第一节 对弧长的曲线积分
对弧长的曲线积分
(2) L : x 2, 0 y 3
21 I (2 y) 0 1dy 0 2
3
x R cos (3) L : , 0 y R sin
I ( R cos R sin ) Rd 2 R 2
0
(4) L : y 1 x, 0 x 1
定理
设 f ( x , y )在曲线弧 L上有定义且连续, x ( t ), L的参数方程为 ( t )其中 y ( t ), ( t ), ( t )在[ , ]上具有一阶连续导数, 且
L
f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t )dt
则
ds
( 2 sin )
2
( 2 sin ) d 2d
2
9 2 I 2 d 18 2 0
例6. 计算
其中L为双纽线
(x2 y2 ) 2 a2 (x2 y2 ) ( a 0 )
解: 在极坐标系下
它在第一象限部分为
y
(0
ab sin t cos t a 2 sin2 t b 2 cos 2 t dt
a ab 2 2 2 2 2 2 u du ( 令 u a sin t b cos t) 2 b a b
2 0
ab(a ab b ) . 3(a b)
2 2
例2.计算
其中(1) L 是抛物线
xds x , ds
L L
yds y . ds
L L
例7. 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对于它的对 称轴的转动惯量I (设线密度 = 1). 解: 建立坐标系如图, 则
高等数学(第五版)10-1对弧长的曲线积分
a
b
1 2
所求弧长为
s 1ds L
b
a
2 1 x dx [(1 b) (1 a ) ]. 3
3 2 3 2
例2.
y
解： 先写出积分弧段的方程,
L : y 9 x 2 (0 x 3)
3
L : x2 y2 9
L
f ( x , y , z )ds
2 2 2
f [ x(t ), y(t ), z( t )] x (t ) y (t ) z (t )dt
2 3 例 1 计算曲线 y x 2 上相应于 x 从a 到 b 的一 3
段弧的长度.
ds 1 y 2 dx 解: x
OA : y 0, 0 x 1, ds dx
y
L
B(1,1)
OA
( x y )ds 0
1
1 xdx 2
o
AB : x 1, 0 y 1, ds dy
3 AB ( x y )ds 0 (1 y)dy 2
1
A(1,0)
x
BO : y x, 0 x 1, ds 2dx
第十章曲线积分与曲面积分
一元积分: 一元函数在区间上的积分 二重积分: 二元函数在平面区域上的积分 三重积分: 三元函数在空间区域上的积分 本章： 曲线段 —— 曲线积分
积分范围：
曲面块 —— 曲面积分
第十章
第一节 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
一、问题的提出
2
第一节对弧长的曲线积分
应用格
记 L 和 l ¯ 所围的区域为
林公式 , 得
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 ,
在D 内
具有一阶连续偏导数,
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分
(3)
(4) 在 D 内每一点都有
与路径无关, 只与起止点有关.
(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧
(2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则
则
定积分是第二类曲线积分的特例.
说明:
对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !
二、对坐标的曲线积分的计算法
定理:
在有向光滑弧 L 上有定义且
L 的参数方程为
则曲线积分
连续,
证明: 下面先证
存在, 且有
对应参数
1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且
则
即
同理可证
①
②
①、②两式相加得:
2) 若D不满足以上条件,
则可通过加辅助线将其分割
为有限个上述形式的区域 , 如图
证毕
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
格林公式
例如, 椭圆
所围面积
例1.
设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
沿直
求 F 所作的功 W.
已知 F 的方向指
一质点在力场F 作用下由点
2. 设曲线C为曲面
与曲面
从 O x 轴正向看去为逆时针方向,
(1) 写出曲线 C 的参数方程 ;
(2) 计算曲线积分
解: (1)
(2) 原式 =
第十章 第1节 对弧长的曲线积分
β
(α < β )
8
∫
L
f ( x , y )ds = ∫ f [ϕ ( t ),ψ ( t )] ϕ ′2 ( t ) + ψ ′2 ( t )dt
α
β
(α < β )
说明: 说明
y
ds = (dx) +(dy)
2
2 2
2
= φ′ (t ) +ψ′ (t ) dt
o
ds d y dx x x
9
注意: 注意:
1. 定积分的下限 α 一定要小于上限 β ; 2. f ( x , y )中 x , y 不彼此独立 , 而是相互有关的 .
