH =便可得Ha Hx j =，即j Hx Ha =.定理1（第一Sylow 定理——存在性和包含性[]8 ）设G 是有限群，且m p G s =，其中p 是素数，s 是正整数，p 不整除m .则对G 的每个)1,,1,0(-=s i p i 阶子群H ，总存在G 的1+i p 阶子群K ，使H 是K 的正规子群.证明设G 关于)0(s i p i <≤阶子群H 的重陪集分解为 H Hx H Hx H Hx G r 21=， ⑴ 且H Hx j 是由j t 个H 的右陪集所组成.于是由引理2及⑴知：.,,2,1),:(1r j Hx x H H t j j j ==-⑵r t t t H G +++= 21):( ⑶ 又因为)0(s i p G i <≤=，故):():(H G p H G H m p G i s ===，从而p |):(H G ，于是分别由⑶及⑵得p |r t t t +++ 21，j t |r j p i,,2,1 = ⑷ 下证：j t =1 )(H N Hx j ⊆⇔.1) 设j t =1 .由⑵得1=):(1j j Hx x H H -，因此j j j j Hx x Hx x H H 11--⊆= . 但是j j Hx x H 1-=，故j j Hx x H 1-=，)(,H N x Hx H x j j j ⊆=.从而)(H N Hx j ⊆2）设)(H N Hx j ⊆，由于j j Hx x ∈，故H Hx x Hx H x j j j j ==-1,.从而1):(1==-j j j Hx x H H t .由引理3，正规化子集)(H N 内的右陪集均呈j Hx 形，故以上说明：在r t t t ,,21中1=j t 的个数就是)(H N 中右陪集的个数，也就是指数):)((H H N ,从而由⑷知：p |):)((H H N 或 p |H H N )(. 于是商群H H N )(有p 阶子群.又由群的第三同构定理，此p 阶子群设为H K （H 为K 的正规子群且)(H N K ≤），从而H 为K 的正规子群且1+=⋅=⋅=i i p p p H H K K .于是当0=i 时10=p 阶子群（即单位元群）总存在，从而以上论证表明s p p p ,,,2 阶子群总是存在的，且其中的i p 还是1+i p 阶子群的正规子群.特别其中的s p 阶子群就是G 的Sylow p -子群.定理2（第二Sylow 定理——共轭性[]9）设G 是有限群，p 是素数.则G 的所有Sylow p -子群恰好是群G 的一个共轭子群类.证明设,m p G s =p 不整除m .显然，与Sylow p -子群共轭的子群都是Sylow p -子群.下面进一步证明：G 的任意二Sylow p -子群必共轭.设K H ,是群G 的任二Sylow p -子群，从而s p K H ==.根据引理1，设G 关于K H ,的重陪集分解为K Hx K Hx K Hx G r 21=，且重陪集中H 的右陪集的个数为r i Hx x K K t i i i ,,2,1):(1 ==-. 由此得r t t t H G +++= 21):(. ⑴ 由于):(H G H G =和s p H =，故p 不整除):(H G ；又因为每个i t 都是p 的非负整数次幂，故由⑴知，至少有一个1=i t .例如不妨设11=t ，即1):(111=-Hx x K K ，从而111111Hx x Hx x K K --⊆= .但是s p Hx x K ==-111，故 111Hx x K -=，即H 与K 共轭.因此，G 的全体Sylow p -子群恰好是一个共轭子群类.例3 求出三元对称群3S 的所有Sylow p -子群.解由于3263⋅==S ，故当素数3,2≠p 时，3S 的Sylow p -子群就是3S 的10=p 阶子群，即{})1(.3S 的Sylow2-子群（p =2）有3个，即{}{}{})23(),1(,)13(),1(,)12(),1(321===H H H .它们是3S 的一个共轭子群类.最后，3S 的Sylow3-子群（p =3）只有一个，即{})132(),123(),1(4=H .它当然是3S 的一个正规子群.定理3（第三Sylow 定理——计数定理[]10）设G 是有限群，且m p G s =，其中p 是素数，p 不整除m .若的Sylow p -子群共有k 个，则k |G 且p |1-k ，即)(mod 1p k ≡.证明首先，设H 是群G 的一个Sylow p -子群，则))(:(H N G k =.从而k |G .其次，根据引理1，设H Hx H Hx H Hx G r 21=是G 关于H 的重陪集分解，并设):(1i i i Hx x H H t -= ),,2,1(r i =是H Hx i 中含H 的右陪集的个数，则r t t t H G +++= 21):( ⑴ r t t t ,,,21 中共有):)((H H N 个是1，而其余的i t 都是p 的正整数次幂.于是由⑴知： p |):)(():(H H N H G - ⑵ 但是):)(():)(())(:():(H H N k H H N H N G H G =⋅=， ⑶ 故由⑵知，p 整除):)(():)((H H N H H N k -，即p |)1():)((-⋅k H H N ⑷ 又因为现在的H 是群G 的一个Sylow p -子群，故p 不整除):(H G ，从而由⑶知， p 不整除):)((H H N ，再由⑷得p |1-k ，即)(mod 1p k ≡.本节所论述的Sylow 定理是有限群中非常重要的定理，三个定理都与素数p 有关，三个定理是彼此相关的.对于任意的素数p ，首先论述G 的Sylow p -子群是否存在？接着的定理回答了，如果存在，有多少个及它们之间有什么样的关系？3.2 有限交换群的基本定理上一节利用Sylow 定理证明了有限交换群可以分解成它的Sylow 子群的直积.但Sylow 子群不一定是循环群，也不一定是不可分解群，所以本节将进一步加细这种分解，从而得到有限交换群的基本定理.为证明有限交换群的基本定理，先证明以下引理1 设a 是群G 的一个有限阶元素，且G H ≤.又设k 是使H a k ∈得最小正整数，则1）当H a s ∈时，k |s ；2）当e H a ≠ 时，a k <.证明 1）令k r r kq s <≤+=0,. 则由于G H ≤，故H a a a a a a q k s r r kq s ∈⋅=⋅=-)(,再由k 最小性知，0=r .因此，k |s .2）因为e H a ≠ ，故有e b H a b ≠∈, .令H a b s ∈=. 因为H e a a∈=，故由k 的最小性知，a k ≤. 如果a k =，则由1）知，a |s .于是e a b s ==，这与e b ≠矛盾.因此，a k ≤.定理1（有限交换群基本定理[]11 ）任何阶大于1的有限交换群G 都可以唯一的分解为素幂阶循环群（从而为不可分解群）的直积：n a a a G ⨯⨯⨯= 21，其中i a 是i a i p （i p 为素数，n i ,,2,1 =且0>i a ）阶循环群.我们称每个素数幂i a i p （n i ,,2,1 =）为G 的初等因子，而称其全体{}n a n a a p p p ,,2121为群G 的初等因子组. 证明由于阶大于1的有限交换群都可以唯一的分解为其Sylow 子群的直积，故只需假设G 是素幂阶有限交换群即可.因此，设a p G =， p 是素数， a 是正整数.1）存在性.设n a a a G ,,,21 =，且n a a a ,,,21 是G 的使n a a a +++ 21最小的一组n 元生成系.即对G 的任一n 元生成系n x x x ,,,21 均有n a a a +++ 21≤n x x x +++ 21.下证n a a a G ⨯⨯⨯= 21. ⑴ 为此，令n t t i a a a a H 111+-=， n t ,,2,1 =因此，要证⑴成立显然只需证明：n t eH a t t ,,2,1 ==. 设若不然，例如不防设r i eH a i i ,,2,1 =≠，n r t e H a j j ,,1 +==，其中1≥r .现令i k 是使),,2,1(r i H a i k i i =∈得最小正整数，且不妨设),,,m in(211r k k k k =. 则由于i a i H e a i ∈=，故由引理，i k |i a .但是，a p G =，故每个i a （从而每个i k ）都是p 的方幂.于是1k |i k r i ,,2,1 =. ⑵特别地，由引理还可知：11a k < ⑶ 再由于11k a n a a a H 321=∈，故可令n r r s n s r s r s s s a a a a a a 13211321++=. ⑷ 但是∈j s j a n r j e H a j j ,,1,+==故n r j e a j s j ,,1, +==.于是由⑷知：r s r s s k a a a a 321321=. ⑸由此等式又可知i s i H a i ∈，从而再由引理，i k |i s .再由⑵知，1k |i s （r i ,,2,1 =）.令r i q k s i i ,,2,1,1 == ⑹并且，令r q r q a a a b --= 2211. ⑺ 则由此可知r q r q a a b a 2211=.从而n a a b G ,,,21 =，即n a a b ,,,21 也是群G 的一组n 元生成系.然而由⑺以及⑸、 ⑹可知e a a a b r q k r q k k k ==--12111211 ，于是由⑶知，111a k b <≤.从而n a a b +++ 21<n a a a +++ 21, 这与n a a a +++ 21的最小性矛盾，所以⑴成立.2）唯一性.设r a a a G ⨯⨯⨯= 21s b b ⨯⨯⨯= 21⑻是G 的两种这样的分解，且其初等因子组分别为：{}r m m m ,,,21 ， {}s n n n ,,,21 ，其中每个i m 和每个j n ()s j r i ,,2,1;,,2,1 ==都是p 的方幂.不妨假定r m m m ≥≥≥ 21，s n n n ≥≥≥ 21.若s r ≠且不妨设s r <.① 若r r n m n m == ,11，则由⑻知，G 的阶按第一种分解为=r m m m 21s n n n 21，而按第二种分解又为⋅r n n n 21s r n n 1+，这显然是不可能的.② 若1111,--==t t n m n m ，但t t n m >.则令{}G x x H t n ∈=，并由此容易知道G H ≤，且由⑻有t t t t n s n n r n b b a a H ⨯⨯=⨯⨯= 11. 因为i i m a =，故()r i m n m a i t i n i t ,,2,1,, ==. 但因i m 与j n 都是p 的方幂，故),2,1(t i m n i t =.从而H 的阶按第一种分解为正整数),(,,),(,,,,,11121r t r t t t t t t t t t m n m m n m n m n m n m n m ++-，之积.同理，H 的阶按第二种分解又为正整数1,,1,,,,121 tt t t n n n n n n - 之积.显然也是不可能的.因此，由①与②可知：s r =且i i n m =（r i ,,2,1 =），从而i a ≌i .亦即G 的两种分解的初等因子组相同.应注意，如果有限交换群G 的初等因子组为{}n k n k k p p p ,,2121，则其中的素数n p p p ,,,21 不一定是互异的，甚至也可以是完全相同的.另外，在G 的两种这样的分解中，如果i i b a =，则只能肯定i a ≌i b ，但不一定有 i a =i b .由定理1知，一个有限交换群完全由其初等因子组所决定.定理2 两个阶大于1的有限交换群同构的充要条件是，二者有相同的初等因子组.由前面的讨论可知，循环群是完全研究清楚了的一个群类.现在由定理1与定理2可知，有限交换群也是完全研究清楚的另一个重要群类.这两类群在群论的整个研究中占重要的地位并起着基本的作用.另外，由本节的讨论我们可知，有限交换群的初等因子的概念和理论，完全类似于高等代数中 -矩阵的初等因子的概念和理论.所以可以进行类比的理解学习.4.定理的应用4.1 群同态与同构定理的应用研究各种代数体系就是要解决这些代数体系的下面三个问题：存在问题、数量问题以及结构问题.如果这些问题都得到完满的解答就算达到了目的.研究群时，需要明白共有多少个不同的群，每个群的结构如何，结构相同的群如何对待等.对群进行比较时,采用的主要工具就是同态和同构. 群的同构是一个等价关系，通过同构群的意义我们知道，彼此同构的群具有完全相同的性质.这样通过对群的比较,从而揭示出两个群的某些共同性质,以至区别二者的异同.在群论中，主要研究本质上不同的群之间的关系，所以同构是群论中非常重要的手段.这无疑是在群的研究中具有重要意义的基本观念和基本理论,同时也是实践性很强的基本方法.群同态与同构在群论中最重要的应用就是便于分类[]12，这样可以把千千万万的群归纳为几类，因此只要研究透彻每一类的具有代表性的群后就可以知晓群论中群的特点，便于在各个领域的灵活运用.为了深入研究代数系统的结构，须将同类型的代数系加以比较，以得到这种体系更为本质的性质，使得将这种类型的代数系统分类成为可能，分类的目的就是减少研究对象，即通过对少数特殊代数系的研究，把结果移植到与其有相同或相似结构的对象中.同构与同态就是实现这种分类的主要途径，也是代数学的最基本的研究工具.对于同构的群G 与G ,我们认为G 与G 是代数相同的,因为这是对于近世代数所研究的问题来说,除了符号与名称上的区别之外,二者没有实质的差异.例4 设两个群{}+,Z 和{},Z ，其中：{};,3,2,1,0,1,2,3, ---=Z{}{},10,10,10,10,10,10,10,103210123---=∈=Z n Z n作,:Z Z →ϕn n 10→，（Z n ∈∀）显然，ϕ是双射，且：()()()n m m n n m n m ϕϕϕ⋅=⋅==++101010于是知：Z Z ≅{},Z +与{},Z 这两个群没有实质性的差异，其中一个是另一个以不同符号和名称实现出来的结果.例5（循环群的结构定理]13[）设a G =是由生成元a 生成的循环群，则⑴ 当a =∞时，G ={} ,,,,,,212a a e a a a --=为无限循环群，且与整数加群Z 同构.⑵ 当a =n 时，G =a ={}12,,,,-n a a a e 为n 阶循环群，且与n 次单位根群n U 同构.由于群间的同构关系具有反身性，对称性和传递性，故此定理说明，凡无限循环群都彼此同构，凡有限同阶循环群都彼此同构，而不同的群，由于不能建立双射，当然不能同构.这样，抽象地看，即在同构意义下，循环群只有两种，即整数加群Z 和n 次单位根群n U .所以循环群的存在问题，数量问题，构造问题已彻底解决.4.2 Sylow 定理和有限交换群基本定理的应用作为Sylow 定理的一个应用，我将证明下述定理：定理1 设G 是有限群，pq G =，其中q p ,是互异的素数，且p 不整除1-q ，q 不整除1-p ，则G 是一个循环群①.证明由第三Sylow 定理，G 的Sylow p -子群的个数k 整除pq G =，且 ① 循环群的定义：如果群G 可以由一个元素a 生成，即，则称G 为由a 生成的一个循环群，并称a 为的G 一个生成元。

