[推荐学习]高中数学 3.2《巧用向量求解共线、共面问题》素材苏教版选修2-1

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空间向量的共线与共面解析

空间向量的共线与共面解析在三维空间中，我们经常会遇到多个向量的关系问题，其中一个重要的问题就是判断向量的共线与共面关系。

本文将介绍空间向量的共线与共面解析方法。

一、共线向量的判断若存在实数k，使得向量a与向量b的每个分量同比例，则向量a 与向量b是共线的。

即可以表示为：a = kb对于三维空间中的两个向量a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3)，我们可以通过列向量的形式表示：⎛a1⎞⎛b1⎞⎜a2⎟ = k⎜b2⎟⎝a3⎠⎝b3⎠其中a与b共线，k的值即为向量a与向量b的公比。

二、共面向量的判断若存在实数k1和k2，使得向量a、b和向量c的每个分量满足以下关系：a = k1b + k2c则向量a、b和向量c是共面的。

即可以表示为：⎛a1⎞⎛b1⎞⎛c1⎞⎜a2⎟ = k1⎜b2⎟ + k2⎜c2⎟⎝a3⎠⎝b3⎠⎝c3⎠其中a、b和c共面，k1和k2分别为向量a与向量b和向量a与向量c的公比。

三、共线与共面解析举例假设有三个向量a=(1,2,3)，b=(2,4,6)和c=(3,6,9)，我们来判断它们的共线与共面关系。

1. 共线判断：a = 2b，即k=2，所以向量a与向量b是共线的。

2. 共面判断：我们可以将向量a表示为向量b和向量c的线性组合，即：a = 1b + 0c所以向量a、b和向量c是共面的。

通过上述例子，我们可以发现，共线向量满足每个分量同比例，而共面向量则满足每个分量都可以由其他向量线性表示。

结论：通过对空间向量的共线与共面解析，我们可以更好地理解向量之间的关系。

共线与共面关系在几何学和物理学中都有广泛的应用，对于求解问题和推导结论具有重要意义。

总结：在本文中，我们介绍了空间向量共线与共面的解析方法，并通过具体例子进行了解析。

通过这些方法，我们可以判断出向量的共线与共面关系，更好地应用于实际问题中。

对于进一步学习和应用向量的相关知识具有重要的参考价值。

共线共面知识点总结

共线共面知识点总结共线共面是几何学中一个重要的概念，指的是多个点共线或者多个直线共面的情况。

在平面几何中，共线共面是一些重要的性质和定理的基础，也是解决实际问题的重要方法之一。

本文将从基本概念、性质和应用等方面对共线共面进行总结。

一、基本概念1.1 共线在几何学中，三个或三个以上的点处在同一条直线上时，称它们共线。

如果两点确定一条直线，那么三个或三个以上点共线的情况在平面上是很容易理解的。

1.2 共面在三维空间中，三个或三个以上的点处在同一个平面上时，称它们共面。

如果两条直线相交于一点，则它们确定的平面上的所有点都是共面的。

1.3 共线共面的关系共线和共面是几何学中重要的基本概念，共线的概念是在平面上，而共面的概念是在空间中。

它们有着密切的联系，也是很多几何性质和定理的基础。

二、性质2.1 共线的性质1）三个点共线的条件三个点A、B、C共线的条件是向量AB和向量AC共线。

2）共线点的性质（1）在同一条直线上的任意两点可以确定一条直线，也就是说，任意两点共线。

（2）三个或三个以上点共线的情况是唯一的，也就是说，在同一条直线上的点独一无二。

（3）任意两条不同的直线必定有一个公共点，这是因为任意两点共线的性质决定的。

2.2 共面的性质1）三个点共面的条件三个点A、B、C共面的条件是向量AB、向量AC和向量BC共面。

2）共面点的性质（1）在同一个平面上的任意三点可以确定一个平面。

（2）四个或四个以上点共面的情况是唯一的。

（3）任意两个不同平面一定有一个公共的直线。

三、应用3.1 共线共面的应用共线共面概念在几何学中有着广泛的应用，例如在解题时，利用三点共线或四点共面的性质可以简化问题的解决过程，加速解答速度。

同时，在实际生活中，共线共面的知识也有着广泛的应用，例如在建筑设计、工程测量、航空航天等领域都有着重要的应用价值。

3.2 共线共面的定理在几何学中，有一些重要的定理是基于共线共面的性质而得出的，例如圆锥曲线的切线定理、平行四边形的性质、直线垂直平分线段定理等等，这些定理都是基于共线共面的性质而得出的。

江苏省丹阳市高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.2共面向量定理学案(无答案)苏教版选修2-1

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类比 3:设空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B、C，若点 P 满足向量关系
OP xOA yOB zOC （其中 x+y+z=1）试问：P、A、B、C 四点是否共面？分析：解
思考： ①如果将 x+y+z=1 整体代入，由(x y z)OP xOA yOB zOC 出发，你能得到什么结论？ ②将例 2 进行变形:
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类比到空间向量，探究得到共面向量定理如果两个向量 a,b 不共线，那么向量 p 与向量 a,b 共面的充要条件
B
这就是说,向量 p 可以由不共线的两个向量 a,b 线性表示。 b
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分析定理
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类比 2:
空间共线向量定理和平面共线定理是相同的，那么,空间共面向量定理是否和平面向量的某个
〖学习难点〗利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题