特殊情形
x = x ⇒ y = ψ ( x)
(1) L : y = ψ ( x )
2
a ≤ x ≤ b.
2
′2(x) d x ds = (dx) +(dy) = 1+ψ
α
− α
3
o α
L R x
= ∫ R2 sin2θ (−Rsinθ)2 +(Rcosθ )2 dθ
= R3(α −sinαcosα )
θ θ sin2 = R ∫ sin θdθ = 2R − α − 2 4 0
α
2
3
α
25
五、小结
1、对弧长曲线积分的概念 2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用
π 2 0
= ab ∫ sin t cos t a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t dt
a ab u 2du (令 = a2 sin2 t +b2 cos2 t ) = 2 u 2 ∫b a −b
第一节对弧长的曲线积分
计算曲线积分？
例2 计算L 的一段弧．
y d s, 其中L是抛物线 y x2 上从点O(0,0)到点B(1,1)
解 曲线的方程为yx2 (0x1)，因此
L
y ds
1
0 1
x 2 1 ( x 2 ) 2 dx
2
1 x 1 4 x dx (5 5 1) ． 0 12 y
A f ( x, y )ds
C
z
z f ( x, y)
y
C
si
x
５．对弧长的曲线积分的性质：
(1)、 L [ f ( x, y ) g ( x, y )]ds L f ( x, y )ds L g ( x, y )ds ； (2)、 L kf ( x, y )ds k L f ( x, y )ds (k 为常数)； (3)、 L f ( x, y )ds f ( x, y)ds f ( x, y)ds (L=L1L2)．
[(a cost )
2
(x 2 y 2 z 2 )ds
2
0
(a sin t ) 2 (kt) 2 ] (a sin t ) 2 (a cost ) 2 k 2 dt
2 2
(a k t ) a k dt
2 2 2 0
2
z k
2 a 2 k 2 (3a 2 4 2 k 2 ) ． 3
作乘积f(x i, h i) s i，并作和
f (x ,h )s ，
i 1 i i i
n
若当各小弧段的长度的最大值l0时，这和的极限总存在，则称
此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线
对弧长的曲线积分公式
对弧长的曲线积分公式
弧长的曲线积分公式是一种用来计算沿曲线的弧长的数学工具。
它在微积分中被广泛应用，特别是在曲线的长度、路径的测量以及计算运动物体沿曲线所做的功的问题中。
曲线积分是一种将函数沿曲线进行积分的操作。
对于参数化曲线C，其参数方程可以写为r(t) = (x(t), y(t), z(t))，其中t是曲线上的参数。
假设曲线C的起点是t=a，终点是t=b。
弧长的曲线积分公式可以表示为：
L = ∫|r'(t)| dt
其中|r'(t)|表示曲线在每个点上的切线的长度。
它是曲线的切线向量r'(t)的模。
曲线C的弧长L可以通过对参数t从a到b进行积分来计算。
需要注意的是，弧长的曲线积分公式的结果是一个标量，表示曲线的总长度。
这个公式的应用范围广泛，可以用于计算直线、圆、椭圆等各种曲线的长度。
希望这能对你有所帮助！如果还有其他问题，请随时提问。
高等数学-第一节-对弧长的曲线积分知识讲解
n
mlim 0 i1
f
i,i si,
y •B
• M n1
(i,i)•• M i
• M i1 L
•M2
• M1 •A
o
x
图9-1
定义2 设L为xOy平面内的一条光滑曲线, z = f (x, y)
为L上的连续函数, 用分点M1, M2, …, Mn-1, 把L分成n
小段, 在 Mi-1Mi 上任意取一点(i, i), si表示 Mi-1Mi
的长度, 记 = max{s1, s2, , sn}, 如果
n
mlim 0 i1
f
i,i si,
存在, 则将此极限值称为函数f (x, y)在L上对弧长的曲
线积分, 记为 L f x, yds,
其中, f (x, y)称为被积函数, L称为积分弧段.
