§1.1-3 几种特殊的集合

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第一章集合的概念及运算(集合论讲义)

(4) 分配律 A ∪ (B ∩ C) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C) ， A ∩ (B ∪ C) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C)
(5) 德·摩根律 A ∪ B = A ∩ B ， A ∩ B = A ∪ B
A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C) ， A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C)
4
|
A1
|=
⎢ 250 ⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦
=
125
，|
A2
|=
⎢ 250 ⎢⎣ 3
⎥ ⎥⎦
=
83
，|
A3
|=
⎢ 250 ⎥ ⎢⎣ 5 ⎥⎦
=
50
，|
A4
|=
⎢ ⎢⎣
250 ⎥ 7 ⎥⎦
=
35
，
|
A1
∩
A2
|=
⎢ ⎢⎣
250 ⎥ 2× 3⎥⎦
=
41
，|
A1
∩
A3
|=
⎢ 250 ⎥ ⎢⎣2× 5⎥⎦
=
(6) 吸收律 A ∪ ( A ∩ B) = A ， A ∩ ( A ∪ B) = A (7) 零律 A ∪ E = E ， A ∩ ∅ = ∅ (8) 同一律 A ∪ ∅ = A ， A ∩ E = A (9) 排中律 A ∪ A = E
5
(10) 矛盾律 A ∩ A = ∅ (11) 全补律 ∅ = E ， E = ∅ (12) 双重否定律 A = A (13) 补交转换律 A − B = A ∩ B
3
还可以将交，并运算推广到集族上。
∪ 定义 2.3 设 A 为一个集族，称由 A 中全体集合的元素组成的集合为 A 的广义并集，记作 A ， ∪ 称 ∪ 为广义并运算符， A 可描述为

1.1 集合的概念(教师版)

