恒成立问题与变量分离_韦志举

导数中恒成立问题(最值问题)

导数中恒成立问题（最值问题） 恒成立问题是高考函数题中的重点问题， 也是高中数学非常重要的一个模块， 不管是小题，还 是大题，常常以压轴题的形式出现。 知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边） 先来简单的（也是最本质的）如分离变量后， a f （x ）恒成立，则有a f （X ）max 2. 对于双变量的恒成立问题 f(x) min g(x)min 今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的， （甚至我提出这样 一个观点，所有导数的题目95%3根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论， 3%是 ax b 与ax 3 b 这种形式根的讨论，2%!观察法得到零点，零点通常是1,-,e 之类），所以如果 e 我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。 那么我们先从一道练习题说起 一?二次函数型（通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值） 例题1.已知f （x ） ■ 2x2 2ax a 1定义域为R ，求a 的取值围 思考：①引入定义域（非R ） ② 参数在二次项，就需考虑是否为0 1 ③ 引入高次（3次，4次，—，I nx , e x 等等） x ④ 引入a 2, a 3等项（导致不能分离变量） f （x ）恒成立，则有a f ( x) min （若是存在性问题，那么最大变最小, 最小变最大） 如：化简后我们分析得到, a,b ， f (x) 0恒成立，那么只需 f ( x) min a,b ，使得 f(x) 0,那么只需f （X ）max 0 如：化简后我们分析得到, X i ,X 2 a,b ， f(xj g(X 2)，那么只需 f (X)min g ( X) max 如：化简后我们分析得到, X i a,b ， x 2 c, d 使f （xj gg ），那么只需 如：化简后我们分析得到, X i a,b ，X 2 C,d 使 f (X i ) g(X 2),那么只需 f (X)max g(x)min 还有一些情况了，这里不一一列举， 一个变量，再处理另一个变量） 3.对于带绝对值的恒成立问题， 成立问题（2014.03锡常镇一模那题特别典型） 总之一句话 （双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理 我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒

有解无解恒成立问题的处理

有解无解恒成立与双变量问题的处理 宜章一中 吴 斌 “有解无解恒成立与双变量问题”是高中阶段的非常常见的一类函数问题，如何求解困扰了很多学生，那么遇到这类问题的常规思路与方法是什么呢？现例说几种问题的常规解法： 一．“有解”问题： 1° ()k x f ≤有解()k x f ≤?min ； 2° ()k x f ≥有解()k x f ≥?max ； 3° ()k x f =有解()x f k ∈?的值域； 例1、①已知函数()12+-=ax x x f 在]2,1[∈x 有零点，求实数a 的取值范围； ②已知不等式012≥+-ax x 在]2,1[∈x 有解，求实数a 的取值范围； ③已知不等式012≤+-ax x 在]2,1[∈x 有解，求实数a 的取值范围． 分析：①()x x a x f 10+=?=，而]25,2[1∈+x x ，则]2 5,2[∈a ； ②x x a 1+≤有解25)1(max =+≤?x x a ；即：2 5≤a ； ③x x a 1+≥有解2)1(min =+≥?x x a ；即：2≥a ． 二．“无解”问题： 1° ()k x f ≤无解()k x f >?min ； 2° ()k x f ≥无解()k x f ?x x a ；即：2 5>a ． 三．“恒成立”问题： ()k x f ≤恒成立()k x f ≤?max ；()k x f ≥恒成立()k x f ≥?min ； 例3、函数()ax e x x f x +?=在区间]2,1[上单调递增，求实数a 的取值范围． 分析：即()0'≥+?+=a e x e x f x x 在]2,1[∈x 恒成立；

恒成立能成立问题总结详细

恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理 函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。感觉题型变化无常，没有一个固定的思想方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。在此为了更好的准确地把握快速解决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。 一、函数法 （一）构造一次函数 利用一次函数的图象或单调性来解决 对于一次函数],[),0()(n m x k b kx x f ∈≠+=有： ?? ?<>????>>?>0 )(0 )(0)(; )(0 )(0)(00)(00)(n f m f x f n f m f n f k m f k x f 恒成立或恒成立 例1 若不等式m mx x ->-2 12对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范 围。 解析：将不等式化为：0)12()1(2 <---x x m ， 构造一次型函数：)12()1()(2---=x m x m g 原命题等价于对满足22≤≤-m 的m ，使0)(

