第6章 自旋与全同粒子
电子自旋全同粒子
61第六章自旋与全同粒子§6-1 电子自旋的实验证据（一）斯特恩－盖拉赫实验Z（1）实验描述基态的氢原子束经非均NS基态的氢原子束，经非均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分立线。
处于基态的氢原子（2）结论I 。
氢原子有磁矩，因而在磁场中发生偏转。
II 。
氢原子磁矩只有两种取向，即空间量子化的。
III 。
处于基态的氢原子 =0，没有轨道磁矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩，即自旋磁矩。
钠原子光谱中的一条亮黄线（二）光谱线精细结构钠原子光谱中的条亮黄线λ≈5893Å，用高分辨率的光谱仪观测可以看到该谱线其实是由3p观测，可以看到该谱线其实是由靠的很近的两条谱线组成。
5893ÅD 1D 2很两条线其他原子光谱中也可以发5896Å5890Å现类似现象，称之为光谱线的3s精细结构。
该现象只有考虑了电子的自旋才能得到解释。
（三）电子自旋假设乌伦贝克和高斯密特1925年根据上述现象提出了电子自旋假设：（1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值方向上的投影只能取两个数值：2z s SS m =±=m s 称为自旋磁量子数。
（2）每个电子都具有与自旋角动量对应的自旋磁矩，它们的关系为：S e M S−= μ因此自旋磁矩在空间任何方向上的投影只能取两个数值：2S zBe MMμ=±=± Bohr Bohr磁子6-2§62 角动量的普遍性质简介ˆ （一）角动量算符的普遍定义A定义满足以下关系式的线性厄米算符为角动量算符ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ⎡⎡⎡定义满足以下关系式的线性厄米算符为角动量算符：,,,x y z y z x z x y A A i A A A i A A A i A ⎤⎤⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦角动量平方算符与角动量算符各分量之间的对易关系角动量平方算符与角动量算符各分量之间的对易关系：2222ˆˆˆˆ=++x y zA A A A 2ˆˆ⎡(),0,,A A x y z α⎤==ˆA ˆ（二）与的本征值2zA 角动量平方算符与角动量算符各分量对易故角动量平方算符与角动量算符各分量对易，故有共同的本征函数系，在共同本征态下，同时具有确定值（本征值）。
第六章电子自旋
⃗ ·S ⃗ ，⃗ ⃗ 等项。因为电子的自旋是其内禀属性，与轨道部分无直接关系，在不考虑 一般，H 需要包含B r·S 自旋轨道耦合作用时，我们可以作变量分离，令 ψ (⃗ r, Sz ) = ϕ (⃗ r) χ (Sz ) a b 于Sz = /2的几率，|b| 表示处于Sz = − /2的几率，归一化要求|a| + |b| = 1。 3
0 1
2
1 0 0 −1
)
(1 0) − 0 0 0 1 1 0 0 0 ) )
(0 1) =
(0 1) =
(1 0) =
Chapter VI
在二次量子化以后， |+⟩ =⇒ c+ i↑ 因此 ni S
+ + = c+ i↑ ci↑ + ci↓ ci↓
6.1 电 子自 旋 态 矢 量
S-G 实验清楚地告诉我们电子自旋z 方向的分量只有两个值，ms = ±1/2，可以用量子数Sz = ± /2来标注， 因此描述电子波函数应当写成二分量的形式 ψ (⃗ r, /2) ψ (⃗ r, − /2)
Ψ (⃗ r , Sz ) = 是一个旋量(spinor )波函数。
a b a b
a b
=λ
−1/2 λ
=0
λ =
1 1 1/2, a = b =⇒ χ′ + = √ 2 1 ⟩ 1 1 −1/2, a = −b =⇒ χ′ − = √ 2 −1 ⟩
( 2 ) 1 Example：在 S , Sz 表象中，有一个自旋向上的电子 → χ+ ，求测量Sx 的值和几率。 0 测量Sx 的值只能是sx = ± /2， 几率： χ′ + |χ+ ⟨ ⟨ ⟩
自旋与全同粒子
√
电子自旋(1/2)
斯特恩-革拉赫实验
