3.3.4 两条平行直线间的距离(共24张PPT)
合集下载
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行直线间的距离》261PPT课件
2
小结
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0 的距离公式是 d Ax0 By0 C
A2 B2
当A=0或B=0时,公式仍然成立.
2.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0
的距离是
d
C1 - C2 A2 B2ຫໍສະໝຸດ 两平行线间的 距离处处相等
在l2上任取一点，例如P(3,0)
P到l1的距离等于l1与l2的距离
2 3 7 0 8 14 14 53
d
22 (7)2
53 53
直线到直线的距离转化为点到直线的距离
任意两条平行直线都可以写成如下形式：
y
l1
l1 :Ax+By+C1=0
l2
l2 :Ax+By+C2= 0
注意: 运用此公式时直线方程要化成一般式,并 且X、Y项的系数要对应相等.
l1 :2x+3y+6=0 l2 :4x+6y+18=0
两条平行直线间的距离：
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直
线间的公垂线段的长.
y
P l1
两条平行线 l1:Ax+By+C1=0与
l2
Q
o
x
l2: Ax+By+C2=0的距离是
x y6 2 0
练习：两平行线3x+4y=10和6x+8y=0的距离是_2___.
题型一：公式应用
例1 已知直线 l1 : 2x 7y 8 0 和
与 l2 : 6x 21y 1 0,l1与l2是否平行？若平 行,求l1与l2的距离.
例3 已知直线l1 ：2x-7y-8=0，l2 ：6x-21y-1=0， 求直线l1 与l2 间的距离。
小结
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0 的距离公式是 d Ax0 By0 C
A2 B2
当A=0或B=0时,公式仍然成立.
2.两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0
的距离是
d
C1 - C2 A2 B2ຫໍສະໝຸດ 两平行线间的 距离处处相等
在l2上任取一点，例如P(3,0)
P到l1的距离等于l1与l2的距离
2 3 7 0 8 14 14 53
d
22 (7)2
53 53
直线到直线的距离转化为点到直线的距离
任意两条平行直线都可以写成如下形式：
y
l1
l1 :Ax+By+C1=0
l2
l2 :Ax+By+C2= 0
注意: 运用此公式时直线方程要化成一般式,并 且X、Y项的系数要对应相等.
l1 :2x+3y+6=0 l2 :4x+6y+18=0
两条平行直线间的距离：
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直
线间的公垂线段的长.
y
P l1
两条平行线 l1:Ax+By+C1=0与
l2
Q
o
x
l2: Ax+By+C2=0的距离是
x y6 2 0
练习：两平行线3x+4y=10和6x+8y=0的距离是_2___.
题型一：公式应用
例1 已知直线 l1 : 2x 7y 8 0 和
与 l2 : 6x 21y 1 0,l1与l2是否平行？若平 行,求l1与l2的距离.
例3 已知直线l1 ：2x-7y-8=0，l2 ：6x-21y-1=0， 求直线l1 与l2 间的距离。
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行直线间的距离》310PPT课件
③当P点在直线l上时，有Ax0＋By0＋C＝0， d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|＝0，适合公式．
两条平行直线间的距离
已知两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By
|C1－C2| ＋C2＝0(C1≠C2)，则 l1 与 l2 之间的距离为 d A2＋B2
＝
.
3．l1与l2之间的距离公式是如何推导的？ 提示：在直线l1上任取一点P(x0，y0)，则Ax0＋By0＝－ C1.点P到直线l2的距离为d＝|Ax0＋AB2＋y0B＋2C2|＝ |CA1－2＋CB2|2.
6－－3
故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和 y＋1＝－ 3(x＋3)，即 3x＋y－20＝0 和 3x＋y＋10＝0.
【解后反思】 通过数形结合思想和函数思想与方法， 根据题中的已知点不动，而两条平行直线可以绕点转动，我 们很容易直观感受到两条平行直线间距离的变化情况，从而 求出两条平行直线间的距离的范围．
4
2 .
1．点到直线的距离的几种特殊情况 (1)点 P(x0，y0)到 x 轴的距离 d＝|y0|； (2)点 P(x0，y0)到 y 轴的距离 d＝|x0|； (3)点 P(x0，y0)到与 x 轴平行的直线 y＝a(a≠0)的距离 d ＝|y0－a|； (4)点 P(x0，y0)到与 y 轴平行的直线 x＝a(a≠0)的距离 d ＝|x0－a|.
【解】 方法1：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0. 在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0(0，12)， 点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为 d＝|－512＋2×－12＋12C2|＝|C1－3 6|. 由题意，得|C1－3 6|＝2. ∴C＝32或C＝－20. ∴所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
两条平行直线间的距离
已知两条平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By
|C1－C2| ＋C2＝0(C1≠C2)，则 l1 与 l2 之间的距离为 d A2＋B2
＝
.
3．l1与l2之间的距离公式是如何推导的？ 提示：在直线l1上任取一点P(x0，y0)，则Ax0＋By0＝－ C1.点P到直线l2的距离为d＝|Ax0＋AB2＋y0B＋2C2|＝ |CA1－2＋CB2|2.
6－－3
故所求的直线方程分别为 y－2＝－3(x－6)和 y＋1＝－ 3(x＋3)，即 3x＋y－20＝0 和 3x＋y＋10＝0.
【解后反思】 通过数形结合思想和函数思想与方法， 根据题中的已知点不动，而两条平行直线可以绕点转动，我 们很容易直观感受到两条平行直线间距离的变化情况，从而 求出两条平行直线间的距离的范围．
4
2 .
1．点到直线的距离的几种特殊情况 (1)点 P(x0，y0)到 x 轴的距离 d＝|y0|； (2)点 P(x0，y0)到 y 轴的距离 d＝|x0|； (3)点 P(x0，y0)到与 x 轴平行的直线 y＝a(a≠0)的距离 d ＝|y0－a|； (4)点 P(x0，y0)到与 y 轴平行的直线 x＝a(a≠0)的距离 d ＝|x0－a|.
【解】 方法1：设所求直线的方程为5x－12y＋C＝0. 在直线5x－12y＋6＝0上取一点P0(0，12)， 点P0到直线5x－12y＋C＝0的距离为 d＝|－512＋2×－12＋12C2|＝|C1－3 6|. 由题意，得|C1－3 6|＝2. ∴C＝32或C＝－20. ∴所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
3.3.3点到直线的而距离-3.3.4两条平行直线间的距离
2
2
.
点到直线距离公式
已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则
P P2 1
x2 x1 y2 y1
2
2
.
两点间的距离公式
已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则
P P2 1
x2 x1 y2 y1
2
2
.
点到直线距离公式
已知点P(x,y),直线l:Ax+By+C=0,则点 P到直线l的距离：
.
点到直线距离公式
已知点P(x,y),直线l:Ax+By+C=0,则点 P到直线l的距离：
d
Ax0 By0 C A B
2 2
例1.求点P(-1,2)到下列直线的距离. (1)2x+y-10=0； (2)3x=2
教材108页练习1,2
例2.已知点A(1,3),B(3,1)C(-1,0), 求三角形ABC的面积.
y 3 2
1 -1 O C (-1,0) A (1,3)
h
1 2 3 x
证明:两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+ C2=0的距离是 d
C1 C2 A B
2 2
.
结论:两条平行线间的距离公式
例3.求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0 的距离.
结论:直线到直线的距离转化为点到直线的距离
已知点A(a,-5)与B(0,10)间的距离 是17,求a的值.
点到直线距离公式
已知点P1(x1,y1 y2 y1
2
2
.
点到直线距离公式
已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则
2
.
