2016届高考文科数学考点专题复习测试30
2016届高三文科数学试题(3)
2016届高三文科数学试题（3）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U和集合A，B如图所示，则（∁U A）∩B=（）A．{5，6} B．{3，5，6} C．{3}D．{0，4，5，6，7，8}2．=（）A．﹣2i B．﹣i C．1﹣i D．1+i3．在如下的四个电路图中，记：条件M：“开关S1”闭合；条件N：“灯泡L亮”，则满足M 是N的必要不充分条件的图为（）A．B． C．D．4．下列命题中为真命题的是（）A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题B．命题“x＞1，则x2＞1”的否命题C．命题“若x=1，则x2+x﹣2=0”的否命题D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题5．等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，若a1+1，a3，a6成等比数列，则S n=（）A．n（n+1）B．n2C．n（n﹣1）D．2n6．已知向量，满足|﹣|=，•=1，则|+|=（）A．B．2C．D．107．在区间[0，1]内任取两个实数，则这两个实数的和大于的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．8．在△ABC 中，已知sinC=2sinAcosB ，那么△ABC 一定是（ ） A ． 等腰直角三角形 B ． 等腰三角形 C ． 直角三角形 D ． 等边三角形9．已知函数f （x ）及其导数'()f x ，若存在x 0，使得0'()f x =0()f x ，则称x 0是f （x ）的一个“和谐点”，下列函数中①f （x ）=x 2；②f （x ）=；③f （x ）=lnx ；④f （x ）=x+，存在“和谐点”的是（ ） A ． ①② B ． ①④ C ． ①③④ D ．②③④10．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD=a ，则三棱锥D ﹣ABC 的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．11．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．3B ．3C ．6D12．若函数f （x ）=alnx+在区间（1，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ． （﹣∞，﹣2] B ． （﹣∞，﹣1]C ． [1，+∞）D ．[2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．设A 、B 分别是椭圆=1（a ＞b ＞0）的左、右顶点，点P 在C 上且异于A 、B 两点，若直线AP 与BP 的斜率之积为﹣，则C 的离心率为____________.14．定义一种新运算“⊗”：S=a ⊗b ，其运算原理如图3的程序框图所示，则3⊗6﹣5⊗4=_____．15．设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为单调递增函数，且f （2）=0，则不等式≥0的解集为___________________．16．已知数列{a n }中，a 1=1，前n 项和为S n ，且S n+1=2S n +1（n ∈N *），则a n =_____________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（12分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1，2，3，4，5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下： X 1 2 3 4 5 f a 0.2 0.45 b c（Ⅰ）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a 、b 、c 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1，x 2，x 3，等级系数为5的2件日用品记为y 1，y 2，现从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2，这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．18．（12分）已知()sin21f x x x n =+-（n N *∈）.（1）在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，当1n =时，()f A 且3c =,ABC ∆的面积为求b 的值.（2）若()f x 的最大值为n a （n a 为数列{}n a 的通项公式），又数列{}n b 满足11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为长方形，AD=2AB，点E、F分别是线段PD、PC的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）在线段AD上是否存在一点O，使得BO⊥平面PAC，若存在，请指出点O的位置，并证明BO⊥平面PAC；若不存在，请说明理由．20．（12分）如图，已知抛物线C：y2=2px和⊙M：（x﹣4）2+y2=1，过抛物线C上一点H （x0，y0）作两条直线与⊙M相切于A、B两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率．21．（12分）已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx，a∈R．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在x=1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB 于E、D，连接EC、CD．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分10分）23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为．（Ⅰ）求圆C的圆心到直线l的距离；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B．若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分10分）24．已知一次函数f（x）=ax﹣2．（1）解关于x的不等式|f（x）|＜4；（2）若不等式|f（x）|≤3对任意的x∈[0，1]恒成立，求实数a的范围．数学（文科）参考答案一.选择题: ABCAA CDBCD AC二.填空题: 13.3614. -3 15.]2,0()0,2[⋃-16.2n﹣1．三.解答题:17. 解：（I）由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1，即a+b+c=0.35．因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b==0.15等级系数为5的恰有2件，所以c==0.1从而a=0.35﹣0.1﹣0.15=0.1 所以a=0.1，b=0.15，c=0.1．（II ）从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2，这5件日用品中任取两件，所有可能的结果为：{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 1，y 1}，{x 1，y 2}，{x 2，x 3}，{x 2，y 1}，{x 2，y 2}，{x 3，y 1}，{x 3，y 2}，{y 1，y 2}设事件A 表示“从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2，这5件日用品中任取两件，等级系数相等”，则A 包含的基本事件为：{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 2，x 3}，{y 1，y 2}共4个， 又基本事件的总数为：10 故所求的概率P （A ）==0.418.（1）()f x = 12cos 32sin -+-=n x x 1)32sin(2-+-=n x π，……2分当1=n 时，由3)(=A f 得：3)32sin(2=-πA ，∴23)32sin(=-πA ， 又ABC ∆是锐角三角形，∴32323πππ<-<-A ∴332ππ=-A 即3π=A ，…… 4分又由A bc S ABCsin 21=∆332323=⨯=b 得：4=b ，………… 6分 （2）由（Ⅰ）知：1)32sin(2)(-+-=n x x f π，∴)(x f 取最大值为1+n ，1+=∴n a n ………………8分又11111(1)(2)12n n n b a a n n n n +===-++++……………10分 111111112334122224n n T n n n n ∴=-+-++-=-=++++ ……………12分19. 证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD 为长方形，∴CD ∥AB ，∵EF ∥CD ，∴EF ∥AB ，又∵EF ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， ∴EF ∥平面PAB ． …（6分）（Ⅱ） 在线段AD 上存在一点O ，使得BO ⊥平面PAC ， 此时点O 为线段AD 的四等分点，满足，…（8分）∵长方形ABCD 中， ∠BAO=∠ADC=90°，=∴△ABO ∽△ADC ，∴∠ABO+∠CAB=∠DAC+∠CAB=90°， ∴AC ⊥BO ，（10分）又∵PA ⊥底面ABCD ，BO ⊂底面ABCD ，∴PA⊥BO，∵PA∩AC=A，PA、AC⊂平面PAC∴BO⊥平面PAC．（12分）20. 解：（1）∵点M（4，0）到抛物线准线的距离为，∴p=，即抛物线C的方程为y2=x．（2）∵当∠AHB的角平分线垂直x轴时，点H（4，2），∴k HE=﹣k HF，设E（x1，y1），F（x2，y2），∴，∴，∴y1+y2=﹣2y H=﹣4．==．21. 解：（Ⅰ）在区间（0，+∞）上，．①若a≤0，则f′（x）＜0，f（x）是区间（0，+∞）上的减函数；②若a＞0，令f′（x）=0得x=．在区间（0，）上，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数；在区间上，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数；综上所述，①当a≤0时，f（x）的递减区间是（0，+∞），无递增区间；②当a＞0时，f（x）的递增区间是，递减区间是．（II）因为函数f（x）在x=1处取得极值，所以f′（1）=0解得a=1，经检验满足题意．由已知f（x）≥bx﹣2，则令g（x）==1+，则易得g（x）在（0，e2]上递减，在[e2，+∞）上递增，所以g（x）min=，即．22. 解：（1）如图，连接OC，∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB．∴AB是⊙O的切线；（2）∵BC是圆O切线，且BE是圆O割线，∴BC2=BD•BE，∵tan∠CED=，∴．∵△BCD∽△BEC，∴，设BD=x，BC=2x．又BC2=BD•BE，∴（2x）2=x•（x+6），解得x1=0，x2=2，∵BD=x＞0，∴BD=2，∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．（10分）．23. 解：（Ⅰ）由，可得，即圆C的方程为．由可得直线l的方程为．所以，圆C的圆心到直线l的距离为．…（5分）（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，即．由于△=．故可设t1、t2是上述方程的两个实根，所以，又直线l过点，故由上式及t的几何意义得．…（10分）24. 解：（1）|f（x）|＜4即为|ax﹣2|＜4，即﹣2＜ax＜6，则当a＞0时，不等式的解集为；当a＜0时，不等式的解集为．（2）|f（x）|≤3⇔|ax﹣2|≤3⇔﹣3≤ax﹣2≤3⇔﹣1≤ax≤5⇔，∵x∈[0，1]，∴当x=0时，不等式组恒成立；当x≠0时，不等式组转化为又∵，∴﹣1≤a≤5且a≠0所求的取值范围是a[-1,0)(0,5].。
2016山西高考文科数学真题及答案
2016山西高考文科数学真题及答案注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B = （ ）。
（A ）{1,3}（B ）{3,5}（C ）{5,7}（D ）{1,7} 【参考答案】B【答案解析】集合A 与集合B 公共元素有3，5，故{}35A B ⋂=，选B 。
【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第一章《集合》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
（２）设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（ ）。
（A ）－3（B ）－2（C ）2（D ）3 【参考答案】A【答案解析】设i a a i a i )21(2))(21(++-=++，由已知，得a a 212+=-，解得3-=a ，选A. 【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，学.科.网余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 （A ）13（B ）12（C ）13（D ）56【参考答案】A【答案解析】将4中颜色的花种任选两种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种数有2种，故概率为31，选A. 【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章《概率》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =，2c =，2cos 3A =，则b=（ ）。
高中高考文科数学试卷试题及答案.doc
2016 年高考文科数学试题及答案绝密★启用前2016 年普通高等学校招生全国考试数学（文）（ xx 卷）本试卷共 5 页，150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，则（A）（B）（C）（D）（2）复数（A）i （B）1+i （C）（D）（3）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（A）8（B）9（C）27（D）36（4）下列函数中，在区间上为减函数的是（A）（B）（C）（D）（5）圆（ x+1）2+y2=2 的圆心到直线 y=x+3 的距离为（A）1（B）2（C）（ D）2（6）从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为（A）（B）（ C）（ D）（7）已知 A（2，5）， B（4，1）. 若点 P（x，y）在线段 ABxx，则 2x- y 的最大值为（A）- 1（B）3（C）7（D）8（8）某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为 10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊 .学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.681.6030 秒跳绳（单位：次）63a7560637270a- 1b65在这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有8 人，同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人，则（A）2 号学生进入 30 秒跳绳决赛（C）8 号学生进入 30 秒跳绳决赛（B）5 号学生进入（D）9 号学生进入30 秒跳绳决赛30 秒跳绳决赛第二部分（非选择题共110 分）二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9）已知向量，则 a 与 b 夹角的大小为 _________.（10）函数的最大值为 _________.（11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为 ___________.(12)已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线为 2x+y=0，一个焦点为（ ,0 ），则a=_______；b=_____________.(13)在△ ABCxx，，a=c，则 =_________.2016 年高考文科数学试题及答案(14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19 种商品，第二天售出 13 种商品，第三天售出 18 种商品；前两天都售出的商品有 3 种，后两天都售出的商品有 4 种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；②这三天售出的商品最少有_______种.三、解答题（共 6 题，共 80 分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题 13 分）已知 {an} 是等差数列， {bn} 是等差数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.（Ⅰ）求 {an} 的通项公式；（Ⅱ）设 cn= an+ bn ，求数列 {cn} 的前 n 项和 .（16）（本小题 13 分）已知函数 f （x）=2sin ωx cos ωx+ cos 2ωx（ω>0）的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求 f （x）的单调递增区间 .2016 年高考文科数学试题及答案（17）（本小题 13 分）某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过 w立方米的部分按 4 元/立方米收费，超出 w立方米的部分按 10 元/ 立方米收费，从该市随机调查了 10000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（I）如果 w 为整数，那么根据此次调查，为使 80%以上居民在该月的用水价格为 4 元/ 立方米， w 至少定为多少？（I I ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 w=3时，估计该市居民该月的人均水费 .（18）（本小题 14 分）如图，在四棱锥P-ABCDxx，PC⊥平面 ABCD，（I）求证：；（I I ）求证：；(III)设点 E 为 AB的中点，在棱 PBxx是否存在点 F，使得 ?说明理由 .（19）（本小题 14 分）已知椭圆 C：过点 A（2,0 ）， B（0,1 ）两点 .（I ）求椭圆 C的方程及离心率；（II ）设 P 为第三象限内一点且在椭圆 Cxx，直线 PA与 y 轴交于点 M，直线PB与 x 轴交于点 N，求证：四边形 ABNM的面积为定值 .（20）（本小题 13 分）设函数（I ）求曲线在点处的切线方程；（II ）设，若函数有三个不同零点，求 c 的取值范围；（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.2016 年普通高等学校招生全国统一考试数学 ( 文)(xx卷)参考答案一、选择题（共8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）C （2）A （3）B （4）D （5）C （6）B （7）C （8）B 二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9）（10）2（11）（12）12（13）1（14）1629三、解答题（共 6 小题，共 80 分）（15）（共 13 分）解：（ I ）等比数列的公比，所以，．设等差数列的公差为．因为，，所以，即．所以（，，，）．（I I ）由（ I ）知，，．因此．从而数列的前项和S n 1 32n 1 1 33n 1n 1 2n 1 13n21 3．（16）（共 13 分）解：（ I ）因为sin2 x cos2 x，所以的最小正周期．依题意，，解得．（I I ）由（ I ）知．函数的单调递增区间为（）．由，得．所以的单调递增区间为（）．（17）（共 14 分）解：（ I ）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间，，，，内的频率依次为，，，，．所以该月用水量不超过立方米的居民占%，用水量不超过立方米的居民占%．依题意，至少定为．（I I ）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：组号 1 2 3 4 5 6 7 8 分组2,4 4,6 6,8 8,10 10,12 12,17 17,22 22,27 频率0.1 0.15 0.2 0.25 0.15 0.05 0.05 0.05 根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：4 0.1 6 0.15 8 0.2 10 0.25 12 0.15 17 0.05 22 0.05 270.05（元）．（18）（共 13 分）解：（ I ）因为平面，所以．又因为，所以平面．（I I ）因为，，所以．因为平面，所以．所以平面．所以平面平面．（I II ）棱上存在点，使得平面．证明如下：取中点，连结，，．又因为为的中点，所以．2016 年高考文科数学试题及答案又因为平面，所以平面．（19）（共 14 分）解：（ I ）由题意得，，．所以椭圆的方程为．又，所以离心率．（I I ）设（，），则．又，，所以，直线的方程为．令，得，从而．直线的方程为．令，得，从而．2016 年高考文科数学试题及答案所以四边形的面积1S212 x012y02 y0 1 x0 2x02 4 y02 4x0 y0 4x0 8 y0 42 x0 y0 x0 2 y0 22x0 y0 2x0 4 y0 4x0 y0 x0 2 y0 2．从而四边形的面积为定值．（20）（共 13 分）解：（I ）由，得．因为，，所以曲线在点处的切线方程为．（I I ）当时，，所以．令，得，解得或．与在区间上的情况如下：2016 年高考文科数学试题及答案x , 2 2 2, 2 2 2 ,3 3 3f x 0 0f x c32 c27所以，当且时，存在，，，使得．由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．（I II ）当时，，，此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．当时，只有一个零点，记作．当时，，在区间上单调递增；当时，，在区间上单调递增．所以不可能有三个不同零点．综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．故是有三个不同零点的必要条件．当，时，，只有两个不同零点，所以不是有三个不同零点的充分条件．2016 年高考文科数学试题及答案因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．。
2016级高三文科数学9月试题Word版含答案
2016级高三文科数学9月试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合2{|22,},{|450}A x x x Z B x x x =-<≤∈=--<，则A B =A ．{}0,1,2B ．(1,2]-C ．{}1,2D ．()1,2] 2．下列函数中为偶函数的是A ．22y x x =- B ．lg y x = C ．33xxy -=+ D ．2x xy =3．已知0.40.420.4, 1.2,log 0.4a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b <<4．命题200:,1p x N x ∃∈<，则p ⌝是A ．200,1x N x ∃∈≥B ．200,1x N x ∃∈>C ．2,1x N x ∀∈>D ．2,1x N x ∀∈≥5．函数()27log f x x x=-的零点包含于区间 A ．()1,2 B ．(2,3) C ．(3,4) D ．()4,+∞6．曲线()2xf x e x =+在点(0,(0))f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为A ．16 B ．14 C ．13 D ．127．函数()210210x x f x x x x +≥⎧=⎨++<⎩，若矩形ABCD 的顶点A 、D 在x 轴上，B 、C 在函数()y f x =的图象上，且)0,1(A ，则点D 的坐标为A ．()2,0-B ．(12,0)--C ．(1,0)-D ．1(,0)2- 8．已知二次函数()2f x ax bx c =++，若()()()067f f f =<，则()f x 在A ．(),0-∞上是增函数B ．()0,+∞上是增函数C ．(),3-∞上是增函数D ．()3,+∞上是增函数9．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数()f x '，若()f x 的极大值为()1f ，极小值为(1)f -，则函数()(1)y f x f x '=-的图象有可能是10．已知,x y R ∈，命题:p 若x y >；命题:q 若0x y +>，则22x y >，在命题（1）p q ∨；（2）()()p q ⌝∧⌝；（3）()p q ∧⌝；（4）p q ∧中，证明题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．411．函数(0,1)x y a a a a ->≠的定义域和值域都是[]0,1,则 548log log 65aa += A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 12．设()32133f x x x ax =++，若()14x g x =，对任意11[,1]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使得12()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围为 A ．11[,)4-+∞ B ．13(,]2-∞- C ．11(,]4-∞- D ．13[,)2-+∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
2016高考全国1卷文科数学试题及答案解析
2016高考全国Ⅰ卷文数
（1）设集合，，则
（A）{1,3}（B）{3,5}（C）{5,7}（D）{1,7}
【答案】B
考点：集合运算
(2)设的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=
（A）−3（B）−2（C）2（D）3
【答案】A
【解析】
试题分析：，由已知，得，解得，选A.
