(名师整理)最新数学中考《路径轨迹问题》专题复习精品课件

AC BC 1 ∴CD'＝CE'＝2. ∴△ACD′∽△BCE′.
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②过 C 作 CN⊥AD，垂足为 N，如图 2，
∵∠AD′C＝30°，∴CN＝12CD′＝12CD＝54.
∵△ACD′∽△BCE′，∴∠AD′C＝∠BE′C＝30°.
∴点 M，C，D′，E′四点共圆．
∴∠ME′D′＋∠MCD′＝180°.
路径轨迹问题
考点解读
路径轨迹问题在近年的中考中都占据了重要地 位，都是在大题中结合题目的几何背景进行综合考查， 重在考查学生对知识的应用能力．考查的基本类型有： 利用轨迹求最值、判断轨迹并求轨迹的长，这些问题 大都利用数形结合、转化思想，将几何问题转化为代 数问题进行求解.
方法提炼
1.轨迹问题分类(预测轨迹) (1)直线型． (2)圆弧型． 2．破解轨迹问题的方法：路径虽是“隐形”的，但可用“三点”显 其形(即起点、过程点和终点三点确定其形状)，分五步解决问 题． 具体五步是： 一画：画出动点的起点、过程点和终点． 二看：观察三点是否在一直线上． 三猜想：在一直线上是线段，不在一直线上是圆弧． 四验证：线段型常用中位线或垂直平分线等知识解决；圆弧型常 利用“对称性”和“90°的圆周角所对弦是直径”等知识确定圆心和 半径． 五计算：常用勾股定理、相似三角形等知识进行求解.
答案 图
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9．如图，点E为矩形ABCD的边AD上一点， 点P从点B出发沿BE→ED→DC运动到点C停止， 点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动 的速度都是1 cm/s．点P，Q同时开始运动，设 运动时间为t(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，已知y 与t之间的函数图象如图2所示，给出下列结论： ①当0＜t≤10时，△BPQ是等腰三角形；② S△ABE＝24 cm2；③当14＜t＜22时，①y＝②1⑤00－ 6t；④在运动过程中，使得△ABP是等腰三角形 的P点一共3个；⑤当△BPQ与△BEA相似时，t ＝14.5.其中正确结论的序号是__________．
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例1 问题情境：
如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O
于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距
图1
离．
(1)探究：
请你结合图2给予证明．
(2)归纳：
图2
圆外一点到圆上各点的最短距离是：这点到连
接这点与圆心连线与圆交点之间的距离．
(3)图中有圆，直接运用：
如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝
程中，点 G 运源自文库的路径长为( A)
2π A. 3
第2
题图 π B. 3 C. 3 D．1
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【解析】如图，点 G 的运动轨迹是 . 在 Rt△AED 中，tan∠AED＝AADE＝ 3， ∴∠DEA＝∠DEG＝60°. ∴A︵G的长为120·18π0 ·1＝23π. 故答案为：A.
答案图
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3．如图，在平面直角坐标系中， ⊙O的半径为4，弦AB的长为3，过O 作OC⊥AB于点C，则OC的长度是 ____；⊙O内一点D的坐标为(－2， 1)，当弦AB绕O点顺时针旋转时，点 D到AB距离的最小值是_________．
第3题图
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4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝ 90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得 到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的 中点，连接PM.若3BC＝2，∠BAC＝ 30°，则线段PM的最大值是 ．
图1 图2
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10．如图1，在△ABC中，AB＝ ，∠B＝ 45°，BC＝7. (1)求边AC的长； (2)D为边AC的中点，过点D作DE∥AB交边BC 于点E，将△CDE绕C点顺时针旋转，得到对 应的三角形△CD′E′，连接AD′，BE′，AD′与 BE′交于M，连接MC. ①求证：△ACD′∽△BCE′； ②∠AD′C＝30°时，求MC的长； (3)在△CD′E′旋转的过程中，△AD′E′的面积是 否存在最大值，若存在，请直接写出△AD′E′最 大面积，若不存在，请说明理由．
第7题图
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8．如图，等腰△ABC 中，AC＝BC＝2 3.∠ACB＝120°， 以 AB 为直径在△ABC 另一侧作半圆，圆心为 O，点 D 为半 圆上的动点，将半圆沿 AD 所在直线翻折，翻折后的弧 AD 与直径 AB 交点为 F，当弧 AD 与 BC 边相切时，AF 的长为 _______．
∵∠D′E′C＝∠DEC＝45°，
∴∠ME′D′＝∠D′E′C＋∠ME′C＝75°.