点到直线距离公式
已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则
P P2 1
x2 x1 y2 y1
2
2
.
两点间的距离公式
已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则
P P2 1
x2 x1 y2 y1
2
2
.
点到直线距离公式
已知点P(x,y),直线l:Ax+By+C=0,则点 P到直线l的距离：
.
点到直线距离公式
已知点P(x,y),直线l:Ax+By+C=0,则点 P到直线l的距离：
d
Ax0 By0 C A B
2 2
例1.求点P(-1,2)到下列直线的距离. (1)2x+y-10=0； (2)3x=2
教材108页练习1,2
例2.已知点A(1,3),B(3,1)C(-1,0), 求三角形ABC的面积.
y 3 2
1 -1 O C (-1,0) A (1,3)
h
1 2 3 x
证明:两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+ C2=0的距离是 d
C1 C2 A B
2 2
.
结论:两条平行线间的距离公式
例3.求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0 的距离.
结论:直线到直线的距离转化为点到直线的距离
已知点A(a,-5)与B(0,10)间的距离 是17,求a的值.
点到直线距离公式
已知点P1(x1,y1 y2 y1
2
2
.
点到直线距离公式
已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则
人教A版高中数学必修2《3.3.4 两条平行直线间的距离》_47
第三章直线与方程3.3.4 两条平行直线间的距离教材分析：《两条平行直线间的距离》是人教A版数学必修二第三章最后一节的内容，求两条平行直线间的距离，可转化为求点到直线的距离。
点到直线的距离是“直线与方程”这一节的重点内容,它是解决点线、线线间的距离的基础,也是研究直线与圆的位置关系的主要工具。
点到直线的距离公式的推导方法很多,可探究的题材非常丰富.除了本节课可能探究到的方法外,还有应用三角函数、应用向量等方法,因此“课程标准”对本节教学内容的要求是:“探索并掌握点到直线的距离公式,会求两条平行线间的距离.”希望通过本节课的教学,能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法,学会利用数形结合思想,化归思想和分类方法,由浅入深,由特殊到一般地研究数学问题,培养学生的发散思维根据本节课的内容特点,学习方法为接受学习与发现学习相结合,学生的探究并不是漫无边际的探究,而是在教师引导之下的探究;教师也要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程,使学生在教师和其他同学的帮助下,充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣。
教学目标与核心素养教学重难点1.教学重点：两平行直线间的距离公式的推导、应用；线线距与点线距的转化；2.教学难点： 两平行直线间的距离的求法及灵活应用。
课前准备 多媒体 教学过程一、导入新课我们已学习了点到直线的距离公式:已知点P 的坐标为(x 0,y 0),直线l 的方程是Ax+By+C=0(022≠+B A ),则点P 到直线l 的距离d=2200||BA C By Ax +++。
特别地:(ⅰ)x 0=0,y 0=0时，d=22||BA C +； (ⅱ)x 0≠0,y 0=0时，d=220||BA C Ax ++；(ⅲ)x 0=0,y 0≠0时，d=220||BA C By ++.二、提出问题当点P 不在特殊位置时，能否在距离不变的前提下适当移动点P 到特殊位置，从而可利用前面的公式？(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质，作平行线，把一般情形转化为特殊情形来处理)证明：设过点P 且与直线l 平行的直线l 1的方程为Ax+By+C 1=0，令y=0，得P′(AC 1-,0). ∴P′N=221221|||)(|BA C CB AC A C A +-=++-∙. (*) ∵P 在直线l 1:Ax+By+C 1=0上, ∴Ax 0+By 0+C 1=0.∴C 1=-Ax 0-By 0. 代入(*)得|P′N|=2200||BA By Ax C +++即d=2200||BA C By Ax +++,.②可以验证，当A=0或B=0时，上述公式也成立.③引导学生得到两条平行线l 1:Ax+By+C 1=0与l 2:Ax+By+C 2=0的距离d=2221||BA C C +-.三、应用示例例1 求平行线2x -7y+8=0和2x -7y-6=0的距离.解:在直线2x -7y-6=0上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线2x -7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此,d=5353145314)7(2|80732|22==-++⨯-⨯. 点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离. 解2：由题意知A=2,B=-7,C=8,1C =-6,所以535314)7(2)6(822=-+--=d 点评：合理应用公式简化计算达标检测一:求下列两条平行直线间的距离： （1）2x+3y-8=0 2x+3y+18=013213132632|)8(18|22==+--=d （2）3x+4y=10 3x+4y+1=051143|)10(1|22=+--=d例2 （1）求直线2x + 11y + 16 = 0关于点P (0，1)对称的直线方程.（2）两平行直线3x + 4y – 1 = 0与6x + 8y + 3 = 0关于直线l 对称，求l 的方程.【解析】（1）当所求直线与直线2x + 11y + 16 = 0平行时，可设直线方程为2x + 11y + C =0由P 点到两直线的距离相等，即=所以C = –38.所求直线的方程为2x + 11y – 38 = 0.（2）依题可知直线l 的方程为：6x + 8y + C = 0. 则它到直线6x + 8y – 2 = 0的距离1d =，到直线6x + 8y + 3 = 0的距离为2d =所以d 1 = d 2=，所以12C =. 即l 的方程为：16802x y ++=. 达标检测二、求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且与直线l 距离为3的直线方程. 【解】 ∵与l 平行的直线方程为5x －12y ＋b ＝0， 根据两平行直线间的距离公式得|b －6|52＋－2＝3，解得b ＝45或b ＝－33.∴所求直线方程为：5x －12y ＋45＝0或5x －12y －33＝0. 四、课堂小结通过本节学习，要求大家:1.掌握平面内两平行线之间的距离公式及其推导过程；2.能灵活运用距离公式解决一些简单问题； 五、课后作业课本习题3.3 A 组9、10；B 组2、4. 六、板书设计两平行线间的距离 一、点到直线的距离 三、例题分析 二、证明两平行线间的距离 例1、 例2、七、教学反思本节课从代数角度证明两平行线间的距离处处相等，体现了解析几何的本质特征，是一大亮点。
人教版高中数学第三章3-4点到直线的距离公式及两条平行直线间的距离教育课件
通
不
第
一
为
什
么
很
头
试
常
变
成
我
自
己
你
部
多
时
完
弄
。
但
戏
候
在
这
样
做
时 现 镜 有
场
一
个
就
穿
我
不
想
后
不
好
的
后
和
尔
是
等
我
果
就
戴 。
是 东
得
你
可
希
当
你
真
以 的
■电你是否有这样经历，当 你在做某一项工作 和学习的时候，脑 子里经常会蹦出各 种不同的需求。比 如你想安 心下来看2小时的书，大脑会 蹦出口渴想喝水， 然后喝水的时候自 然的打开电视。。 。。。。，一个小 时过去 了，可能书还没看2页。很多 时候甚至你自己都 没有意思到，你的 大脑不停地超控你 的注意力，你就这 么轻易 的被你的大脑所左右。你已 经不知不觉地变成 了大脑的奴隶。尽 管你在用它思考， 但是你要明白你不 应该隶属 于你的大脑，而应该是你拥 有你的大脑，并且 应该是你可以控制 你的大脑才对。一 切从你意识到你可 以控制你 的大脑的时候，会改变你的 很多东西。比如控 制你的情绪，无论 身处何种境地，都 要明白自己所
点P0、Q之间的距离 P0 Q （点 P0 到 l的距离）
分析思路二：用直角三角形的面积间接求法
求出点R 的坐标 求出点S 的坐标
y
求出P0R
求出P0S
P0Q
P0S P0R SR
S
利用勾股定理求出SR 面积法求出P0Q
3.3.3点到直线的距离、3.3.4两条平行直线间的距离
3.3.3点到直线、两条 平行直线间的距离
复习引入
两点间的距离公式是什么？
复习引入
两点间的距离公式是什么？ 点B(x2，y2)到A(x1，y1)的距离为
AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2
2
讲授新课 讨 论：
什么是平面上点到直线的距离？ 怎样才能求出这一段的距离？
求△ABC的面积.
