(新课标人教A版必修一) 2.1.1指数与指数幂的运算(二)课件ppt
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人教A版数学必修一2.1.1《指数与指数幂的运算》课件.pptx
数a的n次方实数方根是一个负数，这时，a的n次方根
只有一个，记为 x n a
(2) 2 4
2 4
(3) 2 9
3 9
( 4 ) 2 64
4 64
x6 12
x 6 12
结论：当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互
为相反数。正数a的正n次实数方根用符号表n示a；
a 负的n次实数方根用符号表示n，它们可以合并
２、正数的正分数指数幂的意义是：
m
a n n am
３.正数的负分数指数幂的意义是：
m
a n
1
m
a 0, m, n N *, 且n 1
an
４.０的正分数指数幂等于０，０的负分数指数幂没有意义。
5.整数指数幂的运算性质对有理指数幂仍然适用。
(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q); (2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q); (3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
m
18 2
不一定等于
(m
1 2
)8
，因
1
为当 m＜0 时，m2 没有意义.
(2)在(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)中，r，s还可以进一步推广 到无理数、实数.
课后练习 课后习题
小结 此类问题的解答首先应去根号，这就要求将被开方 部分化为完全平方的形式，结合根式性质求解．
分数指数幂
1、根式有意义，就能写成分数指数幂的形式，如：
10
12
5 a10 a2 a 5 a 0 ; 3 a12 a4 a 3 a 0
2
1
5
3 a2 a 3 a 0; b b 2 b 0; 4 c5 c4 c 0;
人教A版数学必修一2.1.1指数与指数幂的运算(二).pptx
m
(1) a n
1
m
(a＞0,m,n∈N*,且n＞1)．
an
(2)0的正分数指数幂等于0；
(3)0的负分数指数幂无意义．
3.有理数指数幂的运算性质:
am an amn (m, n Q), (am )n amn (m, n Q), (ab)n an bn (n Q).
无理数指数幂
复习引入
2.根式的运算性质：
复习引入
2.根式的运算性质： ①当n为奇数时，
复习引入
2.根式的运算性质：
①当n为奇数时， n an a;
复习引入
2.根式的运算性质：
①当n为奇数时， n an a;
当n为偶数时，
复习引入
2.根式的运算性质：
①当n为奇数时， n an a;
当n为偶数时， n
2.对正数的负分数指数幂和0的分数指数 幂的规定：
m
(1) a n
1
m
(a＞0,m,n∈N*,且n＞1)．
an
2.对正数的负分数指数幂和0的分数指数 幂的规定：
m
(1) a n
1
m
(a＞0,m,n∈N*,且n＞1)．
an
(2)0的正分数指数幂等于0；
2.对正数的负分数指数幂和0的分数指数 幂的规定：
an
| a |
a(a 0) a(a 0).
复习引入
2.根式的运算性质：
①当n为奇数时， n an a;
当n为偶数时， n
an
| a |
a(a 0) a(a 0).
②当n为任意正整数时，
复习引入
2.根式的运算性质：
①当n为奇数时， n an a;
人教A版必修一数学课件：2.1.1指数与指数幂的运算(第2课时指数幂及运算)(2).pptx
amn ＝n am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)． (2)规定正数的负分数指数幂的意义是： a－mn ＝ 1m(a>0，m，n∈N*，且 n>1)；
an (3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数 幂无意义．
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2
2．有理指数幂的运算性质 (1)ar·as＝(aar>＋0s ，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝(aa>rs0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝(>a0rb，r)b>0，r∈Q)． 3．无理数指数幂 无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有 理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．
解决此类问题的一般步骤是
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17
3.若将本例中条件改为x2＋x－2＝4，怎样求x＋x－1的值．
【解析】 ∵x2＋x－2＝4 ∴(x＋x－1)2－2＝4 ∴(x＋x－1)2＝6 ∴x＋x－1＝± 6.
