推荐中考数学第一部分考点研究复习第六章圆第26课时圆的基本性质真题精选含解析(1)

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第六单元圆第24课时圆的基本性质点对点·课时内考点巩固30分钟1. (2019柳州)如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是()A. ∠BB. ∠CC. ∠DEBD. ∠D第1题图2. (2019宜昌)如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是()A. 50°B. 55°C. 60°D. 65°第2题图3. (2019兰州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝()A. 110°B. 120°C. 135°D. 140°第3题图4. (2019甘肃省卷)如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的2倍，则∠ASB的度数是()A. 22.5°B. 30°C. 45°D. 60°第4题图5.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DCB＝110°，则∠AED的度数为()A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°第5题图6. (2019西安高新一中模拟)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，∠DAB ＝48°，则∠AOC 的度数是( )A. 48°B. 96°C. 114°D. 132°第6题图7. (2019陕西黑马卷)如图，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，连接BC ，OA ，OD .若∠BCD ＝25°，CD ＝OD ，则∠AOD 的度数是( )A. 140°B. 120°C. 110°D. 100°第7题图8. (2019赤峰)如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，点D 是⊙O 上一点，∠ADC ＝30°，则∠BOC 的度数为( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°第8题图9. (2019贵港)如图，AD 是⊙O 的直径，AB ︵＝CD ︵，若∠AOB ＝40°，则圆周角∠BPC 的度数是( ) A. 40° B. 50° C. 60° D ．70°第9题图10. 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，BD 为⊙O 的直径，AD ＝6，则BD 的长为( ) A. 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 12第10题图11. 如图，AB 为⊙O 的直径，∠CAB ＝30°，CB ＝3，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D ，则弦AD 的长为( )A. 2 3B. 2 2C. 3 3D. 3 2第11题图12. 如图，B 、C 是⊙A 上的两点，AB 的垂直平分线与⊙A 交于E 、F 两点，与线段AC 交于点D ，连接BC 、BD 、BF 、CF .若∠BFC ＝20°，则∠DBC ＝( )A. 30°B. 29°C. 28°D. 20°第12题图13. (2019西工大附中模拟)如图，已知△ABC 内接于⊙O ，EF 为⊙O 的直径，且点F 是弧BC ︵的中点．若∠B ＝40°，∠C ＝60°，则∠AFE 的度数为( )A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°第13题图14. (2019西安铁一中模拟)如图，在半径为3的⊙O中，弦BC、DE所对的圆周角分别是∠A、∠F，且∠A＋∠F＝90°.若BC＝4，则DE的长为()A. 13B. 4C. 5D. 2 5第14题图15.在圆内接四边形ABCD中，∠ACB＝∠ACD＝60°，对角线AC、BD交于点E.已知BC＝32，CD ＝22，则线段CE的长为()第15题图A. 32 2B. 7 5C. 62 5D. 22 316. (2019株洲)如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB 相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝________度．第16题图17.(2019安徽)如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为________．第17题图18.已知半径为5的⊙O中，弦AB＝52，弦AC＝5，则∠BAC的度数是________．点对线·板块内考点衔接10分钟1. (2019襄阳)如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是()A. AP＝2OPB. CD＝2OPC. OB⊥ACD. AC平分OB第1题图2. (2019西工大附中模拟)如图，已知⊙O的内接五边形ABCDE，连接BE、CE，若AB＝BC＝CE，∠EDC ＝130°，则∠ABE的度数为()A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°第2题图3.(2019天水)如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE.若∠D＝80°，则∠EAC的度数为()A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°第3题图4.(2019柳州)在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为________．5.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心，1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP、OA，则△AOP面积的最大值为________．第5题图点对面·跨板块考点迁移2分钟1. (2019安顺)如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC 为()第1题图A. 13 B. 22 C.223 D.24参考答案第24课时圆的基本性质点对点·课时内考点巩固1. D 【解析】在⊙O 中，∵∠A 与∠D 都是BC ︵所对的圆周角，∴∠A ＝∠D .2. A 【解析】∵OB ＝OC ，∴∠OCB ＝∠OBC ＝40°.∴在△OBC 中，∠BOC ＝180°－∠OCB －∠OBC ＝180°－40°－40°＝100°.∴∠A ＝12∠BOC ＝12×100°＝50°.3. D 【解析】∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ＝40°，∴∠C ＝180°－∠A ＝140°.4. C 【解析】如解图，设圆心为O ，半径为r ，则AB ＝2r .连接OA 、OB ，则r 2＋r 2＝(2r )2，∴△OAB 为等腰直角三角形，∠AOB ＝90°.∴∠ASB ＝12∠AOB ＝45°.第4题解图5. B 【解析】如解图，连接AC ，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＝∠DCB －∠ACB ＝110°－90°＝20°，∴∠AED ＝∠ACD ＝20°.第5题解图6. B 【解析】∵AD ∥BC ，∴∠B ＝180°－∠DAB ＝132°，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠D ＝180°－∠B ＝48°，由圆周角定理得，∠AOC ＝2∠D ＝96°.7. C 【解析】如解图，连接OC ，∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠BCD ＝25°，∴∠AOC ＝50°，∵CD ＝OD ，OD ＝OC ，∴OC ＝OD ＝CD ，∴△COD 为等边三角形，∴∠COD ＝60°，∴∠AOD ＝∠AOC ＋∠COD ＝110°.第7题解图8. D 【解析】∵OC ⊥AB ，∴点C 是AB ︵的中点，即AC ︵＝BC ︵.∴∠BOC ＝∠AOC ＝2∠ADC ＝60°.9. B 【解析】∵AB ︵＝CD ︵，∴∠COD ＝∠AOB ＝40°，∴∠BOC ＝100°，∴∠BPC ＝12∠BOC ＝50°.10. C 【解析】∵∠BAC ＝120°，AB ＝AC ，∴∠BCA ＝12×(180°－120°)＝30°.∴∠D ＝∠BCA ＝30°.∵BD为⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°.在Rt △BAD 中，BD ＝AD cos30°＝632＝4 3. 11. D 【解析】如解图，连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°，在Rt △ABC 中，∵∠CAB ＝30°，∴AB ＝2CB ＝6，∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD ＝45°，∵∠BAD ＝∠BCD ＝45°，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴AD ＝22AB ＝22×6＝3 2.第11题解图12. A 【解析】∵∠BFC ＝20°，∴∠BAC ＝2∠BFC ＝40°，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－40°)＝70°.又∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠BAC ＝40°，∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝70°－40°＝30°.13. A 【解析】如解图，连接OC 、CF .∵∠B ＝40°，∠ACB ＝60°，∴∠BAC ＝80°，∠AFC ＝∠ABC ＝40°，∵点F 是弧BC ︵的中点，∴∠BAF ＝∠CAF ＝40°，∴∠COF ＝2∠CAF ＝80°，∵OF ＝OC ，∴∠OFC ＝12(180°－80°)＝50°，∴∠AFE ＝∠OFC －∠AFC ＝10°.第13题解图14. D 【解析】如解图，连接DO 并延长，交⊙O 于点G ，连接EG 、FG ，则∠DFG ＝∠DEG ＝90°，又∵∠A ＋∠DFE ＝90°，∠GFE ＋∠DFE ＝90°，∴∠A ＝∠GFE .则GE ＝BC ＝4.∵⊙O 的半径为3，∴DG ＝6.在Rt △DEG 中，DE ＝DG 2－GE 2＝62－42＝2 5.第14题解图15. C 【解析】如解图，作BM ⊥AC 于点M ，DN ⊥AC 于点N ，则BM ∥DN ，∴△BME ∽△DNE ，∴MENE ＝BM DN ，∵∠ACB ＝∠ACD ＝60°，∴∠CBM ＝∠CDN ＝30°，∴CM ＝12BC ＝322，CN ＝12CD ＝2，∴BM ＝3CM ＝362，DN ＝3CN ＝6，∴MN ＝CM －CN ＝122，∴ME NE ＝32，∴EN ＝25MN ＝25，∴CE ＝CN ＋EN ＝2＋25＝625.第15题解图16. 20 【解析】∵AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且OC ⊥AB ，∴∠ADC ＝12∠AOC ＝45°.∵∠AEC＝65°，且∠AEC 是△ADE 的一个外角，∴∠BAD ＝∠AEC －∠ADC ＝20°.17. 2 【解析】如解图，连接OA 、OC ，∵∠CBA ＝45°，∴∠AOC ＝90°.又∵OA ＝OC ＝2，∴AC ＝2 2.在Rt △ACD 中，∠CDA ＝90°，∠CAD ＝30°，∴CD ＝AC ·sin30°＝ 2.第17题解图18. 105°或15° 【解析】如解图，连接OC ，OA ，OB .∵OC ＝OA ＝AC ＝5，∴△OAC 是等边三角形，∴∠CAO ＝60°，∵OA ＝OB ＝5，AB ＝52，∴OA 2＋OB 2＝AB 2，∴△OAB 是等腰直角三角形，∠OAB ＝45°，点C 的位置有两种情况，如解图①时，∠BAC ＝∠CAO ＋∠OAB ＝60°＋45°＝105°；如解图②时，∠BAC ＝∠CAO －∠OAB ＝60°－45°＝15°.综上所述，∠BAC 的度数是105°或15°.第18题解图点对线·板块内考点衔接1. A 【解析】如解图，连接OC .∵四边形OBCD 是平行四边形，OD ＝OB ，∴四边形OBCD 是菱形．∴OD ＝OC ＝CD .∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°.∵CD ∥OB ，∴CD ＝2OP ，OB ⊥AC .故B 、C 选项正确．∵△CBP ≌△COP (HL)，∴BP ＝OP .故D 选项正确．第1题解图2. B 【解析】如解图，连接OA ，OB ，OC ，OE ，∵AB ＝BC ＝CE ，∴AB ︵＝BC ︵＝CE ︵，∠1＝∠2＝∠3，在四边形BCDE 中，∵∠D ＝130°，∴∠CBE ＝50°，∠2＝2∠CBE ＝100°，∴∠1＝∠3＝∠2＝100°，∠AOE ＝360°－3×100°＝60°，∴∠ABE ＝12∠AOE ＝30°.