练习1. 已知A(2, 1)，直线BC的方程是
x＋y＝1，求△ABC的BC边上的高.
讨 论：
两条平行直线间的距离怎样求？
讨 论：
两条平行直线间的距离怎样求？ 平行直线间的距离 转 化 为
点到直线的距离
例3. 已知直线l1：2x－7y－8＝0，
l2：6x－21y－1＝0， l1与l2是否平行？ 若平行，求l1与l2间的距离.
平行且到l的距离为2的直线的方程.
课堂小结
1. 点到直线的距离；
2. 两条平行直线间的距离.
课后作业
1. 作业本。
讲授新课 讨 论：
什么是平面上点到直线的距离？ 怎样才能求出这一段的距离？ 点P0(x0, y0)到直线Ax＋Bx＋C＝0
的距离为 d
Ax0 By0 C A B
2 2
.
例1. 求点P0(0, 5)到直线y＝2x的距离.
例2. 已知点A(1, 3)，B(3, 1：ax＋2y＋2＝0
l2：3x－y＋d＝0的距离为 10 ， 求a与d的值.
练习3.求过点M(－2, 1)，且与
A(－1, 2)，B(3, 0)距离相等的
直线方程.
练习4. 求两条直线
l1：3x＋4y＋1＝0
l2：5x＋12y－1＝0
复习引入
两点间的距离公式是什么？
复习引入
两点间的距离公式是什么？ 点B(x2，y2)到A(x1，y1)的距离为
AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2
2
讲授新课 讨 论：
什么是平面上点到直线的距离？ 怎样才能求出这一段的距离？
求△ABC的面积.
练习1. 已知A(2, 1)，直线BC的方程是
x＋y＝1，求△ABC的BC边上的高.
讨 论：
两条平行直线间的距离怎样求？
讨 论：
两条平行直线间的距离怎样求？ 平行直线间的距离 转 化 为
点到直线的距离
例3. 已知直线l1：2x－7y－8＝0，
l2：6x－21y－1＝0， l1与l2是否平行？ 若平行，求l1与l2间的距离.
平行且到l的距离为2的直线的方程.
课堂小结
1. 点到直线的距离；
2. 两条平行直线间的距离.
课后作业
1. 作业本。
讲授新课 讨 论：
什么是平面上点到直线的距离？ 怎样才能求出这一段的距离？ 点P0(x0, y0)到直线Ax＋Bx＋C＝0
的距离为 d
Ax0 By0 C A B
2 2
.
例1. 求点P0(0, 5)到直线y＝2x的距离.
例2. 已知点A(1, 3)，B(3, 1：ax＋2y＋2＝0
l2：3x－y＋d＝0的距离为 10 ， 求a与d的值.
练习3.求过点M(－2, 1)，且与
A(－1, 2)，B(3, 0)距离相等的
直线方程.
练习4. 求两条直线
l1：3x＋4y＋1＝0
l2：5x＋12y－1＝0
高中数学 第三章 3.3.33.3.4两条平行直线间的距离课件 新人教A版必修2
第一页，共25页。
填一填·知识要点、记下(jì xià)疑难 点
1．点到直线的距离的定义： 点P0到直线l的距离，是指从点P0 到直线l的垂线段P0Q的长度，其中Q是垂足 ．
2．在平面直角坐标系中，点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离为d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C| .
第三页，共25页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更 高效
探究点一 点到直线的距离 问题1 两点间的距离公式是什么？
答 已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12.
问题2 什么是平面上点到直线的距离？ 答 如下图，P到直线l的距离，是指从点P到直线l的垂线段PQ 的长度，其中Q是垂足．
|Ax0＋By0＋C1| A2＋B2
.又Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，∴d＝
|CA1－2＋CB22| .
小结 若两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝ 0(C1≠C2)，则l1，l2间的距离为d＝ |CA2－2＋CB1|2.
第十二页，共25页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高 效
例2 已知直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，l1与 l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离． 解 l1 的斜率 k1＝27，l2 的斜率 k2＝261＝27.因为 k1＝k2， 所以 l1∥l2. 先求l1与x轴的交点A的坐标，容易知道A的坐标为(4,0)． 点A到直线l2的距离d＝|6×4－622＋1×2102－1|＝32353＝12539 53. 所以l1与l2间的距离为12539 53.
3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的
填一填·知识要点、记下(jì xià)疑难 点
1．点到直线的距离的定义： 点P0到直线l的距离，是指从点P0 到直线l的垂线段P0Q的长度，其中Q是垂足 ．
2．在平面直角坐标系中，点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0 的距离为d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C| .
第三页，共25页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更 高效
探究点一 点到直线的距离 问题1 两点间的距离公式是什么？
答 已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝ x2－x12＋y2－y12.
问题2 什么是平面上点到直线的距离？ 答 如下图，P到直线l的距离，是指从点P到直线l的垂线段PQ 的长度，其中Q是垂足．
|Ax0＋By0＋C1| A2＋B2
.又Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，∴d＝
|CA1－2＋CB22| .
小结 若两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝ 0(C1≠C2)，则l1，l2间的距离为d＝ |CA2－2＋CB1|2.
第十二页，共25页。
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更高 效
例2 已知直线l1：2x－7y－8＝0，l2：6x－21y－1＝0，l1与 l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离． 解 l1 的斜率 k1＝27，l2 的斜率 k2＝261＝27.因为 k1＝k2， 所以 l1∥l2. 先求l1与x轴的交点A的坐标，容易知道A的坐标为(4,0)． 点A到直线l2的距离d＝|6×4－622＋1×2102－1|＝32353＝12539 53. 所以l1与l2间的距离为12539 53.
3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的
人教新课标版数学高一必修2课件点到直线的距离两条平行直线间的距离
答案
问题3 点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？ 答案 仍然适用， ①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0， 即 y＝－CB，d＝|y0＋CB|＝|By|0B＋| C|，适合公式. ②当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0， x＝－CA，d＝|x0＋CA|＝|Ax|0A＋| C|，适合公式.
解析 设直线l的方程为2x－y＋c＝0， |3－c| |c＋1|
由题意知： 22＋12＝ 22＋12， 得c＝1， ∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
反思与感悟
解析答案
探究点3 利用距离公式求最值 例3 (1)已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则 x2＋y2－2y＋1 的最小值
7 为___1_0____. 解析 ∵ x2＋y2－2y＋1＝ x－02＋y－12， ∴上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离， 即为点N到直线l：6x＋8y－1＝0上任意一点M(x，y)的距离， ∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离， 即|MN|min＝d＝ |86－2＋18| 2＝170.
取一点，转化为点到直线的距离.
A2＋B2
4.对称问题
最常见的是点关于直线对称，其关键是利用“垂直”“中点”，用垂直、平
分两条件列方程组可求解对称点坐标.
返回
解析答案
当堂测试
1 23 45
1.已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为( D )
A.1
B.－1
C. 2
D.± 2
|a－1＋1| 解析 由题意知 12＋12 ＝1，
即|a|＝ 2，∴a＝± 2.