高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分第3章3.13.1.2共面向量定理Word版含解析

3. 1.2共面向量定理如图，在平行六面体 ABCD — A I B I C I D I 中，观察下列几组向量，回答问题.问题1： AB 、A D 、A 1C 1可以移到一个平面内吗？提示：可以，因为AC = AC 1，三个向量可移到平面问题2： AA ? , AC ,A C J 三个向量的位置关系？提示：三个向量都在平面 ACC I A I 内.问题3： BB 1、CC 1、DD 1三个向量是什么关系? 提示：相等.1. 共面向量一般地，能够平移到同一平面内的向量叫做共面向量. 2. 共面向量定理如果两个向量a , b 不共线，那么向量p 与向量a , b 共面的充要条件是存在有序实数组 (x , y)，使得 p = x a + y b .［归纳*升华.辆悟］ ---------------------------- '1•空间中任意两个向量都是共面的，空间中任意三个向量可能共面，也可能不共面. 2. 向量共面不具有传递性.3. 共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面，它是判定三个向量是否共面的依据.EJ-»|向量共面的判定摘象问眩情境化，新知无师自通［对应学生用书P50］ABCD 内.鬲频考点题组化.名师一点就通［对应学生用书P51］AB AA 1O P 1( P APB )AB CD[1]ABCD AB BC CD DA(x y)OP x O Ay OBOPO A O BABAA 1AD3 b 5c r 7a 18b22 cADABi 2解：设 r = x p + y q ,则一7a + 18b + 22c = x(a + b — c )+ y(2a — 3b — 5c ) =(x + 2y)a + (x — 3y)b + (— x — 5y) c , ［x + 2y =— 7, ••• «；x — 3y = 18,—x — 5y = 22.• r = 3 p — 5q . • p 、q 、r 共面.向量共面的证明•- AC i 与 AE 、AF 共面.［一点通］利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件.解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系，解3. 如图，正方体 ABCD — A i B i C i D i 中， —I T —AB , B i C , EF 是共面向量.T T T ^4证明：法一：EF = EB + BA i + AF i i =2 B i B — AB + 2 A i D iI _=2( B i B + BC — A i B答本题，实质上是证明存在惟一一对实数 x , 空间向量的加、减法则及运算律，结合图形，用y 使向量 AC i = x AE + y成立，也就是用A 、AF 表示忌.［例2］如图所示, D i D 上，且 BE = 1B B I ,平行六面体 ABCD — A i B i C i D i 中，E 、F 分别在B i B 和咸与A 、器 A F 线性表示出AC i 即可. 2DF = 3DD 1.证明:共面.［思路点拨］由共面向量定理，只要用 AE 、 T T T T［精解详析］•/ AC i = AB + AD + AAi 2=AB + AD + 3 AA + 3 AA ii 2=(AB + 3 AA i )+ ( AD + 3 AA ) T T T T=AB + BE + AD + DFT T=AE + AF ,E ,F 分别为BB i 和A i D i 的中点.证明：向量1 B l C AB .AB B l CEFA i D BDA 1D GFG BGFG12DD iBE 1D D 1FGBE. D LcaC LBEFGBG? A 1BD EFA 1BDEFA 1BD.B 1C A 1D B 1C A 1BD AB TB ,C TEF A 1BDABB ,CTEF4ABC A 1B 1C 1MTk BC (0 k1)MNBG. EF N MABNABDAMC i CNMN MC , AC 1 A A 1 IM A BCABBNGC CNA MA M A Mk AC ,k( AM MCJ(1 k)k MC ,T T(1 k) BN k CN 0. (1 k) MAk MC 1A LkC ,CAA 1MN (1—T TMNAB AA ,(1 k)[3] (1 k) AB k) ABk C ,C k AA"徒aABCD AB BC CD⑴用向量法证明E , F , G , H 四点共面; ⑵用向量法证明 BD //平面EFGH .⑵要证BD 〃平面EFGH ，只需证向量BD 与向量7H 、EG 共面即可.［精解详析］(1)如图所示，连接 BG , EG ,则: T T T T 〔 T TEG = EB + BG = EB + ?(BC + BD ) =EB + BF + EH = EF + EH .由共面向量定理知 E , F , G , H 四点共面. ⑵设 AB = a , AC = b , AD = c ,BD = AD — AB = c — a .EG = E A 1 1 1 1 1 HF = HA + AF = — 2®+2( a + b ) = ?a + ?b — ? c . 假设存在x , y ,使BD = x EG + yH F .即 c — a = x — 2a + 2b +y|a + 苏 1 c=卜 x ：a + §+y ：b +1| - y ：c .••• a , b , c 不共线.y — x2 2•/ BD 不在平面EFGH 内. • BD //平面 EFGH . ［一点通］AC［思路点拨］(1)要证数 x , y ,使 EG = x 乍F +E ,F ，G ，H 四点共面, 即可. 根据共面向量定理的推论，只要能找到实 ••• BD =BD 、EG 、H?是共面向量,+ AG =-2 + 2( c + b )=— 2a + 2 b + 2®1 (x y z)(1)OD1MAB y x MAMAB MABOP x OAABCD A i B i C i D iy OB z OCB i D ia:r J7>C1B a C i D i b C2 B i D i i2(b a)D i D C i CT TD1D c OD OD i D i D B i C ODC i.如b)c c B i D iOC iB1Cx OD y OC1；(b a) cy)a x cB1C ODB1C 2(a b)OC1B1COD FABOC1PBCa) c.y i.ABCDPCDOD OC1ODC iPDAB i CPA PBODC i.PC PD E分别延长PE 、PF 、PG 、PH 交平面四边形 ABCD 各边于M 、N 、Q 、R.、N 、Q 、R 为所在边的中点，顺次连结 M 、N 、Q 、R 所得四边形为平行四边形, =I PM , P F =3 P N , 2 2・PG = 3 PQ , PH = 3 PR . ••• MNQR 为平行四边形，••• EG = PG — P E = 3P Q — 3 P M = 3 MQ2=3（ MN + MR ）=3（ PN —PM ）+1（ PR —PM ） =2.3 P F — 3 P F + 2 3 3 2 2 十 3 2T T=EF + EH .•••由共面向量定理得 E 、F 、G 、H 四点共面.［方法・规律■小结〕若e i , e 2, e 3是不共面的三个向量，且 41+念+倏二0（其中人证明: •/ E 、 F 、G 、H 分别是所在三角形的重心,• M 、且有PE: PH —3 PF向量e i , e 2, e 3共面？存在三个不全为0的实数入使得砂 + |©2 + Y ^3 = 0.=0.空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在惟一的有序实数对=xMAVIIMGH3N1G课下训练经典化.贵在紬类旁通［对应课时跟踪训练（十九）］1. ____________________________ 下列结论中，正确的是 _________________________________ （填序号）. ① 若a 、b 、c 共面，则存在实数x , y ,使a = x b + y c ;用又有一个前提：b c 是不共线向量，否则即使三个向量性关系，故①不正确，③正确.答案：②③2. 已知A , B , C 三点不共线，0为平面ABC 外一点，若由向量 OP 入0C 确定的点P 与A , B , C 共面，那么入=解析：••• P 与A , B , C 共面，AP = a AB + 3AC ,••• AP = a O B — O A )+ 3OC- OA ,即 O P = O A + a OB — OC O A + B OC- 3OAT T T=(1 — a — 3 OA + aOB + ^OC , …1 — a — p+ a+ 1.1 2因此 5+ 3+ A 1. 2解得X= 15.T T解析：EF = AF2 1-DF — ( AB + BE )= AD + 3 DD i — AB — - BB1=AD — AB + 3 AA -X =— 1, y = 1, z = 3. •x +y +z =扌③若a 、b 、c 共面，b 、c 不共线，则存在实数 X 、 y ,使 a = x b + y c .解析：要注意共面向量定理给出的是一个充要条件. 所以第②个命题正确.但定理的应3.如图，平行六面体 ABCD — A i B i C i D i 中, 1E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE = 3BB 1, 2 T DF = 3DD 1, 若 EF = xAB +y AD + zAA i ,则x + y + z=a 、bc 共面，也不一定具有线 —AE=AD +a 3 e 1 2e 2 e 3 bc 2 e 1e24e3x(3s2e 2 e 3) y ( & e ? 3 e 3) z(2 e 1 e 4e 3) 0AB i 2j 2k BC2i j 3kCDi 3j5k A B C DAB BCCDa(i2j 2k ) b(2i j 3k ) c( i 3j 5k ) 0(a 2b )i ( 2a b 3c)j (2 a 3b 5c)ki j kra 2b 0 "ac 2a b 3c 0 bc〔2a 3b 5c 0.1 L1.0.i0.a b ca ABb BCc CD ABCABCOM 1 OAABCAM O MABC 22 OA1 1 3 OB3 OC3( OB OA ) 3( OC A M OA ) 1( AB AC ) BC2 ADABC ABCABC6 ABC T T TMA MB MCT T T(1) OA OB OC 3 OMT TTTT T OA OM (OM OB ) (OMOC )TTT MABM CMOM £ OA1 1 3 OB 3OC.MB MC7 e 1e2 e 3EDB.(3x y 2z)c ^1 (2x y z) e 2 (xe 1 e 2 e 33x y 2z 0I x 12x yz 01y 7x 3y 4z1 Z 5a 7b 5c a bcab「 c 3 e 1 2e 2 e 3( e 1 e 23e s )1e 1 e 2 e 33221 34 ,75a 7b 5ca b cABCDEF3y 4z)e 3 0(2 e ie24 e3)BCH BCTH-(FB FC )蜕 7B HDC ) 11(2FE EB ED DC )EF AB CD AB AB 2EF 2 FE DC 01 11 4FH 2( EB ED ) EB ? ED . EB EDTH 7B EDFHFHEDBEDBEF AB AB 2EF HABCDFH。