第2题解图3. C 【解析】∵∠AEB ＋∠AEC ＝∠D ＋∠AEC ＝180°，∠D ＝80°，∴∠AEB ＝∠D ＝80°.∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D ＝80°，AB ＝BC ，∴∠B ＝∠AEB .∴∠BAE ＝180°－2∠B ＝20°，∠BAC ＝∠ACB ＝12(180°－∠B )＝50°.∴∠EAC ＝∠BAC －∠BAE ＝30°.4. 52 【解析】如解图，四边形ABCD 为正方形，BD 为⊙O 的直径，OA 为半径，则OA ＝OB ＝5，OA ⊥OB ，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝52＋52＝5 2.第4题解图5.174【解析】如解图，延长AO 至C 点，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，延长FD 交⊙D 于点P ′，连接AP ′，OP ′，要使△AOP 面积最大，则只需AO 边上的高最大，此时P ′满足条件，即P ′F 为△AOP 的AO 边上最大的高．∵DF ＝AD ·CD AC ＝4×342＋32＝125，∴P ′F ＝DF ＋DP ′＝125＋1＝175，AO ＝12AC ＝52，∴△AOP 的最大面积为12AO ·P ′F ＝12×52×175＝174.第5题解图点对面·跨板块考点迁移1. D 【解析】如解图，连接AC 、AO ，得到等腰三角形AOC ，过A 点作AD ⊥OC ，垂足为点D ，∴∠CAD ＝12∠CAO ＝∠OBC ，∵点C 坐标为(0，2)，∴CD ＝OD ＝1，∴在Rt △ACD 中，AD ＝AC 2－CD 2＝32－12＝22，∴tan ∠OBC ＝tan ∠CAD ＝CD AD ＝122＝24.第1题解图第六单元圆第25课时与圆有关的位置关系点对点·课时内考点巩固30分钟1. (2019广州)平面内，⊙O 的半径为1，点P 到O 的距离为2，过点P 可作⊙O 的切线的条数为( ) A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条2. (2019重庆B 卷)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C ＝40°，则∠B 的度数为( )第2题图A. 60°B. 50°C. 40°D. 30° 点对线·板块内考点衔接60分钟1. (2019哈尔滨)如图，P A 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，点C 为⊙O 上一点，连接AC 、BC ，若∠P ＝50°，则∠ACB 的度数为( )A. 60°B. 75°C. 70°D. 65°第1题图2. (2019舟山)如图，已知⊙O 上三点A ，B 、C ，半径OC ＝1，∠ABC ＝30°，切线P A 交OC 延长线于点P ，则P A 的长为( )A. 2B. 3C. 2D. 1 2第2题图3.如图，AB是⊙O的直径，P A切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC.若AB＝10，∠P ＝30°，则AC的长度是()A. 5 3B. 5 2C. 5D. 5 2第3题图4. (2019泰安)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P 的度数为()A. 32°B. 31°C. 29°D. 61°第4题图5. (北师九下P92例2题改编)如图，边长为23的等边△ABC的内切圆的半径为()A. 1B. 3C. 2D. 2 3第5题图6. (2019贺州)如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝3OD，AB＝12，CD的长是()A. 2 3B. 2C. 3 3D. 4 3第6题图7.如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，连接BD.若CD＝BD＝43，则OE的长度为()第7题图A. 3B. 2C. 2 3D. 48. (2018益阳)如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD＝DC，则∠C＝________度．第8题图9.(2019南京)如图，P A、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P＝102°，则∠A ＋∠C＝________°.第9题图10. (2019眉山)如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝42，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则线段PQ长的最小值为________．第10题图11.(2019陕师大附中模拟)如图，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半径．第11题图12.如图，MP与⊙O相切于点M，连接PO并延长，交⊙O于点A、B，弦AC∥MP，连接OM、BC、CM.(1)求证：OM∥BC；(2)若∠P＝30°，求证：四边形BCMO为菱形．第12题图13.如图，AB为⊙O的直径，AD、BE为⊙O的弦，延长AD、BE交于点C，且AB＝AC，过点B作⊙O的切线交AC 的延长线于点F .(1)求证：BE ＝CE ；(2)若BF ＝4，CF ＝2，求AD 的长．第13题图14. (2019西安交大附中模拟)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，以AD 为直径的⊙O 交AC 于点E ，⊙O 的切线EF 交CD 于点F .(1)求证：EF ⊥CD ；(2)若AC ＝10，cos A ＝56，求线段DF 的长．第14题图15. (2019黄冈改编)如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点E ，连接OE .(1)求证：△DBE 是等腰三角形；(2)求证：CA ·CE ＝CO ·CB .第15题图16. (2019凉山州)如图，点D 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过点B 作⊙O 的切线，交AD 的延长线于点C ，E 是BC 的中点，连接DE 并延长与AB 的延长线交于点F .(1)求证：DF 是⊙O 的切线； (2)若OB ＝BF ，EF ＝4，求AD 的长．第16题图17. 如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，D 是AB 上一点，以BD 为直径的⊙O 切AC 于点E ，交BC 于点F ，连接DF .(1)求证：DF ＝2CE ；(2)若BC ＝3，sin B ＝45，求线段BF 的长．第17题图18. (2019新疆)如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D, CE⊥AB于点E.(1)求证：∠BCE＝∠BCD；(2)若AD＝10，CE＝2BE，求⊙O的半径．第18题图参考答案第25课时与圆有关的位置关系点对点·课时内考点巩固1. C 【解析】根据切线的定义进行判断，过圆外一点可以作两条直线和圆相切．2. B 【解析】∵AC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥AC ，∵∠C ＝40°，∴∠B ＝50°. 点对线·板块内考点衔接1. D 【解析】如解图，连接OA 、OB ，∵P A 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∴∠AOB ＝180°－∠P ＝180°－50°＝130°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝12×130°＝65°.第1题解图2. B 【解析】如解图，连接OA ，∵∠AOC 与∠ABC 是AC ︵所对的圆心角和圆周角，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝60°，∵AP 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AP ，∴AP ＝OA ·tan ∠AOC ＝1·tan60°＝ 3.第2题解图3. A 【解析】如解图，连接BC ，∵AP 是⊙O 的切线，∴∠BAP ＝90°.∵∠P ＝30°，∴∠AOP ＝60°.∴∠BOC ＝60°.∵OC ＝OA ，∴∠ACP ＝∠BAC ＝12∠BOC ＝30°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝30°，AB ＝10，∴AC ＝5 3.第3题解图4. A 【解析】如解图，设BP 与⊙O 交于点M ，连接OC ，CM .∵PC 是⊙O 的切线，∴∠OCP ＝90°.∵四边形ABMC 是圆内接四边形，∠A ＝119°，∴∠BMC ＝180°－119°＝61°.∵OC ＝OM ，∴∠OCM ＝∠OMC ＝61°.∴在△COM 中，∠COM ＝58°.∴在△COP 中，∠P ＝180°－∠COM －∠OCP ＝180°－58°－90°＝32°.第4题解图5. A 【解析】如解图，连接OA ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，∵⊙O 是等边三角形ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，D 为AB 的中点．∵AB ＝23，∴AD ＝12AB ＝ 3.∵在等边△ABC 中，∠CAB ＝60°，∴∠OAD＝30°. ∴tan ∠OAD ＝ODAD. ∴ OD ＝AD ·tan30°＝1.第5题解图6. A 【解析】∵AD 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AD .在Rt △AOD 中，AD ＝3OD ，∴tan A ＝OD AD ＝OD3OD ＝33.∴∠A ＝30°.∴∠AOD ＝60°.∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠ABD ＝12∠AOD ＝30°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD ＝∠ABD ＝30°，∴∠ABC ＝60°，∴∠C ＝90°. 在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB ，AB ＝12，∴BC ＝AB ·sin A ＝12×12＝6. 在Rt △CBD 中，CD ＝BC ·tan ∠CBD ＝6×33＝2 3. 7. B 【解析】如解图，连接OD ，∵直线CD 与⊙O 相切于点D ，∴OD ⊥CD ，∴∠ODC ＝90°，∵CD ＝BD ＝43，∴∠C ＝∠B ，∵OD ＝OB ，∴∠B ＝∠ODB ，∴∠DOE ＝∠B ＋∠ODB ＝2∠B ＝2∠C ，在Rt △OCD 中，∠DOE ＝2∠C ，则∠DOE ＝60°，∠C ＝30°，∴OD ＝CD ·tan C ＝43×33＝4，∵DF ⊥AB ，∴∠DEO ＝90°，在Rt △ODE 中，OE ＝OD ·cos ∠EOD ＝4×12＝2.第7题解图8. 45 【解析】∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵BC 为⊙O 的切线，∴AB ⊥BC ，∴∠ABC ＝90°，∵AD ＝CD ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∴∠C ＝45°.9. 219 【解析】如解图，连接AB ，∵P A 、PB 是⊙O 的切线，∴P A ＝PB ，∵∠P ＝102°，∴∠P AB ＝∠PBA ＝12(180°－102°)＝39°，∵∠DAB ＋∠C ＝180°，∴∠P AD ＋∠C ＝∠P AB ＋∠DAB ＋∠C ＝180°＋39°＝219°.第9题解图10. 23 【解析】如解图，连接OQ ，则PQ ＝OP 2－OQ 2，根据题意可知OQ 长为定值，若使得PQ 最小，只要OP 最小即可，当OP ⊥AB 时能取得最小值．∵OA ＝OB ＝42，∴AB ＝8，∴OP ＝4，∴PQ ＝42－22＝2 3.第10题解图11. (1)证明：如解图，连接OD ， ∵BC 是⊙O 的切线， ∴OD ⊥BC ，又∵AC ⊥BC ， ∴OD ∥AC ， ∴∠2＝∠3； ∵OA ＝OD ， ∴∠1＝∠3， ∴∠1＝∠2， ∴AD 平分∠BAC ；第11题解图(2)解：设⊙O的半径为r，在Rt△BOD中，有OD2＋BD2＝OB2，即r2＋42＝(2＋r)2，解得r＝3.∴⊙O的半径为3.12.证明：(1)∵MP与⊙O相切于点M，∴OM⊥MP，又∵AC∥MP，∴OM⊥AC，又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∴OM∥BC；(2)∵AC∥MP，∠P＝30°，∴∠BAC＝∠P＝30°，∵∠ACB＝90°，∴AB＝2BC，又∵AB＝2OB，∴BC＝OB＝OM，∵OM∥BC，∴四边形BCMO为平行四边形，又∵OB＝OM，∴四边形BCMO为菱形．13. (1)证明：如解图，连接AE.∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，∴E为BC边的中点，∴BE＝CE；第13题解图(2)解：如解图，连接BD ，设⊙O 的半径为r . ∵BF 为⊙O 的切线， ∴∠ABF ＝90°.