高中数学 2.6正态分布导学案 苏教版选修2-3

2.6 正态分布
1．正态密度曲线
在频率分布直方图中，若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图上的频率折线就将趋于一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线．
函数的表达式是22
()()x P x μ--
=
，x ∈R ，此函数为正态分布密度函数．它所表示
的曲线叫正态密度曲线．这里有两个参数μ和σ，其中σ＞0，μ∈R ，不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线．
预习交流1
正态分布密度曲线与μ，σ的关系是怎样的？
提示：①正态曲线关于直线x ＝μ对称；②当x ＜μ时，曲线上升，当x ＞μ时曲线下降；③曲线的形状由σ确定，σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡．
2．正态分布密度函数的性质
若X 是一个随机变量，则对任给区间(a ，b ]，P (a ＜X ≤b )恰好是正态密度曲线下方和x
轴上(a ，b ]上方所围成的图形面积，我们称随机变量X 服从参数为μ和σ2
的正态分布，
简记为X ～N (μ，σ2
)．
随机变量X 取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为68.3%， 落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%， 落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为99.7%. 预习交流2
若X ～N (μ，σ2
)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)的几何意义是什么？
提示：表示X 取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)
的概率和正态曲线与X ＝μ－σ，X ＝μ＋σ以及x 轴所围成的图形的面积，大约是68.3%.
1．正态分布密度函数
下列函数中哪个是正态分布密度函数__________．
①22
()2()x P x μσ--
=
；②2
2
()x f x -=；
③2
(1)4
()x g x --
=
；④22
()e x Q x =
. 思路分析：
正态密度函数的表达式为22
()2()x P x μσ--
=
，凡符合此表达式的均为正
态分布密度函数．
答案：②
解析：①是错误的，错在系数部分中的σ应在分母的根号外． ②是正确的，它是正态分布密度函数，其中μ＝0，σ＝1.
③是错误的，从系数部分看σ＝2，可从指数部分看σ＝2，不统一． ④是错误的，指数部分缺少一个负号．
设一正态总体，
它的概率密度曲线是函数2
(10)8()x f x --=的图象，
则这个正态总体的均值与方差分别是：μ＝__________，σ2
＝__________.
答案：10 4
解析：
对比正态密度函数22
()2()x P x μσ--
=知，μ＝10，σ2
＝4.
对于正态分布密度函数22
()2()x P x μσ--
=
，x ∈(－∞，＋∞)，不但要熟记它的解
析式，而且要知道其中字母是变量还是常量，还要注意指数上的σ和系数的分母上σ是一致的，且指数部分是一个负数.
2．正态分布密度函数的性质
设ξ～N (1,22
)，求P (3＜ξ≤5)．
思路分析：要求随机变量ξ在某一范围内的概率，只需借助于正态密度曲线的图象性质以及常见的区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)的概率值进行转化求值．
解：∵P (3＜ξ≤5)＝P (－3＜ξ≤－1)，
∴P (3＜ξ≤5)＝1
2
[P (－3＜ξ≤5)－P (－1＜ξ≤3)]
＝1
2[P (1－4＜ξ≤1＋4)－P (1－2＜ξ≤1＋2)] ＝1
2[P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)－P (μ－σ＜ξ≤μ＋σ)] ＝1
2×(0.954－0.683)＝0.135 5.
设ξ～N (1,22
)，则P (ξ≥5)＝__________.
答案：0.023
解析：∵P (ξ≥5)＝P (ξ≤－3)，
∴P (ξ≥5)＝1
2
[1－P (－3＜ξ≤5)]
＝1
2[1－P (1－4＜ξ≤1＋4)] ＝1
2[1－P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)] ＝1
2
×(1－0.954)＝0.023. 解答此类题的关键在于充分利用正态分布曲线的对称性，把待求区间的概率向已知区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率进行转化．
3．正态分布的实际应用
在某次数学考试中，考生的成绩X 服从一个正态分布，即X ～N (90,100)． (1)试求考试成绩X 位于区间(70,110)上的概率； (2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)内的考生大约有多少人？ 思路分析：正态分布已经确定，则总体的期望μ和方差σ就可以求出，根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解．
解：∵X ～N (90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10.
(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩X 位于区间(70,110)内的概率为0.954.
(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.
由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率为0.683， 所以考试成绩X 位于区间(80,100)内的概率为0.683.
一共有 2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)内的考生大约有 2 000×0.683＝1 366(人)．
某厂生产的圆柱形零件的外径X ～N (4,0.25)，质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7，试问该厂生产的这批零件是否合格？
解：由于圆柱形零件的外径X ～N (4,0.25)，由正态分布的特征可知，正态分布N (4,0.25)在区间(4－3×0.5，4＋3×0.5)即(2.5,5.5)之外的取值概率只有0.003，而5.7∉(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据小概率事件原理，认为该厂的这批产品是不合格的．
解答这类问题的关键是熟记正态变量的取值位于区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率值，同时又要根据已知的正态分布确定所给区间．
1．已知X ～N (0,1)，则X 在区间(－∞，－2)内取值的概率为__________． 答案：0.023
解析：∵X ～N (0,1)，
∴P (X ≤－2)＝1
2
[1－P (－2＜X ＜2)]
＝1
2
[1－P (0－2×1＜X ＜0＋2×1)]， 又知P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954，
∴P (X ≤－2)＝1
2
×(1－0.954)＝0.023.
2．已知ξ～N (0，σ2
)，且P (－2≤ξ≤0)＝0.4，则P (ξ＞2)＝__________. 答案：0.1
解析：由ξ～N(0，σ2)，知图象关于x =0对称．
∴P (－2≤ξ≤0)＝P (0≤ξ≤2)＝0.4， 而P (ξ≥0)＝0.5，
∴P (ξ＞2)＝P (ξ≥0)－P (0≤ξ≤2)＝0.5－0.4＝0.1.
3．已知X ～N (1，σ2
)，P (X ≥2)＝0.1，则P (0＜X ＜2)＝__________. 答案：0.8
解析：由X ～N (1，σ2
)可知，密度函数关于x =1对称．
∵X ～N (1，σ2
)，故X 落在(0,1)及(1,2)内的概率相同均为0.5－P (X ≥2)=0.4， ∴P (0＜X ＜2)=P (0＜X ＜1)+P (1＜X ＜2)=0.4+0.4=0.8.
4．随机变量X ～N (1,22
)，则V ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12X ＝__________.
答案：1
解析：∵X ～N (1,22)，∴V (X )＝22
＝4.
∴V ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝1
4
V (X )＝14×4＝1.
5．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间
X (分钟)服从正态分布N (5,1)；第二条路较长不拥挤，X 服从N (6,0.16)．有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？
解：还有7分钟时，若选第一条路线，X 服从N (5,1)，能及时到达的概率P 1＝P (X ≤7)
＝P (X ≤5)＋P (5＜X ＜7)＝12＋1
2
P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)；
若选第二条路线，X 服从N (6,0.16)，能及时到达的概率P 2＝P (X ≤7)＝P (X ≤6)＋P (6
＜X ＜7)＝12＋1
2
P (μ－2.5σ＜X ≤μ＋2.5σ)，
所以P 1＜P 2，选第二条路线．
同理，还有6.5分钟时，选第一条路线．。