导数中双变量问题的四种策略

双变量问题的几种处理策略 策略一：合的思想 问题1：已知函数x x f ln )(=的图象上任意不同的两点， ，线段的中点为 ，记直线的斜率为，试证明：． 解析：因为 ∴, ∴,又 不妨设 ， 要比较与的大小，即比较与的大小， 又∵，∴ 即比较与 的大小． 令,则, ∴在上位增函数． 又，∴， ∴，即 二：分的思想 问题2：若1 ln )(++=x a x x g ，且对任意的(]2,1,21∈x x ，， 都有， 求a 的取值范围． 解析∵ ，∴ 由题意得在区间(]2,1上是减函数． ∴ () 11,y x A () 22,y x B AB ),(00y x C AB k )(0x f k '>x x f ln )(=x x f 1)(='210021)(x x x x f +=='121212121212ln ln ln )()(x x x x x x x x x x x f x f k -= --=--=12x x >k )(0x f '1 212 ln x x x x -2 12 x x +12x x >12ln x x 1)1( 2) (21 2 1 2 2 112+-=+-x x x x x x x x )1(1) 1(2ln )(≥+--=x x x x x h 0) 1()1()1(41)(2 22≥+-=+-='x x x x x x h )(x h [)+∞,1112>x x 0)1()(12 =>h x x h 1)1( 2ln 1 2 1 2 1 2+->x x x x x x )(0x f k '>21x x ≠1 ) ()(1 212-<--x x x g x g 1)()(1 212-<--x x x g x g []0)()(121122<-+-+x x x x g x x g x x g x F +=)()(1)1(1)(2 ++-= 'x a x x F

双变量问题典例

双变量问题典例 1、已知函数()ln 1f x x a x =--（a 为常数）与x 轴有唯一的公共点A ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为23a a --，若存在不相等的正实数12x x ，满足 12|()||()|f x f x =，证明：121x x <．

答案第2页，总7页 2．已知函数()2ln f x a x =， ()()1g x f x x x =+- . （1）当1a =时，求函数()f x 的曲线上点()() ,e f e 处的切线方程； （2）当1a ≤时，求()g x 的单调区间； （3）若()g x 有两个极值点1x ， 2x ，其中110,3 x ??∈ ?? ? ，求()()12g x g x -的最小值

3．已知函数()22ln ax b f x x x -=-的图象在1x =处的切线过点()0,22a -， ,R a b ∈. （1）若8 5 a b += ，求函数()f x 的极值点； （2）设()1212,x x x x ≠是函数()f x 的两个极值点，若 11 1e x <<，证明： ()()211f x f x -<.（提示2e 7.40≈）

答案第4页，总7页 4、已知函数)1ln()12()(2 ++-+=x x a ax x f 有两个极值点21,x x (1)求a 的取值范围；(2)证明:452ln 2)()(21-<+x f x f

5、 已知函数1 ()ln f x x a x x =-+．（2018全国1卷理数第21题） （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()() 1212 2f x f x a x x -<--．

导数中恒成立问题(最值问题)

