三阶边连通度最优性的一个充分条件

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图是极大3限制边联通的充分条件

图是极大3限制边联通的充分条件王美玉;王世英【摘要】设S是连通图G中的一个边子集.若G-S不连通且它的每个连通分支的阶至少为k,则称S是G的一个k限制边割.图G的最小k限制边割的边数称为G的k限制边连通度,记为λk(G).定义ξk(G) =min{| [X,(X)]|:|X| =k,G[X]连通},其中(X)=v(G) X.若λk(G)=ξk(G),则称G是极大k限制边连通的.设G是一个围长至少为5的λ3-连通图.本文证明了若G中不存在5个点u1,u2,v1,v2,v3使得d(ui,vj)≥3(i=1,2;j=1,2,3),则G是极大3限制边连通的.【期刊名称】《山东科学》【年(卷),期】2015(028)003【总页数】4页(P80-83)【关键词】连通图;k限制边连通度;距离;围长【作者】王美玉;王世英【作者单位】山西大学数学科学学院,山西太原030006;山西大学数学科学学院,山西太原030006【正文语种】中文【中图分类】O157.5本文所考虑的图都是无向简单图。

本文中出现而未定义的概念和记号参见文［1］。

设G＝（V（G），E（G））是一个连通图。

若e＝uv是一条边，则称u与v相邻。

对于G中任意一点u，用N（u）表示在G中与u相邻的点的集合，用d（u）表示在G中与u相邻的点的数目。

图G的一条路是指一个有限非空顶点序列P＝v0v1…vk，使得对0≤i≤k－1，vi与vi＋1相邻，并且对i≠j有vi≠vj。

称P是一条（v0，vk）-路，顶点v0与vk分别称为P的起点和终点，P中边的数目为P的长度。

在连通图G中，u与v之间的距离是最短（u，v）-路的长，记为d（u，v）。

若一条路的起点与终点相同，则称它为圈，记为C。

称C中边的数目为C的长度。

图G的围长g（G）定义为G中最短圈的长度；若G没有圈，则定义G的围长为无穷大。

对G的两个非空顶点子集X与Y，用［X，Y］表示G中一端点在X中另一端点在Y中的所有边所构成的集合。

复旦大学计算机院赵一鸣离散数学图论习题

(1)证明连通：任两点连通。反证，不连通：1）若干连通分支 2）存在2个顶点，它们之间没有路 (2)证明G为树：树的等价定义证明方法，利用树的等价定义；证明G有生成树，可证明G连通，再用定理7.3 (3)利用Euler公式，推论6.1和6.2，及定理6.2的证明方法，结合定理5.1;做过的习题 (4)连通度证明，定理8.1及做过习题证明方法
[7.21] (1)试画一棵带权1, 3, 8, 9, 12, 15, 16的最优二分树。
W(T)=(1+3)*5+8*4+9*3+(12+15+16)*2
=20+32+27+86=165
(2)试将最优二分树的霍夫曼算法推广到最优 m 分树上, 其中m3。当t-1不是m -1的倍数时, 则添加k个权为0的,使t1+k是m -1的倍数. 画一棵最优m分树方法是: 这里 t是权的个数设t个权w1,w2,,wt,w1w2wt 首先构造t棵树,每棵树是一个顶点(即根),分别带权 w1,w2, ,wt。然后找出m个带最小权w1,w2 ,,wm的顶点作为树叶, 构造一棵m分树。

(半)Euler图,充要条件 (半)Hamilton图,必要条件，充分条件 (半)Euler有向图,充要条件 (半)Hamilton有向图，有关结论平面图，面，内部面，外部面 Euler公式,推论6.1，6.2 库拉托斯基定理对偶图，定义，特点点着色，面着色，地图
点连通度，边连通度，最小度数的关系定理8.1 网络，容量，流量，可行流，最大流，割容量，最小割匹配，v关于M饱和，完美匹配，最大匹配，完全匹配交错路，增广路，定理8.8(最大匹配的充要条件。邻集，霍尔定理