照相片 PP ，不均匀磁场，狭缝 BB ，s 态的氢原子源 K s 态的氢原子束通过狭缝 BB 和不均匀磁场， 射到照相片 PP 上，出现两条分立线 分立线：氢原子具有磁矩 两条线：磁矩只有两种取向 s 态的氢原子：角量子数 l = 0，没有轨道角 动量，磁矩是固有的(自旋磁矩)
√
小结(1/3)
电子的自旋 自旋算符： 对易关系： 平方算符：
泡利矩阵： 自旋算符函数 自旋算符函数 对自旋求平均： 对坐标和自旋求平均：
自旋波函数：
无自旋与轨道相互作用的电子波函数：
的本征函数：
√
小结(2/3)
两电子体系的自旋函数：
算符
和
在
中的本征值
简单塞曼效应：
的共同本征函数
耦合表象的基矢：
的共同本征函数
)
有自旋与轨道相互作用的哈密顿量(
√
光谱的精细结构(2/4)
微扰的自旋与轨道相互作用
耦合表象的基矢 零级近似波函数(简并情况) 矩阵元、久期方程和能量的一级修正 用到的公式
矩阵元
久期方程
√
光谱的精细结构(3/4)
能量的一级修正
对易关系
本征值
自旋角动量算符的矩阵形式 态矢量(自旋的表象)
√
电子的自旋算符和自旋函数(3/3)
自旋角动量算符的矩阵形式
(
、 和
称泡利矩阵)
其它关系 正交归一关系：
量子力学 6-1 电子自旋的实验证据
6-1 电子自旋的实验证据
第六章 电子自旋 全888—1969），
1888年2月17日出生于德国。1906年开 始学习物理化学，1912年在布雷斯劳大 学获博士学位。同年他到布拉格当爱因 斯坦的助手，以后又随爱因斯坦转到苏 黎世，1913年成为物理化学私人讲师。 1943年诺贝尔物理学奖授予斯特恩，表 彰他发展分子束方法和发现了质子的磁矩。
M sz e Sz
7
S
自旋回旋磁比率：
6-1 电子自旋的实验证据
第六章 电子自旋 全同粒子 能级排列
注意
此节重点
(1)理解电子自旋是一种纯粹的量子力学效应，没有经 典图象与之对应。（不是电子自转之类的空间运动）
(2)验证电子自旋存在的实验是斯特恩—盖拉赫实验 (3)每个电子具有自旋角动量 向的取值只能有两个 S z 。 2
1922年，他和合作，成功地做了斯特恩-盖 拉赫实验，通过这个著名实验，他们用分 子束方法证明了空间量子化的真实性，并 为进一步测定质子之类的亚原子粒子的磁 矩奠定了基础。
2
6-1 电子自旋的实验证据
第六章 电子自旋 全同粒子 能级排列
格拉赫（Walther Gerlach）
1889出生于德国. 1912年于图宾根大学获得物理学博士学位。 他的研究对象是黑体辐射和光电效应。一战期间, 盖拉赫和 维恩一起发展无线电报技术。在工业界呆了一段时间后, 盖 拉赫于1920年在法兰克福的实验物理研究所谋到了一个助手 的位置, 该所紧捱着玻恩的理论物理所。后来和斯特恩合作 完成了斯特恩-盖拉赫实验. 3
6-1 电子自旋的实验证据
第六章 电子自旋 全同粒子 能级排列
从薛定谔方程出发可以解释许多微观现象，例如计 算谐振子和氢原子的能级从而得出它们的谱线频率 等。计算结果在相当精确的范围内与实验符合。
第六章自旋和角动量
第六章⾃旋和⾓动量第六章⾃旋和⾓动量⾮相对论量⼦⼒学在解释许多实验现象上获得了成功。
⽤薛定谔⽅程算出的谱线频率,谱线强度也和实验结果相符。
但是，更进⼀步的实验事实发现，还有许多现象，如光谱线在磁场中的分裂，光谱线的精细给构等，⽤前⾯⼏章的理论⽆法解择，根本原因在于，以前的理论只涉及轨道⾓动量。
新的实验事实表明，电⼦还具有⾃旋⾓动量。
在⾮相对论量⼦⼒学中，⾃旋是作为⼀个新的附加的量⼦数引⼊的。
本章只是根据电⼦具有⾃旋的实验事实，在定薛谔⽅程中硬加⼊⾃旋。
本章的理论也只是局限在这样的框架内。
以后在相对论量⼦⼒学中，将证明，电⼦的⾃旋将⾃然地包含在相对论的波动⽅程—狄拉克⽅程中。
电⼦轨道⾓动量在狄拉克⽅程中不再守恒，只有轨道⾓动量与⾃旋⾓动量之和，总⾓动量才是守恒量。
本章将先从实验上引⼊⾃旋，分析⾃旋⾓动童的性质，建⽴包含⾃旋在内的⾮相对论量⼦⼒学⽅程—泡利⽅程。
然后讨论⾓动量的藕合，并进⼀步讨论光错线在场中的分裂和精细结构，此外还会对电⼦在磁场中的⼀些其他的有趣的重要现象作些探讨。
§6. 1电⼦⾃旋施特恩(Stern)⼀盖拉赫(Gerlach)实验是发现电⼦具有⾃旋的最早的实验之⼀，如图6.1.1，由K 源射出的处于s 态的氢原⼦束经过狭缝和不均匀磁场，照射到底⽚PP 上，结果发现射线束⽅向发⽣偏转，分裂成两条分⽴的线.这说明氢原⼦具有磁矩，在⾮均匀磁场的作⽤下受到⼒的作⽤⽽发⽣偏转.由于这是处于s 态的氢原⼦，轨道⾓动量为零,s 态氢原⼦的磁矩不可能由轨道⾓动量产⽣，这是⼀种新的磁矩.另外，由于实验上只发现只有两条谱线，因⽽这种磁矩在磁场中只有两种取向，是空间量⼦化的，⽽且只取两个值。