定理1 当 f(x, y)在光滑曲线或分段光滑曲线弧L上
1.
线密度为连续函数z = f (x, y),
L
利用分割作和、取极限的方法求
该构件的质量.
o
x
图9-1
在L上取点M1, M2, …, Mn-1 , 把L分成n小段, 在 Mi-1Mi上任
意取一点(i, i), 弧段 Mi-1Mi
的长度为si, 记
= max{s1, s2, , sn}
则该构件的质量为
性质3 将L分成L1 与L2, 则
L fx ,y d s L 1fx ,y d s L 2fx ,y d s 性质4 L ds L0 , 其中L0表示L的长度
性质5 f (x, y) g (x, y), 则
Lfx,ydsLfx,yds
性质6 在L上若设m f (x) M, 则
第十一章 第1节 对弧长的曲线积分
3
3
2 a3
3
24
思考
y
3
(2xy 3x2 4 y2)ds
L
2 o 2 x
其中L : x2 y2 1,其周长为a. 43
利用对称性 2xyds 0 L
原式 12
( x2 L4
y2 )d s
3
12 ds
L
12a
25
五、小结
1、对弧长曲线积分的概念 2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用
3
记作 f (x, y)ds, 即 L
n
L
f (x, y)ds
lim 0
i 1
f (i ,i ) si.
其中
被积函数
n
L
f (x, y)ds lim 0
i 1
f (i ,i ) si
积分弧段
积分和式
曲线形构件的质量 M L ( x, y)ds.
4
2.存在条件：
当 f (x, y) 在光滑曲线弧 L 上连续时,
L
c
(3) L : r r ( ), .
可举实际例子进行说明：r 2a cos
A(r, ) 与直角坐标
•
(x, y)关系？
L f ( x, y) d s
o
r
f
r( ) cos
, r( )sin
r2 ( ) r2 ( ) d.
11
推广:
x (t)
空间曲线
:
y
(t)
,
( t ).
解: ( x2 y2 z2 )d s 2 (a cost)2 (a sint)2 (kt)2 0
(a sint)2 (a cos t)2 k2 d t
第一节对弧长的曲线积分
武 汉
公式(1)表示,计算对弧长的曲线积分 f (x, y)ds 时,只要
科
L
技 学
把x,y,ds依次换成φ (t),ψ (t), 2 ( ) 2 ( )
院
数 理
然后从α到β作定积分.
系
高
等
数 如果曲线L的方程为y=ψ(x),此时只要把x看成参数t,
学
电 这样方程(1)变为 子
案
设曲线型物件是非均匀的,它的线密度是变量,且曲线型
物件所占的位置在xoy面内的一段曲线弧L上,它的端点为
武
汉 科
A,B,在L上任意一点(x,y)处,线密度为ρ(x,y),现在要计算这
技
学
院 数
物件的质量M.
理
系
高
等 我们分四个步骤来进行:
数
学
电
分割----近似代替----求和----取极限
子
案
计算思路:
学 院
f (x, y)ds f [ (t), (t)] 2 (t) 2 (t)dt
数
C
理
系
高 等
注意: (1)该积分是通过曲线参数方程化为定积分计算的,因
数 学
此参数的选择很重要.一般我们利用三角公式或投影公式把
电 子
曲线化为参数方程.
案
1） 如果L是平面曲线：
若积分路径为y=0, 则f(x,y)→f(x,0), ds=dx.
数 学
C
到点(1,2)的一段弧.
