广东省始兴县风度中学2011-2012学年高二竞赛数学(文)试题

风度中学2011-2012学年高二竞赛数学（文）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项。

1．已知集合2{|9},{|33}M x x N x z x ===∈-≤<,则M N = （ ）A ．∅B ．{3}-C.{3,3}- D ．{3,2,0,1,2}--2．已知a ＋2ii＝b －i , (a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝（ ） A .－1 B ．1 C ．2 D ．33．已知a 、b 是实数，则“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分也不必要条 4．函数44()cos sin f x x x =-是（ ）A.周期为π的奇函数B.周期为2π的奇函数C. 周期为π的偶函数D.非奇非偶函数5. 已知平面向量()1,2a = , ()2,b m =- , 且//a b, 则m=( ) A 4 B -1 C 2 D -46某几何体的三视图及尺寸如图示，则该几何体的表面积为 A. 3π B. 4π C. 6π D. 10π7已知向量(,1),(2,)a x z b y z =-=+，且a b ⊥ ，若变量x,y满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z 的最大值为A.1B.2C.3D.48等差数列{}n a 中，2=d ，且431,,a a a 成等比数列，则=2aA ．4-B ．6-C ．8-D ．10-9以x 轴为对称轴，以坐标原点为顶点，准 线1=x 的抛物线的方程是 A ．x y 42-= B ．x y 42= C ．x y 22-= D ．x y 22=10起点到终点的最短距离为A ．16B ．17C ． 18D ．19二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置． （一）必做题11.lg y x =+__________12校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有学生__ _人. 13在A B C ∆中，3B π=,且BA BC ⋅=则A B C ∆的面积是_____（二）选做题14.（几何证明选讲选做题）如图，已知R t A B C ∆的两条直角边A C ,B C 的长分别为3cm ，4cm ，以A C 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD ＝cm .15.（坐标系与参数方程选做题）直线3470x y +-=截曲线cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）的弦长为_ _三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16. （本小题共12分）已知函数()4sin()cos f x x x π=- （1）求()f x 的最小正周期； （2）若(0,)θπ∈,2()43f πθ+=,求sin θ的值v 12v 534v 起点终点417.（本题满分14分）有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为27(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系” . (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到6或10号的概率.18．（本题12分）如图所示,在直四棱柱1111D C B A ABCD -中, D B A C ⊥,点M 是棱1B B 上一点.（1）求证：//11D B 面BD A 1；（2）求证：M D A C ⊥；19. （本题满分14分）为赢得2010年广州亚运会的商机，某商家最近进行了新科技产品的市场分析，调查显示，新产品每件成本9万元，售价为30万元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x （单位：万元，030x ≤≤）的平方成正比，已知商品单价降低2万元时，一星期多卖出24件．（1）将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数；（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 20. （本小题满分14分）已知椭圆2221(01)y x b b+=<<的左焦点为F ，左右顶点分别为A,C 上顶点为B ，过F,B,C 三点作P ，其中圆心P 的坐标为(,)m n ．(1) 若FC 是P 的直径，求椭圆的离心率；（2）若P 的圆心在直线0x y +=上，求椭圆的方程．21．（本小题满分14分）设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤>>n nx y y x 300所表示的平面区域为n D ，记n D 内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为))((*N n n f ∈（1）求)2(),1(f f 的值及)(n f 的表达式；（2）记()(1)2n nf n f n T ⋅+=，试比较1n n T T +与的大小；若对于一切的正整数n ，总有m T n ≤成立，求实数m 的取值范围；（3）设n S 为数列{}n b 的前n 项的和，其中)(2n f n b =，问是否存在正整数t n ,，使16111<-+++n n n n tb S tb S 成立？若存在，求出正整数t n ,；若不存在，说明理由。

高二级数学科竞赛试卷（文 科） 答题卡一．选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 910 答案二．填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）。

（一）必做题11． 12 13. （二）选做题 14 15三．解答题（本大题共6小题，满分80分。

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 16. （本小题共12分）已知函数()4sin()cos f x x x π=- （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若(0,)θπ∈,2()43f πθ+=, 求sin θ的值17.（本题满分14分）有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为27(Ⅰ)请完成上面的列联表；(Ⅱ)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系” .(Ⅲ)若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到6或10号的概率18．（本题12分）如图所示,在直四棱柱1111D C B A ABCD -中, D B A C ⊥,点M 是棱1B B 上一点.（1）求证：//11D B 面BD A 1；（2）求证：M D A C ⊥；19. （本题满分14分）为赢得2010年广州亚运会的商机，某商家最近进行了新科技产品的市场分析，调查显示，新产品每件成本9万元，售价为30万元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x （单位：万元，030x ≤≤）的平方成正比，已知商品单价降低2万元时，一星期多卖出24件．（1）将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数；（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？20. （本小题满分14分）已知椭圆2221(01)yx bb+=<<的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作P，其中圆心P的坐标为(,)m n．(1) 若FC是P的直径，求椭圆的离心率；（2）若P的圆心在直线0x y+=上，求椭圆的方程．21．（本小题满分14分）设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-≤>>n nx y y x 300所表示的平面区域为n D ，记n D 内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为))((*N n n f ∈（1）求)2(),1(f f 的值及)(n f 的表达式；（2）记()(1)2n nf n f n T ⋅+=，试比较1n n T T +与的大小；若对于一切的正整数n ，总有m T n ≤成立，求实数m 的取值范围；（3）设n S 为数列{}n b 的前n 项的和，其中)(2n f n b =，问是否存在正整数t n ,，使16111<-+++n n n n tb S tb S 成立？若存在，求出正整数t n ,；若不存在，说明理由。