§1.1集合的概念第1课时集合的概念知识点一元素与集合的概念1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的．知识点二元素与集合的关系知识点三常用数集及表示符号第2课时集合的表示知识点一列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．知识点二描述法一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．第1课时集合的概念1．有下列各组对象：∈接近于0的数的全体； ∈比较小的正整数的全体；∈平面上到点O 的距离等于1的点的全体； ∈直角三角形的全体．其中能构成集合的个数是 ( )A ．2B ．3C ．4D ．52．已知集合A 由x ＜1的数构成，则有( )A ．3∈AB ．1∈AC ．0∈AD ．－1∈A3．集合A 中只含有元素a ，则下列各式一定正确的是( )A ．0∈AB ．a ∈AC ．a ∈AD ．a ＝A4．若a ，b ，c ，d 为集合A 的四个元素，则以a ，b ，c ，d 为边长构成的四边形可能是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．菱形D ．梯形5．已知集合A 含有三个元素2,4,6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，则a 为( )A ．2B ．2或4C ．4D ．06．若x ∈N ，则满足2x －5＜0的元素组成的集合中所有元素之和为________． 7．已知∈5∈R ；∈13∈Q ；∈0∈N ；∈π∈Q ；∈－3∈Z .正确的个数为________．8．已知x ，y 都是非零实数，z ＝x |x |＋y |y |＋xy|xy |可能的取值组成集合A ，则( )A ．2∈AB ．3∈AC ．－1∈AD ．1∈A9．已知集合A 中含有三个元素1，a ，a －1，若－2∈A ，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－1或－2D ．－2或－310．集合A 中含有三个元素2,4,6，若a ∈A ，且6－a ∈A ，那么a ＝________. 11．由实数x ，－x ，|x |，x 2及－3x 3所组成的集合，最多含有________个元素．12．已知集合M 中含有三个元素2，a ，b ，集合N 中含有三个元素2a,2，b 2，且M ＝N .求a ，b 的值．13．设A 为实数集，且满足条件：若a ∈A ，则11－a∈A (a ≠1)．求证：(1)若2∈A ，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集．14．已知方程ax 2－3x －4＝0的解组成的集合为A .(1)若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围； (2)若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．第2课时集合的表示1．集合A ＝{x ∈Z |－2<x <3}的元素个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解集不可以表示为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y ⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2 C ．{1,2} D ．{(1,2)} 3．集合{(x ，y )|y ＝2x －1}表示( ) A ．方程y ＝2x －1 B ．点(x ，y )C ．平面直角坐标系中的所有点组成的集合D ．函数y ＝2x －1图象上的所有点组成的集合4．对集合{1,5,9,13,17}用描述法来表示，其中正确的是( ) A.{}x |x 是小于18的正奇数 B.{}x |x ＝4k ＋1，k ∈Z ，且k <5 C.{}x |x ＝4t －3，t ∈N ，且t ≤5 D.{}x |x ＝4s －3，s ∈N *，且s ≤55．集合M ＝{(x ，y )|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R }是( )A ．第一象限内的点集B ．第三象限内的点集C ．第四象限内的点集D ．第二、四象限内的点集6．集合{x ∈N |x 2＋x －2＝0}用列举法可表示为________．7．将集合{(x ，y )|2x ＋3y ＝16，x ，y ∈N }用列举法表示为________． 8．有下面四个结论：∈0与{0}表示同一个集合；∈集合M ＝{3,4}与N ＝{(3,4)}表示同一个集合；∈方程(x －1)2(x －2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}； ∈集合{x |4＜x ＜5}不能用列举法表示．其中正确的结论是________(填写序号)．9．已知x ，y 为非零实数，则集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m ＝x |x |＋y |y |＋xy |xy |为( ) A ．{0,3} B ．{1,3} C ．{－1,3}D ．{1，－3}10．已知集合A ＝{}x |x ＝2m －1，m ∈Z ，B ＝{}x |x ＝2n ，n ∈Z ，且x 1，x 2∈A ，x 3∈B ，则下列判断不正确的是( ) A ．x 1·x 2∈A B ．x 2·x 3∈B C ．x 1＋x 2∈BD ．x 1＋x 2＋x 3∈A11．已知集合A ＝{x |x ＝3m ，m ∈N *}，B ＝{x |x ＝3m －1，m ∈N *}，C ＝{x |x ＝3m －2，m ∈N *}，若a ∈A ，b ∈B ， c ∈C ，则下列结论中可能成立的是( ) A ．2 006＝a ＋b ＋c B ．2 006＝abc C ．2 006＝a ＋bcD ．2 006＝a (b ＋c )12．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A }，则B 中所含元素的个数为________． 13．定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }，若集合A ＝{x |2x ＋1>0}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x －23<0，则集合A －B ＝________.14．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a ∈R .若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A .15．设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求a 2014＋b 2014.16．若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，用列举法表示集合P ＋Q .【参考答案】1．A 解析 ∈不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准．∈不能构成集合，“比较小”也是不明确的，多小算小没明确标准．∈∈均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依．2．C 解析很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．3．C 解析由题意知A 中只有一个元素a ，∈a ∈A ，元素a 与集合A 的关系不能用“＝”，a 是否等于0不确定，因此0是否属于A 不确定，故选C ．