非线性微分方程三阶三点边值问题正解的存在性

非线性微分方程三阶三点边值问题正解的存在性
区别线性微分方程和非线性微分方程：1.微分方程中的线性，指的是y及其导数y'都是一次方。

如y'=2xy。

2.非线性，就是除了线性的。

如y'=2xy^2。

若一个微分方程不符合上面的条件，就是非线性微分方程。

线性方程：在代数方程中,仅不含未知数的一次幂的方程称作线性方程。

这种方程的
函数图象为一条直线，所以称作线性方程。

可以认知为：即为方程的最低次项就是一次的，容许存有0次项，但无法少于一次。

比如说ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。

微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。

如果一个微分方程中仅所含未明函数及其各阶导数做为整体的一次幂,则表示它为线
性微分方程。

可以认知为此微分方程中的未明函数y就是不少于一次的，且此方程中y的
各阶导数也必须就是不少于一次的。

λ'-最优图的充分条件

λ'-最优图的充分条件郭利涛;郭晓峰【摘要】设G=(V,E)是一个连通图.边集S?E,如果G-S不连通且G-S的每个连通分支至少有2个点,则称S是一个限制性边割.限制性边连通度λ'(G)就是G的最小限制性边割的基数.如果限制性边割存在,则称G是λ'-连通的.如果λ'(G)=ξ(G),则G 是λ'-最优或者极大限制性边连通的,其中ξ(G)=min{|[X,Y]|:X?V,|X|=2,G[X]连通}.图G的逆度是指R(G)=∑v∈V d 1(v).在此基础上,主要得到了:如果G是λ'-连通围长大于等于5的n阶图,且δ(G)≥2,如果R(G)小于某个关于最小度和顶点数的值,则G是λ'-最优的.对于不含钻石的图也得到了类似的结果.【期刊名称】《厦门大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(058)001【总页数】4页(P79-82)【关键词】限制性边连通度;λ'-最优;逆度【作者】郭利涛;郭晓峰【作者单位】厦门理工学院应用数学学院,福建厦门 361024;厦门大学数学科学学院,福建厦门 361005【正文语种】中文【中图分类】O1571 预备知识在本文中，只研究无向简单连通图，对文中未出现的术语和定义参考文献[1].设G=(V,E)是连通图,dG(v)表示G中点v的度(简写为d(v)),δ(G)是G的最小度.进而,设S⊂V,G[S]是由S导出的子图，G-S是点集V-S导出的G的子图并且令图G的围长g(G)是G中最短圈的长度.令X,Y⊂V,[X,Y]表示G的一条边的端点在X中、另一个端点在Y中的边的集合.一个处理器网络或通信网络可以用图G=(V,E)表示，其中V中的每个点表示处理器或交换机，E中的每条边表示连接处理器或交换机的线路.网络设计的一个基本要求是网络的可靠性.连通图G的边割S是一些边的集合，G去掉S后不连通.G的边连通度λ(G)就是G的最小边割的基数.边连通度λ(G)是衡量网络可靠性和容错性的一个重要参数.我们知道λ(G)≤δ(G)，一般地，λ(G)越大网络越稳定，但是，在λ(G)的定义中没有对G-S的分支进行限制.因此，有研究者给出了限制性边连通度的定义[2]，具体如下：边集S⊂E,如果G-S不连通且G-S 的每个连通分支至少两个点，则S是G的限制性边割.G的最小限制性边割的基数就是G的限制性边连通度，用λ′(G)表示.如果S是一个限制性边割且|S|=λ′(G)，则称S是一个λ′-割.Esfahanian等[2]证明了如下结果：定理1[2] 对任意的至少有4个点的连通图G，且不同构于星图K1,n-1,则λ′(G)存在且有λ′(G)≤ξ(G),其中ξ(G)=min{ξ(e)=d(u)+d(v)-2:e=uv∈E}是G的最小边度. 如果λ′(G)=ξ(G)，则称G是λ′-最优的.如果G有λ′-割，则称G是λ′-连通的.因此限制性边连通度是经典边连通度的推广，可以更加精确地衡量大规模并行处理系统的可靠性和容错性，从而，受到了很多学者的关注.设图G没有孤立点，定义G的逆度逆度最早是由计算机的Graffiti 猜想引起人们注意的[3]，此后其他学者也研究了逆度的其他性质[4-7].本文中给出了关于R(G),δ(G),ξ(G)和n的函数的图是λ′-最优的充分条件.2 主要结果首先，研究图的λ′-最优性并有如下结果.定理2 设G是λ′-连通围长大于等于5的图，δ(G)≥2.若n≤2δ+1,则G是λ′-最优的.证明反证法.设λ′<ξ，则存在一个λ′-割S=[X,Y],有|X|,|Y|≥2.令X1⊆X,且X1中的每个点至少关联[X,Y]中的一条边，X0=X-X1.注意到围长大于等于5，分两种情况讨论.情形1 X0=∅.根据假设X中的每个点至少关联[X,Y]中的一条边，取边e=xy∈E(G[X]),有ξ(G)≤d(x)+d(y)-2=|N(x)|+|N(y)|-2=|(N(x)∩X)\{y}|+|N(x)∩Y|+|(N(y)∩X)\{x}|+|N(y)∩Y|≤|[{x,y},Y]|+|[X\{x,y},Y]|=|[X,Y]|=λ′(G),矛盾.情形2 X0≠∅.情形2.1 G[X0]是独立集.令x∈X0,y∈X1且xy∈E(G[X]),则N(x)⊆X1.类似于情形1，一样可以得到矛盾.情形2.2 设边e=xy∈E(G[X0]).由于N(x)⊆X,N(y)⊆X，有|X|=|X1|+|X0|≥|N(x)∪N(y)-x-y|+2≥min{d(x)-1,d(y)-1}+2≥δ+1.同样地,有|Y|≥δ+1，则n≥2δ+2，矛盾.下面介绍一个有用的引理.引理1 设G是λ′-连通围长大于等于5的图，且δ(G)≥2，则存在一个λ′-割[X,Y]，其中两个不交点集X,Y⊂V(G)，X∪Y=V(G)且|[X,Y]|=λ′.如果λ′<ξ，则|X|,|Y|≥ξ+2.证明反证法根据假设有|X|,|Y|≥2.令X1⊆X，且X1中的每个点至少关联[X,Y]中的一条边,X0=X-X1.注意到围长大于等于5，分两种情况讨论.情形1 X0=∅.则X中的每个点至少关联[X,Y]中的一条边.取边e=xy∈E(G[X])，可以得到ξ(G)≤d(x)+d(y)-2=|N(x)|+|N(y)|-2=|(N(x)∩X)\{y}|+|N(x)∩Y|+|(N(y)∩X)\{x}|+|N(y)∩Y|≤|[{x,y},Y]|+|[X\{x,y},Y]|=|[X,Y]|=λ′(G).矛盾.情形2 X0≠∅.情形2.1 G[X0]是独立集.设x∈X0,y∈X1且xy∈E(G[X])，则N(x)⊆X1.注意到围长大于等于5，有ξ(G)≤d(x)+d(y)-2=|N(x)|+|N(y)|-2=|(N(x)∩X)\{y}|+|(N(y)∩X)\{x}|+|N(y)∩Y|=|(N(x)∩X)\{y}|+|(N(y)∩X0)\{x}|+|N(y)∩X1|+|N(y)∩Y|≤|(N(x)∩X)\{y}|+|N(u)∩X1|+|N(y)∩X1|+|N(y)∩Y|≤|[{x,y},Y]|+|[X\{x,y},Y]|=|[X,Y]|=λ′(G).矛盾.情形2.2 取一条边e=xy∈E(G[X0]).因为围长大于等于5以及N(x)∩N(y)=∅，N(x)⊆X,N(y)⊆X.因此，|X|=|X1|+|X0|≥d(x)-1+d(y)-1+2≥d(x)+d(y)≥ξ(e)+2≥ξ(G)+2.同样地，有|Y|≥ξ(G)+2.推论1 设G是λ′-连通围长大于等于5的n阶图，且δ(G)≥2.若n≤2ξ(G)+3，则G是λ′-最优的.引理2[5](i) 设a1,a2,…,ap，A是正实数且则(ii) 如果a1,a2,…,ap,A是正整数且是整数有A=ap+b且0≤b≤p，则其中等号成立的充要条件是p-b个ai等于a，其余的ai等于a+1.(iii) 设f(x)是区间[L,R]上的连续凸函数,若l,r∈[L,R]，且l+r=L+R，则f(L)+f(R)≥f(l)+f(r).定理3 设G是λ′-连通围长大于等于5的n阶图，且δ(G)≥2，如果R(则G是λ′-最优的.证明设G不是λ′-最优的,即λ′<ξ.根据引理1,则存在一个λ′-割[X,Y]，其中两个不交点集X,Y⊂V(G)，X∪Y=V(G)且|[X,Y]|=λ′，使得|X|,|Y|≥ξ(G)+2≥2δ，有2δ≤|X|,|Y|≤n-2δ.进一步地，由引理2的(ii)，有图G有一个度为δ的点v.不失一般性地,假设v∈Y，则由引理2的(ii)，有由1/(|X|-1)≥1/(n-2δ-1)，可以得到R考虑函数容易验证t>0时，f ″(t)>0，因此f是凸的.又由于|X|,|Y|≥2δ,|X|+|Y|=n.将引理2的(iii)应用到函数f(t)，则有又因为λ′≤ξ-1，有R矛盾.钻石图就是完全图K4去掉任意一条边.类似于引理1有如下结论：引理3 设G是λ′-连通最小度大于等于2且不含钻石的图，S=[X,Y]是一个λ′-割.不妨设|X|≤|Y|，存在一个点v∈X，且v在一个三角形上，有|N(v)∩Y|≥2.如果λ′<ξ，则|X|,|Y|≥ξ+1.证明类似于引理1.推论2 设G是λ′-连通最小度大于等于2且不含钻石的图，S=[X,Y]是一个λ′-割.不妨设,|X|≤|Y|，存在一个点v∈X，且v在一个三角形上，有|N(v)∩Y|≥2.如果n≤2ξ(G)+1，则G是λ′-最优的.定理4 设G是λ′-连通最小度大于等于2且不含钻石的图，S=[X,Y]是一个λ′-割.不妨设|X|≤|Y|,存在一个点v∈X，且v在一个三角形上，有|N(v)∩Y|≥2.如果R则G是λ′-最优的.证明设G不是λ′-最优的，根据引理3,有|X|,|Y|≥ξ+1≥2δ-1.进而有由引理2的(ii)，有图G有一个度为δ的点v.不妨设v∈X.那么有由引理2的(ii)，得又因为1/(|Y|-1)≥1/(n-2δ)，则有R考虑函数容易验证t>0时，g″(t)>0，所以g是凸函数.因为|X|,|Y|≥2δ-1,|X|+|Y|=n，应用引理2的(iii)，有注意到λ′≤ξ-1，则R矛盾.【相关文献】[1] BONDY J A,MURTY U S R.Graph theory and its application[M].New York:Academic Press,1976:1-50.[2] ESFAHANIAN A H,HAKIMI S L.On computing a conditional edge connectivity of a graph[J].Information Processing Letters,1988,27:195-199.[3] FAJTLOWICZ S.On conjectures of Graffiti,Ⅲ[J].Congressus Numerantium,1988,66:23-32.[4] DANKELMANN P,SWART H C,VAN DEN BERG P.Diameter and inversedegree[J].Discrete Math,2008,308:670-673.[5] DANKELMANN P,HELLWIG A,VOLKMANN L.Inverse degree and edge-connectivity[J].Discrete Math,2009,309:2943-2947.[6] 郭利涛，徐兰，郭晓峰.极大3-限制性边连通图的若干充分条件[J].厦门大学学报(自然科学版)，2011，50(3)：498-500.[7] TIAN Y,GUO L,MENG J,et al.Inverse degree and super edge-connectivity[J].International Journal of Computer Mathematics，2012,89：752-759.。