考点：复数的概念
（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是
（A）（B）（C）（D）
【答案】C
考点：古典概型
（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知，，，则
b=
（A ）（B ）（C ）2（D ）3 【答案】D
【解析】 试题分析：由余弦定理得，解得（舍去），选D.
考点：余弦定理 （5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的41，则该
椭圆的离心率为
（A ）31（B ）21（C ）32（D ）43
【答案】B
【解析】 试题分析：如图，在椭圆中，
，
在中，，且，代入解得
，所以椭圆的离心率为：，故选B.
考点：椭圆的几何性质。
2016届高考文科数学---最后冲刺30题(含解析)汇编
2016届高考文科数学---最后冲刺30题[题目1] 已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋a ，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )的最小值为2.(1)求a 的值，并求f (x )的单调递增区间；(2)先将函数y ＝f (x )的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，再将所得图象向右平移π12个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求方程g (x )＝4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上所有实根的和．[题目2] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ∈N *，n ≥2)，(1)证明：数列{a n ＋1－a n }是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }满足b n ＝2log 4(a n ＋1)2，证明：对一切正整数n ，有1b 21－1＋1b 22－1＋…＋1b 2n －1<12.[题目3] 随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．[题目4] 如图，四棱锥P ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面P AC .[题目5] 已知抛物线C 的标准方程为y 2＝2px (p >0)，M 为抛物线C 上一动点，A (a ，0)(a ≠0)为其对称轴上一点，直线MA 与抛物线C 的另一个交点为N .当A 为抛物线C 的焦点且直线MA 与其对称轴垂直时，△MON 的面积为92. (1)求抛物线C 的标准方程；(2)记t ＝1|AM |＋1|AN |，若t 值与M 点位置无关，则称此时的点A 为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．[题目6] 设函数f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1, f (1))处的切线斜率为0. (1) 求b ；(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)＜aa －1，求a 的取值范围．[题目7] 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2n ＋1＋2p (n ∈N *)．(1)求p 的值及数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＋12＝(3＋p )a n b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[题目8] 已知函数f (x )＝2sin x cos 2φ2＋cos x sin φ－sin x (0<φ<π)在x ＝π处取最小值． (1)求φ的值；(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，已知a ＝1，b ＝2，f (A )＝32，求角C .[题目9]全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.(1)现从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7，8]内的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．2016年____月____日(周三)[题目10]如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F AEC的体积．[题目11]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)经过点(2，2)，且离心率为2 2.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过椭圆C左焦点的直线交椭圆于M、N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0，m)，求m的取值范围．[题目12] 设函数f (x )＝ln x －12ax 2－bx . (1)当a ＝b ＝12时，求函数f (x )的单调区间；(2)令F (x )＝f (x )＋12ax 2＋bx ＋ax (0<x ≤3)，其图象上任意一点P (x 0，y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当a ＝0，b ＝－1时，方程f (x )＝mx 在区间[1，e 2]内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．[题目13] 在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ；且b ＝4，A ＝π3，面积S ＝2 3. (1)求a 的值；(2)设f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到g (x )的图象，求g (x )的单调增区间．[题目14]从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125) 值分组频数62638228 (1)在下表中作出这些数据的频率分布直方图：(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？[题目15] 已知函数y ＝3x ＋134的图象上有一点列P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )，其中数列{x n }为等差数列，满足x 2＝－72，x 5＝ －132.(1)求点P n 的坐标；(2)若抛物线列C 1，C 2，…，C n 分别以点P 1，P 2，…，P n 为顶点，且任意一条的对称轴均平行于y 轴，C n 与y 轴的交点为A n (0，n 2＋1)，记与抛物线C n 相切于点A n 的直线的斜率为k n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1k n ＋1k n 前n 项的和S n .[题目16] 如图，已知AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，AB ＝AC ＝3，BC ＝25，AA 1＝7，BB 1＝27，点E 和F 分别为BC 和A 1C 的中点．(1)求证：EF ∥平面A 1B 1BA ； (2)求证：平面AEA 1⊥平面BCB 1；(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．[题目17]椭圆C：x2a2＋y2b2＝1过点A⎝⎛⎭⎪⎫1，32，离心率为12，左、右焦点分别为F1、F2，过点F1的直线l交椭圆于A、B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)当△F2AB的面积为1227时，求l的方程．[题目18]设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．[题目19] 已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos x ，－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，记f (x )＝m·n .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a＝2，b ＝3，求sin C 的值．[题目20] 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数； (2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．[题目21] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，非常数等比数列{b n }的公比是q ，且满足：a 1＝2，b 1＝1，S 2＝3b 2，a 2＝b 3. (1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝2b n －λ·3an2，，若数列{c n }是递减数列，求实数λ的取值范围．[题目22]如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C .(1)证明：B 1C ⊥AB ；(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高．[题目23] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >c )的短轴长为2，离心率为22.过点M (2，0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB →的取值范围；(3)若B 点关于x 轴的对称点是N ，证明：直线AN 恒过一定点．[题目24] 已知函数f (x )＝ln x ＋ke x (其中k ∈R ，e ＝2.718 28……是自然对数的底数)，f ′(x )为f (x )的导函数．(1)当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若x ∈(0，1]时，f ′(x )＝0都有解，求k 的取值范围； (3)若f ′(1)＝0，试证明：对任意x >0，f ′(x )<e －2＋1x 2＋x 恒成立．[题目25] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且 b cos C ＝(2a －c )cos B . (1)求角B 的大小；(2)若a ，b ，c 成等差数列，且b ＝3，试求△ABC 的面积．[题目26] 数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1，求数列{b n }的通项公式；(3)令c n ＝a n b n4(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和T n .[题目27] 某校夏令营有3名男同学A ，B ，C 和3名女同学X ，Y ，Z ，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)．(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．[题目28] 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系．并证明你的结论． (3)证明：直线DF ⊥平面BEG .[题目29] 已知函数f (x )＝x ＋1＋ax －a ln x .(1)若函数y ＝f (x )的图象在x ＝1处的切线与直线2x ＋y －1＝0平行，求a 的值；(2)在(1)的条件下方程f (x )＝b 在区间[1，e]上有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围；(3)若在区间[1，e]上存在一点x 0，使得f (x 0)<0成立，求实数a 的取值范围．[题目30] 已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，其焦点与双曲线C ：x 2－y 22＝1的焦点重合，且椭圆E 的短轴的两个端点与其一个焦点构成正三角形．(1)求椭圆E 的方程；(2)过双曲线C 的右顶点A 作直线l 与椭圆E 交于不同的两点P 、Q . ①设M (m ，0)，当MP →·MQ →为定值时，求m 的值；②设点N 是椭圆E 上的一点，满足ON ∥PQ ，记△NAP 的面积为S 1，△OAQ 的面积为S 2，求S 1＋S 2的取值范围．答案解析[题目1] 解 (1)函数f (x )＝cos 2x ＋1＋3sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，f (x )min ＝－1＋a ＋1＝2，得a ＝2，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3.令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z .(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋3，根据图象变换，得g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6＋3.又g (x )＝4.得sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6＝12.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得－π6≤4x －π6≤116π.∴4x －π6＝π6或4x －π6＝5π6.则x ＝π12或x ＝π4，故方程g (x )＝4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上所有实根之和为π12＋π4＝π3.[题目2] 证明 (1)由a n ＋1＝3a n －2a n －1， 得a n ＋1－a n ＝2(a n －a n －1)，n ≥2. 又a 2－a 1＝3－1＝2，则a n －a n －1≠0.∴数列{a n ＋1－a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 因此a n －a n －1＝2·2n －2＝2n －1(n ≥2)，则a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1 ＝1－2n 1－2＝2n－1，又a 1＝1适合上式． 所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)，得b n ＝2log 4(a n ＋1)2＝log 2(2n )2＝2n .∵1b 2n －1＝14n 2－1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1. ∴1b 21－1＋1b 22－1＋…＋1b 2n －1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12. 故对一切n ∈N *，有1b 21－1＋1b 22－1＋…＋1b 2n －1<12.[题目3] 解 (1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为P ＝2630＝1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78， 以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78. [题目4] 证明 (1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC .由于E 为AD 的中点， AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ， 所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ， 因此四边形ABCE 为菱形， 所以O 为AC 的中点． 又F 为PC 的中点，因此在△P AC 中，可得AP ∥OF . 又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF . 所以AP ∥平面BEF .(2)由题意知ED ∥BC ，ED ＝BC .所以四边形BCDE 为平行四边形， 因此BE ∥CD . 又AP ⊥平面PCD ， 所以AP ⊥CD ， 因此AP ⊥BE .因为四边形ABCE 为菱形， 所以BE ⊥AC .又AP ∩AC ＝A ，AP ，AC ⊂平面P AC ， 所以BE ⊥平面P AC .[题目5] 解 (1)由题意，|OA |＝a ＝p2，|MN |＝22p ·p 2＝2p ，S △MON ＝12|OA |·|MN |＝12·p 2·2p ＝92. ∴p 2＝9，则p ＝3，则抛物线C 的标准方程为y 2＝6x .(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为x ＝my ＋a ， 联立⎩⎨⎧x ＝my ＋a ，y 2＝6x .得y 2－6my －6a ＝0.则Δ＝36m 2＋24a >0，y 1＋y 2＝6m ，y 1y 2＝－6a ， 由对称性，不妨设m ＞0，(ⅰ)a <0时，∵y 1y 2＝－6a >0，∴y 1，y 2同号， 又t ＝1|AM |＋1|AN |＝11＋m 2|y 1|＋11＋m 2|y 2|∴t 2＝11＋m 2（y 1＋y 2）2（y 1y 2）2＝11＋m 236m 236a 2＝1a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11＋m 2 不论a 取何值，t 均与m 有关，即a <0时A 不是“稳定点”； (ⅱ)a >0时，∵y 1y 2＝－6a <0，∴y 1，y 2异号， 又t ＝1|AM |＋1|AN |＝11＋m 2|y 1|＋11＋m 2|y 2|∴t 2＝11＋m 2·（y 1－y 2）2（y 1y 2）2＝11＋m 2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2（y 1y 2）2＝11＋m 2·36m 2＋24a 36a 2＝1a 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋23a －11＋m 2， 所以，当且仅当23a －1＝0，即a ＝32时，t 与m 无关．此时A 为抛物线C 的焦点，即抛物线C 对称轴上仅有焦点这一个“稳定点”． [题目6] 解 (1)f ′(x )＝ax ＋(1－a )x －b (x ＞0)． 由题设知f ′(1)＝0，解得b ＝1. (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知， f (x )＝a ln x ＋1－a 2x 2－x ，f ′(x )＝a x ＋(1－a )x －1＝1－a x (x －a1－a)(x －1)．①若a ≤12，则a1－a ≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在(1，＋∞)单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)＜a a －1的充要条件为f (1)＜a a －1，即1－a 2－1＜aa －1，解得－2－1＜a ＜2－1.②若12＜a ＜1，则a 1－a ＞1，故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞时，f ′(x )＞0.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f (x 0)＜a a －1的充要条件为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＜a a －1.而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＝a ln a 1－a ＋a 22（1－a ）＋a a －1＞aa －1，所以不合题意． ③若a ＞1，则f (1)＝1－a 2－1＝－a －12＜aa －1成立．综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)． [题目7] 解 (1)由于S n ＝2n ＋1＋2p (n ∈N *)， ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1＋2p －(2n ＋2p )＝2n . 又a 1＝S 1＝4＋2p ，由于数列{a n }为等比数列， ∴a 22＝a 1a 3，即(4＋2p )·23＝24， 解之得p ＝－1， 因此a n ＝a 1·q n －1＝2n .(2)由(1)知，a n ＝2n ，a n ＋1＝2n ＋1， 又a n ＋12＝(3＋p )a n b n ＝2a n b n ，则2n b n ＝n ， 所以b n ＝n2n . T n ＝12＋222＋…＋n 2n ，12T n ＝122＋223＋…＋n 2n ＋1，两式相减，得 12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1， T n ＝2－12n －1－n2n .[题目8] 解 (1)f (x )＝sin x (1＋cos φ)＋cos x sin φ－sin x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ＝sin(x ＋φ)． 因为f (x )在x ＝π处取得最小值．∴sin(π＋φ)＝－1，则sin φ＝1，又0<φ<π，所以φ＝π2. (2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos x .因为f (A )＝cos A ＝32，且A ∈(0，π)，所以A ＝π6，又a ＝1，b ＝2，由正弦定理，a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝2sin π6＝22，因为b >a ，因此B ＝π4或B ＝3π4，当B ＝π4时，C ＝π－(A ＋B )＝712π.当B＝34π时，C＝π－(A＋B)＝π12.综上可知，C＝7π12或C＝π12.[题目9]解法一(1)融合指数在[7，8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4，5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2，从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．其中，至少有1家融合指数在[7，8]内的基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共9个．所以所求的概率P＝9 10.(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4．5×220＋5.5×820＋6.5×720＋7.5×320＝6.05.法二(1)融合指数在[7，8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4，5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2，从融合指数在[4，5)和[7，8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有的基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．其中，没有1家融合指数在[7，8]内的基本事件是：{B1，B2}，共1个．所以所求的概率P＝1－110＝910.(2)同法一．[题目10](1)证明∵△ABC为正三角形，E为BC中点，∴AE⊥BC，∵三棱柱ABCA1B1C1是直棱柱，∴B1B⊥平面ABC，又AE⊂平面ABC，∴B1B⊥AE，∴由B1B∩BC＝B知，AE⊥平面B1BCC1，又由AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1.(2)解 设AB 中点为M ，连接A 1M ，CM ，则CM ⊥AB ，由平面A 1ABB 1⊥平面ABC 且平面A 1ABB 1∩平面ABC ＝AB 知，CM ⊥面A 1ABB 1， ∴∠CA 1M 即为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角．∴∠CA 1M ＝45°，易知CM ＝32×2＝3，在等腰Rt △CMA 1中，A 1M ＝CM ＝3， 在Rt △A 1AM 中，A 1A ＝A 1M 2－AM 2＝ 2. ∴FC ＝12A 1A ＝22，又S △AEC ＝12×34×4＝32，∴V 三棱锥F AEC ＝13×32×22＝612.[题目11] 解 (1)设椭圆的半焦距是c ，由于e ＝22， ∴a ＝2c ，则b 2＝a 2－c 2＝c 2. 所以椭圆C 的方程为x 22c 2＋y 2c 2＝1. 又椭圆C 过点(2，2)． 所以42c 2＋2c 2＝1，解得c 2＝4.故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)(ⅰ)当MN ⊥x 轴时，显然m ＝0.(ⅱ)当MN 与x 轴不垂直时，设直线MN 的斜率为k ，显然k ≠0， 则直线MN 的方程为y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 28＋y 24＝1.得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－8＝0.设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，线段MN 中点Q (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－8k 21＋2k 2，所以x 0＝－4k 21＋2k 2，y 0＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 2＋2＝2k 1＋2k 2. 线段MN 的垂直平分线方程为y －2k 1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4k 21＋2k 2.在上述方程中令x ＝0，得y ＝－2k1＋2k 2. 即m ＝－2k 1＋2k 2＝－22k ＋1k. 当k >0时，2k ＋1k ≥22，则0>m ≥－22；当k <0时，2k ＋1k ≤－22，则0<m ≤22.所以－22≤m <0或0<m ≤22.综上所述，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22.