2.3.1 直线与平面垂直的判定课件1
2.3.1直线与平面垂直的判定(经典)
如图,点Q是＿点＿P＿在＿平＿面＿内＿的＿射＿影＿ ＿线＿段＿PQ＿是点P到平面 的垂线段
（2）斜线
一条直线和一个平面相交，但不和
这个平面垂直，这条直线叫做这个平面
的斜线．
P
斜线和平面的交点
叫做斜足。
从平面外一点向平 面引斜线，这点与斜
R
足间的线段叫做这点
到这个平面的斜线段
思考：平面外一点到一个平面的垂线段有 几条？斜线段有几条？
A
B
O
D
α
C
这条直线垂直于梯形所在的平面。（√ ）
（4）若一条直线与一个平面不垂直,则这个平面内
没有与这条直线垂直的直线。(× )
定理应用
四：典型例题
例1 如图，已知 a//b,a，求证 b.
证明：在平面 内作两条相交
直线m，n．
a
b
m n
巩固练习
例2 如图，在三棱锥V—ABC中，VA=VC， AB=BC，求证：VB⊥AC。
如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱
AA1,BB1,CC1,DD1 所在直线与底面ABCD的 位置关系如何？它们彼此之间具有什么
位置关系？ C1
D1
B1
A1
C
D
B
A
一、线面垂直的性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
证明：
假设 a与b不平行.
记直线b和α的交点为o,
A
A
B
D
CB
C D
过 ABC 的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻
折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC于桌面接
触）．
（1）折痕AD与桌面垂直吗？
2.3.1直线与平面垂直的判定
D
C
直线与平面所成的角
P A O
α
一条直线PA和一个平 面α相交，但不和这个平 面垂直，这条直线叫做这 个平面的斜线，斜线和平 面的交点A叫做斜足。
过斜线上斜足以外的任意一点向平面 引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫 做斜线在这个平面上的射影。
直线与平面所成的角
线不在多，重在相交
l
P
l
m
n
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平 面，那么另一条也垂直于这个平面。
a b
，a
b
a m
b
如图，直四棱柱 A1B1C1D1 ABCD （侧 棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱） 中，底面四边形ABCD满足什么条 B1D1？ 件时，AC 1
2.3.1直线和平面 垂直 的判定
直线和平面垂直的定义
如果一条直线 l 和一个平面 内的任何一 条直线都垂直， 则说这条直线 l 和这个平 面 互相垂直。 记为 l ，
l
P
叫做 l 的垂面 l 与 的交点P 叫做垂足
l
叫做 的垂线
画法： 一般把表示直线的线段画成和表示 平面的平行四边形的横边垂直。
P A O
α
平面的一条斜线和它 在这个平面上的射影所成的 锐角，叫做这条直线和这个 平面所成的角。
特别的，一条直线垂直于平面，我们说它 们所成的角是直角；一条直线和平面平行，或 在平面内，我们说它们所成的角是0°的角。
直线和平面所成的角的取值范围是
[0°，90°]
例：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求 直线A1B和平面A1B定义，给出了证明线 线垂直的又一种方法：
高一数学人教A版必修2课件：2.3.1直线与平面垂直的判定 教学课件
[ 思路分析]
(1) 求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出
过直线上一点的平面的垂线． (2) 中过 A1 作平面 BDD1B1 的垂线，该垂线必与 B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求．
[ 解析]
(1)∵直线 A1A⊥平面 ABCD， ∴∠A1CA 为直线 A1C 与平面 ABCD 所
∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.
又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB. (2)∵BC⊥平面PAB，AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE.
∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC.