导数中恒成立问题（最值问题） 恒成立问题是高考函数题中的重点问题，也是高中数学非常重要的一个模块，不管是小题，还是大题，常常以压轴题的形式出现。 知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边） 先来简单的（也是最本质的）如分离变量后，()a f x ≥恒成立，则有max ()a f x ≥ ()a f x ≤恒成立，则有min ()a f x ≤ （若是存在性问题，那么最大变最小，最小变最大） 1.对于单变量的恒成立问题 如：化简后我们分析得到，对[],x a b ?∈，()0f x ≥恒成立，那么只需min ()0f x ≥ [],x a b ?∈，使得()0f x ≥，那么只需max ()0f x ≥ 2.对于双变量的恒成立问题 如：化简后我们分析得到，对[]12,,x x a b ?∈，12()()f x g x ≥，那么只需min max ()()f x g x ≥ 如：化简后我们分析得到，对[]1,x a b ?∈，[]2,x c d ?∈使12()()f x g x ≥，那么只需 min min ()()f x g x ≥ 如：化简后我们分析得到，[]1,x a b ?∈，[]2,x c d ∈使12()()f x g x ≥，那么只需max min ()()f x g x ≥ 还有一些情况了，这里不一一列举，总之一句话（双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理一个变量，再处理另一个变量） 3.对于带绝对值的恒成立问题，我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒成立问题（201 4.03苏锡常镇一模那题特别典型） 今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的，（甚至我提出这样一个观点，所有导数的题目95%归根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论，3%是 ax b +与3ax b +这种形式根的讨论，2%是观察法得到零点，零点通常是1 1,,e e 之类） ，所以如果我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。 那么我们先从一道练习题说起 一．二次函数型（通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值） 例题1.已知()f x =R ，求a 的取值范围 思考：① 引入定义域（非R ） ②参数在二次项，就需考虑是否为0 ③引入高次（3次，4次，1 x ，ln x ，x e 等等） ④引入2a ，3a 等项（导致不能分离变量）

专题32 函数的存在与恒成立问题(原卷版)

专题32 函数的存在与恒成立问题 一、题型选讲 题型一 、 函数的存在问题 函数的恒成立问题往往采取分离参数法，参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则： ①()(),x D g a f x ?∈≤，则只需要()()max g a f x M ≤= ()(),x D g a f x ?∈<，则只需要()()max g a f x M <= ②()(),x D g a f x ?∈≥，则只需要()()min g a f x m ≥= ()(),x D g a f x ?∈>，则只需要()()min g a f x m >= 例1、【2019年高考浙江】已知a ∈R ，函数3 ()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2 |(2)()|3 f t f t +-≤ ，则实数a 的最大值是___________. 例2、(2016泰州期末） 若命题“存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是________． 例3、(2016苏锡常镇调研） 已知函数f (x )＝x ||x 2－a ，若存在x ∈[]1，2，使得f (x )<2，则实数a 的取值范围是________． 题型二、 函数的恒成立问题 函数的恒成立问题往往采取分离参数法，参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则： （1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目） 参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设x 为自变量，其范围设为D ，()f x 为函数；a 为参数，()g a 为其表达式）（1）若()f x 的值域为[],m M ①()(),x D g a f x ?∈≤，则只需要()()min g a f x m ≤= ()(),x D g x f x ?∈<，则只需要()()min g a f x m <= ②()(),x D g a f x ?∈≥，则只需要()()max =g a f x M ≥

7【题组七】双变量的恒成立与存在性问题

经典问题： 问题一：任意与任意 【例1】设()x x x a x f ln += ，()32 3--=x x x g ，如果对于任意的s ，?? ????∈2,21t ，都有()()t g s f ≥成立，求实数a 的取值范围。 【例2】已知函数()()()x x x g R m mx ex x x f ln , 13123= ∈++-= 。 （1）求函数()x f 的单调区间； （2）若对()+∞∈?,0,21x x ，()()2'1x f x g <恒成立，求实数m 的取值范围。 【变式1】已知函数(),1682 k x x x f -+=()x x x x g 4522 3 ++=，其中R ∈k ,对任意 1x ， []3,32-∈x ，都有()()21x g x f >成立，求实数k 的取值范围。 【变式2】设0>a 函数(),2 x a x x f +=()x x x g ln -=，如果对任意 1x ，[]e x ,12∈，都 有()()21x g x f >成立，求实数a 的取值范围。 【变式3】已知函数()(),13 123 R ∈++-= m mx ex x x f ()x x x g ln =，若对任意 1x ，()∞+∈，02x ，都有()()2'1x f x g <成立，求实数m 的取值范围。