高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分第3章 3.2 3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量

_3.2空间向量的应用3．2.1直线的方向向量与平面的法向量[对应学生用书P63]a1，a2，a3…a n是一组非零共线向量，表示向量a1的有向线段所在直线与直线l平行．问题1：表示向量a2，a3，…a n的有向线段所在直线与直线l的关系怎样？提示：平行或重合．问题2：如何表示a1，a2…a n与直线l的关系呢？提示：利用一个向量来表示直线l的方向，a1，a2，…a n与该向量共线．直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量.直线l与平面α垂直，l1，l2是平面α内的两条直线．问题1：表示直线l的方向向量的有向线段所在的直线与平面α是否垂直？提示：垂直．因为这些直线与l平行或重合．问题2：直线l的方向向量与直线l1，l2的方向向量是否垂直？提示：垂直．1．如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫做平面α的法向量．2．与平面垂直的直线叫做平面的法线．因此，平面的法向量就是平面法线的方向向量．1．一条直线有无数个方向向量，它们共线．一个平面有无数个法向量，它们也共线．2．平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量．3．给定一点A 和一个向量a ，那么过点A ，以向量a 为法向量的平面是惟一的．[对应学生用书P63][例1] 根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系： (1)平面α，β的法向量分别是u ＝(－1,1，－2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12； (2)直线l 的方向向量a ＝(－6,8,4)，平面α的法向量u ＝(2,2，－1)． [思路点拨] 利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系． [精解详析] (1)∵u ＝(－1,1，－2)，v ＝⎝⎛⎭⎫3，2，－12， ∴u·v ＝(－1,1，－2)·⎝⎛⎭⎫3，2，－12＝－3＋2＋1＝0， ∴u ⊥v ，故α⊥β.(2)∵u ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)，∴u·a ＝(2,2，－1)·(－6,8,4)＝－12＋16－4＝0， ∴u ⊥a ，故l ⊂α或l ∥α. [一点通]1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)．2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行．3．两个平面的法向量共线时，两平面平行．1．若两条直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)，则l 1与l 2的位置关系为________．解析：∵b ＝－2a ，∴a ∥b ，即l 1∥l 2或e 1与e 2重合．答案：平行或重合2．根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9，0)；(3)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)； (4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)．解：(1)∵a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)， ∴a ·b ＝8－6－2＝0， ∴a ⊥b ，即l 1⊥l 2.(2)∵u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9,0)， ∴v ＝－3u ， ∴v ∥u ，即α∥β.(3)∵a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)， ∴a ·u ≠0且a ≠k u (k ∈R )，∴a 与u 既不共线也不垂直，即l 与α相交但不垂直． (4)∵a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)， ∴a ·u ＝－3＋4－1＝0， ∴a ⊥u ，即l ⊂α或l ∥α.[例2] 已知点A (3,0,0)，B (0,4,0)，C (0,0,5)，求平面ABC 的一个单位法向量． [思路点拨] 可先求出一个法向量，再除以该向量的模，便可得到单位法向量． [精解详析] 由于A (3,0,0)，B (0,4,0)，C (0,0,5)，所以AB ＝(－3,4,0)，AC ＝(－3,0,5)．设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有n ·AB ＝0，且n ·AC ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋5z ＝0.取z ＝1，得x ＝53，y ＝54，于是n ＝⎝⎛⎭⎫53，54，1.又|n |＝76912，所以平面α的单位法向量是n 0＝±⎝⎛⎭⎫20769，15769，12769. [一点通]求平面的法向量的方法与步骤：(1)求平面的法向量时，要选取两相交向量AC 、AB . (2)设平面法向量的坐标为n ＝(x ，y ，z )．(3)联立方程组⎩⎨⎧n ·AC ＝0，n ·AB ＝0.并解答．(4)求出的向量中三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定某个坐标为常数而得到其他坐标．(常数不能为0)3．已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，试求平面α的一个法向量．解：∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)， ∴AB ＝(1，－2，－4)，AC ＝(2，－4，－3)．设平面α的一个法向量是n ＝(x ，y ，z )．依题意应有n ·AB ＝0且n ·AC ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0.解得z ＝0，且x ＝2y . 令x ＝2，则y ＝1∴平面α的一个法向量是n ＝(2,1,0)．4.如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且 SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 与平面SBA的一个法向量．解：因为AD 、AB 、AS 是两两垂直的线段，所以如图所示建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，D (12，0,0)，C (1,1,0)，S (0,0,1)，则DC ＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，DS ＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1. 由题意易知向量AD ＝(12，0,0)是平面SAB 的一个法向量．设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的法向量，则⎩⎨⎧n ·DC ＝12x ＋y ＝0，n ·DS ＝－12x ＋z ＝0.即⎩⎨⎧y ＝－12x ，z ＝12x .取x ＝2，则y ＝－1，z ＝1，∴平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)．5.如图所示，四棱锥V －ABCD ，底面ABCD 为正方形，VA ⊥平面ABCD ，以这五个顶点为起点和终点的向量中，求：(1)直线AB 的方向向量；(2)求证：BD ⊥平面VAC ，并确定平面VAC 的法向量．解：(1)由已知易得，在以这五个顶点为起点和终点的向量中，直线AB 的方向向量有：AB 、BA 、CD 、DC 四个．(2)∵底面ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC . ∵VA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥VA ，又AC ∩VA ＝A ，∴BD ⊥平面VAC ，所以平面VAC 的法向量有BD 、DB 两个．确定平面的法向量通常有两种方法：(1)几何体中已经给出有向线段，只需证明线面垂直．(2)几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法求解平面的法向量．[对应课时跟踪训练(二十三)]1．若直线l ⊥平面α，且l 的方向向量为(m,2,4)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫12，1，2，则m 为________．解析：∵l 的方向向量与平面α的法向量平行．∴m 12＝21＝42.∴m ＝1.答案：12．设A 是空间任意一点，n 为空间任一非零向量，则适合条件AM ·n ＝0的点M 的轨迹是________．解析：AM ·n ＝0称为一个平面的向量表示式，这里考查的是基本概念．答案：过点A 且与向量n 垂直的平面3．设直线l 1的方向向量为a ＝(2，－1,2)，直线l 2的方向向量为b ＝(1,1，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝________.解析：∵l 1⊥l 2，∴2－1＋2m ＝0.∴m ＝－12.答案：－124．在空间中，已知平面α过点A (3,0,0)和B (0,4,0)及z 轴上一点C (0,0，a )(a >0)，如果平面α与平面xOy 的夹角为45°，则a ＝________.解析：平面xOy 的法向量为n ＝(0,0,1)，AB ＝(－3,4,0)，AC ＝(－3,0，a )，设平面α的法向量为u ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋4y ＝0，－3x ＋az ＝0，则3x ＝4y ＝az ，取z ＝1，则u ＝⎝⎛⎭⎫a 3，a 4，1，故cos 〈n ，u 〉＝1a 29＋a216＋1＝22. 又∵a >0，∴a ＝125.答案：1255．已知a ＝(1,4,3)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.解析：由l 1∥l 2，得13＝4x ＝3y ，解得x ＝12，y ＝9.答案：12 96．已知A (2,2,2)，B (2,0,0)，C (0,2，－2)， (1)写出直线BC 的一个方向向量；(2)设平面α经过点A ，且BC 是α的法向量，M (x ，y ，z )是平面α内任一点，试写出x 、y 、z 满足的关系式．解：(1)∵B (2,0,0)，C (0,2，－2)， ∴BC ＝(－2,2，－2)，即(－2,2，－2)为直线BC 的一个方向向量． (2)由题意AM ＝(x －2，y －2，z －2)， ∵BC ⊥平面α，AM ⊂α，∴BC ⊥AM . ∴(－2,2，－2)·(x －2，y －2，z －2)＝0. ∴－2(x －2)＋2(y －2)－2(z －2)＝0. 化简得x －y ＋z －2＝0.7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， (1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面A 1BC 1的一个法向量；(3)若M 为CD 的中点，求平面AMD 1的一个法向量．解：以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，1AA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为a .(1)∵平面ABCD 即为坐标平面xOy ，∴n 1＝(0,0,1)为其一个法向量．(2)∵B 1D ⊥平面A 1BC 1，又∵1B D ＝(0，a,0)－(a,0，a )＝(－a ，a ，－a )， ∴n 2＝1a 1B D ＝(－1,1，－1)为平面A 1BC 1的一个法向量．(3)设n ＝(x 0，y 0，z 0)为平面AMD 1的一个法向量， ∵AM ＝⎝⎛⎭⎫a2，a ，0，1AD ＝(0，a ，a )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AM ＝(x 0，y 0，z 0)·⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0＝a 2x 0＋ay 0＝0，n ·1AD ＝(x 0，y 0，z 0)·(0，a ，a )＝ay 0＋az 0＝0.令x 0＝2，则y 0＝－1，z 0＝1，∴n ＝(2，－1,1)为平面AMD 1的一个法向量．8.如图，已知ABCD －A1B 1C 1D 1是长方体，建立的空间直角坐标系如图所示．AB ＝3，BC ＝4，AA 1＝2.(1)求平面B 1CD 1的一个法向量；(2)设M (x ，y ，z )是平面B 1CD 1内的任意一点，求x ，y ，z 满足的关系式．解：(1)在如题图所示的空间直角坐标系A －xyz 中，各点坐标为B 1(3,0,2)，C (3,4,0)，D 1(0,4,2)，由此得1B C ＝(0,4，－2)，1CD ＝(－3,0,2)；设平面B 1CD 1的一个法向量为a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥1B C ，a ⊥1CD ，从而a ·1B C ＝0，a ·1CD ＝0，所以0·x ＋4·y －2·z ＝0，－3·x ＋0·y ＋2·z ＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2y －z ＝0，3x －2z ＝0，得到⎩⎨⎧y ＝z 2，x ＝2z 3.不妨取z ＝6，则y ＝3，x ＝4.所以a ＝(4,3,6)就是平面B 1C 1D 的一个法向量．(2)由题意可得1B M ＝(x －3，y ，z －2)，因为a ＝(4,3,6)是平面B 1CD 1的一个法向量，所以a ⊥1B M ，从而a ·1B M ＝0，即4(x －3)＋3y ＋6(z －2)＝0,4x ＋3y ＋6z ＝24，所以满足题意的关系式是4x ＋3y ＋6z ＝24.。

