七年级数学讲义(整式乘法)

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上海七年级数学秋季第4讲：整式的乘法

七年级数学04整式的乘法内容分析：本节课能够需要同学理解整式乘法的法则，能够熟练地进行单项式，多项式之间的乘法计算．通过与有理数乘法的分配律进行类比，加深对这些法则的理解．重点是熟练掌握单项式、多项式之间的乘法法则以及推导，并能够灵活应用．难点是分清单项式与单项式相乘中，幂的运算法则，单项式与多项式相乘时结果的符号的确定。

知识结构：模块一：单项式与单项式相乘知识精讲：1、单项式与单项式相乘的运算法则单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．2、单项式与单项式相乘的运算步骤（1）系数相乘的结果作为积的因数；（2）相同字母运用同底数幂的乘法法则计算；（3）把只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的一个因式．3、单项式与单项式相乘，积还是单项式．例题解析：【例1】计算：232(3)x x ⋅-的结果是（）．A .56x -B .56x C .62x -D .62x 【答案】【解析】【例2】()22123_________6xyz xy z xyz ⎛⎫-⋅-⋅= ⎪⎝⎭．【答案】【解析】【例3】计算：（1）()()523x xy x y -⋅⋅；（2）()2231(2)64p q pq pq ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭；（3）()()()3323222a b b a ab ⎡⎤-⋅-⋅-⋅⎣⎦．【答案】【解析】【例4】先化简，后求值：23332223141644x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫⋅-+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0.4x =， 2.5y =-．【答案】【解析】【例5】若230x y <，化简：()75122xy x y -⋅--．【答案】【解析】模块二：单项式与多项式相乘知识精讲：1、单项式与多项式相乘法则用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相乘．2、单项式与多项式相乘的注意事项：（1）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同（2）单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号的确定：同号相乘得正，异号相乘得负．例题解析：【例6】下列计算中，正确的是（）．A .()23236x x y x xy x-=-+B .232(283)4166m m m m m m-+-=-+-C .()2276176y x x x y xy y-+-=--+D .22(1)n n n a a a a -=-【答案】【解析】【例7】解方程：2(1)(25)12x x x x ---=，x 的值是（）．A ．2B ．1C ．4D ．0【答案】【解析】【例8】计算：（1）212516362x x x ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）321123123a a a a ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【答案】【解析】【例9】要使()()2356ax x x ++-的展开式中不含4x 项，则_____a =．【答案】【解析】【例10】设P 是一个多项式，且22453232P x y x y x ÷=-+，求P ．【答案】【解析】【例11】已知单项式M N 、满足222(3)6x M x x y N +=+，求M N 、．【答案】【解析】【例12】已知210a a --=，求代数式322016a a -+的值．【答案】【解析】【例13】已知()()2()56m x x n x m x x -⋅-++=+-对于任意数x 都成立，求(1)(1)m n n m -++的值．【答案】【解析】【例14】已知20a b +=，求332()48a ab a b b +++-的值．【答案】【解析】模块三：多项式与多项式相乘知识精讲：1、多项式与多项式相乘法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．例题解析：【例15】关于x 的二次三项式()()7x m x -+中的常数项为14，则m 的值是（）．A .2B .2-C .7D .7-【答案】【解析】【例16】()()2345_______n n n n x y x y -+=．【答案】【解析】【例17】多项式321x x -+与2357x x +-的乘积中含3x 的系数是（）．A .13-B .13C .11-D .11【答案】【解析】【例18】若()()275x x x Ax B +-=++，则_____A =，_____B =．【答案】【解析】【例19】已知()()2283x px x x q ++-+的展开式中不含23x x 、项，则_____p =，_____q =．【答案】【解析】【例20】先化简，再求值：232(1)(2)3(2)(3)x x x x x -+--++-，其中2016x =．【答案】【解析】【例21】解方程：()()()()()()221111432x x x x x x x x +++---+=+-．【答案】【解析】【例22】已知a b m 、、均是整数，且()2(12x a x b x mx ++=++），求m 的所有可能值．【答案】【解析】【例23】如果p q a 、、均为整数，p q >且()()28x p x q x ax ++=--，求所有可能的a 值及对应的p q 、的值．【答案】【解析】【例24】阅读解答题：有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题．例：若123456789123456786x =⨯，123456788123456787y =⨯，试比较x y 、的大小．设123456788a =，那么()21(2)2x a a a a =+-=--，2(1)y a a a a =-=-．因为()()22220x y a a a a -=----=-<，所以x y <．看完后，你学到了这种方法吗？再亲自试一试吧！若20072007200720112007200820072010x =⨯-⨯，2007200820072012y =⨯-2007200920072011⨯，试比较x y 、的大小．【答案】【解析】随堂检测：【习题1】下列式子计算结果是256x x --的是（）．A .()()61x x -+B ．()()23x x -+C .()()61x x +-D .()()23x x +-【答案】【解析】【习题2】()222212________2x y xy ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．【答案】【解析】【习题3】一个三项式与一个二项式相乘，在合并同类项之前，积的项数是（）．A ．五项B ．六项C ．三项D ．四项【答案】【解析】【习题4】若212n n ++=，则()()56_______n n -+=．【答案】【解析】【习题5】若()()2242y my y y n ++-+的乘积中不含2y 和3y 项，则____m =，____n =．【答案】【解析】【习题6】计算：（1）()222114323ab ab ab b ⎛⎫-⋅-⋅ ⎪⎝⎭；（2）()()2221121(36)3x x x x x x x --++-+；（3）()()()()3223334x y x y x y x y ++--+．【答案】【解析】【习题7】先化简，再求值：()()33242212312a ab a b a b ab ⎛⎫-⋅--+- ⎪⎝⎭，其中1a =-，2b =．【答案】【解析】【习题8】试证明代数式()()()233263516x x x x x ++-+++的值与x 的值无关．【答案】【解析】【习题9】计算：32003200220032004-⨯⨯．【答案】【解析】【习题10】已知()()2246x ay x by x xy y ++=--，求代数式()32a b ab +-的值．【答案】【解析】【习题11】一个长方形的长增加4厘米，宽减少1厘米。

北师大版数学七年级下册1.4《整式的乘法》说课稿1

北师大版数学七年级下册1.4《整式的乘法》说课稿1一. 教材分析《整式的乘法》是北师大版数学七年级下册第1.4节的内容，本节课的主要任务是让学生掌握整式乘法的基本运算方法。

整式乘法是代数学习的基础，也是后续学习多项式乘法、因式分解等知识的关键。

在本节课中，学生将通过具体的例子，学习如何进行整式的乘法运算，并理解其运算规律。

二. 学情分析面对七年级的学生，他们对整数四则运算已经有一定的基础，但对于代数式的运算还比较陌生。

因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，引导他们从具体到抽象，逐步理解整式乘法的运算规律。

此外，学生的学习动机、学习习惯和学习能力各有不同，我需要在教学中关注每一个学生的个体差异，充分调动他们的学习积极性。

三. 说教学目标本节课的教学目标有三：1.让学生掌握整式乘法的基本运算方法，能够正确进行整式的乘法运算。

2.让学生理解整式乘法的运算规律，能够灵活运用所学知识解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力，提高他们的数学素养。