4．D 解析由集合中的元素具有互异性可知a ，b ，c ，d 互不相等，而梯形的四条边可以互不相等．5．B 解析若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ；或a ＝4∈A ，则6－a ＝2∈A ；若a ＝6∈A ，则6－a ＝0∈A .6．3 解析由2x －5＜0，得x ＜52，又x ∈N ，∈x ＝0,1,2，故所有元素之和为3.7．3 解析 ∈∈∈是正确的；∈∈是错误的． 8．C 解析 ∈当x >0，y >0时，z ＝1＋1＋1＝3；∈当x >0，y <0时，z ＝1－1－1＝－1； ∈当x <0，y >0时，z ＝－1＋1－1＝－1； ∈当x <0，y <0时，z ＝－1－1＋1＝－1， ∈集合A ＝{－1,3}． ∈－1∈A .9．C 解析由题意可知a ＝－2或a －1＝－2，即a ＝－2或a ＝－1，故选C ．10．2或4 解析若a ＝2，则6－2＝4∈A ；若a ＝4，则6－4＝2∈A ；若a ＝6，则6－6＝0∈A .故a ＝2或4.11．2 解析因为|x |＝±x ，x 2＝|x |，－3x 3＝－x ，所以不论x 取何值，最多只能写成两种形式：x ，－x ，故合中最多含有2个元素． 12．解法一根据集合中元素的互异性，有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b 2b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.法二 ∈两个集合相同，则其中的对应元素相同．∈⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2a ＋b 2a ·b ＝2a ·b 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b b －1＝0 ∈ab ·2b －1＝0 ∈∈集合中的元素互异，∈a ，b 不能同时为零．当b ≠0时，由∈得a ＝0，或b ＝12.当a ＝0时，由∈得b ＝1，或b ＝0(舍去)．当b ＝12时，由∈得a ＝14.当b ＝0时，a ＝0(舍去)．∈⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12.13．证明 (1)若a ∈A ，则11－a∈A .又∈2∈A ，∈11－2＝－1∈A .∈－1∈A ，∈11－－1＝12∈A .∈12∈A ，∈11－12＝2∈A . ∈A 中另外两个元素为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11－a，即a 2－a ＋1＝0，方程无解． ∈a ≠11－a，∈集合A 不可能是单元素集．14．解 (1)因为A 中有两个元素，所以方程ax 2－3x －4＝0有两个不等的实数根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝9＋16a >0，即a >－916且a ≠0.所以实数a 的取值范围为a >－916，且a ≠0.(2)当a ＝0时，由－3x －4＝0得x ＝－43；当a ≠0时，若关于x 的方程ax 2－3x －4＝0有两个相等的实数根，则Δ＝9＋16a ＝0，即a ＝－916；若关于x 的方程无实数根，则Δ＝9＋16a <0，即a <－916，故所求的a 的取值范围是a ≤－916或a ＝0.1. D 解析因为A ＝{x ∈Z |－2<x <3}，所以x 的取值为－1，0,1,2，共4个．2. C 解析 C 选项表示两个数．3. D 解析集合{(x ，y )|y ＝2x －1}的代表元素是(x ，y )，x ，y 满足的关系式为y ＝2x －1，因此集合表示的是满足关系式y ＝2x －1的点组成的集合，故选D.4. D 解析对于x ＝4s －3，当s 依次取1,2,3,4,5时，恰好对应的x 的值为1,5,9,13,17.5. D 解析因xy ＜0，所以有x ＞0，y ＜0；或者x ＜0，y ＞0.因此集合M 表示的点集在第四象限和第二象限．6. {1} 解析由x 2＋x －2＝0，得x ＝－2或x ＝1. 又x ∈N ，∈x ＝1.7. {(2,4)，(5,2)，(8,0)} 解析 ∈3y ＝16－2x ＝2(8－x )，且x ∈N ，y ∈N ，∈y 为偶数且y ≤5，∈当x ＝2时，y ＝4，当x ＝5时y ＝2，当x ＝8时，y ＝0.8. ∈ 解析 {0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故∈错误；∈集合M 是实数3,4的集合，而集合N 是实数对(3,4)的集合，不正确；∈不符合集合中元素的互异性，错误；∈中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．9. C 解析当x >0，y >0时，m ＝3，当x <0，y <0时，m ＝－1－1＋1＝－1.当x ，y 异号，不妨设x >0，y <0时，m ＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.因此m ＝3或m ＝－1，则M ＝{－1,3}．10. D ∈集合A 表示奇数集，集合B 表示偶数集，∈x 1，x 2是奇数，x 3是偶数，∈x 1＋x 2＋x 3为偶数．11. C 解析由于2 006＝3×669－1，不能被3整除，而a ＋b ＋c ＝3m 1＋3m 2－1＋3m 3－2＝3(m 1＋m 2＋m 3－1)不满足；abc ＝3m 1(3m 2－1)(3m 3－2)不满足；a ＋bc ＝3m 1＋(3m 2－1)(3m 3－2)＝3m －1适合； a (b ＋c )＝3m 1(3m 2－1＋3m 3－2)不满足．12. 3 解析根据x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈A ，知集合B ＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，有3个元素．13. {x |x ≥2} 解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >－12，B ＝{x |x <2}， A －B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－12且x ≥2＝{x |x ≥2}． 14. 解 ∈1是集合A 中的一个元素，∈1是关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0的一个根，∈a ·12＋2×1＋1＝0，即a ＝－3.方程即为－3x 2＋2x ＋1＝0，解这个方程，得x 1＝1，x 2＝－13，∈集合A＝{－13，1}．15.解 ∈A ＝B ，∈⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，ab ＝b 或⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝b ，ab ＝1.解方程组得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，或a ＝1，b 为任意实数．由集合元素的互异性得a ≠1，∈a ＝－1，b ＝0，故a 2014＋b 2014＝1.16. 解 ∈当a ＝0时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为1,2,6；当a ＝2时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为3,4,8；当a ＝5时，b 依次取1,2,6，得a ＋b 的值分别为6,7,11. ∈P ＋Q ＝{1,2,3,4,6,7,8,11}．。

