集合与常用逻辑用语习题集

集合与常用逻辑用语习题集
江西师大附中 黄润华
1．设集合{}2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A =（ ）
A ．{}3,2,1
B ．{}4,2,1
C ．{}4,3,2
D ．{}4,3,2,1
解析：{}{}1,2,()1,2,3,4A B A B C =⇒=，选D.
2．若A 、B 、C 为三个集合，A
B B
C =，则一定有（ ） A ．C A ⊆ B ．A C ⊆ C ．C A ≠
D ．A =∅
解析：,A B B B C B A C ⊇⊆⇒⊆，选A.
3．设集合{}6,5,4,3,2,1=P ，{}62≤≤∈=x R x Q ，那么下列结论正确的是（ ）A ．P Q P =
B ．Q Q P ≠⊃
C ．Q Q P =
D ．≠
⊂Q P P 解析：{}2,3,4,5,6P Q =，选D.
4．设集合P ＝{}01|<<-m m ，Q ＝{∈m R }044|2<-+mx mx 对任意实数x 恒成立，则下列关系中成立的是（ ）
A ．P ⊂≠Q
B ．Q ⊂≠P
C ．P Q =
D ．P Q =∅
解析：0m =或0100m m <⎧⇒-<<⎨
∆<⎩，选A. 5．设{}51,A x x k k N ==+∈，{}6,B x x x Q =≤∈，则A B 等于（ ）
A ．{}1,4
B ．{}1,6
C ．{}4,6
D ．{}1,4,6
解析： 1,5k k N ≥-∈，当0,3,7k =时，满足，选D.
6．已知集合{}(1)0P x x x =-≥，101Q x
x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则P Q 等于（ ） A ．∅ B ．{}1x x ≥ C ．{}1x x > D ．{}
1x x x <0≥或 解析：(,0][1,)P =-∞+∞，(1,)Q =+∞，选C.
7．若集合12
1|log 2A x x ⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A =R ð（ ） A ．2(,0](,)2-∞+∞ B ．2(,)2+∞ C ．2(,0][,)2-∞+∞ D ．2[,)2
+∞
8．设集合{}{}{}21,1,3,2,4,3A B a a A B =-=++=，则实数a = .
9．已知集合1{|||2},{|
0}1A x x B x x =<=>+，则A B = . 10.若{}222
8x A x -=∈Z ≤<，{{}R |log 1x B x x =∈>，则R (C )A B 的元素个数为（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3 解析：{}0,1A =，1
(0,)(2,)2B =+∞，{}R (C )0,1A B =，选C.
11.已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =∅，则实数a 的取值范围是 ． 解析：{}{}|111A x x a x a x a =-≤=-≤≤+，(,1]
[4,)B =-∞+∞，又A B =∅，∴ 1411a a +<⎧⎨->⎩，解得2 3.a <<
12.设集合{}25,log (3)A a =+，集合{},B a b =．若{}2A
B =，则A B = . 解析：{}2log (3)21,21,2,5.a a b A
B +=⇒==⇒=
13.若集合}0)5)(2(|{},034|{2<--∈=<+-∈=x x R x B x x R x A ，则=B A . 解析：(1,3),(2,5)(2,3).A B A B ==⇒=
14.设全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,3,4,5,6,7U P Q ===，则()U
P C Q =（ ） A ．{}1,2 B ．{}3,4,5 C ．{}1,2,6,7 D ．{}1,2,3,4,5
解析：{}1,2U C Q =，(){}1,2U
P C Q =，选A. 15.已知集合2{|47},{|60}M x x N x x x =-≤≤=-->，则M N 为（ ）
A ．{|4237}x x x -≤<-<≤或
B ．{|4237}x x x -<≤-≤<或
C ．{|23}x x x ≤->或
D ．{|23}x x x <-≥或
解析：选A.
16.已知集合{}110P x N x =∈≤≤，集合{}260Q x R x x =∈+-≤， 则P Q 等于（ ）
A.{}2
B.{}1,2
C.{}2,3
D.{}1,2,3
解析：{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10P =，[3,2]Q =-，选B ．