第三章正规子群和群的同态与同构

则当 G 是一个群时， G却不一定是群 .
_
_
_
G ~ G，
_
例令 G = {全体正负奇数 }，代数运算为数的普通乘法；
G = {1,−1}关于数的普通乘法作成群， _ _ 令 ϕ : 正奇数 → 1, G ~ G , G 是群，但 G不是！负奇数 → − 1.
结论: 如果 G与G 为各有一个代数运算的代数系统，
为素数.
∴ a = n,
从而 G =< a > 为循环群，
由G为单群知n为素数. 练习设G = Z , N = mZ < G , （1）写出商群的全部元素；（2）商群是否为循环群？
作业
习题3.2 第91页 2，3，4，5
3.3
群同态基本定理
一、复习二、群同态基本定理三、应用
一、复习
1、正规子群：
在 ϕ之下的所有逆象作成的集合，叫做 ϕ的核，记为 ker ϕ .
_
_
G中所有元素在 ϕ之下的象作成的集合，叫做
ϕ的象集，记为 Im ϕ .
结论：设 ϕ为群 G到群 G 的一个同态映射， K = ker ϕ ,
.
_
则 : (1) ker ϕ
<G , Im ϕ < G; ( 2) ϕ (a ) = ϕ (b ) ⇔ ∀a , b ∈ G , 有 aK = bK . (3）一个同态 ϕ 是单同态 ⇔ Kerϕ = {e } ⊆ G
设N是G的一个正规子群，任取二陪集aN与bN,有
(aN )(bN ) = a ( Nb) N = a (bN ) N = (ab) NN = (ab) N ,
即(aN )(bN ) = (ab) N , 称此为陪集的乘法.

关于有限群的循环子群的注记

如果存在Ｇ的循环真子群Ｈ使得Ｈ不正规于Ｇ，说明存在ｇ∈Ｇ使得Ｈｇ≠Ｈ，则Ｈｇ∩Ｈ＜Ｈｇ。取ｘ∈Ｈｇ＼（Ｈｇ∩Ｈ）＝Ｈｇ＼ＨＧ＼Ｈ，这里ｏ（ｘ）｜｜Ｈｇ｜＝｜Ｈ｜，与题设条件矛盾，故Ｇ的每个循环真子群都正规于Ｇ。
若Ｇ恰有一个极大子群，则显然有Ｇ是循环群，与假设矛盾。
下设Ｇ至少有２个极大子群，令Ｈ１和Ｈ２是Ｇ的任２个极大子群且Ｈ１≠Ｈ２。如果｜Ｈ１｜＝｜Ｈ２｜，因为Ｈ１≠Ｈ２，有Ｈ１∩Ｈ２＜Ｈ１和Ｈ１∩Ｈ２＜Ｈ２。取ｘ∈ Ｈ１＼（Ｈ１∩ Ｈ２）＝Ｈ１＼Ｈ２Ｇ＼Ｈ２，显然有ｏ（ｘ）｜｜Ｈ１｜＝｜Ｈ２｜，与题设条件矛盾。
第３４卷
心化子和正规化子给出了循环群的一个等价刻画：设Ｇ为Ｓｙｌｏｗ子群皆循环的有限群，则Ｇ循环当且仅当对每个极小子群Ｘ均有ＣＧ（Ｘ）＝ＮＧ（Ｘ）。在文献［６］定理１３中我们证明了：设Ｇ是有限群，ｐ为｜Ｇ｜的最小素因子，若对Ｇ的每个非循环ｐ－子群Ａ均有Ａ＝ＮＧ（Ａ）或Ａ正规于Ｇ，则Ｇ可解。下面给出文献［５］定理２６的一个改进，证明见第４部分。
１概述
循环子群是有限群中一类非常重要的子群，它是可以由一个元素生成的特殊的交换子群。文献［１］定理６８指出：设Ｇ是ｎ阶群，如果（ｎ，（ｎ））＝１，则Ｇ循环，这里（ｎ）是正整数ｎ的欧拉函数。文献［２］习题１４３有下述结论：设Ｇ是有限群，假设｜｛ｘ∈Ｇ｜ｘｎ＝１｝｜≤ｎ，ｎ∈瓔，那么Ｇ是循环群。作为此结论的推广，在本文中我们证明了下述定理１成立，证明见第２部分。
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｅｇｉｖｅａｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎｏｆｃｙｃｌｉｃｇｒｏｕｐｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｏｒｄｅｒｏｆｔｈｅｅｌｅｍｎｔｓｏｕｔｓｉｄｅｔｈｅｃｙｃｌｉｃｓｕｂｇｒｏｕｐａｎｄｔｈｅｏｒｄｅｒｏｆｔｈｅｃｙｃｌｉｃｓｕｂｇｒｏｕｐ．ＷｅａｌｓｏｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｅｔｈｅｆｉｎｉｔｅｇｒｏｕｐＧ，ｉｎｗｈｉｃｈｅｖｅｒｙｍｉｎｉｍａｌｓｕｂｇｒｏｕｐｏｆｉｔｓｄｅｒｉｖｅｄｓｕｂｇｒｏｕｐＧ′ｉｓｎｏｒｍａｌｏｒｈａｓｃｙｃｌｉｃｎｏｒｍａｌｉｚｅｒ，ａｎｄｐｒｏｖｅｔｈａｔｓｕｃｈａｇｒｏｕｐＧｉｓｓｏｌｖａｂｌｅ．