在Rt △ABF 中，AB 2＋BF 2＝AF 2，即(2r )2＋42＝(2r ＋2)2，解得r ＝32.∴AB ＝AC ＝2r ＝3，AF ＝2r ＋2＝5. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝∠ABF ＝90°. 又∵∠BAD ＝∠F AB ， ∴Rt △ABD ∽Rt △AFB . ∴AB AF ＝AD AB ，即35＝AD3. ∴AD ＝95.14. (1)证明：如解图，连接OE ， ∵OA ＝OE ， ∴∠A ＝∠OEA ，∵∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点， ∴AD ＝CD ， ∴∠A ＝∠DCA ， ∴∠OEA ＝∠DCA ， ∴OE ∥CD ， ∵EF 为⊙O 的切线， ∴OE ⊥EF ， ∴EF ⊥CD ；第14题解图(2)解：∵cos A ＝56，∴AC AB ＝56， ∵AC ＝10， ∴AB ＝12，∵∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点， ∴AD ＝DC ＝12AB ＝6，由(1)可得，OE ∥CD ，∴AE ＝12AC ，△OEA ∽△DCA ，∴AO AD ＝AE AC ＝12， ∴AE ＝EC ＝12AC ＝5，∵cos A ＝cos ∠DCA ＝CFCE ，∴CF ＝256，∴DF ＝CD －CF ＝6－256＝116.15. 证明：(1)如解图，连接OD 、CD ， ∵DE 是⊙O 的切线， ∴∠ODE ＝90°，在Rt △OCE 和Rt △ODE 中，⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OD OE ＝OE ， ∴Rt △OCE ≌Rt △ODE (HL)， ∴DE ＝CE ， ∴∠ECD ＝∠CDE ， ∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠CDA ＝90°， ∴∠CDB ＝90°，∴∠B ＋∠ECD ＝90°，∠CDE ＋∠BDE ＝90°， ∵∠ECD ＝∠CDE ， ∴∠BDE ＝∠B ， ∴BE ＝DE ，∴△DBE 是等腰三角形；第15题解图(2)由(1)可得，BE ＝DE ＝CE ， ∴点E 是BC 的中点， ∴OE 是△ABC 的中位线， ∴OE ∥AB ， ∴△COE ∽△CAB . ∴CO CA ＝CE CB， ∴CA ·CE ＝CO ·CB .16. (1)证明：如解图，连接OD ，BD ， ∵BC 是⊙O 的切线， ∴BC ⊥OB ， ∴∠OBC ＝90°. ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°. ∴∠CDB ＝90°. ∵E 是BC 的中点， ∴ED ＝EB ＝12BC ，∴∠EDB ＝∠EBD . ∵OD ＝OB ， ∴∠ODB ＝∠OBD ， ∴∠ODF ＝∠OBC ＝90°， ∴DF ⊥OD .∵OD 是⊙O 的半径， ∴DF 是⊙O 的切线；第16题解图(2)解：由(1)知∠ODF ＝90°，∵OD ＝OB ＝BF ， ∴sin F ＝OD OF ＝12，∴∠F ＝30°，∵∠DOB ＋∠F ＝90°， ∴∠DOB ＝60°， ∴△ODB 是等边三角形， ∴∠OBD ＝60°， ∴tan ∠OBD ＝ADBD ＝3，∴AD ＝3BD . ∵BC ⊥AF ， ∴BE EF ＝sin F ＝12. ∵EF ＝4， ∴BE ＝2，∴BF ＝EF 2－BE 2＝23＝OB ＝DB ， ∴AD ＝3BD ＝6.17. (1)证明：如解图，连接OE 交DF 于点G ， ∵AC 切⊙O 于点E ， ∴∠CEO ＝90°，又∵BD 为⊙O 的直径， ∴∠DFC ＝∠DFB ＝90°， ∵∠C ＝90°，∴四边形CEGF 为矩形， ∴CE ＝GF ，∠EGF ＝90°， ∴DF ＝2CE ；第17题解图(2)解：在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，BC ＝3，sin B ＝45，∴AB ＝5，设OE ＝x ，∵OE ∥BC ， ∴△AOE ∽△ABC ，∴OE BC ＝AO AB， ∴x 3＝5－x 5， ∴x ＝158，∴BD ＝2OE ＝154，在Rt △BDF 中，∵∠DFB ＝90°，sin B ＝45，∴cos B ＝35＝BF BD ＝BF154，∴BF ＝94.18. (1)证明：如解图，连接OC ，AC ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，∴∠ACO ＋∠OCB ＝90°，又∵CD 是⊙O 的切线， ∴∠OCD ＝90°， ∴∠OCB ＋∠BCD ＝90°. ∴∠ACO ＝∠BCD . ∵CE ⊥AB ， ∴∠CEB ＝90°， ∴∠BCE ＋∠ABC ＝90°. ∵∠A ＋∠ABC ＝90°， ∴∠BCE ＝∠A . ∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ＝∠BCD . ∴∠BCE ＝∠BCD ；第18题解图(2)解：如解图，过点B 作BF ⊥CD 于点F ，得△BFD ∽△CED . 由(1)得∵BC 平分∠ECD ，∴BF ＝BE . ∵CE ＝2BE ， ∴BD CD ＝BF CE ＝BE CE ＝12. 即CD ＝2BD .∵∠BCD ＝∠A ，∠CDB ＝∠ADC ， ∴△CBD ∽△ACD ， ∴BD CD ＝CD AD. ∵AD ＝10， ∴BD ＝52，∴AB ＝152，∴OA ＝154.∴⊙O 的半径为154.第六单元圆第26课时与圆有关的计算点对点·课时内考点巩固5分钟1. (2019长沙)一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则这个扇形的面积是( ) A. 2π B. 4π C. 12π D. 24π2. (2019青海)如图，在扇形AOB 中，AC 为弦，∠AOB ＝140°，∠CAO ＝60°，OA ＝6，则BC ︵的长为( )第2题图A. 4π3 B. 8π3C. 23πD. 2π3. (2019哈尔滨)一个扇形的弧长是11π cm ，半径是18 cm ，则此扇形的圆心角是________度．点对线·板块内考点衔接15分钟1. (2019枣庄)如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，AB 为半径画弧，交对角线BD 于点E ，则图中阴影部分的面积是(结果保留π)( )A. 8－πB. 16－2πC. 8－2πD. 8－12π第1题图2. (2019绍兴)如图，△ABC 内接于⊙O ，∠B ＝65°，∠C ＝70°.若BC ＝22，则BC ︵的长为( ) A. π B. 2π C. 2π D. 22π第2题图3. (2019青岛)如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D .若AC ＝BD ＝4，∠A ＝45°，则CD ︵的长度为( )A. πB. 2πC. 22πD. 4π第3题图4. (2019南充)如图，在半径为6的⊙O 中，点A ，B ，C 都在⊙O 上，四边形OABC 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )A. 6πB. 33πC. 23πD. 2π第4题图5. (2019山西)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝23，BC ＝2，以AB 的中点O 为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为( )A.534－π2 B. 534＋π2C. 23－πD. 43－π2第5题图6. (2019泰安)如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，AB ︵恰好经过圆心O ，若⊙O 的半径为3，则AB ︵的长为( ) A. 12π B. π C. 2π D. 3π第6题图7. (2019重庆A 卷)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠ABC ＝60°，AB ＝2.分别以点A ，点C 为圆心，以AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)第7题图8. (全国视野创新题推荐·2019贵阳)如图，用等分圆的方法，在半径为OA 的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA ＝2，则四叶幸运草的周长是________．第8题图点对面·跨板块考点迁移2分钟1. (2019天水)如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D 经过原点O ，与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，B 点坐标为(0，23)，OC 与⊙D 相交于点C ，∠OCA ＝30°，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留根号和π)第1题图参考答案第26课时与圆有关的计算点对点·课时内考点巩固1. C 【解析】∵扇形的半径为6，圆心角为120°，∴S 扇形＝120·π·62360＝12π.2. B 【解析】如解图，连接CO ，∵OC ＝OA ，∠CAO ＝60°，∴△AOC 为等边三角形．∴∠AOC ＝60°，∴∠BOC ＝∠AOB －∠AOC ＝80°，∴BC ︵的长为80×6π180＝8π3.第2题解图3. 110 【解析】设此扇形的圆心角为n °，根据题意得l ＝nπr 180＝nπ·18180＝11π，解得n ＝110. 点对线·板块内考点衔接1. C 【解析】∵正方形ABCD 的边长为4，∴AB ＝4，∠ABD ＝45°.∴S 阴影＝S △ABD －S 扇形ABE ＝12×AB 2－45π×AB 2360＝12×42－45π×42360＝8－2π.2. A 【解析】如解图，连接OB ，OC .∵∠ABC ＝65°，∠ACB ＝70°，∴∠A ＝180°－∠ABC －∠ACB ＝45°，∵∠1＝2∠A ＝90°，OB ＝OC ，∴△OBC 是等腰直角三角形，∵BC ＝22，∴OB ＝OC ＝2，∴BC ︵的长为90×π×2180＝π.第2题解图3. B 【解析】如解图，连接OC ，OD .∵AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D ，∴OC ⊥AC ，OD ⊥BD . ∵∠A ＝45°，∴△ACO 是等腰直角三角形，∴AC ＝OC ＝OD ＝4.∵AC ＝BD ＝4，∴△BDO 是等腰直角三角形，∴∠AOC ＝∠BOD ＝45°，∴∠COD ＝90°. ∴CD ︵的长为90π×4180＝2π.第3题解图4. A 【解析】如解图，连接OB ，交AC 于点D .由题意易知四边形OABC 为菱形，∴△OAB 为等边三角形，∴S △OAD ＝S △BCD ，∠AOB ＝60°，∵⊙O 的半径为6.∴S 阴影＝S 扇形AOB ＝60360×π×62＝6π.第4题解图5. A 【解析】如解图，连接OD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E .∵在Rt △ABC 中，AB ＝23，BC ＝2，∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝2 3.在Rt △ABC 中，∵tan ∠BAC ＝BC AB ＝223＝33，∴∠BAC ＝30°，∴∠BOD ＝60°.∵OA ＝OB ＝OD ＝12AB ＝3，∴S 扇形BOD ＝60·π·OD 2360＝π2.∵DE ＝OD ·sin60°＝32，∴S △AOD ＝12OA ·DE ＝334.∴S 阴影＝S △ABC －S △AOD －S 扇形BOD ＝534－π2.第5题解图6. C 【解析】如解图，过点O 作OM ⊥AB 于点M ，连接AO 、BO ，∵⊙O 的半径为3，∴OM ＝12×3＝32.∵在Rt △AOM 中，OM ＝12OA ，∴∠OAB ＝30°，∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB ＝30°，∴∠AOB ＝120°.∴AB ︵的长为120π×3180＝2π.第6题解图7. 23－2π3 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝CO ，∵∠ABC ＝60°，∴∠BAD ＝∠BCD ＝120°，∵AB ＝2，∴AO ＝1，BO ＝3，∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝2AO ·BO ＝23，S 扇形＝2×120π×12360＝2π3，∴S 阴影＝23－2π3. 8. 42π 【解析】如解图，根据题意可知四叶幸运草的周长是以AB 为直径的4个半圆弧长，∵OA ＝OB ＝2，∠AOB ＝90°，在Rt △AOB 中，AB ＝OA 2＋OB 2＝22＋22＝22，∴AB ︵的长为12×π×22＝2π，∵四叶幸运草的周长为2π×4＝42π.第8题解图点对面·跨板块考点迁移1. 2π－23 【解析】如解图，连接OD 、AB ，∵∠AOB ＝90°，A 、O 、B 在⊙D 上，∴AB 是⊙D 的直径，∵∠OCA ＝30°，∴∠ODA ＝60°，∠ABO ＝30°.∴△AOD 为等边三角形，∴OD ＝OA ＝OB ·tan30°＝23×33＝2.∴S 阴影＝12S ⊙D －S △AOB ＝12π×22－12×2×23＝2π－2 3.第1题解图。