17.设a b ∈R ，，集合{}10b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则b a -=（ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
解析：∵0a ≠，∴ 0,a b a b +==-，∴ 1b a
=-，∴ 1,1a b =-=，则b a -=2. 18.已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
∈≥+=Z x x x P ,115|，则P M 等于（ ） A ．{}Z x x x ∈≤<,30| B ．{}Z x x x ∈≤≤,30|
C ．{}Z x x x ∈≤≤-,01|
D ．{}Z x x x ∈<≤-,01|
解析：[1,3],(1,4](1,3],M P M P x Z =-=-⇒=-∈，选B.
19.设集合{}R x x x A ∈≥-=,914, ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=R x x x x
B ,03，则A B =（ ） A ．]2,3(-- B ．5(3,2][0,]2--
C ．5(,3][,)2-∞-+∞
D ．5(,3)[,)2
-∞-+∞ 解析：55(,2][,),(,3)[0,)(,3)[,).22
A B A B =-∞-+∞=-∞-+∞⇒=-∞-+∞ 20.定义集合运算:{}
,,.A B z z xy x A y B *==∈∈设{}1,2A =，{}0,2B =，则集合A B *的所有元素之和为（ ）
A ．0
B ．2
C ．3
D ．6
解析：选D.
21.若集合131,11,2,01A y y x x B y y x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪==-≤≤==-<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭
，则A B 等于（ ） A ．(,1]-∞ B ．[1,1]- C ．∅ D ．{}1 解析：[1,1],(,1][1,1].A B A B =-=-∞⇒=-
22.已知2{1,3,3}A m m =--，集合{3,4}B =，若B A ⊆,则实数m = .
解析：则2
341m m m -=⇒=-或4.
23.设a R ∈，二次函数2()22.f x ax x a =-- 若()0f x >的解集为A ， {}|13,B x x A B =<<≠∅，求实数a 的取值范围.
解析：0a ≠，令()0f x =,解得其两根为122211112,2x x a a a a
=-+=++，知120,0x x <> （1）当0a >时，12{|}{|}A x x x x x x =<>，若A
B ≠∅，则23x <，即21123a a ++<，解得67a >； （2）当0a <时，12{|}A x x x x =<<，若A B ≠∅，则21x >，
即21121a a ++>，解得2a <-. 综上，6(,2)(,).7
a ∈-∞-⋃+∞ 24. 已知}12
2|{≤-=x x x A ，集合}0)12(|{22<+++-=m m x m x x B ， （1）求集合,A B ； （2）若B A ⊆，求m 的取值范围.
解：（1）由211
x x ≤-得22x -≤<，由22(21)0x m x m m -+++<得1m x m <<+， [2,2),(,1).A B m m ∴=-=+ （2）由212
m m ≥-⎧⎨+≤⎩得[2,1].m ∈- 25．一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中 （ C ）
A.真命题与假命题的个数相同
B.真命题的个数一定是奇数
C.真命题的个数一定是偶数
D.真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数
26．下列命题中正确的是 （ B ）
①“若220x y +≠，则,x y 不全为零”的否命题 ②“正多边形都相似”的逆命题
③“若0m >，则2
0x x m +-=有实根”的逆否命题 ④“若3x -是有理数，则x 是无理数”的逆否命题
A.①②③④
B.①③④
C.②③④
D.①④
27．“1a ≠或2b ≠”是“3a b +≠”的 （ B ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要
28．设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要非充分条件，则甲是丁的（ A ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要
29．函数()||f x x x a b =++是奇函数的充要条件是 （ D ）
A.0ab =
B.0a b +=
C.a b =