有限群子群的正规化子与群的p-幂零性

有限群子群的正规化子与群的p-幂零性张新建【摘要】设G是有限群,p是素数.利用群G的Sylow正规化子和子群的弱s-半置换性质确定群G的p-幂零性.【期刊名称】《淮阴师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(016)004【总页数】5页(P288-291,297)【关键词】弱s-半置换子群;p-幂零性;有限群【作者】张新建【作者单位】淮阴师范学院数学科学学院,江苏淮安 223300【正文语种】中文【中图分类】O152.10 引言本文中所有的群皆为有限群,G代表有限群,其他符号和术语是标准的[1].设G是群,H是G的子群,H称为在G中s-置换,如果H与G的每个Sylow 子群置换; H称为在G中c-正规,如果G有正规子群T满足G=HT且H∩T≤HG,其中HG 为H在G中的柱心;H称为在G中弱s-置换,如果G有次正规子群T满足G=HT 且H∩T≤HsG,其中HsG为包含在H中的G的极大s-置换子群;H称为在G中s-半置换,如果H与G的每个Sylow p-子群置换,其中(|H|,p)=1.Yang[2]等介绍了子群的弱s-半置换性质,其覆盖了上面的所有概念,并得到了定理1.定义1[2] 子群H称为在G中弱s-半置换,如果G有次正规子群T和包含在H中的G的s-半置换子群HssG满足G=HT且H∩T≤HssG.定理1[2] 设G为群,P为G的一个Sylowp-子群,其中p是G的阶的极小素因子.假设P有子群D满足1<|D|<|P|且P的每个阶为|D|的子群或者4阶循环群(当P非循环且|D|=2时)在G中弱s-半置换,则G是p-幂零群.令p是一个素数,P为G的一个Sylow p-子群,NG(P)的性质对群的结构有重要影响,比如,著名的Burnside定理断言如果NG(P)=CG(P),则G是p-幂零群;Frobenius 定理断言群G是p-幂零群如果对于G的所有p-子群H都有NG(H)是p-幂零群.将Frobenius 定理与弱s-半置换性质结合,得到了群G p-幂零的两个准则:定理2和定理3,这两个定理可以看成是定理1的补充.1 基本引理接下来，给出证明主要结果所需的引理.引理1[3] 设G为群,则1) 如果H≤K≤G,且H在G中s-置换,那么H在K中s-置换;2) 如果K是G的正规子群且H在G中s-置换,那么在s-置换;3) 如果P是群G的s-置换p-子群,那么NG(P)≤Op(G).引理2[2] 设G为群,H为G的s-半置换子群,则1) 如果H≤K≤G,那么H在K中s-半置换;2) 如果K是G的正规子群,H是p-子群,对某个p∈π(G),那么在中s-置换;3) 如果H≤Op(H),那么H在G中s-置换.引理3[2] 设G为群,H为G的弱s-半置换子群,K是G的正规子群,则1) 如果H≤T≤G,那么H在T中弱s-半置换;2) 设H是p-子群,对某个p∈π(G), 如果K≤H,那么在弱s-半置换;3) 设H是p-子群,对某个p∈π(G), K是p′-群,那么在弱s-半置换;引理4[4] 设P是群G的一个幂零正规子群且P∩Φ(G)=1,那么P是群G的某些极小正规子群的直积.引理5[2] 设N是群G的初等交换正规子群. 如果N有子群D满足1<|D|<|N|且N的所有阶为|D|的子群在G中弱s-半置换,则N的某个极大子群在G中正规.引理6[5] 设G为群,P为G的一个Sylow p-子群,其中p是素数. 如果P交换且NG(P)p-幂零,那么G是p-幂零群.引理7[5] 设G=PQ,P为G的一个Sylow p-子群, Q为G的一个Sylow q-子群, 其中p是奇素数,q≠p是素数. 假设NG(P)是p-幂零的. 如果Op(G)是P的极大子群且Op(G)的每个p阶循环子群在G中s-置换,那么G是p-幂零的.2 主要结论定理2 设p是整除群G的阶的奇素数,P为G的一个Sylow p-子群, 假设P有子群D满足1<|D|<|P|且P的每个阶为|D|的子群在G中弱s-半置换. 如果NG(P)是p-幂零的,那么G是p-幂零群.证明假设结论错误,G是一个极小阶反例. 现在分以下步骤进行证明.第1步: Op′(G)=1.事实上,如果Op′(G)≠1,考虑商群.由引理3的3),较容易看出满足定理的假设.由G 的极小性可知是p-幂零群,从而G是p-幂零群,矛盾.第2步: 如果M是G的包含P的真子群,则M是p-幂零群.显然,NM(P)≤NG(P),因此NM(P)是p-幂零的,由引理3 的1)可知M满足定理的假设,于是由G的极小选择可知M是p-幂零群.第3步: G=PQ,其中Q为G的一个Sylow q-子群, q≠p是素数,且CG(Op(G))≤Op(G).由假设,p是奇素数,G非p-幂零,由Glauberman-Thomposon定理,NG(Z(J(P)))是非p-幂零群,其中J(P)是P的Thomposon子群. 显然,Z(J(P))是P的特征子群,于是NG(P)≤NG(Z(J(P)))≤G. 若NG(Z(J(P)))<G, 则由第2步, NG(Z(J(P)))是p-幂零群,矛盾. 因此可以假设NG(Z(J(P)))=G,这意味着Op(G)≠1,再由 Glauberman-Thomposon 定理可知, 是p-幂零群,从而G p-可解. 现在由第1步和定理[6]可得CG(Op(G))≤Op(G).另一方面,因为G p-可解,由定理[7],对于任意的q∈π(G)且q≠p,G有Sylow q-子群Q,满足PQ=QP是G的子群. 如果PQ<G,那么由第2步,PQ是p-幂零群,因此,Q≤CG(Op(G))≤Op(G),矛盾. 因此,有G=PQ.第4步: 如果|P:D|>p,那么对于G的每个正规极大子群M有|G:M|=p且M的Sylow子群P∩M=Op(G)是P的极大子群,1<|D|<|Op(G)|且Op(G)的每个阶为|D|的子群在G中s-置换.设M为G的任一正规极大子群. 由第3步有,或者|G:M|=p或者|G:M|=q. 如果|G:M|=q,则由第2步知,M是p-幂零群,从而G是p-幂零群,矛盾. 所以|G:M|=p. 令P1=P∩M. 显然NG(P)≤NG(P1)≤G. 如果NG(P1)<G,又由第2步可得NG(P1)是p-幂零群. 如果|P:D|>p,则M满足定理的假设,于是M是p-幂零群,从而G是p-幂零群,矛盾. 因此,可以假设NG(P1)=G. 于是,P1在G中正规. 因为NG(P)是p-幂零的,而G是非p-幂零的,Op(G)<P,从而Op(G)=P∩M=P1.因为|P:D|>p,有1<|D|<|Op(G)|. 令H为Op(G)的阶是|D|的子群. 由假设,G有次正规子群K和包含在H中的群G的s-半置换子群HssG满足G=HK且H∩K≤HssG. 如果HssG≠H,则K<G. 设T是G的包含K的正规子群且|G:T|=p,类似于上一段的证明,T的Sylow p-子群P2=Op(G). 注意到G=HT,P=P∩HT=H(P∩T)=Op(G)P2=Op(G),从而G=NG(P)是p-幂零,矛盾. 因此HssG=H,这意味着Op(G)的所有阶为|D|的子群在G中的s-半置换.现在由引理2的3)有Op(G)的每个阶为|D|的子群在G中s-置换.第5步: |D|>p.如果|D|=p且|P:D|>p,则由第3步,第4步和引理7可知G是p-幂零群,矛盾. 如果|D|=p且|P:D|=p,则|P|=p2,则由引理6同样可得G是p-幂零群. 因此|D|>p.第6步：设N为G的极小正规子群,则N≤Op(G)且|N|≤|D|.由第1步和第3步知,N≤Op(G)是显然的. 假设|N|>|D|. 因为N是初等交换群,由引理5,N有极大子群在G中正规,矛盾于N的极小性. 因此|N|≤|D|.第7步: 是p-幂零群,N为G的唯一极小正规子群,更进一步的,Φ(G)=1且N=F(G)=Op(G).如果|N|<|D|,那么由引理3的2)得满足定理的假设,由G的极小选择,是p-幂零群.由第6步知,可以假设|N|=|D|.显然,是p-幂零群.如果|P:D|=p且|N|=|D|,那么||=p,由引理6得是p-幂零群. 假设|P:D|>p,可以断言的每个极小子群在中s-置换. 显然取Op(G)得子群K满足p. 由第5步,N非循环,因此所有包含N的子群非循环. 因此,K有一个极大子群L≠N满足K=NL. 显然,|N|=|D|=|L|. 由第4步,L在G中s-置换. 于是由引理1 的2)有,=在中s-置换. 因此,的每个极小子群在中s-置换. 由第4步,是的极大子群. 现在,由引理7,得到了是p-幂零群. N的唯一性和Φ(G)=1是显然的,进一步有,N=F(G)=Op(G).第8步: 最后的矛盾.如果|P:D|>p,则由第4步,有|P:N|=p,于是|N|>|D|,和第6步矛盾. 因此 |P:D|=p,即P的每个极大子群在G中弱s-半置换. 由第7步, G有极大子群M满足G=NM且N∩M=1. 因为Mp<P, 其中Mp 是M的Sylow p-子群, 可以选择P的极大子群P1包含Mp. 则由假设,G有次正规子群T满足G=P1T且P1∩T≤(P1)ssG. 由T的次正规性, 有TG≠1,于是由N的唯一极小性可知N≤TG.因为(P1)ssG与T的Sylow q-子群Tq可换,其中q≠p是素数,有(P1)ssGTq=Tq(P1)ssG,于是N∩P1=N∩P1∩T=N∩(P1)ssGTq正规于(P1)ssGTq,所以对于任意的q≠p,有Tq≤NG(N∩P1). 显然P≤NG(N∩P1),因此N∩P1正规于G.于是由N的唯一极小性可知N∩P1=1或者N∩P1=N. 如果N∩P1=1,那么N≤P1,从而P=NMp=P1,矛盾. 因此N∩P1=1,|N|=p,Aut(N)是阶为p-1的循环群. 如果p<q,显然NQ是p-幂零群,从而Q≤CG(N)=CG(Op(G)),矛盾于第3步. 如果q<p,因为CG(L)=CG(Op(G))=Op(G)=N,有=同构于Aut(N)的一个子群. 从而Q 是循环群,由Burnside定理,G是q-幂零群,即P正规于G,因此G=NG(P)是p-幂零的,最后的矛盾.推论1[8] 设p是整除群G的阶的奇素数,P为G的一个Sylow p-子群, 如果NG(P)是p-幂零群且P的每个极大子群在G中c-正规,那么G是p-幂零群.推论2[9] 设p是整除群G的阶的奇素数,P为G的一个Sylow p-子群, 如果NG(P)是p-幂零群且P的每个极大子群在G中c-正规,那么G是p-幂零群.定理3 设p是群G的阶的素因子,P为G的一个Sylow p-子群, 假设P有子群D 满足1<|D|<|P|,P的每个阶为|D|的子群H在G中弱s-半置换且NG(H)是p-幂零的,那么G是p-幂零群.证明假设结论错误,G为极小阶反例.首先断言p是奇素数. 如果p=2且|D|>2,则由定理1可知G是p-幂零的. 假设p=2, P的每个阶为2的子群H在G中弱s-半置换且NG(H)是p-幂零的. 容易看出G的每个真子群满足定理的假设,于是由归纳G是极小非p-幂零群,由文[1]有, G 是极小非幂零群,于是由定理[2]得,是的极小正规子群且Φ(P)⊂Z∞(G). 如果Φ(P)≠1,那么Φ(P)的每个阶为2的子群H在G正规,于是由假设G=NG(H)是p-幂零群,矛盾. 因此Φ(P)=1. 这意味着P是G的极小正规子群.假设H是P的阶为2的子群, 由假设,G有次正规子群K和包含在H中的群G的s-半置换子群HssG满足G=HK且H∩K≤HssG. 于是G=PK且P∩K在G中正规. 由P的极小性,或者P∩K=1或者P∩K=P. 如果前者是正确的,那么P=P∩HK=H(P∩K)=H,矛盾. 于是P∩K=P,即P≤K,于是H=H∩K=HssG. 由引理5的3)和引理1有,G=Op(G)≤NG(H)是p-幂零群,又一矛盾. 因此p是奇素数.如果NG(P)<G,由引理3 的1)可知,NG(P)满足定理的假设,由归纳,NG(P)是p-幂零群,从而由定理2可得G是p-幂零群,矛盾. 所以NG(P)=G,即P在G中正规.设N是G的包含在P中的极小正规子群. 如果|N|>|D|,则由引理5有,N的某个极大子群在G中正规,矛盾. 因此|N|≤|D|. 如果|N|=|D|,则由假设G=NG(N)是p-幂零群,矛盾. 所以|N|<|D|. 显然满足定理假设,由归纳是p-幂零群. 进一步,由引理4有P=Op(G)=N是初等交换p-群,矛盾于|N|<|D|和1<|D|<|P|. 反例不存在,结论得证. 参考文献：[1] Huppert B. 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Sylow子群的2-极大子群与有限群的p-幂零性

群。
②Ｌ一０（ ≠ １Ｇ是可解群且Ｇ＝Ｐ其中Ｑ是Ｇ的Ｓｌｗｑ子群，≠ＰＧ），Ｑ，ｙｏ－ｇ。
收稿日期：０１０— ５２１— １２
基金项目：国家自然科学基金资助项目（０７０２；１８１３）江苏省自然科学基金资助项目（Ｋ２０１６Ｂ０８５）通讯联系人：陈云坤（９３）男，１７一，贵州遵义人，州师范大学副教授。Ｅｍａ：ｙ２０ｓ＠１３ｃｍ贵 — ｉｃｋ０９ｄ６．ｏｌ
可置换的，如果日７一１
群。一个群Ｇ的子群Ｈ称为在Ｇ中是拟正规的（ｕｓｎｒ１或置换的（ｅｍｕａｌ）如果对群Ｇ的任意ｑａｉｏｍａ）ｐｒｔｂｅ，子群丁都有日丁＝丁日成立。作为拟正规子群的推广，ｇｌ］ＫｅｅＥ引入了一正规子群的概念。群Ｇ的一个。拟子群Ｈ称为ｓ置换的（—ｅｍｕａｌ）ｓ拟正规的（— ｕｓｏｍａ）７拟正规的Ｏ —ｕｓｎｒ１，果对一ｓｐｒｔｂｅ、～ｓｑａｉｒ１或ｒｎ一ｒｑａｉｏｍａ）如Ｇ的任意Ｓｌｗ子群尸都有尸＝Ｐ成立。王燕鸣教授Ｌ给出ｃ正规子群的概念。群Ｇ的一个子群ＨｙｏＨ４］一称为ｃ正规的（—ｏｍａ）如果存在Ｇ的正规子群 Ⅳ 使得Ｇ—ＨＮ且ＨｎⅣ≤ ＨＧ其中Ｈｃ为包含在Ｈ一ｃｎｒ１，，
ｌＰＮ：ｎ尸）ｌｌｎＰｌＩＰｌ即Ｐ是Ｐ的２极大子群。由定理假设知，在Ｇ中弱一（ Ⅳ — Ｐ：，＝Ｐ：一Ｐ置