高中数学 1.1.2集合的表示方法新人教A版必修1

§1.1.2 集合的表示方法
1.列举法
将集合中的元素一一列举出来写在大括号内。
①有限集:
由两个元素0,1构成的集合 24的所有正因数构成的集合
0,1
12, 24}
{1, 2, 3, 4, 6, 8,
不大于100的自然数的全体构成的集合
②无限集:
自然数集:
0,1,2,3, ,10 0
0 ,1 ,2 ,3 ,4 , ,n ,
解:
(1) A={1,2,3,4,5} (2)B={2,3}
例2: 用特征性质描述法表示下列集合 (1){-1,1} (2)大于3的全体偶数构成的集合 (3)在平面α内，线段AB的垂直平分线
解： (1) {x| |x|=1} (2) {x| x>3,且x=2n,n∈N} (3){点P∈平面α|PA=PB}
思考： 1. 0、{0}、{ }、的关系
2. 1,与 21,2区别在哪儿
3. 数集：x 1 ,x 2 ,x 3 , ,x n ,
点集：( x 1 ,y 1 ) ( x 2 ,y 2 ) ( x 3 ,y 3 ) ( , x n ,y n )
2.特征性质描述法：
如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A 的元素x都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质.
于是，集合A可以用它的特征性质p(x)
描述为： { xI P(x)
}
3.Venn图法：
用平面内一条封闭曲线的内部表示集合的方法
A1,2,3,4 B3,4,5,6
A
12 3
34 54 6 5 6
B
B
例1 用列举法表示下列集合
(1)A={x∈N| 0< x ≤5} (2)B={x| x2-5x +6=0}

1.1-集合的基本概念(离散数学)

幂集的性质
1.
为有穷集，若A为有穷集，|A|=n，则为有穷集， |2A | = Cn0 + Cn1 + … + Cnn =2n 。 x∈ρ 当且仅当 A。 ∈ρ(A)当且仅当 ∈ρ 当且仅当x 。是两个集合，当且仅当设 A、 B是两个集合， AB当且仅当、是两个集合 ρ(B)； ρ(A)ρ ； ρ
多样性
集合中的元素可以是任意的对象，集合中的元素可以是任意的对象，相互独立，互独立，不要求一定要具备明显的共同特征。同特征。例如：例如： A={a,{a},{{a},b},{{a}}, 1} A={1,a,*,-3,{a,b},{x|x是汽车地球是汽车},地球是汽车地球}
罗素悖论(Russell’ paradox) 罗素悖论(Russell’s paradox)
集合的表示法
列举法；将集合中的元素一一列举，列举法；将集合中的元素一一列举，或列出足够多的元素以反映集合中元素的特征，例如：素的特征，例如：V={a,e,i,o,u} 或 B={1,4,9,16,25,36……}。。描述法；通过描述集合中元素的共同特征来表示集合，例如：特征来表示集合，例如： V= {x|x是元是元音字母} 是自然数} 音字母，B= {x|x=a2 , a是自然数是自然数
空集、空集、全集
约定，存在一个没有任何元素的集合，约定，存在一个没有任何元素的集合，称为空集(empty set) ，记为φ，有时也用{} ) 记为φ 有时也用{} 来表示。来表示。约定，约定，所讨论的对象的全体称为全集 (universal set)，记作或U，我们所讨论，记作E或，的集合都是全集的子集全集是相对的。的集合都是全集的子集。全集是相对的。全集

离散数学导论(第5版)-第二篇集合论

x2＝y2，…，xk＝yk而xk＋1＝yk+1，如果xk＋1≤yk＋1 ，则我们说xLy；如yk＋1≤xk＋1 ，则我们说yLx； • （3）如存在一个最大的K＝min (n，m)，使得x1＝y1，x2 ＝y2，…，xn＝yn ，此时如n≤m，则我们说xLy；如m≤n，则我们说yLx。 •
18
• • 四个次序关系间的关系： • • • R是拟序则r (R) = R • • • R是偏序则R－Q是拟序 • • • 字典次序关系必为线性次序关系 • • • R是拟序则必反对称 • 八个概念： • • 最大元素（最小元素） • • 极大元素（极小元素） • • 上界（下界） • • 上确界（下确界）
• • |A∪B|＝|A|+|B|－|A∩B|
• •|A∪B∪C| ＝ |A|+|B|+|C| － |A∩B| － |A∩C| －|B∩C|+|A∩B∩C| n
i=1 1≤i＜j≤n
1≤i＜j＜k≤n
• •|S1∪S2∪…∪Sn|n－＝1∑|Si|－∑ |Si∩Sj|＋ ∑
• |Si∩Sj∩Sk|（－1）∑ |S1∩S2∩…∩S n|
§3.1 函数的基本概念
• （1）一个基本概念——函数的基本概念。
•
函数建立了从一个集合到另一个集合的特殊对应关系。
设有集合X与Y，如果我们有一种对应关系f，使X的任一元素x能
与y中的一个唯一的元素y相对应，则这个对应关系f叫从X到Y的
函数或叫从X到Y的映射。x所对应的y内的元素y叫x的像，而x则
叫y的像源。上述函数我们可以表示成f：XY；或写成XY；
以及y＝f（x）。
•
（2）三种不同性质函数：
•
• 满射与内射