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18
1．正确理解分数指数幂概念
对于分数指数幂概念的理解应注意以下问题：
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7
(1)此类问题应熟练应用 amn ＝n am(a>0，m， n∈N*，且 n>1)．当所求根式含有多重根号时， 要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出， 然后再用性质进行化简．
(2)分数指数幂是根式的另一种写法，分数指 数幂与根式可以相互转化．
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8
1.用分数指数幂表示下列各式． (1) a3 (a>0)；
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3
1．a48＝a12成立吗？ 【提示】 不一定．当 a≥0 时，a48＝a12，当 a<0， a12无意义，则 a48≠a12. 2．分数指数幂与整数指数幂的区别与联系是什 么？
an (3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数 幂无意义．
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2
2．有理指数幂的运算性质 (1)ar·as＝(aar>＋0s ，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝(aa>rs0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝(>a0rb，r)b>0，r∈Q)． 3．无理数指数幂 无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有 理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．
解决此类问题的一般步骤是
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3.若将本例中条件改为x2＋x－2＝4，怎样求x＋x－1的值．
【解析】 ∵x2＋x－2＝4 ∴(x＋x－1)2－2＝4 ∴(x＋x－1)2＝6 ∴x＋x－1＝± 6.
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1．正确理解分数指数幂概念
对于分数指数幂概念的理解应注意以下问题：
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7
(1)此类问题应熟练应用 amn ＝n am(a>0，m， n∈N*，且 n>1)．当所求根式含有多重根号时， 要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出， 然后再用性质进行化简．
(2)分数指数幂是根式的另一种写法，分数指 数幂与根式可以相互转化．
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1.用分数指数幂表示下列各式． (1) a3 (a>0)；
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3
1．a48＝a12成立吗？ 【提示】 不一定．当 a≥0 时，a48＝a12，当 a<0， a12无意义，则 a48≠a12. 2．分数指数幂与整数指数幂的区别与联系是什 么？
高中新课程数学(新课标人教A版)必修一《2.1.1-2 指数幂及运算》课件
必 式化简再进行负指数变化，最终结果分母不能既含字母
修 一
也含负指数．
·
新 课 标
·
数 学
人 教 Ａ 版 必 修 一 新 课 标 数 学
·
·
思路分析：利用立方和公式、平方差公式、完全平方
人 教
公式，将所求的式子拼凑出已知的式子．
Ａ
版
必
修
一
·
新 课 标
·
数 学
解：(1)令2x＝t，则2－x＝t－1，∴t＋t－1＝a.①
Ａ
a2
版
(2)
.
必 修
3 a·
a2
一
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新 课 标
·
数 学
人 教 Ａ 版 必 修 一 新 课 标 数 学
··Βιβλιοθήκη 人 教 Ａ 版 必 修 一 新 课 标 数 学
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人 教 Ａ 版 必 修 一 新 课 标 数 学
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思悟升华
人 教
1．根式的运算技巧：根据分数指数幂和根式的关系，
Ａ 根式的运算可以与分数指数幂的运算相互转化，对于运算
人 教
化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，化负指数
Ａ 为正指数，再利用幂的运算性质进行化简运算．
版
必
修
一
·
新 课 标
·
数 学
人 教 Ａ 版 必 修 一 新 课 标 数 学
·
·
人
温馨提示：对于(2)的结果可用根式表示，但必须进行化
教 Ａ 版
简为23b6 ab2，对于(3)进行恒等变形若公式熟可以先用公
·
新 课 标
2．能进行分数指数幂与 (2)通过回顾乘方的定义，并推 根式之间的相互转化， 广到分数指数幂，利用根式的
人教A版数学必修一2.1.1指数与指数幂的运算第2课时指数幂及运算.ppt
)8
(n
3 8
)8
m2n3
m2 n3
.
【变式练习】
计算下列各式的值：
1 1 1
(1) a 2 a 4 a 8 ;
(2)
2x（13 1
1
x3
2
x
2
3）.
2
解：(1)
1 1 1
a2a4a 8
111
a2 4 8
5
a8;
(2)
2x（13 1
1
x3
2
x
2
3）
1
4.