四. 说教学重难点本节课的重难点是整式乘法的运算方法和运算规律。

对于这部分内容，学生需要通过大量的练习，才能熟练掌握。

因此，在教学过程中，我需要合理安排练习题，引导学生通过自主学习、合作学习等方式，克服困难，掌握重难点。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用“引导发现法”和“实践操作法”相结合的教学方法。

通过引导学生观察、思考、讨论，发现整式乘法的运算规律；同时，通过让学生亲自动手进行实践操作，加深他们对整式乘法的理解。

此外，我还将利用多媒体教学手段，为学生提供丰富的学习资源，激发他们的学习兴趣。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何进行整式的乘法运算。

2.新课讲解：通过具体的例子，讲解整式乘法的运算方法，引导学生发现运算规律。

3.练习巩固：安排一系列练习题，让学生亲自动手进行整式的乘法运算，巩固所学知识。

4.拓展延伸：引导学生思考如何将整式乘法应用到实际问题中，提高他们的应用能力。

七年级数学下册第一章整式的乘除知识归纳

第一章整式的运算单项式整式多项式同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方幂运算同底数幂的除法零指数幂负指数幂整式的加减单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法多项式与多项式相乘整式运算平方差公式完全平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式一、单项式、单项式的次数:只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

二、多项式1、多项式、多项式的次数、项几个单项式的和叫做多项式.其中每个单项式叫做这个多项式的项。

多项式中不含字母的项叫做常数项。

多项式中次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数。

三、整式：单项式和多项式统称为整式。

四、整式的加减法:整式加减法的一般步骤：（1)去括号；(2）合并同类项。

五、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法：a m ﹒a n =a m+n （m ，n 都是正整数）；2、幂的乘方：（a m )n =a mn (m ，n 都是正整数)；3、积的乘方：(ab)n =a n b n (n 都是正整数）；4、同底数幂的除法：a m ÷a n =a m —n （m,n都是正整数,a ≠0）；六、零指数幂和负整数指数幂：1、零指数幂：a 0=1（a ≠0）;2、负整数指数幂:1(0)p pa a a -=≠p是正整数。

七、整式的乘除法:1、单项式乘以单项式:法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、p 是正整数相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2、单项式乘以多项式：法则：单项式与多项式相乘,就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

3、多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

整式的乘法知识点

整式的乘法知识点1、幂的运算性质：（a ≠0，m 、n 都是正整数）（1）a m ·a n ＝a m ＋n 同底数幂相乘，底数不变，指数相加．（2）()n m a ＝ a mn 幂的乘方，底数不变，指数相乘．（3）()n n n b a ab = 积的乘方等于各因式乘方的积．（4）n m a a ÷＝ a m －n 同底数幂相除，底数不变，指数相减．例（1）．在下列运算中，计算正确的是（）（A ）326a a a ⋅=（B ）235()a a = （C ）824a a a ÷=（D ）2224()ab a b = （2）()()4352a a -⋅-=____ ___=2．零指数幂的概念：a 0＝1（a ≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ．例：()022017π-=3．负指数幂的概念： a - p ＝p a 1（a ≠0，p 是正整数）任何一个不等于零的数的负指数幂，等于这个数的正指数幂的倒数．例：223-⎛⎫ ⎪⎝⎭= 312-⎛⎫- ⎪⎝⎭=4．单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．例：（1）223123abc abc b a ⋅⋅ （2）4233)2()21(n m n m -⋅-5．单项式与多项式的乘法法则： a(b+c+d)= ab + ac + ad单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．例：（1）)35(222b a ab ab + （2）)32()5(-22n m n n m -+⋅6．多项式与多项式的乘法法则：( a+b)(c+d)= ac + ad + bc + bd多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．例：（1）1(4)x x --（）（2）(2)(1)x y x y +-+7．乘法公式： ①完全平方公式：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2口诀：首平方、尾平方，乘积的二倍放中央．例：① (2x +5y )2=( )2 + 2×( )×( ) + ( )2=__________________；② 2)2131(-m =( )2 - 2×( )×( ) + ( )2=________________； ③ (-x +y )2 = ( )2 =__________；④ (-m -n )2 = [ ]2 = ( )2_______________；⑤x 2+__ _ +4y 2 = (x +2y )2 ⑥214m ⎛⎫- ⎪⎝⎭ +2n = ( )2 ②平方差公式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2口诀：两个数和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差．注意：相同项的平方减相反项的平方例：① (x -4)(x +4) = ( )2 - ( )2 =________；② (3a+2b )(3a -2b ) = ( )2 - ( )2 =_________________；③ (-m +n )( m +n ) = ( )2-( )2 =___________________；④ 11(2)(2)44x y x y ---=( )2-( )2=___________； ⑤(2a +b +3)(2a +b -3) =( )2-( )2=________________ ___= ；⑥(2a —b +3)(2a +b -3)=[ ][ ]=( )2-( )2另一种方法：(2a —b +3)(2a +b -3)==⑦ ( m +n )( m -n )( m 2+n 2 ) =( )( m 2+n 2 ) = ( )2 -( )2 =_______；⑧(x +3y )( ) = 9y 2-x 2③十字相乘：2()()x a x b x ++=+ ( ) x +一次项的系数是a 与b 的，常数项是a 与b 的例：()()12x x ++＝， ()()23x x --= ，()()57x x +-= ， ()()34x x -+=1、若22916x mxy y ++是一个完全平方式，那么m 的值是__________。

北师大版七年级下册数学说课稿：1.4.3《整式的乘法》

北师大版七年级下册数学说课稿：1.4.3《整式的乘法》一. 教材分析《整式的乘法》是北师大版七年级下册数学的一节重要内容。

本节课的主要内容是让学生掌握整式乘法的基本运算法则，并能够熟练地进行整式的乘法运算。

在教材中，通过具体的例子和逐步的引导，让学生理解和掌握整式乘法的方法和技巧。

教材还通过练习题和应用题，帮助学生巩固和应用所学的知识。

二. 学情分析在七年级下册的学生已经学习了整式的基本概念和运算法则，对整式的加减法有一定的掌握。

但是，学生可能对整式的乘法运算法则理解和运用还不够清晰，需要通过本节课的学习来进一步巩固和提高。

此外，学生可能对整式的乘法运算中的符号表示和运算顺序还不够熟悉，需要通过具体的例子和练习来进行引导和巩固。

三. 说教学目标本节课的教学目标是让学生掌握整式乘法的基本运算法则，并能够熟练地进行整式的乘法运算。

具体来说，学生需要能够理解整式乘法的概念和意义，掌握整式乘法的基本运算法则，能够正确地进行整式的乘法运算，并能够解决一些实际问题。

四. 说教学重难点本节课的重难点是整式乘法的基本运算法则的理解和运用。

学生需要理解整式乘法的概念和意义，能够正确地运用整式乘法的基本运算法则进行计算。

此外，学生还需要能够解决一些实际问题，如通过整式乘法计算图形的面积等。

五. 说教学方法与手段本节课的教学方法主要是通过讲解和示范，让学生理解和掌握整式乘法的基本运算法则。

通过具体的例子和练习题，让学生进行实际操作和练习，巩固和应用所学的知识。

此外，通过多媒体教学手段，如PPT和教学软件，展示整式乘法的运算过程和结果，帮助学生更好地理解和掌握所学的知识。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，如计算一个长方形的面积，引入整式乘法的学习。