复习课件11集合的概念及其基本运算

变式训练 2 设 A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x ＋a2－1＝0}， (1)若 B⊆A，求 a 的值； (2)若 A⊆B，求 a 的值．
解 (1)A＝{0，－4}，
①当 B＝∅时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8(a＋1)<0，
解得 a<－1；
②当 B 为单元素集时，a＝－1，此时 B＝{0}符合题意；
Hale Waihona Puke 变式训练 3 (2010·重庆)设 U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2 ＋mx＝0}，若∁UA＝{1,2}，则实数 m＝__－__3____.
解析 ∵∁UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，∴0,3 是方程 x2＋mx ＝0 的两根，∴m＝－3.
易错警示 1．忽略空集致误
试题：(5 分)已知集合 A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若 B⊆A，则实数 a 的所有可能取值的集合为____．学生答案展示
正确答案 {－1,0,1}
批阅笔记本题考查的重点是集合的关系以及集合元素
的特征．在解答本题时，存在两个突出错误．一是极易忽略集合 B 为∅的情况；二是忽视对 B 中的元素－1a的值为 1 或－1 的讨论．在解决类似问题时，一定要注意分类讨论，避免误解．
思想方法感悟提高
方法与技巧 1．集合中的元素的三个性质，特别是无序性和互异性
则实数 a 的取值范围是_a_≤__0__．
题型分类深度剖析
题型一集合的基本概念例 1 定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，
y∈B}，设集合 A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合 A⊙B 的所有元素之和为________．思维启迪集合 A⊙B 的元素：z＝xy(x＋y)．求出 z 的所有值，再求其和．

第一章 1.1.3.3集合基本运算第3课时

明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
1.1.3 第3课时
探究点一：全集、补集的概念
思考 3 在思考 2 中，相对集合 A、B，集合 U 是全集，集合 B 是集合 A
的补集，同时集合 A 是集合 B 的补集，那么如何定义全集和补集？答全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所
反思与感悟
研究补集必须是在全集的条件下研究，而全集因研究问题不
同而异，全集常用 U 来表示．
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
1.1.3 第3课时
探究点一：全集、补集的概念
跟踪训练 1 已知 A＝{0,2,4,6}，∁UA＝{－1，－3,1,3}，∁UB＝{－1,0,2}，用
应先求出 A＝{x|x<0}，再求∁RA＝{x|x≥0}．
明目标、知重点填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
1.1.3 第3课时
探究点三：集合交、并、补的综合运算
例3 解已知集合 A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<3}，若 A∪(∁RB)＝R，求实数 a 的 ∵B＝{x|1<x<3}，
明目标、知重点
填要点、记疑点
主目录
探要点、究所然
当堂测、查疑缺
探要点、究所然
1.1.3 第3课时
探究点二：全集、补集的性质
反思与感悟
根据补集定义，借助 Venn 图，可直观地求出补集，此类问题，
当集合元素个数较少时，可借助 Venn 图；当集合中元素பைடு நூலகம்限个时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．

高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.3集合的基本运算第1课时交集和并集学案含解析第一册

1.1。

3 集合的基本运算第1课时交集和并集学习目标核心素养1.理解两个集合交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集．(重点、难点) 2．能使用维恩图、数轴表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点)1.通过理解集合交集、并集的概念，提升数学抽象的素养．2．借助维恩图培养直观想象的素养．某班有学生20人,他们的学号分别是1，2，3,…，20，有a，b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a,学号是3的倍数的读过新书b。