假定原⼦具有的磁矩为M ，则它在沿z ⽅向的外磁场中的势能为U= -M =M cos θ (6.1.1)θ为外磁场与原⼦磁矩之间的夹⾓。
按(6.1.1)式，原⼦在z ⽅向所受的⼒是F z =-Z U ??=M zcos θ (6.1.2) 实验证明，这时分裂出来的两条谱线分别对应于cos θ=+1和-1两个值。
全同粒子
对于全同粒子多体系, 任何两个粒子交换一下, 对于全同粒子多体系 任何两个粒子交换一下 其量子态是不变的, 即要求该体系的波函数对于粒 其量子态是不变的 即要求该体系的波函数对于粒 子交换具有一定的对称性. 子交换具有一定的对称性 那么, 忽略粒子相互作用的情况下, 那么 在忽略粒子相互作用的情况下 如 何去构造 构造具有完全交换对称性或反对性的波 何去构造具有完全交换对称性或反对性的波 函数? 函数 接下来我们将对这问题做一般的讨论. 接下来我们将对这问题做一般的讨论 考虑 N个全同粒子组成的多体系的情况 个全同粒子组成的多体系的情况. 个全同粒子组成的多体系的情况
1 2 N
经过
各种可能的置换P， 各种可能的置换 ，得到 P , ψ k1 ( q1 )ψ k2 ( q2 )Lψ k N ( qN ) 一共得出N！ 一共得出 ！项，即行列式展开后得出的N! 项. 即行列式展开后得出的
4.3.4 N个全同 个全同Bose子组成的体系 个全同 子组成的体系
Bose 子不受 子不受Pauli原理限制，可以有任意数目 原理限制， 原理限制 可以有任意数目 子处于相同的单粒子态 的Bose子处于相同的单粒子态 设有 ni 个Bose子 子处于相同的单粒子态. 子 N 处于 ki 态上 ( i = 1, 2,L , N ) ， n i = N ，这些 ni 中， ∑ i =1 有些可以为0，有些可以大于1.此时 此时， 有些可以为 ，有些可以大于 此时，对称的多粒 子波函数可以表示成 P ψ k1 ( q1 )Lψ k1 qn1 ⋅ψ k2 qn1 +1 Lψ k2 qn1 + n2 L ∑ 144 2444 1444 24444 4 3 4 3 P n1个 n2个
3
第六章 全同粒子体系
第六章 全同粒子体系§6.1 电子自旋及其描述 1. 电子自旋的发现Stern-Gerlach 实验：测量氢原子的磁矩。
经典理论的预言是M M M z≤≤-，连续变化。
实验结果是：.B z M M ±= eB m e M 2≡(Bohr 磁子) 结论：电子有磁矩，其投影是量子化的。
推论：电子有自旋（内禀角动量），其投影也是量子化的。
Uhlenbeck-Goudsmit 假设(1925)：电子有自旋角动量，其投影只能取两个值：,2±=z S这自旋角动量又导致电子有自旋磁矩，其投影为.2B ez e z M m e S m e M ==-= (SI 制) 写成矢量关系，自旋角动量算符记为∧S ，自旋磁矩算符记为s M ∧，则.∧∧-=S m e M es2. 电子自旋的描述自旋有纯量子力学的起源，只能用矩阵描写。
自旋的分量只有两个可能的测量值，所以算符zy x S S S ˆ,ˆ,ˆ都是22⨯矩阵。
通常选z S ˆ是对角矩阵，这些矩阵是： .10012ˆ,002ˆ,01102ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= z y x S i i S S 引入Pauli 矩阵.1001,00,0110⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=z y x ii σσσ则.2σ=∧SPauli 矩阵的主要性质是：,z x y y x i σσσσσ=-= 和x z y x →→→的轮换,222I z y x ===σσσ I 是22⨯单位矩阵显然，zS ˆ的对应于本征值2±的本征矢量是：,01,2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+v S z.10,2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-v S z3. 带有自旋的电子波函数现在电子的波函数还应该同时描写它的自旋状态。