2.讲解：讲解整式乘法的概念和意义，通过具体的例子和示范，引导学生理解和掌握整式乘法的基本运算法则。

3.练习：让学生进行实际的整式乘法运算练习，通过练习题和应用题，巩固和应用所学的知识。

北师大版七年级下册数学说课稿：1.4.2《整式的乘法》

北师大版七年级下册数学说课稿：1.4.2 《整式的乘法》一. 教材分析《整式的乘法》是北师大版七年级下册数学的一节课。

本节课的主要内容是让学生掌握整式乘法的基本方法和步骤。

整式乘法是初中学段数学的重要内容，也是后续学习更高级数学的基础。

在本节课中，学生将学习单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘以及多项式与多项式相乘的方法。

二. 学情分析七年级的学生已经掌握了整数四则运算的基础知识，对运算规则有一定的了解。

但是，对于整式乘法这种抽象的运算，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的困惑进行有针对性的讲解和辅导。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握整式乘法的基本方法和步骤，能够正确地进行整式乘法运算。

2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流等方式，培养学生的合作意识和团队精神。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：整式乘法的基本方法和步骤。

2.教学难点：整式乘法中的变形和约分。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引发学生对整式乘法的思考，激发学生的学习兴趣。

2.新课讲解：讲解整式乘法的基本方法和步骤，通过示例让学生理解和掌握。

3.练习与讨论：让学生进行相关的练习，通过小组合作、讨论交流，共同解决问题。

4.总结与拓展：对本节课的内容进行总结，提出相关的拓展问题，激发学生的思考。

七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出本节课的重点内容。

可以采用流程图、列表等形式，帮助学生理解和记忆整式乘法的方法和步骤。

八. 说教学评价教学评价可以从学生的课堂表现、练习成绩、学习兴趣等方面进行。

通过评价，了解学生的学习情况，对教学进行反馈和调整。

九. 说教学反思在教学过程中，教师要关注学生的学习情况，对学生的困惑和问题进行及时解答和指导。

沪科版七年级下册数学精品教学课件-第8章-整式乘法与因式分解-公式法(2024版)

步骤
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
1. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A．a2 ＋ ( - b)2
B．5m2 - 20mn
C．- x2 - y2
D． - x2 ＋ 9
2. 分解因式 ( 2x + 3 )2 - x2 的结果是（ D ）
A．3(x2 + 4x + 3)
B．3(x2 + 2x + 3)
C．(3x + 3)(x + 3)
x＋y ＝ 1①，
所以 x - y ＝ -2②.
联立①②组成二元一次方程组，
解得
x y
3 2
1 2
.
，
方法总结：在与 x2－y2，x±y 有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
例3 计算下列各题： (1) 1012 - 992； (2) 53.52×4 46解.52：×(41.) 原式＝(101＋99)(101－99)＝400.
因式吗？是 a，b 两数的平方差的形式
平方差公式：整式乘法
( a + b )( a - b ) = a2 - b2 a2 - b2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，
为什么？（1）x2 + y2 （2）x2 - y2
解析：∵ 16 = (±4)2，∴ - m = 2×(±4)，即 m = ±8.
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值. 计算过程中，要注意积的 2 倍的符号，避免漏解.

北师大版七年级下册数学《整式的乘法》整式的运算说课教学课件复习提高

例3 已知 xa＝2，xb＝3，求xa+b的值.
解：∵ xa＝2，xb＝3
xa+b=xa·xb
∴ xa+b＝ xa·xb＝2×3 ＝ 6．
变式：已知 xa+b ＝6， xb＝3，求 xa 的值. 延伸：已知 xa＝2，xb＝3，求x2a+3b的值.
解：∵ xa＝2，xb＝3 ∴ x2a+3b＝ x2a·x3b ＝(xa )2 ·(xb)3 ＝22×33 ＝ 108．
x2a+3b＝ x2a·x3b (xa )2 (xb)3
拓展：已知am ＝2，bm ＝5，求 ( a3b2)m的值．
解：∵ am ＝2，bm ＝5， ∴ (a3b2)m ＝a3m ·b2m ＝ (am)3 ·(bm)2 ＝23×52 ＝200
( a3b2)m =a3mb2m
a3m＝(am)3 b2m＝ (bm)2
学法指导
1. 在进行整式运算时，首先要正确把握运算顺序．在每一步的运算中，要看清运算类型，正确运用运算性质和法则．计算过程中，要时刻注意符号;
2. 乘法公式是本节的重点和难点，是计算和化简求值的重要工具，对公式及其之间的关系要清晰理解;
3. 各种运算性质和法则要能从正反两方面来理解，会灵活运用;
教学重难点
重点
准确熟练地运用整式的乘法运算法则进行计算．
难点
准确熟练地运用整式的乘法运算法则进行计算．
ac5 bc2的乘积是多少？
ac5 bc2
a bc5 c2
abc52 abc7
知识要点
单项式与单项式相乘，把他们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

七年级数学-第02讲整式的乘法(解析版)

2021-2022学年七年级数学【赢在寒假】同步精讲精练系列第1章整式的乘除第02讲整式的乘法【考点梳理】考点1：单项式、多项式及整式的概念1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

如：bc a 22-的系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。

2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。

3、整式：单项式和多项式统称整式。

注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。

也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升（降）幂排列：如：1223223--+-y xy y x x 按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+--按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x 按y 的升幂排列：3223221yy x xy x --++-按y 的降幂排列：1223223-++--x xy y x y 考点2：单项式及多项式的乘法法则1、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

注意：①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。

②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。

③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

如：=∙-xy z y x 32322.单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)注意：①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

北师大版数学七年级下册1.4《整式的乘法》说课稿2

北师大版数学七年级下册1.4《整式的乘法》说课稿2一. 教材分析北师大版数学七年级下册1.4《整式的乘法》是整式章节中的一个重要内容。

本节课主要介绍整式乘法的基本概念和运算法则，为后续解决更复杂的数学问题奠定基础。

教材通过丰富的实例和练习，使学生掌握整式乘法的方法，培养学生的运算能力和逻辑思维能力。

二. 学情分析面对七年级的学生，他们在之前的学习中已经掌握了整式的基本概念，如单项式和多项式。

同时，他们也学习了有理数的乘法法则，这为整式乘法的学习奠定了基础。

然而，学生在刚接触整式乘法时，可能会觉得抽象难以理解，因此，在教学过程中需要通过具体实例和实际操作，让学生更好地理解整式乘法的本质。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握整式乘法的基本概念和运算法则，能够熟练地进行整式乘法运算。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、交流和总结，培养学生探索和发现数学规律的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的运算能力和逻辑思维能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：整式乘法的基本概念和运算法则。