问题（1)同时读了a，b两本书的有哪些同学？（2）问至少读过一本书的有哪些同学?1．交集自然语言一般地，给定两个集合A，B,由既属于A又属于B的所有元素(即A和B的公共元素）组成的集合,称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”符号语言A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B｝图形语言错误!错误!（3）A B，则A∩B＝A错误!错误![拓展](1)对于“A∩B＝｛x｜x∈A，且x∈B}”，包含以下两层意思：①A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素；②A与B 的公共元素都属于A∩B。

这就是文字定义中“所有"二字的含义，如A＝{1，2,3},B＝{2，3，4}，则A∩B＝{2，3},而不是{2｝或{3}．（2）任意两个集合并不是总有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝。

（3）当A＝B时，A∩B＝A和A∩B＝B同时成立．2．并集自然语言一般地，给定两个集合A，B,由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”符号语言A∪B＝｛x｜x∈A，或x∈B}图形语言用维恩图表示有以下几种情况（阴影部分即为A与B 的并集)：①A B，A∪B＝B错误!错误!错误!错误!思考：(1)“x∈A或x∈B"包含哪几种情况？（2）集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和?［提示]（1）“x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x B；x∈B，但x A；x∈A，且x∈B。

高职单招考试必备数学知识点

高职单招考试必备数学知识点第一章、集合与函数概念§1.1.1、集合1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

集合三要素：确定性、互异性、无序性。

2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。

3、常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R .4、集合的表示方法：列举法、描述法.§1.1.2、集合间的基本关系1、一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集。

记作B A ⊆.2、如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B.3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：∅.并规定：空集合是任何集合的子集.4、如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n2个子集.§1.1.3、集合间的基本运算1、一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A .2、一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A .3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈∉且§1.2.1、函数的概念1、设A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,.2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.§1.2.2、函数的表示法1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.§1.3.1、单调性与最大（小）值1、注意函数单调性证明的一般格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：()()21x f x f -=…§1.3.2、奇偶性1、一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.2、一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称.第二章、基本初等函数（Ⅰ）§2.1.1、指数与指数幂的运算1、一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根。

高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.3集合的基本运算第2课时补集学案含解析第一册

第2课时补集学习目标核心素养1.了解全集的含义及其符号表示．（易混点）2．理解给定集合中一个子集的补集的含义,并会求给定子集的补集．(重点、难点)3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点）1。

通过补集的运算培养数学运算素养．2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类,培养数学抽象素养．某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇,王亮，李冰，张军，赵云，冯佳,薛香芹，钱忠良，何晓慧｝,其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝｛王明，曹勇，王亮，李冰，张军｝．问题那么没有获得应用文写作比赛与技能大赛金奖的学生构成的集合是什么？1．全集(1)定义：如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么就称这个给定的集合为全集．（2）记法：全集通常记作U ．思考1:全集一定是实数集R吗？[提示］全集是一个相对概念,因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.[拓展]全集不是固定不变的，它是一个相对概念，是依据具体问题来选择的．例如，我们在研究数集时，通常把实数集R 作为全集；当我们只讨论大于0且小于8的实数时，可选｛x|0＜x＜8｝为全集,通常也把给定的集合作为全集．2．补集文字语言如果集合A是全集U的子集，则由U中不属于A 的所有元素组成的集合,称为A在U中的补集，记作∁U A符号语言∁U A＝{x｜x∈U,且x A}图形语言3.补集的运算性质条件给定全集U及其任意一个子集A结论A∪（∁U A)＝U；A∩（∁U A）＝;∁U（∁U A)＝A思考2:∁U A，A,U三者之间有什么关系？［提示](1）∁U A表示集合U为全集时,集合A在全集U中的补集,则∁U A⊆U.如果全集换成其他集合（如R)，那么记号中“U”也必须换成相应的集合（如∁R A）。

(2)求∁U A的前提条件为集合A是全集U的子集．(3）若x∈U，则x∈A,x∈∁U A必居其一．[拓展]补集是相对于全集而存在的，当全集变化时，补集也随之改变，所以在讨论一个集合的补集时，必须说明是在哪个集合中的补集．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×"）(1）∁U U＝，∁U＝U。

1.1 集合的概念(共2课时)-2024-2025学年高一数学课件(人教A版2019必修第一册)