(3)∵AE⊥平面PBC，PC⊂平面PBC， ∴AE⊥PC.∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
命题方向2 ⇨直线与平面所成的角
在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， 导学号 09024474
(1)求直线 A1C 与平面 ABCD 所成的角的正切值； (2)求直线 A1B 与平面 BDD1B1 所成的角．
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
又 BB1∥AA1，∴CD⊥BB1， 又 AA1⊂平面 ABB1A1，BB1⊂平面 ABB1A1， ∴CD⊥平面 ABB1A1.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
[ 错因分析]
错解中 AA1 和BB1 是平面 ABB1A1 内的两条平行直线，不是相交
直线，故不满足直线与平面垂直的判定定理的条件．
第二章 点、
线面垂直的判定方法：
(1)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义．
②线面垂直的判定定理． ③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直 于这个平面． ④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一 个平面．
2.3.1直线与平面垂直的判定定理
C
B
直线与平面垂直的判定定理
a 如果直线 和平面 内的两条相交直线 m,n都垂直，那么直线a 垂直平面 m , a 即： n , m n P a am m P n an
线线垂直 线面垂直
直线与平面垂直的性质
1、线垂直于面，线垂直 于面内的所有直线 a 符号语言： ab b 简记：线面垂直，则线线垂直
拓展思考
P是△ABC所在平面外一 点， PA、PB、PC两两垂 直，PH⊥平面ABC于H. 求证： 1 1 1 1
PA 2 PB 2 PC 2
D
PH 2
• 在△ABC中，∠BAC＝ 60°，线段AD⊥平面 ABC，AH⊥DBC，H为 垂足，求证：H不可能是 △BCD的垂心.
V
求证VB AC
D
C
A
B
教材74页B组练习2题
如图，在三棱锥 S ABC中，ABC 90 D是AC的中点，且SA SB SC
（1 ）求证：SD 平面ABC;
（2）若AB BC, 求证BD 平面SAC
教材67页练习2
练习2、如图,PA垂直于圆O所在面,AB是圆O的直径, C是圆周上一点,那么图中有几个直角三角形?
PA⊥α 于Α ,
P
PB⊥β于B,
AQ⊥l于Q,
求证:BQ⊥l .
A
l Q
B
平面α∩平面β＝CD，EA⊥α，垂足为A， EB⊥β，垂足为B，求证：CD⊥AB
练习4
3.正方体ABCD A1 B1C1 D1中，P为DD1中点， O为底面ABCD中心，
求证：B1O 平面PAC
练习5、折叠问题
2.3.1直线与平面垂直的判定(典型课件)
实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出 几个吗？
旗杆与底面垂直
思考.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子 有何位置关系. A 1.旗杆所在的直线始终与
影子所在的直线垂直.
2. 直线AB垂直于平面 内的任意一条直线．
B1
α
B
C1
C
直线与平面垂直
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直， 我们说直线 l 与平面 互相垂直， 记作 l ．
A
P
O
C
B
(2) C为圆 O上一点 ，AB 为直径 BC AC
1得BC PA, 又 PA AC A 由 BC 面PAC
例 3：如图 6，已知 PA ⊥⊙O 所在平面，AB 为 ⊙O 直径， C 是圆周上任一点，过 A 作 AE⊥PC 于 E，求证：AE⊥平面 PBC. 证明：∵PA ⊥⊙O 所在平面， BC⊂⊙O 所在平面，∴PA ⊥BC， ∵AB 为⊙O 直径， ∴AC⊥BC，
∵BC⊥PA ，∴BC⊥OA. 同理可证 AC⊥OB， ∴O是△ ABC 的垂心．
(4)如图 25，
图 25
P到△ ABC 三边的距离分别是 PD、PE、PF， 则 PD＝PE＝PF. ∵PO⊥平面 ABC，∴PD、PE、PF 在平面 ABC 上的射影 分别是 OD、OE、OF. ∴OD＝OE＝OF，且 OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC. ∴O是△ ABC 的内心．
又∵AE ∩DE =E，∴BC⊥平面AED.
2.如图，圆O所在一平面为 ， AB是圆O 的直径，C 在圆周上, 且PA AC, PA AB, 求证：（1）PA BC （2）BC 平面PAC
2.3.1直线与平面垂直判定
举例
例2、有一根旗杆AB
高8cm,它的顶端A挂 有两条长10m的绳子， 拉紧绳子并把它的下 B 端放在地面上的两点 D C （和旗杆脚不在同一 条直线上 ）C、D. 如 果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m,那么旗杆就和地面垂直,为什 么?