高二数学教案 3.1.1 共面向量定理_苏教版_选修2-1

§3.1.2 共面向量定理编写：陶美霞审核：赵太田一、知识要点1.共面向量定义：2.共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，那么向量p 与向量,a b 共面的充要条件是存在有序实数组(,)x y ，使得p xa yb =+。

二、典型例题例 1.如图所示，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面相交于AD ，点,M N 分别在对角线,BD AE 上，且11,33BM BD AN AE ==，求证：MN CDE ∥平面。

例2.设空间任意一点O 和不共线三点,,A B C ，若点P 满足向量关系OP xOA yOB zOC =++ (其中1x y z ++=)。

试问：,,,P A B C 四点是否共面？思考：由()x y z OP xOA yOB zOC ++=++ ，你能得到什么结论？例3.已知四棱锥__P ABCD 的底面是平行四边形，M 是PC 的中点，求证：PA BMD ∥面。

三、巩固练习1.在四面体PABC 中，点,M N 分别为,PA PB 的中点，问：MN 与BC ，AC 是否共面？2.已知空间向量,,,a b c p ，若存在实数组1,11(,)x y z 和222(,,)x y z 满足111p x a y b z c =++，222p x a y b z c =++，且12x x ≠，试证明向量,,a b c 共面。

3.已知P 是ABCD 所在平面外一点，连,,,PA PB PC PD ，点E F G H 、、、分别是PAB ∆，,,PBC PCD PDA ∆∆∆的重心，求证：⑴E F G H 、、、共面；⑵EFGH ABCD 面∥面。

四、小结高二数学选修2-1教学案27FMNEAB DC五、课后作业1. ,a b 不共线时，a b +与a b -的关系是； A.共面B.不共面C.共线D.无法确定2.已知正方体__1111ABCD A B C D 的中心为O ，则在下列各结论中正确的共有 (写出序号)①OA OD +与11OB OC +是一对相反向量；②OB OC -与11OA OD -是一对相反向量； ③OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量； ④1OA OA -与1OC OC -是一对相反向量。

3.1.2空间向量的共线与共面

例. 如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外
一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上
分别取点E，F，G，H，并且使
OE OF OG OH k, OA OB OC OD
O
求证： E，F，G，H四点共面.
DC
A
ห้องสมุดไป่ตู้
B
H
G
E
F
C
p
P
b
A aB
对空间任一点O,有OP OA xAB y AC ③
C
p
P
b
A aB
O 填空：OP (1__-_x_-_y)OA (_x___)OB (__y__)OC
③式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定.
由此可判断空间任意四点共面
P与A,B,C共面
AP xAB yAC
OP OA xAB y AC
OP xOA yOB zOC 0(x y z 1)
练习2.若对任一点O和不共线的三点A、B、C，
且有 OP xOA yOB zOC(x, y, z R), 则x+y+z=1 是四点P、A、B、C共面的（ C ）
A.必要不充分条件 C.充要条件
B
b
O
a 结论：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量. 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.
1、共线向量:如果表示空间向量的有向
线段所在直线互相平行或重合,则这些向量
叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.
思考:空间向量的平行满足传递性吗?
2.共线向量定理:对空间任意两个向量 a,b(b 0), a // b的充要条件是存在实数使