解析答案
1 23 45
2.两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等( C )
问题3 点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0时的直线是否仍然适用？ 答案 仍然适用， ①当A＝0，B≠0时，直线l的方程为By＋C＝0， 即 y＝－CB，d＝|y0＋CB|＝|By|0B＋| C|，适合公式. ②当B＝0，A≠0时，直线l的方程为Ax＋C＝0， x＝－CA，d＝|x0＋CA|＝|Ax|0A＋| C|，适合公式.
解析 设直线l的方程为2x－y＋c＝0， |3－c| |c＋1|
由题意知： 22＋12＝ 22＋12， 得c＝1， ∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
反思与感悟
解析答案
探究点3 利用距离公式求最值 例3 (1)已知实数x，y满足6x＋8y－1＝0，则 x2＋y2－2y＋1 的最小值
7 为___1_0____. 解析 ∵ x2＋y2－2y＋1＝ x－02＋y－12， ∴上式可看成是一个动点M(x，y)到定点N(0,1)的距离， 即为点N到直线l：6x＋8y－1＝0上任意一点M(x，y)的距离， ∴S＝|MN|的最小值应为点N到直线l的距离， 即|MN|min＝d＝ |86－2＋18| 2＝170.
取一点，转化为点到直线的距离.
A2＋B2
4.对称问题
最常见的是点关于直线对称，其关键是利用“垂直”“中点”，用垂直、平
分两条件列方程组可求解对称点坐标.
返回
解析答案
当堂测试
1 23 45
1.已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为( D )
A.1
B.－1
C. 2
D.± 2
|a－1＋1| 解析 由题意知 12＋12 ＝1，
即|a|＝ 2，∴a＝± 2.
解析答案
1 23 45
2.两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等( C )
3.3.4《两条平行线间的距离》课件(新人教A版必修2)
| 1 0 4 | 1 1
2 2
5
两条平行直线间的距离：
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间 y l1 的公垂线段的长. P 两条平行线 l1:Ax+By+C1=0与 Q o x
l2
l2:Ax+By+C2=0
的距离是
1.平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0
的距离公式是
d =
Ax
0
+ By A
2
0
+ C
2
+ B
当A=0或B=0时,公式仍然成立.
2.两条平行线Ax+By+C1=0与
Ax+By+C2=0的距离是
d = C A
1 2
- C
2 2
+ B
10
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
品质来自专业 信赖源于诚信
P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离：
d | Ax0 By 0 C | A B
2 2
练习2
1.求点A（-2，3）到直线3x+4y+3=0的距离. 2.求点C（1，-2）到直线4x+3y=0的距离. 3.点P(-1,2)到直线3x=2的距离是. 4.点P(-1,2)到直线3y=2的距离是.
A
h
1 2
| A B | h
2
( 3 1 ) (1 3 )
2
2
AB 边上的高
h 就是点 C 到 AB 的距离
C O
高中数学必修二 3.3.4 两条平行直线间的距离
=
10 5
=
2.
错因分析:错解中,未把 l2 的方程化为 3x+4y+m=0 的形
式而导致出错.
正解:l2:12x+16y-8=0 可化为 3x+4y-2=0,
则所求距离 d=
|2-(-2本节结束，谢谢观看！
不妨取点������
0,
5 4
,
则点 P 到直线 l2:6x+8y-9=0 的距离即为两条平行直线
间的距离.
因此 d=
0×6+8×54-9 62 +82
= 1.
10
方法二:把
l2:6x+8y-9=0
化为
3x+4y−
9 2
=
0,
则两条平行直线间的距离 d=
-5- -92 32 +4 2
= 1.
10
题型一 题型二 题型三
d=
|������ ������ 0 +������������0 +������2 | ������2 +������ 2
=
|-������1 +������2 | ������2 +������ 2
=
|������1 -������2 | ������2 +������ 2
,
即直线 l1,l2 间的距离 d=
所以所求的距离
d=
|3×2+4×1-15| 32 +4 2
=
1.
方法二:直线l1,l2的方程可化为3x+4y-10=0,3x+4y-15=0,
则两条平行直线间的距离为
d=
|-10-(-15)| 32 +4 2
高中数学《第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.4两条平行线间的距离》824PPT课件
归纳升华 在解决有关直线方程涉及斜率的问题时，要加强分 类讨论的意识，如本例中已知直线过定点求直线方程时， 应对斜率是否存在进行分类讨论．
[变式训练] 求经过点 P(1，2)，且使 A(2，3)，B(0，－5)到它 的距离相等的直线 l 的方程．
解：法一 当直线斜率不存在时，即 x＝1，显然符合题意．当直 线斜率存在时，设所求直线的斜率为 k，则直线方程为 y－2＝k(x－1)．
x=x1 PQ x0 - x1
点到几种特殊直线的距离： (1)点 P(x0，y0)到 x 轴的距离 d＝|y0|； (2)点 P(x0，y0)到 y 轴的距离 d＝|x0|； (3)点 P(x0，y0)到直线 y＝a 的距离 d＝|y0－a|； (4)点 P(x0，y0)到直线 x＝b 的距离 d＝|x0－b|.
h C
O
B
x
S 12 25 2 5
2
2
类型 2 两条平行直线间的距离 [典例 2] (1)求两平行线 l1：3x＋4y＝10 和 l2：3x＋4y＝15 间的 距离；
解：(1)法一 若在直线 l1 上任取一点 A(2，1)， 则点 A 到直线 l2 的距离，即是所求的平行线间的距离． 所以 d＝|3×2＋342＋×412－15|＝1.
C2
Ax0 By0 C1 PQ
C2 C1 A2 B2
(两平行线间 的距离公式)
两条平行线l1:Ax+By+C1=0与 l2: Ax+By+C2=0的距离是
d C1 - C2 A2 B2
注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y 的系数化为 对应相同的形式。
类型 2 两条平行直线间的距离 [典例 2] (1)求两平行线 l1：3x＋4y＝10 和 l2：3x＋4y＝15 间的距离；
两条平行直线间的距离PPT教学课件
[分析] 思路 1：
设出直 由两平行直线间的距 求解 线方程 → 离公式得含参方程 → 即可
思路 2：
设直线上任意 一点的坐标
→
利用点到直线距 离公式列式子
→
化简可得所 求直线方程
[解析] 方法 1：由已知，可设所求的直线方程为 2x－y＋ C＝0(C≠－1)，
则它到直线 2x－y－1＝0 的距离 d＝ |C22－＋－－11| 2＝|C＋51|＝ 2，
•距离公式的应用
两互相平行的直线分别过 A(6,2)、B(－3，－1)， 并且各自绕着 A、B 旋转，如果两条平行线间的距离为 d，
(1)求 d 的变化范围； (2)求当 d 取得最大值时的两条直线方程．
[解析] 解法 1：(1)设两条直线方程分别为 y＝kx＋b1 和 y＝kx＋b2， 则2－＝16＝k＋－b31k，＋b2， 即bb12＝＝23－k－61k，， 而 d＝|b21－＋bk12|＝|91k－＋3k2|，两边平方整理得 即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0， 由于 k∈R， 所以 Δ＝542－4(81－d2)(9－d2)≥0， 整理得 4d2(d2－90)≤0，∴0<d≤3 10.