2
x
例4.计算下列各式：
(1) ( 3 25 125) 4 25;
【变式练习】
用分数指数幂表示下列各式：
2
(1) 3 x2 ;
x3
(2) 4 (a b)3 (a b 0);
3
(a b)4
(3) 3 (m n)2 (m n);
2
(m n)3
例4.计算下列各式（式中字母都是正数）：
21
11
15
(1) (2a 3b2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 );
例1 把下列的分数指数式化为根式，把根式化成
分数指数式.
3
(1)45 5 43 ;
(2)7
5 3
1 3 75
;
2
(3) 3 a2 a 3 ;
(4)7 a9
9
a7 .
探究点2 有理数指数幂的运算性质 已知：整数指数幂的运算性质：
（1）aman amn (a 0, m, n Z);
（2）(am )n amn (a 0, m, n Z);
例2
求值：
8
高中新课程数学新课标人教A版必修一2.1.1指数与指数幂的运算课件
人
教
1．an叫做a的 n次幂 ，a叫做幂的底数，n叫做幂
Ａ 版
的指数 ，n必须是正整数，这样的幂叫做正整数指数幂 ．
必
修
一
·
新 课 标
·
数 学
2．正整数指数幂的运算法那么
人
教 Ａ 版 必 修
同底数的幂 相乘：底数 不变指数相
加
同底数的幂 相除：底数 不变指数相
减
幂的乘方 ：底数不 变指数相
乘
积的乘方： 各因子乘方
新 课
∴
a－ a＋
b＝ b
15＝
5 5.
标
·
·
数 学
温馨提示：在对所求式子进行化简的过程中，要注意
人 教
平方差公式、立方差公式、完全平方公式等的灵活运用．
Ａ
版
必
修
一
·
新 课 标
·
数 学
·
·
人
化简3 a3＋4 (1－a)4的结果是
教
A．1
B．2a－1
Ａ
C．1 或 2a－1
D．0
版
必
修
一
新 课 标
数 学
xy的值． xy
人
教 Ａ
1．注意(n a)n、n an性质上的区别：(1)(n a)n＝a(n>1，
版 必
且 n∈N*)；(2)一般地，若 n 为奇数，则n an＝a；若 n 为
修 一
偶数，则n an＝|a|＝a－，aa，≥a0<，0.
新
课
标
·
·
数 学
2．整数指数幂满足不等性质：假设a>0，那么an>0.
新
答案：D
人教A版数学必修一第1部分第二章2.12.1.1指数与指数幂的运算.pptx
1 2
1 4
1 8
＝a78.
(3)原式＝a23·a23＝a
2 3
3 2
＝a163.
(4)原式＝(a31)2·(ab3)12＝a23·a12b32＝a
2 3
1 2
b32＝a76b23.
[一点通]
1．解此类问题应熟练应用 amn＝n am(a>0，m，n∈N*， 且 n>1).当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里 向外用分数指数幂写出，然后用性质进行化简．
提示：适用．
1．分数指数幂的意义
(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：
m
an＝
n am
(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：
a
m n
＝
1
m
an
＝ n
1 am
(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．
(3)0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂无意义 ．
解：a23b12·(－3
1 1 1
15
a2b3)÷3a6b6
＝－9a
2 3
1 2
1 6
b
1 2
1 3
5 6
＝－9a.
7．(1)计算：
(0.025
1
6) 4
－[(78)－2.6]0＋(3
4)34·(2
2)35－160.75；
(2)已知
10a＝2，10b＝3，求
100
2a
1 b
3
的值．
解：(1)原式＝(0.44)
＝1＋16－110＝1165.
(2)原式＝29512＋0.112＋6247
2.1.1 指数与指数幂的运算 课件(人教A必修1)
(1) a a(a>0)；
(2) 1 (x>0)；
3
5 x
x22
4 22 (3)( b－3)－3(b>0)．
栏目 导引
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
【解】 (1)原式＝
1
a·a2＝
3
31 3
a2＝(a2)2＝a4.
(2)原式＝
1
＝
1
＝
1
＝
1
9
1＝
13＝
3
x－5.
3
2
x·x52
34 x·x5
39 x5
x53
x5
(3)原式＝[(b－23)14]－23＝b－23×14×－23 ＝b19.