由叠加原理，-+⋅ψ+⋅ψ=ψv t r v t r t r ),(),(),(21,),(),(21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ψψ=t r t r 这称为电子的二分量波函数，又称为旋量。
自旋与全同粒
第6章自旋与全同粒子非相对论量子力学在解释许多实验现象上获得了成功，如原子的能级结构，谱线频率，谱线强度等，但进一步的实验事实发现，还有许多现象留待进一步解释，如光谱线在磁场中的分裂，光谱线的精细结构。
这说明微观粒子还有一些特性有待我们去认识，即电子存在自旋角动量，在非相对论量子力学中，自旋是作为一个新的附加量子数引入的，是根据电子具有自旋的实验事实,在薛定谔方程中硬加上的。
在相对论量子力学中，电子自旋像电荷一样，自然地包含在相对论的波动方程：狄拉克方程中。
§6.1 电子自旋的实验根据及自旋的特点一．实验事实1．斯特恩(stern)－革拉赫（Gerlach）实验：现象：K射出的处于S态的氢原子束通过狭缝BB和不均匀磁场，最后射到照相片PP上，实验结果是照片上出现两条分立线。
解释：氢原子具有磁矩，设沿Z方向如在空间可取任何方向，应连续变化，照片上应是一连续带，但实验结果只有两条, 说明是空间量子化的，只有两个取向，对S 态, ,没轨道角动量，所以原子所具有的磁矩是电子固有磁矩。
即自旋磁矩。
2．碱原子光谱的双线结构如钠原子光谱中一条很亮的黄线，如用分辨本领较高的光谱仪进行观测，发现它是由很靠近的两条谱线组成3．反常塞曼(Zeeman)效应1912年，Passhen 和Back发现反常Zeeman效应－在弱磁场中原子光谱线的复杂分裂（分裂成偶条数）。
二．乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)的自旋假设1．每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个值2．每个电子具有自旋磁矩，它和自旋角动量S的关系是为玻尔磁子这个比值称为电子自旋的回转磁比率.轨道运动的回转磁比率是三．电子自旋的特点乌伦贝克最初提出的电子自旋概念具有机械的性质，认为与地球绕太阳的运动相似，电子一方面绕原子核运动;一方面又有自转。
但把电子的自转看成机械的自转是错误的。
设想电子为均匀分布的电荷小球，若要它的磁矩达到一个玻尔磁子，则其表面旋转速度将超过光速，这是不正确的。
第6章 自旋和全同粒
第6章自旋与全同粒子非相对论量子力学在解释许多实验现象上获得了成功，如原子的能级结构，谱线频率，谱线强度等，但进一步的实验事实发现，还有许多现象留待进一步解释，如光谱线在磁场中的分裂，光谱线的精细结构。
这说明微观粒子还有一些特性有待我们去认识，即电子存在自旋角动量，在非相对论量子力学中，自旋是作为一个新的附加量子数引入的，是根据电子具有自旋的实验事实,在薛定谔方程中硬加上的。
在相对论量子力学中，电子自旋像电荷一样，自然地包含在相对论的波动方程：狄拉克方程中。
§6.1 电子自旋的实验根据及自旋的特点一．实验事实1．斯特恩(stern)－革拉赫（Gerlach）实验：现象：K射出的处于S态的氢原子束通过狭缝BB和不均匀磁场，最后射到照相片PP上，实验结果是照片上出现两条分立线。
解释：氢原子具有磁矩，设沿Z方向如在空间可取任何方向，应连续变化，照片上应是一连续带，但实验结果只有两条, 说明是空间量子化的，只有两个取向，对S 态, ,没轨道角动量，所以原子所具有的磁矩是电子固有磁矩。
即自旋磁矩。
2．碱原子光谱的双线结构如钠原子光谱中一条很亮的黄线，如用分辨本领较高的光谱仪进行观测，发现它是由很靠近的两条谱线组成3．反常塞曼(Zeeman)效应1912年，Passhen 和Back发现反常Zeeman效应－在弱磁场中原子光谱线的复杂分裂（分裂成偶条数）。
二．乌伦贝克(Uhlenbeck)和哥德斯密脱(Goudsmit)的自旋假设1．每个电子具有自旋角动量S，它在空间任何方向上的投影只能取两个值2．每个电子具有自旋磁矩，它和自旋角动量S的关系是12为玻尔磁子这个比值称为电子自旋的回转磁比率.轨道运动的回转磁比率是三．电子自旋的特点乌伦贝克最初提出的电子自旋概念具有机械的性质，认为与地球绕太阳的运动相似，电子一方面绕原子核运动;一方面又有自转。
但把电子的自转看成机械的自转是错误的。
设想电子为均匀分布的电荷小球，若要它的磁矩达到一个玻尔磁子，则其表面旋转速度将超过光速，这是不正确的。