• [破疑点] (1)使用两条平行直线间的距离公 式的前提条件：
• ①把直线方程化为直线的一般式方程；
• ②两条直线方程中x，y系数必须分别相等．
• (2)求两条平行直线间的距离通常转化为其中 一条直线上任意一点到另一条直线的距离， 且两平行线间距离与其中一条直线上点的选 取无关．
• (3)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用 数形结合来解决．
①将直线方程化为一般式 Ax＋By＋C＝0；
②将点(x0，y0)代入公式 d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|，计算可得．
设出直 由两平行直线间的距 求解 线方程 → 离公式得含参方程 → 即可
思路 2：
设直线上任意 一点的坐标
→
利用点到直线距 离公式列式子
→
化简可得所 求直线方程
[解析] 方法 1：由已知，可设所求的直线方程为 2x－y＋ C＝0(C≠－1)，
则它到直线 2x－y－1＝0 的距离 d＝ |C22－＋－－11| 2＝|C＋51|＝ 2，
•距离公式的应用
两互相平行的直线分别过 A(6,2)、B(－3，－1)， 并且各自绕着 A、B 旋转，如果两条平行线间的距离为 d，
(1)求 d 的变化范围； (2)求当 d 取得最大值时的两条直线方程．
[解析] 解法 1：(1)设两条直线方程分别为 y＝kx＋b1 和 y＝kx＋b2， 则2－＝16＝k＋－b31k，＋b2， 即bb12＝＝23－k－61k，， 而 d＝|b21－＋bk12|＝|91k－＋3k2|，两边平方整理得 即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0， 由于 k∈R， 所以 Δ＝542－4(81－d2)(9－d2)≥0， 整理得 4d2(d2－90)≤0，∴0<d≤3 10.
• [破疑点] (1)使用两条平行直线间的距离公 式的前提条件：
• ①把直线方程化为直线的一般式方程；
• ②两条直线方程中x，y系数必须分别相等．
• (2)求两条平行直线间的距离通常转化为其中 一条直线上任意一点到另一条直线的距离， 且两平行线间距离与其中一条直线上点的选 取无关．
• (3)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用 数形结合来解决．
①将直线方程化为一般式 Ax＋By＋C＝0；
②将点(x0，y0)代入公式 d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|，计算可得．
点到直线的距离 两条平行直线间的距离 课件
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
解 法一 若在直线 l1 上任取一点 A(2,1)，则点 A 到直线 l2 的 距离，即为所求的平行线间的距离． ∴d＝|3×2＋342＋×412－15|＝1. 法二 直接应用两条平行线间的距离公式． l1：3x＋4y－10＝0， l2：3x＋4y－15＝0， ∴d＝|－103－2＋－4215|＝1.
3．3.3 点到直线的距离 3．3.4 两条平行直线间的距离
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
自学导引
1．点到直线的距离公式
点 P(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离
d＝
|Ax0＋By0＋C| A2＋B2
.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
想一想：点到直线的距离公式对于 A＝0 或 B＝0 或点 P 在直线 l 上的特殊情况是否仍然适用？ 提示 仍然适用． ①当 A＝0，B≠0 时，直线 l 的方程为 By＋C＝0， 即 y＝－CB，d＝y0＋CB＝|By|0B＋| C|，适合公式； ②当 B＝0，A≠0 时，直线 l 的方程为 Ax＋C＝0， x＝－CA，d＝x0＋CA＝|Ax|0A＋| C|，适合公式； ③当点 P 在直线 l 上时，有 Ax0＋By0＋C＝0， d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|＝0 适合公式．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
解 点 P(a，b)在直线 x＋y－3＝0 上， 而 a2＋b2＋10a－4b＋29＝ a＋52＋b－22， 本题可以看作是求点 P(a，b)与点 A(－5,2)的距离的最小值问题， 这个过程就是转化过程．点 P(a，b)在直线 x＋y－3＝0 上， 点 A(－5,2)到直线 x＋y－3＝0 的距离为 d＝|－5＋22－3|＝3 2， 此即所求代数式的最小值．
人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册课件
y
Q
P0
l
o
x
2.点到直线的距离
已知点
，直线
，
如何求点 到直线 的距离？
y
Q
P0
l
o
x
由
及直线 的斜率
得 直线 的斜率为
因此直线 的方程为
即Q点的坐标为
点
之间的距离
（ 到 的距离）为
逐项整理
以上两式相加，只整理分子得
所以
d | Ax0 By0 C | . A2 B2
注意 1.此公式是在A、B≠0的前提下推导的； 2.如果A=0或B=0，此公式恰好也成立；
设P1(x1, x2 ), P（2 x2 , y2 )是直线l : Ax By C 0上任意两点，
则PP21 (x2 x1, y2 y1)是直线l的方向向量。Ax1 By1 C 0 Ax2 By2 C 0两式相减，得A（x2 x1) B（y2 y1) 0. 由平面向量的数量积运算可知，向量（A, B)与向量（x2 x1, y2 y1) 垂直。向量 1 ( A, B)就是与直线l的方向向量垂直的一个单位
是否平行？若平行，求 间的距离.
解：因为 l1,l2
斜率分别为
k1
2 7
, k2
6 21
2. 7
所以 l1,l2 平行.
x 先求 l1 与 轴的交点 A的坐标，易得 A(4, 0)
点 A到直线 l的2 距离为
6 4 212
3 53 159
53
l1, l2
间的距离为
23 159
5
（2）根据点到直线的距离公式，得
d | 31 2 | 5
32 02
3
注意：当A=0或B=0，也可直接利用图形性质求得距离。
《认识平行》平行和相交PPT课件2 (共24张PPT)
下面每个图形中哪些线段是互相 平行的？各有几组平行的线段？
你能在右 边平移前 后的图形 中找到几 组互相平 行的线段 吗？
数一数，下面图形中有几组互相平 行的线段
本节课我们主要学习了哪些内容？ 同桌之间互相讨论一下！
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
①
②
③
④
⑤
⑥
概括：
c
a
b
d
②
③
在同一平面内，不相交的两条直线 互相平行,其中一条直线是另一条直 线的平行线.