问题二：任意与存在 【例1】已知函数()()(),ln 2122 12R ∈++-= a x x a ax x f ()x x x g 22 -=，若对任意 (]201，∈x ，均存在(]202，∈x ，使得()()21x g x f <，求a 的取值范围。 【例2】已知()，2 x x f =()m x g x -?? ? ??=21，若对任意的 []3,11-∈x ，存在[]202， ∈x ，使得()()21x g x f ≥，求实数m 的取值范围是___________。 【例3】已知函数()()1ln 12+++=ax x a x f 。 （1）讨论函数()x f 的单调区间； （2）设()322++-=bx x x g ，当3 1 - =a 时，若对()+∞∈?,01x ，[]2,12∈?x 使得()()21x g x f ≤，求实数b 的取值范围。 【变式1】已知函数()(),ln R ∈+=a x ax x f ()222 +-=x x x g ，若对任意 ()∞+∈， 01x ，均存在[]102， ∈x ，使得()()21x g x f <，求a 的取值范围。 【变式2】已知函数(),222 +-=x x x f ()x ax x g ln +=，若1->a 且对任意 []1,01∈x ， 均存在[]e x ，12∈，使得()()21x g x f <，求a 的取值范围。

(完整word版)恒成立与存在性问题的解题策略

“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略 一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为 M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤?? 在上恒成立在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ， 若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则 ()()x g x f m in m in ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则 ()()x g x f m a x m a x ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f m i n m a x ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f m a x m i n ≤ 8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A ?B. 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 恒成立问题的基本类型 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题. 函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R;●某不等式的解为一切实数;?某表达式的值恒大于a 等等… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起

专题16 与双变量有关的恒成立问题(原卷版)

备战2020高考数学冲刺秘籍之恒成立与有解问题解法大全第二篇 专题十六 与双变量有关的恒成立问题 一、问题指引 函数背景下的双变量问题，一直是高考的热点与难点，求解基本方法是利用相关知识转化为一个变量的函数问题． 二、方法详解 （一）构造齐次式，换元 【例】（2020年河南高三期末）已知函数()2ln f x x ax b x =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程 为2y x =. （1）求实数,a b 的值； （2）设()()()()21212,,0F x f x x mx m R x x x x =-+∈<<分别是函数()F x 的两个零点，求证：0F ' <. 【类题展示1】【四川省2020届高三期末】已知函数()()2 1f x x axlnx ax 2a R 2 =-++∈有两个不同的极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2． （1）求实数a 的取值范围； （2）求证：x 1x 2＜a 2． 【类题展示2】（2020·湖北高三期末）已知函数()1 2ln f x x a x x =-+?. （1）讨论()f x 的单调性； （2）设()2 ln g x x bx cx =--，若函数()f x 的两个极值点()1212,x x x x <恰为函数()g x 的两个零点，且 ()12122x x y x x g +??'=-? ???的范围是2ln 2,3?? -+∞???? ，求实数a 的取值范围. (二)各自构造一元函数 【例】（2020·河南高三月考）已知函数f （x ）＝lnx ﹣ax +1（a ∈R ）． （1）求f （x ）的单调区间； （2）设g （x ）＝lnx 3 44x x - +，若对任意的x 1∈（0，+∞），存在x 2∈（1，+∞），使得f （x 1）＜g （x 2）成

关于函数恒成立问题的解题

恒成立问题 二、恒成立问题解决的基本策略 A 、两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1：()m f x ≥在x D ∈上恒成立max [()]m f x ?≥； 思路2：()m f x ≤在x D ∈上恒成立min [()]m f x ?≤． 如何在区间D 上求函数()f x 的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数()f x 的最值． 此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累． C 、分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略 1、一次函数型 若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷． 给定一次函数() (0)y f x ax b a ==+≠，若()y f x =在[, ]m n 恒有()0f x >，则等价于：()0()0f m f n >??>?；同理，若在[, ]m n 恒有()0f x <，则等价于：()0()0f m f n +恒成立的x 的取值围． 解：原不等式转化为：2(1)210x a x x -+-+>在2a ≤时恒成立， 设2()(1)21f a x a x x =-+-+，则()f a 在[2, 2]-上恒大于0， 故有：(2)0(2)0f f ->??>?即2243010 x x x ?-+>??->??，解得：3111x x x x ><-?或或； ∴1x <-或3x >，即x ∈(－∞,－1)∪(3,+∞)． 2、二次函数型 例4．若函数()f x =R ，数a 的取值围． 解：由题意可知，当x R ∈时，222(1)(1)01 a x a x a -+-+≥+恒成立， ①当210a -=且10a +≠时，1a =；此时，222(1)(1)101a x a x a -+-+ =≥+，适合；