2.教学难点：整式乘法的实际应用和运算规律的发现。

五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、启发式教学法和小组合作学习法。

在教学过程中，教师引导学生观察、操作、交流和总结，激发学生的学习兴趣，培养学生的运算能力和逻辑思维能力。

同时，利用多媒体教学手段，展示整式乘法的动画过程，使抽象的数学问题更直观、易懂。

六. 说教学过程1.导入新课：通过复习整式的基本概念，引出整式乘法的问题，激发学生的学习兴趣。

2.知识讲解：讲解整式乘法的基本概念和运算法则，让学生理解和掌握整式乘法的本质。

3.实例演示：通过具体的实例，展示整式乘法的运算过程，让学生直观地感受整式乘法。

4.小组讨论：让学生分组讨论，发现整式乘法的运算规律，培养学生的探索能力。

5.总结提升：教师引导学生总结整式乘法的运算规律，巩固学生对整式乘法的掌握。

14.1 整式的乘法(七年级数学)

例：若把一张厚度为1mm的纸对折40次后，这张纸的厚度将达到240mm. 1 099 511 627 776 mm ≈ 1 099 511 627 m ≈ 1 099 511 km（110万公里）地球到月球的距离为38.4万公里
同底数幂：底数相同的幂.
x3
x5
底数：x
例：下列各对幂种子，不是同底幂的是
多项式由有限个单项式的代数和组成的代数式.
项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项. 次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数. 3x2y+2xy-5：项数3，次数3，三项三次多项式
运算
整数：加、减、乘、除、乘方整式：加、减、乘、除、乘方
初中数学第14章
14.1 整式的乘法
A. a3 a3 a6 B. 2x 3y 5xy C. a3 a a4
D. (2a2 )3 6a5
【例7】用简便方法计算：
（1）48 0.258 (4 0.25)8 18 1
（2）32011 ( 1)2012 3
=32011 ( 1)2011 ( 1) =(1)2011 ( 1)
学霸兔制作
初中数学第14章
14.1.1 同底数幂的乘法
学霸兔制作
幂：乘方的结果.
底数
210
指数
幂
210 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
210 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
210 1，024 240 1,099 ,511,627 ,776
你知道 210 有多大吗？ 240 呢？
【练习】计算：（1）1 x2 (2x 1) 2
x3 1 x2 2
（2）( 5 xy)2 (2 xy2 2xy 4 y)

第4讲整式的乘法(3个知识点+3种题型+过关检测)(学生版) 24-25学年七年级数学上册(沪教版)

第04讲整式的乘法（3个知识点+3种题型+过关检测）知识点1：单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.【要点归纳】（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.知识点2：单项式与整式相乘单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++.【要点归纳】（1）单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与整式的乘积仍是一个整式，项数与原整式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.知识点3：整式与整式相乘整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.【要点归纳】整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之积.整式与整式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.题型一：单项式乘单项式（共9小题）1．（2022秋•嘉定区校级期末）计算221(6)3a b ab ×-= ．2．（2023秋•静安区校级月考）计算，结果用科学记数法表示：53(310)(510)-´´´= ．3．（2023秋•闵行区校级月考）674(310)(510)(410)´´´= ．4．（2022秋•杨浦区期中）计算：32347(2)()x x x x x -×-×+-．5．（2023秋•闵行区期中）计算：522312()(2)()2x x x x ×---×-．6．（2023秋•奉贤区期中）计算：37423256(2)5()x x x x x ×-×--．7．（2023秋•奉贤区期中）计算：423223()()(3)2a a a a a a -×---××．8．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：2232(3)(2)a b ab ab ×-+．9．（2023秋•闵行区校级期中）计算：37423253(2)3()x x x x x ×-×--．题型二：单项式乘整式（共11小题）10．（2023秋•奉贤区期中）计算：23(2)x x x ---= ．11．（2023秋•松江区期末）计算：2(23)x y -= ．12．（2023秋•浦东新区期中）计算：21(1)(3)3x x x +-×-= ．13．（2023秋•奉贤区期中）计算：223(2)a a ab b -×-+．14．（2023秋•宝山区校级月考）计算：32212(2)(3)23x x x x --+×-．15．（2023秋•青浦区校级期中）计算：2221(23)52x x x xy y xy --++．16．（2023秋•浦东新区期中）计算：23[2(2)2(2)]2x x x y y x y x -+--+．17．（2023秋•松江区月考）计算：32222442(3)()3()(3)3xy x y x x y xy x ×-+-×--．18．（2023秋•松江区月考）计算：2432216(2)()32xy y xy xy -+-．19．（2023秋•闵行区校级月考）计算：229(2)()x x xy y xy --+-．20．（2022秋•青浦区期中）试用整式的运算说明：当10y z +=时，我们计算xy xz ´可以将十位数字与十位数字加一相乘的结果顺次写在千位和百位，将两个数个位数字的乘积顺次写在十位和个位，如果乘积不足两位数可以用0补齐十位．（例：计算3139´时，可以口算3412´=，199´=，则最终结果为1209)题型三：整式乘整式（共10小题）21．（2023秋•静安区校级月考）如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干张，如果要拼一个长为(23)a b +，宽为()a b +的大长方形，则需要C 类卡片( )A ．2张B ．3张C ．4张D ．5张22．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干张，如果要拼一个长为(3)a b +，宽为(2)a b +的大长方形，则需要A 类、B 类和C 类卡片的张数分别为( )A ．2，5，3B ．3，7，2C ．2，3，7D ．2，5，723．（2023秋•浦东新区期末）若2(2)(3)x x x px q +-=++，则p 的值为( )A ．5-B ．1-C ．5D ．124．（2023秋•浦东新区期末）计算：(21)(32)x x -+= ．25．（2023秋•普陀区校级期末）计算：1(3)(912)2x x +-= ．26．（2023秋•崇明区期末）计算：(32)(2)a b a b +-= ．27．（2023秋•青浦区期末）如图，现有边长为a 的正方形A 、边长为b 的正方形B 和长为2b 宽为a 的长方形C 的三类纸片（其中)a b >．用这三类纸片拼一个长为26a b +、宽为3a b +的长方形（不重叠且不留缝隙），那么需要C 类纸片张．28．（2022秋•青浦区期中）已知222(2)(235)x ax bx x x -++-+的展开式中不含三次项和四次项，则展开式中二次项和一次项的系数之和为．29．（2022秋•青浦区期中）计算：232(1)(1)n n n n x x x x ++-+．30．（2022秋•长宁区校级月考）计算：(2)(31)3(1)(25)x x x x -+-+-一．选择题（共5小题）1．（2022秋•浦东新区校级期中）下列运算中，正确的是( )A ．236()x x -=B ．236236m m m ×=C ．333()xy x y -=-D ．22244(3)6a b a b =2．（2023秋•浦东新区校级期末）53(410)(2510)´´´的计算结果是( )A ．810010´B ．17110´C ．10110´D ．1510010´3．（2023秋•松江区月考）2123(2)(0.5)()4m n n m x y x y x y --×-×的结果是( )A ．2122m n x y +-B ．22234m n x y -C ．21234m nx y +D ．212234m n x y ++4．（2023秋•闵行区校级月考）若m 、n 为整数，且2()()12x m x n x ax ++=++，则a 不可能是()A ．7B ．6C ．13-D ．8-5．（2023秋•静安区校级月考）若单项式8a x y -和214b x y 的积为562x y -，则ab 的值为( )A ．2B ．30C ．15-D ．15二．填空题（共8小题）6．（2023秋•宝山区期末）计算：223a a ×= ．7．（2023秋•普陀区校级期末）计算：38321()711a a ×-= ．8．（2023秋•普陀区期末）计算：(5)(2)x y x y -+= ．9．（2023秋•静安区校级月考）若22(8)(3)x ax x x b ++-+的乘积中不含2x 和3x 项，a b += ．10．（2022春•冷水滩区校级期中）若二项式3x a +与2x +相乘，化简后结果中不出现一次项，则a 的值是．11．（2022秋•杨浦区期末）已知：3a b +=，23ab =，化简(1)(1)a b --的结果是．12．（2022秋•浦东新区校级期中）有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为(2)a b +，宽为(3)a b +的矩形．则需要A 类卡片张，B 类卡片张，C 类卡片张．13．（2022秋•长宁区校级期中）若p 、q 、r 均为整数(0)p q >>，且2()()15x p x q x rx ++=--，则r 的值为．三．解答题（共8小题）14．（2023秋•松江区月考）计算：242345(2)x x x ×+-．15．（2023秋•闵行区校级月考）计算：（1）(32)(76)m n m n +-；（2）2323()()()[()]b a a b b a a b ---+-．16．（2023秋•松江区月考）计算：2(35)(23)(41)x x x x ---+．17．（2023秋•松江区月考）若22(3)(3)x nx x x m -+++的展开式中不含2x 和3x 项，求m 、n 的值．18．（2023秋•武侯区校级期末）若2228()(3)3x px x x q ++-+的展开式中不含2x 和3x 的项．（1）求p ，q 的值；（2）求代数式23120142016(2)(3)p q pq p q --++的值．19．（2024•灞桥区校级开学）如图，某校园内有一块长为(2)a b m +，宽为(2)a b m -的长方形空地()a b >．为美化环境，计划在这块空地上修建一个长为(2)a b m -，宽为bm 的长方形花圆，并将花圆四周余下的空地修建成通道，请用含有a 、b 的代数式表示通道的面积．20．（2023秋•静安区校级月考）探究应用：（1）计算：2(1)(1)x x x -++= ；22(2)(42)x y x xy y -++= ．（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a 、b 的等式表示该公式为：．（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是．A ．2(2)(24)m m m +++B ．22(2)(22)m n m mn n -++C ．2(3)(93)n n n -++D ．22()(2)m n m mn n -++（4）设9101A =-，利用上述规律，说明A 能被37整除．21．（2023秋•右玉县期末）综合与实践如图1，长方形的两边长分别为1m +，7m +；如图2．长方形的两边长分别为2m +，4m +．（其中m 为正整数）E ．（1）图1中长方形的面积1S = ；图2中长方形的面积2S = ；比较1S 2S （选填“<”、“ =”或“>” )；（2）现有一正方形，其周长与图1中的长方形周长相等．①求正方形的边长；（用含m 的代数式表示）②试探究：该正方形的面积S 与图1中长方形的面积1S 的差（即1)S S -是一个常数，并求出这个常数．。