第三章正规子群和群的同态与同构

H
G，进一步，若还有H ∩ N = {e}，
则∀h ∈ H , ∀n ∈ N 都有hn = nh
例4 若H ≤ G，那么N ( H ) = {x ∈ G | xH = Hx}叫做H 在G中的正规化子，试证H N ( H ) ≤ G。
二
1. 商群的定义
设N 即
商
群
G，任取2个陪集aN , bN。则 (aN )(bN ) = a ( Nb) N = abNN = (ab) N， (aN )(bN ) = (ab) N
S3，
但是H1 = {(1), (12)} ≤ S3，(13)H1 ≠ H1(13)，所以H1不是
命题1 如果H ≤ G且[G : H ] = 2，则H
G。
更一般地，在S n中， n : An ] = 2 ⇒ An [S
Sn
3．正规子群的判定
定理1 设G是一个群，N ≤ G，则 N 注：定理1可改为：设G是一个群，N ≤ G，则 N G ⇔ ∀a ∈ G, ∀x ∈ N , axa −1 ⊆ N G ⇔ ∀a ∈ G, aNa −1 ⊆ N
H ≤G
事实上，设H ≤ G，则下面条件等价：
(1) aH = Ha, ∀a ∈ G； −1 ( 2 ) aHa = H ∀a ∈ G； ( 3) aHa −1 ⊆ H ∀a ∈ G； 4 ) aha −1 ⊆ H ∀a ∈ G, ∀h ∈ H (
例2 考虑：∀a ∈ S n , ∀x ∈ An , axa −1是一个偶排列，所以 axa −1 ∈ An，于是An Sn
已知子群的概念具有传递性的一个正规子群和一个子群之积仍是的子群两个正规子群之积仍是正规子群也就是说若都有进一步若还有xhhx那么叫做abnnabbnab称上述二式为陪集的乘法

西罗定理的证明

西罗定理的证明一、西罗定理背景寻找有限群的所有子群至今没有标准方法，譬如交错群A4有有2、3、4阶子群，但没有6阶子群。

挪威数学家（当时是一位中学老师）在法国数学家柯西工作的基础上证明了有限群有素数幂阶子群，即|G|=n·p s(p是素数，n与p互素)，G有p，p2，…，p s阶子群（统称为p-子群），并将p s阶子群称为西罗（Sylow）-p子群。

二、群作用基础知识1、群对集合的作用定义：群G任意一个元素对集合M左乘*，即G到G*M一个映射，满足：1）结合律g＇*g* (m)= g＇g* (m)(有时可以把*省略)；2）有单位元e*m=m(e∈G，m∈M)；3)封闭性g*M=(M)，M的成员没有发生变化，仅其成员发生新的排序。

则称为G-M集。

2、置换群以上3)发生所有不同的排序的(M)构成的集合（恒等变化为单位元）。

两个置换元的结合基于映射运算满足封闭性、结合律、有逆元等符合群的条件，称为置换群M g(m)。

若M的阶为n（M成员的个数），其成员不同排列的全体为全排列，共有n!个，构成的集合当然满足群的条件，称为对称群S n。

M g(m)是S n的子群。

3、凯莱定理：群G与M g(m)同构（M=G），即群G对自身集合的作用形成的置换群M g 与自己同构。

两个群双射是显然的，又保持以下运算 M g 1*M g 2(m)= M g 1（g 2m ）=M （g 1g 2）(m)= M g 1 g 2(m)。

4、轨道与传递集 gM=M 意味着在g 左乘下M 的每一个成员变换为另一个成员（包括自己），即g(m)=m ＇,定义m 和m ＇在一条轨道上。

不难证明同一轨道上的成员满足等价关系；轨道的集合记为Ο，这样G-M 集是不同轨道的并,即M=∑Οj 。

轨道上的成员（元素）称为“点”。

例1：作用*定义为g(m)g -1，则群G 自身在共轭作用下可分为不同共轭类元素集合（轨道）的并。

如果G-M 集只有一条轨道，即M 中任意两点（成员）存在一个g ∈G 使得g(m)=m ＇，那么其称为可传递的或传递集。

sylow定理证明

sylow定理证明Sylow定理是群论中的一个重要定理，它提供了关于有限群结构的重要信息。

本文将通过证明Sylow定理来展示其重要性和应用。

首先，让我们回顾一下Sylow定理的陈述，对于任意有限群G，如果p是一个素数，且p^n是G的一个幂级数，那么G中包含一个阶为p^n的子群。

证明Sylow定理的关键在于构造这样一个阶为p^n的子群。

我们可以通过使用Sylow定理的三个部分来证明这一点：第一部分，存在性。

我们需要证明对于任意素数p，G中存在一个阶为p^n的子群。

我们可以通过考虑G的共轭类来证明这一点。

具体来说，我们可以使用类似于轨道定理的方法来证明G的共轭类的数量对p的幂的除法余数为1。

这样我们就能够得到G中存在阶为p^n的子群。

第二部分，唯一性。

我们需要证明任意两个阶为p^n的子群是共轭的。

这可以通过利用Sylow定理的共轭性质来证明。

具体来说，我们可以利用群的共轭性质来证明任意两个阶为p^n的子群是共轭的。

第三部分，数量的估计。

我们需要证明G中阶为p^n的子群的数量对p的幂的除法余数为1，并且它们都是共轭的。

这可以通过使用类似于轨道定理和Burnside引理的方法来证明。

通过这三部分的证明，我们就可以得到Sylow定理的完整证明。

这个定理的重要性在于它提供了对于有限群结构的深刻理解，同时也为我们提供了在群论中的重要工具。

Sylow定理在数学中有着广泛的应用，特别是在代数、数论和几何等领域。

因此，我们可以看到Sylow定理在数学中的重要性和广泛的应用价值。

非正规子群是Sylow子群的有限群

非正规子群是Sylow子群的有限群褚智伟【期刊名称】《《南通大学学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2019(018)002【总页数】4页(P87-90)【关键词】有限群; 非正规子群; 共轭; Sylow子群【作者】褚智伟【作者单位】南通师范高等专科学校学前教育第一学院江苏南通 226006【正文语种】中文【中图分类】O152.1研究子群的正规性与有限群结构的关系是有限群的重要课题之一。

著名的Dedekind 群就是每个子群都正规的有限群。

这里我们讨论其对偶问题：非正规子群的性质对有限群结构的影响。

Sylow 子群是有限群中最重要的子群，它的正规性影响到群的幂零性，又是群性质和数量性质沟通的桥梁。

文献[1-2]研究了子群的性质对有限群结构的影响；文献[3]给出了恰有p 个相互共轭的非正规子群的有限群结构；文献[4]给出了非正规子群的共轭类类数为4的有限幂零群；文献[5-10]给出了恰有2，4，5，6，7 个非正规子群的有限群及有限NN-群的非正规子群的有限群结构。

本文将研究非正规子群为Sylow 子群的群结构，从数量性质出发探讨群结构的存在性。

1 预备知识和相关引理本文中涉及的群均为有限群。

Pr表示群G 的Sylow r-子群；nr表示群G 的Sylow r-子群的个数；表示群G 的非正规子群的共轭类类数；τ(G)表示群G 中非正规子群的个数；π(G)表示群G 的阶所含全体素因子的集合；表示与H 共轭的子群的个数。

首先，我们介绍几个有用的引理。

引理1[11]若G 为有限群，则如下命题等价：1）。

2）是一个非交换可裂扩张，其中N 为素数阶循环群，P 为素数幂阶循环群，，即，其中：p=2 时，n ≥3；p ≥3 时，n ≥2。

引理2[12]若G 为有限非幂零群，，P为G 的非正规的Sylow p-子群，则G 中除Sylow p-子群外，其余Sylow 子群都正规于G。

当P ＜ NG(P)时，，其中是一非交换可裂扩张，。

Lie型单群G2（3）的一个新刻划

Lie 型单群G 2(3)的一个新刻划贾婷婷(重庆工商大学融智学院重庆400033)中图分类号：O152文献标识码：A 文章编号：1672-7894（2013）16-0066-02摘要本文给出了lie 型单群G 2（3）的一个新刻划：设G为一个有限群，满足|G |=|G 2（3）|，对每个素数r ，都有|N G （P ）|=|N G （3）（R ）|，其中P ∈Syl r G ，R ∈Syl r （G 2（3）），那么G ≅G 2（3）．关键词有限单群中心化子正规化子Sylow 子群A New Method of Characterize G 2（3）//Jia Tingting Abstract In the chapter,we give a new method to characterize G 2（3）:Suppose G is a finite group with |G |=|G 2（3）|and |N G （P ）|=|N G （3）（R ）|for every prime r ，where P ∈Syl r G and R ∈Syl r （G 2（3））,then G ≅G 2（3）.Key words finite simple group;centralizer;normalizer;sylow sub-group 1研究背景有限群是抽象群论的核心，其中的抽象概念多数都可以推广到一般群论中，对有限群而言，其最重要的成果是单群分类的完成，即证明了著名的有限单群分类定理。