苏教版高中数学选修2-13.1.2 共面向量定理.docx

3.1.2 共面向量定理双基达标 (限时20分钟)1．已知ABCD 为矩形，P 点为平面ABCD 外一点，且P A ⊥面ABCD ，G 为△PCD 的重心，若AG →＝xAB →＋yAD →＋zAP →，则x ＝________，y ＝________，z ＝________.解析 AG →＝AP →＋PG →＝AP →＋23[12(AD →－AP →)＋12(AD →＋AB →－AP →)] ＝AP →＋13(AD →－AP →＋AD →＋AB →－AP →) ＝13AP →＋23AD →＋13AB → ∴x ＝13，y ＝23，z ＝13. 答案 13 23 132．在下列等式中，使点M 与点A ，B ，C 一定共面的是________．①OM →＝2OA →－OB →－OC →②OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → ③MA →＋MB →＋MC →＝0④OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0解析若有MA →＝xMB →＋yMC →，则M 与点A 、B 、C 共面，或者OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →且x ＋y ＋z ＝1，则M 与点A 、B 、C 共面，①、②、④不满足x ＋y ＋z ＝1，③满足MA →＝xMB →＋yMC →，故③正确．答案 ③3．如图所示，已知P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP →＝2OA→＋OB →＋λOC →，则λ＝________.解析 P 与不共线三点A ，B ，C 共面，且OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，则有x ＋y ＋z ＝1.从而λ＝－2.答案－24．设a ，b ，c 是不共面向量，m ＝2a －b ，n ＝b ＋c ，p ＝4a －5b －3c ，则向量m ，n ，p ________(填“共面”或“不共面”)．解析因为p ＝2(2a －b )－3(b ＋c )＝2m －3n ，所以m ，n ，p 必共面．答案共面5．下列命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面；②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝x ·MA →＋y ·MB →，则P 、M 、A 、B 四点共面；④若P 、M 、A 、B 四点共面，则MP →＝x ·MA →＋y ·MB →，其中正确的是________．解析 ①与③中取x ＝0或y ＝0，则结论不一定成立．反之，②④正确．答案 ②④6．设A 、B 、C 及A 1、B 1、C 1分别是异面直线l 1、l 2上的三点，而M 、N 、P 、Q 分别是线段AA 1、BA 1、BB 1、CC 1的中点．求证：M 、N 、P 、Q 四点共面．解 NM →＝12BA →，NP →＝12A 1B 1→，所以BA →＝2NM →，A 1B 1→＝2NP →，又因为PQ →＝12(BC →＋B 1C 1→)，(*) A 、B 、C 及A 1、B 1、C 1分别共线，所以BC →＝λBA →＝2λNM →，B 1C 1→＝ωA 1B 1→＝2ωNP →.代入(*)式得PQ →＝12(2λNM →＋2ωNP →) ＝λNM →＋ωNP →，所以PQ →、NM →、NP →共面，所以M 、N 、P 、Q 四点共面．综合提高（限时25分钟）7．已知A 1B 1C 1－ABC 是正三棱柱，D 是AC 上一点，若AB 1∥平面DBC 1，则D 在AC 上的位置是________．解析取BC 1的中点为O ，由AB 1∥平面DBC 1知，存在实数x ，y 满足AB 1→＝xDB →＋yDC 1→，又AB 1→＝AD →＋DO →＋OB 1→＝AD →＋DO →＋CO →＝AD →＋DO →＋DO →－DC →＝AD →－DC →＋DB →＋DC 1→，所以AD →＝DC →，即D 是AC 的中点．答案 D 是AC 的中点8．平面α内有点A ，B ，C ，D ，E ，其中无三点共线，O 为空间一点，满足OA →＝12OB →＋xOC →＋yOD →，OB →＝2xOC →＋13OD →＋yOE →，则x ＋3y ＝________. 解析由点A ，B ，C ，D 共面得x ＋y ＝12，又由点B ，C ，D ，E 共面得2x ＋y ＝23，联立方程组解得x ＝16，y ＝13，所以x ＋3y ＝76. 答案 769.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AE ＝3EA 1，AF＝FD ，AG ＝12GB ，过E 、F 、G 三点的平面与对角线AC 1交于点P ，则AP ∶PC 1的值为________．解析设AP →＝mAC 1→，因为AC 1→＝AB →＋BB 1→＋B 1C 1→＝AB →＋AA 1→＋AD →＝3AG →＋43AE →＋2AF →，所以AP →＝3mAG →＋43mAE →＋2mAF →，又因为E 、F 、G 、P 四点共面，所以3m ＋43m ＋2m ＝1，所以m ＝319，所以AP ∶PC 1＝3∶16. 答案 3∶1610.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是面对角线AC 的中点，N 是面对角线A 1B 上的点，若MN ∥平面B 1BCC 1，则点N 的位置为________．解析设BN →＝λBA 1→，因为MN ∥平面B 1BCC 1，由共面向量定理知，存在实数x ，y ，使得MN →＝xBC →＋yBB 1→，①又MN →＝BN →－BM →＝λBA 1→－12(BC →＋BA →)＝λ(BB 1→＋BA →)－12(BC → ＋BA →)＝－12BC →＋λBB 1→＋(λ－12)BA →，与①比较可知λ＝12，即点N 是面对角线A 1B 的中点．答案 A 1B 的中点11.已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．证明因为MA →＋MB →＝2ME →，MC →＋MD →＝2MG →，且ME →＋MG →＝0，所以MA →＋MB →＋MC →＋MD →＝0，OM →＋MA →＋OM →＋MB →＋OM →＋MC →＋OM →＋MD →＝4OM →，所以OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)． 12．已知四边形ABCD 为正方形，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中点O ，Q 是CD 的中点，求下列各题中x ，y 的值．(1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →；(2)P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →.解 (1)如图所示∵OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(P A →＋PC →)＝PQ →－12P A →－12PC →，∴x ＝y ＝－12. (2)∵P A →＋PC →＝2PO →，∴P A →＝2PO →－PC →.又PC →＋PD →＝2PQ →，∴PC →＝2PQ →－PD →.∴P A →＝2PO →－(2PQ →－OD →)＝2PO →－2PQ →＋PD →.∴x ＝2，y ＝－2.13．(创新拓展)设A ，B ，C 及A 1，B 1，C 1分别是异面直线l 1，l 2上的三点，而M ，N ，P ，Q 分别是线段AA 1，BA 1，BB 1，CC 1的中点，求证：M ，N ，P ，Q 四点共面．证明由题意得，NM →＝12BA →，NP →＝12A 1B 1→，∴BA →＝2NM →，A 1B 1→＝2NP →.又A ，B ，C 及A 1，B 1，C 1分别共线， ∴BC →＝λBA →，B 1C 1→＝tA 1B 1→.又PQ →＝12(BC →＋B 1C 1→)，∴PQ →＝12(λBA →＋tA 1B 1→)＝12(2λNM →＋2tNP →)＝λNM →＋tNP →.∴PQ →，NM →，NP →共面．∴M ，N ，P ，Q 四点共面．。

