中山市2014届高三上学期期末统一考试试题(文数)

中山市2014届高三上学期期末统一考试
数学（文科）
本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1、答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1．设复数113i z =-，21i z =-，则12z z +在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．设全集U 是实数集,R {}22,M x x =-≤≤,{}
2430N x x x =-+>,则M N ⋂=（ ） A ．{|21}x x -≤< B ．{|22}x x -≤≤ C ．{|12}x x <≤
D ．{|2}x x <
3．已知平面向量()21=，
a ，()2x =-，
b ，若a ∥b ，则a +b 等于( ) A ．()2,1--
B ．()2,1
C ．()3,1-
D ．()3,1-
4．已知数列{}n a 为等差数列，若23a =，1612a a +=，则789a a a ++=
A ．36
B ．42
C ．45
D ．63
5．在某次测量中得到的A 样本数据如下:82, 84, 84, 86, 86, 86, 88, 88, 88, 88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据,则A ,B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A ．众数
B ．平均数
C ．中位数
D ．标准差
6．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，
105,45=∠=∠CAB ACB 后，
就可以计算出A 、B 两点的距离为（ ） A.
m 2
2
25
B ．m 225
C ．m 250
D ．m 350
7．如图，定义某种运算a S b =⊗，运算原理如右图所示，则
式子1
31100lg ln )45tan 2(-⎪⎭
⎫
⎝⎛⊗+⊗e π的值为（ ） A ．11 B ．13 C ．8
D ．4
8．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱 的三视图如下图所示，则该棱柱的体积为（ ）
A
．
B
．
C
．
D ．6
9．已知函数)(x f y =)(R x ∈满足(2)2()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()1f x x =-+，则当(0,10]x ∈时，)(x f y =与4()log g x x =的图象的交点个数为( ) A ．11
B ．10
C ．9
D ．8
10．对a ∀、b R ∈，运算“⊕”、“⊗”定义为：a b ⊕=,().()a a b b a b <⎧⎨
≥⎩，a b ⊗=,()
.()
a a
b b a b ≥⎧⎨<⎩，
则下列各式其中不恒成立的是（ ） ⑴a b a b a b =+⊗+⊕ ⑵a b a b a b =-⊗-⊕ ⑶[][]a b a b a b =⋅⊗⋅⊕ ⑷[][]a b a b a b =÷⊗÷⊕ A ．⑴、⑶
B ．⑵、⑷
C ．⑴、⑵、⑶
D ．⑴、⑵、⑶、⑷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

） 11. 22cos 15sin 15-= .
12．已知函数3log ,0()2,0
x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1
(())9f f = .
13．若变量,x y 满足线性约束条件43250
48010x y x y x +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪-≥⎩
，则2z x y =-的最大值为________．
14．已知函数221,(20)
()3,(0)ax x x f x ax x ⎧++-<≤=⎨->⎩
有3个零点，则实数a 的取值范围
是 .
三、解答题（ 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 15．（本题满分12分）
设平面向量)sin ,(cos x x =
，1
)2
b = ，函数()1f x a b =⋅+ 。

（Ⅰ）求函数)(x f 的值域和函数的单调递增区间; （Ⅱ）当9()5f α=,且263ππα<<时,求2sin(2)3
πα+的值.
16．（本题满分12分）
某学校餐厅新推出A ，B ，C ，D 四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下. 为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：
（Ⅰ）若同学甲选择的是A 款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；
（Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面 谈，求这两人中至少有一人选择的是D 款套餐的概率. 17．（本题满分14分）
如图所示，圆柱的高为2,AE 、DF 是圆柱的两条母线，过AD 作圆柱的截面交下底面于BC ,四边形ABCD 是正方形，EO ⊥AB.
（Ⅰ）求证BC BE ⊥；
（Ⅱ）求四棱锥E-ABCD 的体积.
18．（本小题满分14分）
数列{n a }的前n 项和为n S ，213
1(*)22
n n S a n n n N +=-
-+∈． （Ⅰ）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n nb 的前n 项和n T ；
19.（本小题满分14分）
已知函数()x
f x e kx =-，.
（Ⅰ）若0k >，且对于任意0)(,>∈x f R x 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅱ）设函数)()()(x f x f x F -+=，
求证：1ln (1)ln (2)ln ()ln(2)()2
n n
F F F n e n N +*+++>
+∈
20. （本小题满分14分）
已知函数2
()f x x x λλ=+，()ln g x x x λ=+，()()()h x f x g x =+，其中R λ∈，且0λ≠.
（Ⅰ）当1λ=-时，求函数()g x 的最大值； （Ⅱ）求函数()h x 的单调区间；
（III ）设函数(),0,
()(),0.
f x x x
g x x ϕ≤⎧=⎨
>⎩若对任意给定的非零实数x ，存在非零实数t （t x ≠），使得'()'()x t ϕϕ=成立，求实数λ的取值范围.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
DAACD CBBCB
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．
11.
; 12．14; 13. 5; 14. 3(,1)4
三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）
设平面向量)sin ,(cos x x =
，1
)2
b = ，函数()1f x a b =⋅+ 。