A
解 ： 在 ABC中 ，AC AB BC
2 2AB直线与平面垂直１、定义：一条直线和一个平面相交,且
和这个平面内的任意一条直线都垂直
记作 l 其中：交点 A 叫垂足
α
l
A
l 叫 的垂线， 叫 l 的垂面 l l 内的任意一条直线
练习 1.判断：
(1) 过一点有且只有一条直线和已知平面垂直 (2) 过一点有且只有一个平面和已知直线垂直
相交直线m,n都垂直,则直线l垂直平面α
l
线不在多,重在相交
B
m n
m , 已知： , n是内的两相交直线
直线l与的交点为 , 且l m, l n B
求证： l
练习
3. 判断命题的真假： (1) 垂直于三角形两边的直线必垂直于 第三边
(2) 垂直于梯形两边的直线必垂直于另 外的两边
作业
1. 课本P74练习2 2. 求证：如果一条直线平行于一个平面， 那么这个平面的任何垂线都和这条直线 垂直. 3. 思考题：如果一条直线垂直于平面内 的无数条直线，那么这条直线就和这个 平面垂直，这个结论对吗？为什么？
(3) 若三条共点的直线两两垂直，则其中 一 条垂直于另两条直线所确定的平面
举例 例1、已知：a // b, a 求证: b
a
n m
b
A
m
C
B
(完整版)《直线与平面垂直的判定》ppt课件
符号表示：
P
m ,n
mn
m nP
l
l m, l n
定理补充 “平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少
简记为：线线垂直
线面垂直
例1 如图，已知a∥b，a⊥α，求证：b⊥α.
分析：在平面内作两条相交直线.
证明：在平面 内作两条相交 a
b
直线m，n．
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
BD,CD都在桌面内，BD∩CD=D， AD⊥CD,AD⊥BD,
直线AD所在的A直线与桌面垂直
l
B
D
C
P
mn
直线和平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直．
直线也是垂直的.
C1 C
α
B1 B
直线和平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.
l
平面α的垂线
A
直线l的垂面 垂足
直线和平面垂直的画法 注：画直线与水平平面垂直时，通常把直线画成 与表示P
α
思考2 若直线与平面内的无数条直线垂直，则直
2.3.1 直线与平面垂直的判定
C D
B
小结
1、要证线面垂直（根据定理：一条直线与一 个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与 此平面垂直。） 2、要证线线垂直（可先证一条直线与另一 条直线所在的面垂直，再得到线线垂直。）
作业： 有平行四边形ABCD ，已知l⊥AB，l⊥BC. 求证：l⊥直线AD.
课后思考：Pα , 求证b⊥α .
证明：在平面内作两条 分析：能否在平面α 相交直线m，n. 内找出两条相交直线， a 因为直线a⊥α ，根 使得b与它们垂直？ 据直线与平面垂直的 定义知 α a⊥m，a⊥n. 又因为 b∥a， 所以 b⊥m，b⊥n. 又 m α ， n α ， m， n是两条相交直线， 所以 b⊥α
分析： 解：如图，旗杆PO=8m，两绳长PA=PB=10m，OA=OB=6m （1）两点与旗杆脚确定的平面就是地面。 因为A，O，B三点不共线， 所以A，O，B三点确定平面α（即地面所在面） （2）能否在平面上找出两条相交直线，使得旗杆与它们垂直
又因为PO2+OA2=PA2，PO2+OB2=PB2， 所以OP⊥OA ，OP⊥OB. 又因为OA∩OB=O， 所以OP⊥α . A 因此，旗杆OP与地面垂直.
A
O C
练习 2、如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC， 求证VB⊥AC.
