第四章_连续时间系统的频域分析

1 − t
−∞
∫ຫໍສະໝຸດ Baidu
f (τ )dτ = (1 − e
1 − t
τ
)ε (t )
1 − t
R2 ∴uc (t ) = (1 − e R1 + R2
τ
)ε (t )
§4.5 阶跃信号通过理想低通滤波器 一、滤波器的概念 滤波器是这样一种网络，在某一频率范围 内信号传输时衰减很小，信号能顺利通过— —这个范围称滤波器的通带。在通带之外信 号传输时衰减很大，阻止信号通过——这个 范围称滤波器的阻带。按照滤波器的特性不 同，可分为低通、高通、带通、带阻等。下 面是它们的示意图，其中fc为截止频率。
信号与系统
第四章 连续时间系统的频域分析 南京航空航天大学 信息科学与技术学院 信息与通信工程系 雷磊 leilei@nuaa.edu.cn
§4.1 引言 在第三章中我们学习了信号的另外一种分解方 法—频域分解。 周期信号：分解为时间上连续，频域上离散的正弦 分量或指数分量。 非周期信号：分解为时间上连续，频域上也连续的 指数分量。 所以，参照时域分析法，我们只要求出系统对 这些正弦分量或指数分量的响应，然后叠加就可求 出系统的零状态响应。而零输入响应的求法与时域 法相同。
其中： 0 = ω
1 — 谐振频率 LC
ω ω0 令： = Q — 品质因数， = Q ( − ) — 称失谐量 ξ ω0 ω R
1 1 ∴ Y ( jω ) = = = ⋅ e − jφ (ω ) ⎡ ω ω0 ⎤ R(1 + jξ ) R 1 + ξ 2 R ⎢1 + jQ ( − )⎥ ω0 ω ⎦ ⎣ 其中：(ω ) = tg −1ξ φ 1
3、求响应函数R(jω): R(jω)=H(jω)E(jω) 4、求傅里叶反变换：r(t)=F -1[R(jω)] 二、时域分析与频域分析 在时域分析法中我们知道，系统的零状态响应 为激励与单位冲激响应的卷积。
r ( t ) = e( t ) ∗ h ( t )
两边求傅里叶变换 R ( jω ) = E ( jω ) ⋅ H ( jω )
3、求响应Uc(jω) U c ( jω ) = E ( jω ) H ( jω )
⎡ R2 1 ⎤ 1 = ⎢πδ (ω ) + ⎥ ⋅ R + R ⋅ 1 + jωτ jω ⎦ 1 ⎣ 2 1 R2 ] = ⋅ [πδ (ω ) + R1 + R2 jω (1 + jωτ ) 1 + jωτ − jωτ R2 ] = ⋅ [πδ (ω ) + R1 + R2 jω (1 + jωτ ) 1 R2 τ ] = ⋅ [πδ (ω ) + − R1 + R2 jω 1 + jωτ
Em me1 E m cos(ωc t + φ0 ) + cos((ωc + Ω1 )t + φ0 + φe1 − φξ 1 ) i (t ) = 2 R 2 R 1 + ξ1 + me1 E m 2R 1 + ξ
2 1
cos((ωc − Ω1 )t + φ0 − φe1 + φξ 1 )
⎤ Em ⎡ me1 cos(Ω1t + φe1 − φξ 1 )⎥ ⋅ cos(ωc t + φ0 ) = ⎢1 + 2 R ⎢ 1 + ξ1 ⎥ ⎦ ⎣ = I m [1 + mi1 cos(Ω1t + φi1 )] ⋅ cos(ωc t + φ0 )
§4.4 有始信号通过线性电路的瞬态响应 前面我们讨论的是无始无终的信号，信号 在很久以前就加入系统了。现在我们要分 析有始信号，信号可以是有始无终，也可 以是有始有终。这样信号是在某一时刻加 入到系统（通常我们把信号加入到系统的 时刻作为时间参考点，即 t=0）。信号从 加入系统到系统稳定中间经历了一个瞬变 过程。因此，也称瞬态分析。
一、分析方法 全响应=零输入响应+零状态响应 零输入响应的求法如前，这里主要讨论零状 态响应的求法，基本思想还是三步：分解、 求单元响应、叠加。根据这个思想可归纳 为以下几个步骤： 1、求激励信号的频谱函数: e(t)←→ E(jω) 2、求系统转移函数: 转移函数定义为 响应函数R( jω ) H ( jω ) = 转移函数H(jω)是由系统 激励函数E ( jω ) 本身所确定的，可通过其它途径求得。
