15年高考真题——理科数学(湖北卷)

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（湖北卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．为虚数单位，（ ） （A ） （B ） （C ）1 （D ）i 607i=i i -1-2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）（A ）134石 （B ）169石 （C ）338石 （D ）1365石3．已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系()1nx +数和为（ ） （A ）（B ）122112（C ） （D ）102924．设，，这两个()211,X Nμσ:()222,Y N μσ:正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（ ） （A ）()()21P Y P Y μμ≥≥≥（B ）()()21P X P X σσ≤≤≤（C ）对任意正数，t ()()P X t P Y t ≤≥≤（D ）对任意正数，t ()()P X t P Y t ≥≥≥5．设，，若：成等比数列；12,,,n a a a R ∈ 3n ≥p 12,,,n a a a ：，则（ ）q ()()()22222221212312231n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++ （A ）是的充分条件，但不是的必要条件p q q （B ）是的必要条件，但不是的充分条件p q q （C ）是的充分必要条件p q （D ）既不是的充分条件，也不是的必要条件p q q 6．已知符号函数，是上的增函数，()()()10sgn 0010x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x R ，其中，则（ ） （A ）()()()g x f x f ax =-1a >()sgn sgn g x x =⎡⎤⎣⎦（B ）()sgn sgn g x x =-⎡⎤⎣⎦（C ）（D ）()()sgn sgn g x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()sgn sgn g x f x =-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦7．在区间上随机取两个数，记1p 为事件“”的概率，2p 为事件[]0,1,x y 12x y +≥“”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（ ）1||2x y -≤12xy ≤（A ）123p p p << （B ）231p p p <<（C ）312p p p <<（D ）321p p p <<8．将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加1e 1C a ()b a b ≠个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ） （A ）对任意的，()0m m >2e 2C ,a b 12e e >（B ）当时，；当时， （C ）对任意的，a b >12e e >a b <12e e <,a b 12e e <（D ）当时，；当时，12e e >a b >12e e <a b <9．设集合，(){}22,|1,,A x y xy x y Z =+≤∈，定义集合(){},|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，则中元素的个数为（()()(){}12121122,|,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈A B ⊕） （A ）77 （B ）49（C ）45（D ）3010．设，表示不超过x 的最大整数。

若存x R ∈[]x在实数t ，使得，，…，同时成[]1t =22t ⎡⎤=⎣⎦nt n ⎡⎤=⎣⎦立，则正整数n 的最大值是（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5（D ）6二．填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分。

请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

（一）必考题11．已知向量OA AB ⊥ ，||3OA =，则。

OA OB ⋅=12．函数的零点个数为 。

()()24coscos 2sin |ln 1|22x f x x x x π⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶A 在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，D 030600m B 075仰角为，则此山的高度。

30CD =m14．如图，圆C 与x 轴相切于点，与y 轴正半轴交于两点,A B （B 在A 的上()1,0T 方），且。

⑴圆C 的标准方程为；⑵过点A 任作一条直线与圆||2AB =相交于,M N 两点，下列三个结论：22:1O x y +=①；②；||||||||NA MA NB MB =||||2||||NB MA NA MB -=③。

其中正确结论的序号是 ||||||||NB MA NA MB +=（写出所有正确结论的序号）。

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑。

如果全选，则按第15题作答结果计分）15．如图，是圆的切线，为切点，是圆的割线，且，则PA A PBC 3BC PB = 。

ABAC=16．在直角坐标系中，以为xOy O 极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

x 已知直线l 的极坐标方程为，曲线的参数方()sin 3cos 0ρθθ-=C 程为（为参数），l 与相交11x t t y t t--⎧=-⎪⎨=+⎪⎩t C 于两点，则。

,A B ||AB =三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分11分）某同学用“五点法”画函数()()()sin 0,||2f x A x ωϕωϕπ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表。

⑴请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；⑵将()f x 图象上所有点向左平行移动个单位()y f x =()0θθ>长度，得到的图象。

若图象的一个()y g x =()y g x =对称中心为，求θ的最小值。

()512,0π18．（本小题满分12分）设等差数列的公差为，{}n a d 前项和为，等比数列的公比为。

已知，n n S {}n b q 11b a =CBA P，，。

⑴求数列、的通项公式；⑵当时，记22b =q d =10100S ={}n a {}n b 1d >，求数列的前n 项和。

n n n c a b ={}n c n T 19．(本小题满分12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑。

如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作P ABCD -PD ⊥ABCD PD CD =PC E 交于点，连接。

⑴证明：平面，试判断四EF PB ⊥PB F ,,,DE DF BD BE PB ⊥DEF 面体是否为鳖臑。

若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理DBEF 由；⑵若面与面所成二面角的大小为，求的值。

DEF ABCD 3πDCBC20．（本小题满分12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品。

生产1吨,A B 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨产品需鲜牛奶吨，A B 1.5使用设备小时，获利1200元。

要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍，设备1.5B A 每天生产两种产品时间之和不超过12小时。

假定每天可获,A B 取的鲜牛奶数量（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为如W 右表所示。

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利（单位：元）是一个随机变量。

⑴求的分布列和均值；⑵若每天可获取的鲜牛奶数Z Z 量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率。

21．（本小题满分14分）一种作图工具如图1所示。

是滑槽的中点，短杆O AB 可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑ON O MN N ON MN D AB 动，且，。

当栓子在滑槽内作往复运动时，带动绕转1DN ON ==3MN =D AB N O 动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为。

以为原点，所D N M C O AB 在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系。

⑴求曲线的方程；⑵设动直线l 与C 两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于两点，若直线l 总与曲线有且只有一个公共点，,P Q C 试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由。

OPQ ∆22．（本小题满分14分）已知数列的各项均为正数，{}n a ，为自然对数的底数。

⑴求函数的单调区()11nn n b n a n N n +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭e ()1xf x x e =+-W 121518P0.30.50.22015年高考真题理科数学（解析版）湖北卷间，并比较与的大小；⑵计算，，，由此推测计算11nn ⎛⎫+ ⎪⎝⎭e 11b a 1212b b a a 123123b b b a a a 的公式，并给出证明；⑶令，数列，的前n 项和分1212n nb b b a a a ()112nn n c a a a = {}n a {}n c 别记为，，证明：。

n S n T n n T eS <2015年普通高校招生全国统考数学试卷湖北卷解答一．BBDCA BBDCB；16．52。

17．解：⑴根据表中已知数据，解得，，，数据补全如右表，且5A =2ω=6πϕ=-；()5sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭⑵由题。

因为函数的对称中心为()()5sin 226g x f x x πθθ⎛⎫=+=+-⎪⎝⎭sin y x =，令得。

由于函数()(),0k k Z π∈226x k πθπ+-=()212k x k Z ππθ=+-∈的图象关于点成中心对称，令，得()y g x =5,012π⎛⎫⎪⎝⎭521212k πππθ+-=。

由知时，取得最小值。

()23k k Z ππθ=-∈0θ>1k =θ6π18．解：⑴由题，解得或。

故或1110451002a d a d -=⎧⎨=⎩112a d =⎧⎨=⎩1929a d =⎧⎨=⎩1212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩2015年高考真题理科数学（解析版）湖北卷；()()12799929n n n a n b -=+⎧⎪⎨=⋅⎪⎩⑵由知，，故。