电 子 解: 本题的参数方程我们选用y为参数,这样选择计算公式(5)
案
Y
f (x, y)ds f [ (y), y] 1 2 (y)dy (y0 Y) (5)
高数-对弧长的曲线积分讲解
质量m。如图11-1所示。
L
A
o
x
图11-1
2. 曲线形构件的质量（2）
(1) 分割： 在L上取点M1, M2, …, Mn-1 , 把L分 成n小段, 记第i小段的长度为 si
(2)近似：
m ( , )s
i
i
i
i
n
n
(3) 求和：
m
m i
(
i
,
i
)
s i
i 1
(x, y) L 。
A L f (x, y)ds
x
L
y
6. 对弧长的曲线积分的计算（1）
定理1 设 f (x, y)在曲线 L上连续, L的参数方程为
x (t),
y
(t
),
( t )
其中 (t), (t) 在[, ]上具有一阶连续导数, 且 2(t)
谢 谢！
i 1
y B
M n1
Mi
(i
,i )
M
i
si
1
L
M2
M1 A
o
图11-1
x
n
(4)
取极限：m
lim 0
i 1
( i
, i
)s i
，其中 max{s1,s2,
, sn}
3. 对弧长的曲线积分的定义（1）
定义：设L为 xoy 面内的一条光滑曲线弧，函数 f (x, y) 在 L 上有界。在
思考
(1) L能否为空间曲线？
(2) 定义的条件能否适当减弱？
(3) 可积条件？
§10.1对弧长的曲线积分
由函数f及, 的性质可知, 上式右端的和式极限 存在, 因此有 2 2 f ( x , y ) ds f [ ( t ), ( t )] ( t ) ( t ) d t L ( < )
x (t ) 推广: 若 : y ( t ) ( t ), 则 z (t ) f ( x , y , z ) ds 2 2 2 f [ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) ( t ) ( t ) dt . 对弧长的曲线积分的计算三原则:
注意: 转换后定积分的下限一定要小于上限( <). 特殊情形: (1) 若L: y=(x), a x b, b 2 f ( x , y ) ds f [ x , ( x )] 1 ( x ) dx . L a
(2) 若L: x= (y), c y d, d 2 f ( x , y ) ds f [ ( y ), y ] 1 ( y ) dy . L c
2
(2) 当 f(x, –y) = f(x, y) 时, f ( x , y ) ds 2 f ( x , y ) ds . L L 其中L2是L的关于x 轴对称的部分弧段: L2 = { (x, y) | (x, y)L, y 0 }.
③ 若L关于原点对称: f ( x , y ) ds 0 ; (1) 当 f(–x, –y)= – f(x, y)时, L
f ( x , y ) ds g ( x , y ) ds . L L f ( x , y ) ds | | f ( x , y ) | ds . 特别地, 有 | L L
9-1对弧长的曲线积分-PPT文档资料
y2 4x
2 其中 L :y 4 x , 从 ( 1 , 2 ) 到 ( 1 , 2 ) 一段 .
解
y2 I y 1 ( ) dy 0 . 2 2
2
I xyzds , 其中 : x a cos ,y a sin , 例3 求 z k 的一段 .( 0 2 )
积分弧段
n
积分和式
曲线形构件的质量 M ( x ,y ) ds .
L
4
2.存在条件：
当 f ( x ,y ) 在光滑曲线弧 L 上连续时 , 对弧长的曲线积分 f ( x ,y ) ds 存在 . L
3.推广
函数 f( x ,y ,z ) 在空间曲线弧 上对弧长 曲线积分为
f ( x , y , z ) ds lim f ( , , ) s .
( )
10
x a cos t , I xyds , L : 椭圆 ( 第 象限 ). 例1 求 L y b sin t , 2 2 2 解 I a cos t b sin t ( a sin t ) ( b cos t ) dt
L f ( x, y)ds
2 2 f [(t ),(t )] (t ) (t )dt
( )
8
注意:
1 . 定积分的下限 一定要小于上 ;
2 .f ( x ,y ) 中 x ,y 不彼此独立 , 而是相互 .
特殊情形
( 1 ) L : y ( x )a x b .
6
4.性质
L L L
( 1 ) [ f ( x , y ) g ( x , y )] ds f ( x , y ) ds g ( x , y ) d .
