闭区间上连续函数的性质定理及微分中值定理的推论

闭区间上连续函数的性质定理及
微分中值定理的推论
方　耀1
　王灵色
2
(1.河北工业大学理学院
天津　300130; 2.河北科技大学理学院　河北石家庄　050018)
摘　要:本文给出了闭区间上连续函数的性质定理———零点定理,介值定理,微分中值定理———罗尔定理,拉格朗日中值定理的推论及其证明,将函数在闭区间上连续的条件改为在开区间内连续且极限存在(或为∞)的条件,从而拓宽了定理的应用范围.关键词:连续函数;零点定理;微分中值定理中图分类号:O172.1
文献标识:A 文章编号:1008-911X (2005)03-0005-04
The i n ferences about the property for con ti n uous
functi on of closed i n terva l and the m ean va lue
theore m for der i va ti ves
Fang yao 1
　W ang L i n g 2se
2
(1-College of sc i ence,Hebe i Un i versity of Technology,T i a n ji n 300130,Ch i n a;
2-College of sc i ence,Hebe i Un i versity of Sc i ence and Technology,sh iji a zhuang 050018,Ch i n a)
Abstract:I n this paper ,the inferences and their p r oof about the p r operty for continuous functi on of cl osed interval -Zer o point theore m ,I nter mediate value theore m and the mean value theore m f or de 2rivatives -Rolle theore m ,Lagrange mean value theorem are given .
Keywords:continuous functi on,Zer o point theore m ,mean value theore m f or derivatives
闭区间上连续函数的性质定理———零点定理,介值定理;微分中值定理———罗尔定理,拉格朗日中值定理,它们都是微积分学的理论基础,是研究函数的有力工具,在微积分学中具有举足轻重的地位.这些定理的条件是很严格的,以至我们可以很容易地举出例子,说明当定理的某个条件被破坏时,定理的结论就不成立了.但是,在多年的教学研究中我们还注意到这样一个问题:通常定理的条件要求在闭区间上连续,而其结论是指出在开区间内存在着具有某种性质的点,并且闭区间上连续的条件又仅是充分而非必要的,那么闭区间上连续的条件就可以改为开区间内连续且极限存在(或为∞)的条件,而定理的结论仍然成立.由此给出下面的推论:
收稿日期:2005-01-11
作者简介:方耀(1947.12-),女,副教授,从事高等数学教学工作。