函数双变量问题处理技巧

函数双变量问题处理技巧 【策略1】改变主元（又叫：反客为主） 对于题目所涉及的两个变元，已知其中一个变元在题设给定范围内任意变动，求另一个变元的取值范围问题，这类问题我们称之为“假”双变元问题，这种“假”双变元问题，往往会利用我们习以常的x 字母为变量的惯性“误区”来设计，其实无论怎样设计，只要我们抓住“任意变动的量”为主变量，“所要求范围的量”为常数，便可找到问题所隐含的自变量，而使问题快速获解。 【例１】已知2()1f x x mx m =+-≥在2m ≤时恒成立，求实数x 的取值范围. 【例2】对任意n N +∈恒有221 (1)n a e ++≤，求实数a 的最大值。

【策略2】指定主元 有些问题虽然有两个变量，只要把其中一个当常数，另一个看成自变量，便可使问题得以解决，我们称这种思想方法为：指定主元。 【例3】已知0m n ≤<，试比较ln(1)n m e m -++与1ln(1)n ++的大小，并给出证明. 【例4】求证：2223 2()21x x e t e x x t -++++≥ 。 【策略3】化归为函数单调性问题 【例5】已知a b e >>，试比较b a 【例6】已知函数2()ln ,(1)x f x a x x a a =+->，对1212,[1,1],()()1x x f x f x e ?∈--≤-，求实数a 的取值范围。 ()f x 在区间[1,1]-上的最大值与最小值的差，因此该问题便可化归为求函数()f x 在区间[1,1]-上的 最大值与最小值问题。 【解析】由()ln 2ln (1)ln 2x x f x a a x a a a x '=+-=-+，(0)0f '=Q ，当[1,0]x ∈-时， 10,ln 0,20x a a x -≤>≤，()0f x '∴≤，即()f x 在[1,0]-上递减；当]1,0[∈x 时，10x a -≥，

函数中存在与恒成立问题

函数中存在与恒成立问题 一、考情分析 函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立与存在性问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质及不等式等知识,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用,故备受高考命题者的青睐,成为高考能力型试题的首选. 二、经验分享 (1) 设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ,（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00>?>0 )(0 )(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 (3)根据方程有解求参数范围,若参数能够分离出来,可把求参数范围转化为求函数值域． (4) 利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥,（ D x ∈,λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤: ①将参数与变量分离,即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； ②求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值； ③解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ,得λ的取值范围. (5) 对于参数不能单独放在一侧的,可以利用函数图象来解.利用数形结合解决恒成立问题,应先构造函数,作出符合已知条件的图形,再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系,得出答案或列出条件,求出参数的范围. (6) 某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度.即把主元与参数换个位置,再结合其它知识,往往会取得出奇制胜的效果.

22 恒成立问题-参变分离法

第22炼 恒成立问题——参变分离法 一、基础知识： 1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围 2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数。 3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则： （1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法。例如：()21log a x x -<，111ax x e x -+>-等 （2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目） 4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设x 为自变量，其范围设为D ，()f x 为函数；a 为参数，()g a 为其表达式） （1）若()f x 的值域为[],m M ①()(),x D g a f x ?∈≤，则只需要()()min g a f x m ≤= ()(),x D g x f x ?∈<，则只需要()()min g a f x m <= ②()(),x D g a f x ?∈≥，则只需要()()max =g a f x M ≥ ()(),x D g a f x ?∈>，则只需要()()max =g a f x M > ③()(),x D g a f x ?∈≤，则只需要()()max g a f x M ≤= ()(),x D g a f x ?∈<，则只需要()()max g a f x M <= ④()(),x D g a f x ?∈≥，则只需要()()min g a f x m ≥=