证明：取AC的中点D，连结DV、DB 分析：（1）要证线线垂直，首先证线面垂直 ∵VA=VC，AB=BC （2）AC⊥VB所在的面，应该 ∴△VAC与△BAC都是等腰三角形 是哪一个面？ ∴AC⊥DV AC⊥DB A 给出VA=VC，AB=BC可 ∵DV∩DB=O 以知道△VAC与△BAC都是 ∴AC⊥平面VDB 等腰三角形 ∴AC⊥VB V
2.3.1 直线与平面垂直的判定
直线与平面垂直的判定
练习
1、如果一条直线垂直于平面内的一条直线， 能否判断这条直线和这个平面垂直？
2、如果一条直线垂直于平面内的两条直线， 能否判断这条直线和这个平面垂直？ 3、如果一条直线垂直于平面内的无数条直 线，能否判断这条直线和这个平面垂直？
练习
4、如果三条直线共点、且两两垂直，其中 任一条直线是否垂直于另两条直线确定的 平面？为什么？ 5、如果一条直线垂直于一个三角形的两边， 能否断定这条直线和三角形的第三条边垂 直？为什么？
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二、直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线都垂直，那 么这条直线垂直于这个平面。
三、线面垂直判定定理的证明
已知：m α，n α，m ∩ n = B，l ⊥ m， l ⊥ n。 求证： l ⊥α。
l
B m
α
n
l
l
B m
α
n
l
B m
α
n
l
B m
α
n
g
l
例1 如果两条平行直线中的一条垂直于一 个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。 （此定理可看作线面垂直的判定公理二） a b 已知：a∥b，a ⊥α 求证：b⊥α α
m
n
证明：在平面α内作两条相交直线m，n ∵ a⊥α
∴ a⊥m ,a⊥n
∵ b∥a ∴ b⊥m ，b⊥n ∴ b⊥α α
a
b m
n
l
AE=A’E
B m
α
g
n D
C
E
A’
A
l
AE=A’E AB=A’B
B m
α
g
n D
C
E
A’
A
l
必修2课件：2.3.1直线与平面垂直的判定
V
K
C F B
的条件下，有人说“ ⊥ ， ⑵ 在⑴的条件下，有人说“VB⊥AC， VB⊥EF， ∴ VB⊥平面 ⊥ ， ⊥平面ABC”，对吗？ ，对吗？
线面垂直的判定定理 线线垂直 线面垂直的定义 关键： 关键：线不在多 相交则行 线面垂直
探究1 探究1： 内的一条直线垂直， 如果直线 l 与平面α内的一条直线垂直， 互相垂直? 则直线 l 和平面 α 互相垂直?
a
b
α
探究2 探究2： 内的两条直线垂直， 两条直线垂直 如果直线 l 与平面α内的两条直线垂直， 互相垂直? 则直线 l 和平面 α 互相垂直? 如果两条直线平行 如果两条直线相交 如果两条直线相交
练习： 练习：
如图,在三棱锥 如图 在三棱锥V-ABC中 , 在三棱锥 中 VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中 A ＝ ＝ 是 的中 求证： ⊥平面VKB． 点。求证：AC⊥平面 ．
V
K
C B
变式： 变式：
分别是AB、 ⑴若E、F分别是 、BC 的 、 分别是 中点，试判断EF与平面 与平面VKB 中点，试判断 与平面 的位置关系． 的位置关系．
如图， 求证： b 例2. 如图，已知 a // b, a ⊥ α ，求证： ⊥ α ．
证明： 证明：设m为 α 内的任一 直线 ．
a
n
b
因为 a ⊥α ，根据直线与 平面垂直的定义知
α
m
a ⊥ m．
又因为 b // a ， 所以 b ⊥ m ． 因为m为 α 内的任一直线 ， 所以 b ⊥ α ．
例题1 如图，在正方体ABCD例题1，如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中, ABCD
D1 A1 B1 C1
高一数学人教A版必修2课件：2.3.1直线与平面垂直的判定 教学课件
数学必修② · 人教A版第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1 自主预习学案2 互动探究学案3 课时作业学案自主预习学案一个人走在灯火通明的大街上，会在地面上形成影子，随着人不停走动，这个影子忽前忽后、忽左忽右，但无论怎样，人始终与影子相交于一点，并始终保持垂直．你承认这个事实吗？为什么？1．直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的____________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直记法l⊥α有关概念直线l叫做平面α的_______，平面α叫做直线l的_______．它们唯一的公共点P叫做_________．任意一条垂线垂面垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直[归纳总结](1)定义中的“任任任任任任”任任任任任“任任任任”任任任任任任“任任任任任”任任任任任任(2)任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任(3)任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任2．判定定理文字语言一条直线与一个平面内的两条________直线都垂直，则该直线与此平面垂直图形语言符号语言 l ⊥a ，l ⊥b ，a ⊂α，b ⊂α，__________⇒l ⊥α 作用判断直线与平面垂直相交 a ∩b ＝P[归纳总结]直线与平面垂直的判定定理告诉我们：可以通过直线间的垂直任任任任任任任任任任任任任任任任任任任“任任任任任任任任任任”．任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任3．直线和平面所成的角(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面______，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的______叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过_______和______的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的______，叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于______；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于______.