（Ⅰ）求函数)(x f 的值域和函数的单调递增区间; （Ⅱ）当9()5f α=
,且263ππα<<时,求2sin(2)3
πα+的值. 15．解： 依题意)(x f ⋅=)sin ,(cos x
x 11
)1sin 122
x x +=++………（2分） sin()13
x π
=+
+ ………………………………………………（4分）
（Ⅰ） 函数)(x f 的值域是[]0,2；………………………………………………（5分） 令ππ
π
ππ
k x k 22
3
22
+≤
+
≤+-
，解得52266
k x k ππ
ππ-
+≤≤+………………（7分）
所以函数)(x f 的单调增区间为5[2,2]()66k k k Z ππ
ππ-
++∈.……………………（8分） （Ⅱ）由9()sin()1,35f παα=++=得4
sin()35
πα+=,
因为2,63ππα<<所以,23ππαπ<+<得3cos()35
πα+=-,………………………（10分）
2sin(2+)sin 2()33ππαα=+ 432sin()cos()233
ππαα=++=-⨯⨯ 24
=-
………………………………………………………………
……（12分）
16．（本题满分12分）
某学校餐厅新推出A ，B ，C ，D 四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下. 为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：
（Ⅰ）若同学甲选择的是A 款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；
（Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面 谈，求这两人中至少有一人选择的是D 款套餐的概率.
解：（Ⅰ）由条形图可得，选择A ，B ，C ，D 四款套餐的学生共有200人，
其中选A 款套餐的学生为40人， 由分层抽样可得从A 款套餐问卷中抽取了 4200
40
20=⨯
份. …………….（2分） 设事件M =“同学甲被选中进行问卷调查”，
则.1040
4
)(==
M P . ……………………………………………………….（5分） 答：若甲选择的是A 款套餐，甲被选中调查的概率是0.1. …………….（6分）
（II ）由图表可知，选A ，B ，C ，D 四款套餐的学生分别接受调查的人数为4，5，6，5. 其中不满意的人数分别为1，1，0，2个 . ………………………….（7分） 记对A 款套餐不满意的学生是a ；对B 款套餐不满意的学生是b ；
对D 款套餐不满意的学生是c ，d. ………………………………………………….（8分） 设事件N =“从填写不满意的学生中选出2人，至少有一人选择的是D 款套餐” 从填写不满意的学生中选出2人，共有(a ,b ),(a ,c ),(a ,d ),(b ,c ),(b ,d ),(c ,d )6个基本事件， 而事件N 有(a ,c ),(a ,d ),(b ,c ),(b ,d ),(c ,d )5个基本事件， ………………………（10分） 则6
5
)(=
N P . ………………………………………………………（12分） 17．（本题满分14分）
如图所示，圆柱的高为2,AE 、DF 是圆柱的两条母线，过AD 作圆柱
的截面交下底面于BC , 四边形ABCD 是正方形.
（Ⅰ）求证BC BE ⊥；
（Ⅱ）求四棱锥E-ABCD 的体积.
（Ⅰ） AE 是圆柱的母线，
∴AE ⊥下底面，又BC ⊂下底面，∴AE BC ⊥…………………………….3分 又 截面ABCD 是正方形，所以BC ⊥AB ，又AB AE A =
∴BC ⊥面ABE ，又BE ⊂面ABE ，∴BC BE ⊥ ……………………………（7分）
（Ⅱ）因为母线AE 垂直于底面，所以AE 是三棱锥A BCE -的高………………（8分）， 由（Ⅰ）知BC ⊥面ABE ，BC ⊂面ABCD ，∴面ABCD ⊥面ABE ，
又 面ABCD ⋂面ABE AB =，EO ⊂面ABE ，EO AB ⊥
∴EO ⊥面ABCD ，即EO 就是四棱锥E ABCD -的高…………………（10分） 设正方形ABCD 的边长为x , 则AB BC x ==
，BE ==又 BC BE ⊥，∴
EC
为直径，即EC =在Rt BEC 中，2
2
2
EC BE BC =+,
即22244x x x =+-⇒=
∴4416ABCD S =⨯=， ……………………………………………………………（12分）
AE BE EO AB ⋅===
∴1116333
E ABCD ABCD V OE S -=⋅⋅==
18.（本小题满分14分）
数列{n a }的前n 项和为n S ，213
1(*)22
n n S a n n n N +=-
-+∈． （I ）设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列； （II ）求数列{}n nb 的前n 项和n T ；
（Ⅲ）若12n n n c a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，22014
2
11k k k k k
c c P c c =++=+∑．求不超过P 的最大整数的值。