所以
1 a 1 2
反思感悟
(1)判断是否能够构成集合，关注能否满足确定性、互异性、无序性； (2)若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等.
跟踪训练2 (1)下列结论中，不正确的是
√A.若a∈N，则－a∉N
B.若a∈Z，则a2∈Z C.若a∈Q，则|a|∈Q D.若a∈R，则a3∈R
a,
b a
,1
a2,a b,0
a2023 b2024
∵
a,
b a
,1
a
2
,
a
b,
0，显然a≠0，
∴
b a
=0，∴b=0
∴ a,0,1 a2, a,0
∵a≠1，
∴a2 1 ∴ a2023 =b-12024
反思感悟
(1)判断是否能够构成集合，关注能否满足确定性、互异性、无序性； (2)若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素不一定按顺序对应相等.
新知讲解
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x 所组成的集合表示为_{_x_∈__A_|_P_(x_)_}_，这种表示集合的方法称为描述法. 注意点： (1)写清该集合中元素的代表符号，如{x|x>1}不能写成{x>1}. (2)语言简明、准确，不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的. (3)所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z|x＝2m}，m∈N*”不符合要求，应将“m∈N*”写进“{ }”中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N*}.
例2 (1)用符号“∈”或“∉”填空：
1__∈__ N*；－2__∉__N；0.4__∉__Z；

高三一轮复习集合函数知识点

第一章：集合与函数概念§1.1.1、集合1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

集合三要素：确定性、互异性、无序性。

2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。

3、常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系1、一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集。

记作B A ⊆.2、如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B.3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：∅.并规定：空集合是任何集合的子集.4、如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n2个子集，21n-个真子集.§1.1.3、集合间的基本运算1、一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A .2、一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A .3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈∉且 §1.2.1、函数的概念1、设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,.2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法：(1)定义法：设2121],,[x x b a x x <∈、那么],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数.步骤：取值—作差—变形—定号—判断格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：()()21x f x f -=…(2)导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. §1.3.2、奇偶性1、一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.2、一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 知识链接：函数与导数1、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 2、几种常见函数的导数①'C0=；②1')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=；⑤a a a xx ln )('=； ⑥xx e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '= 3、导数的运算法则（1）'()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2()(0)u u v uv v v v -=≠. 4、复合函数求导法则复合函数(())y f g x =的导数和函数(),()y f u u g x ==的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 解题步骤:分层—层层求导—作积还原. 5、函数的极值(1)极值定义：极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值；极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＞)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极小值. (2)判别方法：①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值；②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值. 6、求函数的最值(1)求()y f x =在(,)a b 内的极值（极大或者极小值）(2)将()y f x =的各极值点与(),()f a f b 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。

高一数学集合的含义与表示2

例.下列各对象不能组成集合的是( ) A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题 C .被3除余2的所有整数
D.函数y 1 图象上所有的点 x
变式训练: 1.下列条件能形成集合的是() A.充分小的负数全体 B.爱好足球的人 C.中国的富翁 D.某公司的全体员工
§1.1集合的含义与表示
引入：初中时学习了哪些集合？数集：自然数的集合，有理数的集合，不等式x-7<3 的解的集合
点集：圆（到一个定点的距离等于定长的点的集合）线段垂直平分线(到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合)
集合的含义是什么？阅读课本P2的8个例子，你能概括出它们具有的共同特征吗？
同一集合中的元素是不重复出现的。（3）无序性：
4.集合相等：构成两个集合的元素完全一样
4.元素与集合的关系（1）如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作a∈A
（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A
5.常用数集及其记法
Байду номын сангаас
记作aA
非负整数集（或自然数集），记作N
（一）集合的有关概念 1.一般地，把研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集
2.思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合的例子和不能构成集合的例子 3.集合的元素的特征（1）确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在
这个集合中就确定了（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同，
正整数集，记作N*或N+
整数集，记作Z
有理数集，记作Q