图的λ3最优性的充分条件

Ｓｐ２Ｏｅ．Ｏ８Ｖ１２ｏ３０．３Ｎ．
图的３优性的充分条件最
陈亮高敬振
（山东师范大学数学科学学院，０１，２０４济南 ∥第一作者２岁，，５６男硕士生）
摘要设Ｇ＝（Ｅ是有限简单无向图，是一个边割．Ｇ—Ｕ的每个分支的阶至少是３则称为Ｇ的３，）若，阶限制边割．Ｇ
收稿日期：０ — １１２８０ —７０
１
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第２卷３
山东师范大学学报（然科学版）自＋ＩⅣ（，（。ＵⅣ［］）Ｉ（）、 Ⅳ［］）ｎ＋２（ Ⅳ（）Ｉ（ｎⅣ（）、Ⅳ［，）ＩＩ（。ｎⅣ（，）、Ⅳ［］ｎＩ）］ｎ＋２（ Ⅳ（）））＋２（ Ⅳ（）Ｉ（ｎⅣ（，））、Ⅳ［］ｎＩＩ））＋３ Ⅳ（ｎⅣ（）ｎⅣ（，ｎＩ），
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２０年９０８月第２卷第３３期
山东师范大学学报（然科学版）自
ＪｕａｏＳａｄｎｏｕｎｅｉ（ａｒｌｃｎｅｏｒｌｆｈｎｏｇＮｍｄＵｉｒｔＮｔａＳｉｃ）ｎｖｓｙｕｅ
ＲＧＰ＝１ｃ ‘１（，）一ｉ（一ｐ）一．Ｐ ‘
为了确定网络的可靠性，需要确定所有的系数但是Ｐｏａｒｎ等人［证明了确定所有系数是Ｎｖ１Ｐ困难问题．了比边连通为
度更精确地估计网络的可靠性，ｓｈｎａＨｋｍ［引进了分割连通图使各分支不含孤立点的边割，Ｅｆａｉａｎ和ａｉｉ２即限制边割．更一般地，如果Ｕ是Ｇ的边割，－ＧＵ每个分支的阶至少是ｋ则称Ｕ为Ｇ的ｋ阶限制边割，，Ｇ为连通图．定义＝（）ｉｌ：Ｇ＝ｍｎ｛ＵＩＵ为Ｇ的ｋ阶限制边割｝Ｇ的ｋ阶限制边连通度，到最小的这种Ｕ称为Ｇ的边割．Ｆ是图Ｇ＝（Ｅ）为达设，的一个子图，令

