数值分析讲稿10

x ( k +1) ≈ λ1k +1[α1u1 + ( −1) k +1α 2 u2 ] x ( k ) ≈ λ1k [α1u1 + ( −1) k α 2u2 ]
x ( k +1) + λ1 x ( k ) ≈ 2λ1k +1α1u1 ⇒ ( k +1) x − λ1 x ( k ) ≈ 2λ1k +1 ( −1) k +1α 2u2 故在这种情况下，仍可按幂法产生向量序列。
( k + 1)
( A − λ 0 I ) k +1 (α i u i ) ∑
i =1
n
λ 2 − λ 0 k +1 λ n − λ 0 k +1 [α 1u1 + ( ) α 2u 2 + ⋯ + ( ) α nun ] λ1 − λ 0 λ1 − λ 0
适 当 地 选 取 λ 0， 使 得 λ1 − λ 0 > λ i − λ 0 且
的情况。否则应考虑用别的方法求解。此外，当矩阵
二、幂法的加速
／ 因为幂法的收敛速度是线性的， 因为幂法的收敛速度是线性的，而且依赖于比值 λ2 λ1 ，当 比值接近于1时 幂法收敛很慢。幂法加速有多种，介绍两种。 比值接近于 时，幂法收敛很慢。幂法加速有多种，介绍两种。
（一）原点移位法 矩 阵 A与 A − λ 0 I 的 特 征 值 有 以 下 关 系 ： 若 λ i 是 A的 特 征 值 ， 则 λi − λ 0 就 是 A − λ 0 I的 特 征 值 ， 而 且 相 应 的 特 征 向 量 不 变 。 如 果 对 矩 阵 A − λ 0 I 按 x ( k +1) = Ax ( k ) 计 算 ， 则 有 x ( k +1) = ( A − λ 0 I ) x ( k ) = ( A − λ 0 I ) k +1 x ( 0 ) = = ( λ1 − λ 0 )
) y(k ) = x(k／xr(k ) (k +1) x = Ay(k ) λ ≈ x(k +1) 1 r 算法：
xr(k ) = max xi(k )
1≤i ≤n
(k = 0,1,2,⋯)
1.输入A = (aij ), 初始向量x = ( x1,⋯, xn ), 误差限ε，最大迭代次数N。 2 .置k = 1, µ = 0 3.求整数r，使 xr = max xi ，xr ⇒ α
第七章. 矩阵特征值和特征向量计算
工程实践中有多种振动问题，如桥梁或建筑物的振 动，机械机件、飞机机翼的振动，及一些稳定性分析和 相关分析可转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。
1.已知 A = ( aij ) n× n , 求代数方程 ϕ (λ ) = det(λ I − A) = 0 的根。 ϕ (λ )称为 A的特征多项式，一般有 n个零点，称 为 A的特征值。 2.设 λ为 A的特征值，求相应的齐次方程 (λ I − A) x = 0 的非零解（即求 Ax = λ x的非零解）， x称为矩阵 A对应 于 λ的特征向量。
( k＋1)
给定初始向量x (0) ≠ θ ,由迭代公式x ( k +1) = Ax ( k ) (k = 1, 2,⋯)产 。
n
为简便，不妨设 ui = 1(i = 1, 2,⋯ , n)。因为ui 线性无关，故 必存在n个不全为零的数α i (i = 1, 2,⋯ , n), 使得x (0) = ∑α i ui。
但高次多项式求根精度低 , 一般不作为求解方法. 目前的方法是针对矩阵不同的特点给出不同的有效方法.
§1. 幂法和反幂法.