∴∠MCD′＝105°.∴∠MCN＝45°.
52
图2
∴MC＝ 2CN＝ 4 .
(3)5 2＋72
11．如图，点E，F课分后别精在练矩形ABCD的边AB，BC
上，连接EF，将△BEF沿直线EF翻折得到△HEF， AB＝8，BC＝6，AE∶EB＝3∶1.
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图4
图5
图6
(5)迁移拓展，深化运用：
如图6，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足
AE＝DF.连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H.若正
方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是________．
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【分析】(1)在⊙O上任取一点C(不为点A，B)， 连接PC，OC，证得PA＜PC即可得到PA是点P到 ⊙O上的点的最短距离；
∵菱形 ABCD 边长为 2，∠A＝60°，M 为 AD 中点， ∴2MD＝AD＝CD＝2，∠HDM＝60°.
11 ∴∠HMD＝30°.∴HD＝2MD＝2. ∴HC＝25.∴HM＝DM·cos 30°＝ 23. ∴MC＝ HM2＋CH2＝ 7. ∴A′C＝MC－MA′＝ 7－1. (5) 5－1
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第 8 题图
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【解析】如图，作点 O 关于 AD 的对称点 O′，连接 O′A， ∵AC＝BC＝2 3，∠ACB＝120°，∴AB＝6. ∴O′A＝OA＝3. 延长 BC 交⊙O 于点 E， ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠E＝90°. 设⊙O′与 BC 相切于点 G，则∠O′GB＝90°， ∴∠E＝∠O′GB.∴AE∥O′G. ∵∠ABC＝30°，AB＝6，∴AE＝O′G＝3. ∴四边形 O′AEG 为平行四边形． ∴AO′∥BE.∴∠O′AB＝∠ABC＝30°. 作 O′M⊥AF 于 M， ∵O′A＝3，∠O′AB＝30°，∴AM＝MF＝32 3. ∴AF＝2AM＝3 3. 故答案为：3 3.
∴sin∠ODC＝OOCD＝4 6 2＝2 3 2.
图1
∵DE⊥AB，∴∠DEO＝90°＝∠OCD.
∴点 O，C，D，E 在以 OD 为直径的圆上．
∴∠AEC＝∠ODC.
∴sin∠AEC＝sin∠ODC＝2 3 2.