全同粒子
泡利不相容原理
1925年奥地利物理学家泡利在研究全同 粒子系统的波函数时发现，若全同粒子系统 由费密子组成，由于费密子系统的波函数是 反对称函数，如果有两个粒子的状态相同， 则系统的波函数为零，即
不能有两个或两个以上的费密子 处在同一个状态。 这一结果称为 泡利不相容原理。
对于原子系统，泡利不相容Biblioteka 理表明全同粒子系统的波函数
全同粒子波函数
在波函数一节中曾提到，波函数 和 描述同一状态，其概率密 度 相同。这里有必要结合全同性原理，定性地介绍一下量 子力学中有关全同粒子系统的波函数的若干重要概念和结论。 设某全同粒子系统的波函数为 ，将其中的任意两个粒子互换后，系 统状态不变，但其波函数有可能仍为 称函数，后者称为反称函数。 由量子力学可以证明（略），描述全同粒子系统的状态的波函数只能 是对称的或反对称的，而且，其对称性不随时间的改变而改变。 实验表明，自旋为 奇数倍的粒子，如电子、质子和中子，粒子 系统用反对称波函数描述，这类粒子称为费密子。自旋为 偶数倍 （包括零 ）的粒子，如光子、α粒子，粒子系统用对称波函数描述。这类 粒子称为玻色子。 ，也有可能是 ，前者称为对
在一个原子中，不可能有两个或两 个以上的电子具有两个完全相同的量 子态。或者说，原子中的每一个量子 态上最多只允许有一个电子。
原子结构的量子理论
你身边的高考专家
全同粒子
全同粒子
全同粒子 质量、电荷、自旋等固有性质完全 相同的微观粒子。
例如，所有的电子是全同粒子；所有的电质子也是全同粒子。
全同性原理
全同粒子体系中任何两个粒子的交 换，不会引起体系状态的改变。
在经典力学中，即使固有性质完全相同的两个质点，是可以根据 运动轨迹对它们进行追踪并加以辨认和区分的。 但在量子力学中，轨道概念对微观粒子没有意义，不可能对全同 粒子进行追踪和区分，全同粒子失去了个别性。因此，全同粒子在 同样的条件下其行为是完全相同的，全同粒子体系中任何两个粒子的交 换，不会引起体系状态的改变。
量子力学自旋与全同粒子共79页PPT
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
量子力学自旋与全同粒子
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
山东大学量子力学 第六章 自旋与全同粒子
2 2 r , t r , , t 表示t时刻， r 处找到电子自旋s z 的几率密度 2 2
于是，
1 dr 自 旋 朝 上 的 几 率 2 2 dr 自旋朝下的几率
2
2 2 1 2
4. 波函数归一化表示为：
ˆ x ˆ y ˆ y ˆ x 2i ˆz 证明:由 ˆ x ˆ x ˆ y ˆ x ˆ y ˆ x 2i ˆ x ˆz ˆ x 左乘上式两边 用 ˆ x 右乘上式两边 ˆ x ˆ y ˆ x ˆ y ˆ x ˆ x 2i ˆ z ˆx 用 在把两式相加 ˆ x ˆz ˆ z ˆx 0
即
a b 1 1 2 c d 0 2 0
有
a 1 1 0 b 1
得
a 1 c0
同理，电子处于 Sz 自 旋 态 时 ， 有 2 a b 0 0 ˆ 即 S z 1 1 2 c d 2 2 2 2 2 2
(7.1 3)
M B玻尔磁子。
3.电子自旋的回转磁比率：电子自旋磁矩和自旋角动量之比
M Sz M Sz e e , ( SI ); , (CGS ) sz sz c
(7.1 4)
轨道角动量与轨道磁距的关系：
e e ML L, ( SI ); M L L, (CGS ) 2 2c
ˆ ˆ ˆ ˆ S i Sx j S y k Sz
1. 自旋角动量满足的对易关系
ˆ S ˆ2 S ˆ2 S ˆ2 S x y z
自旋与全同粒子
SZ 是对角矩阵，对角 矩阵元是其本征值 ±h/2。
⎛1 0 ⎞ σz =⎜ ⎜ 0 − 1⎟ ⎟ ⎝ ⎠
7.2 电子自旋算符和自旋函数
（2） 泡利算符的矩阵形式 σX 的矩阵形式 令
⎛1 ⎜ 得： ⎜0 ⎝ σX 简化为：
⎛0 σx =⎜ ⎜c ⎝ ⎛0 σx =⎜ ⎜c ⎝
同理可证: x, y 分量的反对易关 系亦成立. [证毕]
由对易关系和反对易关 系还可以得到关于 Pauli 算符的如下非常有用性质：
3）二式相加
ˆy σ ˆz −σ ˆ yσ ˆ zσ ˆ y = 2 iσ ˆ yσ ˆx σ ˆz −σ ˆ yσ ˆ zσ ˆ y = 2 iσ ˆ yσ ˆx σ