[题目12] 解 (1)依题意，知f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝b ＝12时，f (x )＝ln x －14x 2－12x ， f ′(x )＝1x －12x －12＝－（x ＋2）（x －1）2x .令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－2(舍去)． 当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调增区间为(0，1)，单调减区间为(1，＋∞)． (2)F (x )＝ln x ＋ax ，x ∈[0，3]．由k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12在(0，3]上恒成立．知a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 20＋x 0max. 当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取最大值12， 所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.(3)当a ＝0，b ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ， 由f (x )＝mx ，得ln x ＋x ＝mx ，又x >0，所以m ＝1＋ln xx ，要使方程f (x )＝mx 在区间[1，e 2]上有唯一实数解， 只需m ＝1＋ln xx 有唯一实数解，令g (x )＝1＋ln xx (x >0)，∴g ′(x )＝1－ln x x 2， 由g ′(x )>0得0<x <e ；g ′(x )<0，得x >e.∴g (x )在[1，e]上是增函数，在区间[e ，e 2]上是减函数， 又g (1)＝1，g (e 2)＝1＋2e 2，g (e)＝1＋1e ， 故m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，1＋2e 2∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋1e . [题目13] 解 (1)在△ABC 中，b ＝4，A ＝π3，S ＝23， ∴S ＝12bc sin A ＝12×4c ×32＝23，则c ＝2， 由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝16＋4－2×4×2cos π3＝12， ∴a ＝12＝2 3.(2)由正弦定理，得a sin A ＝csin C . ∴sin C ＝c ·sin Aa ＝2sin π323＝12.又由c <a ，得0<C <A ＝π3，∴C ＝π6， 则f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6sin x －cos π3cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6sin x －sin π6cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，将函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)， 得函数g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象．令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，故g (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．[题目14] 解 (1)(2)质量指标值的样本平均数为x ＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100. 质量指标值的样本方差为s 2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104. 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104. (3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为 0．38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定． [题目15] 解 (1)设数列{x n }的公差为d ，则x 5－x 2＝3d ， ∴－132－⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝3d ，则d ＝－1，x 1＝－52.故x n ＝－52＋(n －1)×(－1)＝－n －32，y n ＝3x n ＋134＝－3n －54.因此点P n 的坐标为P n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－n －32，－3n －54.(2)由题意，设C n 的方程为y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2n ＋322－12n ＋54. 将A n (0，n 2＋1)代入上式，整理得(a －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 2＋3n ＋94＝0， ∴a ＝1.∴C n 的方程为：y ＝x 2＋(2n ＋3)x ＋n 2＋1. 所以y ′＝2x ＋2n ＋3，由导数的几何意义，k n ＝y ′|x ＝0＝2n ＋3.因此1k n ＋1k n ＝1（2n ＋5）（2n ＋3）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋3－12n ＋5 ∴1k 1k 2＋1k 2k 3＋…＋1k n k n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋3－12n ＋5＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫15－12n ＋5＝n 10n ＋25. [题目16] (1)证明 如图，连接A 1B ，在△A 1BC 中，因为E 和F 分别是BC 和A 1C 的中点，所以EF ∥BA 1.又因为EF ⊄平面A 1B 1BA ，BA 1⊂平面A 1B 1BA ，所以EF ∥平面A 1B 1BA .(2)证明 因为AB ＝AC ，E 为BC 中点，所以AE ⊥BC ，因为AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，所以BB 1⊥平面ABC ，从而BB 1⊥AE .又因为BC ∩BB 1＝B ，所以AE ⊥平面BCB 1，又因为AE ⊂平面AEA 1，所以平面AEA 1⊥平面BCB 1.(3)解 取BB 1的中点M 和B 1C 的中点N ，连接A 1M ，A 1N ，NE .因为N 和E 分别为B 1C 和BC 的中点，所以NE ∥B 1B ，NE ＝12B 1B ，故NE ∥A 1A 且NE ＝A 1A ，所以A 1N ∥AE ，且A 1N ＝AE .又因为AE ⊥平面BCB 1，所以A 1N ⊥平面BCB 1，从而∠A 1B 1N 为直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角． 在△ABC 中，可得AE ＝2，所以A 1N ＝AE ＝2. 因为BM ∥AA 1，BM ＝AA 1， 所以A 1M ∥AB ，A 1M ＝AB ， 又由AB ⊥BB 1，有A 1M ⊥BB 1.在Rt △A 1MB 1中，可得A 1B 1＝B 1M 2＋A 1M 2＝4.在Rt △A 1NB 1中，sin ∠A 1B 1N ＝A 1N A 1B 1＝12，因此∠A 1B 1N ＝30°.所以，直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角为30°. [题目17] 解 (1)∵e ＝c a ＝12， ∴a ＝2c ，则b 2＝a 2－c 2＝3c 2， 则椭圆C 的方程为x 24c 2＋y 23c 2＝1.又椭圆C 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∴14c 2＋912c2＝1，c 2＝1，c ＝1， 则a ＝2，b ＝ 3.椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2) 由(1)知F 1(－1，0)，①当l 的倾斜角是π2时，l 的方程为x ＝－1，交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，此时S △ABF 2＝12|AB |×|F 1F 2|＝12×3×2＝3≠1227，不合题意．②当l 的倾斜角不是π2时，设l 的斜率为k ，则其直线方程为y ＝k (x ＋1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x ＋1），消去y 得：(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，∴S △F 2AB ＝S △F 1F 2B ＋S △F 1F 2A ＝12|F 1F 1|(|y 1|＋|y 2|) ＝12×2|y 1－y 2|＝|k (x 1＋1)－k (x 2＋1)| ＝|k ||x 1－x 2|2＝|k |（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝|k |⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 24k 2＋32－4×4k 2－124k 2＋3＝12|k |k 2＋14k 2＋3，又已知S △F 2AB ＝1227，∴12|k |k 2＋14k 2＋3＝1227⇒17k 4＋k 2－18＝0⇒(k 2－1)(17k 2＋18)＝0⇒k 2－1＝0解得k ＝±1，故直线l 的方程为y ＝±1(x ＋1)，即x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0. [题目18] 解 (1)f (x )的定义域为(－∞，＋∞)， f ′(x )＝1＋a －2x －3x 2. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1－4＋3a3，x 2＝－1＋4＋3a 3，x 1＜x 2，所以f ′(x )＝－3(x －x 1)(x －x 2)． 当x ＜x 1或x ＞x 2时，f ′(x )＜0； 当x 1＜x ＜x 2时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)内单调递减，在(x 1，x 2)内单调递增． (2)因为a ＞0，所以x 1＜0，x 2＞0.①当a ≥4时，x 2≥1，由(1)知，f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在x ＝0和x ＝1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a ＜4时，x 2＜1.由(1)知，f (x )在[0，x 2]上单调递增，在[x 2，1]上单调递减，因此f (x )在x ＝x 2＝－1＋4＋3a3处取得最大值．又f (0)＝1，f (1)＝a ，所以当0＜a ＜1时，f (x )在x ＝1处取得最小值； 当a ＝1时，f (x )在x ＝0和x ＝1处同时取得最小值； 当1＜a ＜4时，f (x )在x ＝0处取得最小值． [题目19] 解 (1)∵m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos x ，－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12.∴f (x )＝m·n ＝2cos 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝1＋cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1＋cos 2x －32sin 2x －12cos 2x＝1＋12cos 2x －32sin 2x ＝1－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.则f (x )的最小正周期T ＝π.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z . f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，得1－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝1，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝0. 又0<A <π，故A ＝π6.由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝3sin π62＝34. 又a >b ，知B 为锐角． ∴cos B ＝1－sin 2B ＝134.故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3＋138.[题目20] 解 (1)由所给茎叶图知，50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故样本中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故样本中位数为66＋682＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67. (2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的频率分别为550＝0.1，850＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1，0.16.(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．[题目21] 解 (1)由已知可得⎩⎨⎧2＋a 2＝3q ，a 2＝q 2，所以q 2－3q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝1(舍)，从而a 2＝4， 所以a n ＝2n ，b n ＝2n －1.(2)由(1)知，c n ＝2b n －λ·3a n2＝2n －3n λ. 由题意，c n ＋1<c n 对任意的n ∈N *恒成立，即2n ＋1－3n ＋1λ<2n －3n λ恒成立，亦即2λ3n >2n 恒成立， 即λ>12·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n恒成立． 由于函数y ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫23x在R 上是减函数，所以当n ＝1时，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 有最大值，且最大值为12×23＝13.因此λ>13时，λ>12·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n恒成立．所以实数λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.[题目22] (1)证明 连接BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点．因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1.又AO ⊥平面BB 1C 1C ，所以B 1C ⊥AO ， 又因为BC 1∩AO ＝O ， 所以B 1C ⊥平面ABO .由于AB ⊂平面ABO ，故B 1C ⊥AB .(2)解 作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD .作OH ⊥AD ，垂足为H . 由于BC ⊥AO ，BC ⊥OD ，AO ∩OD ＝O ，故BC ⊥平面AOD ，所以OH ⊥BC . 又OH ⊥AD ，AD ∩BC ＝D ， 所以OH ⊥平面ABC . 因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形， 又BC ＝1，可得OD ＝34.由于AC ⊥AB 1，所以OA ＝12B 1C ＝12.由OH ·AD ＝OD ·OA ，且AD ＝OD 2＋OA 2＝74，得OH ＝2114.又O 为B 1C 的中点，所以点B 1到平面ABC 的距离为217.故三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高为217.[题目23] (1)解 依题意，得b ＝1，e ＝c a ＝22. ∴a 2＝2c 2＝2(a 2－b 2)，则a 2＝2b 2＝2. 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)解 依题意，过点M (2，0)的直线l 的斜率存在，设为k . 则直线l 的方程为y ＝k (x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2）.x 22＋y 2＝1.消去y ，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.由Δ＝64k 4－4(8k 2－2)(1＋2k 2)>0， 得k 2<12，则0≤k 2<12. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2.所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2. ＝x 1x 2＋k 2(x 1－2)(x 2－2) ＝(1＋k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)＋4k 2 ＝10k 2－21＋2k 2＝5－71＋2k 2. 因为0≤k 2<12，所以72<71＋2k 2≤7，故OA →·OB →的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，32.(3)证明 由对称性可知N (x 2，－y 2)，定点在x 轴上． 直线AN ：y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)，令y ＝0得：x ＝x 1－y 1（x 1－x 2）y 1＋y 2＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2＝2x 1x 2－2（x 1＋x 2）x 1＋x 2－4＝16k 2－41＋2k 2－16k 21＋2k 28k 21＋2k 2－4＝1.所以直线AN 恒过定点(1，0)． [题目24] (1)解 由f (x )＝ln x ＋2e x ，得f ′(x )＝1－2x －x ln xx e x， ∴f ′(1)＝－1e ，且f (1)＝2e .故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为y －2e ＝－1e (x －1)，即x ＋e y －3＝0. (2)解 由f ′(x )＝0得k ＝1－x ln x x ，令F (x )＝1－x ln xx ， ∵0<x ≤1，∴F ′(x )＝－x ＋1x 2<0， 因此函数F (x )在区间(0，1]上是减函数． ∵F (1)＝1，且x →0时，F (x )→＋∞. 故F (x )≥1，则k 的取值范围是[1，＋∞)． (3)证明 f ′(x )＝1－x ln x －kxx e x.由f ′(1)＝0，得k ＝1.∴f ′(x )＝1－x ln x －xx e x ，x >0.需证f ′(x )<e －2＋1x 2＋x恒成立，只需证明1－x ln x －x <e x x ＋1(e －2＋1)．设h (x )＝1－x ln x －x (x >0)，得h ′(x )＝－ln x －2. 当x ∈(0，e －2)时，h ′(x )>0，h (x )是增函数； 当x ∈(e －2，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数．所以h(x)的最大值为h(e－2)＝e－2＋1，故1－x ln x－x≤e－2＋1.设φ(x)＝e x－(x＋1)，x>0，则φ′(x)＝e x－1.∴当x>0时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，＋∞)上是增函数．因此φ(x)>φ(0)＝0.故x∈(0，＋∞)时，φ(x)＝e x－(x＋1)>0，即e xx＋1>1，所以1－x－x ln x≤e－2＋1<e xx＋1(e－2＋1)．因此，对任意x>0，f′(x)<e－2＋1x2＋x恒成立．[题目25]解(1)∵b·cos C＝(2a－c)·cos B，由正弦定理，得sin B cos C＝(2sin A－sin C)cos B. ∴sin B cos C＋sin C cos B＝2sin A cos B，即sin(B＋C)＝2sin A cos B.在△ABC中，0<A<π，sin(B＋C)＝sin A≠0.∴cos B＝1 2，因为0<B<π，所以B＝π3，(2)∵a、b、c成等差数列，且b＝3，∴a＋c＝2b＝6，又由余弦定理，b2＝a2＋c2－2ac cos B，∴32＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac.因此3ac＝62－32＝27，则ac＝9.所以S△ABC ＝12ac sin B＝12×9×32＝934.[题目26]解(1)∵S n＝n(n＋1)(n∈N*)．当n＝1时，a1＝S1＝2.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，a1＝2满足该式，∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n.(2)a n＝b13＋1＋b232＋1＋…＋b n3n＋1(n≥1)，①则a n ＋1＝b 13＋1＋b 232＋1＋…＋b n3n ＋1＋b n ＋13n ＋1＋1②②－①得，b n ＋13n ＋1＋1＝a n ＋1－a n ＝2，得b n ＋1＝2(3n ＋1＋1)， 又当n ＝1时，b 1＝8， 所以b n ＝2(3n ＋1)(n ∈N *)．(3)由(1)，(2)知c n ＝a n b n4＝n (3n ＋1)＝n ·3n ＋n . ∴T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n )＋(1＋2＋…＋n )． 令H n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ① 则3H n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1② ①－②得，－2H n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ×3n ＋1 ＝3（3n －1）3－1－n ×3n ＋1，∴H n ＝（2n －1）×3n ＋1＋34，又1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2，∴数列{c n }的前n 项和T n ＝（2n －1）×3n ＋14＋n （n ＋1）2＋34.[题目27] 解 (1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，X }，{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，C }，{B ，X }，{B ，Y }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，{C ，Z }，{X ，Y }，{X ，Z }，{Y ，Z }，共15种． (2)事件M 即“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”的所有可能结果为{A ，Y }，{A ，Z }，{B ，X }，{B ，Z }，{C ，X }，{C ，Y }，共6种． 因此，事件M 发生的概率P (M )＝615＝25.[题目28] (1)解 点F ，G ，H 的位置如图所示． (2)证明 平面BEG ∥平面ACH ，证明如下： 因为ABCD-EFGH 为正方体， 所以BC ∥FG ，BC ＝FG ， 又FG ∥EH ，FG ＝EH ，所以BC∥EH，BC＝EH，于是BCHE为平行四边形，所以BE∥CH，又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH，同理BG∥平面ACH，又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明连接FH，与EG交于点O，连接BD.因为ABCD-EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH，因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG，又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD，又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG，同理DF⊥BG，又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.[题目29]解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－1＋ax2－ax.由题意f′(1)＝1－1＋a12－a1＝－2，解得a＝1.(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝1时，f(x)＝x＋2x－ln x，f′(x)＝1－2x2－1x＝（x＋1）（x－2）x2.在(1，2)上，f′(x)<0，f(x)单调递减；在(2，e)上，f ′(x )>0，f (x )单调递增，f (1)＝3，f (e)＝e －1＋2e ，f (1)>f (e)，f (2)＝3－ln 2.由题意f (2)<b ≤f (e)， 即3－ln 2<b ≤e －1＋2e .(3)在[1，e]上存在一点x 0，使得f (x 0)<0成立等价于f (x )min <0，(x ∈[1，e])， f ′(x )＝1－1＋a x 2－a x ＝（x ＋1）[x －（a ＋1）]x 2，①当a ＋1≤1，即a ≤0时，在区间(1，e)上，f ′(x )>0，f (x )是增函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝2＋a <0，得a <－2. ②当1<a ＋1<e 时，即0<a <e －1，在区间(1，1＋a )上，f ′(x )<0，f (x )是减函数； 在区间(1＋a ，e)上，f ′(x )>0，f (x )是增函数． ∴f (x )min ＝f (a ＋1)＝2＋a －a ln(a ＋1)， 因为0<ln(a ＋1)<1，则0<a ln(a ＋1)<a . 因此f (x )min ＝2＋a －a ln(a ＋1)>2， 从而f (a ＋1)<0不成立，舍去．