高二级数学科竞赛考试答案一．选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)二、填空题(每小题5分，共20分)11 {|1}x x12 3700人13 614 16/515 8/5三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本题满分12分）本题主要考查特殊角三角函数值、诱导公式、二倍角的正弦、三角函数在闭区间上的最值等基础知识，主要考查基本运算能力．（Ⅱ）若(0,)θπ∈,2()43f πθ+=,求sin θ的值解：由2()43f πθ+=，∴22sin 2()43πθ+=,…………………7分化简可得1cos 23θ=,…………9分则2112sin 3θ-=,化简∴21sin 3θ=…………………10分由(0,)θπ∈,∴sin 0θ>,故sin 3θ=1217. （本题满分14分） 解：(Ⅰ)表格如下(Ⅱ)：根据列联表中的数据，得到2105(10302045)6.109 3.84155503075k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯…………………5分因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”。

………………7分18. （本题满分12分）证明：由直四棱柱,得1111//,BB D D BB D D =且,所以11BB D D 是平行四边形,所以11//B D BD…………………（3分）而1BD A BD ⊂平面,111B D A BD ⊄平面, 所以//11D B 面BD A 1 ------------------6分（2）求证：M D A C ⊥；证明：因为1BB ⊥⊂面ABCD,AC 面ABCD , 则1BB ⊥AC----------------9分）又因为BD ⊥AC ,且1BD BB B ⋂=， 故AC ⊥1面BB D而M D ⊂1面BB D ，所以M D A C ⊥……………………（12分）19. （本题满分14分）（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 解：根据（1），我们有2()18252432f x x x '=-+-．18(2)(12)x x =---………………9分作出以下表格：………………12分故12x =时，()f x 达到极大值．因为(0)9072f =，(12)11264f =，则定价为301218-=万元能使一个星期的商品销售利润最大．…… 14分20．（本小题共14分）解：（1）由椭圆的方程知1a =，∴点(0,)B b ，(1,0)C ，设F 的坐标为(,0)c -，………………1分 ∵FC 是P 的直径， ∴F B B C ⊥ ∵,B C B F b k b k c=-=∴1b b c-⋅=- --------------------2分∴221b c c ==-，210c c +-=----------------------------------------3分解得2c = --------------------------------------5分∴椭圆2c e a==--------------------6分解：∵P 过点F,B,C 三点，∴圆心P 既在FC 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上， FC 的垂直平分线方程为12c x -=--------①-----------7分∵BC 的中点为1(,)22b，B C k b =-∴BC 的垂直平分线方程为11()22b y x b-=------②---------9分由①②得21,22c b c x y b--==，即21,22c b c m n b--==-----11分∵P (,)m n 在直线0x y +=上，∴21022c b c b--+=⇒(1)()0b b c +-=∵10b +> ∴b c = -----------------13分 由221b c =-得212b =∴椭圆的方程为2221x y += ---------------------14分 21．（本小题满分14分）解：⑴ (1)3,(2)6f f == ------------------2 当1x =时，y 取值为1，2，3，…，2n 共有2n 个格点当2x =时，y 取值为1，2，3，…，n 共有n 个格点 ∴()23f n n n n =+=- ------------------4分（2）解：由()(1)9(1)22n nnf n f n n n T ++==则111(1)(2)9(1)(2)22n n n f n f n n n T +++++++==119(1)(2)229(1)22n n nn n n T n n n T n+++++⇒==+-------------------5分当1,2n =时，1n n T T +≥当3n ≥时，122n n n n T T ++<⇒<-------------------6分 ∴1n =时，19T =2,3n =时，23272T T ==4n ≥时，3n T T <∴{}n T 中的最大值为23272T T ==-------------------8分要使m T n ≤对于一切的正整数n 恒成立， 只需272m ≤∴272m ≥-------------------9分（3）解：()38(18)8228(81)187nf n nnnn n b S -===⇒==----------------10分将n S 代入16111<-+++n n n n tb S tb S ，化简得，888177812877n n t t ⎛⎫--⎪⎝⎭<⎛⎫-- ⎪⎝⎭（﹡）-------------------11分若1t =时88181577,8127777nnn-<<-即，显然1n =-------------------12分 若1t >时818077n t ⎛⎫--<⎪⎝⎭（﹡）式化简为815877n t ⎛⎫->⎪⎝⎭不可能成立-------------------13 综上，存在正整数1,1n t ==使16111<-+++n n n n tb S tb S 成立. - --------------14分。