恒成立问题与变量分离_韦志举

①
由
p∈
[
-2,
2] ,
得
x2
-2x-1 1 -x
>2.
即 x2 -2x-1 >2 -2x.
又 x<1, ∴x<- 3.
同理当
1
-x<0时
,
有
x2
-2x-1 1 -x
<p.
这时由 -2 ≤ p≤ 2, 有
x2 -2x-1 1 -x
<-2,
解得 x>2 + 3. 综上 , 所求 x的取值范围是 x<- 3 或 x
>2 + 3. 小结 1.对恒 成立 问题 , 往 往通 过变 量
分离后可达到如下形式 :
(1)a≥ f(x)恒成立 a≥ f(x)max; (2)a≤ f(x)恒成立 a≤ f(x)min. 2.解决这问题的步骤是 : (1)从 F(x, p) >0出发 , 将 x与 p分离 , 写成 g(p)<φ(x)或 g(p) >φ(x)的形式 ; (2)在 x∈ [ a, b] 上求 φ(x)的最大值 M 或最小值 m; (3)解不等式 g(p)<m或 g(p)>M, 所 得解集就是参变量 p的取值范围 .
3 2
2
+3 . 4
∵a∈ (0, 1),
∴当
y取 最 大 值
2 4
时
,
logay取 最 小 值
loga
2, 4
又
logax∈
R,
∴logax=
3 2
时 , logay的最小值为
3 4
.
∴loga
2 4
=
3 4
, 解得
a=
1 4
.
3
∴logax=
3 2
,
3
∴x=a2
=
1 4
2
=1 . 8
综上 , 当
解 (1ห้องสมุดไป่ตู้(2)略 .
(3)由 (2)知 f(x)在 x=1处取得的极小 值 f(1) =-3 -c也是 最小 值 , 要使 f(x)≥ -2c2 恒成立 , 只需
-3 -c≥ -2c2 ,
解得 c≥
3 2
或
c≤ -1.
所以 c的取值范围是
(-∞, -1] ∪
3 2
,
+∞
.
但是应该注意 到 :前 几道 例题 的 前提 条 件是 :这些条件都 是等可 能事 件 .若 不满足 这 个条件 , 则就不能 从概率 的角 度来解 释 , 否 则 就会出现错误 .
y取最小值
2时 4
a=
1 4
,
x=
1 8
.
五 、主次变量问题
例 5 对于满足 p ≤ 2 的所有实数 P,
求使不等式 x2 +px-1 >2x+p恒成立的 x的
取值范围 .
解 将变量分离 , 有
x2 -2x-1 >p(1 -x).
当 1 -x>0, 即 x<1 时
p<x2 -1 2-xx-1.
<0,
∴ 数列 {an}为递增数列 , 其最小值为
a2
=
1 3
+
1 4
=172.
问题转化为
1 12
loga(a-1)+
2 3
< 172,
解这个不等式 , 得
1
<a<1
+ 2
5.
所以符合题意的实数 a存在 , 其取值范围
是
1,
1
+5 2
.
四 、方程问题
例 4 已知 a∈ (0, 1)且 x满足 logax+
· 48·
例如 :用 0、1、2、3、4、5六个不同的数字 可
以组成多少个没有重复数字的三位偶数 ? 如果用 上 述 方 法 就 会 得 到 错 误 的 结 果
60, 然而正确的结果是 52.出现 错误的原 因就 在于从概率的角度来 看 , 它 不是 等可能 事件 , 这一点必须给学生讲清楚 .
· 47·
高中数学教与学 2008 年
例 2 (2007 年 重 庆 高考 题 )已 知 函 数 f(x) =ax4 lnx+bx4 -c(x>0)在 x=1处取 得极值 -3 -c, 其中 a、b、c为常数 .
(1)试确定 a, b的值 ;
(2)讨论函数 f(x)的单调区间 ; (3)若对任意 x>0, 不等式 f(x)≥ -2c2 恒成立 , 求 c的取值范围 .
而迎刃而解 . 一 、函数问题 例 1 (2007 年 上 海 高 考 题 )已 知 函 数
f(x) =x2 + ax(x≠ 0), 常数 a∈ R).
(1)讨论函数 f(x)的 奇偶 性 , 并 说明 理 由;
(2)若函数 f(x)在 x∈ [ 2, +∞)上为增 函数 , 求 a的取值范围 .
解 (1)略 . (2)解法 1 设 2 ≤ x1 <x2 . f(x1 )-f(x2 ) =x21 +xa1 -x22 -xa2 =(x1x1-x2x2 )[ x1 x2 (x1 +x2 )-a] . 要使函数 f(x)在 [ 2, +∞)上为增函数 , 必须 f(x1 )-f(x2 ) <0恒成立 . ∵x1 -x2 <0, x1 x2 >4, ∴a<x1 x2 (x1 +x2 )恒成立 . 又 x1 +x2 >4, ∴x1 x2 (x1 +x2 ) >16. ∴a的取值范围是 (-∞, 16] .
解法 2 f′(x)=2x-xa2 = 2x3x2-a.
问题转化为 2x3 -a≥ 0在 [ 2, +∞)恒成 立,
变量分离得 a≤ 2x3 在 [ 2, +∞)恒成立 ,
令 g(x)=2x3 , 则 g(x)在 [ 2, +∞)上为 增函数 , 其最小值为 g(2) =16.
∴a的取值范围是 (-∞, 16] . 二 、不等式问题
3logxa-logxy=3,
若
y有最大值
2时 4
,
求
x与
a的值 .
解 利用换底公式 , 题设等式可化为
logax+log3ax-lloogga ayx=3,
即 (logax)2 -3logax+3 -logay=0. 以 y为主变量分离得
logay=(logax)2 -3logax+3
=
logax-
第 9 期 高中数学教与学
恒成立问题与变量分离
韦志举 (广西河池高级中学 , 547000)
在含参变量的某些与函数 、数 列 、方程 和 不等式有关 的 恒成 立 的问 题 中 , 如 能将 变 量 分离出 来 , 问 题就 会化 难为 易 , 化繁 为简 , 从
三 、数列问题
∑ 例
3 设
n
an =
i=1
n1+i, 是否存在实数
a,
使不等式
an
>112loga(a-1)+
2 3
对于一切大
于 1的自然数 n都恒成立 ?若存在 , 试确定 a的
取值范围 , 否则说明理由 .
解
∵an -an+1
=
1 n+1
-2n1+1
-
1 2(n+1)
=2(n1+1)-2n1+1