1对弧长的曲线积分
于是所求转动惯量I为
I y2ds L
提示
转动惯量的元素为dIy2ds y2ds
例3 计算半径为R、中心角为2的圆弧L对于它的对称轴 的转动惯量I(设线密度为1)
解 取坐标系如图所示 则曲线L的参数方程为
xRcos yRsin ()
于是所求转动惯量I为
I y2ds L R2 sin 2 (R sin )2 (R cos )2 d R3 sin 2d R3( sin cos )
也表示弧长一对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量设曲线形构件所占的位置在xoy面内的一段曲线弧l上已知曲线形构件在点x?整个曲线形构件的质量近似为一对弧长的曲线积分的概念与性质设曲线形构件所占的位置在xoy面内的一段曲线弧l上已知曲线形构件在点x曲线形构件的质量?把曲线弧l分成n个小段作和对弧长的曲线积分设l为xoy面内的一条光滑曲线弧函数fxy在l上有界称此极限为函数fxy在曲线弧l上对弧长的曲线积分记作ds其中fxy叫做被积函数l叫做积分弧段光滑曲线对弧长的曲线积分说明?当函数fxy在光滑曲线弧l上连续时函数fxy在曲线弧l上对弧长的曲线积分是存在的以后我们总假定fx是连续的?对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分?曲线形构件的质量就是曲线积分z在空间曲线弧上对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分?如果l或是分段光滑的则规定函数在l或上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和例如设l可分成两段光滑曲线弧l则规定ds?函数fxy在闭曲线l上对弧长的曲线积分记作说明对弧长的曲线积分的性质?性质1?性质2若积分弧段l可分成两段光滑曲线弧l?性质3设在l上fx机动目录上页下页返回结束思考
2(t) 2(t)dt ()
L
讨论
(3)若曲线的参数方程为x(t) y(t) z(t)(t)
10.1_第一类_对弧长_的曲线积分
L
f ( x , y )d s f ( , ) s , ( , ) L ,
其中s为曲线L的弧长.
8
10.1 第一类(对弧长)的曲线积分
性质5(与积分路径的方向无关)
L ⌒ f ( x , y )d s
( AB )
⌒ )f ( x , y )d s L ( BA
注意
函数 f (x, y)在 闭曲线L上 对弧长的曲线积分 记作
L
f ( x , y )d s
f [ ( t ), ( t ) ] 2 ( t ) 2 ( t )d t
( )
特殊情形 (1) L : y ( x ),
a x b
b
L
f ( x , y )d s
a
2 f [ x , ( x )] 1 ( x )d x ( a b )
f ( x , y ) d s , 当f (x, y)是L上关于x (或y) 的偶函数
1
L
L1是曲线L落在y (或x) 轴一侧的部分. 运用对称性简化对弧长的曲线积分计算时, 应同时考虑被积函数 f (x, y)的奇偶性与积分曲线 L的对称性.
10
10.1 第一类(对弧长)的曲线积分
例 计算 L ( x y ) d s . 其中L是圆周
M 1 , M 2 , , M n 1 把L分成n个小段.
设第i个小段的
B
长度为Δsi , 又 ( i , i ) 为第i个小段上任意取定的一 点, (2) 作乘积 f ( i , i ) s i , (3) 并作和 f ( i , i ) s i ,
L2
(对路径具有可加性)
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第十章 曲线积分与曲面积分 大纲要求1．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系 2．掌握计算两类曲线积分的方法3．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数4．了解两类曲面积分的概念，性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，了解高斯公式，斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分 5．了解散度与旋度的概念，并会计算。
第一节 对弧长的曲线积分 ㈠本课的基本要求理解第一类曲线积分的概念，了解第一类曲线积分的性质，掌握计算第一类曲线积分的方法 ㈡本课的重点、难点第一类曲线积分的概念与性质是重点、难点是其计算方法 ㈢教学内容 引入：重积分是将定积分概念从积分范围为数轴上的一个区间推广到积分范围为平面或空间的一个区域，实际中还需把定积分概念推广到积分范围是一段曲线弧或一张曲面。