钠原子光谱中的一条亮黄 线 λ ≈ 5893Å，用高分辨率的 光谱仪观测，可以看到该谱线 其实是由靠的很近的两条谱线 组成。 5893Å 5896Å 5890Å
3s
3s1/2
7.1 电子自旋
3、斯特恩—盖拉赫实验（1922年） 基态银原子束通过不均匀磁场后，分离成朝相反方向 的两束。
[实验] 施特恩-格拉赫（Stern-Gerlach实验） （1921年）
分量 形式
1. Pauli 算符的引进
⎧ ⎪S ⎪ ⎪ ⎨S ⎪ ⎪ ⎪S ⎩
x
y
z
h σ 2 h σ = 2 h σ = 2 =
x
y
z
对易关系：
r r r ˆ ˆ ˆ S × S = ih S
⇒
r r r ˆ ˆ σ × σ = 2 i σˆ
分量形式：
⎧ σˆ x σˆ y − σˆ y σˆ x = 2 i σˆ z ⎪ ⎨ σˆ y σˆ z − σˆ z σˆ y = 2 i σˆ x ⎪ ˆ ˆ ⎩ σ z σ x − σˆ x σˆ z = 2 i σˆ y
6自旋与全同粒子
§6.2 电子自旋角动量
第六章 自旋与全同粒子
本征值
x 1, y 1, z 1
性质
2 x
2 y
2 z
1
ˆ xˆ y ˆ yˆ x
单位算符
1 2i
(ˆ yˆ z
ˆ zˆ y )ˆ y
1 2i
ˆ
y
(ˆ
yˆ
z
ˆ zˆ y )
1 2i
(ˆ yˆ zˆ
y
ˆ
zˆ
2 y
ˆ
y2ˆ z
ˆ yˆ zˆ
y
)
1 2i
(ˆ
zˆ
2 y
ˆ y2ˆ z )
1 2i
(ˆ z
ˆ z )
0
§6.2 电子自旋角动量
第六章 自旋与全同粒子
同理可得
ˆ yˆ z ˆ zˆ y 0
ˆ zˆ x ˆ xˆ z 0
定义算符的反对易关系
则有
{Aˆ, Bˆ} Aˆ Bˆ BˆAˆ
{ˆ x ,ˆ y } 0 {ˆ y ,ˆ z } 0
sz
2
（2）每个电子都具有自旋磁矩 MS，它与自旋角动量 S的关系为：
§6.1 电子的自旋
第六章 自旋与全同粒子
MS
e
e
S, S,
c
(SI) (CGS)
自旋磁矩 MS 在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
M Sz
e
2
e
2c
M B, M B,
(SI) (CGS)
玻尔磁子
自旋的本质 有新的自由度 相对论效应
§6.2 电子自旋角动量
第六章 自旋与全同粒子
一、自旋角动量
由角动量算符定义 Lˆ Lˆ iLˆ
自旋全同粒子
自旋全同粒子自旋是描述粒子的一种性质，它是量子力学中旋转不变性的内禀表示。
在自旋理论中，粒子根据自旋量子数的不同可以分为整数自旋粒子（如光子、重整数自旋粒子（如电子）、半整数自旋粒子（如中子）等。
自旋全同粒子是指具有相同自旋量子数的粒子，它们在物理理论和实验研究中具有很重要的地位。
根据量子力学的统计原理，自旋全同粒子的波函数必须满足对称或反对称的交换关系。
对于玻色子（具有整数自旋）的自旋全同粒子，它们的波函数必须是对称的；而对于费米子（具有半整数自旋）的自旋全同粒子，它们的波函数必须是反对称的。
自旋全同粒子的理论研究在原子、分子、凝聚态物理以及量子信息等领域有很广泛的应用。
以下是一些相关的参考内容：1. 书籍：- 《Quantum Mechanics: Concepts and Applications》（Nouredine Zettili）- 《Quantum Mechanics: Concepts and Applications》（Nouredine Zettili）- 《Quantum Mechanics and Path Integrals》（Richard P. Feynman, Albert R. Hibbs）- 《Group Theory in Physics: An Introduction》（J. F. Cornwell）- 《Modern Quantum Mechanics》（J. J. Sakurai, Jim Napolitano）这些书籍涵盖了自旋理论及其应用的基本概念、数学形式和物理解释等方面的内容。