3-连通图的若干性质

度都至少为一。
因为Ｇ为３一连通图，Ｇ ∞为２故一一连通图，若否Ｇ ∞不为２一一连通图，Ｇ（为分离图则显然（Ｇ的割点，与Ｇ为３若一Ｉ）ｏ为这一连通图矛
盾，ｒｍ有割点ｍ，若广。则显然ｆ，｝Ｇ的只有两个顶点的顶点割，蚰ｍ为这
道路，因为这三条道路内部不相交，ｕ不可能同时在这三条道路上，故，ｖ故三条内部不相交的ＵＵ道路至少有一条在Ｇ一ｕｖ中，Ｕ，在图Ｉ｛，ｌ故１ＬＩＧ｛，｝一ｕｖ是连通的，Ｇ—ｕｖ是连通图，Ｔ不为Ｇ的顶点割，Ｇ的连故，）故故通度至少为３故Ｇ为３连通图。．，再证明必要性，图Ｇ是３连通图，，是Ｇ中的两个顶点，ｄ若ＶＬｖＩ对（，作数学归纳。ｕｖ）
也与Ｇ为３一连通图矛盾。Ｇ一 ∞为２一连通图则根据引理Ｇ ‘ 的任意两个顶点间至少有两条一１）内部不相交的道路所连通。、均为Ｇｍ中的顶点，ｕｖ — 故在Ｇ— ｍ中存在２条内部不相交的Ｕ道路Ｐ、２记Ｕ、ＶＰ’ ，．ｕ分别为Ｐ与ＰｕＰｕＰ的。 ’ 。２３、最后一个交点。若Ｕ＝ＩＵ则显然Ｐ’ｐｔＶＧ中三条内部不相交的Ｈ。Ｉ＝，２。２ＰＯ为、、）Ｖ道路。若Ｕ≠ｕ且ｕ、Ｉ．分别为Ｐ、：ｕ，、中两条道路上的顶点，ＰＰ不妨设Ｕ。为Ｐ上的顶点，Ｐ上的顶点，记Ｐ的Ｈ．ｕ为。Ｕ节为Ｐ的ＵｖＰ’ ｌ节为ＰＰ的ｕ２，ｚｕ节为ｌ２ｕｖ为Ｐｌ，’ ２Ｐ的￣＂２。则ＰｌｌＰ１２、ｖ为Ｇ中三 ’ Ｉｌ２ｌ ∞ ＰｔＰ’ 条内不相交的ｕｖ道路。若Ｕ≠ｕ且ｕ、同为Ｐ、２。ｕ、中某一条道路上的顶点，不妨设ＰＰｕ、ｌ同为Ｐ上的顶点。设ＵＰ’ Ｐ的交点，ｕ．为。与。且道路Ｐ。上在Ｕ后。的顶点与Ｐ、无交点，且道路Ｐ上在Ｕ前的顶点与ＰｕＰｕＰ的最２３后一个交点不在Ｐ上，ｕ’ Ｐ‘ Ｐ的交点，设为２与且道路Ｐ’ ２上在ｕ’ 后的顶点与Ｐ、Ｐ无交点，且道路Ｐ’ 上在Ｕ的顶点与Ｐ１ＰｕＰ的最前３２３．后一个交点不在Ｐ上，不妨设在道路Ｐ上顶点Ｕ’ 。。在顶点ｕ’ ，Ｐ’ 前记上在ｕ前的顶点与ＰｔＰｕＰ的最后一个交点为Ｕ。３２．：，不妨设顶点ｕ。 ‘ ’ 在道路Ｐ上。记Ｐ的Ｕ。２１Ｈ’ 节为ＰＰ’ ｕ’ 。ｌ的１，ｖ节为Ｐ２的Ｕ２节为１，＇Ｕ１ ’ Ｐ的ｕ’ ２ ’ Ｖ节为 ’则Ｐ２２Ｐ ’ ｖＧ中三条内部不相交的。１、为Ｐ１Ｐ道路。综上，所以图Ｇ的任意两个顶点间至少有三条内部不相交的道路所连通。证毕。性质２若图Ｇ是３：一连通图则图Ｇ中的任意两个顶点Ｕｖ、都会存在Ｇ中的两个包含了顶点ｕｖ、的不同的圈，且这两个圈的环和为包含了顶点Ｕｖ的一个圈。、证明：图Ｇ是３若一连通图，Ｇ中的两个顶点Ｕｖ根据性质１故Ｖ、，，在图Ｇ中存在三条内部不相交的Ｕ道路，Ｖ分别记为Ｐ、２３、，ＰＰ则记Ｃ

图论及其应用

一个最小边割集。
连通度
定义：如果0<k≤λ(G),则称G是k-边连通图。
定理：图G是k-边连通图当且仅当对E(G)的任意一个子集E1，若|E1|≤k-1，则G\E1仍是连通图。
连通度
定理：对p 简单图G,有
(1) (G) (G),(G) (G); (2) (G) p 1,等号成立当且仅当G Kp; (3)(G) p 1,等号成立当且仅当G Kp; (4)对G的任意一个顶点u， (G) 1 (G u); (5)对G的任意一条边e，(G) 1 (G e) (G).
（v0-vk）路P，且E(P) E(W ) 。
若P是一条路，x与y为顶点，用
表示这条路。
当G为简单图时，W=v0e1v1e2v2···vk-1ekvk，可简写为 W=v0v1v2···vk-1vk。
路和圈
对于图G中两个给定的顶点u和v,若存在（u-v）路，则必存在长度最短的（u-v）路P0，称P0的长度为u，v的距离，记为dG(u,v)或d(u,v)。
Байду номын сангаас
连通图
定理：设D是连通的有向图，则D是强连通的当且仅当D的每一条弧都含在某一有向圈中。
连通度
定义：设连通图G=(V,E)不是完全图,V1是V(G)的一个
非空真子集,若G\V1非连通,则称V1是G的点割集。若点割集V1含有k个顶点,也称V1是G的k-点割集。
定义：图G是p 阶连通图，令
（G）
表示n个点的回路。
有向图D的有向途径是指交替地出现点和弧的一个有限非空序列
W=v0a1v1a2v2···akvk ，对于i=1,2,···,k,弧ai的起点是vi1,终点是vi，简称W是一条（v0-vk）有向途径。在严格有向图中，可用v0v1···vk表示有向途径。