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如图 2，∵CD 是以 OD 为直径的圆中的弦，CE 要最大， 即 CE 是以 OD 为直径的圆的直径， ∴CE＝OD＝6，∠COE＝90°. ∵∠OCD＝∠OED＝90°， ∴四边形 OCDE 是矩形．∴DF∥AB. 过点 F 作 FG⊥AB 于 G， 易知，四边形 OCFG 是矩形，
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6．如图，正三角形ABC的边长为2， D，E分别是边AC，BC上的动点，且 AD＝CE，连接BD，2AE交于点G，则 CG的最小值为_____．
第6题图
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7．如图，矩形ABCD，AB＝12， BC＝6，点E在AD边上，AE＝1， 点F在AB边上运动，作一个矩形 EFGH，使点H落在CD边上，过点G 作GI⊥BC，垂足为I，则GI的最大 值为__________．
第4题图
答案图
【提示】如图，连接PC.PM≤PC＋CM
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5．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2， AD＝3，E是AB的中点，F是AD边上的一个 动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到 △A′EF，则A′C的长的最小值是 ．
第5题图
答案图
【提示】以点E为圆心，AE长 度为半径作圆，连接CE，当 点A′在线段CE上时，A′C的长 取最小值，如图．
(3)找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在 半圆上取P1，连接AP1，EP1，可见，AP1＋EP1＞ AE，即AP2是AP的最小值，再根据勾股定理求出 AE的长，然后减去半径即可；
(4)根据题意得出A′的位置，进而利用锐角三角 函数关系求出A′C的长即可；
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(5)根据正方形的性质可得 AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA， ∠ADG＝∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE 和△DCF 全等， 根据全等三角形对应角相等可得∠ABE＝∠FCD，利用“SAS” 证明△ADG 和△CDG 全等，根据全等三角形对应角相等可得 ∠FCD＝∠GAD，从而得到∠ABE＝∠GAD，然后求出∠AHB＝90°， 取 AB 的中点 O，连接 OH，OD，根据“直角三角形斜边上的中 线等于斜边的一半”可得 OH＝12AB＝1，利用勾股定理列式求出 OD，然后根据三角形的三边关系可知当 O，D，H 三点共线时， DH 的长度最小．
例2 如图，⊙O的直径AB的长为12， 长度为4的弦DF在半圆上滑动，DE⊥AB 于点E，OC⊥DF于点C，连接CE，AF， 则sin∠AEC的值是________，当CE的 长取得最大值时，AF的长是________．
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【解析】如图 1，连接 OD，∴DO＝12AB＝6.
∵OC⊥DF，∴∠OCD＝90°，CD＝CF＝12DF＝2. 在 Rt△OCD 中，根据勾股定理得， OC＝ OD2－CD2＝4 2，
(1)如图1，当∠BEF＝45°时，EH的延长线交DC 于点M，求HM的长；
图3
BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P
是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是
________．
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(4)图中无圆，构造运用： 如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的 中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到 △A′MN，连接A′C，请求出A′C长度的最小值． 【解】由折叠知A′M＝AM，又因M是AD的中点，可得MA＝ MA′＝MD，故点A′在以AD为直径的圆上．如图5，以点M为圆心， MA为半径画⊙M，过M作MH⊥CD，垂足为H.(请继续完成下列解 题过程) ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________ ___
路径长为( C )
A. 3π
第 1 题图 B. 23π C. 233π
D. 33π
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2．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝2，AD＝ 3，点 E 为 AB 的中点，F 为 AD 边上从点 A 到点 D 运动的一个动点，连 接 EF，将△AEF 沿 EF 折叠，点 A 落在点 G 处，在运动的过
图1
图2
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解：(1)过 A 作 AH⊥BC，垂足为 H，如图 1. 在 Rt△ABH 中，∵∠A＝45°，AB＝4 2， ∴AH＝BH＝4. 在 Rt△ACH 中，AH＝4，CH＝BC－BH＝3， 由勾股定理，得 AC＝ AH2＋CH2＝5.
图1
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(2)①证明：∵D 为 AC 的中点，DE∥AB， ∴DE 为△CAB 的中位线． ∴点 E 为 BC 的中点． ∵△CDE 旋转得到△CD′E′， ∴∠DCD′＝∠ECE′，CD＝CD′，CE＝CE′.
∴OG＝CF＝2，FG＝OC＝4 2.
∴AG＝OA－OG＝4.
图2
在 Rt△AFG 中，根据勾股定理得，AF＝ AG2＋FG2＝4 3.
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1．如图，半径为 4 的⊙O 中，CD 为直径，弦 AB⊥CD 且过半径 OD 的中点，点 E 为⊙O 上一动点，CF⊥AE 于点 F.当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的
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【解】(1)证明：如图 2，在⊙O 上任取一点 C(不为 点 A，B)，连接 PC，OC.
∵PO＜PC＋OC，PO＝PA＋OA，OA＝OC， ∴PA＜PC. ∴PA 是点 P 到⊙O 上的点的最短距离． (3) 5－1
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(4)∵MA′是定值，A′C 长度取最小值时，即点 A′在 MC 上．