初一数学竞赛系列讲座(10)

初一数学竞赛系列讲座(10)

应用题（二）

一、一、知识要点

1、工程类问题

工程类问题讨论工作效率、工作时间和工作总量之间的相互关系。它们满足如下基本关系式：工作效率⨯工作时间=工作总量

解工程问题时常将工作总量当作整体“1”

2、溶液类问题

溶质：能溶解到溶剂中的物质。如盐、糖、酒精等。

溶剂：能溶解溶质的物质。如水等。

溶液：溶质和溶剂的混合体。如盐水、糖水、酒精溶液等。

溶液的浓度：指一定量溶液中所含溶质的量，经常用百分数表示。浓度的基本算式是：

%

100⨯=溶液量溶质量

浓度

二、二、例题精讲

例1江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机 台。(1999年全国初中数学联合竞赛试题) 解：设开始抽水前管涌已经涌出的水量为a 立方米，管涌每分钟涌出的水量为b 立方米，又设每台抽水机每分钟可抽水c 立方米，由条件可得：

⎩⎨⎧⨯=+⨯=+c b a c b a 1641640240 解得⎪⎩⎪⎨⎧==c b c a 323160

如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机的台数为：

6103203160

1010=+

=+c c c c b

a

评注：本题设了三个未知数a 、b 、c ，但只列出两个方程。实质上c 是个辅助未知数，在解方程时把c 视为常数，解出a ，b(用c 表示出来)，然后再代入求出所要求的结果。

例2 甲、乙、丙三队要完成A 、B 两项工程。B 工程的工作量比A 工程的工作量多25%，甲、乙、丙三队单独完成A 工程所需的时间分别是20天、24天、30天。为了共同完成这两项工程，先派甲队做A 工程，乙、丙二队做B 工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A 工程。问乙、丙二队合作了多少天？(第十四届迎春杯决赛试题)

解：设乙、丙二队合作了x 天，丙队与甲队合作了y 天。将工程A 视为1，则工程B 可视为1+25%=5/4，由题意得：

⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=+=+=++=++150596053 452430*********y x y x y x x y y x 去分母得，由此可解得x=15

答：乙、丙二队合作了15天

评注：在工程问题中，如果工作总量不是一个具体的量，常常将工作总量视为1。

例3 牧场上的草长得一样地密，一样地快。70已知70头牛在24天里把草吃完，而30头牛就可吃60天。如果要吃96天，问牛数该是多少？

解：设牧场上原来的草的问题是1，每天长出来的草是x ，则24天共有草1+24x ，60

天共有草1+60x ，所以每头牛每天吃603060124

70241⨯+=⨯+x

x 去分母得: 30(1+24x)=28(1+60x) ∴960x=2

∴x=16001

2470241 480

1=⨯+x

则每头牛每天吃，(头) 96天吃完，牛应当是2016001964801961=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+

例4 某生产小组展开劳动竞赛后，每人一天多做10个零件，这样8个人一天做的零件超过了200只。后来改进技术，每人一天又多做27个零件。这样他们4个人一天所做的零件就超过劳动竞赛中8个人做的零件。问他们改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的几倍？ 解：设劳动竞赛前每人一天做x 个零件，由题意得

⎩⎨⎧+>++>+10)8(x 27)104(x 20010)(x 8 解得 15

因为 x 是整数，所以x=16，而(16+37)÷16≈3.3

故改进技术后的生产效率约是劳动竞赛前的3.3倍。

评注：本题所列的是不等式组，不能列成方程。

例5 某中学实验室需要含碘2%的碘酒，现有含碘15%的碘酒350克，问应加纯酒精多少克？ 分析：配比前后碘的含量相同。

解：设稀释时需加纯酒精x 克，则稀释后有碘酒(350+x)克，由题意得：

(350+x)⋅2%=350⨯15%

解之得 x=2275

答：应加纯酒精2275克。

评注：浓度配比问题的相等关系一般是配比前后未发生改变的量，或溶质量不变，或溶剂量不变。所列方程的一般形式是各分量=总量。

例6在浓度为x%的盐水中加入一定重量的水，则变成浓度为20%的新溶液，在此新溶液中再加入与前次所加入的水重量相等的盐，溶液浓度变成30%，求x

解：设浓度为x%的盐水为a 千克，加水b 千克，则由题意得

()()()()[]()⎩⎨⎧-⋅++=-+⋅+=⋅(2) %301%201(1)

%20%b b a b a b a x a

由(2)得 8 (a+b)=7 (a+2b) 即a=6b 代入(1)得 6bx=140b ∴

31

23=x 答：x 为

31

23

例7 从两个重量分别为7千克和3千克，且含铜百分数不同的合金上切下重量相等的两块，把切下的每一块和另一块剩余的合金放在一起，熔炼后两块合金含铜百分数相等，求所切下的合金的重量是多少？

解：设重量为7千克的合金的含铜百分数为x ，重量为3千克的合金的含铜百分数为y ，

切下的合金的重量是z 千克，由题意得：()()7733y z x z y z x z ⋅+

-=-+⋅

∴(21-10z) x=(21-10z) y ∴(21-10z) (x-y)=0

∵x ≠y ∴21-10z=0 ∴z=2.1

答：所切下的合金的重量是2.1千克.

例8 甲、乙、丙三个容器中盛有含盐比例不同的盐水。若从甲、乙、丙中各取出重量相等的盐水，将它们混合后就成为含盐10%的盐水；若从甲和乙中按重量之比为2：3来取，混合后就成为含盐7%的盐水；若从乙和丙中按重量之比为3：2来取，混合后就成为含盐9%的盐水。求甲、乙、丙三个容器中盐水含盐的百分数。

分析：题设中有三种混合方式，但每种混合方式从各个容器中取出的盐水的重量都是未知的，我们可以引进辅助未知数，将这些量分别用字母表示。

解：设甲、乙、丙三个容器中盐水含盐的百分数分别为x%、y%、z%

第一次混合从甲、乙、丙三个容器中各取出a 克盐水，则有

a ⋅ x%+ a ⋅ y%+ a ⋅ z%=3a ⨯10%

从甲和乙中按重量之比为2：3来取盐水时，设从甲中取盐水2m 克，从乙中取盐水3m 克，则有 2m ⋅ x%+ 3m ⋅ y%=(2m +3m)⨯7%

从乙和丙中按重量之比为3：2来取盐水时，设从乙中取盐水3n 克，从丙中取盐水2n 克，则有 3n ⋅ y%+ 2n ⋅ z%=(3n+2n)⨯9%

将上面三式消去辅助未知数得：

⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧====+=+=++15510 4523353230

z y x z y y x z y x 解得

答：甲、乙、丙三个容器中盐水含盐的百分数分别为10%、5%、15%

评注：本题中我们假设的未知数a 、m 、n 不是题目所要求的，而是为了便于列方程而设的，这种设元方法叫做辅助未知数法，辅助未知数在求解过程中将被消去。