因此，直线与平面所成的角的范围是____________． 垂直 交点 垂足 斜足 锐角 90° 0° [0°，90°][解析] ∵直线l ⊥任任α任∴l 任α任任任任∵m ⊂α任∴l 任m 任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任l ⊥m .任l 任m 任任任任任任1．直线l ⊥平面α，直线m ⊂α，则l 与m 不可能导学号 09024468() A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．垂直A2．直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则直线l 与平面α的关系是导学号 09024469( )A ．l 和平面α相互平行B ．l 和平面α相互垂直C ．l 在平面α内D ．不能确定[解析] 如下图所示，直线l 和平面α相互平行，或直线l 和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D ．D3．(2016～2017·福州高二检测)在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P A⊥平面ABC，P A＝8，则P到BC的距离是导学号09024471()A．5B．25C．35D．4 5[解析]取BC的中点D，∵AB＝AC，∴AD⊥BC. 又∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又P A∩AD＝D，∴BC⊥平面P AD，∴BC⊥PD.∵在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，∴AD＝4，∴PD＝P A2＋AD2＝4 5.故选D．D互动探究学案命题方向1⇨线面垂直的判定如图，P为△ABC所在平面外一点，P A⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：导学号 09024472(1)BC⊥平面P AB；(2)AE⊥平面PBC；(3)PC⊥平面AEF.[思路分析]本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直”关系，看是否可利用．如看到PA⊥平面ABC，可想到PA⊥AB、PA⊥BC、PA⊥AC，这些垂直关系我们需要哪个呢？我们需要的是PA⊥BC，联系已知，问题得证．[解析](1)∵PA⊥平面ABC任BC⊂任任ABC任∴PA⊥BC.∵∠ABC任90°任∴AB⊥BC.任AB∩PA任A任∴BC⊥任任PAB.(2)∵BC⊥任任PAB任AE⊂任任PAB任∴BC⊥AE.∵PB⊥AE任BC∩PB任B任∴AE⊥任任PBC.(3)∵AE⊥任任PBC任PC⊂任任PBC任∴AE⊥PC.∵AF⊥PC任AE∩AF任A任∴PC⊥任任AEF.『规律方法』线面垂直的判定方法：(1)任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任(3)任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任〔跟踪练习1〕如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.导学号 09024473(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.[解析](1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD，又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC，由(1)知SD⊥BD，又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.命题方向2⇨直线与平面所成的角在正方体ABCD－A1B1C1D1中，导学号 09024474(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．[思路分析](1)求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线．(2)中过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B 1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求．[解析](1)∵直线A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，设A1A＝1，则AC＝2，∴tan∠A1CA＝2 2.(2)连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝12A1C1＝12A1B，∴∠A1BO＝30°.即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.『规律方法』求线面角的方法：(1)任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任(2)任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任〔跟踪练习2〕如图，在三棱柱ΑΒC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．导学号 09024475(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．