第20卷　第3期2005年9月河北工业大学成人教育学院学报
Journal of Adult Educati on School of Hebei University of Technol ogy Vol .20No .3Sep.2005
连续函数零点定理推论1
如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续,且li m
x->a+0f(x)=A,(或+∞,或-∞),li m
x-→b-0
f(x)=B,
(或-∞,或+∞),A・B<0,那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)=0.即函数f(x)在(a, b)内至少有一个零点.
证情形1　由li m
x->a+0f(x)=A,li m
x-→b-0
f(x)=B,作辅助函数
G(x)=
f(x) x∈(a,b)
A x=a
B x=b
于是G(x)在闭区间[a,b]上连续且满足零点定理条件,那么,至少存在一点ξ∈(a,b),使得G(ξ) =0,也就是f(ξ)=0.即f(x)在(a,b)内至少有一个零点.
情形2由li m
x->a+0
f(x)=+∞,根据无穷大的定义,则一定存在正数δ1,以及点x1∈(a,a+δ1),使得
f(x1)>0,类似由li m
x->b-0
f(x)=+∞,则一定存在正数δ2,以及点x2∈(b-δ2,b),使得f(x2)<0,于是在闭
区间[x
1
,x2]上对函数f(x)使用零点定理,那么至少存在一点ξ∈(x1,x2)<(a,b),使得f(ξ)=0,即f(x)在(a,b)内至少有一个零点.
类似可证另一情形.证毕.
连续函数零点定理推论2
如果函数f(x)在开区间(-∞,+∞)内连续,且li m
x->-∞f(x)=A,(或+∞,或-∞)li m
x→+∞
f(x)=B,(或
-∞,或+∞),A・B<0,那么在开区间(-∞,+∞)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)=0.即f(x)在(-∞, +∞)内至少有一个零点.
证情形1不妨设A>0,B<0.根据极限的保号性,
由li m
x->-∞
f(x)=A,且A>0,则一定存在点x1<0,使得f(x1)>0,
又li m
x→+∞
f(x)=B,且B<0,则一定存在x2>0,使得f(x2)<0,于是,对函数f(x)在闭区间[x1,x2]上
使用零点定理,那么至少存在一点ξ∈(x
1
,x2)<(-∞,+∞),使得f(ξ)=0,即f(x)在(-∞,+∞)内至少有一个零点.
情形2　当li m
x->-∞f(x)=+∞,li m
x→+∞
f(x)=-∞时,则一定存在点x1<0,使得f(x1)>0,存在点x2>
0,使得f(x2)<0,于是,对函数f(x)在闭区间[x1,x2]上使用零点定理,那么至少存在一点ξ∈(x1,x2)< (-∞,+∞),使得f(ξ)=0,即f(x)在(-∞,+∞)内至少有一个零点.
类似可证另一情形.证毕.
连续函数介值定理推论1
如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续,且li m
x->a+0f(x)=A,li m
x->b-0
f(x)=B,A≠B,那么对介于A与B之
间的任何实数μ,在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)=μ.
证由li m
x->a+0f(x)=A,li m
x→b-0
f(x)=B,作辅助函数
G(x)=
f(x) x∈(a,b)
A x=a
B x=b
于是G(x)在闭区间[a,b]上连续,且满足介值定理的条件,故对上述实数μ,在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使得G(ξ)=μ,即f(ξ)=μ.证毕.
连续函数介值定理推论2
如果函数f(x)在开区间(-∞,+∞)内连续,且li m
x->-∞f(x)=A,li m
x->+∞
f(x)=B,A≠B,那么对介于A
6 河北工业大学成人教育学院学报 2005年
与B 之间的任何实数μ,在开区间(-∞,+∞)内至少存在一点ξ,使得f (ξ)=μ.
证略.罗尔定理推论1
如果函数f (x )在开区间(a,b )内连续,可导,且li m x ->a
+0f (x )=li m x ->b
-0f (x )(可等于有限数A,或+∞,或
-∞),那么至少存在一点ξ∈(a,b ),使得f ′
(ξ)=0。