1 f (t ) ↔ F ( jω ) = 1 + jωτ 则F(0)=1。根据时域积分性质有：
F ( jω ) 1 ∫∞ f (τ )dτ ↔ πF (0)δ (ω ) + jω = πδ (ω ) + jω (1 + jωτ ) −
t
f (t ) = F
t
-1
⎡ 1 ⎤ 1 τ ⎢1 + jωτ ⎥ = τ e ε (t ) ⎣ ⎦
p → jω
E ( jω ) = F [ε (t )] 1 = πδ (ω ) + jω
2、求H(jω)
1 1 + jωC R2 R2 1 H ( jω ) = = ⋅ 1 R1 + R2 1 + jω R1 R2 C R1 + 1 R1 + R2 jωC + R2
R2 R1 R2 1 令 C = τ 则 H ( jω ) = ⋅ R1 + R2 1 + jωτ R1 + R2
其中： me1 Em −1 , φi1 = φe1 − φξ 1 , φξ 1 = tg ξ1 , mi1 = Im = R 1 + ξ12
ω c + Ω1 ω0 2Ω 1 ξ1 = Q ( − )≈Q ω0 ω c + Ω1 ω0
结论： 正弦调制的调幅波通过串联谐振电路后其响应 电流i(t) 1、仍为正弦调制的调幅波； 2、调幅系数变为：mi1 =
假定谐振电路调谐在信号的载频上，即： ω0=ωc各正弦分量通过谐振电路时可用正弦 稳态分析。
ω c + Ω1 ω0 其中：1 = Q ( ξ − ) ω0 ω c + Ω1 φξ 1 = tg −1ξ1
Yξ 1 = 1 R 1+ ξ
2 1
将三个用复数表示的响应电流还原成正弦函数 的形式并叠加起来就得到响应电流。
，t1
（或 Ω1
t1
）
若调制信号是一有n个频率分量组成的复杂信 号，调幅电压表示为：
e(t ) = E m [1 + ∑ mek cos(Ω k t + φek )] ⋅ cos(ωc t + φ0 ) = E m cos(ωc t + φ0 )
k =1 n
mek E m cos((ωc + Ω k )t + φ0 + φek ) +∑ 2 k =1 mek E m +∑ cos((ωc − Ω k )t + φ0 − φek ) 2 k =1
me1 1+ξ
2 1
显然 mi1<me1； ）
ξ1
，mi1
（或 Ω1
mi1
3、包络产生了相移Δφ=φe1-φi1=φe1-(φe1φξ1)= φξ1或者说包络产生了一个延迟。延 迟时间为相位对频率的导数：
dφ (ω ) Δφ 1 −1 = t1 = = tg ξ1 dω ω =ωc Ω1 Ω1
ξ1
= (bm p + bm −1 p
m −1
利用傅里叶变换的微分性质，两边求傅里叶 变换 (( jω ) n + an −1 ( jω ) n −1 + ... + a1 ( jω ) + a0 ) H ( jω )
= bm ( jω ) m + bm −1 ( jω ) m −1 + ... + b1 ( jω ) + b0
4、求反变换
τ 1 1 τ ε (t ) ↔ πδ (ω ) + = , e ε (t ) ↔ jω 1 + jωτ 1 + jω
1 − t
− t R2 ∴uc (t ) = (1 − e τ )ε (t ) R1 + R2
1
τ
讨论： 1、求H(jω)时使用阻抗的概念，直接用分压公 式求出。当然也可列出电路的微分方程或算子 方程而得到H(p)，然后将p换成jω。 2、在求傅里叶反变换时我们注意到如果设
二、理想低通滤波器及其冲激响应 用数学式子可表达为：
⎧ K ⋅ e − jω t0 | ω |< ωc 0 ⎪ K ( jω ) = ⎨ ⎪ 0 | ω |> ωc 0 ⎩ 或 K ( jω ) = KG2ωc 0 (ω ) ⋅ e − jω t0
理想低通滤波器的特点是在通带0~ωc0内所有 频率分量均匀一致地通过，所有频率分量有相 同的延迟t0。其冲激响应由傅里叶变换的对称 性质容易求得。