[解析] (1)取BC 任任任E 任任任A 1E 任DE 任AE 任任任任任A 1E ⊥任任ABC 任任任A 1E ⊥AE 任任任AB 任AC 任任任AE ⊥BC 任任AE ⊥任任A 1BC 任任D 任E 任任任B 1C 1任BC 任任任任任DE ∥B 1B 任DE 任B 1B 任任任DE ∥A 1A 任 任任任任任A 1AED 任任任任任任任任A 1D ∥AE 任任任任AE ⊥任任A 1BC 任任任A 1D ⊥任任A 1BC .(2)作A 1F ⊥DE ，垂足为F ，连接BF .因为A 1E ⊥平面ABC ，所以BC ⊥A 1E .因为BC ⊥AE ，所以BC ⊥平面AA 1DE .所以BC ⊥A 1F ，A 1F ⊥平面BB 1C 1C .所以∠A 1BF 为直线A 1B 与平面BB 1C 1C 所成的角．由AB ＝AC ＝2，∠CAB ＝90°，得EA ＝EB ＝ 2.由∠A1EA ＝∠A 1EB ＝90°，得A 1A ＝A 1B ＝4，A 1E ＝14.由DE ＝BB 1＝4，DA 1＝EA ＝2，∠DA 1E ＝90°，得A 1F ＝72.所以sin ∠A 1BF ＝78.逻辑推理不严密致误如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，D 是AB的中点，连接CD.求证：CD⊥平面ABB1A1.导学号 09024476[错解]∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴CD⊥AA1.又BB1∥AA1，∴CD⊥BB1，又AA1⊂平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1，∴CD⊥平面ABB1A1.[错因分析]错解中AA1任BB1任任任ABB1A1任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任[正解]∵AA1⊥任任ABC任CD⊂任任ABC任∴CD⊥AA1.任AC任BC任D任AB任任任任∴CD⊥AB.∵AB⊂任任ABB1A1任AA1⊂任任ABB1A1任AB∩AA1任A任∴CD⊥任任ABB1A 1 .[警示]任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任.〔跟踪练习3〕如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ＝AC ＝1，AA 1＝2，∠B 1A 2C 1＝90°，D 为BB 1的中点．求证：AD ⊥平面A 1DC 1. 导学号09024477[错解] 在三棱柱中，∵AA 1⊥平面ABC ，∠B 1A 1C 1＝90°，∴AD ⊥A 1C 1；又从图可知AD ⊥平面BCC 1B 1，∴AD ⊥C 1D ，∴AD ⊥平面A 1DC 1.[辨析]前半部分任任任任任任任任任任任任任AD⊥A1C1任任任任任任任任任任任任任任AD⊥任任BCC1B1任任任任任任任任任任任任任[分析]任任任C1A1⊥任任ABB1A1任任AD⊥C1A1任任任任任ABB1A1任任任任任任任任AD⊥A1D.[证明]∵AA1⊥任任ABC任任任A1B1C1∥任任ABC任∴AA1⊥任任A1B1C1.∴A1C1⊥AA1.任∠B1A1C1任90°任∴A1C1⊥A1B1.而A1B1∩AA1＝A，∴A1C1⊥平面AA1B1B，AD⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AD.由已知计算得AD＝2，A1D＝2，AA1＝2. ∴AD2＋A1D2＝AA21，∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D＝A1，∴AD⊥平面A1DC1.1．线线垂直和线面垂直的相互转化(2016～2017·湖南张家界高一期末)如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点.导学号 09024478(1)求证：AD⊥平面BCC1B1；(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值．[解析](1)证明：直三棱柱ABC任A1B1C1任任BB1⊥任任ABC任∴BB1⊥AD任∵AB任AC任D任BC任任任任∴AD⊥BC.任BC∩BB1任B任∴AD⊥任任BCC1B 1 .(2)解：连接C1D.由(1)AD⊥平面BCC1B1，则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角．在Rt△AC1D中，AD＝32，AC1＝2，sin∠AC1D＝ADAC1＝64，即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为64.〔跟踪练习4〕如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .求证：AE ⊥BE .导学号 09024479[证明] ∵AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ，∴BC ⊥平面ABE .又AE ⊂平面ABE ，∴AE ⊥BC .∵BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ，∴AE ⊥BF .∵BF ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BF ∩BC ＝B ，∴AE ⊥平面BCE .又BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE .2．关于垂直的存在型探索性问题在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝1，边BC 上是否存在点Q ，使得PQ ⊥QD ？为什么？导学号 09024480[思路分析] 关键是将PQ ⊥QD 转化为DQ ⊥AQ ，再使DQ ⊥AP 即可，但AD ＝BC ＝a 是变化的，故需对a 进行讨论．[解析]∵PA⊥平面ABCD任∴PA⊥QD.任任BC任任任任任Q任任任QD⊥AQ任任任QD⊥任任PAQ任任任QD⊥PQ.任任任ABCD任任任AD任a<2任任任任BC任任AD任任任任任任任任任任任任任Q任任AQ⊥DQ.∴任a≥2任任任任任任Q任任任PQ⊥QD.[点评]任任任任任任任任任任任任任任AD任任任任任任BC任任任任任任任任Q任任任任任[解析] 三角形的两边任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任任.1．