2. 研究论文：- "Non-Abelian anyons and topological quantum computation"（A. Y. Kitaev）- "Spin and Statistics of Quantum Particles in Two Dimensions"（F. Wilczek）- "Topological Quantum Computation and Anyonic Interferometry"（Chetan Nayak et al）- "Quantum Coherence and Pauli Spin Matrices"（S. A. Gurvitz）这些研究论文介绍了自旋全同粒子在拓扑量子计算、任意子干涉等领域的理论研究和可能的应用。
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1 3 211 (r , , ) 1 210 (r , , ) 1 2 2 2 2
2 1
1 4
C2
2
3 4
,概率分别为
C1
2
1 4 C2
2
3 4
1 3 Sz 平均值： 4 2 2 4 4
e e ˆ ˆ ˆ M L S （2）由 2 e ˆ e ˆ ˆ Mz Lz S z 2
ˆ 亦可表示为2×2矩阵： 自旋算符的任意函数 G
G 11 ˆ G G 21 G 12 G 22
1 1 0 2
1 2
0 1
对自旋求平均的结果为：
G11 G12 1 G G ( ) G G 22 2 21
有：
e e ˆ ˆ (r , , ) L ˆ S (r, , ) M z 211 1 1 2 z z 211 2 2
e e 2 2 211 (r, , ) 1 2M B 211 (r , , ) 1 2 2 e ˆ M z 210 (r , , ) 1 210 (r , , ) 1 M B 210 (r, , ) 1 2 2 2 2
2
1 / 2 1 / 2 2
表示t时刻在r处发现电子自旋朝下的概率。
波函数是2×1矩阵，则自旋算符应为 a b 2×2矩阵，设为 s z
2 c d a b 1 1 2 c d 0 2 0
ˆ | j , m m | j , m J 1z 1 1 1 1 1 ˆ 2 | j , m j ( j 1) 2 | j , m J 2 2 2 2 2 2 2 ˆ | j , m m | j , m J 2z 2 2 2 2 2
ˆ2, J ˆ ,J ˆ2, J ˆ 因为 J 1 1z 2 2 z 相互对易，其共同本征矢 ｜j1,m1,j2,m2>＝｜j1,m1>|j2,m2> 组成正交归一完全系。
ˆ ˆ ˆ 角动量耦合：令： J J1 J 2
ˆJ ˆ iJ ˆ 可证：① J 即两个角动量相加仍为角动量 2 ˆ ˆ ② [J , J ] 0
③ ④
2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ,J [ J , J1 ] 0 [ J 2] 0
ˆ2,J ˆ2] 0 ˆ2,J ˆ 2 ] 0 [J [J 2 1
ˆ , ˆi ] 0 [
2
和反对易关系：
ˆ x ˆy ˆ y ˆx 0 ˆ y ˆz ˆ z ˆy 0 ˆx ˆ x ˆz 0 ˆ z
2 2 2 且有 x y z 1
2 2 2 ˆ ˆ ˆ I 故 x y z ˆ 为单位算符 具有自旋的电子的本征函数可记为：
对应于j，m＝j,j-1,...,-j+1,-j 共（2j＋1）个值。如果用jMIN表示j可能的最小 值，则则｜j1,j2,j,m>的数目
j jmin
(2 j 1) (2 j
jmax
1
1)(2 j 2 1)
(2 j max 1 2 j min 1)( j max j min 1) / 2 (2 j1 1)(2 j 2 1)
C-G系数
可按｜j1,m1,j2,m2>展开为
| j1 j2 jm
m1m2
| j m j m
1 1 2
2
j1m1 j2 m2 | j1 j2 jm
且有： j=j1+j2,j1+j2-1,...,|j1-j2| m=j,j-1,...,-j+1,-j
（6.22）
J的取值讨论如下：
ˆ J ˆ J ˆ mm m J z 1z 2z 1 2
（2）求总磁矩 解：
e e ˆ ˆ ˆ M L S 2
的z分量的平均值。
1 R ( r ) Y ( , ) 21 11 0 1 R21 (r )Y11 ( , ) 3 2 3 2 0 2 R21 (r )Y10 ( , ) R21 (r )Y10 ( , ) 2
ˆ2 S ˆ2 S ˆ2 S ˆ 2 3 2 S x y z 4
2 4
满足对易关系：