从过去几十年到现在，自从有限单群的分类工作完成以来，利用群的数量性质来刻画群本身就成为了一个重要的研究方向。

人们对利用有限群的数量性质去刻划有限群的工作越来越感兴趣，许多群论学者也做出了许多工作，并得到大量重要的结果。

不少群论学者试图用一些基本数量对所有有限单群给出了一个整体刻划，迄今为止，国内外学者已经采用多种不同的方法对有限群进行了刻划。

有限群的ss-可补子群

有限群的ss-可补子群韦华全;董淑琴;黄杰山【摘要】有限群G的子群H叫做在G中ss-可补,如果存在G的子群K使得HK 是G的s-置换子群且H∩K H sG ,其中H sG 是G的含于H的最大s-置换子群. 该文刻划具有 Sylow 子群的某些ss-可补子群的有限群的可解性.【期刊名称】《广西民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2009(015)002【总页数】4页(P73-75,93)【关键词】s-置换;ss-可补;可解【作者】韦华全;董淑琴;黄杰山【作者单位】广西师范学院,数学科学学院,广西,南宁,530001;广西师范学院,数学科学学院,广西,南宁,530001;南宁职业技术学院,广西,南宁,530022【正文语种】中文【中图分类】O152.10 引言在本文中，所有的群均为有限群，所有术语和符号都是标准的.设H是群G的子群. 如果对于G的任意Sylow子群P，HP=PH，则H称为G的s-置换子群(亦称π-拟正规子群). 这是O. H. Kegel在文[1]中引入的概念. 在文[2]中，A. Ballester-Bolinches，王燕鸣和郭秀云引入了c-可补子群的概念：称H在G中c-可补，如果存在K≤G使得G=HK且H∩K≤HG，其中HG是G的含于H的最大正规子群. 在文[3]中，Skiba引入了弱s-可补子群的概念，将s-置换子群概念与c-可补子群概念作了统一推广：若存在K≤G使得G=HK，H∩K≤HsG，则称H为G的弱s-可补子群，其中HsG是G的含于H的最大s-置换子群. 在本文中，我们将引入新的概念ss-可补子群，它是弱s-可补子群概念的推广，同时，我们将刻划具有某些ss-可补Sylow子群的有限群的可解性.定义1 群G的子群H叫做在G中ss-可补，如果存在G的子群K使得HK是G的s-置换子群且H∩K≤HsG，其中HsG是G的含于H的最大s-置换子群.注1:显然，弱s-可补子群是ss-可补子群，但其逆不一定成立：设G=A4=K4C3=(Z1×Z2)C3是4次交错群，其中K4是Klein四元群，C3是3阶循环群. 由于Z1∩Z2=1且Z1×Z2◁G，从而Z1在G中ss-可补，但Z1在G中不是弱s-可补的，因为G中不存在6阶子群.1 预备知识引理1[4] 设H是群G的s-置换子群，则(a)H/HG是幂零群.(b)若M≤G，则H∩M是M的s-置换子群.引理2[1] 设H是群G的s-置换子群，则(a)HN/N是G/N的s-置换子群，其中N是G的正规子群.(b)H◁◁G，即H是G的次正规子群.引理3[5] 设A，B和K是群G的子群，则K∩AB=(K∩A)(K∩B)当且仅当KA∩KB=K(A∩B).引理4[6] 设H是群G的子群，若对某个素数p，H是p-群且H在G中次正规，则H≤Op(G).引理5[7] 设p素数. 则G的p-子群H是G的s-置换子群当且仅当Op(G)≤NG(H).引理6[7] 对于群G的幂零子群H，下述事项等价：(a)H是G的s-置换子群.(b)H的Sylow子群是G的s-置换子群.引理7 设H是群G的ss-可补子群. 则(a)若H≤M≤G，则H是M的ss-可补子群.(b)若N◁G且N≤H，则H/N是G/N的ss-可补子群.(c)若N◁G且(|N|,|H|)=1,则HN/N是G/N的ss-可补子群.证明：由题设，存在G的子群K使得HK是G的s-置换子群且H∩K≤HsG. (a) 由引理2(b),H≤M,HK∩M=H(K∩M)是M的s-置换子群. 又易见H∩(K∩M)=HsM，因而H是M的ss-可补子群.(b)显然(H/N)(KN/N)是G/N的s-置换子群，且(H/N)∩(KN/N)=(H∩K)N/N≤HsG/N=(H/N)s(G/N).因而H/N是G/N的ss-可补子群.(c) 显然(HN/N)(KN/N)是G/N的s-置换子群. 由于|HN∩K:H∩K|=|H(N∩HK):H|,|HN∩K:N∩K|=|N(H∩NK):N|,且(|N|,|H|)=1，从而(|HN∩K:H∩K|,|HN∩K:N∩K|)=1,因而得HN∩K=(H∩K)(N∩K). 进一步，由引理3，(HN/N)∩(KN/N)=(H∩K)N/N≤HsGN/N≤(HN/N)s(G/N),所以HN/N在G/N中ss-可补子群.2 主要结果定理1 群G可解当且仅当G的每个Sylow 2-子群与Sylow 3-子群都是G的ss-可补子群.证明：若G可解，则有Hall定理[8]，G的每个Sylow子群都有补子群. 特别地，G的每个Sylow 2-子群与Sylow 3-子群都是G的ss-可补子群.反之，假设结论不真，G为极小反例. 则(1)若1≠N◁G，则G/N是可解的.设PN/N∈Syl2(G/N)，其中P是G的Sylow 2-子群. 由题设，存在G的子群K 使得PK是G的s-置换子群且P∩K≤PsG. 于是由引理2(a)，(PN/N)(KN/N)=PKN/N是G/N的s-置换子群. 由|PK:K|=|P:P∩K|是2-数，从而(|PK∩N:N∩K|,|PK∩N:N∩P|)=1，因此PK∩N=(N∩K)(N∩P)且(P∩K)N=PN∩KN. 于是(PN/N)∩(KN/N)=(P∩K)N/N≤PsGN/N≤(PN/N)s(G/N),因此PN/N是G/N的ss-可补子群. 同理可证，G/N的每个Sylow 3-子群也在G/N中ss-可补. 因此G/N满足定理的条件，由G之极小性知G/N为可解. (2)G只有唯一极小正规子群N且对于|G|的任意素因子p，Op(G)=1.由于可解群类构成饱和群系，所以G只有唯一极小正规子群，记为N. 若Op(G)≠1则由(1)得G/Op(G)可解的，从而G可解，矛盾.(3)最后的矛盾.首先，我们证N是可解的. 事实上，设P是G的Sylow 2-子群. 由题设，存在G 的子群K使得PK是G的s-置换子群且P∩K≤PsG. 由引理2，4和(2)，PsG≤Op(G)=1，因而P∩K=1，K是PK的2-补子群. 如果(PK)G=1，则由引理1(a)，PK是G的幂零子群，从而P◁PK. 由引理2(b)，PK◁◁G，从而P◁◁G，得到P◁G，与(PK)G=1矛盾. 因而得(PK)G≠1且N≤PK. 显然N=(N∩K)(N∩P). 记C=N∩P，则C是N的Sylow 2-子群，C(N∩K)=N且C∩(N∩K)=1. 这表明，N的Sylow 2-子群在N中有补. 同理也可证，N的Sylow 3-子群在N中有补. 由Arad-Ward定理[10]得N可解，因而G可解，这是最后的矛盾. 证毕.推论1 群G可解当且仅当G的每个Sylow子群都是G的ss-可补子群.定理2 设P是群G的Sylow 2-子群，如果P的每个极大子群皆在G中ss-可补，则G可解.证明：设G是极小阶反例，则(1)O2(G)=1,O2′(G)=1.令D=O2(G)≠1. 显然，P/D是G/D的Sylow 2-子群. 设M/D是P/D的极大子群，则M是P的极大子群. 由题设与引理7(b)，M/D是G/D的ss-可补子群.G之极小性蕴含G/D是可解，从而G是可解，矛盾.若O2′(G)≠1，则由引理7(c)，G/O2′(G)满足定理的条件，由G的极小性得G/O2′(G)可解，从而G是可解，矛盾.(2)G只有唯一极小正规子群N且G=PN.设N是G的极小正规子群. 假设PN<G，由引理7(a)，PN满足定理的条件，于是由G的极小性得PN可解. 因而N可解，即知O2(N)≠1或O2′(N)≠1，从而O2(G)≥O2(N)>1或O2′(G)≥O2′(N)>1，与(1)矛盾. 因此G=PN，G/N≅P/P∩N可解. 由于可解群类构成饱和群系，所以G只有唯一极小正规子群N.(3)最后的矛盾.设P1是P的极大子群，则存在G的子群K1使得P1K1是G的s-置换子群且P1∩K1≤(P1)sG. 由引理2(b)，4与(1),(P1)sG≤O2(G)=1，因而P1∩K1=1且|K1|2≤2. 进一步，由[11，(10．1．9)]，K1有正规2-补，记为T1. 显然，T1是P1K1的奇阶Hall子群. 明显地，K1存在Sylow 2-子群K1p使得P1K1p是P1K1的Sylow 2-子群. 若(P1K1)G=1，则由引理1(a),P1K1是幂零的. 一方面，若|K1p|=1，则由引理6，P1是G的s-置换子群. 利用引理5，O2(G)≤NG(P1)，然而，P1被P正规化，因而P1◁G，P1≤(P1K1)G=1，进而P1=1，P是循环的，由[11，(1．1．9)]得G为2-幂零. 这蕴含G是可解的，矛盾. 因此|K1p|=2，P1K1p是G的Sylow 2-子群. 由P1K1p是G的s-置换子群得O2(G)≤NG(P1K1p)，于是P1K1p◁G，与(P1K1)G=1矛盾. 因此(P1K1)G≠1，由(2)，N≤(P1K1)G. 因而T1∩N是N的奇阶Hall子群. 由G=PN知T1=T1∩N也是G的奇阶Hall子群，因而G=PT1. 设H=NG(T1). 由Frattini论断，G=NH，因此N=N∩G=N∩PT1=T1(N∩P),G=NH=(N∩P)H且P=P∩(N∩P)H=(N∩P)(P∩H)，从而G=PT1=PH. 若P∩H=P，则G=H，T1是G的非单位正规2-补，矛盾于O2′(G)=1. 因而P∩H<P. 取P2是P的极大子群且P∩H≤P2. 则P=(P∩N)P2. 由题设，存在G的子群K2使得P2K2是G的s-置换子群且P2∩K2≤(P2)sG≤O2(G)=1. 同理可证，K2有非单位正规2-补,T2是G的2-补. 进而，K2≤NG(T2)，G=PT2，N≤P2K2. 因此G=PN=(P∩N)P2K2=P2K2. 因T1和T2都是G的奇阶Hall子群，由Gross的深刻结果[9,Main Theorem]，存在x∈G使得=T1. 于是≤NG()=NG(T1)=H. 显然，可设x∈P2，因此G=(P2K2)x=P2=P2H，从而H=H∩G=T1(H∩P),G=P2T1,可得|G|=|P2||T1|<|P||T1|=G. 这是最后的矛盾，证毕.[参考文献]【相关文献】[1]O. H. Kegel. Sylow Gruppen and subnormalteiler endlicher gruppen[J].Mathematische Zeit-schrift, 1962 ,(78)： 205-221.[2]A. Ballester-Bolinches, Y Wang and X Guo.supplemented Subgroups of finitegroups[J].Glasgow Math., 2000 ,(42)：383-389.[3]A. N. Skiba.On weakly permutable subgroups of finite groups[J].Alegebra, 2007,(315)：192-209 .[4]W. E. Deskins. On quasinormal subgroups of finite groups[J].Mathematische Zeitschrift, 1963,(82)：125-132.[5]K. Doerk, T. Hawkes. Finite Solvable Groups[M].New York： Walter de Gruyter, 1992.[6]H. Wielandt. Subnormal subgroups and permutation groups[M].Lectures given at the Ohio State University, Columbus, Ohio, 1971.[7]P. Schmidt.Subgroups permutable with all Sylow subgroups[J].Algebra, 1998， (207)：285-293.[8]P. Hall.A characteristic property of soluble groups[J].London Math. Soc., 1937 ，(12), 198-200.[9]F. Gross. Conjugacy of odd order Hall subgroups, Bull[J].London Math. Soc., 1987， (9)：311-319.[10]Z. Arad and M. B. Ward.New criteria for the solvability of finite groups[J].Algebra, 1982，(77)：234-246.[10]D. J. S Robinson.A Course in Theory of Group[M].New York： Springer-Verlag, 2003.。