③当a ＋1≥e 时，即a ≥e －1，在(1，e)上，有f ′(x )<0，f (x )是减函数． ∴f (x )min ＝f (e)＝e ＋1＋a e －a <0.得a >e 2＋1e －1，又e 2＋1e －1>e 2－2e ＋1e －1＝e －1. 因此a >e 2＋1e －1.综合①，②，③知实数a 的取值范围为(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫e 2＋1e －1，＋∞. [题目30] 解 (1)由题意，椭圆的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 依题设，椭圆E 的左右焦点为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴c ＝ 3.又椭圆E 的短轴两端点与F 2构成正三角形． ∴a ＝2b ，①又因a 2＝b 2＋c 2＝b 2＋3，② 联立①，②得a 2＝4，b 2＝1. 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)①双曲线C 的右顶点A 为(1，0)．(ⅰ)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1.代入x 24＋y 2＝1，解得x ＝1，y ＝±32.不妨设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，由M ⎝ ⎛⎭⎪⎫178，0可得，PM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98，－32，QM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98，32， ∴PM →·QM →＝8164－34＝3364.(ⅱ) 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝k (x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k （x －1）得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0， 设直线l 与椭圆E 交点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－41＋4k 2.则PM →＝(m －x 1，－y 1)，QM →＝(m －x 2，－y 2)，∴PM →·QM →＝(m －x 1)(m －x 2)＋y 1y 2 ＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2，＝m 2－m 8k 24k 2＋1＋4k 2－44k 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－44k 2＋1－8k 24k 2＋1＋1＝（4m 2－8m ＋1）k 2＋（m 2－4）4k 2＋1＝（4m 2－8m ＋1）⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋14＋（m 2－4）－14（4m 2－8m ＋1）4k 2＋1＝14(4m 2－8m ＋1)＋2m －1744k 2＋1.当2m －174＝0，即m ＝178时PM →·QM →为定值3364.综上所述当m ＝178时，PM →·QM →为定值3364.②∵ON ∥PQ ，∴S △NAP ＝S △OAP ，∴S 1＋S 2＝S △OPQ ， ∵|PQ |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 24k 2＋12－16k 2－164k 2＋1＝4（1＋k 2）·3k 2＋14k 2＋1，原点O 到直线PQ 的距离为d ＝|k |1＋k2(k ≠0)， ∴S △OPQ ＝12|PQ |d ＝2|k |3k 2＋14k 2＋1＝4k 2（3k 2＋1）（4k 2＋1）2.令4k 2＋1＝t ，则k 2＝t －14(t >1)．∴S △OPQ ＝12·3t 2－2t －1t 2＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋12＋4， ∵t >1，∴0<1t <1，则0<4－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋12<3.∴0<S △OPQ <32.又当直线l 的斜率不存在时，S △OPQ ＝12×1×3＝32，综上可知，S 1＋S 2的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤0，32.。
2016年高考山东文科数学试题及答案(word解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年山东，文1，5分】设集合{}{}1,2,3,4,5,6,1,3,5,{3,4,5}U A B ===，则()U A B =U ð（ ）（A ）{}2,6 （B ）{}3,6 （C ）{}1,3,4,5 （D ）{}1,2,4,6 【答案】A【解析】={1,34,5}A B U ，，()={2,6}U A B U ð，故选A ． 【点评】考查集合的并集及补集运算，难度较小．（2）【2016年山东，文2，5分】若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则z =（ ）（A ）2i - （B ）2i （C ）2- （D ）2 【答案】B【解析】22(1i)=1i 1i 2z -==+-，1i z =-，故选B ．【点评】复数的运算题目，考察复数的除法及共轭复数，难度较小． （3）【2016年山东，文3，5分】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]17.5,30，样本数据分组为[)17.5,20，[)20,22.5，[)22.5,25，[)25,27.5，[]27.5,30．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22．5小时的人数是（ ） （A ）56 （B ）60 （C ）120 （D ）140 【答案】D【解析】由图可知组距为2．5，每周的自习时间少于22．5小时的频率为(0.020.1) 2.50.30+⨯=， 所以，每周自习时间不少于22．5小时的人数是()20010.30140⨯-=人，故选D ． 【点评】频率分布直方图题目，注意纵坐标为频率/组距，难度较小．（4）【2016年山东，文4，5分】若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值是（ ）（A ）4（B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C 【解析】由22x y +是点(),x y 到原点距离的平方，故只需求出三直线的交点()()()0,2,0,3,3,1--，所以()3,1-是最优解，22x y +的最大值是10，故选C ．（5）【2016年山东，文5，5分】有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）（A ）1233+π （B ）1233+π （C ）1236+π （D ）216+π【答案】C【解析】由三视图可知，此几何体是一个正三棱锥和半球构成的，体积为3142112111+=+3323ππ⨯⨯⨯⨯（），故选C ．【点评】考察三视图以及几何体的体积公式，题面已知是半球和四棱锥，由三视图可看出是正四棱锥，难度较小． （6）【2016年山东，文6，5分】已知直线,a b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】若直线相交，一定有一个交点，该点一定同时属于两个平面，即两平面相交，所以是充分条件；两平面相交，平面内两条直线关系任意（平行、相交、异面），即充分不必要条件，故选A ．（7）【2016年山东，文7，5分】已知圆()22:200M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆22:(1)+(1)=1N x y --的位置关系是（ ）（A ）内切 （B ）相交 （C ）外切 （D ）相离 【答案】B【解析】圆()22:200M x y ay a +-=>化成标准形式222()(0)x y a a a +-=>解法1：圆心(0, )a 到直线0x y +=的距离为2ad =，由勾股定理得2222a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 解得2,0,2a a a =±>∴=Q ，圆M 与圆22:(1)+(1)=1N x y --的圆心距为22(10)(12)2-+-=，圆M 半 径12R =，圆N 半径212121,2,R R R R R =-<<+∴Q 圆M 与圆N 相交，故选B ．解法2：直线0x y +=斜率为1-，倾斜角为135︒，可知2,2BM OB OM a ==∴==，B 点坐标为()1,1-，即为圆N 的圆心．圆心在圆M 中，且半径为1，即两圆相交，故选B ．（8）【2016年山东，文8，5分】ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知b c =，222(1sin )a b A =-，则A=（ ）（A ）34π （B ）3π （C ）4π （D ）6π【答案】C【解析】222222(1sinA),2cos 2(1sinA),a b b c bc A b =-∴+-=-Q 又b c =Q ，2222cos b b A ∴-22(1sin )b A =-，cos sin A A ∴=，在ABC ∆中，(0,),A 4A ππ∈∴=，故选C ．（9）【2016年山东，文9，5分】已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()6f =（ ）（A ）2- （B ）1- （C ）0 （D ）2 【答案】D【解析】由1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，知当12x >时，()f x 的周期为1，所以()()61f f =．又当11x -≤≤时，()()f x f x -=-，所以()()11f f =--．于是()()()()3611112f f f ⎡⎤==--=---=⎣⎦，故选D ．（10）【2016年山东，文10，5分】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数具有T 性质的是（ ）（A ）sin y x = （B ）ln y x = （C ）x y e = （D ）3y x = 【答案】A【解析】因为函数ln y x =，x y e =的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数3y x =的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直，即不具有T 性质，故选A ．第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分． （11）【2016年山东，文11，5分】执行右边的程序框图，若输入n 的值为3，则输出的S 的值为 ． 【答案】1【解析】根据题目所给框图，当输入3n =时，依次执行程序为：1,0i S ==，021=21S =+--，13i =≥不成立，12i i =+=，213231S =-+-=-，23i =≥不成立，13i i =+=，3143211S =-+-=-=，33i =≥成立，故输出的S 的值为1．（12）【2016年山东，文12，5分】观察下列等式：2224sin sin 12333ππ--⎛⎫⎛⎫+=⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22222344sin sin sin sin 2355553ππππ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22222364sin sin sin sin 3477773ππππ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22222384sin sin sin sin 4599993ππππ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……2222232sin sin sin sin 21212121n n n n n ππππ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ． 【答案】()413n n+【解析】由题干中各等式左端各项分母的特点及等式右端所表现出来的规律经过归纳推理即得．（13）【2016年山东，文13，5分】已知向量()1,1a =-r ，()6,4b =-r ．若()a tab ⊥+r r r，则实数t 的值为 ．【答案】5-【解析】由已知条件可得()6,4ta b t t +=+--r r，又因()a ta+b ⊥r r r 可得()=a ta+b ⋅r r r 0，即()()()6141642100t t t t t +⨯+--⨯-=+++=+=，即得5t =-．（14）【2016年山东，文14，5分】已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，,AB CD的中点为E 的两个焦点，且23AB BC =，则E 的离心率为 ．【答案】2【解析】由题意BC 2c =，所以2AB 3BC =，于是点3,2c c ⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线E 上，代入方程，得2222914c c a b -=，在由222a b c +=得E 的离心率为2ce a==．（15）【2016年山东，文15，5分】在已知函数()2,24,x x mf x x mx m x m⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是 ．【答案】()3,+∞【解析】因为()224g x x mx m =-+的对称轴为x m =，所以x m >时()224f x x mx m =-+单调递增，只要b 大于()224g x x mx m =-+的最小值24m m -时，关于x 的方程()f x b =在x m >时有一根；又()h x x =在x m ≤，0m >时，存在实数b ，使方程()f x b =在x m ≤时有两个根，只需0b m <≤；故只需24m m m -<即可，解之，注意0m >，得3m >，故填()3+∞，． 三、解答题：本大题共6题，共75分．（16）【2016年山东，文16，12分】某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动，参加活动的儿 童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设 两次记录的数分别为x ，y ．奖励规矩如下：①若3xy ≤，则奖励玩具一个；②若8xy ≥，则奖 励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此活动．（1）求小亮获得玩具的概率； （2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解：（1）设获得玩具记为事件A ，获得水杯记为事件B ，获得一瓶饮料记为事件C ，转盘转动两次后获得的数据记为(),x y ，则基本事件空间为()()()()()()()()1,11,21,31,42,12,22,32,4、、、、、、、、()()()()()()()()3,13,23,33,44,14,24,34,4、、、、、、、共16种，事件A 为()()()()()1,11,21,32,13,1、、、、，共5种， 故小亮获得玩具的概率()516A P =． （2）事件B 为()()()()()()2,43,33,44,24,34,4、、、、、共6种，故小亮获得水杯的概率()63168B P ==，获得饮料的指针2431A概率()()()5116C A B P P P =--=．因为()()B C P P >，所以小亮获得水杯比获得饮料的概率大． （17）【2016年山东，文17，12分】设2())sin (sin cos )f x x x x x π=---．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，求6y g π⎛⎫= ⎪⎝⎭的值．解：（1）()()()2sin sin sin cos 2sin sin cos 2sin cos ()2sin 21f x x x x x x x x x x x x π=---=-+-+-sin 2212sin 2212sin 12213x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()222232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 所以单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦． （2）经变换()2sin1g x x =，6g π⎛⎫= ⎪⎝⎭（18）【2016年山东，文18，12分】在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，//EF DB ．（1）已知AB BC =，AE EC =．求证：AC FB ⊥；（2）已知G ，H 分别是EC 和FB 的中点．求证：//GH ABC 平面． 解：（1）连接ED ，AB BC =Q ，AE EC =．AEC ∴∆和ABC ∆为等腰三角形．又D Q 是AC 的中点，ED AC ∴⊥，BD AC ⊥；AC ∴⊥平面EDB ．又//EF DB Q ， ∴平面EDB 与平面EFBD 为相同平面；AC ∴⊥平面EFBD ．FB ⊆Q 平面EFBD ；AC FB ∴⊥． （2）取ED 中点I ，连接IG 和IH ．在EDC ∆中I 和G 为中点；//IG CD ∴．//EF DB Q ；∴四边形EFBD 为梯形．I Q 和H 分别 为ED 和FB 中点；//IH BD ∴．又IH Q 和IG 交与I 点，CD 与BD 交与D 点；∴平面//GIH 平面BDC ．又GH ⊆Q 平面GIH ； //GH ∴平面ABC ．（19）【2016年山东，文19，12分】已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+．求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：（1）因为数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，所以111a =，当2n ≥时，221383(1)8(1)65n n n a S S n n n n n -=-=+----=+，又65n a n =+对1n =也成立，所以65n a n =+．又因为{}n b 是等差数列，设公差为d ，则12n n n n a b b b d +=+=+．当1n =时，1211b d =-；当2n =时，2217b d =-，解得3d =，所以数列{}n b 的通项公式为312n n a db n -==+． （2）由111(1)(66)(33)2(2)(33)n n n n n n nn a n c n b n +++++===+⋅++，于是23416292122(33)2n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅L ， 两边同乘以２，得341226292(3)2(33)2n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅L ，两式相减，得 2341262323232(33)2n n n T n ++-=⋅+⋅+⋅++⋅-+⋅L 22232(12)32(33)212n n n +⋅-=⋅+-+⋅-2221232(12)(33)232n n n n T n n ++=-+⋅-++⋅=⋅．（20）【2016年山东，文20，13分】设2()ln (21)f x x x ax a x =-+-，a R ∈．AA（1）令()'()g x f x =，求()g x 的单调区间；（2）已知()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 取值范围． 解：（1）定义域()0+∞,，()()ln 1221g x f x x ax a '==+-+-，()12g x a x'=-． ①当0a ≤时，()0g x '>恒成立，()g x 在()0+∞,上单调递增； ②当0a >时，令()0g x '=，得12x a =．()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，当0a ≤时，单调递增区间为()0+∞,，当0a >时，单调递增区间为10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭， 单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． （2）∵()f x 在1x =处取得极大值，∴()10g =，ln112210a a +-+-=在a 取任何值时恒成立．①当0a ≤时，()g x 在()0+∞,上单调递增，即()0,1x ∈时，()0g x <；()1,x ∈+∞时，()0g x >， 此时()f x 在1x =处取得极小值，不符合题意；②当0a >时，()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．只需令112a <，即12a >．综上所述，a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（21）【2016年山东，文21，14分】已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的长轴长为4，焦距为（1）求椭圆C 的方程； （2）过动点()()0,0M m m >的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P （P 在第一象限），且M是线段PN 的中点，过点P 做x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B ．（i ）设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，'k ，证明'k k为定值；（ii ）求直线AB 的斜率的最小值．解：（1）由题意得222242a c a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22142x y +=．（2）（i ）设(,0),(,),N P P N x P x y 直线:+PA y kx m =，因为点N 为直线PA 与x 轴的交点，所以N mx k=-， 因为点()0,M m 为线段PN 的中点，所以00,22N P P x x y m ++==，得,2P P mx y m k==， 所以点,2m Q m k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()2=30m m k k m k--=--’，故3k k =-’为定值．（ii ）直线:+PA y kx m =与椭圆方程联立22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：222(21)4240k x kmx m +++-=，所以222222164(21)(24)328160k m k m k m ∆=-+-=-+>① 12122242,2121kmx mx x y y k k -+=+=++， 所以222264,(21)21k m m k m A k k k ⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭，直线:3+QM y kx m =-与椭圆方程联立223142y kx mx y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()22218112240k x kmx m +-+-=，所以121222122,181181km mx x y y k k +=+=++，所以()()22224916,181181m k k m m B k k k ⎛⎫++ ⎪- ⎪++⎝⎭，26131424B A ABB A y y k k k x x k k -+===+-， 因为点P 在椭圆上，所以2224142m m k +=，得2224k m =② 将②代入①得()2240k >+1恒成立， 所以20k ≥，所以0k ≥，所以3124AB k k k =+≥k =时取“=”）， 所以当k 时，AB k ．。
2016年高考数学(文科、理科)真题汇总及答案详解
2016年高考数学（文科、理科）真题汇总及答案详解文科数学(全国甲卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |x 2<9}，则A ∩B ＝( )A ．{－2，－1,0,1,2,3}B ．{－2，－1,0,1,2}C ．{1,2,3}D ．{1,2}解析：选D.先化简集合B ，再利用交集定义求解．∵x 2<9，∴－3<x <3，∴B ＝{x |－3<x <3}．又A ＝{1,2,3}，∴A ∩B ＝{1,2,3}∩{x |－3<x <3}＝{1,2}，故选D.2．设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z ＝( )A ．－1＋2iB ．1－2iC ．3＋2iD ．3－2i解析：选C.先求复数z ，再利用共轭复数定义求z .由z ＋i ＝3－i 得z ＝3－2i ，∴z ＝3＋2i ，故选C. 3.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 解析：选A.根据图象上点的坐标及函数最值点，确定A ，ω与φ的值．由图象知T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝⎛⎭⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.故选A.4．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．12π B.323π C ．8π D ．4π解析：选A.先利用正方体外接球直径等于正方体体对角线长求出球的半径，再用球的表面积公式求解．设正方体棱长为a ，则a 3＝8，所以a ＝2.所以正方体的体对角线长为23，所以正方体外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π，故选A.5．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( ) A.12B ．1 C.32D ．2 解析：选D.根据抛物线的方程求出焦点坐标，利用PF ⊥x 轴，知点P ，F 的横坐标相等，再根据点P 在曲线y ＝k x上求出k . ∵y 2＝4x ，∴F (1,0)．又∵曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴， ∴P (1,2)．将点P (1,2)的坐标代入y ＝k x(k >0)得k ＝2.故选D. 6．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．2解析：选A.将圆的方程化为标准方程，根据点到直线距离公式求解．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，由圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1可知|a ＋4－1|a 2＋12＝1，解得a ＝－43，故选A. 7.右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π解析：选C.根据三视图特征，将三视图还原为直观图，根据直观图特征求表面积． 由三视图可知，该几何体是由一个圆柱和一个圆锥组成的组合体，上面是一个圆锥，圆锥的高是23，底面半径是2，因此其母线长为4，下面圆柱的高是4，底面半径是2，因此该几何体的表面积是S ＝π×22＋2π×2×4＋π×2×4＝28π，故选C.8．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.710B.58C.38D.310解析：选B.利用几何概型的概率公式求解．如图，若该行人在时间段AB 的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB 长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B. 9.。