一、幂法
求矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量。它是 通过迭代产生向量序列，由此计算特征值和特征向量。
设n × n阶实矩阵A的特征值λi (i = 1, 2,⋯ , n)满足 λ1 > λ2 ≥ ⋯ ≥ λn 且与λi (i = 1, 2,⋯ , n)相应的特征向量u1 , u2 ,⋯ , un线性无关。 生向量序列{ x ( k ) } , 可以证明，当k充分大时，有λ1 ≈ xi( k +1) / xi( k ) , 相应的特征向量为x
λi − λ0 λ < 2 λ1 − λ 0 λ1
( i = 2, 3, ⋯ n )
这样，用幂法计算A − λ0 I的最大模特征值λ1 − λ0及相应 特征向量的收敛速度比对A用幂法计算要快。这种加速 收敛的方法称为原点移位法。 原点移位法使用简便，但λ0选取困难。在一些简单 情形，λ0可估。如当矩阵A的特征值满足λ1 > λ2 ≥ λ3 ≥⋯ 1 ≥ λn > （或λ1 < λ2 ≤ λ3 ≤ ⋯ ≤ λn < 0)时，取λ0 = (λ2 + λn ), 0 2 λi − λ0 ≤ λ2 − λ0 < λ1 − λ0 (i = 2,3,⋯, n) 则有
（2）λ1 = − λ2 , λ1 > λ3 , 且矩阵A有n个线性无关的特征向量。 x
( k +1)
=λ
k +1 1
由上式可知，x ( k +1) } 是个摆动序列，当k 充分大时，有 { x (2k −1) ≈ λ12 k −1 (α1u1 − α 2 u2 ) xi ⇒ λ ≈ (k ) xi
λ2 − λ0 λ2 − λn λ2 − λn λ2 − λn λ2 且 = = < < λ1 − λ0 2λ1 − λ2 − λn λ1 − λn + λ1 − λ2 λ1 − λn λ1
因此，用原点移位法求λ1可使收敛速度加快。
−4 14 0 例：A = −5 13 0 ,λ0 = 2.9, 用原点移位法求矩 −1 0 2.8 阵A的按模最大的特征值，要求误差不超过10-4。 解：取x(0) = (1,1,1)T , 按x( k +1) = ( A − λ0 I ) x( k ) 进行计算 0 −6.9 14 A − λ0 I = −5 10.1 0 −1 0 −0.1 = (3.1000568, 2.214326, −0.9687661) α 4 = 3.1000568
T
此例中比值为
λ2 2 = . λ1 3
两种特殊情况
前 面 假 定 λ1 > λ 2 .如 果 按 模 最 大 的 特 征 值 有 多 个 ， 即
λ1 = λ 2 = ⋯ = λ m > λ m +1 ≥ ⋯ ≥ λ n
关的特征向量。此时有
幂法是否有效？
（1 ） λ1是 m 重 根 ， 即 λ1 = λ 2 = ⋯ = λ m , 矩 阵 A仍 有 n个 线 性 无 x ( k +1) = λ1k +1 [α 1u1 + ⋯ + α m u m
1≤i ≤n
α 5.若 λ − µ < ε , 输出λ, x, 停机；否则，转6
6.若k < N , 置k +1 ⇒ k, λ ⇒ µ, 转3；否则，输出失败信息，停机。
4.计算 y =
x
x = Ay 置xr ⇒ λ
2 −1 0 例 ： 用 幂 法 求 矩 阵 A = 0 2 − 1 的 按 模 0 −1 2 最大的特征值和相应的特征向量。 取 x ( 0 ) = (0, 0,1) T , ε ≤ 10 − 3. 解 ： y ( 0 ) = x ( 0 ) = (0, 0,1) T , x y
i =1
由 x
( k +1)
= Ax
(k )
=A
k +1 (0)
x
=∑A
i =1
n
k +1
(α i ui ) =∑ α i λik +1ui
i =1
n
λ2 k +1 λn k +1 ⇒ x = λ [α1u1 + ( ) α 2u2 + ⋯ + ( ) α n un ] λ1 λ1 λi k +1 设α1 ≠ 0,由 λ1 > λi (i = 2,3, ⋯ , n) 得 lim( ) α i ui = θ k →∞ λ 1 n λi k +1 ⇒ lim ∑ ( ) α i ui = θ k →∞ i = 2 λ1 n λi k +1 ( k +1) k +1 故只要k 充分大，就有 x = λ1 [α1u1 + ∑ ( ) α i ui ] ≈ λ1k +1α1u1 i = 2 λ1
x
(4)
x(5) = (3.0999984, 2.2142846, −0.9687501) α5 = 3.0999984
α5 − α 4 = 0.0000584 < 10−4
所以，矩阵A的按模最大的特征值为
λ1 ≈ 3.0999984 + 2.9 = 5.9999984
按上面式子计算矩阵 A按模最大的特征值与相应的 特征向量的方法称为幂法。 幂法的收敛速度依赖于比值
λ2 ，比值越小，收敛越快。 λ1
两点说明： 1）如果 x (0)的选取恰恰使得 α 1 = 0, 幂法计算仍能进行。 因为计算过程中舍入误差的影响，迭代若干次后，必然 会产生一个向量 x ( k ) , 它在 u1方向上的分量不为零，这样， 以后的计算就满足所设条件。 2）因 x ( k ) = λ1kα 1u1 , 计算过程中可能会出现溢出( λ1 > 1) 或成为0( λ1 < 1)的情形。解决方法：每次迭代所求的向量 都要归一化。因此，幂法实际使用的计算公式是
幂法小结
综上可知，当A的特征值分布为 λ1 > λ2 ≥ ⋯ ≥ λn 或 λ1 = λ2 = ⋯ = λm > λm +1 ≥ ⋯ ≥ λn 时，用幂法可以 计算出λ1及相应的特征向量。如果按x ( k +1) = Ax ( k )迭代 所得向量序列{ x ( k ) } 呈有规律的摆动，则可能为λ1 = −λ2 A无n个线性无关的特征量时，幂法收敛型稀疏矩阵按模最 大特征值的常用方法。