D.220a b += 30．“若x a ≠且x b ≠，则2()0x a b x ab -++≠”的否命题 （ D ）
A.若x a =且x b =，则2()0x a b x ab -++=
B.若x a =或x b =，则2()0x a b x ab -++≠
C.若x a =且x b =，则2()0x a b x ab -++≠
D.若x a =或x b =，则2()0x a b x ab -++=
31．“12
m =”是“直线(2)310m x my +++=与(2)(2)30m x m y -++-=相互垂直”的（ A ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要
32．命题p ：存在实数m ，使210x mx ++=有实数根，则“非p ”形式的命题是（ B ）
A.存在实数m ，使得方程2
10x mx ++=无实根
B.不存在实数m ，使得方程210x mx ++=有实根
C.对任意的实数m ，使得方程2
10x mx ++=有实根
D.至多有一个实数m ，使得方程210x mx ++=有实根
33．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是 ， 否命题是 .
否定形式：末位数是0或5的整数，不能被5整除；
否命题：末位数不是0或5的整数，不能被5整除.
34．用符号“∀”与“∃”表示含有量词的命题:
（1）实数的平方大于等于0： ；
（2）存在一对实数，使2330x y ++>成立： .
（1）2,0x R x ∀∈≥； （2）,x y R ∃∈，2330.x y ++>
35．已知函数()x f 在R 上单调递增，又R b a ∈∃,满足0a b +>，
则()()b f a f + ()()b f a f -+-（用“>”、“=”或“<”填空）
36．已知{}:11,2p ∈，{}{}:11,2q ∈，则①“p 且q ”为假； ②“p 或q ”为真；
③“非p ”为真，其中的真命题的序号为 .
37.已知命题p “若,0≥ac 则二次方程02=++c bx ax 没有实根”. （1）写出命题p 的否命题； （2）判断命题p 的否命题的真假, 并证明你的结论.
解:(1)命题p 的否命题为:“若,0<ac 则二次方程02=++c bx ax 有实根”.
(2)命题p 的否命题是真命题. 证明如下:
,04,0,02>-=∆⇒>-∴<ac b ac ac ⇒二次方程02=++c bx ax 有实根.
38．已知0≠ab ,求证1=+b a 的充要条件是02233=--++b a ab b a .
39．求a 的取值范围，使得关于x 的方程().062122=++-+a x a x .
（1）有两个都大于1的实数根； （2）至少有一个正实数根.
解：设2
()2(1)26f x x a x a =+-++ （1）若原方程的两根都大于1，则有22(1)012(1)2604(1)4(26)0450110f a a a a a a a a >+-++>⎧⎧⎪⎪--+≥⇒--≥⎨⎨⎪⎪-><⎩⎩
54151a a a a ⎧>-⎪⎪≤-≥⎨⎪<⎪⎩
或 514a ∴-<≤- （2）分三种情况：①一正一负，需260,3a a +<<-
②两正，需22(0)02604(1)4(26)0450101f a a a a a a a >+>⎧⎧⎪⎪--+≥⇒--≥⎨⎨⎪⎪-><⎩⎩
31a ∴-<≤-
③一正一0，需260,3a a +==-，此时有正根8x =. 综上所述，(,1].a ∈-∞-
40．已知p ：方程210x mx ++=有两个不等的负实根，q ：方程244(2)10x m x +-+=无实根.若p q
∨为真，
p q ∧为假，求m 的取值范围.
41．已知方程,222x k kx x =++求使方程有两个大于1的实数根的充要条件，并写出它的一个必要不充分条件.
42．已知函数)34lg(2++-=m mx mx y 有意义，求使满足下列条件的实数m 的取值范围.
43．已知：1()42
x f x =+. （1）已知∃12,x x R ∈满足121x x +=，求值12()()f x f x +；
（2）求127(0)()()()(1).888f f f f f +++
+ 44．命题“若4πα=
,则tan 1α=”的逆否命题是（ C ） A ．若4π
α≠,则tan 1α≠ B ．若4π
α=,则tan 1α≠
C ．若tan 1α≠,则4π
α≠ D ．若tan 1α≠,则4π
α=
45.下列命题中，真命题是（ D ）
A ．00,0x x R e ∃∈≤
B ． 2,2x x R x ∀∈>
C ．0a b +=的充要条件是1a b =-
D ．1,1a b >>是1ab >的充分条件
46．若p 是真命题，q 是假命题，则（ ）
A ．p q ∧是真命题
B ．p q ∨是假命题
C ．p ⌝是真命题
D ．q ⌝是真命题
47．设n N +∈，一元二次方程240x x n -+=有整数根的充要条件是n = 。