说 法 想一想
说一说生活中的平行线
课间10分钟…… 请同学们找出图画中的平行线：
判断：下面哪些是互相平行的两条直线
①
Байду номын сангаас
②
③
④
⑤
⑥
⑦
互相平行的有：①
②
⑦
想一想
在这个平面内，可以画多少条直线平行 于已知直线a？
答案：无数条
a
……
画出这条直线的平行线
一合 二靠 三移 四画
经过A点画出这条直线的平行线
A
●
一合 二靠 三移 四画
判断
（1）不相交的两条直线互相平行。 （ × ） b （2） 左图中a是平行线。（ × ）
a
（3）互相平行的两条直线一定相等。（ ×）
（4）两条线段平行，它们所在的两条
直线一定平行。（√ ）
挫折的名言 1、 我觉得坦途在前，人又何必因为一点小障碍而不走路呢？——鲁迅 2、 “不耻最后”。即使慢，弛而不息，纵会落后，纵会失败，但一定可以达到他所向的目标。——鲁迅 3、 故天将降大任于是人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，曾益其所不能。 战胜挫折的名言 1、卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不饶。——贝多芬 2、每一种挫折或不利的突变，是带着同样或较大的有利的种子。——爱默生 3、我以为挫折、磨难是锻炼意志、增强能力的好机会。——邹韬奋 4、斗争是掌握本领的学校，挫折是通向真理的桥梁。——歌德 激励自己的座右铭 1、 请记得，好朋友的定义是：你混的好，她打心眼里为你开心；你混的不好，她由衷的为你着急。 2、 要有梦想，即使遥远。 3、 努力爱一个人。付出，不一定会有收获；不付出，却一定不会有收获，不要奢望出现奇迹。 4、 承诺是一件美好的事情，但美好的东西往往不会变为现实。 工作座右铭 1、 不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。——《荀子劝学》 2、 反省不是去后悔，是为前进铺路。 3、 哭着流泪是怯懦的宣泄，笑着流泪是勇敢的宣言。 4、 路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。——屈原《离骚》 5、 每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的路。 国学经典名句 1、知我者，谓我心忧，不知我者，谓我何求。（诗经王风黍离） 2、人而无仪，不死何为。 （诗经风相鼠） 3、言者无罪，闻者足戒。 （诗经大序） 4、他山之石，可以攻玉。 （诗经小雅鹤鸣） 5、投我以桃，报之以李。 （诗经大雅抑） 6、天作孽，犹可违，自作孽，不可活。（尚书） 7、满招损，谦受益。 （尚书大禹谟） 青春座右铭 1、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 2、把手握紧，什么也没有；把手伸开，你就拥有了一切。 3、不在打击面前退缩，不在困难面前屈服，不在挫折面前低头，不在失败面前却步。勇敢前进！ 4、当你能飞的时候就不要放弃飞。 5、当你能梦的时候就不要放弃梦。 激励向上人生格言 1、实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。 2、世界会向那些有目标和远见的人让路。 3、为了不让生活留下遗憾和后悔，我们应该尽可能抓住一切改变生活的机会。 4、无论你觉得自己多么的不幸，永远有人比你更加不幸。 5、无论你觉得自己多么的了不起，也永远有人比你更强。 6、打击与挫败是成功的踏脚石，而不是绊脚石。 激励自己的名言 1、忍别人所不能忍的痛，吃别人所别人所不能吃的苦，是为了收获得不到的收获。 2、销售是从被别人拒绝开始的。 3、好咖啡要和朋友一起品尝，好机会也要和朋友一起分享。 4、生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。 5、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。 6、有识有胆，有胆有识，知识与胆量是互相促进的。 7、体育锻炼可以（有时可以迅速）使人乐观（科学实验证明）。 8、勤奋，机会，乐观是成功的三要素。（注意：传统观念认为勤奋和机会是成功的要素，但是经过统计学和成功人士的分析得出，乐观是成功的第三要素） 9、自信是人格的核心。 10、获得的成功越大，就越令人高兴。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 2
栏目 导引
第三章
直线与方程
|m－ 3 m＋ 2| ∵点 B(m， m)到直线 AC 的距离 d＝ ， 2 2 3 ＋1 1 1 1 32 1 ∴△ ABC 的面积 S＝ |AC|· d＝ |m－ 3 m＋ 2|＝ |( m－ ) － |. 2 2 2 2 4 ∵ 1<m <4，∴ 1< m<2， 32 1 1 1 ∴ 0<|( m－ ) － |≤ ， 0<S≤ . 2 4 4 8 3 9 ∴当 m＝ ，即 m＝ 时，△ ABC 的面积 S 最大． 2 4
栏目 导引
第三章
直线与方程
【名师点评】 (1)利用“化归”思想将两平行直线的距离 转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离． |C1 － C2 | (2)直接用公式 d＝ 2 ，但要注意两直线方程中 x， y 2 A ＋B 的系数必须分别相同．
栏目 导引
第三章
直线与方程
跟踪训练
2．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的 直线方程．
跟踪训练
4．设x＋2y＝1，求x2＋y2的最小值；若x≥0，y≥0，求 x2＋y2的最大值． 解：在直角坐标系中，x＋ 2y＝1 表示直线，记 d2＝ x2＋ y2， 它表示直线上的点到原点距离的平方，显然原点到直线 x ＋ 2y＝ 1 的距离的平方即为所求的最小值， |－ 1| 2 1 2 即 dmin＝( 2 )＝ . 2 5 1 ＋2
2
2
栏目 导引
第三章
直线与方程
做一做
2. 两平行直线 x＋ y＋ 2＝0 与 x＋ y－ 3＝ 0 的距离等于 ( 5 2 2 A. B. 2 2 C． 5 2 D. 2 )
|2－－ 3 | 5 2 解析：选 A. d＝ 2 ＝ . 2 2 1 ＋1
栏目 导引
第三章
直线与方程
典题例证技法归纳
解：设与 l 平行的直线方程为 5x－ 12y＋ C＝ 0， |C－ 6| 根据两平行直线间距离公式得 2 ＝ 3， 2 5 ＋－12 解之得 C＝ 45 或 C＝－ 33， 故所求直线方程为 5x－ 12y＋ 45＝ 0 或 5x－ 12y－ 33＝ 0.
栏目 导引
第三章
直线与方程
题型三
例2
按ESC键退出全屏播放
栏目 导引
解析：选 D. d＝
|－ 5| 1 ＋22 2源自＝ 5.栏目 导引
第三章
直线与方程
2．两条平行线间的距离 (1)求两条平行线间的距离时，可转化为求其中一条直线 上任意一点到另一条直线的距离． (2)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距 |C1 － C2 |
A ＋ B x、y的系数均应分别为A、B)． 离公式d＝___________(
第三章
直线与方程
3．3.3
点到直线的距离
3．3.4 两条平行直线间的距离
第三章
直线与方程
学习导航
学习目标
重点难点 重点：会求点到直线的距离、两平行直线间的距离． 难点：点到直线距离，两平行直线间的距离的综合应用．
栏目 导引
第三章
直线与方程
新知初探思维启动
1．点到直线的距离
|Ax0 ＋ By0＋ C|
栏目 导引
第三章
直线与方程
跟踪训练
1．已知点 A(a, 2)(a>0)到直线 l： x－ y＋ 3＝ 0 的距离为 1， 则 a 的值为多少？
解：由点到直线的距离公式可知 |a－ 2＋ 3| d＝ ＝ 1.解得 a＝－ 1± 2. 2 又∵ a>0，∴ a＝－ 1＋ 2.
栏目 导引
第三章
直线与方程
栏目 导引
第三章
直线与方程
③点 P(x0， y0 )到与 x 轴平行的直线 y＝ a(a≠ 0)的距离 d＝ |y0 － a|； ④点 P(x0， y0 )到与 y 轴平行的直线 x＝ b(b≠ 0)的距离 d＝ |x0 － b|. 2．求两条平行直线间的距离的方法 (1)两条平行直线间的距离实际上是夹在两条平行直线间的 公垂线段的长度． (2)两条平行直线间的距离在求解时一般转化为一条直线上 一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (3)求两条平行直线间的距离时也可用如下公式： 设直线 l1： Ax＋ By＋ C1＝ 0， l2： Ax＋ By＋ C2＝ 0，则两平行 |C1 － C2 | 直线间的距离为 d＝ 2 . 2 A ＋B
【题型探究】
题型一
例1
求点到直线的距离
求点P(1,2)到下列直线的距离：
(1)l1：y＝x－3；(2)l2：y＝－1；(3)y轴．
【解】 (1)将直线方程化为一般式为 x－ y－ 3＝ 0， |1－ 2－ 3| 由点到直线的距离公式，得 d1＝ 2 ＝ 2 2. 2 1 ＋－1
栏目 导引
第三章
栏目 导引
第三章
直线与方程
【方法感悟】
1．点到直线的距离公式 (1)点到直线的距离是该点与直线上任意一点连线的最短 距离； (2)点到直线的距离公式适用于坐标平面内的所有情况， 特别是当点在直线上时，该距离为0； (3)当点与直线有特殊的位置关系时，可以用公式求解， 也可以用数形结合的方法求解，特别注意以下几种特 例：①点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|； ②点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；
距离公式的综合应用
已知△ ABC 的顶点坐标为 A(1,1)、 B(m， m)、 C(4,2)，
1<m <4.当 m 为何值时，△ ABC 的面积 S 最大？
|AC|＝ 4－ 1 ＋ 2－ 1 ＝ 10， y－ 1 x－ 1 直线 AC 的方程为 ＝ ，即 x－ 3y＋ 2＝ 0. 2－ 1 4－ 1 【解】
直线与方程
(1) (2)法一：直线方程化为一般式为 y＋ 1＝ 0， |2＋ 1| 由点到直线的距离公式，得 d2＝ 2 ＝ 3. 2 0 ＋1 法二：∵ y＝－1 平行于 x 轴 (如图 (1)所示)， ∴ d2＝ |－ 1－ 2|＝ 3. (2) (3)法一：y 轴的方程为 x＝ 0， |1＋ 0＋ 0| 由点到直线的距离公式，得 d3＝ ＝ 1. 2 2 1 ＋0 法二：如图 (2)所示，可知 d3＝ |1－ 0|＝ 1.