如果一条直线垂直于一个平面内的：导学号 09024481①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边． 则能保证该直线与平面垂直( )A ．①③B ．①②C ．②④D ．①④A2．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为导学号 09024482()A．223B．23C．24D．13[解析]∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴∠AC1A1为直线AC1与平面A1B1C1D1所成角，∵AA1＝1，AB＝BC＝2，∴AC1＝3，∴sin∠AC1A1＝AA1AC1＝13.D3．如图所示，P A⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有____.导学号 09024483[解析]∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥AB，P A⊥AC，P A⊥BC.∴△P AB、△P AC为直角三角形．∵BC⊥AC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.∴BC⊥AC，BC⊥PC.∴△ABC、△PBC为直角三角形．44．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点，P A＝AD.求证：EF⊥平面PCD.导学号 09024484[解析] 如图，取PD 的中点H ，连接AH 、HF .∴FH 12CD ，∴FH AE ，∴四边形AEFH 是平行四边形， ∴AH ∥EF .∵底面ABCD 是矩形，∴CD ⊥AD .又∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥CD，P A∩AD＝A，∴CD⊥平面P AD.又∵AH⊂平面P AD，∴CD⊥AH.又∵P A＝AD，∴AH⊥PD，PD∩CD＝D，∴AH⊥平面PCD，又∵AH∥EF，∴EF⊥平面PCD.课时作业学案。
2.3.1直线与平面垂直
C
F
PC⊥PA PC⊥平面PAB
B
PA∩PB=P
AB 平面PAB PC⊥AB PO⊥α PO⊥AB
PC∩PO=P
AB⊥平面POC
∵CE 平面POC
∴AB⊥CE
同理：BC⊥AF 又∵AF∩CE=O
∴O是△ABC的垂心
P66探究：求证直四棱柱A’B’C’D’-ABCD（侧棱 与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边
例2.四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD 为正方形,且
PD=AD. (2)求直线PD与平面PAB所成角的大小；
解:(2)过D作DH⊥PA于点H,
∵PD⊥底面ABCD, AB⊂平面ABCD
H
∴ AB ⊥ PD
又∵AB ⊥AD,PD∩AD=D
∴ AB ⊥平面 PAD 又∵DH ⊂平面PAD ∴ DH⊥AB
形ABCD对角线相互垂直时，A'C⊥B'D'？
A'
D'
B' C'
A
D
B
P79B2
C
1.点在平面上的射影: 自一点P向平面引垂线, 垂足叫做这点在平面上的射影.
P
A
2. 直线与平面所成的角
P67 3
斜线——与平面相交但不垂直平面的直线.
（如图中的直线PA,交点A称为斜足 ）
P
斜线在平面上的射影:过 斜线上斜足以外的一点向平面 引垂线PO,过垂足O与斜足的 直线.（如图中的直线OA ）
l 与 的交点P 叫做的垂足
线面垂直
线线垂直
探究：什么条件下可判定直线与平面垂直？
过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻 折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触)。 如何翻折才能使折痕 与桌面所在平面α垂直？
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BC 4 2，AC 5，求AC与平面 所成角的大小。
5.如图三棱锥P ABC中，PB 平面ABC，ABC 是直角三角形，B 90 , AB BC 2，PAB=45 ， 点D, E , F 分别为AC、AB、BC的中点 (1)求证：EF PD (2)求直线PF 与平面PBD所成角的余弦值
P
A O B C
D
证明 PA PC,点O是AC的中点 PO AC
又 PB PD,点O是BD的中点 PO BD 又 AC BD O PO 平面 ABCD
四.知识小结：
（1）
判定定理 如果一条直 线垂直于一个 平面内的两条 相交直线，那 么此直线垂直 于这个平面。 如果一条直线垂于一个 平面内的任何一条直线
图1
图2
那么两条相交直线呢？
探究
直线与平面垂直
A
C
D
A A B B
D D
如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：
l
C
P
C
A B
D
C
B
当且仅当折痕 AD 是 BC 边上的高时，AD所在直 过 ABC 的顶点 A翻折纸片，得到折痕AD，将翻 线与桌面所在平面 垂直． 折后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）
P
A
如图,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO,
过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上
的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所
成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角
。
规定：
1.直线与平面平行，所成角为0o 2.直线与平面垂直，所成角为90
o
直线与平面所成角的理解：
1.直线与其在平面内射影所成角，线 面角也是线线角。
a m, a n.
a
b
n
A 又因为 b // a 所以 b m, b n. m 又 m , n , m, n 是两条相交直线， 所以 b .