中考数学考点跟踪训练26-圆的基本性质

考点跟踪训练26 圆的基本性质一、选择题1．(2011·上海)矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝3 5，点P 在边AB 上，且BP ＝3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是( )A. 点B 、C 均在圆P 外B. 点B 在圆P 外、点C 在圆P 内C. 点B 在圆P 内、点C 在圆P 外 D ．点B 、C 均在圆P 内答案 C解析如图，AB ＝8，BP ＝3AP ，得BP ＝6，AP ＝2.在Rt △APD 中，PD ＝ 3 52＋22＝7>BP ，所以点B 在圆P 内；在Rt △BPC 中，PC ＝ 3 52＋62＝9>PD ，所以点C 在圆P外．2．(2011·凉山)如图，∠AOB ＝100°，点C 在⊙O 上，且点C 不与A 、B 重合，则∠ACB 的度数为( )A ．50°B ．80°或50°C ．130°D ．50° 或130° 答案 D解析当点C 在优弧上，∠ACB ＝12∠AOB ＝50°；当点C 在劣弧上，∠ACB ＝180°－50°＝130°.综上，∠ACB ＝50°或130°.3．(2011·重庆)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB ＝40°，则∠A 的度数等于( )A ．60°B ．50°C ．40°D ．30° 答案 B解析在△OBC 中，OB ＝OC ，∠OCB ＝40°， ∴∠BOC ＝180°－2×40°＝100°.∴∠A ＝12∠BOC ＝12×100°＝50°.4．(2011·绍兴)一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB ＝10，截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是( )A ．16B ．10C ．8D ．6 答案 A解析在Rt △OBC 中，OB ＝10，OC ＝6，∴BC ＝102－62＝8. ∵OC ⊥AB ， ∴AC ＝BC.∴AB ＝2BC ＝2×8＝16.5．(2011·嘉兴)如图，半径为10的⊙O 中，弦AB 的长为16，则这条弦的弦心距为( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 答案 A解析作弦心距OC ，得AC ＝BC ＝12×16＝8.连接AO ，在Rt △AOC 中，OC ＝102－82＝6.二、填空题6．(2011·扬州)如图，⊙O 的弦CD 与直径AB 相交，若∠BAD ＝50°，则∠ACD ＝__________度．答案 40解析 ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°.∴∠B ＝90°－∠BAD ＝90°－50°＝40°. ∴∠ACD ＝∠B ＝40°.7．(2011·安徽)如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E ，且AB ＝CD ，已知CE ＝1，ED ＝3，则⊙O 的半径是________________．答案 5解析画OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，垂足分别为M 、N ，连接OD.∵AB ＝CD ， ∴OM ＝ON.易证四边形OMEN 是正方形．∵CN ＝DN ＝12CD ＝12×(1＋3)＝2，∴EN ＝CN －CE ＝2－1＝1. ∴ON ＝1.∴在Rt △DON 中，OD ＝12＋22＝ 5.8．(2011·杭州)如图，点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，CD 的度数等于84°，CA 是∠OCD 的平分线，则∠ABD ＋∠CAO ＝________.答案 48°解析 ∵OA ＝OC ， ∴∠CAO ＝∠ACO. 又∵∠ABD ＝∠ACD ，∴∠ABD ＋∠CAO ＝∠ACD ＋∠ACO ＝∠DCO.在△CDO 中，OC ＝OD ，∠COD=====mCD ＝84°，∴∠DCO ＝180°－84°2＝48°，即∠ABD ＋∠CAO ＝48°.9．(2011·威海)如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，若AE ＝5，BE ＝1，CD ＝4 2，则∠AED ＝___________.答案 30°解析连接DO ，画OF ⊥CD ，垂足是F.∴CF ＝DF ＝12CD ＝12×4 2＝2 2.∵AB ＝AE ＋BE ＝5＋1＝6，∴DO ＝12AB ＝3.在Rt △DFO 中，OF ＝32－ 2 22＝1，在Rt △OFE 中，OE ＝3－1＝2，OF ＝1.∴∠AED ＝30°.10．(2011·舟山)如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC于点D ，连接CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②CE ＝OE ；③△ODE ∽△ADO ；④2CD 2＝CE·AB.其中正确结论的序号是_______．答案 ①④解析 ∵OC ⊥AB ，∴A C ＝B C ＝90°. ∵AD 平分∠CAD ，∴∠CAD ＝∠BAD ，CD ＝BD ＝45°. ∴∠CAB=====m 12BC ＝45°，∠DOB=====mBD ＝45°，∴∠CAD ＝∠DOB ，AC ∥OD ；在△ACO 中，AC>AO ，AE 平分∠CAO ，∴CE≠EO；由AC ∥OD ，得△ODE ∽△CAE ，而∠CAD ＝∠BAO ，∠ACE≠∠AOD ，∠AEC≠∠AOD.∴△ACE 与△ADO 不相似，即△ODE 与△ADO 不相似；连接BD ，有BD ＝CD ，可求得∠B ＝67.5°，又∵∠CED ＝∠AEO ＝67.5°，∴∠B ＝∠CED.又∵∠CDE ＝∠DOB ＝45°，∴△CDE ∽△DOB ，CD DO ＝CE DB ，CD·DB＝CE·DO，∴CD 2＝CE·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB ，即2CD 2＝CE·AB.故结论①、④正确．三、解答题11．(2011·上海)如图，点C 、D 分别在扇形AOB 的半径OA 、OB 的延长线上，且OA ＝3，AC ＝2，CD 平行于AB ，并与A B 相交于点M 、N.(1)求线段OD 的长；(2)若tan ∠C ＝12，求弦MN 的长．解 (1)∵CD ∥AB ，∴∠OAB ＝∠C ，∠OBA ＝∠D. ∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA. ∴∠C ＝∠D. ∴OC ＝OD.∵OA ＝3，AC ＝2， ∴OC ＝5. ∴OD ＝5.(2)过点O 作OE ⊥CD ，E 为垂足，连接OM.在Rt △OCE 中，OC ＝5，tan ∠C ＝12，设OE ＝x ，则CE ＝2x.由勾股定理得x 2＋(2x)2＝52，解得x 1＝5，x 2＝－5(舍去)．∴OE ＝ 5.在Rt △OME 中，OM ＝OA ＝3，∴ME ＝OM 2－OE 2＝32－52＝2.∴MN ＝2ME ＝4.12．(2011·江西)如图，已知⊙O 的半径为2，弦BC 的长为2 3，点A 为弦BC 所对优弧上任意一点(B 、C 两点除外)．(1)求∠BAC 的度数；(2)求△ABC 面积的最大值．(参考数据：sin60°＝32，cos30°＝32，tan30°＝33.)解 (1) 解法一：连接OB 、OC ，过O 作OE ⊥BC 于点E(如图)．∵OE ⊥BC ，BC ＝2 3， ∴BE ＝EC ＝ 3.在Rt △OBE 中，OB ＝2，∵sin ∠BOE ＝BE OB ＝32，∴∠BOE ＝60°， ∴∠BOC ＝120°，∴∠BAC ＝12∠BOC ＝60°.解法二：连接BO 并延长，交⊙O 于点D ，连接CD.(如图)∵BD 是直径，∴BD ＝4，∠DCB ＝90°. 在Rt △DBC 中，sin ∠BDC ＝BC BD ＝2 34＝32，∴∠BDC ＝60°，∴∠BAC ＝∠BDC ＝60°.(2)因为△ABC 的边BC 的长不变，所以当BC 边上的高最大时，△ABC 的面积最大，此时点A 落在优弧BC 的中点处．如图，过O 作OE ⊥BC 于E ，延长EO 交⊙O 于点A ，则A 为优弧BC 的中点．连接AB 、AC ，则AB ＝AC ，∠BAE ＝12∠BAC ＝30°.在Rt △ABE 中，∵BE ＝3，∠BAE ＝30°，∴AE ＝BEtan 30°＝3，∴S △ABC ＝12×2 3×3＝3 3.答：△ABC 面积的最大值是3 3. 13．(2011·德州) ●观察计算当a ＝5，b ＝3时， a ＋b2与ab 的大小关系是__________________；当a ＝4，b ＝4时， a ＋b2与ab 的大小关系是__________________．●探究证明如图所示，△ABC 为圆O 的内接三角形，AB 为直径，过C 作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝a ，BD ＝b.(1)分别用a 、b 表示线段OC 、CD ；(2)探求OC 与CD 表达式之间存在的关系(用含a 、b 的式子表示)． ●归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出a ＋b2与ab 的大小关系是：________________________.●实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．解观察计算： a ＋b 2>ab ；a ＋b2＝ab. 探究证明：(1)∵AB ＝AD ＋BD ＝2OC ，∴OC ＝a ＋b 2.∵AB 为⊙O 直径， ∴∠ACB ＝90°.∵∠A ＋∠ACD ＝90°，∠ACD ＋∠BCD ＝90°， ∴∠A ＝∠BCD. ∴△ACD ∽△CBD. ∴AD CD ＝CD BD . 即CD 2＝AD·BD ＝ab ， ∴CD ＝ab.(2)当a ＝b 时，OC ＝CD, a ＋b2＝ab ；a≠b 时，OC>CD, a ＋b2>ab.结论归纳： a ＋b2≥ab.实践应用：设长方形一边长为x 米，则另一边长为1x 米，设镜框周长为l 米，则l ＝2(x ＋1x ) ≥4x·1x＝4 . 当x ＝1x，即x ＝1(米)时，镜框周长最小．此时四边形为正方形时，周长最小为4 米．14．(2011·肇庆)已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连接AD.(1)求证：∠DAC ＝∠DBA ； (2)求证：P 是线段AF 的中点；(3)若⊙O 的半径为5，AF ＝152，求tan ∠ABF 的值．解 (1)证明：∵BD 平分∠CBA ，∴∠CBD ＝∠DBA.∵∠DAC 与∠CBD 都是弧CD 所对的圆周角， ∴∠DAC ＝∠CBD. ∴∠DAC ＝∠DBA.(2)证明：∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°. 又∵DE ⊥AB 于点E ，∴∠DEB ＝90°. ∴∠ADE ＋∠EDB ＝∠ABD ＋∠EDB ＝90°. ∴∠ADE ＝∠ABD ＝∠DAP.∴PD ＝PA.又∵∠DFP ＋∠DAC ＝∠ADE ＋∠PDF ＝90°，且∠ADE ＝∠DAC ，∴∠PDF ＝∠PFD ，∴PD ＝PF.∴PA ＝PF ，即P 是线段AF 的中点．(3)解：∵∠DAF ＝∠DBA ，∠ADB ＝∠FDA ＝90°， ∴△FDA ∽△ADB ， ∴AD DB ＝AF AB. ∴在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝AD DB ＝AF AB ＝15210＝34，即tan ∠ABF ＝34.15．(2011·广州)如图1，⊙O 中AB 是直径，C 是⊙O 上一点，∠ABC ＝45°，等腰直角三角形DCE 中∠DCE 是直角，点D 在线段AC 上．(1)证明：B 、C 、E 三点共线；(2)若M 是线段BE 的中点，N 是线段AD 的中点，证明：MN ＝2OM ；(3)将△DCE 绕点C 逆时针旋转α(00<α<900)后，记为△D 1CE 1(图2)，若M 1是线段BE 1的中点，N 1是线段AD 1的中点，M 1N 1＝2OM 1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．解 (1)证明：∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ACB ＝90°. ∵ ∠DCE ＝90°，∴∠ACB ＋∠DCE ＝180°， ∴ B 、C 、E 三点共线．(2)证明：如图，连接ON 、AE 、BD ，延长BD 交AE 于点F.∵ ∠ABC ＝45°，∠ACB ＝90°，∴ BC ＝AC. 又∠ACB ＝∠DCE ＝90°，DC ＝EC ， ∴ △BCD ≌△ACE.∴ BD ＝AE ，∠DBC ＝∠CAE.∴∠DBC ＋∠AEC ＝∠CAE ＋∠AEC ＝90°. ∴ BF ⊥AE.∵ AO ＝OB ，AN ＝ND ，∴ ON ＝12BD ，ON ∥BD.∵ AO ＝OB ，EM ＝MB ，∴ OM ＝12AE ，OM ∥AE.∴ OM ＝ON ，OM ⊥ON. ∴ ∠OMN ＝45°.又 cos ∠OMN ＝OMMN ，∴ MN ＝2OM.(3) M 1N 1＝2OM 1成立，证明同(2)。