若 x≥ 0， y≥ 0，则问题即为求线段 AB(其中 A、 B 为直线 x＋ 2y＝ 1 与 x 轴、y 轴的交点 )上的点与原点距离的平方的 2 2 最大值 (如图所示 )，显然 dmax＝ |OA| ＝ 1.
栏目 导引
第三章
直线与方程
知能演练轻松闯关
栏目 导引
第三章
直线与方程
本部分内容讲解结束
题型二
例2
的距离．
两条平行线间的距离问题
求两条平行直线 l1： 6x＋ 8y＝ 20 与 l2： 3x＋ 4y－ 15＝ 0
【解】 法一：若在直线 l1 上任取一点 A(2,1)，则点 A 到直 线 l2 的距离，即为所求的平行线间的距离． |3× 2＋ 4× 1－ 15| ∴ d＝ ＝ 1. 2 2 3 ＋4 法二：直接应用两条平行线间的距离公式． l1 ： 3x＋ 4y－ 10＝ 0， l2： 3x＋ 4y－ 15＝ 0， |－ 10－－ 15 | ∴ d＝ ＝ 1. 2 2 3 ＋4
2 2
A ＋B 点 P0(x0， y0)到直线 l： Ax＋ By＋ C＝ 0 的距离 d＝ ______________.
想一想点到直线的距离公式对直线方程有什么要求？ 提示：直线方程要化为一般式．
栏目 导引
第三章
直线与方程
做一做
1. 原点到直线 x＋ 2y－ 5＝0 的距离为( A． 1 B. 3 C． 2 ) D. 5
栏目 导引
第三章
直线与方程
精彩推荐典例展示
名师解题
例4
化归与转化思想在求最值中的应用
已知函数 f(x)＝ x2 － 2x＋ 2＋ x2 － 4x＋ 8，求函数
f(x)的最小值．
栏目 导引
第三章
直线与方程
【解】 由题意，得 f(x)＝ x－ 12＋ 0－ 12＋ x－ 2 ＋ 0＋ 2 . f(x)可以看作点 C(x, 0)到点 A(1,1)与点 B(2，－ 2)的距离之 和． 如图所示，点 A， B 在 x 轴的两侧， ∴当点 C 与 A 和 B 两点共线时，距离之和最小． 即 f(x)的最小值为 |AB|＝ 1－ 22＋ [1－－ 2]2＝ 10.
2 2
栏目 导引
第三章
直线与方程
信息提炼 的关键．
层层剖析
将该函数式变形，根号内变成平方和的形式是求解问题
利用化归与转化思想将f(x)看作点C(x,0)到点A(1,1)与点
B(2，－2)的距离之和．
利用几何性质(数形结合思想)求得距离之和的最小值， 即f(x)的最小值．
栏目 导引
第三章
直线与方程
栏目 导引
第三章
直线与方程
【名师点评】
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形
式，要先化成一般式再用公式．例如，求 P0 (x0，y0)到直 线 y＝ kx＋b 的距离， 应先把直线方程化为 kx－ y＋ b＝ 0， |kx0 － y0＋ b| 得 d＝ . 2 k ＋1 (2)点 P 在直线 l 上时，点到直线的距离为零，公式仍然 适用，故应用公式时不必判断点 P 与直线 l 的位置关系．
【名师点评】 点 B 到 AC 的距离最大， 即△ ABC 的面积最大， 问题“化归”为求距离最值．
栏目 导引
第三章
直线与方程
跟踪训练
3．已知直线l1：x－y－4＝0，l2：x＋y－2＝0，求l1与l2
所成角的平分线所在直线l的方程．
解：设直线 l 上任意一点 P(x， y)， 由题意知 P 到两直线 l1， l2 的距离相等， |x＋ y－ 2| |x－ y－ 4| 即 ＝ ，即 |x＋ y－ 2|＝ |x－ y－ 4|， 2 2 即 (x＋ y－ 2)＝± (x－ y－ 4)，即 y＝－ 1 或 x＝ 3.
栏目 导引
第三章
直线与方程
|m－ 3 m＋ 2| ∵点 B(m， m)到直线 AC 的距离 d＝ ， 2 2 3 ＋1 1 1 1 32 1 ∴△ ABC 的面积 S＝ |AC|· d＝ |m－ 3 m＋ 2|＝ |( m－ ) － |. 2 2 2 2 4 ∵ 1<m <4，∴ 1< m<2， 32 1 1 1 ∴ 0<|( m－ ) － |≤ ， 0<S≤ . 2 4 4 8 3 9 ∴当 m＝ ，即 m＝ 时，△ ABC 的面积 S 最大． 2 4
栏目 导引
第三章
直线与方程
【名师点评】 (1)利用“化归”思想将两平行直线的距离 转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离． |C1 － C2 | (2)直接用公式 d＝ 2 ，但要注意两直线方程中 x， y 2 A ＋B 的系数必须分别相同．
栏目 导引
第三章
直线与方程
跟踪训练
2．求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的 直线方程．
跟踪训练
4．设x＋2y＝1，求x2＋y2的最小值；若x≥0，y≥0，求 x2＋y2的最大值． 解：在直角坐标系中，x＋ 2y＝1 表示直线，记 d2＝ x2＋ y2， 它表示直线上的点到原点距离的平方，显然原点到直线 x ＋ 2y＝ 1 的距离的平方即为所求的最小值， |－ 1| 2 1 2 即 dmin＝( 2 )＝ . 2 5 1 ＋2
2
2
栏目 导引
第三章
直线与方程
做一做
2. 两平行直线 x＋ y＋ 2＝0 与 x＋ y－ 3＝ 0 的距离等于 ( 5 2 2 A. B. 2 2 C． 5 2 D. 2 )
|2－－ 3 | 5 2 解析：选 A. d＝ 2 ＝ . 2 2 1 ＋1
栏目 导引
第三章
直线与方程
典题例证技法归纳
解：设与 l 平行的直线方程为 5x－ 12y＋ C＝ 0， |C－ 6| 根据两平行直线间距离公式得 2 ＝ 3， 2 5 ＋－12 解之得 C＝ 45 或 C＝－ 33， 故所求直线方程为 5x－ 12y＋ 45＝ 0 或 5x－ 12y－ 33＝ 0.
