高中数学 第二讲 直线与圆的位置关系 一 圆周角定理预习导学案 新人教A版选修41

一圆周角定理

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1．圆周角定理

圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC

确定圆中两个角的大小关系

定理中的圆心角与圆周角一定是对着同一条弧，

数量关系．

思考1 在一个圆中，圆周角与它所对的弧的对应关系在解决问题中有什么作用？实践中如何加以应用？

提示：在圆中，只要有弧，就存在着弧所对的圆周角．同弧所对的圆周角相等，而相等的角为几何命题的推导提供了条件．但是在刚刚学习圆的知识或图形比较复杂时，往往缺少应用这个知识的意识，应该在实践中不断摸索和总结规律．比如由弧找角，如图(1)，已知AB，那么在AB所对的圆周上任取一点都可得到相等的圆周角∠C＝∠D＝∠E.也可以由角找弧，再由弧找角，如图(2)，AD平分∠BAC，得∠1＝∠2，∠1对BD，∠2对CD，∠3也对CD，故∠1＝∠2＝∠3.如果要证△DBE∽△DAB，无疑两个相等的角为此提供了条件．

图(1)

图(2)

2．圆心角定理

上两点，则AB的度数等于∠

确定圆弧或圆心角的度数

推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．

思考2 在圆中，直径所对的圆周角等于90°，解决问题时，应怎样利用这一条件？

提示：只要在已知中给出了直径这一条件，不仅要想到它和半径的关系，还要想到它所对的圆周角，得到直角三角形，这样有关直角三角形的性质便可应用了．如图(1)，以CD 为直径的⊙O交△ACD的两边于B，E，连接BE，求证：AD cos A＝AB.

此题必须先证AD，AB所在△ABD为直角三角形，此时连接BD，可由直径所对的圆周角为90°，这样就得到了所需的条件．

又如图(2)，在⊙O中，直径AB⊥CD，弦AE⊥CF，要证△ABE≌△CDF，在已知∠A＝∠C，AB＝CD时，缺少一个条件，由AB，CD为直径，想到连接BE，DF，便可知∠E＝∠F＝90°，这就为证三角形全等提供了条件．

图(1)

图(2)

温馨提示(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，但并不是“圆心角等于它所对的弧”；

(2)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”；

(3)由弦相等推出弧相等时，这里的弧要求同是优弧或同是劣弧，一般选劣弧．

(4)在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦三组量之间的相等关系简单地说，

就是圆心角相等能推出弧相等，进而能推出弦相等．