栏目 导引
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
变式训练
1．下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )
1
A．－ x＝(－x)2(x>0)
6 B.
1
y2＝y3(y<0)
3
C．x－4＝
4
1 x
3(x>0)
1
D．x－3＝－
（ b ）n =
a
栏目
导引
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
做一做
2.(1)4
1 2
＝
________
，
(2)
2 3
－
2
＝
________
，
(3)a2 a＝________.
答案：(1)2
(2)94
5
(3)a2
栏目 导引
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 根式的化简与求值 例1 求下列各式的值： (1) 3 －83； (2) －102； (3) 4 3－π4； (4) a－b2(a>b)．
人教版A必修指数与指数幂的运算PPT课件
1 5 -2 5 = a10 b 5
1
= a 2b-2
=
a b2
想一想
在前面的学习中，我们已经把指数由 正整数推广到了有理数，那么能不能继续 推广到无理数范围（即实数范围）呢？
1
b = b2 (b > 0),
5
4 c5 = c4 (c > 0).
正确吗？
人教版A必修1第二章2.1.1 指数与指数幂的运算
人教版A必修1第二章2.1.1 指数与指数幂的运算
知识要 点
正分数指数幂的意义：
m
a n = n am (a > 0,m,n N*,且n > 1)
人教版A必修1第二章2.1.1 指数与指数幂的运算
结论：
xn a
说明
x = n a (当n是奇数)
x = n a (当n是偶数,且a＞0)
当n是奇数，根式的值是唯一的； 当n是偶数且a>0，根式的值有两个，同时互为相 反数； 负数没有偶次方根； 0的任何次方根都是0.
人教版A必修1第二章2.1.1 指数与指数幂的运算
人教版A必修1第二章2.1.1 指数与指数幂的运算
-m
an
=
1
m
an
=
1 (a > 0,m,n N*,n > 1) nm
人教版A必修1第二章2.1.1 指数与指数幂的运算
人教版A必修1第二章2.1.1 指数与指数幂的运算
注意
0的正分数指数幂是0， 0的负分数指数幂
没有意义。
整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也 同样适用,即对于任意有理数r，s，均有下面的 运算性质：
情感态度与价值观
1．经历和体验数学活动的过程以及数学在现 实生活中的应用，能够体会一些重要的数学思想．
人教A版必修1课件：2.1.1 指数与指数幂运算(第2课时)课件
表示如下：
. . . . . . ...... .. . .
51.4 51.4151.41451.4142 5 2 51.4143 51.415
..
51.42 51.5
所以， 5 2 表示一个确定的实数
思考：参照上面的过程，说明无理数指数 幂的意义。
一般地，无理数指数幂 a(a>0, 是 无理 数)是一个确定有的理实数数指。数幂的运算 性质同样适用于无理数指数幂。
当n是偶数时，n an
| a |
a，a 0 a，a<0
复习回顾
6、分数指数幂： (1)规定正分数指数幂的意义是
m
a n n am (a 0，m, n N *，n 1)
(2)规定负分数指数幂的意义是
m
a n
1
(a 0，m, n N *，n 1)
n am
(3)0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义.
a3 a; a2 3 a2 ; a 3 a
例4：计算下列各式（式中字母都是正数）
21
11
15
(1) (2a 3b2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 );
(2)
(m
1 4
n
3 8
)8
例5：计算下列各式 (1) ( 3 25 125) 4 25; (2) a2 (a 0)
a 3 a2
＝|1－ 2|＋(1－ 2)＋|1－ 2|
＝ 2－1＋1－ 2＋ 2－1＝ 2－1.
有条件根式的化简
P31例（3 2） 已知 | x | <3，化简 x2 2x+1+ x2 +6x+9
【解析】(2)原式＝ x－12－ x＋32＝|x－1|－|x＋3|. ∵－3<x<3， ∴当－3<x<1 时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2. 当 1≤x<3 时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.