初一数学奥数专题讲义——整式乘法

整式乘法一．例题精选例1．如果x 2+x -1=0，则x 3+2x 2+3=________。

例2．已知012210101111121262)1(a x a x a x a x a x a x x ++++++=++ ,求1357911a a a a a a +++++的值。

例3．已知a 1,a 2,a 3,…，a 1996，a 1997均为正数，又M=(a 1+a 2+…+a 1996)·(a 2+a 3+…+a 1997）， N=(a 1+a 2+…+a 1997）(a 2+a 3+…+a 1996），则M 与N 的大小关系是（）A.M=NB.M 〈NC.M>N D 。

关系不确定例4．已知x 2-xy -2y 2—x —7y —6=(x —2y+A)（x+y+B ）,求A 、B 的值.例5．观察下列各式：（x-1)（x+1)=x 2—1;(x -1）(x 2+x+1)=x 3—1；（x —1)（x 3+x 2+x+1）=x 4—1。

根据前面的规律可得（x -1)(x n +x n-1+…+x+1）=_______。

例6．由m （a +b +c ）＝ma +mb +mc ，可得：（a +b )（a 2－ab +b 2)＝a 3－a 2b +ab 2+a 2b －ab 2+b 3＝a 3+b 3，即（a +b )（a 2－ab +b 2)＝a 3+b 3．①我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式.下列应用这个立方公式进行的变形不正确．．．的是（ ) A ．（x +4y ）（x 2－4xy +16y 2）=x 3+64y 3 B ．(2x+y ）（4x 2－2xy+y 2)=8x 3+y 3C ．(a +1）（a 2＋a +1）=a 3+1D ．x 3+27=(x +3）(x 2－3x +9）例7．新知识一般有两类：第一类是不依赖于其他知识的新知识，如“数”、“字母表示数”这样的初始性的知识；第二类是在某些就只是的基础上进行联系、拓广等方式产生的知识，大多数知识是这样的知识.(1)多项式乘以多项式的法则，是第几类知识?（2）在多项式乘以多项式之前，你已拥有的有关知识是哪些？（写出三条即可）（3）请你用已拥有的有关知识，通过数和形两个方面说明多项式乘以多项式的法则时如何获得的?（用（a+b)(c+d ）来说明）例8．正数a 、b 、c 满足3=++=++=++a c ca c b bc b a ab ，求)1)(1)(1(+++c b a 的值.二．同步练习1．已知a-b=3，b+c=-5，则代数式ac-bc+a 2-ab 的值为（ )A 。

初一数学-整式的概念及加减乘法运算讲义

整式的概念及加减乘法运算讲义一、知识点拨知识点1、单项式的概念式子x 3,m t xy a ---,6.2,,32它们都是数或字母的积，象这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。

注意：单项式是一种特殊的式子，它包含三种类型：一是数字与字母相乘组成的式子，如ab 2;二是字母与字母组成的式子，如3xy ;三是单独的一个数或字母，如m a ,2-，。

知识点2、单项式的系数单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

注意：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。

如42x 的系数是2；3ab 的系数是31，2.7m 的系数是2.7。

（2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号，如－()xy 2的系数是－2（3）对于只含有字母因素的单项式，其系数是1或－1，不能认为是0，如－2xy 的系数是－1；2xy 的系数是1。

（4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。

如2πxy 的系数就是2π知识点3、单项式的次数一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

注意：（1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。

如单项式z y x 342的次数是字母z y x ,,的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母Z 的指数是1而不是0.（2）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m 的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数。

（3）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。

如单项式－43242z y x 的次数是2＋3＋4=9而不是13次。

（4）单项式通常根据实验室的次数进行命名。

如x 6是一次单项式，xyz 2是三次单项式。

知识点4、多项式的有关概念（1）多项式：几个单项式的和叫做多项式。

（2）多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项。

初中数学整式的乘法(含答案)