bm ( jω ) m + bm −1 ( jω ) m −1 + ... + b1 ( jω ) + b0 ∴H ( jω ) = ( jω ) n + an −1 ( jω ) n −1 + ... + a1 ( jω ) + a0
∴ H ( p ) ⎯⎯⎯→ H ( jω )
H(jω)还可由电路来求，只要将电路中的电 感和电容用感抗和容抗代替。下面我们看一 个例子。 例：单位阶跃电压作用于图示RC电路，求uc(t)。 解： 1、求E(jω)
ω0 L
当ω=ω0时电路谐振，导纳绝对 值最大。对于同样的激励，响应电流 最大。所以，电路具有选择性。 下面讨论调幅波通过串联谐振电 路的响应。看看会产生哪些现象。 1、响应还是否调幅波； 2、有没有产生失真； 3、如何减小失真。
正弦调制的调幅波：
e(t ) = E m [1 + me1 cos(Ω1t + φe1 )] ⋅ cos(ωc t + φ0 ) = E m cos(ωc t + φ0 ) me1 E m + cos((ωc + Ω1 )t + φ0 + φe1 ) 2 me1 E m + cos((ωc − Ω1 )t + φ0 − φe1 ) 2
输入输出关系用系统转移函数表示，不同的 输入输出关系转移函数有不同的含义，如转 移阻抗，转移导纳等。
§4.3 调幅信号通过谐振电路的稳态分析 调幅信号就是一个非正弦周期信号，串联 谐振回路：常作为晶体管收音机的输入回路， 输入电路利用谐振回路的选择性选出我们所需 要的信号。
导纳:
Y ( jω ) = 1 1 ) R + j (ωL − ωC 1 = ⎡ ω0 L ω ω0 ⎤ ( − )⎥ R ⎢1 + j R ω0 ω ⎦ ⎣
其中ξ k为第k对边频分量对回路的失谐量
φξ k = tg −1ξ k 。
1、通过谐振回路后仍为调幅波；
2、 mik =
mek 1 + ξ k2
< mek
问题在于调幅信号的各对边频分量的部分调幅 ξk ， 系数受到削弱的程度是不一致的。k mik 这就导致了失真，称为频率失真。 3、包络同样要产生相移，各对边频分量频率越 高，失谐就越大，相移也就越大，k ξ k ，
第四章要点： 频域分析： 周期信号——稳态分析； 非周期信号——瞬态分析。 不失真条件 物理可实现性
§4.2 非正弦周期信号通过线性系统的稳态分析
对于这种信号它存在于 - ∞<t<∞，因此可 以认为信号早已加入系统，系统的瞬变过程已 结束而处于稳定状态。对于这种情况只须作稳 态分析就可以了。 总的说还是分为三步：1、分解；2、求单元响 应；3、叠加。 通常将信号分解为正弦分量，并用复数表示： 有效值∠相位 或 振幅∠相位
∴ H ( jω ) = F [h (t )] 即 h (t ) ↔ H ( jω )
单位冲激响应和系统转移函数是一对傅里叶变换 对。
三、H(jω)的求法
∵ ( p + an −1 p
n m
n −1
+ ... + a1 p + a0 )h (t ) + ... + b1 p + b0 )δ (t )
n
n
用同样的方法可求得响应电流：
n ⎤ Em ⎡ mek i (t ) = cos(Ω k t + φek − φξ k )⎥ ⋅ cos(ωc t + φ0 ) ⎢1 + ∑ R ⎢ k =1 1 + ξ k2 ⎥ ⎣ ⎦ n ⎡ ⎤ = I m ⎢1 + ∑ mik cos(Ω k t + φik )⎥ ⋅ cos(ωc t + φ0 ) ⎣ k =1 ⎦
Ωk
Δφk 但不是成比例的变化 ∴tk = Δφk
不是常数，各对边频分量的延迟不一样，这 又是一种失真，称为相位失真。
产生频率失真和相位失真的原因是很清楚的： 1、|Y(jω)|不是常数，对各边频分量的部分调幅 系数削弱的程度是不一致； 2、φ(ω)是非线性的，各边频分量的延迟量不 一样。因此，要不产生失真，就要求系统的幅 频特性为常数，相频特性为一条直线。这是一 种理想的系统，不幸的是这种系统是物理不可 实现的。稍后我们还会讲到这个问题。