栏目 导引
第三章
直线与方程
题型三
例2
按ESC键退出全屏播放
栏目 导引
解析：选 D. d＝
|－ 5| 1 ＋22 2源自＝ 5.栏目 导引
第三章
直线与方程
2．两条平行线间的距离 (1)求两条平行线间的距离时，可转化为求其中一条直线 上任意一点到另一条直线的距离． (2)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距 |C1 － C2 |
A ＋ B x、y的系数均应分别为A、B)． 离公式d＝___________(
第三章
直线与方程
3．3.3
点到直线的距离
3．3.4 两条平行直线间的距离
第三章
直线与方程
学习导航
学习目标
重点难点 重点：会求点到直线的距离、两平行直线间的距离． 难点：点到直线距离，两平行直线间的距离的综合应用．
栏目 导引
第三章
直线与方程
新知初探思维启动
1．点到直线的距离
|Ax0 ＋ By0＋ C|
栏目 导引
第三章
直线与方程
跟踪训练
1．已知点 A(a, 2)(a>0)到直线 l： x－ y＋ 3＝ 0 的距离为 1， 则 a 的值为多少？
解：由点到直线的距离公式可知 |a－ 2＋ 3| d＝ ＝ 1.解得 a＝－ 1± 2. 2 又∵ a>0，∴ a＝－ 1＋ 2.
栏目 导引
第三章
直线与方程
栏目 导引
第三章
直线与方程
③点 P(x0， y0 )到与 x 轴平行的直线 y＝ a(a≠ 0)的距离 d＝ |y0 － a|； ④点 P(x0， y0 )到与 y 轴平行的直线 x＝ b(b≠ 0)的距离 d＝ |x0 － b|. 2．求两条平行直线间的距离的方法 (1)两条平行直线间的距离实际上是夹在两条平行直线间的 公垂线段的长度． (2)两条平行直线间的距离在求解时一般转化为一条直线上 一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求． (3)求两条平行直线间的距离时也可用如下公式： 设直线 l1： Ax＋ By＋ C1＝ 0， l2： Ax＋ By＋ C2＝ 0，则两平行 |C1 － C2 | 直线间的距离为 d＝ 2 . 2 A ＋B
【题型探究】
题型一
例1
求点到直线的距离
求点P(1,2)到下列直线的距离：
(1)l1：y＝x－3；(2)l2：y＝－1；(3)y轴．
【解】 (1)将直线方程化为一般式为 x－ y－ 3＝ 0， |1－ 2－ 3| 由点到直线的距离公式，得 d1＝ 2 ＝ 2 2. 2 1 ＋－1
栏目 导引
第三章
栏目 导引
第三章
直线与方程
【方法感悟】
1．点到直线的距离公式 (1)点到直线的距离是该点与直线上任意一点连线的最短 距离； (2)点到直线的距离公式适用于坐标平面内的所有情况， 特别是当点在直线上时，该距离为0； (3)当点与直线有特殊的位置关系时，可以用公式求解， 也可以用数形结合的方法求解，特别注意以下几种特 例：①点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|； ②点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；
距离公式的综合应用
已知△ ABC 的顶点坐标为 A(1,1)、 B(m， m)、 C(4,2)，
1<m <4.当 m 为何值时，△ ABC 的面积 S 最大？
|AC|＝ 4－ 1 ＋ 2－ 1 ＝ 10， y－ 1 x－ 1 直线 AC 的方程为 ＝ ，即 x－ 3y＋ 2＝ 0. 2－ 1 4－ 1 【解】
直线与方程
(1) (2)法一：直线方程化为一般式为 y＋ 1＝ 0， |2＋ 1| 由点到直线的距离公式，得 d2＝ 2 ＝ 3. 2 0 ＋1 法二：∵ y＝－1 平行于 x 轴 (如图 (1)所示)， ∴ d2＝ |－ 1－ 2|＝ 3. (2) (3)法一：y 轴的方程为 x＝ 0， |1＋ 0＋ 0| 由点到直线的距离公式，得 d3＝ ＝ 1. 2 2 1 ＋0 法二：如图 (2)所示，可知 d3＝ |1－ 0|＝ 1.
若 x≥ 0， y≥ 0，则问题即为求线段 AB(其中 A、 B 为直线 x＋ 2y＝ 1 与 x 轴、y 轴的交点 )上的点与原点距离的平方的 2 2 最大值 (如图所示 )，显然 dmax＝ |OA| ＝ 1.
栏目 导引
第三章
直线与方程
知能演练轻松闯关
栏目 导引
第三章
直线与方程
本部分内容讲解结束
题型二
例2
的距离．
两条平行线间的距离问题
求两条平行直线 l1： 6x＋ 8y＝ 20 与 l2： 3x＋ 4y－ 15＝ 0
【解】 法一：若在直线 l1 上任取一点 A(2,1)，则点 A 到直 线 l2 的距离，即为所求的平行线间的距离． |3× 2＋ 4× 1－ 15| ∴ d＝ ＝ 1. 2 2 3 ＋4 法二：直接应用两条平行线间的距离公式． l1 ： 3x＋ 4y－ 10＝ 0， l2： 3x＋ 4y－ 15＝ 0， |－ 10－－ 15 | ∴ d＝ ＝ 1. 2 2 3 ＋4
2 2
A ＋B 点 P0(x0， y0)到直线 l： Ax＋ By＋ C＝ 0 的距离 d＝ ______________.
想一想点到直线的距离公式对直线方程有什么要求？ 提示：直线方程要化为一般式．
栏目 导引
第三章
直线与方程
做一做
1. 原点到直线 x＋ 2y－ 5＝0 的距离为( A． 1 B. 3 C． 2 ) D. 5
栏目 导引
第三章
直线与方程
精彩推荐典例展示
名师解题
例4
化归与转化思想在求最值中的应用
已知函数 f(x)＝ x2 － 2x＋ 2＋ x2 － 4x＋ 8，求函数
f(x)的最小值．
栏目 导引
第三章
直线与方程
【解】 由题意，得 f(x)＝ x－ 12＋ 0－ 12＋ x－ 2 ＋ 0＋ 2 . f(x)可以看作点 C(x, 0)到点 A(1,1)与点 B(2，－ 2)的距离之 和． 如图所示，点 A， B 在 x 轴的两侧， ∴当点 C 与 A 和 B 两点共线时，距离之和最小． 即 f(x)的最小值为 |AB|＝ 1－ 22＋ [1－－ 2]2＝ 10.
2 2
栏目 导引
第三章
直线与方程
信息提炼 的关键．
层层剖析
将该函数式变形，根号内变成平方和的形式是求解问题
利用化归与转化思想将f(x)看作点C(x,0)到点A(1,1)与点
B(2，－2)的距离之和．
利用几何性质(数形结合思想)求得距离之和的最小值， 即f(x)的最小值．
栏目 导引
第三章
直线与方程
栏目 导引
第三章
直线与方程
【名师点评】
(1)直线方程应为一般式，若给出其他形
式，要先化成一般式再用公式．例如，求 P0 (x0，y0)到直 线 y＝ kx＋b 的距离， 应先把直线方程化为 kx－ y＋ b＝ 0， |kx0 － y0＋ b| 得 d＝ . 2 k ＋1 (2)点 P 在直线 l 上时，点到直线的距离为零，公式仍然 适用，故应用公式时不必判断点 P 与直线 l 的位置关系．
【名师点评】 点 B 到 AC 的距离最大， 即△ ABC 的面积最大， 问题“化归”为求距离最值．
栏目 导引
第三章
直线与方程
跟踪训练
3．已知直线l1：x－y－4＝0，l2：x＋y－2＝0，求l1与l2
所成角的平分线所在直线l的方程．
解：设直线 l 上任意一点 P(x， y)， 由题意知 P 到两直线 l1， l2 的距离相等， |x＋ y－ 2| |x－ y－ 4| 即 ＝ ，即 |x＋ y－ 2|＝ |x－ y－ 4|， 2 2 即 (x＋ y－ 2)＝± (x－ y－ 4)，即 y＝－ 1 或 x＝ 3.