λ5-最优图的一个充分条件

第１Ｏ卷
第４期
太原师范学院学报（然科学版）自
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＴＡＩＹＵＡＮＮＯＲＭＡＬＵＮＩＶＥＲＳＴＹ（ｔｒｌｃｅｃｉｉｎＩＮａｕａｉｎｅＥｄｔ）Ｓｏ
Ｖｏ．０Ｎｏ４１１．
Ｄｅ．２１ｃ０１
情形２１３ＧＨ］．．［与图１Ｃ一同构．Ｍ有１顶点，似情形２１１可得矛盾．图度类．．情形２２１ＧＦ） —５．Ｅ（Ｈ］１．
情形２２１［］５此时由已知条件可知，．．ＧＨ为圈．存在ｉ１２３４５满足ｄ．）詈Ｊ从而 ∈｛，，，）（ ≥Ｌｙ．
５５
∑ｄｙ一１一ＩＨ，］≤ （） ∑ ｄ３一８因（）（） ≥ Ｌ（）０［耳Ｉ＋，（），此 ≥ｄｙ一２罟Ｊ一２盾．，，矛
情形２２２ＧＨ］．．Ｅ与图１ｅ图１ｆ一或一同构．时ＧＥ含有一个三角形．Ｙ，是三角形的顶点，此Ｈ］若ｙ都即
的顶点，Ｍ或者有１顶点，者含一个４圈，者含一个５圈，则度或或同情形２２２中的讨论可得矛盾．．．
情形２３１Ｇｒ与图卜ｉ．．Ｈ］同构．时Ｇ［为～个粘合图，ｙ此Ｈ］令为粘合点，中 ∈｛，，，，｝所其１２３４５．
Ｊｌ＝
—
ｌＨ，］≤ （） ∑ ｄｙ）０即 ≥ｄｙ ≥ ＬＪ，盾．至一个形［再ｌｚ＋（～１，（）（）罟一２矛若Ｙ，少有三角，

交通运输部关于印发《交通强国建设评价指标体系》的通知

交通运输部关于印发《交通强国建设评价指标体系》的通知文章属性•【制定机关】交通运输部•【公布日期】2022.01.16•【文号】交规划发〔2022〕7号•【施行日期】2022.01.16•【效力等级】部门规范性文件•【时效性】现行有效•【主题分类】交通运输综合规定正文交通运输部关于印发《交通强国建设评价指标体系》的通知交规划发〔2022〕7号各省、自治区、直辖市、新疆生产建设兵团交通运输厅（局、委）：为深入贯彻落实《交通强国建设纲要》《国家综合立体交通网规划纲要》，客观评估交通强国建设进程，充分发挥评价指标体系的“标尺”和“指挥棒”作用，科学引导各地区、各行业加快建设交通强国，我们研究制定了《交通强国建设评价指标体系》，经报国务院领导同志同意，现予印发。

部加快建设交通强国领导小组办公室要加强统筹、确保质量，科学有序做好指标体系的完善和指标测算指南的制定工作。

部综合规划司要会同国家铁路局、中国民用航空局、国家邮政局相关司局做好行业指标制定工作，各省级交通运输主管部门做好省域指标制定工作，部科学研究院会同部规划研究院、水运科学研究院、公路科学研究院等相关科研单位做好指标测算指南研究及技术支撑等相关工作。

各行业、各单位要协同配合,高质量推进指标体系的建设、管理及评估等工作。

有关成果及时报部。

交通运输部2022年1月16日交通强国建设评价指标体系为贯彻落实《交通强国建设纲要》《国家综合立体交通网规划纲要》，客观评估交通强国建设进程和开展国际对标，科学引导各地区、各行业加快建设交通强国，充分发挥交通强国建设评价指标体系的“标尺”和“指挥棒”作用，制定本指标体系。

一、总体要求以习近平新时代中国特色社会主义思想为指导，深入贯彻党的十九大和十九届历次全会精神，立足新发展阶段，完整、准确、全面贯彻新发展理念，服务构建新发展格局，坚持以人民为中心的发展思想，着力推动交通运输实现“三个转变”，打造“四个一流”，坚持典型引领、可比可取，构建以国家综合指标为统领，行业指标、省域指标为基础的交通强国建设评价指标体系，切实发挥引导作用，加快建设人民满意、保障有力、世界前列的交通强国，为全面建设社会主义现代化国家当好开路先锋。

图是λ3-最优的最小度条件

＝
１
３
３
ｎ、Ｙ，｝＋（（））｛，｝＋（（ｎ、Ｙ，｝＋∑ ｌ（）ｌ）｛ＹｌｌＮＹｎ、ＹＹｌｌⅣ ２３２３））｛Ｙｌ２ｙｎ＝∑ ｌⅣ ｎｌＮｊ（（）
收稿１：Ｏ７一ｌ３期２ＯＯ一０８
的确定是ＮＰ困难问题．本文考虑有限无向简单连通图．ｎ（ｅ表示ｎ个顶点￡令ｎ，）条边的图的集合．Ｐ充分小时，当为最小化
ＰＧ，）边连通度（）（Ｐ，Ｇ起重要作用．实上，事文献［］２ｅ证明：Ｇ，２∈ ｎ（，）若（。（）则当Ｐ充分小时对Ｇｎ￡，Ｇ）＞，Ｐ（。ｐＧ，）＜Ｐ（２ｐ．Ｇ，）他们还计算出了前面Ｃ到Ｇ共（）。Ｇ个系数．为了更精确地估计可靠性，献［］文３引入了限制边割和限制边连通度的概念．设Ｇ＝（，）ＶＥ是一个简单连通图．我们简记ｎ＝ｌ１对ｃＶＧ，Ｘ］．（）Ｇ［表示由导出的子图．１Ａ，ｌ［Ｂ］表示ＶＧ）（的两个不交子集Ａ，Ｂ之间的边数．对 ∈ ＶＧ）Ｎ（表示在Ｇ中的邻点集．ＸｃＶＧ）Ｎ（（，ｃ）对（，ｃ）＝＿ｃ）给定ｎ ≥ Ⅳ（．（
维普资讯
２０年６月０８第２卷第２期３
山东师范大学学报（然科学版）自ＪｕａｏＳａｄｎｏａＵｉｒｔ（ａｒｃｎｅｏｒｌｆｈｎｏｇＮｒｌｎｖｓｙＮｔａＳｉｃ）ｎｍｅｉｕｌｅ