p-幂零群的两个充分条件

p-幂零群的两个充分条件林丽秋;钱方生【摘要】利用Sylow子群之极大子群在其所在的Sylow子群正规化子中的s-正规性和Sylow子群的导群的s-置换性得到有限群为p-幂零群的两个充分条件.【期刊名称】《哈尔滨师范大学自然科学学报》【年(卷),期】2013(029)003【总页数】3页(P10-12)【关键词】Sylow子群;s-正规;s-置换;正规化子;p-幂零【作者】林丽秋;钱方生【作者单位】哈尔滨师范大学;哈尔滨师范大学【正文语种】中文1 定义及引理定义1.1［1］群G的一个子群H称为在G中s-正规，如果存在G的一个次正规子群K，使得G=HK且H∩K≤HsG，其中HsG是包含在H中的G的最大次正规子群.定义1.2［2］群G的一个子群H称为在G中s-置换的，如果对G的所有Sylow 子群P，都有PH=HP成立.引理1.3［1］设G为有限群，下列结论成立:(1)如果H在G中s-正规，且H≤K≤G，则H在K中s-正规.(2)设N◁G，且N≤H，则H在G中s-正规当且仅当H/N在G/N中s-正规.(3)设H是G的π-子群，且N为G的正规π'-子群，如果H在G中s-正规，那么HN/N在G/N中s-正规.引理1.4［2］设G为有限群，下列结论成立:(1)如果H在G中s-置换，且H≤K≤G，则H在K中s-置换.(2)设N◁G，则HN/N在G/N中s-置换.特别地，如果N≤H，则H/N在G/N中s-正规当且仅当H在G中s-置换.(3)如果H在G中s-置换，则H◁◁G.引理1.5［3］设G为有限群，P是G的s-置换的 p-子群，p是一个素数，则Op(G)≤NG(P).引理1.6［4］如果A◁◁G，且A是G的p-子群，则A≤Op(G).引理1.7［4］设G是有限群，p∈ π(G)且(|G|，p-1)=1，如果G有循环的Sylow p-子群，则G为p-幂零群.引理1.8［1］设G是有限群，p∈ π(G)且(|G|，p-1)=1，如果存在P ∈ Sylp(G)，若NG(P)为p-幂零群且P的每个极大子群在G中s-正规，则G为p-幂零群.引理1.9［5］设 G是有限群，A、B、C是G的子群，则A∩BC=(A∩B)(A∩C)与A∩BC=(A∩B)(A∩C)等价.2 主要结果定理2.1 设 G是有限群，p∈ π(G)且(|G|，p-1)=1.如果存在P ∈ Sylp(G)，使得P的每个极大子群在p-幂零群NG(P)中s-正规，且P'在G中s-置换，则G为p-幂零群.证明假设定理不真，设G为极小阶反例.(1)对任意P≤H ＜G，H为p-幂零群.对任意P≤H ＜ G，显然有(|H|，p-1)=1，P 也是H的Sylow p-子群.因为P'在G中s-置换，又P'≤P≤H ＜G，所以由引理1.4知，在P'在H中s-置换.又NH(P)≤NG(P)且P的每个极大子群在NG(P)中s-正规，由引理1.3知，P的每个极大子群在NH(P)中s-正规.综上，H满足题设条件，故H为p-幂零群.(2)1≠ P'≤ Op(G).设q∈ π(NG(P))，Q∈Sylq(NG(P))，显然P◁PG.设H=PQ，如果P是循环群，由引理1.7知，G为p-幂零群.如果P是非循环群，由引理1.8知，G为p-幂零群，矛盾.故H ＜G.由(1)知，H为p-幂零群.因此Q◁H，H=P×Q.若P为交换群，则有NG(P)=CG(P)，故G为p-幂零群，矛盾;因此P'≠1.又P'在G中s-置换，故P'◁◁G，由引理1.6知，P'≤OP(G)，因此OP(G)≠1. (3)G可解且OP'(G)=1.设T◁G且T≤P，则P/T∈Sylp(G/T).设P1/T是P/T的极大子群，则|P:P1|=p，故P1是P的极大子群.因P1在NG(P)中s-正规，由引理1.3知P1/T在NG(P)/T=NG/T(P/T)中s-正规.又因(P/T)'=P'T/T，P'在G中s-置换，由引理1.4知P'T/T在G/T中s-置换.综上G/T满足题设条件，从而G/Op(G)为 p-幂零群.设 M/Op(G)为G/Op(G)的正规p-补.若p=2，M/Op(G)为奇阶群，故M可解;又G/M为2-群可解.若p≠2，由(|G|，p-1)=1知G为奇阶群可解.另外，基于题设条件是子群遗传的，则G为内幂零群，设 |G|=paqb(a，b是自然数)，则 G=PQ，其中P∈Sylp(G)，Q∈Sylq(G).设Oq(G)≠1，下证G/Oq(G)满足题设条件.记L=Oq(G)，则PL/L∈Sylp(G/L).任取PL/L的极大子群M/L，则|PL:M|=p，从而M=PL∩M=L(P∩M)，设P1=P∩M，M=LP1，P∩L=P∩M∩L=P1∩L，|P:P1|=|PL:(P ∩ M)L|=|PL:M|=p，故P1是P的极大子群.又P1在NG(P)中s-正规，即存在K◁◁NG(P)，使得NG(P)=P1K且P1∩K≤(P1)sNG(P)，则可得到(P1L/L)(KL/L)=NG(P)L/L=NG/L(PL/L)，KL/L◁◁NG(P)L/L.又L∩K⊆L∩NG(P);另外L∩NG(P)中的元素是 NG(P)中 q-元素，而 K◁◁NG(P)，则|NG(P):K|=pa(a∈N)，NG(P)中的q-元素都在K中，L∩NG(P)中的元素都在L∩K中，则L∩NG(P)=L∩K;因此，L∩P1K=Oq(G)∩NG(P)=(L∩P1)(L∩K)，由引理1.9知，P1L∩KL=(P1∩K)L;从而有(P1L/L)∩(KL/L)=(P1L∩KL)/L =(P1∩K)L/L≤(P1)sNG(P)L/L≤ (P1L/L)sGG/L(PL/L)，由引理 1.3知PL/L的每个极大子群在NG(P)L/L中s-正规，又NG(P)L/L=NG/L(PL/L)，则PL/L的每个极大子群在NG/L(PL/L)中s-正规.又P'在G中s-置换，由引理1.4可知(PL/L)'=P'L/L在G/L中s-置换.综上所述，G/L满足题设条件，则G/L为p-幂零群.即G/Oq(G)为p-幂零群.故G为p-幂零群，矛盾.即Oq(G)=Op'(G)=1.(4)CG(Op(G))≤ Op(G)，且 Op(G)是 G唯一极小正规子群，从而是初等交换p-群.由(3)知G为可解群.再由Op'(G)=1可得到Op(G)=F(G)，因此CG(Op(G))≤Op(G).设N是G的含于Op(G)的极小正规子群，则N是初等交换p-群.若N≤Φ(G)，G/N为p-幂零群，因此G/Φ(G)≌(G/N)(Φ(G)/N)为p-幂零群，故G为p-幂零群，矛盾.因此，N不含于Φ(G)并可假设Φ(G)=1.设D为G的异于N的极小正规子群，则D≤F(G)，D也是初等交换p-群，D≤P，故G/D满足题设条件，于是G≌G/D∩N为p-幂零群，矛盾.从而，N是G的唯一极小正规子群，于是N=F(G)=Op(G)是G的唯一极小正规子群，且为初等交换p-群.(5)导出矛盾.因为P'在G中s-置换，由引理1.5知，Op(G)≤NG(P')，则G=POp(G)=PNG(P').因为P正规化P'，所以 P'◁G.由Op(G)的唯一知，P'=Op(G)=N，又由(3)的证明知G/Op(G)为p-幂零群，故Op(G)Q◁G，且有QOp(G)∩P=Op(G)≤P'≤Φ(G);最后由J.Tate定理知，Op(G)Q为p-幂零群;因此，Op(G)Q=Op(G)×Q与CG(Op(G))≤Op(G)矛盾.综上所述，极小阶反例不存在，定理得证.定理2.2 设G为有限群，p∈π(G)且(|G|，p-1)=1，N◁G，使得 G/N 是p- 幂零群.如果存在P∈Sylp(N)，使得P的每个极大子群在p-幂零群NG(P)中s-正规，且P'在G中s-置换，则G为p-幂零群.证明(用归纳法)P∈Sylp(N)，P的每个极大子群在NG(P)中s-正规.由引理1.3知，P的每个极大子群在NN(P)=NG(P)∩N中s-正规.又P'在G中s-置换，由引理1.4知，P'在N中s-置换.再由定理2.1知，N是p-幂零群.设Np'是N的正规p-补，其中Np'为N的p'-Hall子群，则 Np'char N，又 N◁G，故 Np'◁G.若Np'≠1，下考虑商群 G/Np'，设 M/Np'是PNp'/Np'的任意的极大子群，则M=M∩PNp'=(M∩P)Np'，令P1=M ∩ P，则有P1∩ NP'=P∩M∩Np'=P∩ Np'，从而可以得到 p=|PNp'/Np':M/NP'|=|PNp':(M∩P)Np'|=|P:M∩P|=|P:P1|，即P1是P的极大子群.因为P的每个极大子群在NG(P)中s-正规，则P1在NG(P)中s-正规，即存在K◁◁NG(P)，使得NG(P)=P1K且P1∩K≤(P1)sNG(P)，显然有KNp'/Np'◁◁NG(P)Np'/Np'，且下式成立:(P1Np'/Np')(KNp'/Np') =NG(P)Np'/Np' =NG/Np'(PNp'/Np')，类似定理2.1中证明可得，Np'∩NG(P)=Np'∩ K，于是Np'∩P1K=(Np'∩P1)(Np'∩K).由引理1.9可以得到，P1Np'∩KNp'=(P1∩ K)Np'，从而有下式成立:(P1Np'/Np')∩(KNp'/Np')=(P1∩K)Np'/Np'≤(P1)sNG(P)Np'/Np'≤(P1Np'/Np')sNG/Np'(PNp'/Np').从而由引理1.3知PNp'/Np'的每个极大子群在NG(P)Np'/Np'=NG/Np'(PNp'/Np')中s-正规，又因(P/Np')'=P'Np'/Np'，P'在G中s- 置换，由引理1.4知 P'Np'/Np'在 G/Np'中 s-置换，即(P/Np')'在 G/Np'中 s-置换.又因为(G/Np')(N/Np')≌G/N为p-幂零群.综上所述，G/Np'满足题设条件，于是G/Np'为p-幂零群.从而G为p-幂零群.若Np'=1，则N=P为p-群.由G/P=G/N为p-幂零群知G/P有正规p-补.设T/P 为G/P的正规p-补，则|G:T|=pa(a是自然数).因为P'在G中s-置换，所以由引理1.4知，P'在T中s-置换.又NT(P)≤NG(P)且P的每个极大子群在NG(P)中s-正规，由引理1.3知，P的每个极大子群在NT(P)中s-正规.综上T满足题设条件，故T为p-幂零群.设Tp'是T的正规p-补，其中Tp'为T的p'-Hall子群，因此Tpchar T.又T◁G故有Tp'◁G.又因为|G:T|=pa(a是自然数)，所以Tp'=Gp'，即G有正规p-补Gp'，从而G为p-幂零群.综上，定理得证.参考文献［1］赵勇，王坤仁.子群s-正规性对群结构的影响［J］.四川师范大学学报，2007，30(3):280-283.［2］ Kegel O H.Sylow-gruppen und subgroups of finite groups［J］.J Algebra，2007，315(1):192-209.［3］ Li Yangming，Wang Yanming，Wei Huaquan.The influence of-quasinormality of some Subgroups of a finite group ［J］.Arch Math，2003，81(3):245-252.［4］陈云坤，游泰杰.Sylow p-子群的正规子群的弱s-置换性［J］.扬州大学学:自然科学版，2011，14(3):1-5.［5］ Doerk K，Hawkes T.Finite soluble groups［M］.Berlin，New York:Walter de Gruyter，1992.2-47.［6］徐明曜.有限群导引［M］.北京:科学出版社，1999.1-127.。