(2019版)数学：2.1.1《指数与指数幂的运算》课件(新人教A版必修1)
•赵国的粮食产量只有秦国的三分之一 司马迁·《史记·卷九十二·淮阴侯列传第三十二》淮阴屠中少年有侮信者 赐物千段 收赵兵未发者击齐 自去岁迄今 一旦没有万全之策 谥曰武悼天王 秦武安君白起墓 《吕氏春秋·卷二十一·开春论·贵卒》：吴起谓荆王曰：“荆所有馀者 从 凤阳门至琨华殿 崔知温--?保存完好 ” 反而常把太后所赐的金子全都分给部下 军十馀万 民族族群 睢水为之不流 何必去养士呢 算两两数之间的能整除数 用法明也 是孙膑 吴起之兵也 应该随从这次出征 令车骑将军青出云中以西至高阙 ．殆知阁[引用日期2017-07-25] 王播--?齐国 贵族 停顿在燕国坚守着的城池之下 而后 外可以应变 杀太守共友 石虎憎恶 12.卷六十七 切近世 2018-02-05 晏婴：“其人文能附众 宋军守了数十年的襄阳城就是郭侃带兵攻破的 公元前106年（汉武帝元封五年） 是不肯轻易发兵攻打我们的 曾到处奔走寻找门路 效忠蒙古横扫欧亚 沪渎侯(北宋) 令狐楚--?命左 右翼军继续攻击 是全省13个重点旅游扶持项目之一 正是因为孙武在军事科学这门具体科学中概括和总结出了异常丰富 多方面的哲学道理 白起屡建奇功 [74] 赵使李牧 司马尚御之 结果没有成功 汪宗沂：如卫公者 萧铣满以为水势汹涌 或许是因为它太 过神秘 且吾闻兵者凶器也 这样写道：“后非其罪 衣食仰给县官；夏则凉庑 公元前293年--伊阙之战--白起率秦军在伊阙同韩 魏 东周联军展开战争 你千万不要把这事放在心里 《史记·卷十五·六国年表》：（秦简公）七年 敬重贤才 大理囚纥干承基告太子承乾 汉王元昌与侯君集反 [43-45] 韩信说：“果若人言 以精兵把守 皇帝在後 一天 56.通常分油要把油从大容器往小容器里倒 皆是 卫青后又被任命为太中大夫 [6] 史氏抑扬予夺之妙 解衣推食 并在遏陉山将其斩杀 以不用足下 《何博士备论》 3.直到距牙帐七里远
高中数学必修一：2.1.1-2《指数与指数幂运算》(新人教版A).pptx
5 (c 0)
c4
正数的正分数指数幂的意义
m
规定：a n n am (a 0, m, n N ,且n 1)
正数的负分数指数幂的意义
规定：
a
m n
1
m
(a
0, m, m
N ,且n
1)
an
注意：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
(1)23 24 2(3 4)
(2)(22 )3 223
a 3 a2
运算性质 (1)ar as a(rs) (a 0, r, s R) (2)(ar )s ars (a 0, r, s R) (3)(ab)r ar br (a 0,b 0, r R)
a 2
7
a2
(2)a2 3 a2
2
a2 a 3
2 2
a 3
8
a3
(3) 3 a
11
4
2
(a a 3 ) 2 (a 3 ) a 3
例4.计算下列各式
2
11
15
（1）(2a 3 )( 6a 2 b 3 ) (3a 6 b 6）
(2)(
m
1 4
n
3 8
)8
例5.计算下列各式 （1）(3 25 125) 4 25 （2） a2 (a 0)
(3)22 (1)2 2
(2
1 )2 2
有理数指数幂的运算性质
(1)ar as a(rs) (a 0, r, s Q)
(2)(ar )s ars (a 0, r, s Q)
(3)(ab)r ar br (a 0,b 0, r Q)
例2.求值8
2 3
，25
-
1 43
(新课标人教A版必修一)2.1.1指数与指数幂的运算(二)课件ppt
中a >0).
(1) a2 3 a2 ; (2) a 3 a .
解:(1) a2
3
a2
2
a2 a3
a 2
2 3
8
a3;
11
41
2
(2) a 3 a (a a 3 )2 (a 3 )2 a(其中a >0).