图的λ_6-最优性的领域交条件

断言１Ｘ。０．一
如果Ｘｏ ≠ ，那么取ｚ∈Ｘｏ由Ｘ。的定义知：与ｙ中任意一点Ｙ均不相邻且ｚ的邻点都在ｘ中．．注
收稿日期：０１０ — ３２１－９２作者简介：苗丽（９４）女，１８一，山西平顺人，治市供销干部学校助理计师，长主要从事图论及其应用研究
ｖｙＥ＿Ｖ（）Ｈ
∑ Ｉ（ｎ（）＜ＨＩ ∑ Ｉ（ｎＸＩＮ）Ｎ）．
ｖＥＶ（）Ｈ
由引理１ｉ得知，一ｉ）矛盾．因此Ｉ）＜Ｉ７）Ｎ（ＮＸＩ９ＮＶ（Ｉ若Ｉ）Ｎ（。Ｈ）．。ＮＶ（Ｉ５则容易找到６阶连通Ｎ（Ｈ） ≥ ，子图Ｈ含｛，２。，盾，３ｌｖ）ｌｌ７）Ｈ） ≤ ４即ｌ）包，｝矛故 ≤ 。ｎＸ＜３ｎＶ（Ｉ．Ｎ（Ｎ（。Ｎ（ｎＸＩ，Ｎ（）一３１ｎＶ
ｉ若ＧＥ中存在一个ｋ阶连通子图Ｈ使得）Ｘ］
∑ ｌ，）（）≤ ∑ Ｉ（）』ｎＶＨｌ＼（ｎＹｌＮ，
∈ Ｘ－Ｖ（）－Ｈ ∈ Ｖ（）Ｈ
则Ｇ是一优的．最
ｉＧＸ－ｉ）Ｅ］中不存在ｋ阶连通子图Ｈ使得
∈ｙ—Ｖ（，Ｈ）ｚ与不相邻．而有ｌ） ≥ ｌ）ｚｎＸＩ）） — Ｉ）Ｊ）从Ｎ（ＩＮ（ｎＮ（ｃｎｙ１１一２，对任意的 ∈ｙ一、（有 ≥ Ｏ —８故／Ｈ）ｒ
Ｖ（）Ｈ有

条件连通度 -回复

条件连通度-回复什么是条件连通度？条件连通度是图论中的一个重要概念，它用于衡量网络或图中两个节点之间是否存在连接路径。

在现实生活中，我们经常需要通过网络或图模型来描述和分析各种复杂系统，例如社交网络、电力网络、运输网络等。

而条件连通度可以帮助我们理解这些系统的连接性和稳定性。

为了更好地解释条件连通度，让我们先回顾一下最短路径问题。

在一个图论中，最短路径问题是指从一个节点到另一个节点的最短路径，其中路径的长度由路径上的边权重和决定。

条件连通度则是对最短路径问题的一个推广，它要求路径上的边权重满足特定的条件。

具体来说，条件连通度的定义是：给定一个图G（V，E）和一对节点u，v ∈V，条件连通度是指所有满足某一条件的u到v的最短路径中边权重的最大值。

这一条件可以是任意的，例如边权重大于某个数值、边权重之比小于某个阈值等。

为了更好地理解条件连通度，让我们考虑一个简单的例子。

假设我们有一个运输网络，其中各个城市通过不同的道路连接。

我们希望计算某个城市到另一个城市的最短路径，并且在这个路径上不超过某个最大的运输成本。

这里，我们可以将最大运输成本作为条件连通度的条件，其中路径上的边权重即为各个道路的运输成本。

条件连通度的计算可以通过各种图算法实现。

其中最常用的是Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。

Dijkstra算法用于计算单源最短路径，即从一个节点到其他所有节点的最短路径。

该算法通过不断更新节点的距离值，从源节点开始逐步扩展，直到计算出到目标节点的最短路径。

Floyd-Warshall算法则用于计算全源最短路径，即计算任意两个节点之间的最短路径。

该算法通过迭代地更新中间节点，逐步计算出所有节点之间的最短路径。

在实际应用中，条件连通度可以帮助我们解决各种网络规划和优化问题。

例如，在电力网络中，我们可以使用条件连通度来确定两个发电站之间的最大传输容量，以保证各个用户节点的电力供应。

在社交网络中，我们可以使用条件连通度来计算两个用户之间的社交距离，以确定他们之间的关联程度。

极大3等周边连通图的充分条件

极大3等周边连通图的充分条件徐子钧;张磊【摘要】k等周边连通度是一个比边连通度更可靠的网络可靠性参数.连通图G的k等周边连通度定义为γk(G)=min{| [X,X]|:X(∈)V(G),|x|≥k,|x|≥k},其中(x)=V(G)X.令βk(G) =min{|[X,X] |:X(∈)V(G),|X|=k}.图G是极大k等周边连通的如果γk(G)=βk(G).令G是一个阶至少为6的连通图.本文证明了如果对于G中任意一对不相邻的顶点u,v,当u和v都不在三角形中时满足|N(u)∩N(v)}≥2;当u和v中至少有一个在三角形中时满足|N(u)∩N(v)|≥5,那么G是极大3等周边连通的.【期刊名称】《山东科学》【年(卷),期】2016(029)004【总页数】5页(P75-79)【关键词】互连网络;极大k等周边连通图;k等周边连通度;邻域【作者】徐子钧;张磊【作者单位】晋中学院数学学院,山西晋中030600;晋中学院数学学院,山西晋中030600【正文语种】中文【中图分类】O157.6本文所考虑的图都是无向简单图。