第一讲整式乘除1.1 整式的乘法◆赛点归纳整式的乘法包括单项式以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式等内容．◆解题指导例1（2001，全国竞赛）若a，b是正数，且满足12345=（111+a）（111－b），则a 与b•之间的大小关系是（）．A．a>b B．a=b C．a<b D．不能确定【思路探究】由题设易得乘积式111（a－b），若能说明111（a－b）>0，即可比较a•与b的大小．这可利用多项式乘法推得．例2求在展开（5a3－3a2b+7ab2－2b3）（3a2+2ab－3b2）中，a3b2和a2b3的系数．【思路探究】若根据多项式乘以多项式法则直接运算，计算量就比较大；若用竖式计算，就很方便．【思维误区】有位同学这样解答例2，你认为对吗？【解】5 -3 7 -1×) 3 2 -3________________________________________________-15 +9 -21 +6+10 -6 +14 -4+) +15 -9 +21 -6___________________________________________________+15 +1 0 +17 -25 +6∴原式=15a5+a4b+17a2b3－25ab4+6b5．因为展开后的多项式没有a3b2项，所以a3b2系数不存在，a2b3的系数为17．例3 （2001，武汉市竞赛）若3x3－x=1，则9x4+12x3－3x2－7x+2001的值等于（）．A．1999 B．2001 C．2003 D．2005【思路探究】显然是无法直接代入求值的，必须将要求的代数式经过变形，使之含有3x3－x－1的乘积的代数和的形式，再求其值就不难了．例4 （2002，黄冈市竞赛）已知m、n互为相反数，a、b互为负倒数，x•的绝对值等于3，则x3－（1+m+n+ab）x2+（m+n）·x2001+（－ab）2002的值等于________．【思路探究】要求此多项式的值，显然不能直接运用多项式乘法展开它，由题设可知，多项式（1+m+n+ab）、（m+n）与（－ab）都等于特殊值．例5 （2000，“希望杯”，初二）已知多项式2x2+3xy－2y2－x+8y－6•可以分解为（•x+2y+m）（2x－y+n）的形式，那么3211mn+-的值是______．【思路探究】由题设可知，两个一次三项式的积等于2x2+3xy－2y2－x+8y－6．•根据多项式恒等的条件可列出关于m、n的二元一次方程组，进而不难求出m、n的值．【拓展题】按下面规则扩充新数：已知a和b两数，可按规则c=ab+a+b扩充一个新数，而a，b，c•三个数中任取两数，按规则又可扩充一个新数，……，每扩充一个新数叫做一次操作．现有数1和4．（1）求按上述规则操作三次得到的最大新数；（2）能否通过上述规则扩充得到1999，并说明理由．◆探索研讨在求解整式乘法比较复杂的相关问题时，运用整式乘法法则进行计算或求解相关问题，一般不宜直接运用整式乘法法则，请结合本节例题，总结自己的发现．◆能力训练1．已知m2+m－1=0，那么代数式m3+2m2－1997的值是（）．A．1997 B．－1997 C．1996 D．－19962．若19a+98b=0，则ab是（）．A．正数B．非正数C．负数D．非负数3．（2002，“希望杯”，初二）已知a>b>c，M=a2b+b2c+c2a，N=ab2+bc2+ca2，则M与N的大小关系是（）．A ．M<NB ．M>NC ．M=ND ．不能确定4．（2001，山东省竞赛）某商店经销一批衬衣，进价为每件m•元，•零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，•那么调价后每件衬衣的零售价是（）．A ．m （1+a%）（1－b%）元B ．ma%（1－b%）元C ．m （1+a%）b%元D ．m （1+a%b%）元5．若a=199519951996199619971997,,199619961997199719981998b c ==，则（）． A ．a<b<c B ．b<c<a C ．c<b<a D ．a<c<b6．若n 是奇自然数，a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相同的负整数，则（）．A ．（a 1+1）（a 2+2）…（a n +n ）是正整数B ．（a 1－1）（a 2－2）…（a n －n ）是正整数C ．（11a +1）（21a +2） (1)a +n ）是正数 D ．（1－11a ）（2－21a ）…（n －1n a ）是正数 7．（x ，y ）称为数对，其中x ，y 都是任意实数，定义数对的加法，乘法运算如下：（x 1，y 1）+（x 2，y 2）=（x 1+x 2，y 1+y 2），（x 1，y 1）·（x 2，y 2）=（x 1x 2－y 1y 2，x 1y 2+y 1x 2）．则不成立的运算规律是（）．A ．乘法交换律：（x 1，y 1）·（x 2，y 2）=（x 2，y 2）·（x 1，y 1）B ．乘法结合律：（x 1，y 1）（x 2，y 2）·（x 3，y 3）=（x 1，y 1）（（x 2，y 2）·（x 3，y 3））C ．乘法对加法的分配律：（x ，y ）·（（x 1，y 1）+（x 2，y 2））=（（x ，y ）·（x 1，y 1））+（（x ，y ）·（x 2，y 2））D ．加法对乘法的分配律：（x ，y ）+（（x 1，y 1）·（x 2，y 2））=（（x ，y ）+（x 1，y 1））·（（x ，y ）+（x 2，y 2））8．计算：（3x+9）（2x－5）=________．9．若m=－1998，则│m2+11m－999│－│m2+22m+999│+20=______．10．若x3+x2+x+1=0，则y=x97+x98+…+x103的值是_____．11．如果（1－3x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，那么│a1│+│a2│+│a3│+│a4│+│a5│的值为_________．12．已知a，b，c，d是四个不同的有理数，且（a+c）（a+d）=1，（b+c）（b+d）=1，则（a+c）（b+c）的值为________．13．已知A，B，C，D为一直线上的顺次四点，且AC=10，BD=8，求AB·CD+BC·AD的值．14．计算：（12+13+…+12002）（1+12+…+12001）－（1－12+…+12002）（12+13+…+12001）．15．在（x2－ax+b）（ax2+x－b）的展开式中，x2的系数是1，x的系数是9，求整数a和b 的值．16．已知3n+11m能被10整除，试证：3n+4+11m+2也能被10整除．答案:解题指导例1 A [提示：∵12345=（111+a ）（111－b ）=1112+111（a －b ）－ab ，∴111（a －b ）=12345－1112+ab=24+ab ．∵a>0，b>0，∴ab>0．∴24+ab>0，即a －b>0，∴a>b ．]例2 a 3b 2的系数为0，a 2b 3的系数为17．例3 D [提示：由已知有3x 3－x －1=0，9x 4+12x 3－3x 2－7x+2001=3x （3x 3－x －1）+4（3x 3－x －1）+2005=2005．若将3x 3－x=1代入，如何求？]