2024年中考数学总复习考点培优训练第六章第一节圆的基本性质

A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
第1题图
第2题图
第一节圆的基本性质
3. 数学文化 (2023岳阳)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸，欲为方版，令厚七寸，
问广几何？”结合题图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为
25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸，则BC的长是( C )
第12题图
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝ AC2 BC2 ＝10.
∵OD⊥AC，OA＝OC，
∴AE＝CE＝
1 2
AC＝4.
第10题解图
第一节圆的基本性质
∵OA＝OB，∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝
1 2
BC＝3.
由于PQ过圆心O，且PQ⊥AC，
48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为( A )
A. 32° B. 42°
C. 48° D. 52°
6. (2023泰安)如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，
∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是( A )
A. 25°
B. 30° C. 35° D. 40°
7. (2023巴中)如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠C＝25°，则
第9题图
第一节圆的基本性质
10. (2022广州)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC＝8， BC＝6. (1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧 AC于点D，连接CD( 保留作图痕迹，不写作法)；
第10题图
第一节圆的基本性质
【作法提示】分别以点A，C为圆心，大于 1 AC为半径画弧，在

中考数学第六章圆

考点
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
1.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等 ,所对的弦相等,所对弦的弦心距相等.
2.推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中, 有一组量相等,那么其余各组量都分别相等.可简记为:在同圆或等圆中,圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等. 注意 :(1)定理( 推论)成立的前提条件是 “在同圆或等圆中” ,缺少这一前提条件定理 (推论 )不成立.(2) 在这个推论中,四组量中只要有一组量“ 不等” ,其余各组量也“ 不等” .
=12lr
AB
所对的圆心角
的度数,l 是扇形 OAB 的弧长.
概念
一个四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆的内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.
圆内接四边形的对角
定理
互补 ,且任何一个外角
都等于它的内对角 .
∠A+∠BCD= 180° , ∠B+∠D= 180° , ∠DCE= ∠A
PART 02
方法
考点
考点1 考点2 考点3 考点4 考点5
圆周角定理及其推论
定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 .
常见图形
结论推论
∠ ACB= 1.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角
1 AOB 2
相等 ,相等的圆周角所对的弧也相等 .
2.半圆或直径所对的圆周角是直角 ;90°的圆周角所对的弦是直径 .
a R2-( 2 )2
na 12nar

中考数学复习《圆》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《圆》经典题型及测试题（含答案）【专题分析】圆在中考中的常见考点有圆的性质及定理，圆周角定理及其推论，圆心角、圆周角、弧、弦之间的“等推”关系；切线的判定，切线的性质，切线长定理，弧长及扇形面积的计算，求阴影部分的面积等．对圆的考查在中考中以客观题为主，考查题型多样，关于圆的基本性质一般以选择题或填空题的形式进行考查，切线的判定等综合性强的问题一般以解答题的形式进行考查；圆在中考中的比重约为10%～15%.【解题方法】解决圆的有关问题常用的数学思想就是转化思想，方程思想和数形结合思想；常用的数学方法有分类讨论法，设参数法等．【知识结构】【典例精选】如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连结OP，若OP ＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为( )A．2 5 B. 5C．213 D. 13【思路点拨】先过点O作OC⊥AP，连结OB，根据OP＝4，∠APO＝30°，求出OC的值，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出BC的值，进而得出AB的值．【解析】如图，过点O作OC⊥AP于点C，连结OB，∵OP＝4，∠APO＝30°，∴OC＝4×sin 30°＝2.∵OB＝3，∴BC＝OB2－OC2＝32－22＝5，∴AB＝2 5.故选A.答案：A规律方法：利用垂径定理进行证明或计算，通常是在半径、圆心距和弦的一半所组成的直角三角形中，利用勾股定理构建方程求出未知线段的长.如图，从一块直径是8 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是( )A．4 2 m B．5 m C. 30 m D．215 m【思路点拨】首先连结AO，求出AB，然后求出扇形的弧长BC，进而求出扇形围成的圆锥的底面半径，最后应用勾股定理求出圆锥的高即可．【解析】如图，连结AO，∵AB＝AC，点O是BC的中点，∴AO⊥BC.又∵∠BAC＝90°，∴∠ABO＝∠ACO＝45°，∴AB＝2OB＝2×(8÷2)＝42(m)．∴l BC＝90π×42180＝22π(m)．∴将剪下的扇形围成的圆锥形的半径是22π÷2π＝2(m)．∴圆锥的高是422－22＝30(m)．故选C.答案：C规律方法：解决圆锥的相关问题，可以利用圆的周长等于扇形的弧长建立方程，利用方程解决问题.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以E为圆心、ED 为半径作半圆，交A，B所在的直线于M，N两点，分别以MD，ND为直径作半圆，则阴影部分的面积为( )A．9 5 B．18 5 C．36 5 D．72 5【思路点拨】根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积＋△DMN 的面积－大半圆的面积，MN为半圆的直径，从而可知∠MDN＝90°，在Rt△MDN 中，由勾股定理可知MN2＝MD2＋DN2，从而可得到两个小半圆的面积＝大半圆的面积，故此阴影部分的面积＝△DMN的面积，在Rt△AED中，ED＝AD2＋AE2＝62＋32＝35，所以MN＝65，然后利用三角形的面积公式求解即可．【解析】根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积＋△DMN的面积－大半圆的面积．∵MN为大半圆的直径，∴∠MDN＝90°.在Rt△MDN中，MN2＝MD2＋DN2，∴两个小半圆的面积和＝大半圆的面积．∴阴影部分的面积＝△DMN 的面积．在Rt△AED中，ED＝AD2＋AE2＝62＋32＝35，∴阴影部分的面积＝△DMN的面积＝12MN·AD＝12×65×6＝18 5.故选B.答案：B规律方法：求阴影部分的面积，一般是将所求阴影部分进行分割组合，转化为规则图形的和或差.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D，连结CD.(1)求证：∠A＝∠BCD.(2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．【思路点拨】(1)根据圆周角定理可得∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质可得∠A＋∠ACD＝90°，再由∠DCB＋∠ACD＝90°，可得∠A＝∠BCD；(2)当点M是BC的中点时，直线DM与⊙O相切．连结DO，证明∠ODM ＝90°，进而证得直线DM与⊙O相切．【自主解答】(1)证明：∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD.(2)解：当点M是BC的中点时，直线DM与⊙O相切．理由如下：如图，连结DO，∵DO＝CO，∴∠1＝∠2.∵∠BDC＝90°，点M是BC的中点，∴DM＝CM，∴∠4＝∠3.∵∠2＋∠4＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∴直线DM与⊙O相切．规律方法：在判定一条直线是圆的切线时，如果这条直线和圆有公共点，常作出经过公共点的半径，证明这条直线与经过公共点的半径垂直，概括为“连半径，证垂直，得切线”.【能力评估检测】一、选择题1．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AE是⊙O的切线，A为切点，连结BC并延长交AE于点D.若∠AOC＝80°，则∠ADB的度数为( B )A．40° B．50° C．60° D．20°2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为( C )A. 3 B．3 C．2 3 D．43．如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC＝50°，则∠OAB的度数为( A )A．25° B．50° C．60° D．30°4.如图，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB＝2，AD＝1，P点在切线CD上移动．当∠APB的度数最大时，则∠ABP 的度数为( B )A．15° B．30° C．60° D．90°5．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心、AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形DAB的面积为( D )A．6 B．7 C．8 D．96．如图，已知AB为⊙O的直径，AD切⊙O于点A，EC＝CB.则下列结论中不一定正确的是( D )A．BA⊥DA B．OC∥AEC．∠COE＝2∠CAE D．OD⊥AC7．如图，菱形ABCD的对角线BD，AC分别为2，23，以B为圆心的弧与AD，DC相切，则阴影部分的面积是( D )A．23－33π B．43－33πC．43－π D．23－π8．如图，正六边形ABCDEF是边长为2 cm的螺母，点P是FA延长线上的点，在A，P之间拉一条长为12 cm的无伸缩性细线，一端固定在点A，握住另一端点P拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，则点P运动的路径长为( B )A ．13π cmB ．14π cmC ．15π cmD ．16π cm9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，切点为N ，则DM 的长为( )A. 133B. 92C. 4313 D ．2 5 解：如图，连接OE ，OF ，ON ，OG .∵AD ，AB ，BC 分别与⊙O 相切于E ，F ，G 三点，∴∠AEO ＝∠AFO ＝∠OFB ＝∠BGO ＝90°.∴四边形AFOE ，FBGO 都是正方形．∴AF ＝BF ＝AE ＝BG ＝2.∴DE ＝3.∵DM 是⊙O 的切线，∴DN ＝DE ＝3，MN ＝MG . ∴CM ＝5－2－MN ＝3－MN .在Rt △DMC 中，DM 2＝CD 2＋CM 2，∴(3＋MN )2＝(3－MN )2＋42.∴NM ＝43.∴DM ＝3＋43＝133.故选A. 答案：A二、填空题10．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，则直线y ＝x ＋2与以O 点为圆心，1为半径的圆的位置关系为相切．11．如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E ，F ，且∠A ＝55°，∠E ＝30°，则∠F ＝40° .12．如图，正三角形ABC 的边长为2，点A ，B 在半径为2的圆上，点C 在圆内，将正三角形ABC 绕点A 逆时针旋转，当点C 第一次落在圆上时，点C 运动的路线长为 .【解析】设点C 落在圆上的点为C ′，连结OA ，OB ，OC ′，则OA ＝OB ＝ 2.又∵AB ＝2，∴OA 2＋OB 2＝AB 2，∴∠AOB ＝90°，∴∠OAB ＝45°，同理∠OAC ′＝45°，∴∠BAC ′＝90°.∵△ABC 为等边三角形，∴∠CAB ＝60°，∴∠CAC ′＝30°，∴点C 运动的路线长为30π×2180＝π3.故答案为π3. 答案：π3 13．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝2 cm ，将△ABC 绕顶点C按顺时针方向旋转45°至△A 1B 1C 的位置，则线段AB 扫过区域(图中的阴影部分)的面积为 cm 2.【解析】在Rt△ABC 中，BC ＝AC 2＋AB 2＝29(cm)，S 扇形BCB 1＝45π×292360＝29π8(cm 2)，S △CB 1A 1＝12×5×2＝5(cm 2)，S 扇形CAA 1＝45π×22360＝π2(cm 2)，故S 阴影部分＝S 扇形BCB 1＋S △CB 1A 1－S △ABC －S 扇形CAA 1＝29π8＋5－5－π2＝25π8(cm 2). 答案：25π8三、解答题14．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 切⊙O于点B ，OC 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结AC ，与DE 交于点P .求证：(1)PE ＝PD ；(2)AC ·PD ＝AP ·BC .证明：(1)∵AB 是⊙O 的直径，BC 是切线，∴AB ⊥BC ，∵DE ⊥AB ，∴DE ∥BC ，∴△AEP ∽△ABC ，∴EP BC ＝AE AB .又∵AD ∥OC ，∴∠DAE ＝∠COB ，∴△AED ∽△OBC ，∴ED BC ＝AE OB ＝AE 12AB ＝2AE AB .∴ED ＝2EP ，∴PE ＝PD . (2)∵AB 是⊙O 的直径，BC 是切线，∴AB ⊥BC ，∵DE ⊥AB ，∴DE ∥BC ，∴△AEP ∽△ABC ，∴AP AC ＝PE BC .∵PE ＝PD ，∴AP AC ＝PD BC，∴AC ·PD ＝AP ·BC . 15．如图，在△OAB 中，OA ＝OB ＝10，∠AOB ＝80°，以点O 为圆心，6为半径的优弧MN 分别交OA ，OB 于点M ，N .(1)点P 在右半弧上(∠BOP 是锐角)，将OP 绕点O 逆时针旋转80°得OP ′，求证：AP ＝BP ′；(2)点T 在左半弧上，若AT 与弧相切，求点T 到OA 的距离；(3)设点Q 在优弧MN 上，当△AOQ 的面积最大时，直接写出∠BOQ 的度数．(1)证明：如图，∵∠AOP＝∠AOB＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∠BOP′＝∠POP′＋∠BOP＝80°＋∠BOP，∴∠AOP＝∠BOP′.又∵OA＝OB，OP＝OP′，∴△AOP≌△BOP′.∴AP＝BP′.(2)解：如图，连结OT，过点T作TH⊥OA于点H.∵AT与MN相切，∴∠ATO＝90°.∴AT＝OA2－OT2＝102－62＝8.∵12OA·TH＝12AT·OT，即12×10×TH＝12×8×6，∴TH＝245，即点T到OA的距离为245.(3)10°，170°.16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D.以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D.(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AC＝3，∠B＝30°.①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积(结果保留根号和π)．解：(1)直线BC与⊙O相切．理由如下：如图，连结OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠BAC的角平分线AD交BC边于点D，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC.∴直线BC与⊙O相切．(2)①设OA＝OD＝r，∵在Rt△BDO中，∠B＝30°，∴OB＝2r，∴在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝6，∴3r＝6，解得r＝2.②∵在Rt△ODB中，∠B＝30°，∴∠BOD＝60°，∴S扇形ODE＝60π×22360＝23π，∴阴影部分面积为S△BOD－S扇形ODE＝23－23π.11。