本文中出现而未定义的概念和记号参见文献[1]。

设G(V(G),E(G))是连通图,用表示G的阶。

若e=uv是一条边,则称u和v相邻。

G中所有与顶点u相邻的点所组成的集合N(u)叫做u的邻域。

假设U是V(G)中的一个非空子集。

以U为顶点集,以G中两个端点均在U中的所有的边的集合为边集所组成的子图称为G的由U导出的子图,记为G[U];这时,也称G[U]为G的导出子图。

导出子图G[V(G)\U]记为G-U;它是从G中删去U中的顶点以及与U中的顶点相关联的边所得到的子图。

若U={u},则G-{u},简记为G-u。

图G中的一条途径是指一个有限非空序列W=v0e1v1e1v2…vk-1ekvk,它的项交替地为顶点和边,使得对1≤i≤k,ei=vk-1vk。

称W是从v0到vk的一条途径，v0和vk分别称为W的起点和终点,而v0,v1,v2,…,vk-1称为W的内部顶点；W中边的数目称为W的长。

三阶限制边连通度的优化问题

三阶限制边连通度的优化问题设G=（V，E）是无向简单连通图，S（?）E是G的一个边割，如果G-S的每个连通分支至少有k个顶点，则称S是G的一个k阶限制边割。

若G的k阶限制边割存在，则把G的最小k阶限制边割所含的边数称为G的k阶限制边连通度。

k阶限制边连通度作为边连通度的推广，是计算机互连网络可靠性的一个重要度量。

k阶极大限制边连通性是比k阶限制边连通度更精确的一个网络可靠性指标。

一个图G是k阶极大限制边连通的，如果它的k阶限制边连通度等于它的k阶限制最小度，即λk（G）=ξk（G）。

本文主要研究了k阶限制边割的存在性和几类情形下图的3阶极大限制边连通性。

在第一章第一节我们给出本文将用到的图论方面的主要的术语、记号。

在第二节我们介绍了限制边连通度方面的基本概念和基本结论。

本文第二章研究了直径为2的图的k阶限制边割存在的一个充分条件，并证明一类特殊的图-完全图的k阶限制边割是存在的。

图的3阶极大限制边连通性在网络可靠性分析中有重要作用。

在本文的第三章中，我们先给出了后文将要用到的几个简单事实，并简略总结了直径为2的图的连通性方面的已有结论。

在第二节，直径为2的图是3阶极大限制边连通的几个充分条件被给出，具体是：（1）设G是一个λ3-连通图，且对于G中的任意两个不相邻顶点u和v，有|N（u）∩N（v）|≥4，且若u，v都在三角形中，有|N（u）∩N（v）|≥5，则G是三阶极大限制边连通的。

（2）设G是一个λ3-连通图，且对于G中的任意两个不相邻顶点u和v，若|N（u）∩N（v）|≥4，且G[N（u）∩N（v）]包含至少四条边，那么G是三阶极大限制边连通的。

（3）设G是一个λ3-连通图，满足ν≥38。

三阶边连通度最优性的一个充分条件

三阶边连通度最优性的一个充分条件
高敬振;桑镇;陈亮
【期刊名称】《科学技术与工程》
【年(卷),期】2008(008)008
【摘要】设G是有限简单无向图,D,g,δ分别表示G的直径、围长和最小度.设U 是连通图G的边子集.如果G-U不连通,且每个连通分支至少有3个点,则称U是G 的一个三阶限制边割,|U|的最小值称为G的三阶限制边连通度,记为λ3(G).一个三阶连通子图的最小外度定义为ζ3(G)=min{|(X,(X))|:X∈V(G),|X|=3,G[X]连通}.证明如果D≤g-4且δ≥3,那么λ3(G)=ζ3(G).
【总页数】3页(P2143-2144,2165)
【作者】高敬振;桑镇;陈亮
【作者单位】山东师范大学数学科学学院,济南,250014;山东师范大学数学科学学院,济南,250014;山东师范大学数学科学学院,济南,250014
【正文语种】中文
【中图分类】O157.5
【相关文献】
1.二部图2-等周边连通度最优的充分条件 [J], 段晋芳;原军
2.k阶限制边连通度最优的一个充分条件 [J], 蔡俊青;高敬振
3.图的限制性边连通度等于其最小边度的一个充分条件 [J], 王应前; 李乔
4.可迁图的超常边连通度的最优性 [J], 王铭; 李乔
5.向量集值优化问题真有效解的最优性充分条件 [J], 万莉娟; 宇世航; 李月秋; 马占春
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三阶限制边连通度的优化问题的开题报告