福建省2016届高三毕业班总复习(导数)单元过关平行性测试卷(文科)数学试题版含解析
2016高三毕业班总复习单元过关平行性测试卷（文科）导数三明市数学组一、选择题：本大题共6小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 函数在点处的切线的斜率为（）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】试题分析：根据题意可知，函数的导数为，在图象上一点处切线的斜率为，故选 D.考点：导数的几何意义点评:解决的关键是利用导数的几何意义来求解曲线的切线方程，属于基础题。
2. 已知函数的图象在点与点处的切线互相垂直且交于点，则点的坐标可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由题意可得，，，则过两点的切线斜率，，又切线互相垂直，所以，即.两条切线方程分别为，，联立得，解得，故选 D考点：函数的性质、导数的应用.3. 已知函数的图象如图所示，其中是定义域为的函数的导函数，则以下说法错误的是（）A.B. 当时，函数取得极小值C. 当时，函数取得极大值D. 方程与均有三个不同的实数根【答案】D-1)=0成立。
【解析】由图象可知x=1或-1时,f′(1)=f′（B. 当0<x<1时,,此时<0,当x>1时,,此时>0,故当x=1时,函数f(x)取得极小值，成立。
C. 当x<-1时,,此时>0,当-1<x<0时,,此时<0,故当x=-1时,函数f(x)取得极大值，成立。
D. 方程等价为=0,故有两个，故D错误。
故选：D4. 若函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由，设，则，因为，所以在上恒成立，所以在上单调递增，而，故不等式等价于，所以，选B．考点：函数的单调性与导数．5. 已知函数满足，当时，，若在区间内，函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意可求得，学%科%网...学%科%网...学%科%网...6. 设动直线x＝m与函数f(x)＝x3，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则|MN|的最小值为（）A. (1＋ln3)B. ln3C. 1＋ln3D. ln3－1【答案】A【解析】设F(x)=f(x)-g(x)=x3-ln x，x)=3x2.求导得：F′（x)<0得0<x<，令F′（x)>0得x>;令F′（所以当x=时,F(x)有最小值为F()=+ln3=(1+ln3)，故选A点睛：正确理解题意，把线段长度问题转化为函数问题，|MN|的最小值即F(x)=x3-lnx的最小值，借助单调性,问题迎刃而解.二、填空题：本大题共4小题，每小题6分。
(word完整版)2016年课标3高考数学文科试卷及答案,推荐文档
绝密★启封并使用完毕前试题类型：新课标Ⅲ2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共24题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。
第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ð= （A ）{48}，（B ）{026}，， （C ）{02610}，，，（D ）{0246810}，，，，， （2）若43i z =+，则||zz = （A ）1 （B ）1-（C ）43+i 55 （D ）43i 55- （3）已知向量BA u u u r =（12，32），BC uuu r =（32，12），则∠ABC =（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）120°（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是（A）各月的平均最低气温都在0℃以上（B）七月的平均温差比一月的平均温差大（C）三月和十一月的平均最高气温基本相同（D）平均最高气温高于20℃的月份有5个（5）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I,N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（A）815（B）18（C）115（D）130（6）若tan13θ=，则cos2θ=（A）45-（B）15-（C）15（D）45（7）已知4213332,3,25a b c===，则(A)b<a<c (B) a<b<c (C) b<c<a (D) c<a<b（8）执行右面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（9）在ABC △中，π4B =，BC边上的高等于13BC ,则sin A = (A)310 (B)1010 (C)55 (D)31010（10）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ）18365+ （B ）54185+ （C ）90 （D ）81（11）在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是（A ）4π （B ）9π2 （C ）6π （D ）32π3（12）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E . 若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设x ，y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则z =2x +3y –5的最小值为________.（14）函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数y =2sin x 的图像至少向右平移______个单位长度得到. （15）已知直线l ：360x y -+=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =__________ .（16）已知f (x )为偶函数，当0x ≤时，1()x f x ex --=-，则曲线y = f (x )在点(1,2)处的切线方程是____________三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20n n n n a a a a ++---=.（I ）求23,a a ；（II ）求{}n a 的通项公式. （18）（本小题满分12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注： 参考数据：719.32ii y==∑，7140.17i i i t y ==∑，721()0.55ii y y =-=∑，7≈2.646.参考公式：12211()()()(yy)niii n ni ii i t t y y r t t ===--=--∑∑∑，回归方程y a bt =+)))中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑)，$ay bt =-$ （19）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段AD 上一点，AM=2MD ，N 为PC 的中点. （I ）证明MN ∥平面PAB; （II ）求四面体N-BCM 的体积.（20）（本小题满分12分）已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点.（Ⅰ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（Ⅱ）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.（21）（本小题满分12分） 设函数()ln 1f x x x =-+. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）证明当(1,)x ∈+∞时，11ln x x x-<<； （III ）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)xc x c +->.请考生在22、23、24题中任选一题作答,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
2016年高考全国Ⅰ文科数学试题及答案(word解析版)
2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2016年全国Ⅰ，文1，5分】设集合{}1,3,5,7A =，{}25B x x =≤≤，则A B = （ ）（A ）{}1,3 （B ）{}3,5 （C ）{}5,7 （D ）{}1,7【答案】B【解析】集合A 和集合B 公共元素有3，5，所以{}3,5A B = ，所以A B 中有2个元素，故选B ．【点评】集合是每年高考中的必考题，一般以基础题形式出现，属得分题．解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算，如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算，常借助数轴进行运算．（2）【2016年全国Ⅰ，文2，5分】设()()12i i a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =（ ）（A ）3- （B ）2- （C ）2 （D ）3【答案】A【解析】()()()12i i 212i a a a ++=-++，由已知，得212a a -=+，解得3a =-，故选A ．【点评】复数题也是每年高考必考内容，一般以客观题形式出现，属得分题．高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等，复数的几何意义，共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，这类问题一般难度不大，但容易出现运算错误，特别是2i 1=-中的负号易忽略，所以做复数题要注意运算的准确性．（3）【2016年全国Ⅰ，文3，5分】为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）（A ）13（B ）12 （C ）23 （D ）56 【答案】A【解析】将4中颜色的花种任选两种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种数有4种，故概率为23，故选A ． 【点评】作为客观题形式出现的古典概型试题，一般难度不大，解答常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏，避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举．（4）【2016年全国Ⅰ，文4，5分】ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、．已知a =2c =，2cos 3A =，则b =（ ）（A （B （C ）2 （D ）3【答案】D 【解析】由余弦定理得2254223b b =+-⨯⨯⨯，解得3b =（13b =-舍去），故选D ． 【点评】本题属于基础题，考查内容单一，根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程，再通过解方程求b ．运算失误是基础题失分的主要原因，请考生切记！（5）【2016年全国Ⅰ，文5，5分】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ） （A ）13（B ）12 （C ）23 （D ）34 【答案】B【解析】如图，由题意得在椭圆中，OF c =，OB b =，11242OD b b =⨯=，在Rt OFB ∆中，OF OB BF OD ⨯=⨯，且222a b c =+，代入解得22a 4c =，所以椭圆得离心率得1e 2=，故选B ． 【点评】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题，求解此类问题的一般步骤是先列出等式，再转化为关于a ，c的齐次方程，方程两边同时除以a 的最高次幂，转化为关于e 的方程，解方程求e ．（6）【2016年全国Ⅰ，文6，5分】若将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函 数为（ ）（A ）2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （B ）2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （C ）2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （D ）2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 【答案】D 【解析】函数=2sin(2+)6y x π的周期为π，将函数=2sin(2+)6y x π的图像向右平移14个周期即4π个单位，所得函数为=2sin 2()+2sin 2463y x x πππ⎡⎤⎛⎫-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，故选D ． 【点评】函数图像的平移问题易错点有两个，一是平移方向，注意“左加右减“，二是平移多少个单位是对x 而言的，不用忘记乘以系数．（7）【2016年全国Ⅰ，文7，5分】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条 相互垂直的半径．若该几何体的体积是283π，则它的表面积是（ ） （A ）17π（B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A 【解析】该几何体为球体，从球心挖掉整个球的18（如右图所示），故34728383r ππ=，解得2r =， 2271431784S r r πππ∴=⋅+⋅=，故选A ． 【点评】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力，所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容，高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇．由三视图还原出原几何体，是解决此类问题的关键．（8）【2016年全国Ⅰ，文8，5分】若0a b >>，01c <<，则（ ） （A ）log log a b c c < （B ）log log c c a b < （C ）c c a b < （D ）a b c c >【答案】B【解析】由01c <<可知log c y x =是减函数，又0a b >>，所以log log c c a b <．故选B ．本题也可以用特殊值代入验证，故选B ．【点评】比较幂或对数值的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数单调性进行比较，若底数不同，可考虑利用中间量进行比较．（9）【2016年全国Ⅰ，文9，5分】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（ ） （A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D【解析】解法一（排除法）：2()2x f x x e =- 为偶函数，且2(2)887.40.6f e =-≈-=，故选D ． 解法二：2()2xf x x e =- 为偶函数，当0x >时，'()4x f x x e =-，作4y x =与x y e =（如 图），故存在实数0(0,1)x ∈，使得'0()0f x =，且0(0,)x x ∈时，'0()0f x <，0(,2)x x ∈时，'0()0f x >，()f x ∴在0(0,)x 上递减，在0(,2)x 上递增，故选D ．【点评】函数中的识图题多次出现在高考试题中，也可以说是高考的热点问题，这类题目一般比较灵活，对解题能力要求较高，故也是高考中的难点，解决这类问题的方法一般是利用间接法，即由函数性质排除不符合条件的选项．（10）【2016年全国Ⅰ，文10，5分】执行右面的程序框图，如果输入的0,1,1x y n ===，则输出,x y 的值满足（ ）（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =【答案】C【解析】第一次循环：0,1,2x y n ===，第二次循环：1,2,32x y n ===，第三次循环： 3,6,32x y n ===，此时满足条件2236x y +≥，循环结束，3,62x y ==，满足 4y x =，故选C ．【点评】程序框图基本是高考每年必考知识点，一般以客观题形式出现，难度不大，求解此类问题一般是把人看作计算机，按照程序逐步列出运行结果．（11）【2016年全国Ⅰ，文11，5分】平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，11//CB D α平面，ABCD m α= 平面，11ABB A n α= 平面，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）（A （B （C （D ）13 【答案】A【解析】如图，设平面11CB D 平面ABCD m '=，平面11CB D 11ABB A n '=，因为α∥平面11CB D ，所以m m '∥，n n '∥，则,m n 所成的角．延长AD ，过1D 作11D E B C ∥，连接CE ，11B D ，则CE 为m '，同理11B F 为n '，而BD CE ∥，111B F A B ∥，则,m n ''所成的角即为1A B ，BD所成的角即为60︒，故,m n 故选A ． 【点评】求解本题的关键是作出异面直线所成角，求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形，解形求角、得钝求补．（12）【2016年全国Ⅰ，文12，5分】若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1- （B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【答案】C【解析】()21cos2cos 03f x x a x '=-+≥对x ∈R 恒成立，故()2212cos 1cos 03x a x --+≥，245cos cos 033a x x -+≥恒成立，即245033at t -+≥对[]1,1t ∈-恒成立，构造()24533f t at t =-+，开口向下的二次函数()f t 的最小值的可能值为端点值，故只需保证()()11031103f t f t ⎧-=-≥⎪⎪⎨⎪-=+≥⎪⎩，解得1133t -≤≤，故选C ． 【点评】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查，有所创新，求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立，再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题，注意与三角函数值域或最值有关的问题，要注意弦函数的有界性． 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2016年全国Ⅰ，文13，5分】设向量(),1x x =+a ，()1,2=b ，且⊥a b ，则x = ．【答案】23-【解析】由题意，20,2(1)0,3x x x ⋅=++=∴=-a b ． 【点评】全国卷中向量大多以客观题形式出现，属于基础题．解决此类问题既要准确记忆公式，又要注意运算的准确性．本题所用到的主要公式是：若()()1122,,,x y x y ==a b ，则1122x y x y ⋅=+a b ．（14）【2016年全国Ⅰ，文14，5分】已知θ是第四象限角，且3sin 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ． 【答案】43- 【解析】由题意sin sin 442θθπ⎡ππ⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3cos 45θπ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因为2222k k θ3ππ+<<π+π()k ∈Z ，所以722444k k θ5ππππ+<-<π+()k ∈Z ，从而4sin 45θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因此4tan 43θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．故填43-． 【点评】三角函数求值，若涉及到开方运算，要注意根式前正负号的取舍，同时要注意角的灵活变换．（15）【2016年全国Ⅰ，文15，5分】设直线2y x a =+与圆22220C x y ay +--=：相交于A ，B 两点，若AB =，则圆C 的面积为 ．【答案】4π【解析】有题意直线即为20x y a -+=，圆的标准方程为()2222x y a a +-=+，所以圆心到直线的距离d =，所以AB ==2224a r +==，所以244S r ππ==． 【点评】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质，如圆的半径r 、弦长l 、圆心到弦的距离d 之间的关系：2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在求圆的方程时常常用到． （16）【2016年全国Ⅰ，文16，5分】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元．【答案】216000【解析】设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件，利润之和为z 元， 那么 1.50.5150,0.390,53600,0,0.x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩①目标函数2100900z x y =+．①等价于3300,103900,53600,0,0.x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ ②作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图），即可行域将2100900z x y =+变形得73900z y x =-+，平行直线73y x =-，当直线73900z y x =-+经过点M 时，z取得最大值．解方程组10390053600x y x y +=⎧⎨+=⎩，得M 的坐标()60,100．所以当60x =，100y =时，max 210060900100216000z =⨯+⨯=．故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元．【点评】线性规划也是高考中常考的知识点，一般以客观题形式出现，基本题型是给出约束条件求目标函数的最值，常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离，解决此类问题常利用数形结合．本题运算量较大，失分的一个主要原因是运算失误．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2016年全国Ⅰ，文17，12分】已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b满足11b =，213b =，11n n n n a b b nb +++=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n b 的前n 项和．解：（1）由已知1221a b b b +=，11b =，213b =，得12a =，所以数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为31n a n =-．（2）由（1）和11n n n n a b b nb +++= ，得13n n b b +=，因此{}n b 是首项为1，公比为13的等比数列．记{}n b 的前n 项和为n S ，则111()313122313nn n S --==-⨯-． 【点评】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组），因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法．（18）【2016年全国Ⅰ，文18，12分】如图，在已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形，6PA =，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G ． （1）证明G 是AB 的中点；（2）在题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积． 解：（1）因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以.AB PD ⊥因为D 在平面PAB 内的正 投影为E ，所以.AB DE ⊥所以AB ⊥平面PED ，故.AB PG ⊥又由已知可得， PA PB =，从而G 是AB 的中点． （2）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影．