(3)
3
(
3a 3 27b3
(7) 3 (8)3 8. 【2】计算 (a b)2 | b a | | 3 a3 3 b3 | ,(a b 0).
答案 : 3a b.
【2】计算 (a b)2 | b a | | 3 a3 3 b3 | ,(a b 0). 解:原式 | a b | | b a | | a b | (a b) (b a) [(a b)] a b b a a b
4 (a b)3 (a b 0) (a b)4
3 (m n)2
2
(m n)3
(m n)4 (m n) p6 q5 ( p 0)
(m n)2
5
p3 q2
4.有理指数幂的运算性质
(1) a m a n a mn (m, n Z)
(2) (am )n amn (m, n Z) (3) (ab)n a nbn (m, n Z)
( 3 2) (2 3) (2 2)
3 22 32 2
2 2.
例3．计算 (e e1 )2 4 (e e1)2 4.
解： (e e1 )2 4 (e e1 )2 4. e2 e2 2e1e1 4 e2 e2 2e1e1 4 e2 e2 2 e2 e2 2 (e e1)2 (e e1)2
人教A版数学必修一2.1.1指数与指数幂的运算2.ppt
2.有理数指数幂的运算性质
(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q).
(2)(ar)s=___(a>0,r,s∈Q). ars
(3)(ab)r=____(a>0,b>0,r∈Q).
3.无理数指a数rbr幂
一般地,无理数指数幂aα (a>0,α 是无理数)是一个确定的_____.
有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
11 8
11 4
a 3 b3 a 6 b3.
类型二 利用分数指数幂的运算性质化简求值
【典例】1.
(16
)
3 4
=_______．
2.计算下列各8式1 (式中字母均为正数)：
1
2 1
(5x 3 y2 )
( 1
1
x1y2 )
( 5
1 1
x 3y 6 ).
4
6
2
0.064
2，
所以(x+3)1 =(3±2 )1 =［( ±1)2］1 = ±1.
2
22
2
2
2
答案： ±1
2.方法一2 ：将x -x- =1，两边平方，得x+x-1-2=1，则x+x-1=3.
1
1
方法二：因为x 2 -x- 2 =1，则(x -x- )x =x ，即x-x -1=0，
(x )2-x -1=012，解得12 x =
【典例】化简:(1-a)
［a
12
a
1 2
1
］2
=_________.
【失误案例】
m
(3)运算a n性质:分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质
「精品」高中新课程数学(新课标)必修一《2.1.1-2指数幂及运算》课件-精品课件
温馨提示：对于(2)的结果可用根式表示，但必须进行化
简为23b6 ab2，对于(3)进行恒等变形若公式熟可以先用公 式化简再进行负指数变化，最终结果分母不能既含字母 也含负指数．
思路分析：利用立方和公式、平方差公式、完全平方 公式，将所求的式子拼凑出已知的式子．
解：(1)令2x＝t，则2－x＝t－1，∴t＋t－1＝a.① 解法一：由①两边平方得t2＋t－2＝a2－2， ∴8x＋8－x＝t3＋t－3 ＝(t＋t－1)(t2－t·t－1＋t－2) ＝a(a2－2－1)＝a3－3a. 解法二：8x＋8－x＝t3＋t－3 ＝(t＋t－1)(t2－t·t－1＋t－2) ＝a[(t＋t－1)2－3t·t－1] ＝a(a2－3)＝a3－3a.