ˆ x ˆy ˆ y ˆ x 2i ˆz ˆ y ˆz ˆ z ˆ y 2i ˆx 2i ˆx ˆ x ˆ z 2i ˆy ˆ z
* 1 * 2
当电子的自旋运动与轨道运动相互作用可忽略时，
当电子的自旋运动与轨道运动相 互作用可忽略时， ( x, y, z, s z , t ) 1 ( x, y, z, t ) (s z ) 其中(s z ) 为描写电子自旋状态的自旋波函数， 自旋算符仅对 (s z ) 作用，而 (s z ) 有两个：
* 1 * 2
对坐标和自旋同时求平均的结果为：
G G d
例题6.1 设氢原子的状态波函数是
1 R21 (r )Y11 ( , ) 2 3 R21 (r )Y10 ( , ) 2
ˆ 和自旋角动量z分量 （1）求轨道角动量z分量 L z ˆ 的平均值， S z
2
每个电子具有自旋磁矩Ms，它和自旋角 e e 动量的关系式： M s S M sz
2
电子自旋的回转磁比率为：
e
在量子力学中如何描述电子的自旋呢？ 自旋角动量也是描述电子状态的一个力学 量，它是电子内部状态的表征，它与电子的坐 标和动量无关，它的取值量子化（不连续）。
相应的，有：
Pauli矩阵
1 0 z 0 1
0 1 0 i x 1 0 y i 0
波函数的归一化：
1 2 2 d ( , ) d (| | | | 1 2 )d 1 2 概率密度：(x, y, z, t) | 1 |2 | 2 |2
解得
0 1 由对易关系式可求得： sx 2 1 0
0 i sy 2i 0
1 0 a=1,b=0,c=0,d=-1,即：s z 2 0 1
a b 0 0 2 c d 2 2 2
§6.2 两个角动量的耦合
当微观体系涉及到的角动量不止一个 时，必须讨论角动量的耦合问题。如原子 体系中价电子不止一个时，电子的轨道角 动量与轨道角动量之间，轨道角动量与自 旋角动量之间，自旋角动量与自旋角动量 之间，都可以相互耦合。
不失一般性，可考虑两个角动量J1 和J2之间的耦合，讨论如下： ˆ J ˆ iJ ˆ ˆ J ˆ iJ ˆ 已知：J J 2 2 2 1 1 1 ˆ 2 | j , m j ( j 1) 2 | j , m J 1 1 设： 1 1 1 1 1
1 (x, y, z, t ) 1 的自旋态，则： 2 0
这样，如果已知电子处于s z 2
1 / 2 1 / 2 1
2
表示t时刻在r处发现电子自旋朝上的概率； 如果已知电子处于 s z 2 的自旋态，则：
1
2
0 ( x, y, z, t ) 2
| j1 j2 jm | j1 , m m2 , j2 m2 j1 , m m2 j2 m2 | j1 j2 jm
m2
m，m1，m2的最大值为J，J1，J2，而m＝m1＋m2, 所以 jMAX＝j1＋j2 再看 jMIN＝？ m1=j1,j1-1,...,-j1+1,-j1 共2j1＋1个值 m2=j2,j2-1,...,-j2+1,-j2 共2j2＋1个值 m：共有 （2j1＋1）（2j2＋1）个值
ˆ 由于S 在空间任意方向上的投影只能取
2
，所以
ˆ2x S ˆ2y S ˆ2z S
ˆ ˆ 为简便起见，引入算符 ，它与 S 的关系为
ˆ ˆx S x 2 ˆ ˆ ˆ ˆy S S y 2 2 ˆ S ˆz z 2
1 ( x, y, z, t ) ( x, y, z, 2 , t ) ( x, y, z, s z , t ) 2 ( x, y, z, t ) ( x, y, z, , t ) 2
1 ( x, y, z , t ) ( x, y , z , t ) 2
ˆ 即 211 (r, , ) 1 和 210 (r, , ) 1 是M z
2
2
的本征函数。
ˆ 可能值有： 所以，在 (r, , , s z ) 态中测量 M z 1 3 2M B , M B ，概率分别为 4 , 4
平均值
1 3 1 M z 2M B M B M B 4 4 4
第6章 自旋与全同粒子 §6.1电子的自旋算符和自旋波函数 在原子物理学课程中我们已经了解了电 子具有自旋的如下实验事实: Stern－Gerlach实验、 光谱线的精细结构 （包括：碱金属的双线结构、 简单Zeeman效应、 复杂Zeeman效应等）。
Uhlenbeck和Goudsmit为了解释这些 现象，在1925 年提出了下面的假设： 每个电子具有自旋角动量S(其自旋量子 数为s=1/2),它在空间任何方向上(如：z方向) 的投影只能取两个数值： s z