幂零群与内幂零群的幂图

幂零群与内幂零群的幂图郑涛;郭秀云【摘要】主要研究幂零群、内幂零群以及内交换群幂图的相关图论性质.一般地,给出有限群G的幂图P(G)为某图的线图当且仅当G为素数幂阶循环群,得到幂零群与内交换群幂图独立数取临界值时的充要条件,以及内幂零群与内交换群幂图可平面化的充要条件.最后,分析内幂零群与内交换群真幂图的连通性,给出了连通情形的直径估计以及非连通情形的连通分支个数.【期刊名称】《上海大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(024)006【总页数】9页(P1030-1038)【关键词】幂零群;内幂零群;内交换群;幂图【作者】郑涛;郭秀云【作者单位】上海大学理学院,上海 200444;上海大学理学院,上海 200444【正文语种】中文【中图分类】O152.1幂图是通过群G的幂结构定义的图,即以群的全部元素作为图的顶点,不同顶点x与y有边相连当且仅当x=ym或y=xm,其中m∈N∗.幂图最早是在2002年由Kelarev和Quinn在半群中研究的,即半群中的不同元素x与y存在弧x→y当且仅当y=xm,其中m∈N∗[1].对于抽象有限群,2009年Chakrabarty等[2]开始考虑乘法半群Zn和其单位群Un的幂图,并决定了其为完全图、可平面图以及Hamilton 图的条件.2010年,Cameron[3]证明了两个有限群无向幂图同构与有向幂图同构等价.此外,2011年Cameron等[4]证明了有限交换群的幂图同构则群同构.考虑到幂零群、内幂零群以及内交换群在有限群研究中的重要地位,研究这三类群的幂图在一定程度上有助于人们进一步研究一般有限群的幂图结构以及群与图的关系.本工作基于2013年Chelvam等[5]关于有限交换群幂图的研究和2015年Doostabadi等[6]以及Pourgholi等[7]关于幂零群真幂图研究的一系列相关成果,对上述三类群的幂图性质与结构进行探究.本工作主要是研究幂零群、内幂零群以及内交换群所对应幂图的一系列图论性质.由于这类群结构比较清晰,可以对其相应幂图或真幂图的性质作进一步研究,主要从能否为线图、独立数性质、可平面性以及连通性等角度讨论.特别地,由于一般群G 的任意元素都与单位元相连,故在考察连通性时仅对真幂图P∗(G)进行讨论.1 准备工作假定本工作中出现的群皆为有限群,所用到的一系列符号与定义如下.V(Γ),E(Γ)分别表示图Γ的顶点集合与边集合.设G为有限群,用P(G)以及P∗(G)分别表示群相应的幂图与真幂图,其中真幂图是幂图去掉单位元顶点后所诱导的子图.K5为5个点的完全图,K3,3为由两个含3个元素的集合构成的二部图.此外,设Γ1,Γ2为两个图,则Γ1∪Γ2表示以V=V(Γ1)∪V(Γ2)为新的顶点集,以E=E(Γ1)∪E(Γ2)为新的边集所得到的图;Γ1+ Γ2表示在Γ1∪Γ2的基础上还满足Γ1中所有点与Γ2中所有点相连的图.图Γ的线图L(Γ)是一个图,其全部顶点是Γ的所有边并且当边e=uv和f=vw在Γ中出现时才有ef∈E(L(G)).图Γ中一个顶点子集合称为是独立的,如果该集合中任意两顶点都不邻接.图Γ的点独立数β(Γ)定义为Γ中点独立集的最大基数.图Γ称为一个平面图,如果Γ能够画在一个平面上而使得任何两条边都不会交叉.对于图Γ中的两点x与y,用x～y表示两个不同顶点有边相连,用x≃y表示两顶点或者x=y或者x～y,用x/～y表示顶点不相连,d(x,y)表示两顶点间距离.此外,diam(Γ)表示图Γ的连通直径,k(Γ)表示其连通分支个数.设群G为p群,s1(G)表示其p阶子群的个数.下面给出主要应用的引理.引理1[8]图G是某图的线图当且仅当图G不具有图1中9种形式的诱导子图. 图1 9种诱导子图Fig.1 9 induced subgraphs引理2[2] 设G是有限群,则其幂图P(G)是完全图当且仅当G为pm阶循环群,其中p为素数,m∈N.引理 3[5] 设G为群,且|G|=,其中p1,p2,···,pn是一些互不相同的素数,则群G的独立数β(P(G))≥n.引理4[8]K5和K3,3是不可平面图.引理5[9]设G是有限群,则其幂图P(G)可平面化当且仅当每个元素的阶属于集合{1,2,3,4}.引理6[6] 设G是有限p群,则其真幂图P∗(G)的连通分支与G的p阶子群一一对应.引理7[10] 设G是内幂零群,则G有下列性质:(1)|G|=pnqm,p/=q均为素数,且适当选择符号便有G的Sylow p-子群PG,而Sylow q-子群循环,故QG,并有Φ(Q)≤Z(G);(2)Φ(P)≤Z(G),特别地c(P)≤2;(3)若p＞2,则exp(G)=p,而若p=2,则exp(P)≤4.2 主要结果下面分别对幂零群、内幂零群以及内交换群的幂图或真幂图进行讨论.一般地给出了有限群的幂图为某图之线图的充要条件,研究了相应幂图独立数的临界取值与可平面化的充要条件以及相应真幂图的连通性.定理1 设G为有限群,则幂图P(G)是某图的线图当且仅当G为素数幂阶循环群.证明必要性:设有限群G的幂图P(G)是某图的线图,下面分三步证明结论.(1)群G的Sylow子群皆循环.设P为Sylow p-子群,由p群的计数定理(见文献[11]中定理8.8)可知p阶子群的个数s1(G)≡1(mod p).若s1(G)/=1,则s1(G)≥1+p≥3.取x,y,z∈G分别为3个不同p阶子群的生成元,幂图P(G)在顶点子集H={1,x,y,z}上诱导的子图P(H)为爪形图,由引理1知不可能是某个图的线图,矛盾.故P有唯一极小子群,从而P是循环群或者广义四元数2群(见文献[10]中定理5.7.1).若群G=〈a,b:a2n-1=1,b2=a2n-2,b-1ab=a-1〉为广义四元数2群,幂图P(G)在顶点子集K={1,a,b,ba}上诱导爪形子图P(K),即P(G)不是线图,从而P为循环群.(2)群G的Sylow子群皆正规.若否,存在一个Sylow子群不正规,不妨设PG,此时群G的Sylow p-子群的个数np≥1+p≥3,取x,y,z为3个不同的循环Sylow p-子群的生成元,则子集合M={1,x,y,z}在幂图P(G)中诱导的子图P(M)为爪形图,即P(G)不是某个图的线图,矛盾.(3)群G为素数幂阶循环群.设有限群G的阶为,由(1)和(2)知G为循环群.若s≥2,则生成元个数1)···(ps-1)≥2,故可选取两个不同生成元x,y,再取p1阶元a,p2阶元b 以及单位元1构成子集N={1,a,b,x,y},此时的诱导子图P(N)如图2所示,由引理1知P(G)不是某图的线图.必要性得证.图2 诱导子图P(N)Fig.2 Induced subgraph P(N)充分性:若G是素数幂阶循环群,由引理2知幂图P(G)为完全图,自然可看作星图K1,|G|的线图,充分性显然.定理 2 设幂零群G=P1×P2×···×Pn,其中Pi为群G的Sylow pi-子群,则其幂图P(G)的独立数β(P(G))=n当且仅当G为阶是p1p2p3或p1rp2或pr1的循环群,其中pi(i=1,2,3)均为素数,r∈N.证明必要性:由于G有n个不同的素因子,由引理3可知幂图P(G)必存在含有n个元素的点独立集.又已知β(P(G))=n,则群G的每个Sylow p-子群皆为循环群.设,当n≥4时,在集合{g∈G:o(g)=pipj,1≤i,j≤n,i/=j}中即可找到含n+1个元素的点独立集,矛盾.从而n≤3.当n=1时,因为β(P(G))=1,G必为素数幂阶循环群;当n=2时,若r1,r2≥2且o(x)=,o(y)=,则有{x,y,xp1yp2}为G的势为3的点独立集,矛盾,从而至多只有一个素因子幂指数大于等于2,即|G|=;当n=3时,应用前述方法可知|G|=若r1≥2,设o(x)=,o(y)=p2,o(z)=p3,则有{xp1y,xp1z,x,yz}为一个势为4的点独立集,矛盾,从而|G|=p1p2p3.充分性:若G为阶是p1p2p3或的循环群,下面依次讨论.(1)当|G|=p1p2p3时,P(G)～=K1+(Kϕ(p1p2p3)+K),其中K如图3所示,可以验证独立数β(P(G))=3;(2)当|G|=p1rp2时,Γ=K1+(Kpr1-1∪Kpr1(p2-1))是P(G)的子图且β(Γ)=2.又子图Γ的顶点集V(Γ)=V(P(G)),边集E(Γ)⊆ E(P(G)),则β(P(G))=2;(3)当|G|=pr1时,P(G)～=Kpr1为完全图,独立数β(P(G))=1.图3 抽象图KFig.3 Abstract graph K定理3 幂零群G的幂图P(G)可平面化当且仅当群方次数exp(G)=3或exp(G)整除4.证明必要性:若有限群G的幂图P(G)可平面化,由引理5可知群元素的阶只能取自集合{1,2,3,4}.又G幂零,则G只能为2群或3群,故有exp(G)=3或exp(G)整除4. 充分性:若exp(G)=3,作出其幂图P(G)～=K1+lK2;若exp(G)整除4,其幂图为P(G)～=K1+(mK1∪nK3),其中l,m,n∈N,显然二者均可平面化.定理4 内幂零群G=PQ,其中P为正规Sylow p-子群,Q为循环Sylow q-子群(见引理7),则其幂图P(G)可平面化当且仅当G为以下情形之一:(1)G是Frobenius群且满足P为初等交换2群,Q为3阶循环群;(2)G是Frobenius群且满足P为初等交换3群,Q为2阶循环群.证明必要性:由于内幂零群G的幂图可平面化,由引理5可得{p,q}={2,3}.Case 1.p=2,q=3.先证明CP(Q)=1.若否,则可取x∈CP(Q),o(x)=2与y∈Q,o(y)=3,显见子群H=〈x〉×〈y〉诱导的子图P(H)含有K3,3,由引理4可知不可平面化,矛盾.此时P为初等交换2群,又由于Q为3阶循环群,故Q在P上作用为无不动点自同构,即G为Frobenius群.Case 2.p=3,q=2.先证明|Q|=2.若否,显然|Q|=4,可取x∈P,o(x)=3与y∈Q,o(y)=4,因G内幂零,则有子群H=〈x〉×〈y2〉诱导的子图P(H)含有K3,3,从而可得幂图不可平面化,矛盾.故|Q|=2,类似Case 1可以证明CP(Q)=1,则有P为初等交换3群且G为Frobenius群.充分性:命题中两种情形相应的幂图P(G)～=K1+(mK1∪nK2),其中m,n∈N,从而可平面化.定理5 有限群G=PQ为内幂零群,其中P为正规Sylow p-子群,Q为循环Sylow q-子群.设|G|=pnqm,则其真幂图P∗(G)的连通性有如下结论.Case 1.m≥2,真幂图P∗(G)连通且满足:(1)若P是循环群或广义四元数2群,diam(P∗(G))≤3;(2)若P既不循环也不是广义四元数2群,diam(P∗(G))≤4.Case 2.m=1,设 Q= 〈a〉,真幂图 P∗(G)满足:(1)若CP(a)=1,则P∗(G)不连通且连通分支个数k(P∗(G))=(2)若CP(a)＞1,则P∗(G)的连通分支个数为k(P∗(G))=s1(P)-s1(Φ(P))+1.证明Case 1.m ≥ 2,设Q= 〈a〉,令Q1= 〈aq〉,则G1=P ×Q1幂零,根据文献[6]中定理2.6可知,其真幂图连通且满足若P是循环群或广义四元数2群,diam(P∗(G1))=2;若P既不是循环群也不是广义四元数2群,diam(P∗(G1))=4.任取不同两点g1,g2∈G,下面在两种情形下讨论真幂图P∗(G)的连通性.(1)P是循环群或广义四元数2群.若p∈π(o(g1))π(o(g2))则存∩在m1∈N∗使得o()=p满足g1≃≃ g2,即d(g1,g2)≤ 2;若q∈ π(o(g1))π(o(g2))则存在m2,m3∈N∗满足o()=q.由Q1的正规性可知其包含在群G的任意一个Sylow q-子群中,从而,即d(g1,g2)≤2.若g1为p元素,g2为q元素,当o(g2)＜qm时,构造g1～g1g2～g2;当o(g2)=qm时,构造,故d(g1,g2)≤3.综合上述3种情况可知d(g1,g2)≤3.∩(2)P既不是循环群也不是广义四元数2群.若q∈π(o(g1))π(o(g2)),由(1)可知d(g1,g2)≤2.若g1是p元素且q∈π(o(g2)),存在m4∈N∗使得1＜o()＜qm,则g1～≃ g2,即d(g1,g2)≤ 3.若g1,g2均为p元素,g1～g1µ ～µ(∈ Q1)～g2µ ～g2.综合上述3种情况可知d(g1,g2)≤4.故内幂零群真幂图P∗(G)连通且直径diam(P∗(G))≤3或4.Case 2.m=1,此时〉,满足o(a)=q.首先证明CP(a)是真含于P的G的极大正规子群.显然CP(a)＜ P,由于且满足,从而,若N＜P且,则NQ成群即N≤CP(a).由文献[12]中定理1.1可知CP(a)=Φ(P).(1)CP(a)=1,则〈a〉为P的无不动点自同构群,从而G为Frobenius群,且Φ(P)=CP(a)=1,此时P初等交换群且G=.