中考数学考前热点聚焦《第26讲圆的有关性质》（单课考点聚焦+热考精讲+知识点归类）课件沪科版

推论中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分
别相等
第26讲┃ 考点聚焦考点5 圆周角
圆周角定义
圆周角定理推论 1
推论 2
推论 3
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角__相__等____，都等于该弧所对的圆心角的__一__半____ 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧__相__等__ 半圆(或直径)所对的圆周角是__直__角__；90°的圆周角所对的弦是__直__径__ 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是__直__角____三角形
角形全等．(3)由∠ACB＝90°，AC＝
1 2
AB，可求得∠ABC的度
数，利用同弧所对的圆周角相等得∠P＝∠A＝60°，通过证 △PCB为等边三角形，由CD⊥PB，即可求出∠BCD的度数．
第26讲┃ 归类示例
解：(1)证明：∵AB为直径， ∴∠ACB＝∠D＝90°.
又∵∠CAB＝∠DPC， ∴△PCD∽△ABC. (2)如图，当点P运动到PC为直径时， △PCD≌△ABC. 理由如下：∵PC为直径， ∴∠PBC＝90°，则此时D与B重合， ∴PC＝AB，CD＝BC，故△PCD≌△ABC.
第26讲┃ 考点聚焦考点2 确定圆的条件及相关概念
确定圆的条件
不在同一直线的三个点确定一个圆
三角形的三角形三边_垂___直__平__分__线___的交点，即三角形外
外心接圆的圆心
锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角
防错提醒形的外心在直角三角形的斜边上，钝角三角形
的外心在三角形的外部
第26讲┃ 考点聚焦
考点3 垂径定理及其推论

2024中考数学一轮考点圆的基本性质(学生版)

考点24圆的基本性质在中考数学中，圆的基本性质在小题中通常考察圆的基本概念、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形、弧长与扇形面积等基础考点，难度一般在中档及以下；而在简答题中，圆的基本性质还可以和相似、三角形函数、特殊四边形等结合出题，难度中等或偏上。

而且，圆的基本性质也是中考数学中比较有自我特征的一个考点，主要表现在：当其他考点和圆结合的时候，很多结论的产生可能会更依赖于圆的性质。

所以，考生在复习这块考点的时候，要充分掌握圆的基本性质的各个概念、性质以及推论，才能在后续的结合问题中更好的举一反三。

一、圆的有关概念二、垂径定理及其推论三、圆周角定理及其推论四、圆内接四边形及其综合考向一：圆的有关概念1.圆的有关概念2.圆的有关计算公式常用公式：1．有下列四种说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中，错误的说法有（）A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种2．一个扇形的弧长是2π，半径是4，则该扇形的圆心角的度数是（）A ．45°B ．90°C ．120°D ．180°3．一个扇形的半径是3，面积为6π，那么这个扇形的圆心角是（）A ．260°B ．240°C ．140°D ．120°4．已知圆的半径为6，120°的圆心角所对的弧长是（）A ．2πB ．4πC ．6πD ．12π5．已知⊙O 的半径是3cm ，则⊙O 中最长的弦长是．Lr r n S r n L 213601802===π，π扇形三角形扇形弓形S S S ±=6．已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则该圆锥的侧面积为．7．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝6，扇形AEF的半径为6，圆心角为60°，则阴影部分的面积是．考向二：垂径定理及其推论一．垂径定理及其推论垂径定理垂直于弦的直径必平分弦，并且平分弦所对的弧推论平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧平分弧的直径。

中考数学第一部分考点研究复习第六章圆第26课时圆的基本性质真题精选(含解析)(2021

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第六章圆第26课时圆的基本性质江苏近4年中考真题精选命题点1 错误!(2016年7次,2015年16次，2014年12次，2013年8次）1. (2013淮安8题3分)如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠OBC＝50°,则∠A的度数是( )A. 40°B. 50°C. 80°D. 100°第1题图第2题图2。

（2013苏州7题3分）如图，AB是半圆的直径，点D是错误!的中点,∠ABC＝50°，则∠DAB 等于( )A. 55°B. 60° C。

65° D。

70°3. （2016常州5题2分)如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM＝8 cm,ON＝6 cm，则该圆玻璃镜的半径是（)第3题图A。

10 cm B. 5 cm C。

6 cm D。

10 cm(2013～4。

（2016扬州16题3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC长为________．第4题图第5题图5. （2016连云港14题3分）如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7、A7A10,则∠A3A7A10＝______°。