第一章集合论初步

定理5. 有理数集Q为可列集为可列集。定理有理数集为可列集。 n [ 证 ]一切有理数均可写成 ± 形式，将所有形式， m n 按以下规则排序： ± 按以下规则排序： m 1）正分数按其分子分母之和，由小到大排列。之和，由小到大排列。
2）分子分母之和相同的正分数，按分子从小正分数，到大排列。到大排列。
有限集合A元素的个数称为的基数，记为|A|。有限集合元素的个数称为A的基数，记为。元素确定的。〉集合中的元素是确定的。对集合A，即任意元素要么属于此集合要么属于此集合，对集合，即任意元素a要么属于此集合，要么不属于，分别记为a∈ 和么不属于，分别记为 ∈A ,和a A。。〈2〉集合中的每个元素均不相同。〉集合中的每个元素均不相同。如：{a,b,c,d} 和{a,b,b,c,d} 是相同的。是相同的。〈3〉集合中元素具体不作限制〉如: {a,b,{a,b}}
定理1、对任一集合，必有Φ 定理、对任一集合A，必有 ⊆ A。。定理2、对任一集合必有必有A 定理、对任一集合A,必有 ⊆ E。。定理3、集合定理、集合A,B，则A=B ， A ⊆ B且B⊆ A。且。
1.3 集合代数
用代数的方法讨论集合，建立集合的一些运算。用代数的方法讨论集合，建立集合的一些运算。
第一章集合论初步
§1 集合论基础
1.1 关于集合的概念
集合：一些不同的确定的对象的全体。集合：一些不同的确定的对象的全体。元素：构成集合的对象。元素：构成集合的对象。：（1）如：（）全班同学 2）（2）计算机内存的全部单元集合用大写字母表示，大写字母表示集合用大写字母表示，如A,B,C；元素用；小写字母表示字母表示，小写字母表示，如a,x,y。。

1.1集合的概念课件(人教版)

做一做
例4. 用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程x2=x的所有实数根组成的集合；
(3)由1～20以内的所有素数组成的集合；
(4)方程组
x 2y 2x y
1 4
的解组成的集合.
所有的集合都可以用列表法来表示吗？比如：不等式x-7<3的解集能用列举法吗？为什么? 那么怎样来表示这个集合呢？
用列举法表示为:
B = {12 ,14 ，16 ，18}.
例2.分别使用描述法和列举法表示下列集合：
（3）方程组
3x + 2 y = 7 2x + 3 y = 8
的解集C.
解:（3）用描述法表示为:
C
=
{(
x,
y)
3 2
x x
+ +
2 3
y y
= =
7 }
8
用列举法表示为: C = {(1 , 2 )}.
(1)列举法：将集合中的元素一一列举出来，并用花
括号{ }括起来的方法叫做列举法.
一般情势：{a1， a2 ， a3 ，…， an }
方程(x－1)(x＋2)=0的所有实数根组成的集合可以表示为 {-2，1}
说明: (1)元素不重不漏、无序互异; (2)元素之间用“ ，”隔开； (3)“{ }”已包含“所有”的意思，
一个给定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能相同.
例如：x2-2x+1=0解的集合就一个元素{1}.
3.无序性：
集合中的元素是无先后顺序的，即集合里的任何两个元素可以交换位置.
例如：{1，2}和{2，1}是相说a属于A，记作a∈A (2)不属于: 如果a不是集合A的元素，

集合的概念

A、②③④⑤ B、①②③⑤ C、②③⑤ D、②③④
４、集合的分类
（1）有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集（2）无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集
不含任何元素的集合叫做空集，记作。
练习1 判断下列语句是否正确．
（1）由2，2，3，3构成一个集合，此集合共有4个元素；（2）所有三角形构成的集合是无限集；（3）周长为20 cm 的三角形构成的集合是有限集。
说出由我们班的同学组成的集合是由哪些元素组成？表示方法：一般采用大写英文字母A，B，C，…表示集合小写英文字母a，b，c,… 表示集合的元素.
２、元素与集合的关系
元素与集合
元素a是集合A 的元素，
.
记作aA，
读作a属于A.
元素a不是集合A 的元素，
记作a A，
读作a不属于A.
议一议
小组合作探究——集合元素的特征：
提高练习
练习２用符号“”或“”填空：
(1)-3___N；
(3) 1 ___Z； 3
(5) 2 ___R；
(2) 3.14___ Q； (4) - 1 ___R；
2 (6) 0 ___Z．
小结
➢1、集合的有关概念：集合、元素； ➢2、元素与集合的关系：属于、不属于； ➢3、集合中元素的特征； ➢4、集合的分类：有限集、无限集； ➢5、常用数集的定义及记法。
判断下列语句能否构成一个集合，并说明理由． (1) 小于 10 的自然数的全体； (2) 某校高一 (2) 班所有性格开朗的男生； (3) 英文的 26 个字母； (4) 非常接近 1 的实数．
１、集合与元素的定义
一些能够确定的对象构成的一个整体叫做集合（简称集）组成集合的对象叫做这个集合的元素．