三阶限制边连通度的优化问题的开题报告1. 研究背景和意义连通度是图论中一个重要的概念，因为它可以衡量一个图中边的重要性。

连通度高的图更加稳定，因为删除任意一个顶点都不会影响整个图的连通性。

因此，研究如何提高图的连通度是计算机科学领域中一个重要的研究方向。

三阶限制边连通度是一种特殊的连通性问题。

它要求对于任意三个不同的顶点，这三个顶点之间至少存在一条路径且这条路径上的边数不能超过限制值k。

因此，在解决三阶限制边连通度的问题时，需要考虑如何保证连通性同时限制路径长度，并且需要寻找一种有效的算法来解决该问题。

2. 研究现状针对三阶限制边连通度问题的研究已经得到了一些成果。

其中一些算法是根据随机化策略提出的。

例如，王建华等人提出了一种随机化算法，通过利用随机化的方法采样图的子图并计算其连通度来寻找最优解。

该算法是一种贪心算法，能够在较短时间内找到较好的解。

除了基于随机化的算法之外，还有一些基于数学理论的算法。

例如，林元坤等人提出了一种基于矩阵理论的算法，利用特殊的矩阵结构来寻找三阶限制边连通度问题的解。

该算法虽然速度比较快，但需要先将图转化为矩阵形式，计算过程比较繁琐。

3. 研究内容和方法本文将研究三阶限制边连通度问题的优化方法。

本文的方法将基于贪心算法和动态规划算法。

贪心算法是一种常用的算法，可以用于寻找最优解。

动态规划算法则是一种优化算法，可以通过将问题分解为子问题来提高算法效率。

在本文中，我们将提出一种新的算法，该算法将综合运用贪心和动态规划思想，通过动态规划的方式来优化贪心选择的边。

具体来说，我们将首先通过贪心算法选择一组边，然后利用动态规划来计算这组边的贡献值，并根据贡献值对边集进行排序，最后选择对总贡献值最大的边集。

我们将在实验中测试该算法，以验证其有效性和效率。

4. 预期成果我们期望通过本文的研究，提出一种有效的算法来解决三阶限制边连通度问题。

该算法将综合运用贪心和动态规划思想，具有较高的解决效率和优化能力。

边连通度多项式算法

边连通度多项式算法边连通度多项式算法边连通度是图论中一个重要的概念，用来描述图中边的连通性。

在某些应用中，我们需要知道图的边连通度，以便做出相应的决策或优化。

边连通度多项式算法是一种用于计算图的边连通度的有效方法。

边连通度多项式算法基于图的边连通性，将其转化为一个多项式的问题。

具体的算法步骤如下：1. 输入：给定一个无向图G，其中包含n个顶点和m条边。

2. 初始化：设F(x)为边连通度多项式，初始值为1。

设E(x)为边多项式，初始值为x。

3. 迭代计算：从1到n的顶点依次进行以下操作：a. 对于当前的顶点v，计算它的度数d(v)，即与v相关联的边的数目。

b. 更新边多项式E(x)为E(x) * (x - d(v))。

c. 更新边连通度多项式F(x)为F(x) * E(x)。

4. 输出：边连通度多项式F(x)。

边连通度多项式算法的关键在于将边连通性转化为多项式的形式，并通过迭代计算来求解。

算法的时间复杂度为O(n+m)，其中n和m分别为图的顶点数和边数。

边连通度多项式算法的应用非常广泛。

例如，在网络设计中，我们希望设计一个具有较高边连通度的网络，以提高网络的可靠性和稳定性。

通过计算边连通度多项式，我们可以评估不同网络拓扑结构的边连通度，并选择最优的拓扑结构。

在社交网络分析中，边连通度多项式算法可以用于评估社交网络中人与人之间的关系强度。

通过计算边连通度多项式，我们可以得到不同人之间的关系强度分布，从而帮助我们了解社交网络的结构和演化规律。

边连通度多项式算法还可以应用于电路设计、交通网络规划等领域。

在这些领域中，我们需要考虑边的连通性，以便优化设计或规划方案。

通过计算边连通度多项式，我们可以得到不同方案的边连通度，并选择最优的方案。

边连通度多项式算法是一种用于计算图的边连通度的有效方法。

它将边连通性转化为多项式的形式，并通过迭代计算来求解。

该算法在网络设计、社交网络分析、电路设计等领域有着广泛的应用。

连通三元组的度数

连通三元组的度数连通三元组的度数是指一个有向图中，以某个节点为起点或终点的三元组的数量。

在图论中，度数是指与某个顶点相连的边的数量。

在本文中，我们将讨论连通三元组的度数及其相关概念。

一、引言在图论中，连通性是一个重要的概念。

一个有向图中的连通性可以通过节点之间的边的连接关系来定义。

在有向图中，每个节点可以有多个出边和入边，而连通三元组的度数则是指以某个节点为起点或终点的三元组的数量。

1. 定义连通三元组的度数是指以某个节点为起点或终点的三元组的数量。

在一个有向图中，如果一个节点的出边数为m，入边数为n，那么该节点的度数为m+n。

2. 度数与连通性的关系在一个有向图中，节点之间的连通性可以通过节点的度数来判断。

如果一个节点的度数为0，那么该节点是孤立的，即没有与其他节点相连的边。

如果一个节点的度数大于0，那么该节点是连通的，即与其他节点存在连接关系。

3. 度数的计算方法计算一个节点的度数可以通过统计该节点的出边数和入边数来进行。

在有向图中，每条边都是由一个起点和一个终点组成的，因此可以通过遍历图中的所有边，统计起点和终点的出边数和入边数来计算节点的度数。

三、连通三元组的度数的应用1. 社交网络分析在社交网络中，连通性是一个重要的指标。

通过分析用户之间的连接关系和节点的度数，可以了解社交网络中用户之间的关系和交互程度。

同时，也可以通过节点的度数来判断用户的影响力和重要性。

2. 网络流量分析在网络流量分析中，连通性也是一个重要的指标。

通过分析网络中节点之间的连接关系和节点的度数，可以了解网络中数据流动的情况和瓶颈所在。

同时，也可以通过节点的度数来判断网络中的关键节点和瓶颈节点。

3. 电路分析在电路分析中，连通性和节点的度数也是非常重要的指标。

通过分析电路中节点之间的连接关系和节点的度数，可以了解电路中电流的流动情况和电压的分布情况。

同时，也可以通过节点的度数来判断电路中的关键元件和瓶颈元件。

四、连通三元组的度数的计算方法在实际应用中，计算连通三元组的度数可以使用图论算法来进行。

三阶边连通度最优性的一个充分条件

图是极大3限制边联通的充分条件

复旦大学 计算机院 赵一鸣 离散数学 图论习题

非线性微分方程三阶三点边值问题正解的存在性

λ'-最优图的充分条件

图的λ3最优性的充分条件

3-连通图的若干性质

图论及其应用

λ5-最优图的一个充分条件

交通运输部关于印发《交通强国建设评价指标体系》的通知

图是λ3-最优的最小度条件

图的λ_6-最优性的领域交条件

条件连通度 -回复

极大3等周边连通图的充分条件

三阶限制边连通度的优化问题

三阶边连通度最优性的一个充分条件

三阶限制边连通度的优化问题的开题报告

边连通度 多项式算法

连通三元组的度数

复旦大学计算机院赵一鸣离散数学图论习题

边连通度多项式算法