2024年中考数学总复习第一部分考点梳理第六章圆第1节圆的基本性质

第六章圆第1节圆的基本性质考情分析导航命题点年份题型、题序考查内容分值2024年预测圆的弧长、圆心角、圆周角、垂径定理2023 解答题第23题涉及垂径定理、菱形判定、等边三角形的判定和性质、相似三角形12分★★★★2022 解答题第23题涉及圆的切线、圆周角定理,等边三角形判定与性质,与圆的相关计算12分★★★★2021 解答题第23题圆周角定理12分★★★知识清单必备知识点知识点解读圆的对称性轴对称性圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴中心对称性圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心旋转不变性圆围绕圆心旋转任意角度都能与自身重合弧、弦、圆心角之间的关系(1)定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.(2)推论:同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也分别相等垂径定理及其推论(1)定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.(2)推论:①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;③平分弦所对的弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧圆周角定理及其推论(1)定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.(2)推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径圆内接四边形性质(1)圆内接四边形的对角互补.(2)圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角)高频考点研析考点一圆周角定理及其推论【例1】(2023·牡丹江)如图,A,B,C为☉O上的三个点,∠AOB=4∠BOC,若∠ACB=60°,则∠BAC的度数是(C)A.20°B.18°C.15°D.12°【例2】(2023·深圳)如图,在☉O中,AB为直径,C为圆上一点,∠BAC的平分线与☉O交于点D,若∠ADC=20°,则∠BAD=35°.【变式】1.(2023·眉山)如图,AB切☉O于点B,连接OA交☉O于点C,BD∥OA交☉O于点D,连接CD,若∠OCD=25°,则∠A的度数为(C)A.25°B.35°C.40°D.45°1题图2题图2.(2023·随州)如图,在☉O中,OA⊥BC,∠AOB=60°,则∠ADC的度数为30°.⏜的中点.若∠BAC=35°,则∠AOB等于3.(2023·宜宾)如图,已知点A,B,C在☉O上,C为AB(A)A.140°B.120°C.110°D.70°3题图4题图4.(2023·烟台)如图,将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放,直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A,B,C,D,连接AB,则∠BAD的度数为52.5°.考点二直径、圆周角、弦关系【例3】(2023·自贡)如图,△ABC内接于☉O,CD是☉O的直径,连接BD,∠DCA=41°,则∠ABC的度数是(C)A.41°B.45°C.49°D.59°【例4】(2023·成都)如图,以△ABC的边AC为直径作☉O,交BC边于点D,过点C作CE∥AB 交☉O于点E,连接AD,DE,∠B=∠ADE.(1)求证:AC=BC;(2)若tan B=2,CD=3,求AB和DE的长.【解析】见全解全析【考点小结】熟练掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径是解决此类题型的关键.【变式】1.(2023·营口)如图所示,AD是☉O的直径,弦BC交AD于点E,连接AB,AC,若∠BAD=30°,则∠ACB的度数是(D)A.50°B.40°C.70°D.60°1题图2题图⏜=BC⏜,AD与CO交于点E,∠DAB=30°.若AO=√3, 2.如图,AB为☉O的直径,点C,D在☉O上,AC则CE的长为(C)A.1B.√3C.√3-1D.2√3-22考点三垂径定理【例5】(2023·广西)赵州桥是当今世界上建造最早,保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图,主桥拱呈圆弧形,跨度约为37 m,拱高约为7 m,则赵州桥主桥拱半径R约为(B)A.20 mB.28 mC.35 mD.40 m【例6】(2023·永州)如图,☉O是一个盛有水的容器的横截面,☉O的半径为10 cm,水的最深处到水面AB的距离为4 cm,则水面AB的宽度为16cm.【考点小结】本题考查垂径定理,勾股定理知识,关键在于合理运用垂径定理和勾股定理求出边的长度.【变式】1.(2023·宜昌)如图,OA,OB,OC都是☉O的半径,AC,OB交于点D.若AD=CD=8,OD=6,则BD的长为(B)A.5B.4C.3D.22.(2023·凉山州)如图,在☉O中,OA⊥BC,∠ADB=30°,BC=2√3,则OC= (B)A.1B.2C.2√3D.42题图3题图3.(2022·泸州)如图,AB是☉O的直径,OD垂直于弦AC于点D,DO的延长线交☉O于点E.若AC=4√2,DE=4,则BC的长是 (C)A.1B.√2C.2D.4考点四圆内接四边形的性质【例7】(2023·赤峰)如图,圆内接四边形ABCD中,∠BCD=105°,连接OB,OC,OD,BD,∠BOC=2∠COD.则∠CBD的度数是(A)A.25°B.30°C.35°D.40°【考点小结】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理,掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.【变式】1.(2022·株洲)如图所示,等边△ABC的顶点A在☉O上,边AB,AC与☉O分别交于点D,E,点F 是劣弧DE上一点,且与D,E不重合,连接DF,EF,则∠DFE的度数为(C)A.115°B.118°C.120°D.125°1题图2题图2.(2022·南京)如图,四边形ABCD内接于☉O,它的3个外角∠EAB,∠FBC,∠GCD的度数之比为1∶2∶4,则∠D=72°.。

2024年中考数学复习(全国版)第六章圆(测试)(解析版)

在 Rt △ 푂� 中，∵ ∠푂 � = 90°，
∴ 푂�2 = � 2 + 푂 2，
∴ �2 = 122 + (� − 8)2，
∴ � = 13，
即⊙ 푂的半径푂�为 13cm．故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设⊙ 푂的半径푂�为�cm，列出关于�的方程是解题的关
键． 5．【创新题】如图，� 是⊙ 푂的直径，弦则下列结论一定成立的是（）
��，
故选 A
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，掌握内切圆的性质是解题的关键．
7．【创新题】如图，△ � 的内切圆⊙ �与， �，� 分别相切于点 D，E，F，若⊙ �的半径为 r，∠� = �，
在�푡훥 푂中，푂 = ，∠�푂 = ∠�
D．�△ 푂 =
∴tan�= 푂
∴푂 = tan� = 2tan�，故选项 A 错误，不符合题意；
又 sin� = 푂
∴ = 푂 ·sin�
∴ = 2 = 2 ·sin�，故选项 B 正确，符合题意；
又
cos�
=
푂 푂
∴푂 = 푂 ·cos� = ·cos�
径定理和锐角三角函数的定义．
6．已知△ � 的周长为�，其内切圆的面积为��2，则△ � 的面积为（）
A．12 ��
B．12 ��
C．��
D．��
【答案】A
【分析】由题意可得�△�푂
=
1 2
�
×푂
=
1 2
�
× �，�△ 푂
=
1 2
× �，�△�푂
=
1 2
�
× �，由面
积关系可求解．
【详解】解：如图，设内切圆푂与△ � 相切于点，点，点�，连接푂�，푂 ，푂 ，푂 ，푂�，푂 ，

备战中考数学分点透练真题圆的基本性质(解析版)

第二十讲圆的基本性质命题点1 圆周角定理及其推论有关的计算1．（2021•长沙）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（）A．27°B．108°C．116°D．128°【答案】B【解答】解：∵∠A＝54°，∴∠BOC＝2∠A＝108°，故选：B．2．（2021•重庆）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝20°，则∠B的度数为（）A．70°B．90°C．40°D．60°【答案】A【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵∠A＝20°，∴∠B＝90°﹣∠A＝70°，故选：A．3．（2021•嘉峪关）如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB＝CD，∠AOB＝42°，则∠CED ＝（）A．48°B．24°C．22°D．21°【答案】D【解答】解：连接OC、OD，∵AB＝CD，∠AOB＝42°，∴∠AOB＝∠COD＝42°，∴∠CED＝∠COD＝21°．故选：D．4．（2021•邵阳）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】B【解答】解：∵∠BAC与∠BOC所对弧为，由圆周角定理可知：∠BOC＝2∠BAC＝60°，又∠AOC＝90°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°．故选：B．5．（2021•武汉）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将沿BC翻折交AB于点D，再将沿AB翻折交BC于点E．若＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（）A．21.9°＜α＜22.3°B．22.3°＜α＜22.7°C．22.7°＜α＜23.1°D．23.1°＜α＜23.5°【答案】B【解答】解：如图，连接AC，CD，DE．∵＝，∴ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD＝α，∵＝＝，∴AC＝CD＝DE，∴∠DCE＝∠DEC＝∠EDB+∠EBD＝2α，∴∠CAD＝∠CDA＝∠DCE+∠EBD＝3α，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°，∴4α＝90°，∴α＝22.5°，故选：B．6．（2021•宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE＝．【答案】13°【解答】解：如图，连接DC，∵∠DBC＝90°，∴DC是⊙O的直径，∵点B是的中点，∴∠BCD＝∠BDC＝45°，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，∴∠ACB＝90°﹣32°＝58°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝58°﹣45°＝13°＝∠ABE，故答案为：13°．7．（2021•安徽）如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O．若∠A＝60°，∠B＝75°，则AB＝．【答案】【解答】解：如图，连接OA，OB，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝45°，∴∠AOB＝90°，∵OA＝OB，∴△OAB是等腰直角三角形，∴AB＝OA＝．故答案为：．8．（2021•烟台）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB的值是．【答案】【解答】解：如图，连接AO并延长交⊙O于D，由圆周角定理得：∠ACB＝∠ADB，由勾股定理得：AD＝＝2，∴sin∠ACB＝sin∠ADB＝＝＝，故答案为：．命题点2 垂径定理及其推论类型一垂径定理及其推论有关的计算9．（2021•丽水）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，连结OC，OD．若⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，则下列结论一定成立的是（）A．OE＝m•tanαB．CD＝2m•sinαC．AE＝m•cosαD．S△COD＝m2•sinα【答案】B【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥OA于点E，∴DE＝CD，在Rt△EDO中，OD＝m，∠AOD＝∠α，∴tanα＝，∴OE＝＝，故选项A不符合题意；∵AB是⊙O的直径，CD⊥OA，∴CD＝2DE，∵⊙O的半径为m，∠AOD＝∠α，∴DE＝OD•sinα＝m•sinα，∴CD＝2DE＝2m•sinα，故选项B正确，符合题意；∵cosα＝，∴OE＝OD•cosα＝m•cosα，∵AO＝DO＝m，∴AE＝AO﹣OE＝m﹣m•cosα，故选项C不符合题意；∵CD＝2m•sinα，OE＝m•cosα，∴S△COD＝CD×OE＝×2m•sinα×m•cosα＝m2sinα•cosα，故选项D不符合题意；故选：B．10．（2021•营口）如图，⊙O中，点C为弦AB中点，连接OC，OB，∠COB＝56°，点D 是上任意一点，则∠ADB度数为（）A．112°B．124°C．122°D．134°【答案】B【解答】解：作所对的圆周角∠APB，如图，∵C为AB的中点，OA＝OB，∴OC⊥AB，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝56°，∴∠APB＝∠AOB＝56°，∵∠APB+∠ADB＝180°，∴∠ADB＝180°﹣56°＝124°．故选：B．11．（2021•凉山州）点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】B【解答】解：如图所示，CD⊥AB于点P．根据题意，得：AB＝10cm，CD＝6cm．∵AB是直径，且CD⊥AB，∴CP＝CD＝3cm．根据勾股定理，得OP＝＝＝4（cm）．故选：B．12．（2021•黄冈）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，垂足为点D，AE，CB的延长线交于点F．若OD＝3，AB＝8，则FC的长是（）A．10B．8C．6D．4【答案】A【解答】解：由题知，AC为直径，∴∠ABC＝90°，∵OE⊥AB，∴OD∥BC，∵OA＝OC，∴OD为三角形ABC的中位线，∴AD＝AB＝×8＝4，又∵OD＝3，∴OA＝＝＝5，∴OE＝OA＝5，∵OE∥CF，点O是AC中点，∴OE是三角形ACF的中位线，∴CF＝2OE＝2×5＝10，故选：A．13．（2021•广东）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（）A．B．2C．1D．2【答案】B【解答】解：如图，过点D作DT⊥AB于T．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴DC⊥BC，∵DB平分∠CBA，DC⊥BC，DT⊥BA，∴DC＝DT＝1，∵AC＝3，∴AD＝AC﹣CD＝2，∴AD＝2DT，∴∠A＝30°，∴AB＝＝＝2，解法二：AD＝2DT由此处开始，可以在Rt△ADT中用勾股定理得AT＝，再由垂径定理可得AB＝2AT得解．故选：B．14．（2021•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为．【答案】2【解答】解：设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，如图：在y＝x+中，令x＝0得y＝,∴C(0,),OC＝,在y＝x+中令y＝0得x+＝0,解得x＝﹣2,∴A(﹣2,0),OA＝2,Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝＝,∴∠CAO＝30°，Rt△AOD中，AD＝OA•cos30°＝2×＝，∵OD⊥AB，∴AD＝BD＝，∴AB＝2，故答案为：2．类型二垂径定理的实际应用15．（2021•青海）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB＝16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）A．1.0厘米/分B．0.8厘米/分C．1.2厘米/分D．1.4厘米/分【答案】A【解答】解：设“图上”圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于D，如图所示：∵AB＝16厘米，∴AD＝AB＝8（厘米），∵OA＝10厘米，∴OD＝＝＝6（厘米），∴海平线以下部分的高度＝OA+OD＝10+6＝16（厘米），∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为16分钟，∴“图上”太阳升起的速度＝16÷16＝1.0（厘米/分），故选：A．16．（2021•恩施州）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）答：圆材直径寸．【答案】26【解答】解：过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆于点D，连接OA，如图：∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB，．则CD＝1寸，AC＝BC＝AB＝5寸．设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣1）寸．在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13．∴圆材直径为2×13＝26（寸）．故答案为：26．命题点3 圆内接四边形17．（2021•吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（）A．30°B．45°C．50°D．65°【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B＝120°，∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，∵∠APC为△PCD的外角，∴∠APC＞∠D，只有D满足题意．故选：D．18．（2021•泰安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为（）A．2﹣2B．3﹣C．4﹣D．2【答案】C【解答】解：延长AD、BC交于E，∵∠BCD＝120°，∴∠A＝60°，∵∠B＝90°，∴∠ADC＝90°，∠E＝30°，在Rt△ABE中，AE＝2AB＝4，在Rt△CDE中，DE＝＝，∴AD＝AE﹣DE＝4﹣，故选：C．19．（2021•苏州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE ＝AB，连接ED．（1）求证：BD＝ED；（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值．【答案】（1）略（2）tan∠DCB＝【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝∠DCE，∵∠1＝∠2，∴＝，∴AD＝DC，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△CED（SAS），∴BD＝ED；（2）解：过点D作DM⊥BE于M，∵AB＝4，BC＝6，CE＝AB，∴BE＝BC+EC＝10，∵BD＝ED，DM⊥BE，∴BM＝ME＝BE＝5，∴CM＝BC﹣BM＝1，∵∠ABC＝60°，∠1＝∠2，∴∠2＝30°，∴DM＝BM•tan∠2＝5×＝，∴tan∠DCB＝＝．20．（2021秋•越秀区校级期中）已知：在圆O内，弦AD与弦BC交于点G，AD＝CB，M，N分别是CB和AD的中点，联结MN，OG．（1）求证：OG⊥MN；（2）联结AC，AM，CN，当CN∥OG时，求证：四边形ACNM为矩形．【答案】（1）略（2）四边形AMNC是矩形．【解答】（1）证明：如图，连接OM，ON，OB，OD．∵M，N分别是CB和AD的中点∴OM⊥CB，ON⊥AD，∵AD＝BC，∴BM＝DN，在Rt△OMB和Rt△OND中，，∴Rt△OMB≌Rt△OND（HL），∴OM＝ON，在Rt△OMG和Rt△ONG中，∴Rt△OMG≌Rt△ONG（HL），∴GM＝GN，∵OM＝ON，∴OG⊥MN；（2）证明：∵OG⊥MN，CN∥OG，∴CN⊥MN，∴∠MNC＝90°，∵GM＝GN，∴∠GMN＝∠GNM，∵∠GMN+∠GCN＝90°，∠GNM+∠GNC＝90°，∴∠GCN＝∠GNC，∴GC＝GN，∵CM＝CB，AN＝AD，BC＝AD，∴CM＝AN，∴AG＝CG，∴AG＝GN＝CG＝GM，∴四边形AMNC是平行四边形，∵AN＝CM，∴四边形AMNC是矩形．。