证　情形1当
li m x ->a +0
f (x )=li m x ->b -0
f (x )=A 时,则作辅助函数
G (x )=
f (x ) x ∈(a,b )A
x =a,b
故G (x )在闭区间[a,b ]上连续,在开区间(a,b )内可导,且G (a )=G (b )=A,根据罗尔定理至少存
在一点ξ∈(a,b ),使得G /
(ξ)=0,即f ′(ξ)=0,ξ∈(a,b ).
情形2
当li m x ->a
+0f (x )=li m x ->b
-0f (x )=+∞时,在(a,b )内任取一点x 0,
由于li m x ->a
+0f (x )=li m x ->b
-0f (x )=+∞,那么在区间(a,x 0),(x 0,b )内一定分别存在点x 1,x 2,使得f (x 1)>f (x 0),f (x 2)>f (x 0).
如果f (x 1)=f (x 2),那么在[x 1,x 2]上应用罗尔定理,至少存在一点ξ∈(x 1,x 2)<(a,b ),使得f ′
(ξ)=0.
如果f (x 1)≠f (x 2),不妨设f (x 1)>f (x 2),那么在[x 1,x 0]上由连续函数的介值定理,存在点x 3∈
(x 1,x 0)使得f (x 3)=f (x 2),于是在[x 3,x 2]上对函数f (x )应用罗尔定理,则至少存在一点ξ∈(x 3,x 2),<
(a,b ),使得f ′(ξ)=0.
类似地可以证明li m x ->a
+0f (x )=li m x ->b
-0f (x )=-∞的情形.证毕.
罗尔定理推论2
如果函数f (x )在开区间(-∞,+∞)内连续、可导,且li m x -∞
f (x )=li m x ->+∞
f (x )(可等于有限数A,或
+∞,或-∞)那么至少存在一点ξ∈(-∞,+∞),使得f ′
(ξ)=0.证情形1
当li m x ->-∞
f (x )=li m x ->+∞
f (x )=A 时,
如果f (x )≡A,x ∈(-∞,+∞),那么,任一点x ∈(-∞,+∞)都可以作为ξ,使得f ′
(ξ)=0.如果f (x ) A,那么,一定存在点x 0,使f (x 0)≠A,则f (x 0)<A,或者f (x 0)>A.
若f (x 0)<A,则一定存在实数μ,有f (x 0)<μ<A,在(-∞,x 0]与[x 0,+∞)内应用连续函数介值定理的推论,总会有点x 1∈(-∞,x 0),x 2∈(x 0,+∞),使得f (x 1)=f (x 2)=μ.于是在[x 1,x 2]上对函数
f (x )应用罗尔定理,至少存在一点ξ∈(x 1,x 2)<(-∞,+∞),使得f ′
(ξ)=0.若f (x 0)>A,类似可证得结论.
情形2　当
li m x ->-∞
f (x )=
li m x ->+∞
f (x )=+∞(或-∞)时,类似推论1中的情形2可以证明.证毕.
拉格朗日中值定理推论
如果函数f (x )在开区间(a,b )内连续,可导,且li m x ϖa
+0f (x )=A,li m x -b
-0
f (x )=B ,那么至少存在一点ξ∈(a,b ),使得B -A =f ′(ξ)(b -a ).
证　构造辅助函数G (x )=f (x )(b -a )-(B -A )x
在G (x )在(a,b )内连续,可导,且
li m x ϖa +0G (x )=li m x ϖa +0
[f (x )(b -a )-(B -A )x ]=A (b -a )-(B -A )a =A b -B a
li m x ϖb -0
G (x )=li m x ϖb -0
[f (x )(b -a )-(B -A )x ]=B (b -a )-(B -A )b =A b -B a
根据罗尔定理推抡1,则至少存在一点ξ∈(a,b ),使得G /
(ξ
)=0,即B -A =f ′(ξ)(b -a ).证毕.(下转第11页)
7
第3期　方耀等闭区间上连续函数的性质定理及微分中值定理的推论
具体配置如下:url -map policy A
method suffix match “gif ”2match “j pg ”2default 1
server real -na me www1192.168.0.10
port htt p gr oup -id 11
server real -na me www2192.168.0.11
port htt p gr oup -id 22
server virtual -na me www 192.168.0.58
port htt p
port htt p url -map policy A port htt p url -s witch bind htt p www1htt p bind htt p www2htt p
经过上面的配置后,ServerIr on 七层交换机成为负载均衡器,根据HTTP 请求中URL 的内容进行负载均衡,将图片内容的访问从主服务器分离,减轻了主服务器负担,相对来说,也就提升了系统整体的性能。

3总结
负载均衡技术在现在的服务器集群,特别是W EB 服务器集群中扮演着越来越重要的角色,是保障
大型W EB 服务正常、稳定运行的关键。

本文介绍了常见的负载均衡技术,比较各自特点及优缺点,重点介绍了七层交换技术,并根据我校的实际应用,给出了两个负载均衡实例的配置,希望能起到抛砖引玉的作用。

参考文献
[1]网捷网络,htt p://www .foundrynet .com /services/documentati on /sixl/index .ht m l .[2]杨厚群.W eb 服务器的负载均衡[J ].计算机工程,2000(S1).
[3]李双庆.W eb 服务器集群技术研究[D ].四川:重庆大学计算机软件及理论,2003.[4]赵水宁,邵军力.多W eb 服务器负载均衡技术的研究[J ].电信科学,2001(7).[5]凌仲权,丁振国.基于第四层交换技术的负载均衡[J ].中国数据通信,2003(7).
(上接第7页)
以上一系列推论的引进,使得仅局限于闭区间上的连续函数所适用的定理拓广到在有限或无限开区间内的连续函数也能应用的范围上,因而定理得到更加广泛的应用.
参考文献
[1]同济大学应用数学系编.微积分(上册)[M ].高等数学出版社,1999.
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1第3期　张海涛校园网环境下七层交换机在负载均衡中的应用 。