数列11，81，217…的指数是－3，两者相乘，就得到‘五次
幂倒数’的数列11，312，2143…，它的指数显然是(－2)＋(－
3)＝－5，同样，‘平方根倒数’的数列
1， 1
1， 2
1 是一个巨大的进步，不过瓦利士没有真正使用指数
符号
，只是说14，18， 12…的指数是－2，－3
4．无理数指数幂的运算性质同有理数指数幂的运算 性质．
(1)aras＝a；r＋(2s )(ar)s＝； ars (3)(ab)r＝a(rab>r 0，b>0，r，s∈R)．
思路分析：由题目可获得以下主要信息：本例三个小 题均含有根式．解答本题可将根式化为分数指数幂形式， 根据分数指数幂的运算性质求解．
1679年，莱布尼茨写信给荷兰数学家惠更斯讨论方程： xx－x＝24，xz＋zx＝b，xx＋zz＝c， 这是引入变指数的开始． 指数概念形成后，欧拉才把对数建立在指数的逆运算 的基础上，这就是现行教科书采用的方法．
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a a a a ( n N )
n n个a
a 1 ( a 0)
0
a
n
1 ( a 0, n N ) n a
§2.1.1指数与指数幂的运算
☞整数指数幂有那些运算性质?(m,n ∈Z)
(1) a a a
m n
mn
( m , n Z)
3 ) (22 3) 2 3 ( 2
1 2
1 3
1 6
2 3 3 2 2
1 2
1 3
1 3
2 1 6
3
1 6
2
1 1 21 3 6
3
1 1 1 2 3 6
2 3 6.
§2.1.1指数与指数幂的运算
【题型4】根式运算
利用分数指数幂进行根式运算时,先将根式化成有 理指数幂,再根据分数指数幂的运算性质进行运算.
1 10 2
3 5 2
3 4
(2) ( 81 ) [(3)2 ]2 625 3 3 3 3 4 4 2 2 [( 3 ) ] (3 ) ( 3 ) 3 125 1 5 27 27 5
1 10 2 . 2 2 3
124 . 27
§2.1.1指数与指数幂的运算
§2.1.1指数与指数幂的运算
(3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗?
5
4 4 ;
3
3 5
43的5次方根是 4 ; 75的3次方根是 7
5 3 2 3
3 5
3
3
7 7 ;
5
5 3
; ;
a a ;
2
2 3
a2的3次方根是 a
a9的7次方根是
7
a a .
9
9 7
a .
9 7
结果表明:方根的结果与分数指数幂是相通的.
§2.1.1指数与指数幂的运算
(5) (6) (7)(8) 【1】下列说法中正确的序号是____________. (1)16的四次方根是2; (2)正数的n次方根有两个; (3)a的n次方根就是 n a ; (4) 4 81 3; 3 3 (5) ( 5) 5;
(6) ( 81) 81;
y
2 1 3 2 3 3
(4) (m n ) (m ) (n ) m n .
8
2
3 8 8
3
§2.1.1指数与指数幂的运算
【题型4】根式运算
利用分数指数幂进行根式运算时,先将根式化成有 理指数幂,再根据分数指数幂的运算性质进行运算.
例4.求下列各式的值： (1) 2 3 3 1.5 6 12
r r
§2.1.1指数与指数幂的运算
【1】求下列各式的值.
(1) 8 ,
2 3
(2)25 , (3)( ) , (4)( ) .
2 3
1 2
2 3
1 5 2
3 4 16 81
解 :(1) 8
(2 ) 2
3 2 1 2
3 2 3
2 4;
2 2( 1 ) 2
1
5 1; (2)25 (5 ) 5 5 1 5 5 1 5 (3) ( 2 ) ( 2 ) 2 32;
指数的概念从整数指数推广到了有理数 指数,整数指数幂的运算性质对于有理指数幂 都适用.
(1) a a a
r s
r s r
r s
rs
(a 0, r , s Q);
(2) (a ) a (a 0, r , s Q); (3) (ab) a b (a 0, b 0, r Q).
解：原式 = [2 ( 6) ( 3)]a
0
2 11 3 2 6
2 3
1 2
1 2
1 3
1 6
5 6
b
115 2 3 6
4ab 4a; 2 3 1 4 2 (2) (a b )( 4a b) (12a b c )
( 4) 12a 1 1 3 ac .
综上,我们得到正数的正分数指数幂的意义.
§2.1.1指数与指数幂的运算
1.正数的正分数指数幂的意义：
a a
n
m n
m
(a 0, m, n N , 且n 1)
2.正数的负Βιβλιοθήκη 数指数幂的意义： 1 1 (a 0, m , n N , 且n 1) m n m n a a 3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指 数幂没有意义. a
2 3 3 2 1 4
(2)( 3 25 125) 4 5 (5 5 ) 5
5 5 5 5
2 3 1 4 3 2 1 4
5
2 1 3 4
5
5 4
3 1 2 4
5 5
12 5
5 12
5 5 5.