理由如下：由已知可得PB PA ⊥，PB PC ⊥，又//EF PB ，所以EF PC ⊥，因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影．连接CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心．由（1）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2.3CD CG =由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ， 所以//DE PC ，因此21,.33PE PG DE PC ==由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2,DE PE == 在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.EF PF ==所以四面体PDEF 的体积114222323V =⨯⨯⨯⨯=． 【点评】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算，空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系，其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理，要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面，该类题目难度不大，以中档题为主．（19）【2016年全国Ⅰ，文19，12分】某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数．（1）若19n =，求y 与x 的函数解析式；（2）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求的n 的最小值；（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买PA B D C GE19个还是20个易损零件？解：（1）当19x ≤时，3800y =；当19x >时，()3800500195005700y x x =+-=-，所以y 与x 的函数解析式为()3800,195005700,19x y x x x ≤⎧=∈⎨->⎩Ν． （2）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的概率为0.46，不大于19的概率为0.7，故n 的最小值为19．（3）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(400090450010)4050100⨯+⨯=．比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件． 【点评】本题把统计与函数结合在一起进行考查，有综合性但难度不大，求解关键是读懂题意，所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题．（20）【2016年全国Ⅰ，文20，12分】在直角坐标系xOy 中，直线():0l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2:2(0)C y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．（1）求OH ON； （2）除H 以外，直线M H 与C 是否有其它公共点？说明理由．解：（1）由已知得()0,M t ，2,2t P t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭．又N 为M 关于点P 的对称点，故2,t N t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，ON 的方程为2y px =，整理得2220px t x -=，解得10x =，222t x p =，因此22,2t H t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭．所以N 为OH 的中点，即2OH ON =． （2）直线M H 与C 除H 以外没有其它公共点．理由如下：直线M H 的方程为2p y t x t-=，即2()t x y t p =-． 代入22y px =得22440y ty t -+=，解得122y y t ==，即直线M H 与C 只有一个公共点，所以除H 以外 直线M H 与C 没有其它公共点．【点评】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系，直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容，主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题．其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线，解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用．（21）【2016年全国Ⅰ，文21，12分】已知函数()()()22e 1x f x x a x =-+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．解：（1）()()()()()'12112x x f x x e a x x e a =-+-=-+．(i) 设0a ≥，则当(),1x ∈-∞时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >．所以在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增．(ii) 设0a <，由()'0f x =得1x =或()ln 2x a =-． ①若2e a =-，则()()()'1xf x x e e =--，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增． ②若2e a >-，则()ln 21a -<，故当()()(),ln 21,x a ∈-∞-+∞ 时，()'0f x >；当()()ln 2,1x a ∈-时， ()'0f x <，所以()f x 在()()(),ln 2,1,a -∞-+∞单调递增，在()()ln 2,1a -单调递减． ③若2e a <-，则()ln 21a ->，故当()()(),1ln 2,x a ∈-∞-+∞ 时，()'0f x >，当()()1,ln 2x a ∈-时， ()'0f x <，所以()f x 在()()(),1,ln 2,a -∞-+∞单调递增，在()()1,ln 2a -单调递减．（2）(i) 设0a >，则由（1）知，()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增．又()1f e =-，()2f a =，取b 满足0b <且ln 22b a <，则()()()23321022a f b b a b a b b ⎛⎫>-+-=-> ⎪⎝⎭，所以()f x 有两个零点． (ii)设0a =，则()()2x f x x e =-，所以()f x 有一个零点．(iii)设0a <，若2e a ≥-，则由（1）知，()f x 在()1,+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，故()f x 不 存在两个零点；若2e a <-，则由（1）知，()f x 在()()1,ln 2a -单调递增，在()()ln 2,a -+∞单调递增．又 当1x ≤时，()0f x <，故()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为()0,+∞．【点评】本题第一问是用导数研究函数单调性，对含有参数的函数单调性的确定，通常要根据参数进行分类讨论，要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围，由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识，越来越受到高考命题者的青睐，解决此类问题的思路是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性或极值破解．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（22）【2016年全国Ⅰ，文22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，OAB ∆是等腰三角形，120AOB ∠=︒．以O 为圆心，12OA 为半径作圆． （1）证明：直线AB 与O 相切；（2）点C ，D 在⊙O 上，且A B C D ，，，四点共圆，证明：//AB CD ．解：（1）设E 是AB 的中点，连接OE ，因为OA OB =，120AOB ∠=︒，所以OE AB ⊥，60AOE ∠=︒．在Rt AOE ∆中，12OE AO =，即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半 径，所以直线AB 与O e 相切． （2）因为2OA OD =，所以O 不是,,,A B C D 四点所在圆的圆心，设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心，作直线'OO ．由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上，又'O 在线段AB 的垂直平分线上，所以'OO AB ⊥．同理可证，'OO CD ⊥．所以//AB CD ．【点评】近几年几何证明题多以圆为载体命制，在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”，熟悉相关定理与性质．该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理．（23）【2016年全国Ⅰ，文23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ=． （1）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（2）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．解：（1）cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 均为参数），∴()2221x y a +-= ① ∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为 222210x y y a +-+-=∵222sin x y y ρρθ+==，，∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程．（2）24cos C ρθ=：，两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+= ，，224x y x ∴+=，即()2224x y -+= ② 3C ：化为普通方程为2y x =，由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C①-②得：24210x y a -+-=，即为3C ，∴210a -=，∴1a =．【点评】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想，解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用．（24）【2016年全国Ⅰ，文24】（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）已知函数()123f x x x =+--．（1）在答题卡题图中画出()y f x =的图像；O D C B A E O'D C O BA（2）求不等式()1f x >的解集．解：（1）4,13()12332,1234,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=--≤<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩，如图所示： （2）①当1x <-时，()41f x x =->，解得3x <或5x >，1x ∴<-； ②当312x -≤<时，()321f x x =->，解得13x <或1x >， 113x ∴-≤<或312x <<； ③当32x ≥时，()41f x x =-+>，解得3x <或5x >，332x ∴≤<或5x >． 综上可知，不等式()1f x >的解集为()()1,1,35,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ． 【点评】不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题，主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等．解决此类问题通常转换为分段函数求解，注意不等式的解集一定要写出集合形式．。
2016年高考数学文科考试试题
2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题（1）已知集合{}3,2,1=A ,{}9|2≤=x x B ，则=B A （Ａ）{}3,2,1,0,1,2-- （Ｂ）{}2,1,0,1,2-- （Ｃ）{}3,2,1 （Ｄ）{}2,1 （2）设复数z 满足i i z -=+3，则=z（Ａ）i 21+- （Ｂ）i 21- （Ｃ）i 23+ （Ｄ）i 23- （3）函数)sin(ϕω+=x A y 的部分图像如图所示，则（Ａ）)62sin(2π-=x y （Ｂ）)32sin(2π-=x y （Ｃ）)62sin(2π+=x y （Ｄ）)32sin(2π+=x y（4）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 （Ａ）π12 （Ｂ）332π（Ｃ）π8 （Ｄ）π4 （5）设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，曲线xky =)0(>k 与C 交于点P ，x PF ⊥轴，则=k （Ａ）21 （Ｂ）1 （Ｃ）23（Ｄ）2 （6）圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a（Ａ）34-（Ｂ）43- （Ｃ）3 （Ｄ）2 （7）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图则该几何体的表面积为 （Ａ）π20（Ｂ）π24（Ｃ）π28（Ｄ）π32（8）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 （Ａ）107 （Ｂ）85 （Ｃ）83 （Ｄ）103 （9）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2=x ，2=n ，依次输入的a 为2，2，5，则输出的=s （Ａ）7（Ｂ）12（Ｃ）17（Ｄ）34（10）下列函数中，其定义域和值域分别与函数xy lg 10=的定义域和值域相同的是（Ａ）x y = （Ｂ）x y lg = （Ｃ）xy 2= （Ｄ）xy 1=（11）函数)2cos(62cos )(x x x f -+=π的最大值为（Ａ）4 （Ｂ）5 （Ｃ）6 （Ｄ）7（12）已知函数)(x f )(R x ∈满足)2()(x f x f -=，若函数322--=x x y 与)(x f y =图像的交点为),(11y x ，),(22y x ，．．．，),(m m y x ，则=∑=mi ix1（Ａ）0 （Ｂ）m （Ｃ）m 2 （Ｄ）m 4二、填空题（13）已知向量a )4,(m =，b=)2,3(，且a ∥b ，则=m ．（14）若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≥+-,03,03,01x y x y x 则y x z 2-=的最小值为 ．（15）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若54cos =A ，135cos =C ， 1=a ，则=b ．（16）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲 看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡 片上的数字是 ． 三、解答题（17）(本小题满分12分)等差数列{}n a 中，443=+a a ，675=+a a ． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设[]n n a b =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]26.2=．（18）(本小题满分12分)某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的名续保人在一年内的出险情况，得到如下的统计表：（Ⅰ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求)(A P 的估计值； （Ⅱ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”．求)(B P 的估计值； （Ⅲ）求续保人本年度平均保费的估计值．（19）(本小题满分12分)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，CF AE =，EF 交BD 于点H ．将△DEF 沿EF 折到△EF D /的位置．（Ⅰ）证明：/HD AC ⊥（Ⅱ）若5=AB ，6=AC ，45=AE ，22/=OD ，求五棱锥ABCFE D -/的体积．（20）(本小题满分12分)已知函数)1(ln )1()(--+=x a x x x f ．（Ⅰ）当4=a 时，求曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程．（Ⅱ）若当),1(+∞∈x 时，0)(>x f ，求a 的取值范围． （21）(本小题满分12分)已知A 是椭圆134:22=+y x E 的左顶点，斜率为k )0(>k 的直线E 于A ，M 两点，点N 在E 上，NA MA ⊥．（Ⅰ）当AN AM =时，求△AMN 的面积．（Ⅱ）当AN AM =2时，证明：23<<k ． （22）(本小题满分10分) （23）(本小题满分10分)在直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为25)6(22=++y x ．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是⎩⎨⎧==,sin ,cos ααt y t x （t 为参数），l 与C 交于A ,B 两点，10=AB ，求l 的斜率．（24）(本小题满分10分)。
2016届高考文科数学考点专题复习测试27
专题二三角函数与平面向量真题体验·引领卷一、选择题1．(2015·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32B.32 C ．－12D.122．(2014·全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( ) A ．sin α>0 B ．cos α>0 C ．sin 2α>0 D ．cos 2α>03．(2015·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →4．(2014·江西高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A 的值为( )A ．－19B.13 C ．1 D.725．(2014·四川高考)平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．26．(2015·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 二、填空题7．(2015·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．8．(2015·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．9．(2015·浙江高考)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝__________，y 0＝________，|b |＝________.三、解答题10．(2015·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．11．(2015·天津高考)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．12．(2015·山东高考)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．专题二 三角函数与平面向量经典模拟·演练卷一、选择题1．(2015·德州模拟)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．52．(2015·吉林实验中学三模)已知向量a ＝(sin θ，－2)，b ＝(1，cos θ)，且a ⊥b ，则sin 2θ＋cos 2θ的值为( ) A ．1 B ．2 C.12D ．33．(2015·宁波三模)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(x ∈R )图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f (x )的最小正周期为( )A.3π5B.6π5 C.9π5D.12π54．(2015·河北质检)已知函数f (x )＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，下列关于y ＝g (x )的说法正确的是( )A ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0中心对称B ．图象关于x ＝－π6轴对称C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，－π6上单调递增D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减5．(2015·南昌调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B.932C.332D ．336．(2015·湖州模拟)已知偶函数f (x )，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时f (x )＝x sin x ，设a ＝f (cos 1)，b ＝f (cos 2)，c ＝f (cos 3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．c >a >b C ．c >b >a D ．a >c >b 二、填空题7．(2015·杭州高级中学模拟)将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的图象向右平移π3ω个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增函数，则ω的最大值为________．8．(2015·德州模拟)已知向量AB →与AC →的夹角为60°，且|AB →|＝|AC →|＝2，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．9．(2015·嘉兴一中模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ac ＝b 2－a 2，A＝π6，则B ＝________． 三、解答题10．(2015·武汉模拟改编)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．11．(2015·舟山中学调研)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且 3a cos A ＝c cos B ＋b cos C . (1)求cos A 的值；(2)若a ＝23，cos B ＋cos C ＝233，求边c .12．(2015·杭州学军中学模拟)已知函数f (x )＝3sin ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋ωx －cos 2ωx －12(ω>0)，其图象两相邻对称轴间的距离为π2. (1)求ω的值及f (x )的单调增区间；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝7，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(3，sin B )共线，求a ，b 的值．专题二 三角函数与平面向量专题过关·提升卷 第Ⅰ卷(选择题)一、选择题1．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，EB →＋FC →＝( ) A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →2．已知向量a ＝(2，1)，b －a ＝(－3，k 2－3)，则k ＝2是a ⊥b 的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．已知|a |＝4，|b |＝1，且〈a ，b 〉＝23π，当|a ＋x b |取得最小值时，则实数x 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－24．已知sin α－cos α＝32，则2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝( )A.34B.54 C ．－34D ．－545．(2015·山东高考)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( ) A ．－32a 2 B ．－34a 2 C.34a 2D.32a 26．(2015·慈溪中学模拟)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的取值范围是( )A ．[4，6]B ．[19－1，19＋1]C ．[23，27]D ．[7－1，7＋1]7．(2015·四川高考)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( ) A ．20 B ．15 C ．9 D ．68．若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( ) A.2－1 B ．1 C.2D ．2第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题9．