例2.如图，圆O所在一平面为 ， AB是圆O 的直径，C 是圆周上一点, 且PA AC, PA AB, 求证：（1）PA BC （2）BC 平面PAC
求证：对角线AC BD。
A
证明
：取BD的中点 E , 连接AE , CE
AB AD , AE BD ,
,
D E B C
BC DC , CE BD ,
CE E , 又 AE BD 平面ACE , AC 平面 ACE , BD AC
:2:如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角线AC与 BD的交点，且PA =PC PB =PD . 求证：PO⊥平面ABCD
2.线面角是直线与平面内所有直线所
成角中最小的角。
3.线面角的范围[0 o,
90 ]
o
例3
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，
(1)求证：直线BC1 ⊥ 平面A1B1CD 2)求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
D1
C1
A1
A
B1 D
B
O
C
练习：设直线 1. l 平面，过平面外一点A， 与l、 都成30 的直线有 都为 ,则cos = 3.在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=BC=2AA'， 求BC'与平面BB'D'D所成角的正弦值。 4.ABC的顶点B在平面内，A、C在的同一侧， AB、BC与 所成角分别是30 和45 ，若AB =3， 条。 2.若一条直线与一个正四棱柱各个面所成角
三.随堂练习：
1.如图，直四棱柱ABCD ABCD （侧棱与底面垂直 的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形 ABCD 满足什么 条件时AC B D ？
A D
底面四边形 ABCD 对角 线相互垂直．
B
C
A D B
C
练习： 1在空间四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，
3. 直线与平面垂直的判定定理：
如果直线 l 和平面 内的两条相交直线 m,n都垂直，那么直线 l垂直平面。 即：
l
m , n , m n P l l m, l n
m
P
n
例1 . 如图，已知a // b, a ，求证 b . 证明：在平面 内作 两条相交直线m，n． 因为直线 a , 根据直线与平面垂直的定义知
三垂线定理 例4.证明：在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线的射影垂直，那 么它也和这条斜线垂直。
三垂线逆定理 变式：在平面内的一条直线，如果和这个 平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条 斜线的射影垂直。
3、两个定理中包括三种垂直关系：
①线面垂直
P A
②线射垂直
P A
③ 线斜垂直
一.回顾复习：
1.直线和平面的位置关系 :
（1）直线在平面内 （2）直线和平面平行
王新敞
奎屯 新疆
a
a //
a A
（3）直线和平面相交
垂直是一 种特殊的 相交
1.直线与平面垂直的定义：
l 与平面 就说直线 l 和平面
如果直线 内的任意一条直线都垂直，我们
互相垂直。记作：l
解：（1） AB , AC , 且AB AC A PA AC , PA AB PA 又 BC PA BC
A
P
O
C
B
(2) C为圆O上一点，AB 为直径 BC AC
1得BC PA, 又 PA AC A 由 BC 面PAC
直接法
直线与平面 垂直的判定
间接法
如果两条 平行直线中的 一条垂直于一 个平面，那么 另一条也垂直 于同一个平面。
定义法
此直线垂直于这个平面
（2）数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
如图,若一条直线PA和一个平面α 相交,但不垂 直,那么这条直线就叫做这个平面的斜线,斜线 和平面的交点A叫做斜足.
l
平面的垂线
A
垂足
直线的垂面
2.直线与平面垂直的画法：
直线与平面的 一条边垂直
l
P
除定义外，如何判断一条直线与平面垂直呢？
空间问题 平面问题
线面平行的判定： 线线平行
线面平行
能不能把线面垂直问题转化为线线垂直问题？
先试一条
l l
a a
图1
图2
再试两条平行直线
l l
a b
a b