48．设集合{}{}|20,|0A x R x B x R x =∈->=∈<，{}|(2)0C x R x x =∈->，则“x A B ∈⋃”是“x C ∈”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．即不充分也不必要条件
49．使不等式22530x x --≥成立的一个充分而不必要条件是（ ）
A ．0x <
B ．0x ≥
C ．{}1,3,5x ∈-
D ．12
x ≤-或3x ≥ 50．已知命题:p “任意[1,2]x ∈，20x a -≥”，命题:q “存在x R ∈，2220x ax a ++-=”。

若命题
“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．2a ≤-或1a =
B ．2a ≤-或12a ≤≤
C ．1a ≥
D ．21a -≤≤
51．“a b =”是“直线2y x =+与圆22()()2x a y b -++=相切”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件 解析：选A 。

52.若非空集合,,A B C 满足A B C =，且B 不是A 的子集，则（ ）
A. “x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件
B. “x C ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件
C. “x C ∈”是“x A ∈”的充要条件
D. “x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件也不是“x A ∈”的必要条件
解析：选B 。

53.已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）
A ．()p q ⌝∨
B ．p q ∧
C ．()()p q ⌝∧⌝
D ．()()p q ⌝∨⌝
解析：选D 。

54.“a c b d +>+”是“a b >”且“c d >”的（ ）
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 解析：选A 。

55．下列命题是真命题的为（ ）
A ．若11x y
=，则x y = B ．若21x =，则1x =
C ．若x y =，则x y =
D ．若x y <,则 22x y < 解析：由11x y
=得x y =，而由21x =得1x =±，由x y =，,x y 不一定有意义，而x y <得不到22x y <。

故选A 。

56．已知,,,a b c d 为实数，且c d >。

则“a b >”是“a c b d ->-”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 解析：显然，充分性不成立.又，若a －c ＞b －d 和c ＞d 都成立，则同向不等式相加得a b > 即由“a c b d ->-”⇒“a b >”。

选B 。

57．对任意实数,,a b c ，给出下列命题：①“b a =”是“bc ac =”充要条件； ②“5+a 是无理数”
是“a 是无理数”的充要条件；③“a b >”是“22a b >”的充分条件；④“5a <”是“3a <”的必
要条件. 其中真命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 解析：选B 。

58．对于函数①()lg(21)f x x =-+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =+，判断如下三个命题的真
假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，
上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 命题丙：(2)()f x f x +-在()-∞+∞，
上是增函数． 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ）
A ．①③
B ．①②
C ．③
D ．② 解：函数①()lg(21)f x x =-+，函数(2)f x +=lg(||1)x +是偶函数；且()f x 在()-∞2，
上是减函数，在(2)+∞，上是增函数；
但对命题丙：(2)()f x f x +-=||1lg(||1)lg(|2|1)lg |2|1
x x x x ++--+=-+ 在x ∈(－∞,0)时，(||1)12lg lg lg(1)(|2|1)213
x x x x x +-+==+-+-+-为减函数， 排除函数①；对于函数③，()cos(2)f x x =+函数(2)cos(2)f x x +=+
不是偶函数，排除函数③；只有函数②2()(2)f x x =-符合要求，选D 。

59．已知:22p a x a -<<+，21:12
x q x -<+，若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 解：解2112x x -<+得23x -<<， 依题设，p q ⇒，但q 推不出p . 2322a a +≤⎧∴⎨-≥-⎩
，[0,1].a ∴∈ 60．已知命题:p 方程2220a x ax +-=在[1,1]-上有解；命题:q 只有一个实数x 满足不等式
2220x ax a ++≤，若命题“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围。

解：若p 真，则(2)(1)0ax ax +-=，显然0a ≠，2x a ∴=-或1x a =，[1,1]x ∈-，
21a ∴-≤或11a
≤， 1.a ∴≥ 若q 真，则2480a a ∆=-=，0a ∴=或 2.a = 依题设，“p 或q ”是假，∴p 假，q 假， (,0)
(0,1a ∴∈-∞ 61．求证：关于x 的方程220x ax b ++=有实数根，且两根均小于2的充分不必要条件是2a ≥且 4.b ≤ 证明：先证充分性。

由24
a b ≥⎧⎨≤⎩得24a b ≥≥，2440a b ∴∆=-≥，∴方程有实根。

22444a a b b ≥-≤-⎧⎧∴⎨⎨≤≥-⎩
⎩，1212(2)(2)()42480x x x x a ∴-+-=+-=--≤-<， 121212(2)(2)2()4444840x x x x x x b a --=-++=++≥-++=，1
212(2)(2)0(2)(2)0
x x x x -+-<⎧∴⎨-->⎩， 122020x x -<⎧∴⎨-<⎩，12
22x x <⎧∴⎨<⎩，2a ∴≥且4b ≤是充分条件。

再验证不必要。

方程20x x -=的两根为120,1x x ==，则方程的两根都小于2，而122
a =-<。