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝33，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝________．10．已知函数f (x )＝2cos(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，且f (0)＝1，f ′(0)>0，将函数f (x )的图象向右平移π3个单位，得函数y ＝g (x )的图象，则函数g (x )在[0，π]上的最小值是________．11.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2，AD ＝DC ＝1，P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC 上一动点，DQ →＝λDC →，CP →＝(1－λ)CB →，则AP →·AQ →的取值范围是________．12．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________．13．(2015·南京模拟)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．14．(2015·义乌中学二模)已知G 为△ABC 的重心，令AB →＝a ，AC →＝b ，过点G 的直线分别交AB 、AC 于P 、Q 两点，且AP →＝m a ，AQ →＝n b ，则1m ＋1n ＝________．15．(2015·湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北测一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m. 三、解答题16．(2015·北京高考)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．17．(2015·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)若m ⊥n, 求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．18．(2015·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值．19.如图，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝22，点M 在线段PQ 上． (1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．20．(2015·瑞安中学调研)已知m ＝(3sin(2π－x )，cos x )，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－x ，cos （π＋x ），f (x )＝m·n .(1)求y ＝f (x )的单调递增区间和对称中心；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若有f (B )＝12，b ＝7，sin A ＋sin C ＝13314，求△ABC 的面积．专题二 三角函数与平面向量真题体验·引领卷1．D[原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.]2．C[因为tan α＝sin αcos α>0，所以⎩⎨⎧sin α>0，cos α>0或⎩⎨⎧sin α<0，cos α<0，sin 2α＝2sin αcos α>0.故选C.]3．A[∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.]4．D[由正弦定理得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2b 2－a 2a 2，由已知得b a ＝32，代入上式得结果为2×94－1＝72.] 5．D[由于a ＝(1，2)，b ＝(4，2)， 所以c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)， 又由于c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以cos 〈a ，c 〉＝cos 〈b ，c 〉，也就是a ·c |a ||c |＝b ·c |b ||c |，则（m ＋4）＋2（2m ＋2）5＝4（m ＋4）＋2（2m ＋2）20，解得m ＝2.]6．D[由函数的图象知T 2＝54－14＝1，∴T ＝2， 因此x A ＝14－12＝－14，x B ＝14＋12＝34.所以f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .] 7．8[∵cos A ＝－14，0<A <π，∴sin A ＝154， S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315， ∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得， a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，∴a ＝8.]8．(6－2，6＋2) [如图，作△PBC ，使∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，作直线AD 分别交线段PB 、PC 于A 、D 两点(不与端点重合)，且使∠BAD ＝75°，则四边形ABCD 就是符合题意的四边形．过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ，在△PBC 中，∠APC ＝30°，由正弦定理，BC sin 30°＝BPsin 75°，则BP ＝6＋ 2.在△QBC 中，∠QCB ＝30°，∠BQC ＝75°，由正弦定理，BQ sin 30°＝BC sin 75°，则BQ ＝46＋2＝6－ 2.所以AB 的取值范围为(6－2，6＋2)．]9．1 2 22 [∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12，∴〈e 1，e 2〉＝π3.不妨设e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，e 2＝(1，0，0)，b ＝(m ，n ，t )．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b ·e 1＝12m ＋32n ＝2，b ·e 2＝m ＝52，解得n ＝32，m ＝52，∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，t .∵b －(x e 1＋y e 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12x －y ，32－32x ，t ，∴|b －(x e 1＋y e 2)|2＝⎝⎛⎭⎪⎫52－x 2－y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32x 2＋t 2＝x 2＋xy ＋y 2－4x －5y ＋t 2＋7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2.由题意知，当x ＝x 0＝1，y ＝y 0＝2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2取到最小值．此时t 2＝1，故|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋t 2＝2 2.] 10．解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ， S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6， 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.11．解 (1)f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π32 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 12．解 (1)f (x )＝12sin 2x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12sin 2x －12＋12sin 2x ＝sin 2x －12.由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z . 由2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立．因此12bc sin A ≤2＋34. 所以△ABC 面积的最大值为2＋34.经典模拟·演练卷1．A[∵|a ＋b |＝10，|a －b |＝6， ∴a 2＋b 2＋2a ·b ＝10，a 2＋b 2－2a ·b ＝6，两式相减得：4a ·b ＝4，∴a ·b ＝1，故选A.]2．A[由a ⊥b ，知a ·b ＝0，∴sin θ－2cos θ＝0，则tan θ＝2. 故sin 2θ＋cos 2θ＝2sin θcos θ＋cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θ＋1tan 2θ＋1＝1.]3．B[∵f (x )的图象关于直线x ＝π对称，∴ωπ－π6＝k π＋π2，则ω＝k ＋23，k ∈Z . 又1<ω<2，因此取k ＝1，则ω＝53， 所以f (x )的最小正周期T ＝2πω＝6π5.]4．C[依题意，y ＝g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 令2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，A 不满足，A 错误，当x ＝－π6时，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝sin 0＝0，则图象不关于x ＝－π6对称，B 错．当－5π12≤x ≤－π6时，－π2≤2x ＋π3≤0，因此C 正确．] 5．C[由c 2＝(a －b )2＋6得c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6. 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，∴ab ＝6，∴S ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.]6．B[当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0. ∴f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，由f (x )为偶函数，得y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上是减函数．∵cos 1＝－cos(π－1)，则f (cos 1)＝f []cos （π－1） 又y ＝cos x 在区间[]0，π上是减函数，且3>π－1>2， 则－1<cos 3<cos(π－1)<cos 2<0，所以f (cos 3)>f [cos(π－1)]>f (cos 2)，即c >a >b .]7．2[依题意g (x )＝2sin ωx ，∵y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上为增函数，∴0≤ωx ≤πω4≤π2，则ω≤2，故ω的最大值为2.]8．1[由BC →＝AC →－AB →且AP →⊥BC →，AP →＝λAB →＋AC →，∴AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0.因此AC →2－λAB →2＋(λ－1)AB →·AC →＝0，(*)又〈AB →，AC →〉＝60°，|AB →|＝|AC →|＝2.故(*)式化为4－4λ＋(λ－1)×2×2cos 60°＝0，解之得λ＝1.] 9.π3[由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . ∴a 2－b 2＝c 2－3bc .又ac ＝b 2－a 2， ∴3bc ＝ac ＋c 2，即a ＝3b －c . 由正弦定理，得sin A ＝3sin B －sin C 又sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－B ＝12cos B ＋32sin B从而12＝3sin B －12cos B －32sin B ＝32sin B －12cos B . ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6＝12，在△ABC 中，B －π6＝π6，则B ＝π3.]10．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，根据图象变换，得 g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6.因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z .令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，令k π2＋π12－θ＝5π12，得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6. 11．解 (1)由正弦定理及3a cos A ＝c cos B ＋b cos C 得3sin A cos A ＝sin C cos B ＋sin B cos C ＝sin(B ＋C ) ∵B ＋C ＝π－A ，∴3sin A cos A ＝sin A .又sin A >0，从而cos A ＝13.(2)∵A ∈(0，π)，cos A ＝13，∴sin A ＝223，又∵cos B ＋cos C ＝233，∴cos[π－(A ＋C )]＋cos C ＝233， 整理得cos C ＋2sin C ＝3，① 又sin 2C ＋cos 2C ＝1，②由①，②联立，得sin C ＝63，由a sin A ＝c sin C ，得c ＝a sin Csin A ＝23·63232＝3.12．解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx －1＋cos 2ωx 2－12 ＝32sin 2ωx －12cos 2ωx －1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－1.因为函数图象两相邻对称轴间的距离为π2. ∴f (x )的最小正周期T ＝π，又T ＝2π2ω，∴ω＝1，从而f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1， 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .(2)由(1)知：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1，因为0<C <π，所以－π6<2C －π6<116π， 所以2C －π6＝π2，即C ＝π3， 由已知m ∥n 可得sin B －3sin A ＝0， 在△ABC 中，由正弦定理得b －3a ＝0，①由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，又已知c ＝7， 所以7＝a 2＋b 2－ab ，② 由①②联立，解得a ＝1，b ＝3.专题过关·提升卷1．A[EB →＋FC →＝－(BE →＋CF →)＝－(12BA →＋12BC →＋12CA →＋12CB →)＝－(12BA →＋12CA →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →，故选A.]2．A[由a ＝(2，1)，b －a ＝(－3，k 2－3)，得b ＝(－1，k 2－2)． 又a ⊥b ⇔a ·b ＝－2＋k 2－2＝0，∴k ＝±2，故“k ＝2”是“a ⊥b ”的充分不必要条件．] 3．C[∵|a |＝4，|b |＝1，〈a ，b 〉＝23π， ∴a 2＝16，b 2＝1，a ·b ＝|a ||b |·cos23π＝－2.则|a ＋x b |2＝a 2＋x 2b 2＋2x a ·b ＝16＋x 2－4x ＝(x －2)2＋12≥12 当且仅当x ＝2时，|a ＋x b |2有最小值． ∴x ＝2时，|a ＋x b |取得最小值．]4．B[由sin α－cos α＝32，得1－sin 2α＝34，∴sin 2α＝14， 因此2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝1＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1＋sin 2α＝54.] 5.D[如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD→||CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.]6．D[由|CD →|＝1知，点D 是以C 为圆心，1为半径的圆上的动点，设D (x ，y )，则(x －3)2＋y 2＝1.|OA →＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2表示点D 到点P (1，－3)的距离，又|PC →|＝（3－1）2＋（0＋3）2＝7，因此7－1≤|PD →|≤7＋1，故选D.]7．C[AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →) ＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9.]8．B[法一由题意知a 2＝b 2＝c 2＝1， 又a ·b ＝0，∵(a －c )·(b －c )＝a ·b －a ·c －b ·c ＋c 2≤0， ∴a ·c ＋b ·c ≥c 2＝1，∴|a ＋b －c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝3－2(a ·c ＋b ·c )≤1， ∴|a ＋b －c |≤1.法二设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(x ，y )，则x 2＋y 2＝1，a －c ＝(1－x ，－y )，b －c ＝(－x ，1－y )， 则(a －c )·(b －c )＝(1－x )(－x )＋(－y )(1－y ) ＝x 2＋y 2－x －y ＝1－x －y ≤0，即x ＋y ≥1. 又a ＋b －c ＝(1－x ，1－y )，∴|a ＋b －c |＝（1－x ）2＋（1－y ）2＝（x －1）2＋（y －1）2＝3－2（x ＋y ）≤1.] 9.32－36[由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝33，得 sin θcos π3＋cos θsin π3＋sin θcos π3－cos θsin π3＝33.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos θ＝1－sin 2θ＝63. 因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝cos θcos π6－sin θsin π6＝32－36.] 10．－1 [由f (x )＝2cos(x ＋φ)，得f ′(x )＝－2sin(x ＋φ)． ∴f (0)＝2cos φ＝1，且f ′(0)＝－2sin φ>0， 因此cos φ＝12，且sin φ<0，所以φ＝2k π－π3，k ∈Z ，又|φ|<π2，则φ＝－π3， f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，根据图象平移变换，知g (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23π.又0≤x ≤π，知－2π3≤x －2π3≤π3.∴g (x )的最小值为2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.]11．[0，2] [建立如图所示的直角坐标系，则D (0，1)，C (1，1)，设Q (m ，n )，由DQ →＝λDC →得，(m ，n －1)＝λ(1，0)，即m ＝λ，n ＝1，又B (2，0)，设P (s ，t )，由CP →＝(1－λ)CB →得，(s －1，t －1)＝(1－λ)(1，－1)，即s ＝2－λ，t ＝λ，所以AP →·AQ →＝λ(2－λ)＋λ＝－λ2＋3λ，λ∈[0，1]，AP →·AQ→∈[0，2]．]12．2[法一 AE →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB → ·()AD →－AB → ＝AD →2－12AB →2＋0＝22－12×22＝2. 法二 以A 为原点建立平面直角坐标系(如图)．则A (0，0)，B (2，0)，C (2，2)，D (0，2)，E (1，2)．∴AE →＝(1，2)，BD →＝(－2，2)．从而AE →·BD →＝1×(－2)＋2×2＝2.]13.π6[根据题意，将x ＝π3代入可得cos π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝12，∴23π＋φ＝2k π＋π6或23π＋φ＝2k π＋56π，k ∈Z .又∵φ∈[0，π)，∴φ＝π6.]14．3[由G 为重心，得AG →＝23×12(a ＋b )＝13(a ＋b )．∴PG →＝AG →－AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋b 3，GQ →＝AQ →－AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b －13a ，又P 、G 、Q 三点共线，∴13－m －13＝13n －13，即m ＋n ＝3mn .因此1m ＋1n ＝3.]15．1006[如图所示，在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°. 由正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝ABsin ∠ACB ，∴BC ＝600×sin 30°sin 45°＝300 2.在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°，∴CD ＝BC ·tan ∠CBD ＝3002·tan 30°＝100 6.] 16．解 (1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.17．解 (1)因为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n .所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0，所以sin x ＝cos x ， 所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12， 即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4. 因此x －π4＝π6，故x ＝5π12.18．解 (1)由A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C . 所以－cos 2B ＝sin 2C .又由A ＝π4，得B ＋C ＝34π.∴2B ＝32π－2C ，则cos 2B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－2C ＝－sin 2C .从而sin 2C ＝sin 2C ，即2sin C cos C ＝sin 2C . 又sin C ≠0，故tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)得sin C ＝255，cos C ＝55， 又因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010，由正弦定理，c ＝b sin C sin B ＝223b .① 又S △ABC ＝12bc sin A ＝3，A ＝π4， 所以bc ＝62，② 联立①，②可求b ＝3.19．解 (1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝22， 由余弦定理得，OM 2＝OP 2＋MP 2－2×OP ×MP ×cos 45°， 得MP 2－4MP ＋3＝0， 解得MP ＝1或MP ＝3.(2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°，在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin ∠OPM ＝OPsin ∠OMP，所以OM ＝OP sin 45°sin （45°＋α）， 同理ON ＝OP sin 45°sin （75°＋α）. 故S △OMN ＝12×OM ×ON ×sin ∠MON＝14×OP 2sin 245°sin （45°＋α）sin （75°＋α）＝1sin （45°＋α）sin （45°＋α＋30°） ＝1sin （45°＋α）[32sin （45°＋α）＋12cos （45°＋α）]＝132sin 2（45°＋α）＋12sin （45°＋α）cos （45°＋α2）＝134[1－cos （90°＋2α）]＋14sin （90°＋2α）＝134＋34sin 2α＋14cos 2α＝134＋12sin （2α＋30°）. 因为0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)的最大值为1，此时△OMN 的面积取到最小值，即∠POM ＝30°时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.20．解 (1)f (x )＝m ·n ＝3sin(2π－x )·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－x ＋cos x ·cos(π＋x )＝3sin x cos x －cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x －12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z .得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，∴函数y ＝f (x )的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z ，令2x －π6＝k π，得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，∴函数y ＝f (x )的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π12，－12，k ∈Z .(2)由f (B )＝12，得f (B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6－12＝12，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＝1，又0<B <π，∴－π6<2B －π6<11π6，则2B －π6＝π2，所以B ＝π3.由正弦定理得：sin A ＋sin C ＝a ＋c b sin B ， 即13314＝a ＋c 7×32，所以a ＋c ＝13.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得：b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ， 则49＝169－3ac ，∴ac ＝40.所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×40×32＝10 3.薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。