例4 28或－26． [提示：∵m 、n 互为相反数，∴m+n=0．∵a 、b 互为负倒数，∴ab=－1．∴x 3－（1+m+n+ab ）x 2+（m+n ）x 2001+（－ab ）2002=x 3－（1+0－1）x 2+0+[－（－1）] 2002=x 3+1=±│x│3+1=28(3),26(3).x x =⎧⎨-=-⎩] 例5 －78． [提示：由题意知（x+2y+m ）（2x －y+n ）=2x 2+3xy －2y 2－x+8y －6．又（x+2y+m ）（2x －y+n ）=2x 2+3xy －2y 2+（2m+n ）x+（2n －m ）y+nm ，根据多项式恒等的条件，得3221,2,1728, 3.186.m n m m n m n n mn +=-⎧=-⎧+⎪-==-⎨⎨=-⎩⎪=-⎩解得故．] 【拓展题】（1）第一次只能得到1×4+4+1=9．若要求最大新数，第二次应取4和9，得到4×9+4+9=49．同理，第三次取9和49，得9×49+9+49=499．则499就是扩充三次的最大数．（2）∵c=ab+a+b=（a+1）（b+1）－1，∴c+1=（a+1）（b+1）．取数a和c可得新数d=（a+1）（c+1）－1，∴d+1=（a+1）（c+1）=（a+1）（a+1）（b+1）=（a+1）2（b+1）．取数b和c可得新数e=（b+1）（c+1）－1，k∴e+1=（b+1）（c+1）=（b+1）（a+1）（b+1）=（b+1）2（a+1）．设扩充后的新数为x，则总存在x+1=（a+1）m·（b+1）n（m、n为正整数）．当a=1，b=4时，x+1=2m×5n，又1999+1=2000=24×53，∴1999可以通过上述规则扩充得到．能力训练1．D [提示：由m2+m－1=0，知m2+m=1，∴m3+2m2－1997=m（m2+m）+m2－1997=m+m2－1997=－1996．]2．B [提示：由19a+98b=0，得a=－9819b，ab=9819－b2≤0．]3．B [提示：证明M－N>0．]4．C [提示：由题意知，每件衬衣进价为m元，零售价比进价高a%，•那么零售价是m+ma%元，后又调整为原来零售价的b%出售，那么调整后每件衬衣的零售价为m（1+a%）×b%]5．A [提示：设A=19951995，B=19961996，C=19971997，D=•19981998，•则有B=•A+10001，C=B+10001，D=C+10001．∴（B+10001）（B －10001）=B 2－100012，即C·A=B 2－100012． ∴C·A<B 2．由于B 、C 均为正数，所以1995199519961996,1996199619971997A B B C <<即．同理，可以得到1996199619971997,1997199719981998B C C D <<即．] 6．D [提示：a 1，a 2，…a n 是n 个互不相同的负整数，其中n 是奇自然数，若a 1=－1，a 1+1=0，则（a 1+1）（a 2+2）…（a n +n ）=0，排除A ；若a 1=－1，a 2=－2，a 3=－3，…，a n =－n ，则（a 1－1）（a 2－2）…（a n －n ）=（－2）（－4）（－6）…（－2n ）=（－1）n 2×4×6×…×（2n ）<0．因为n 是奇数，故排除B ；若a 1=－1，+1=0，则（11a +1）.（21a +2） (1)a +n ）=0，又排除C ．如果运用直接证法，如何证明？]7．D [提示：易见乘法交换律成立．由（（x 1，y 1）·（x 2，y 2））·（x 3，y 3）=（x 1x 2－y 1y 2，x 1y 2+y 1x 2）·（x 3，y 3）=（x 1x 2x 3－y 1y 2x 3－x 1y 2y 3－y 1x 2y 3，x 1x 2y 3－y 1y 2y 3+x 1y 2x 3+y 1x 2x 3=（x 1，y 1）·（x 2x 3－y 2y 3，x 2y 3+y 2x 3）=（x 1，y 1）·（（x 2，y 2）·（x 3，y 3）），知乘法结合律成立．由（x ，y ）·（（x 1，y 1）+（x 2，y 2））=（x ，y ）·（x 1+x 2，y 1+y 2）=（x （x 1+x 2）－y （y 1+y 2），x （y 1+y 2）+y （x 1+x 2））=（xx 1－yy 1，xy 1+yx 1）+（xx 2－yy 2，xy 2+yx 2）=（（x ，y ）·（x 1，y 1））+（（x ，y ）·（x 2，y 2））．知乘法对加法的分配律成立．由（1，0）+（1，0）·（1，0）=（1，0）+（1，0）=（2，0）≠（2，0）·（2，0）=（（1，0）+（1，0））·（（1，0）+（1，0）），知加法对乘法的分配律不成立．]8．6x2+3x－45．9．20000．[提示：∵m=－1998，∴m+11=－1987，m+22=－1976．∴m2+11m=m（m+11）=1998×1987．∴m2+11m－999>0．∵m2+22m=m（m+22）=1998×1976，∴m2+22m+999>0．∴│m2+11m－999│－│m2+22m+999│+20=（m2+11m－999）－（m2+22m+999）+20=11m－999－22m－999+20=－11m－1998+20=（－1998）（－11）－1998+20=20000．]10．－1．[提示：由已知，得x4=1．∴y=x97+x98+…+x103=x97（1+x+x2+x3）+x101（1+x+x2+x3）－x104=－（x4）26=－1．]11．1023．[提示：易知a1，a3，a5均小于0，a2，a4均大于0，取x=－1时，a0－a1+a2－a3+a4－a5=45，∴－a1+a2－a3+a4－a5=1023．]12．－1．[提示：设a+b+c+d=m，a+c=x，b+c=y，则a+d=m－y，b+d=m－x，由已知得x（m－y）=y（m－x），即mx－my=0，∴m（x－y）=0，又a，b，c，d互不相同，①②∴a+c≠b+c ，即x≠y ． ∴m=0．又x （m －y ）=1， ∴－xy=1．故（a+c ）（b+c ）=xy=－1．]13．设BC=x ，则AB=10－x ，CD=8－x ，AD=18－x ．∴AB·CD+BC·AD=（10－x ）（8－x ）+x （18－x ）=80．14．设12+13+…+12001=a ，则原式=（a+12002）（1+a ）－（1+a+12002）a=12002． 15．由条件知1,9.ab b a ab b --=⎧⎨+=⎩ 由①得（a －1）（b －1）=2，因为a 、b 是整数，于是 11,12,11,12,1211121 1.a a a a b b b b -=-=-=--=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨-=-=-=--=-⎩⎩⎩⎩或或或由②检验知a=2，b=3．16．3n+4+11 m+2=3 4×3 n +11 2×11 m =81×3 n +121×11 m =80×3 n +120×11 m +（3 n +11 m ）．∵10│80×3 n ，10│120×11 m ，10│3 n +11 m ，∴10│（80×3 n +120×11 m +（3 n +11 m ）），即10│（3 n+4 +11 m+2）．。