2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分第3章 3.1 3.1.2 共面向量定理含解析

3．1.2　共面向量定理[对应学生用书P50]如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，观察下列几组向量，回答问题．问题1：、AD、11A C 可以移到一个平面内吗？AB 提示：可以，因为AC ＝11A C，三个向量可移到平面ABCD 内．问题2：1AA ，AC ，1AC三个向量的位置关系？提示：三个向量都在平面ACC 1A 1内．问题3：1BB 、1CC 、1DD三个向量是什么关系？提示：相等．1．共面向量一般地，能够平移到同一平面内的向量叫做共面向量．2．共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在有序实数组(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b .1．空间中任意两个向量都是共面的，空间中任意三个向量可能共面，也可能不共面．2．向量共面不具有传递性．3．共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面，它是判定三个向量是否共面的依据．[对应学生用书P51]向量共面的判定[例1]　给出以下命题：①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面；②已知空间四边形ABCD ，则由四条线段AB 、BC 、CD 、DA 分别确定的四个向量之和为零向量；③若存在有序实数组(x ，y )使得OP ＝x OA ＋y OB，则O 、P 、A 、B 四点共面；④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面；⑤若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量共面．其中正确命题的序号是________．[思路点拨]　先紧扣每个命题的条件，再充分利用相关概念做出正确的判断．[精解详析]　①错：空间中任意两个向量都是共面的；②错：因为四条线段确定的向量没有强调方向；③正确：因为OP 、OA 、OB共面，∴O 、P 、A 、B 四点共面；④错：没有强调零向量；⑤错：例如三棱柱的三条侧棱表示的向量．[答案]　③[一点通]　共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内．判定向量共面的主要依据是共面向量定理．1．下列说法正确的是________(填序号)．①以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体；②设平行六面体的三条棱是AB 、1AA、AD ，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是AB ＋1AA＋AD ；③若OP ＝(PA＋PB )成立，则P 点一定是线段AB 的中点；12④在空间中，若向量AB 与CD是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共面．⑤若a ，b ，c 三向量共面，则由a ，b 所在直线所确定的平面与由b ，c 所在直线确定的平面是同一个平面．解析：①②③⑤不正确，④正确．答案：④2．已知三个向量a ，b ，c 不共面，并且p ＝a ＋b －c ，q ＝2a －3b －5c ，r ＝－7a ＋18b ＋22c ，试问向量p 、q 、r 是否共面？解：设r ＝x p ＋y q ，则－7a ＋18b ＋22c ＝x (a ＋b －c )＋y (2a －3b －5c )＝(x ＋2y )a ＋(x －3y )b ＋(－x －5y )c ，∴Error!解得Error!∴r ＝3p －5q .∴p 、q 、r 共面.向量共面的证明[例2]　如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝BB 1，D F ＝13DD 1.证明：1AC 与AE 、AF 共面．23[思路点拨]　由共面向量定理，只要用AE 、AF 线性表示出1AC即可．[精解详析]　∵1AC ＝AB ＋AD＋1AA ＝AB ＋AD＋1AA ＋1AA 1323＝(AB ＋1AA)＋(AD ＋1AA )1323＝AB ＋BE ＋AD＋DF ＝AE ＋AF ，∴1AC 与AE、AF 共面．[一点通]　利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系，解答本题，实质上是证明存在惟一一对实数x ，y 使向量1AC＝x AE ＋y AF 成立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形，用AE 、AF 表示1AC.3．如图，正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量1A B ，1B C ，EF 是共面向量．证明：法一：EF ＝EB ＋1BA ＋1A F＝1B B－1A B ＋11A D 1212＝(1B B＋BC －1A B 12＝1B C－1A B .12由向量共面的充要条件知，1A B ，1B C ，EF是共面向量．法二：连接A1D ，BD ，取A 1D 中点G ，连结FG ，BG ，则有FG 綊DD 1，12BE 綊DD 1，12∴FG 綊BE .∴四边形BEFG 为平行四边形．∴EF ∥BG .BG ⊆平面A 1BD ，EF 平面A 1BD∴EF ∥平面A 1BD .同理，B 1C ∥A 1D ，∴B 1C ∥平面A 1BD ，∴1A B ，1B C ，EF都与平面A 1BD 平行．∴1A B ，1B C ，EF是共面向量．4．已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM ＝k 1AC，BN ＝k BC (0≤k ≤1)．求证：MN 与向量AB ，1AA共面．证明：如图，在封闭四边形MABN 中，MN ＝MA ＋AB ＋BN.①在封闭四边形MC 1CN 中，MN ＝1MC ＋1C C ＋CN②∵AM ＝k 1AC ，∴AM ＝k (AM ＋1MC )∴(1－k )AM ＝k 1MC ，即(1－k )MA ＋k 1MC＝0，同理(1－k )BN ＋k CN＝0.①×(1－k )＋②×k 得MN ＝(1－k )AB＋k 1C C ，∵1C C ＝－1AA ，∴MN ＝(1－k )AB－k 1AA ，故向量MN 与向量AB ，1AA共面.共面向量定理的应用[例3]　如图所示，已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．(1)用向量法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)用向量法证明BD ∥平面EFGH .[思路点拨]　(1)要证E ，F ，G ，H 四点共面，根据共面向量定理的推论，只要能找到实数x ，y ，使EG＝x EF ＋y EH 即可．(2)要证BD ∥平面EFGH ，只需证向量BD与向量FH 、EG 共面即可．[精解详析]　(1)如图所示，连接BG ，EG ，则：EG ＝EB ＋BG ＝EB ＋(BC ＋BD )12＝EB ＋BF＋EH ＝EF ＋EH .由共面向量定理知E ，F ，G ，H 四点共面．(2)设AB＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，则BD ＝AD －AB＝c －a .EG ＝EA ＋AG ＝－＋(c ＋b )＝－a ＋b ＋c ，a 212121212HF ＝HA ＋AF ＝－c ＋(a ＋b )＝a ＋b －c .1212121212假设存在x ，y ，使BD＝x EG ＋y HF .即c －a ＝x ＋y (－12a ＋12b ＋12c )(12a ＋12b －12c)＝a ＋b ＋c .(y 2－x 2)(x 2＋y 2)(x 2－y 2)∵a ，b ，c 不共线．∴Error!　解得Error!∴BD ＝EG－HF .∴BD 、EG、HF 是共面向量，∵BD 不在平面EFGH 内．∴BD ∥平面EFGH .[一点通]　1．空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在实数对x 、y ，使MP ＝x MA＋yMB.满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式，这个充要条件常用来证明四点共面．在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任意一点O ，有OP ＝x OA ＋y OB ＋z OC ，且x ＋y ＋z ＝1成立，则P 、A 、B 、C四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．2．用共面向量定理证明线面平行的关键是：(1)在直线上取一向量；(2)在平面内找出两个不共线的向量，并用这两个不共线的向量表示直线上的向量；(3)说明直线不在面内，三个条件缺一不可．5．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点．求证：B 1C ∥平面ODC 1.证明：设11C B ＝a ，11C D ＝b ，1C C ＝c ，则1B C＝c －a ，又O 是B 1D 1的中点，所以1OD ＝11B D ＝(b －a )．1212因为D 1D 綊C 1C ，所以1D D ＝c ，OD ＝1OD＋1D D ＝(b －a )＋c .121OC ＝－(a ＋b )，假设存在实数x ，y ，12使1B C ＝x OD＋y 1OC ，所以c －a ＝x －y ·(a ＋b )[12(b －a )＋c ]12＝－(x ＋y )a ＋x c ＋b ，且a ，b ，c 不共线，12(x 2－y2)所以x ＝1，(x ＋y )＝1，且＝0，即x ＝1，y ＝1.12x －y 2所以1B C ＝OD ＋1OC ，所以1B C ，OD ，1OC是共面向量，又因为1B C 不在OD ，1OC所确定的平面ODC 1内，所以B 1C ∥平面ODC 1.6．如图，已知P 是平面四边形ABCD 所在平面外一点，连结PA 、PB 、PC 、PD ，点E 、F 、G 、H 分别为△PAB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 的重心．求证：E 、F 、G 、H 四点共面．证明：分别延长PE 、PF 、PG 、PH 交平面四边形ABCD 各边于M 、N 、Q 、R .∵E 、F 、G 、H 分别是所在三角形的重心，∴M 、N 、Q 、R 为所在边的中点，顺次连结M 、N 、Q 、R 所得四边形为平行四边形，且有PE ＝PM ，PF ＝PN ，2323PG ＝PQ，PH ＝PR .2323∵MNQR 为平行四边形，∴EG ＝PG －PE ＝PQ－PM ＝MQ232323＝(MN＋MR )23＝(PN－PM )＋(PR －PM )2323＝·＋23(32 －32)23(32 －32)＝EF ＋EH .∴由共面向量定理得E 、F 、G 、H 四点共面．向量e 1，e 2，e 3共面⇔存在三个不全为0的实数λ，μ，γ，使得λe 1＋μe 2＋γe 3＝0.若e 1，e 2，e 3是不共面的三个向量，且λe 1＋μe 2＋γe 3＝0(其中λ，μ，γ∈R )，则λ＝μ＝γ＝0.空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在惟一的有序实数对x ，y ，使MP ＝x MA＋y MB .[对应课时跟踪训练(十九)]　1．下列结论中，正确的是________(填序号)．①若a 、b 、c 共面，则存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ；②若a 、b 、c 不共面，则不存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ；③若a 、b 、c 共面，b 、c 不共线，则存在实数x 、y ，使a ＝x b ＋y c .解析：要注意共面向量定理给出的是一个充要条件．所以第②个命题正确．但定理的应用又有一个前提：b 、c 是不共线向量，否则即使三个向量a 、b 、c 共面，也不一定具有线性关系，故①不正确，③正确．答案：②③2．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量OP ＝OA ＋OB ＋λ1523OC确定的点P 与A ，B ，C 共面，那么λ＝________.解析：∵P 与A ，B ，C 共面，∴AP ＝αAB＋βAC ，∴AP＝α(OB －OA )＋β(OC －OA )，即OP ＝OA ＋αOB －αOA ＋βOC －βOA＝(1－α－β)OA ＋αOB ＋βOC，∴1－α－β＋α＋β＝1.因此＋＋λ＝1.1523解得λ＝.215答案：2153．如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝BB 1，DF ＝13DD 1，若EF ＝x AB ＋y AD ＋zAA 1，则x ＋y ＋z ＝________.23解析：EF ＝AF －AE ＝AD ＋DF －(AB ＋BE )＝AD ＋1DD －AB －1BB 2313＝AD －AB ＋1AA 13∴x ＝－1，y ＝1，z ＝.13∴x ＋y ＋z ＝.13答案：134．i ，j ，k 是三个不共面的向量，AB＝i －2j ＋2k ，BC ＝2i ＋j －3k ，CD ＝λi ＋3j －5k ，且A 、B 、C 、D 四点共面，则λ的值为________．解析：若A 、B 、C 、D 四点共面，则向量AB 、BC、CD 共面，故存在不全为零的实数a ，b ，c ，使得a AB＋b BC ＋c CD ＝0.即a (i －2j ＋2k )＋b (2i ＋j －3k )＋c (λi ＋3j －5k )＝0.∴(a ＋2b ＋λc )i ＋(－2a ＋b ＋3c )j ＋(2a －3b －5c )k ＝0.∵i ，j ，k 不共面，∴Error!∴Error!答案：15．命题：若A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM ＝OA ＋OB ＋OC，131313则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部是________命题(填“真”或“假”)．解析：AM ＝OM －OA ＝－OA＋OB ＋OC 231313＝(OB－OA )＋(OC －OA )＝(AB ＋AC )．131313令BC 中点为D ，则AM ＝AD，∴点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部，故23命题为真命题．答案：真6．已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外的一点O 满足OM ＝OA ＋OB ＋OC.131313判断MA ，MB ，MC三个向量是否共面．解：(1)由已知得OA ＋OB ＋OC ＝3OM，∴OA －OM ＝(OM －OB )＋(OM －OC )，即MA ＝BM ＋CM ＝－MB －MC ，∴MA ，MB ，MC共面．7．若e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，试问向量a ＝3e 1＋2e 2＋e 3，b ＝－e 1＋e 2＋3e 3，c ＝2e 1－e 2－4e 3是否共面，并说明理由．解：法一：令x (3e 1＋2e 2＋e 3)＋y (－e 1＋e 2＋3e 3)＋z (2e 1－e 2－4e 3)＝0，亦即(3x －y ＋2z )e 1＋(2x ＋y －z )e 2＋(x ＋3y －4z )e 3＝0，因为e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，所以Error!解得Error!从而a ＝7b ＋5c ，a ，b ，c 三个向量共面．法二：令存在λ，μ，使a ＝λb ＋μ c 成立，即3e 1＋2e 2＋e 3＝λ(－e 1＋e 2＋3e 3)＋μ(2e 1－e 2－4e 3)，因为e 1，e 2，e 3是三个不共面向量，所以Error!解这个方程组得λ＝7，μ＝5，从而a ＝7b ＋5c ，即a ，b ，c 三向量共面．8．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，AB ＝2EF ，H 为BC 的中点．求证：FH ∥平面EDB .证明：因为H 为BC 的中点，所以FH ＝(FB ＋FC )＝(FE ＋EB ＋FE ＋ED ＋1212DC )＝(2FE ＋EB ＋ED ＋DC )．12因为EF ∥AB ，CD 綊AB ，且AB ＝2EF ，所以2FE ＋DC＝0，所以FH ＝(EB ＋ED )＝EB ＋ED .121212又EB 与ED 不共线，根据向量共面的充要条件可知FH ，EB ，ED共面．由于FH不在平面EDB 内，所以FH ∥平面EDB。