高三数学文科答案2016年1月
2015学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷数学学科（文科）参考答案及评分标准2016.1一． 填空题：(本题满分56分，每小题4分) １．x y 82= ２．2x = 3．12 4．()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 5．()4x y x R -=-∈ 6．04a << 7．16 8．1 9．]3,0(π10．23π 11．28 12．9 13．1414．2- 二．选择题：（本题满分20分，每小题5分）15．A 16．Ｄ 17．A 18．Ｃ三． 解答题：（本大题共5题，满分74分） 19．（本题满分12分）解：因为,SA AB SA AC ⊥⊥，AB AC A ⋂=,所以SA ⊥平面ABC ,所以SA BC ⊥.又AC BC ⊥.所以BC ⊥平面SAC .故SC BC ⊥.--------6分在ABC ∆中，090,2,ACB AC BC ∠===所以AB =分又在SAB ∆中，,SA AB AB SB ⊥==,所以SA =.---10分又因为SA ⊥平面ABC ,所以11232S ABC V -⎛=⨯⨯⨯=⎝.----------12分 20．（本题满分14分；第（1）小题6分，第（2）小题8分） 解：（1）()21cos 41sin 2sin 2cos 2sin 422x f x x x x x -=-=-1sin 4242x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2T π=。
----6分（2） 由()14242f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令sin 404x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得()44x k k Z ππ+=∈，∴()416k x k Z ππ=-∈，----------------------10分 由()04162k k Z πππ≤-≤∈，得1k =或2k =，---------------------------12分 因此点A 的坐标为31,162π⎛⎫⎪⎝⎭或71,162π⎛⎫⎪⎝⎭。
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专题六 导 数专题过关·提升卷 第Ⅰ卷 (选择题)一、选择题1．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．32．函数y ＝12x 2－ln x 的单调减区间是( ) A ．(－1，1] B ．(0，1] C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)3．(2015·鲁迅中学模拟)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1，0)，(2，0)，如图所示，则下列说法中不正确的是( )A ．当x ＝32时函数取得极小值 B ．f (x )有两个极值点C ．当x ＝2时函数取得极小值D ．当x ＝1时函数取得极大值4．若0＜x 1＜x 2＜1，则( ) A ．e x 2－e x 1＞ln x 2－ln x 1 B ． e x 2－e x 1＜ln x 2－ln x 1 C ．x 2 e x 1＞x 1 e x 2D ．x 2 e x 1＜x 1 e x 2 5．当x ∈[－2，1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5，－3] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，－98 C ．[－6，－2]D ．[－4，－3]6．(2015·学军中学模拟)设函数f (x )＝x 22＋mx ，若函数f (x )的极值点x 0满足x 0f (x 0)－x 30>m 2，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B ．(－∞，0)∪(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(0，2)7．定义一种运算(a ，b )*(c ，d )＝ad －bc ，若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1*(cos x ，x 2)，设f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(x )的大致图象是( )8．(2015·镇海中学模拟)已知定义在R 上的函数g (x )的导函数为g ′(x )，满足g ′(x )－g (x )<0，若函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，且g (4)＝1，则不等式g （x ）e x >1的解集为( ) A ．(－2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，0)D ．(－∞，2) 第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题9．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )<0的解集为________．10．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 在区间[2，3]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．11．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0，1)内有极小值，则实数b 的取值范围是________．12．设P 为曲线C ：f (x )＝x 2－x ＋1上的点，曲线C 在点P 处的切线斜率的取值范围是[－1，3]，则点P 的纵坐标的取值范围是________．13．若函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x (a ≠0)存在单调递减区间，则实数a 的取值范围是______．14．(2015·湖南高考改编)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为________．(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)15．(2015·四川高考)已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设 m ＝f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2，n ＝g （x 1）－g （x 2）x 1－x 2，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)． 三、解答题16．(2015·台州中学模拟)已知f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．17．(2015·北京高考)设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0. (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．18．(2015·安徽高考)设函数f (x )＝x 2－ax ＋b .(1)讨论函数f (sin x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；(2)记f 0(x )＝x 2－a 0x ＋b 0，求函数|f (sin x )－f 0(sin x )|在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的最大值D ；(3)在(2)中，取a 0＝b 0＝0，求z ＝b －a 24满足D ≤1时的最大值．19．(2015·广东高考)设a >1，函数f (x )＝(1＋x 2)e x －a . (1)求f (x )的单调区间；(2)证明：f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点；(3)若曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M (m ，n )处的切线与直线OP 平行(O 是坐标原点)，证明：m ≤ 3a －2e －1.20．(2015·嘉兴一中三模)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )(a ∈R )，g (x )＝f ′(x )． (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线3x －y －1＝0平行，求实数a 的值； (2)若函数F (x )＝g (x )＋12x 2有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：f (x 2)<－1<f (x 1)．专题过关·提升卷1．D [∵f (x )＝ax －ln (x ＋1)，∴f ′(x )＝a －1x ＋1， ∴f (0)＝0且f ′(0)＝a －1＝2，解得a ＝3，故选D.] 2．B [y ′＝x －1x ，且x ＞0， 令y ′＝x －1x ≤0，解之得0＜x ≤1. ∴函数的单调减区间为(0，1]．]3．A [从图象上可以看出：当x ∈(0，1)时， f ′(x )>0；当x ∈(1，2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时函数取得极小值，当x ＝1时函数取得极大值．只有A 不正确．] 4．C [A ，B 中构造函数f (x )＝e x －ln x ， ∴f ′(x )＝e x －1x ，在(0，1)上有零点，故A ，B 错；C ，D 中令g (x )＝e xx ， ∴g ′(x )＝e x x －e x x 2＝e x （x －1）x 2＜0，∴g (x )在(0，1)单调递减， 又∵x 2＞x 1， ∴e x 1x 1＞e x 2x 2，故选C.]5．C [当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R .当x ∈(0，1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max. 设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝（2x －4）x 3－（x 2－4x －3）3x 2x 6＝－x 2－8x －9x 4＝－（x －9）（x ＋1）x 4＞0，∴φ(x )在(0，1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6. ∴a ≥－6.当x ∈[－2，0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3min. 仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－（x －9）（x ＋1）x 4.当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )＜0， 当x ∈(－1，0)时，φ′(x )＞0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值． 而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2， ∴a ≤－2.综上知－6≤a ≤－2.]6．C [由f (x )＝x 22＋m x ，得f ′(x )＝x －mx 2，又x 0是f (x )的极值点，∴f ′(x 0)＝0，解之得x 0＝3m ， 因此x 0f (x 0)－x 30＝x 32＋m －x 30＝m 2， 所以m 2>m 2，解之得0<m <12.]7．A [f (x )＝14x 2＋cos x ，则f ′(x )＝12x －sin x ， ∴f ′(x )为奇函数，排除选项B ，D.又[f ′(x )]′＝12－cos x ，令12－cos x ＝0，则x ＝2k π±π3，k ∈Z . 当0<x <π3时，[f ′(x )]′＝12－cos x <0.∴函数y ＝f ′(x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π3内是减函数，图象A 适合．]8．C [令F (x )＝g （x ）e x －1，则F ′(x )＝g ′（x ）e x －e x g （x ）（e x ）2＝[g ′(x )－g (x )]·1e x .∵g ′(x )－g (x )<0，∴F ′(x )<0，则函数F (x )在(－∞，＋∞)上是减函数． 又函数y ＝g (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴g (0)＝g (4)＝1，从而F (0)＝g （0）e 0－1＝0.故F (x )>0⎝⎛⎭⎪⎫即g （x ）e x >1的解集为(－∞，0)．] 9．(－∞，0)∪(12，2) [xf ′(x )<0⇒⎩⎨⎧x >0，f ′（x ）<0或⎩⎨⎧x <0，f ′（x ）>0.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2时，f (x )单调递减，此时f ′(x )<0.当x ∈(－∞，0)时，f (x )单调递增，此时f ′(x )>0.] 10．[－2，＋∞) [∵f (x )＝a ln x ＋x .∴f ′(x )＝ax ＋1.又∵f (x )在[2，3]上单调递增，∴ax ＋1≥0在x ∈[2，3]上恒成立， ∴a ≥(－x )max ＝－2，∴a ∈[－2，＋∞)．] 11.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [f ′(x )＝3x 2－6b ， 若f (x )在(0，1)内有极小值，只需f ′(0)·f ′(1)＜0， 即－6b ·(3－6b )＜0，解得0＜b ＜12.] 12.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3 [设P (x 0，y 0)，则f ′(x )＝2x －1. ∴－1≤2x 0－1≤3，即0≤x 0≤2. ∵y 0＝f (x 0)＝x 20－x 0＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0－122＋34，∵x 0∈[0，2]，∴34≤y 0≤3， 故点P 的纵坐标的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3.]13．(－1，0)∪(0，＋∞) [对函数f (x )求导，得f ′(x )＝－ax 2＋2x －1x (x >0)．依题意，得f ′(x )<0在(0，＋∞)上有解，即ax 2＋2x －1>0在(0，＋∞)上有解，∴Δ＝4＋4a >0且方程ax 2＋2x －1＝0至少有一个正根，∴a >－1，又∵a ≠0，∴－1<a <0或a >0.] 14.89π[该三视图对应的几何体为底面半径为1，高为2的圆锥．如图，设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，上、下底面中心分别为O 1，O 2，上方截得的小圆锥的高为h ，底面半径为r ，则a 2＋b 2＝4r 2.由三角形相似，得SO 1SO 2＝O 1AO 2B ，即h 2＝r1，则h ＝2r .长方体的体积为V ＝abc ＝ab (2－2r )≤a 2＋b 22×(2－2r )＝2r 2(2－2r )＝4r 2－4r 3(当且仅当a ＝b 时取等号，且0<r <1)．设y ＝4r 2－4r 3(0<r <1)，则y ′＝8r －12r 2.由y ′＝0，得r ＝0或r ＝23.由y ′>0，得0<r <23.由y ′<0，得23<r <1.故当r ＝23时，y max ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫232－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝1627，即V max ＝1627.∴原工件材料的利用率为162713π×12×2＝89π.] 15．①④ [设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 1，g (x 1))，D (x 2，g (x 2))，对于①从y ＝2x 的图象可看出，m ＝k AB ＞0恒成立，故正确；对于②直线CD 的斜率可为负，即n ＜0，故不正确； 对于③由m ＝n 得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)， 即f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)， 令h (x )＝f (x )－g (x )＝2x －x 2－ax ， 则h ′(x )＝2x ·ln 2－2x －a ，由h ′(x )＝0，得2x ·ln 2＝2x ＋a ，(*)结合图象知，当a 很小时，方程(*)无解，∴函数h (x )不一定有极值点，就不一定存在x 1，x 2使f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)，不一定存在x 1，x 2使得m ＝n ，故不正确； 对于④由m ＝－n ，得f (x 1)－f (x 2)＝g (x 2)－g (x 1)， 即f (x 1)＋g (x 1)＝f (x 2)＋g (x 2)，令F (x )＝f (x )＋g (x )＝2x ＋x 2＋ax ，则F ′(x )＝2x ln 2＋2x ＋a ，由F ′(x )＝0，得2x ln 2＝－2x －a ，结合如图所示图象可知，该方程有解，即F (x )必有极值点，∴存在x 1，x 2使F (x 1)＝F (x 2)，使m ＝－n ，故正确． 故①④正确．]16．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a . 若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减． 综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 取得最大值， 最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0，1)．17．(1)解 函数的定义域为(0，＋∞)．由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx .由f ′(x )＝0解得x ＝k (负值舍去)．f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：所以，f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k （1－ln k ）2.(2)证明 由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k （1－ln k ）2.因为f (x )存在零点，所以k （1－ln k ）2≤0，从而k ≥e ， 当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e)上单调递减，且f (e)＝0， 所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点．当k >e 时，f (x )在区间(0，e)上单调递减，且f (1)＝12>0，f (e)＝e －k 2<0， 所以f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点． 18．解 (1)f (sin x )＝sin 2 x －a sin x ＋b ＝sin x (sin x －a )＋b ，－π2<x <π2. [f (sin x )]′＝(2sin x －a )cos x ，－π2<x <π2. 因为－π2<x <π2，所以cos x >0，－2<2sin x <2. ①a ≤－2，b ∈R 时，函数f (sin x )单调递增，无极值． ②a ≥2，b ∈R 时，函数f (sin x )单调递减，无极值． ③对于－2<a <2，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内存在唯一的x 0，使得2sin x 0＝a .－π2<x ≤x 0时，函数f (sin x )单调递减； x 0≤x <π2时，函数f (sin x )单调递增；因此，－2<a <2，b ∈R 时，函数f (sin x )在x 0处有极小值，f (sin x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝b －a 24. (2)－π2≤x ≤π2时，|f (sin x )－f 0(sin x )|＝|(a 0－a )sin x ＋b －b 0|≤|a －a 0|＋|b －b 0|.当(a 0－a )(b －b 0)≥0时，取x ＝π2，等号成立．当(a 0－a )(b －b 0)<0时，取x ＝－π2，等号成立．由此可知，|f (sin x )－f 0(sin x )|在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的最大值为D ＝|a －a 0|＋|b －b 0|. (3)D ≤1即为|a |＋|b |≤1，此时0≤a 2≤1，－1≤b ≤1，从而z ＝b －a 24≤1.取a ＝0，b ＝1，则|a |＋|b |≤1，并且z ＝b －a 24＝1.由此可知，z ＝b －a 24满足条件D ≤1的最大值为1.19．(1)解 f ′(x )＝2x e x ＋(1＋x 2)e x ＝(x 2＋2x ＋1)e x＝(x ＋1)2e x ，∀x ∈R ，f ′(x )≥0恒成立．∴f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)．(2)证明 ∵f (0)＝1－a ，f (a )＝(1＋a 2)e a －a ，∵a >1，∴f (0)<0，f (a )>2a e a －a >2a －a ＝a >0，∴f (0)·f (a )<0，∴f (x )在(0，a )上有一零点，又∵f (x )在(－∞，＋∞)上递增，∴f (x )在(0，a )上仅有一个零点，∴f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．(3)证明 f ′(x )＝(x ＋1)2e x ，设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝e x 0(x 0＋1)2＝0，∴x 0＝－1，把x 0＝－1，代入y ＝f (x )得y 0＝2e －a ，∴k OP ＝a －2e .f ′(m )＝e m (m ＋1)2＝a －2e ， 令g (m )＝e m －(m ＋1)，g ′(m )＝e m －1.令g ′(x )>0，则m >0，∴g (m )在(0，＋∞)上增．令g ′(x )<0，则m <0，∴g (m )在(－∞，0)上减．∴g (m )min ＝g (0)＝0.∴e m －(m ＋1)≥0，即e m ≥m ＋1.∴e m (m ＋1)2≥(m ＋1)3，即a －2e≥(m ＋1)3. ∴m ＋1≤ 3a －2e ， 即m ≤ 3a －2e －1.20．(1)解 ∵f ′(x )＝ln x －ax ＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －a ＝ln x －2ax ＋1， ∴f ′(1)＝1－2a ，因为3x －y －1＝0的斜率为3.依题意，得1－2a ＝3，则a ＝－1.(2)证明 因为F (x )＝g (x )＋12x 2＝ln x －2ax ＋1＋12x 2，所以F ′(x )＝1x －2a ＋x ＝x 2－2ax ＋1x(x >0)， 函数F (x )＝g (x )＋12x 2有两个极值点x 1，x 2且x 1<x 2，即h (x )＝x 2－2ax ＋1在(0，＋∞)上有两个相异零点x 1，x 2.∵x 1x 2＝1>0，∴⎩⎨⎧Δ＝4a 2－4>0，x 1＋x 2＝2a >0，∴a >1. 当0<x <x 1或x >x 2时，h (x )>0，F ′(x )>0.当x 1<x <x 2时，h (x )<0，F ′(x )<0.所以F (x )在(0，x 1)与(x 2，＋∞)上是增函数，在区间(x 1，x 2)上是减函数． 因为h (1)＝2－2a <0，所以0<x 1<1<a <x 2，令x 2－2ax ＋1＝0，得a ＝x 2＋12x ， ∴f (x )＝x (ln x －ax )＝x ln x －12x 3－12x ，则f ′(x )＝ln x －32x 2＋12，设s (x )＝ln x －32x 2＋12，s ′(x )＝1x －3x ＝1－3x2x ，①当x >1时，s ′(x )<0，s (x )在(1，＋∞)上单调递减，从而函数s (x )在(a ，＋∞)上单调递减，∴s (x )<s (a )<s (1)＝－1<0，即f ′(x )<0，所以f (x )在区间(1，＋∞)上单调递减．故f (x )<f (1)＝－1<0.又1<a <x 2，因此f (x 2)<－1.②当0<x <1时，由s ′(x )＝1－3x 2x >0，得0<x <33.由s ′(x )＝1－3x 2x <0，得33<x <1，所以s (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33上单调递增，s (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1上单调递减，∴s (x )≤s ⎝ ⎛⎭⎪⎫33＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫33<0，∴f (x )在(0，1)上单调递减，∴f (x )>f (1)＝－1，∵x 1∈(0，1)，从而有f (x 1)>－1.综上可知：f (x 2)<－1<f (x 1)．。