北师大版七年级数学下册说课稿(含解析)：第一章整式的乘除4整式的乘法

北师大版七年级数学下册说课稿（含解析）：第一章整式的乘除4整式的乘法一. 教材分析北师大版七年级数学下册第一章整式的乘除4整式的乘法，这部分内容是学生在学习了整式的加减法之后，进一步深化对整式的运算法则的理解。

本节内容主要包括整式乘法的基本概念、运算法则以及具体的运算方法。

通过这部分的学习，使学生能够熟练掌握整式的乘法运算，为后续学习分式的乘除法和函数的初步概念打下基础。

二. 学情分析学生在学习这部分内容时，已经有了一定的数学基础，例如整式的加减法、有理数的乘除法等。

但是，对于整式的乘法，学生可能还存在着一定的困惑，例如整式乘法的运算法则、如何快速准确地进行计算等。

因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，用学生熟悉的生活实例引入整式的乘法，让学生在理解的基础上掌握整式的乘法运算。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解整式乘法的概念，掌握整式乘法的运算法则，能够熟练地进行整式的乘法运算。

2.过程与方法目标：通过合作交流、自主探究的学习过程，培养学生解决问题的能力，提高学生的数学思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和细心，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 说教学重难点1.教学重点：整式乘法的概念、运算法则以及运算方法。

2.教学难点：整式乘法的运算方法，尤其是如何正确地合并同类项。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作交流法、自主探究法等，引导学生主动参与学习，提高学生的学习兴趣和积极性。

2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片等辅助教学，使学生更直观地理解整式的乘法运算。

六. 说教学过程1.引入新课：通过生活实例，引导学生思考如何计算两个多项式的乘积，激发学生的学习兴趣。

2.讲解整式乘法的概念和运算法则：引导学生通过合作交流、自主探究的方式，总结整式乘法的运算法则。

3.演示整式乘法的运算方法：通过多媒体课件或教学卡片，展示整式乘法的具体运算过程，让学生更直观地理解。

七年级下册数学第一章整式的乘除讲解

七年级下册数学第一章整式的乘除讲解
七年级下册数学第一章《整式的乘除》主要讲解了整式的乘法和除法。

在整式的乘法部分，主要介绍了单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则。

单项式的乘法法则包括系数、同底数幂的乘法以及只在其中一个单项式中出现的字母的乘法。

在多项式与多项式的乘法中，需要将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。

在整式的除法部分，主要介绍了单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式的除法法则。

单项式的除法法则包括系数、同底数幂的除法以及只在被除式中出现的字母的除法。

在多项式除以单项式时，需要将这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。

此外，还介绍了完全平方公式，即两数和（或差）的平方等于它们的平方和加上（或减去）它们的积的2倍。

这个公式是进行代数运算与变形的重要知识基础，并且也有一些派生公式，如(a+b)2-2ab=a2+b2，(a-
b)2+2ab=a2+b2等。

如果需要更多关于七年级下册数学第一章《整式的乘除》的讲解，可以查阅数学教辅书或视频教程，也可以请教数学老师或同学。

七年级数学拓展第三讲整式的乘法讲义

第三讲整式的乘法整式的乘法1.乘方知识回顾求多个相同因数的乘积的运算，叫做乘方。

一般地将乘方写做a n ，读作a 的n 次方，也读作a 的n 次幂，其中a 叫做底数，n 叫做指数，乘方的结果叫做幂和数字的乘方运算类似，字母的乘方运算也遵循以下法则（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即m n m n a a a+⋅=（2）乘积的幂，等于各因数的幂的乘积，即()n n n a b a b⋅=⋅（3）幂的乘方，底数不变，指数相乘，即()n m mna a =（4）同底数幂相除，底数不变，指数相减，即()m n m n a a am n -÷=>（5）任何不为0的数的0次幂都是“1”，即a 0=1一般的，我们不用特意强调字母a 、b 的取值范围，但是我们默认它们要使得整个式子有意义，例如上面的（4）、（5）中，都要求a ≠0在整式的乘法运算中，我们主要会用到上面的（1）、（2）、（3）2.单项式乘以单项式（1）系数相乘作为积的系数；（2）相同字母的因式相乘，应用同底数幂的运算法则底数不变，指数相加；（3）只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数也作为积的一项例如：()()()3232525(25)10x x y x x y x y⨯=⨯⨯⋅⨯=注意：单项式与单项式的乘积仍然是单项式3.单项式乘以多项式利用乘法分配律，用单项式分别去乘多项式的每一项，转化为单项式与单项式相乘的形式，再把得到的所有乘积相加例如：()()()2323253235232(5)610a a ab a a a ab a a b ⎡⎤⨯-=⋅+⋅-=-⎣⎦4.多项式乘以多项式先把其中一个多项式看作整体，用它去乘另一个多项式的每一项，利用分配律拆开括号。

此时括号由两个减少为一个。

再利用单项式乘以多项式的方法，将所有括号拆开，最后将所有项加起来例如：注意：把所有括号展开后，最后一定要记得合并同类项例1.计算：()()54232233232224(1)(2)3()3(3)(4)m n m n a a x xy z ⋅⨯⨯-⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()()()()()()()232222432322322(1)371(2)2(3)354(4)332ax a xy mn mnx a b a bc ac a b ab a b ⋅---⋅-⋅--⋅-⋅-例3.计算：()()()232222(1)(4)3211(2)8742(3)()25(4)7834xy x xy x x x x y xy a ab b b a b +-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭+⎛⎫--++- ⎪⎝⎭()()()()22222222(1)(31)(2)(2)(2)35(3)2(32)(54)1(4)4(32)2(5)2326(6)(232)23x y a b a b x y x y m n n m n x y z x y z bc ab ac a b c ++--+-⎛⎫++ ⎪⎝⎭++-+++-+例5.计算：(1) (x+2)(y+2)(z+2)(2) (x+1)(y+1)(z+1)(3) (x+7)(y+2)(1-x+xy)(4) (3x+2)(6y+5)(2z+1)一元整式的乘法关于一元整式（只含有一个字母）的乘法，我们可以运用列竖式来运算。

11.1 整式的乘法(第3课时积的乘方)(课件)-七年级数学上册(沪教版2024)

长为3a，它的体积怎么计算呢？ 3a×3a×3a=27a3或（3a）3
请同学们观察这个式子（（3a）3），它的底数是和、差、积、
商哪一种运算？
新知探究
1.积的乘方
(ab)2=(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a2b2
(ab)3=(ab)·(ab)·(ab)=(a·a·
a)·(b·b·
b)=a3b
课本例题
例6 计算：
(1)(4m)2;
2 3
(2)( a) ;
3
(3)(-xy2)3;
解：(1)(4m)2=42·m2=16m2
2 3 23 3 3
(2)( a) =( ) ·a =a
3
3
(3)(-xy2)3;=(-x)3·(y2)3=(-1)3·x3·y6=-x3y6
(4)(-3ab2)4=(-3)4·a4·b8=81a4b8
解： (1)x2·x3+(3x2)3+(-2x)5
(2)(-a)·an+1+(-3a)2·an
=x5+33·(x2)3+(-2)5·x5
=-a1+(n+1)+(-3)2·a2·an
=x5+27x6-32x5
=-an+2+9an+2
=27x6-31x5
=8an+2
课本例题
例8 计算：
(1)x2·x3+(3x2)3+(-2x)5;
沪教版（2024）七年级数学上册第十一章整式的乘除
11.1 整式的乘法
第三课时积的乘方
目录/CONTENTS
学习目标
情景导入
新知探究
分层练习