苏教版选修2《共面向量定理》教案及教学反思

苏教版选修2《共面向量定理》教案及教学反思一、教学目标1.知识水平1.理解共面向量及其性质；2.理解二维向量组共面的判定方法；3.掌握平面向量定比分点公式的应用方法；4.掌握平面向量线性运算的基本性质及运算规则。

2.能力水平1.能判断二维向量组是否共面；2.能根据共面向量的特征求解未知向量；3.能够通过平面向量定比分点公式求解相关的几何问题；4.能熟练运用向量的基本性质进行向量的加减、数乘和点乘。

二、教学重点1.共面向量及其性质；2.二维向量组共面的判定方法；3.平面向量定比分点公式的应用方法。

三、教学难点1.平面向量定比分点公式的理解和应用；2.理解平面向量线性运算的基本性质及运算规则。

四、教学内容及教学方式1. 教学内容1.1 共面向量及其性质1.定义共面向量及其特征；2.两个共面向量的关系；3.三个以上共面向量的关系。

1.2 二维向量组共面的判定方法1.向量线性相关与共面的关系；2.二维向量组共面的判定方法。

1.3 平面向量定比分点公式的应用方法1.平面向量定比分点公式的公式推导；2.平面向量定比分点公式的应用。

2. 教学方式本节教学应以多样化和灵活性为原则，采用讲授、分组讨论和学生自主学习等教学方式相结合：1.讲授教师应首先讲解共面向量及其性质、二维向量组共面的判定方法和平面向量定比分点公式的应用方法，然后对基本公式和性质进行案例分析，让学生了解平面向量定比分点公式的应用范围和解题方法。