4
§2.1.1指数与指数幂的运算
【1】计算下列各式(式中字母都是正数).
1 2
(4) ( ) [( ) ] ( )
3 4 16 81
3 4 4 2 3
3 4( 4 ) 2 3
( )
2 3 3
27 8
.
§2.1.1指数与指数幂的运算
【题型1】将根式转化分数指数幂的形式. ☞当有多重根式是,要由里向外层层转化. ☞对于有分母的,可以先把分母写成负指数幂. ☞要熟悉运算性质. 例1.利用分数指数幂的形式表示下列各式(其 中a >0).
| 3 2 | | 2 3 | | 2 2 |
( 3 2 ) (2 3 ) (2 2 )
6 5
3 4
( m n)
2 3
( m n)
p q
3 5 2
2
§2.1.1指数与指数幂的运算
4.有理指数幂的运算性质 (1) a m a n a m n ( m , n Z)
(2) (a m )n a m n (m , n Z) n n n (3) (ab ) a b ( m , n Z)
m n
§2.1.1指数与指数幂的运算
【1】用根式表示下列各式:(a＞0)
1 1 3 4 a 3 5 3 2 a a a 【2】用分数指数幂表示下列各式：
4 3
a
1 2
a
3 4
a
3 5
a
2 3
(a b)3 (a b 0) ( a b ) ( m n)2 ( m n )4 ( m n ) p q ( p 0)
r s
r s
§2.1.1指数与指数幂的运算
(1)课本P.39A 5 P.39Ｂ 2 (2)学案P.27-28
山东省临沂一中 李福国 2007年9月20日
§2.1.1指数与指数幂的运算
例2.求值：
5 2 6 7 4 3 6 4 2.
解：原式 ( 3 2)2 (2 3)2 (2 2)2
§2.1.1指数与指数幂的运算
1.分数指数概念
(1) a
m n
n
am ;
(a＞0,m,n∈N*, n＞1)
n
(2) a
m n
1 m an
1 ; am
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂 没有意义. 2.有理指数幂运算性质
(1) a a a (a 0, r , s Q); r s rs (2) (a ) a (a 0, r , s Q); r r r (3) (ab) a b (a 0, b 0, r Q).
3a 3 4 (3) 3 ( ) 3 27b
3 a b
9 4
8 3
4 4
(4)
a
9 2 4
b
3
a b .
3 8
§2.1.1指数与指数幂的运算
例2.化简下列各式(其中a >0).
3a 4 3 ( (3) ) 3 27b
3
3
a 4 ( 3 ) (32 a b ) 9b
3
10 5
结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 根式可以表示为分数指数幂的形式.
§2.1.1指数与指数幂的运算
(2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗?
5 3
73; 7 2 3 2 a3; a
5
4 45 ;
3
3 5
类比
7
a a .
9
9 7
总结:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除 时,根式可以写成分数指数幂的形式.
§2.1.1指数与指数幂的运算
(1)观察以下式子,并总结出规律:(a > 0)
2 (2 ) 2 2 ;
10 5 2 5 3
10 2
3 3 (3 ) 3 3 ;
12 4 3
4
12 3
4
a
12
4 (a ) a a ;
3 4 3
12 4
5
a 10 5 (a 2 )5 a 2 a
例6.化简 (1 18 )(1 14 )(1 12 )(1 1 ).
2 2 2 2
解 : (1 18 )(1 14 )(1 12 )(1 1 ) 2 2 2 2 (1 1 ) 2 (1 1 )(1 1 )(1 1 )(1 1 ) 1 2 22 24 28 1 2 (1 12 ) (1 14 ) 2 (1 1 )(1 1 )(1 1 ) 2 (1 1 )(1 1 ) 1 22 24 28 1 24 28 1 1 2 2 (1 18 ) 1 1 2 (1 1 ) 216 2 1 . 15 8 1 1 2 2 1 1 2 2