故易得其真幂图P∗(G)的连通分支数:(2)CP(a)/=1,考虑商群G=G/Φ(P)=P/Φ(P)(〈a〉Φ(P))/Φ(P),则由文献[10]中定理其中l=|P|.进而有 G=P Φ(P)QΦ(P)Qh2··· Φ(P)Qhl.又Φ(P)=CP(a)/=1,顶点集连通且连接P中与Φ(P)相连的顶点,故P∗(G)的连通分支个数为k(P∗(G))=s1(P)-s1(Φ(P))+1.定理6 设内交换群G=PQ,其中P为正规Sylow p-子群,Q为循环Sylow q-子群,|G|=pnqm,则其幂图P(G)的独立数β(P(G))≥q+1且等号成立当且仅当以下情形之一成立:(1)当m≥2时,Sylow q-子群个数为q+1;(2)当m=1时,G ～=S3或G为2n(2n-1)阶Frobenius群,其中Sylow 2-子群正规,2n-1为素数.证明对于G=PQ,考虑Q在P上的作用,则有P=CP(Q)×[P,Q](见文献[10]中定理8.2.7).若CP(Q)＞1,则[P,Q]＜P,从而G交换,矛盾.故CP(Q)=1,P是初等交换p群,取P中的p阶子群的生成元代表A={x1,x2,···,xt},其中t=又循环群Q非正规,由Sylow第三定理可知其Sylow q-子群的个数至少∪为q+1,取出这q+1个循环群的生成元代表B={y1,y2,···,ys},其中s=q+1,显然AB即构成了势为q+1的点独立集,不等式显然成立.下面考虑等号成立条件.必要性:若m ≥2,由于Sylow q-子群的个数nq≥q+1,若不等号严格成立,用上述方法可以得到势至少为t+2q+1的点独立集,矛盾,即nq=q+1.若m=1,由CP(Q)=1可知Q在P上的作用是无不动点的,此时G为Frobenius群,相应的Frobenius分划为〉取点独立集D={x1,···,xt,y,yg2,···,yg|P|},若要使等号成立必须有t+|P|≤t+q+1,又 q+1||P|,故得|P|=q+1,若p是奇素数,显然q=2,|P|=3,此时G为非交换的6阶群,即G～=S3.若p=2,则有q=2n-1为素数,此时G为2n(2n-1)阶Frobenius群.充分性:当m≥2时,群G中不存在阶为pαqm(α/=0)的元素,若否,则与CP(Q)=1矛盾. 设集族容易验证任意g∈G都属于该集族中某个元素.对于S的子族至多可选择t个群 G 中元彼此不相连. 若否,存在 g1/～ g2 且不妨设〉均为 Sylow q-子群, 存在g=,u ∈ N,a ∈ P, 使得〈y2〉= 〈y1〉g= 〈y1〉a,即存在v ∈ N,y2=y1av, 此时〉.又c≡ 1(mod p),c≡ v(mod qm-1),由孙子定理[13]可得 c有解,故因o(g1),o(g2)有整除关系,则g1∪～ g2,矛盾.从而等号恒成立.当m=1 时,若 G ～=S3,则其幂图 P(G) ～=K1+(3K1K2),则有β(P(G))=4.若G为2n(2n-1)阶Frobenius群,其中Sylow 2-子群正规,q=2n-1为素数,此时P(G)～=K1+(qK1(q+1)Kq-1),则有β(P(G))=2q+1.从而两种情形均可取到等号,命题得证:定理7 设群G内交换,则其幂图P(G)可平面化当且仅当以下情形之一成立:(1)G=PQ是Frobenius群且满足P为初等交换2群,Q为3阶循环群;(2)G=PQ是Frobenius群且满足P为初等交换3群,Q为2阶循环群;(3)exp(G)=4时有G=Q8,M2(2,1),M2(2,2),M2(2,1,1)或M2(2,2,1);(4)exp(G)=3时有G=M3(1,1,1).证明若内交换群G=PQ,则G内幂零,此时由定理4可得G有形式(1),(2).下面考虑G为p群.由引理5得可平面化群的元素之阶取自集合{1,2,3,4},故p=2或p=3.由内交换群的分类(见文献[14]中定理2.3.7)可知,G=Q8或G=Mp(n,m),n≥2,m≥1或G=Mp(n,m,1),n≥m≥1按方次数讨论:当exp(G)=4时群的可能形式有G=Q8,M2(2,1),M2(2,2),M2(2,1,1)或M2(2,2,1);当exp(G)=3时群的可能形式有G=M3(1,1,1);当exp(G)=2时群的可能形式有G=M2(1,1,1).下面逐一验证上述形式群幂图的可平面性.Case 1.由定理4可知(1),(2)中群的幂图显然可平面化.Case 2.当G=Q8或G=M2(2,1)=D8时,显然方次数exp(G)=4可平面化.当G=M2(2,2)时,元素(biaj)4=b4ia(4+12i)j=1;当G=M2(2,1,1)时,元素(aibjck)4=(aibj)4=a4ib4j[b,a]6ij=1,从而其幂图可平面化.同理M2(2,2,1)幂图可平面化.Case 3.当G=M3(1,1,1)时,元素(aibjck)3=(aibj)3=a3ib3j[b,a]3ij=1,幂图可平面化. Case 4.当G=M2(1,1,1)=D8时,exp(G)=4/=2,矛盾.综上可知,命题得证.定理8 有限群G为内交换群,则其真幂图P∗(G)的连通性有如下结论.Case 1.G=,其中P,Q为Sylow子群.设|G|=pnqm,则真幂图P∗(G)满足:(1)若m≥2,则P∗(G)连通且diam(P∗(G))≤4;(2)若m=1,则P∗(G)不连通,连通分支个数k(P∗(G))=Case 2.G为内交换p群,则真幂图P∗(G)满足:(1)若G=Q8,则P∗(G)连通且diam(P∗(G))=2;(2)若G=Mp(n,m),n≥ 2,m ≥ 1.当G/=M2(2,1)时,P∗(G)连通分支个数k(P∗(G))=p+1.当 G=M2(2,1)时,k(P∗(G))=5;(3)若G=Mp(n,m,1),n≥m ≥1.当G/=M2(1,1,1)时,P∗(G)连通分支个数k(P∗(G))=p2+p+1.当G=M2(1,1,1)时,k(P∗(G))=5.证明对内交换群G分为非p群与p群两种情形讨论.Case1.G=,此时G内幂零,由定理5可知若m≥2,P∗(G)连通且diam(P∗(G))≤4;若m=1,由定理6的证明可知CP(Q)=1,再利用定理5可知真幂图P∗(G)不连通且连Case 2.G为内交换p群.根据文献[14]中定理2.3.7可得G仅有Q8,Mp(n,m)n≥2,m≥1,Mp(n,m,1)n≥m≥1这3种情形.(1)若G=Q8,其真幂图P∗(G)=K1+3K2,显然连通且满足diam(P∗(G))=2;(2)若G=Mp(n,m),此时G={biaj:ab=ba1+pn-1},|G|=pn+m,故知biaj两两不同.容易计算利用上式求G的p阶元,则有①m ≥ 2,于是得pm|pi,即pm-1|i,i.e.i=pm-1,2pm-1,···,pm,故bi∈ Z(G),此时(biaj)p=bipajp=1,即j=pn-1,2pn-1,···,pn,从而易得p阶元的个数为p2-1,p阶子群个数为p+1.由引理6可知P∗(G)的连通分支个数k(P∗(G))=p+1.② m=1,此时G=Mp(n,1)= 〈a,b:apn=bp=1,ab=a1+pn-1〉,容易计算若p为奇素数,即apj=1,于是j=pn-1,2pn-1,···,pn,i=1,2,···,p.此时G有个p阶子群,真幂图P∗(G)不连通且k(P∗(G))=p+1.若p=(a)当i=0时,(biaj)2=a2j=1可得2阶元为a2n-1;(b)当i=1时,2n|j(2+2n-1),若2 ł j得到2n|2+2n-1,此时仅有n=2时成立,群G为M2(2,1)即二面体群,若2|j得到a2j=1,此时2阶元为ba2n-1,b.故可得当G/=M2(2,1)时k(P∗(G))=3;当G=M2(2,1)时k(P∗(G))=5.(3) 若 G=Mp(n,m,1)则G′= 〈c〉,G={aibjck:i=1,2,···,pn;j=1,2,···,pm;k=1,2,···,p},其中c∈ Z(G).设aibjck为G的一个p阶元,则有(aibjck)p=(aibj)pckp=(aibj)p=1,由于利用上式可得故可得i=pn-1,2pn-1,···,pn,j=pm-1,2pm-1,···,pm.当n ≥ 2或m ≥ 2时,G 的 p 阶元 aibjck 满足 i=pn-1,2pn-1,···,pn,j=pm-1,2pm-1,···,pm,k=1,2,···,p,且 i,j,k不同时取pn,pm,p.故真幂图P∗(G)的连通分支个数k(P∗(G))=+p+1.当n=m=1时,可得(aibj)p=apibpj[b,a]p(p2- 1)ij=[b,a]p(p2- 1)ij=1,若p≥3,同上,G有p3-1个p阶元,即连通分支个数k(P∗(G))=p2+p+1.若p=2,则G=M2(1,1,1)=D8,k(P∗(G))=5,命题得证.3 结束语本工作讨论了幂零群、内幂零群以及内交换群和它们相对应幂图的关系问题,主要从线图、独立数、可平面性以及连通性等图论性质出发进行研究.一般地得到了有限群G的幂图P(G)是某图的线图的充要条件,刻画了幂零群与内交换群独立数的临界情形以及3类群可平面化的充要条件.此外，给出了内幂零与内交换群真幂图连通时的连通直径估计以及不连通时连通分支数目计算.对于这3类特殊的有限群幂图的图论性质给出了清晰的描述.相反地,也从相应幂图的图论性质出发进一步刻画了群结构.参考文献:【相关文献】[1]KELAREV A V,QUINNS J.Directed graph and combinatorial properties of semigroups[J].J Algebra,2002,251:16-26.[2]CHAKRABARTY I,GHOSH S,SENM K.Undirected power graphs ofsemigroups[J].Semigroup Forum,2009,78:410-426.[3]CAMERONP J.The power graph of a finite group,Ⅱ[J].J Group Theory,2010,13(6):779-783.[4]CAMERONP J,GHOSH S.The power graph of a finite group[J].DiscreteMath,2011,311:1220-1222.[5]CHELVAM T T,SATTANATHANM.Power graph of finite abelian groups[J].J Algebra and Discrete Mathematics,2013,16:33-41.[6]DOOSTABADI A,FARROKHI M,GHOUCHAND.On the connectivity of proper power graphs of finite groups[J].J Communications in Algebra,2015,43(10):4305-4319.[7]POURGHOLI G R,YOUSEFI-AzARI H,ASHRAFI A R.The undirected power graph of a finite group[J].Bull Malays Math Sci Soc,2015,38:1517-1525.[8]WEST D B.Introduction to graph theory[M].2nd ed.London:Pearson Education,2001.[9]MIRzARGAR M,ASHRAFI A R,NADJAFI-ARANI M J.On the power graph of a finite group[J].Filomat,2012,26(6):1201-1208.[10]徐明曜.有限群初步[M].北京:科学出版社,2014.[11]HUPPERT B.Endliche gruppenⅠ[M].Berlin:Springer-Verlag,1967.[12]陈重穆.内外Σ群与极小非Σ群[M].重庆:西南师范大学出版社,1988.[13]聂灵沼,丁石孙.代数学引论[M].北京:高等教育出版社,2000.[14]徐明曜,曲海鹏.有限p群[M].北京:北京大学出版社,2010.。

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Sylow-正规化子属于群系$CF$的

群论四大定理的探讨

第三章 正规子群和群的同态与同构

关于有限群的循环子群的注记

有限群子群的正规化子与群的p-幂零性

Sylow子群的2-极大子群与有限群的p-幂零性

第三章 正规子群和群的同态与同构

西罗定理的证明

sylow定理证明

非正规子群是Sylow子群的有限群

Lie型单群G2（3）的一个新刻划

有限群的ss-可补子群

p-幂零群的两个充分条件

幂零群与内幂零群的幂图

第三章正规子群和群的同态与同构

第三章正规子群和群的同态与同构