18．【解析】(1) 因为213122
n n a S n n +=--+，
所以 ① 当1=n 时，121-=a ，则112
a =-， ………………………………（2分）
② 当2n ≥时，21113(1)(1)122
n n a S n n --+=----+，…………………（4分）
所以121n n a a n --=--，即12()1n n a n a n -+=+-，
所以11(2)2n n b b n -=
≥，而111
12
b a =+=， ……………………（6分） 所以数列{}n b 是首项为12，公比为12的等比数列，所以12n
n b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
．………（7分）
（2）由(1)得2n n
n nb =． 所以 ①n n n n n T 221..........242322211432+-+++++=
-， ②12322
21..........24232212--+-+++++=n n n n
n T ， ……………（9分）
②-①得：n n n n
T 2
21......2121112-++++
=-， ……………（12分）
n n n
n n n T 22222
11211+-=--⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=
. ………………（14分）
19．（本小题满分14分） 已知函数()x
f x e kx =-，.
（I ）若0k >，且对于任意0)(,>∈x f R x 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （II ）设函数)()()(x f x f x F -+=， 求证：1ln (1)ln (2)ln ()ln(2)()2
n n
F F F n e n N +*+++>
+∈ 19. 解:（Ⅰ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数． 于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立．………（1分） 由()e 0x
f x k '=-=得ln x k =．
①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥． 此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意．（3分）
②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．
当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表： ………………………（4分）
x
(0ln )k ， ln k
(ln )k +∞，
()f x ' -
+
()f x
单调递减
极小值
单调递增
由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥． 依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，．
综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． ……………………（7分） （Ⅱ）()()()e e
0x
x
F x f x f x -=+-=+> ，
112212ln ()ln ()ln[()()]x x x x F x F x e e e e --∴+=++
又
1122()()x x x x e e e e --++=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+，
…………………………………………………………………（10分）
1ln (1)ln ()ln(e 2)n F F n +∴+>+，
1
1
l n (2)
l n (1)
l n (e
2)
l n ()
l n (1)
l n (e
2).
n n F F n F n F +++->++>+
……………………………………………（12分）
由此得:
12[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)]ln(e 2)
n F F F n F F n F F n F n F n ++++=+++-+++>+ 故1ln (1)ln (2)ln ()ln(e 2)2
n n
F F F n n +*+++>
+∈N ，成立. …………………（14分） 20．已知函数2
()f x x x λλ=+，()ln g x x x λ=+，()()()h x f x g x =+，其中R λ∈，且
0λ≠.
⑴当1λ=-时，求函数()g x 的最大值； ⑵求函数()h x 的单调区间；
⑶设函数(),0,
()(),0.
f x x x
g x x ϕ≤⎧=⎨
>⎩若对任意给定的非零实数x ，存在非零实数t （t x ≠），使得'()'()x t ϕϕ=成立，求实数λ的取值范围.
解：⑴当1λ=-时，()ln ,(0)g x x x x =-> ∴11()1,(0)x g x x x
x
-'=-=>
令()0g x '=，则1x =， ∴()ln g x x x =-在(0, 1)上单调递增，在(1, +)∞上单调递减 ∴max ()(1)1g x g ==- ………………………（4分）
⑵2
()2ln h x x x x λλ=++，2
1221'()22x x h x x x x
λλλλ++=++=，（0x >）
∴当0λ>时，'()0h x >，∴函数()h x 的增区间为(0,)+∞，
当0λ<
时，2(22'()x x h x x
λλλ=，
当x 时，'()0h x <，函数()h x
是减函数；当0x <'()0h x >，函
数()h x 是增函数。

综上得，当0λ>时，()h x 的增区间为(0,)+∞；
当0λ<时，()h x 的增区间为，减区间为)+∞ ………（10分）
⑶当0x >，1'()x x ϕλ=+在(0,)+∞上是减函数，此时'()x ϕ的取值集合(,)A λ=+∞；
当0x <时，'()2x x ϕλλ=+，
若0λ>时，'()x ϕ在(,0)-∞上是增函数，此时'()x ϕ的取值集合(,)B λ=-∞； 若0λ<时，'()x ϕ在(,0)-∞上是减函数，此时'()x ϕ的取值集合(,)B λ=+∞。

对任意给定的非零实数x ，
①当0x >时，∵'()x ϕ在(0,)+∞上是减函数，则在(0,)+∞上不存在实数t （t x ≠），使得'()'()x t ϕϕ=，则(,0)
t ∈-∞，要在(,0)-∞上存在非零实数t （t x ≠），使得'()'()
x t ϕϕ=成立，必定有A B ⊆，∴0λ<；
②当0x <时，'()2x x ϕλλ=+在(,0)-∞时是单调函数，则(0,)t ∈+∞，要在(0,)+∞上存在非零实数t （t x ≠），使得'()'()x t ϕϕ=成立，必定有B A ⊆，∴0λ<。

综上得，实数λ的取值范围为(,0)-∞。

……………（14分）。