前者称为曲线积分，后者称为曲面积分。
本章将从实际中引进曲线积分和曲面积分的概念，并介绍计算方法，进而建立曲线积分与重积分、曲面积分之间的联系。
首先假定曲线是光滑的或是分段光滑的，光滑是指曲线的每一点都有切线，且切线的方向随着曲线上点的连续变动而连续变动；曲线是分段光滑的，指曲线由有限条光滑曲线弧段连接而成。
一．对弧长的曲线积分的概念与性质 1．曲线形构件的质量在设计曲线形构件时，为了合理使用材料，应该根据构件各部分受力情况，把构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样。
因此，可以认为这构件的线密度（单位长度的质量）是变量。
假设这构件所占的位置在xoy 面内的一段曲线弧L 上，它的端点是A 、B ，在L 上任一点),(y x 处，它的线密度为),(y x μ。
现在要计算这构件的质量M 。
分析略∑=→∆=ni i i i s M 1),(lim ηξμλ，其中λ表示n 个小弧段的最大长度。
这种和的极限在研究其他问题时也会遇到。
2．定义设L 为xoy 面内的一条光滑曲线弧，函数),(y x f 在L 上有界。
在L 上任意插入一点列121,,,-n M M M 把L 分成n 个小段。
设第i 个小段的长度为i s ∆。
又),(i i ηξ为第i 个小段上任意取定的一点，作乘积),,2,1(),(n i s f i i i =∆ηξ，并作和∑=∆ni iiisf 1),(ηξ，如果当各小弧段的长度的最大值0→λ时，这和极限总存在，则称此极限为函数),(y x f 在曲线弧L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作⎰Lds y x f ),(，即=⎰Lds y x f ),(∑=→∆ni i i i s f 1),(lim ηξλ其中),(y x f 叫做被积函数，L 叫做积分弧段。
当),(y x f 在光滑曲线弧L 上连续时，对弧长的曲线积分⎰Lds y x f ),(是存在的。
以后我舞总假定),(y x f 在上是连续的。
我们有：⎰=Lds y x M ),(μ上述定义可以类似地推广到积分弧段为空间曲线弧Γ的情形，即函数),,(z y x f 在曲线弧Γ上对弧长的曲线积分=⎰Γds z y x f ),,(∑=→∆ni i i i i s f 1),,(lim ςηξλ根据第一类曲线积分的概念，容易写出空间曲线C 关于三个坐标平面的静力矩：⎰⎰⎰===Cxy Czx Cyz ds z y x z M ds z y x y M ds z y x x M ),,(,),,(,),,(ρρρ于是空间曲线C 的质心的坐标为MM z M M y M M x xy zxyz===,,同样，我们也容易得到曲线C 绕z 轴转动的转动惯量⎰+=Cz ds z y x y x I ),,()(22ρ，请同学们自己写曲线C 绕x,y 轴及o 点转动的惯量。
3．几何意义空间曲线积分的几何意义是：当1),,(=z y x f 时，⎰Cds 表示曲线C 的长度。
第一类平面曲线积分⎰Cds y x f ),(的几何意义是：设0),(>y x f ，曲线C 在xoy 平面上的方程为0),(=y x ϕ（它在空间直角坐标系中的图形是母线平行于z 轴，以C 为准线的柱面）。
记1C 为两空间曲面),(y x f z =和0),(=y x ϕ的交线，则1C 上的点),,(000z y x 与C 上对应点)0,,(00y x 的距离为),(00y x f 。
于是，积分元素ds y x f ),(表示柱面上阴影部分的面积的近似值，而曲线积分⎰Cds y x f ),(就表示柱面0),(=y x ϕ介于曲线C 与1C 之间部分的面积。
（可看成是沿平面曲线C 所筑的一道高低不平围墙的面积）。
4．性质如果L （或Γ）是分段光滑的，我们规定函数在L （或Γ）上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分之和。
例如，设L 可分成两段光滑曲线弧1L 及2L （记作21L L L +=），就规定⎰⎰⎰+=+2121),(),(),(L L L L ds y x f ds y x f ds y x f如果L 是闭曲线，那么函数),(y x f 在闭曲线L 上对弧长的曲线积分记为⎰Lds y x f ),(。