中考数学圆精讲及习题(附答案)

中考数学《圆》知识详解知识点一、圆的定义及有关概念1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。

在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。

例 P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；?最长弦长为_______．解题思路：圆内最长的弦是直径，最短的弦是和OP垂直的弦，答案：10 cm，8 cm.知识点二、平面内点和圆的位置关系平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内当点在圆外时，d＞r；反过来，当d＞r时，点A在圆外。

当点在圆上时，d＝r；反过来，当d＝r时，点B在圆上。

当点在圆内时，d＜r；反过来，当d＜r时，点C在圆内。

例如图，在Rt△ABC中，直角边AB?3，BC?4，点E，F分别是BC，AC的中点，以点A为圆心，AB的长为半径画圆，则点E在圆A的_________，点F在圆A的_________．解题思路：利用点与圆的位置关系，答案：外部，内部 A，?4)．试判断点P(3，?1)与圆O 的位置练习：在直角坐标平面内，圆O的半径为5，圆心O的坐标为(?1关系．答案：点P在圆O上．- 1 -。

中考数学复习方案第六单元圆第26课时圆的有关性质数学课件

综上所述,AB 和 CD 之间的距离为 7 cm 或 17 cm.
4.AB为半圆O的直径,现将一块等腰直角三角板如图26-5放置,锐角顶点P在半圆
上,斜边过点B,一条直角边交该半圆于点Q.若AB=2,则线段BQ的长为
图26-5

.
5.如图26-6,点D,E分别在∠ABC的边BC,AB上,过D,A,C三点的圆的圆心为E,过
[解析]设线段 BA 的中点为 E,
∵点 A(4,0),B(-6,0),∴AB=10,E(-1,0).
1
(1)如图①所示,过点 E 在第二象限作 EP⊥BA,且 EP= AB=5,
2
则易知△ PBA 为等腰直角三角形,∠BPA=90°,PA=PB=5 2.
以点 P 为圆心,PA(或 PB)长为半径作☉P,与 y 轴的正半轴交于点 C,
作半圆,交AC于另一点E,交AB于F,G两点,连接EF.若∠BAC=22°,则∠EFG=
33° .
图26-11
3.[2013·呼和浩特16题]在平面直角坐标系中,已知点A(4,0),B(-6,0),点C是y轴上
的一个动点,当∠BCA=45°时,点C的坐标为
.
[答案] (0,12)或(0,-12)
∴∠AOE=75°.
图26-4
3.[九上P90习题24.1第10题改编]☉O的半径为13 cm,AB,CD是☉O的两条弦,
AB∥CD, AB=24 cm,CD=10 cm,则AB和CD之间的距离为
.
[答案] 7 cm或17 cm
[解析] 过点 O 作 OE⊥AB 于点 E,直线 OE 交 CD 于点 F,连接 OA,OC,如图.
2
1
13
2
2
∴OA= ×13= ,

中考数学第六单元圆第26课时圆的基本性质

A.75°
B.70°
C.65°
D.35°
图 26-5
2021/12/9
第十四页，共四十二页。
B
)
课前双基巩固
2.[2018·南充] 如图 26-6,BC 是☉O 的直径,A 是☉O 上的一点,∠OAC=32°,则∠B 的度数是
A.58°
B.60°
C.64°
D.68°
3.[2018·铜仁] 如图 26-7,已知圆心角∠AOB=110°,则圆周角∠ACB= (
三角形的外心
垂直平分线
三角形三边___________的交点,即为三角形外接圆的圆心
防错提醒
2021/12/9
锐角三角形的外心在三角形的内部,直角三角形的外心在直角三角形的斜边上,钝
角三角形的外心在三角形的外部
第六页，共四十二页。
课前双基巩固
考点(kǎo diǎn)二
[2018·绍兴(shào
点与圆的位置关系
高频考向探究
【方法模型】
在同圆或等圆中,圆心角、弧、弦、弦心距四组量中,要证其中的一组量相等可通过其他(qítā)三组量中的一组进行转化.
2021/12/9
第二十三页，共四十二页。
高频考向探究
针对训练
[答案] B
1.[2018·咸宁] 如图 26-11,已知☉O 的半径为 5,弦 AB,CD 所对的
(
C.2.5 cm
)
D. 5 cm
图 26-3
2021/12/9
第九页，共四十二页。
课前双基巩固
[答案] D
[解析] 连结 AB,
∵AC 为直径,∴∠ABC=90°.
又∵AC⊥BD,∴BE=ED=8÷2=4,∵AE=2,在 Rt△ABE 中,根据勾股定理可得:AB=2 5.

中考数学复习方案第六单元圆第26课时圆的基本性质数学课件

上一个动点(不与 A,B 重合),射线 PM 与☉O 交于点 N(不与 M 重合).
(2)求证:△PAN∽△PMB.
解:(2)证明:∵∠PMB=∠PAN,∠P=∠P,
∴△PAN∽△PMB.
图26-14
1.[2018·黄石]如图 26-15,AB 是☉O 的直径,点 D 为☉O 上一点,且∠ABD=30°,
[2019·保定一模]已知☉O 的半径 OA 长为 2,若 OB= 3,则可以得到的正确图形
可能是 ( A )
图26-2
知识梳理
点在圆外⇔ d>r
如果圆的半径是r,点到圆心
的距离是d,那么
点在圆上⇔ d=r
点在圆内⇔ d<r
考点三垂径定理及其推论
1.[2019·眉山]如图 26-3,☉O 的直径 AB 垂直于弦 CD,垂足是点 E,∠CAO=22.5°,
求证:PA=PC.
证明:连结 AC,
∵AB=CD,∴=,
∴ + = + ,即=,
∴∠C=∠A,∴PA=PC.
图26-11
考向三圆周角相关性质的应用
例 3[2019·温州]如图 26-12,在△ABC 中,∠BAC=90°,点 E 在 BC 边上,且 CA=CE,
过 A,C,E 三点的☉O 交 AB 于另一点 F,作直径 AD,连结 DE 并延长交 AB 于点
(1)当 M 在什么位置时,△MAB 的面积最大,并求岀这个最大值;
(2)求证:△PAN∽△PMB.
解:(1)当点 M 在的中点处时,△MAB 的面积最大.
1
1
此时 OM⊥AB,OM=2AB=2×4=2,
1
1
∴S△ABM=2AB·OM=2×4×2=4.

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