2.分组讨论教师可以将学生分成小组，让他们自行研究一些反映平面向量定比分点公式应用的典型问题，以讨论的形式进行交流。

教师可以组织合适的讨论形式，如小组探究、问题梳理、学生演示等，以培养学生解决实际问题的能力。

3.学生自主学习在讲解课程以外，可以对学生进行独立学习和探究，让他们自己寻找和解决有关课程的问题，从而增强学生的自学能力。

五、教学反思本节课程涉及内容较多，一开始学生可能感觉有些吃力，但授课过程中，教师通过多样化的教学和实例分析，增强了学生的学习意愿，有助于学生掌握有关知识，在短时间内学会并熟练应用。

高二下学期数学苏教A版选择性必修第二册6.1.3共面向量定理课件

有序实数组(x，y)，使 p＝xa＋yb
活动二理解共线向量与共面向量的概念例 1 下列说法中，正确的是( ) A. 平面内的任意两个向量都共线 B. 空间的任意三个向量都不共面 C. 空间的任意两个向量都共面 D. 空间的任意三个向量都共面【解析】共线向量的方向相同或相反，故 A 不正确；空间的任意三个向量都不共面，显然不正确，例如一个零向量，两个非零向量，即是共面向量，故 B 不正确；空间任意两个向量共面，故 C 正确；利用正方体中从一个顶点出发的三条棱，不是共面向量，故 D 不正确．
所以M→B＝13D→B＝13D→A＋13A→B，
同理A→N＝13A→D＋13D→E，
所以M→N＝M→B＋B→A＋A→N
＝13D→A＋13A→B＋B→A＋13A→D＋13D→E
解析
＝23B→A＋13D→E＝23C→D＋13D→E. 又C→D与D→E不共线，根据共面向量定理，可知M→N，C→D，D→E共面．因为 MN 不在平面 CDE 内，所以 MN∥平面 CDE.
6．1 空间向量及其运算 6．1.3 共面向量定理
目录
Contents
学习目标活动方案检测反馈
学习目标
1. 了解共面向量的定义，理解共面向量定理． 2. 利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题．
活动方案
活动一空间共面向量的定义及共面向量定理 1. 知识回顾 (1) 平面向量中共线向量的定义及判定：【解析】设 a 为非零向量，如果有一个实数 λ，使 b＝λa，那么 b 与 a 是共线向量；反之，如果 b 与 a 是共线向量，那么有且只有一个实数 λ，使 b＝λa. (2) 空间向量中共线向量的定义及判定方法：【解析】略
【解析】 (1) O→G＝O→A＋A→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23×12(A→B＋A→C) ＝O→A＋13[(O→B－O→A)＋(O→C－O→A)]＝13(O→A＋O→B＋O→C)． (2) O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C，x，y，z∈R，点 P 在△ABC 的内部(不包括边界)的充要条件是 x＋y＋z＝1，且 0<x<1, 0<y<1, 0<z<1.

苏教版数学高二-【新学案】选修2-1学案共面向量定理

3.1.2共面向量定理教学过程一、问题情境问题1在平面向量中,向量b与向量a(a≠0)共线的充要条件是存在实数λ,使得b=λa.那么,空间中任意一个向量p与两个不共线向量a,b共面时,它们之间存在怎样的关系呢?问题2观察长方体,你能发现空间向量之间有什么关系?二、数学建构如图1,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,=,=,而,,在同一平面内,此时,我们称,,是共面向量.(图1)1.共面向量:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.问题3你能从长方体中尝试找出几组共面向量?问题4向量=+,向量=+,那么向量与向量,共面吗?若=x+y(x,y∈R),你能得到什么结论?2.共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y),使p=xa+yb.证明(必要性)向量a,b不共线,当向量p与向量a,b共面时,它们可以平移到同一个平面内,根据平面向量的基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y),使得p=xa+yb.(充分性)对于空间的三个向量p,a,b,其中a,b不共线.如果存在有序实数组(x,y),使p=xa+yb,那么在空间任意取一点M,作=a,=b,=xa,过点A'作=yb(如图),则=+=xa+yb=p,于是点P在平面MAB内,从而,,共面,即向量p与向量a,b共面.(图2)与平面向量一样,p=xa+yb,这就是说,向量p可以由两个不共线的向量a,b线性表示.三、数学运用【例1】已知向量,分别在两条异面直线上,M,N分别为线段AC,BD的中点,求证:向量,,共面. (见学生用书P51) 根据共面向量定理,只需证明存在实数x,y,使得=x+y.证明=++,=++,两式相加得2=+++++.又∵+=0,+=0,∴2=+,即=+,∴,,共面.证明向量共面问题,只需找出向量之间的线性表示关系,即符合共面向量定理.【例2】(教材第85页例2)设空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若点P满足向量关系=x+y+z(其中x+y+z=1),试问:P,A,B,C四点是否共面? (见学生用书P52) 通过分析,将判断P,A,B,C四点是否共面转化为空间向量是否共面.即要判断P,A,B,C四点是否共面,可考察三个共起点的向量,,是否共面.解由x+y+z=1(不妨设x≠0),可得x=1-z-y,则=(1-z-y)+y+z=+y(-)+z(-),所以-=y(-)+z(-),即=y+z.由A,B,C三点不共线,可知和不共线,所以,,共面且具有公共起点A,从而P,A,B,C四点共面.变式如果将x+y+z=1整体代入,由(x+y+z)=x+y+z出发,你能得到什么结论?解将x+y+z=1整体代入,得x+y+z=0,则P,A,B,C四点共面.(1) 联系平面向量,对于空间中任意一点O,满足向量关系=x+y(其中x+y=1)的三点P,A,B是否共线类比联想到空间四点共面的判断方法.(2) 通过确定的数量关系来研究几何位置关系,体现了数形结合的思想.【例3】如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,E是PD的中点,求证:PB∥平面AEC.(见学生用书P52)本题要证PB∥平面AEC,可转化为证明向量与平面AEC内某一向量平行或两个不共线向量共面,且PB不在平面AEC内.证法一连结BD,交AC于点O,再连结EO.∵底面ABCD是菱形,∴O是BD的中点.又∵E是PD的中点,∴OE是△DBP的中位线,∴∥.又∵PB⊄平面AEC,EO⊂平面AEC,∴PB∥平面AEC.证法二∵底面ABCD是菱形,∴=.又∵E是PD的中点,∴=2,∴=++=2++=(+)+(+)=+.又与不共线,∴,,共面.而PB⊄平面AEC,∴PB∥平面AEC.可以通过添加辅助线(证法一),用综合法证明;也可以用向量的方法进行证明(证法二).通过比较这两种方法,让学生感知用空间向量的知识来求解立体几何问题,逐步认识空间向量的解题功能.四、课堂练习1. 若点P与不共线的三点A,B,C共面,且对于空间任意一点O,都有=+2+λ,则λ=-.2.已知两个非零向量e1,e2不共线,如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3e1-3e2,求证:A,B,C,D四点共面.证明因为+=5(e1+e2),所以=(+),所以,,共面且共起点,即A,B,C,D四点共面.3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,A1D1的中点,问:,与是否共面?解=++=-+=(+)-=-.又,不共线,根据共面向量定理可知向量,,是共面向量.五、课堂小结1.本节课的主要学习内容是向量共面的基本概念及共面向量定理.2.运用共面向量定理证明线面平行及四点共面.。