由对弧长的曲线积分的定义可知，它有以下性质： 性质1 线性性质（略） 性质2 可加性（略）性质3 （比较性）设在L 上),(),(y x g y x f ≤，则⎰⎰≤LLds y x g ds y x f ),(),(。
特别地，有⎰⎰≤LLds y x f ds y x f ),(),(注意：函数),,(z y x f 在曲线⋂AB 和⋂BA 上的第一类曲线积分相等。
二．对弧长的曲线积分的计算及应用定理 设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为)(,)()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x ，其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数，且0)()(22≠'+'t t ψϕ，则曲线积分⎰Lds y x f ),(存在，且)(,)()()](),([),(22βαψϕψϕβα<'+'=⎰⎰dt t t t t f ds y x f L证 假定当参数t 由α变至β时，L 上的点),(y x M 依点A 至点B 的方向描出曲线L 。
在L 上取一列点B M M M M M A n n ==-,,,,,1210 ，它们对应于一列单调增加的参数值βα=<<<<<=-n n t t t t t 1210根据对弧长的曲线积分的定义，有=⎰Lds y x f ),(∑=→∆ni i i i s f 1),(lim ηξλ设点),(i i ηξ对应于参数值i τ，即)(),(i i i i τψητϕξ==，这里i i i t t ≤≤-τ1。
由于⎰-'+'=∆ii t t i dt t t s 1)()(22ψϕ应用积分中值定理，有i i i i t s ∆''+''=∆)()(22τψτϕ，其中i i i i i i t t t t t ≤'≤-=∆--τ11,，于是=⎰Lds y x f ),(∑=→∆''+''ni i i i i i t f 1220)()()](),([lim τψτϕτψτϕλ由于函数)()(22t t ψϕ'+'在闭区间],[βα上连续，我们可以把上式中的i τ'换成i τ，从而=⎰Lds y x f ),(∑=→∆'+'ni i i i i i t f 1220)()()](),([lim τψτϕτψτϕλ上式右端的和的极限，就是函数)()()](),([22t t t t f ψϕψϕ'+'在区间],[βα上的定积分，由于这个函数在],[βα上连续，所以这个定积分是存在的，因此上式左端的曲线积分⎰Lds y x f ),(也存在，并且有)(,)()()](),([),(22βαψϕψϕβα<'+'=⎰⎰dt t t t t f ds y x f L⑴公式⑴表明，计算对弧长的曲线积分⎰Lds y x f ),(时，只要把ds y x ,,依次换为dt t t t t )()(),(),(22ψϕψϕ'+'，然后从α到β作定积分就行了。
必须注意，定积分的下限α一定要小于上限β。
这是因为，从上述推导中可以看出，由于小弧段的长度i s ∆总是正的，从而0>∆i t 。
如果曲线L 由方程)(),(0X x x x y ≤≤=ψ给出，有)(,)(1)](,[),(020X x dx x x x f ds y x f Xx L<'+=⎰⎰ψψ ⑵如果曲线L 由方程)(),(0Y y y y x ≤≤=ϕ给出，有)(,)(1]),([),(020Y y dy y y y f ds y x f Yy L<'+=⎰⎰ϕϕ ⑶公式⑴可推广到空间曲线弧Γ由参数方程)(),(),(),(βαωψϕ≤≤===t t z t y t x给出的情形，这样就有)(,)()()()](),(),([),,(222βαωψϕωψϕβα<'+'+'=⎰⎰dt t t t t t t f ds z y x f L例 1 计算曲线积分⎰⋂+=ABds y x I )(，其中⋂AB 为圆222a y x =+上连接)0,(a A 和),0(a B 的一段弧。
)2(2a例2 计算⎰Cxyds ，其中C 是封闭路径OABO 如图。
答案：120612455+例3 计算螺线vt z t r y t r x ===,sin ,cos ωω（其中ω,,v r 为常数）对应于参数0=t 到π2=t 的一段弧绕z 轴旋转的转动惯量（假定螺线质量均匀分布，线密度为1）。
22222v w r r +π例4 已知半圆圈)0(:222≥=+y r y x C 的质量分布不均匀，其线密度y x y x +=2),(ρ，试求其质心)4433,0(),(++r rr y x ππ小结：作业：P.131.3(2)(4)(8),5。