双变量恒成立问题的不同角度求解

双变量恒成立问题的不同角度求解 摘自公众号：数学与我 双变量的恒成立问题，一般我们常用处理策略有： 1.化为单变量函数，求最值解决 2.利用常见不等式放缩，求最值解决 3.利用线性规划的数形结合，求最值解决 本文结合一个例子，说明化单变量的两种方法： (1)化成齐次式消元 (2)倍分消元 同时给出迫不得已需要罗必塔法则时的一个迂回处理策略 问题呈现

方向选择 对条件式子的(i)(ii)不同变形看，也许会有两条路可走。也许我们更容易走(ii)这条路，因为分离变量是我们最熟悉、最有希望能够快速解决问题的（事实上我们平常恒成立问题选择方法的时候，也确实优先考虑的分离变量），但前提条件是右侧的函数你有办法处理并求出最值。目前来看化成单变量好像没那么简单，我们先走第(i)条路： 化齐次消元 显然，我们把(i)左侧的a等量代换以后，出现了x1,x2的齐次式，很容易想到令x2/x1=t，从而化为单变量t的不等式恒成立问题，接下来构造t的函数，研究其性质即可。事实上，如果我们熟悉ALG不等式的函数形式lnt>2(t-1)/(t+1)，(t>1)的话，到这里可以知道λ=1一定为答案的一部分，并且看到这个熟悉形式，我们对后续问题的解决也会多一份信心与把握。 可以预见出题人十有八九会把这个解答作为标答，因其解法自然。

端点效应恒成立问题 上面一段的求解，就是端点效应恒成立问题的求解套路： 在区间端点t=1处函数值为0，欲使不等式恒成立，希望函数在所给区间单调即可（充分性）；然后说明在相反范围，不等式不能恒成立（即必要性），常涉及到赋值否定的问题。 倍分法消元 接下来我们回到(ii)，介绍一下倍分法消元：

高考数学经典常考题型第22专题 恒成立问题——参变分离法

第22专题训练 恒成立问题——参变分离法 一、基础知识: 1、参变分离:顾名思义,就是在不等式中含有两个字母时(一个视为变量,另一个视为参数),可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧,即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围 2、如何确定变量与参数:一般情况下,那个字母的范围已知,就将其视为变量,构造关于它的函数,另一个字母(一般为所求)视为参数。 3、参变分离法的适用范围:判断恒成立问题是否可以采用参变分离法,可遵循以下两点原则: (1)已知不等式中两个字母是否便于进行分离,如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的,则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”,会出现无法分离的情形,此时要考虑其他方法。例如:()2 1log a x x -<, 111ax x e x -+>-等 (2)要看参变分离后,已知变量的函数解析式是否便于求出最值(或临界值),若解析式过于复杂而无法求出最值(或临界值),则也无法用参变分离法解决问题。(可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目) 4、参变分离后会出现的情况及处理方法:(假设x 为自变量,其范围设为D ,()f x 为函数；a 为参数,()g a 为其表达式) (1)若()f x 的值域为[],m M ①()(),x D g a f x ?∈≤,则只需要()()min g a f x m ≤= ()(),x D g x f x ?∈<,则只需要()()min g a f x m <= ②()(),x D g a f x ?∈≥,则只需要()()max =g a f x M ≥ ()(),x D g a f x ?∈>,则只需要()()max =g a f x M > ③()(),x D g a f x ?∈≤,则只需要()()max g a f x M ≤= ()(),x D g a f x ?∈<,则只需要()()max g a f x M <= ④()(),x D g a f x ?∈≥,则只需要()()min g a f x m ≥= ()(),x D g a f x ?∈>,则只需要()()min g a f x m >=

21-恒成立与存在性问题

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 21-恒成立与存在性问题 专题： 等式与不等式恒成立与存在性成立的问题一、恒成立与存在性问 题可以进行数学语言的形式的转化。 如： 1、单变量恒成立问题的转化： ( ) a f x 对 x D 恒成立 ( ) max a f x ； ( ) a f x 对 x D 恒成立 ( ) min a f x ； 2、单变量能成立问题的转化： ( ) a f x 对 x D 能成立 ( ) min a f x ； ( ) a f x 对 x D 能成立 ( ) max a f x ； 3、单变量恰成立问题的转化： ( ) a f x 在 x D 恰成立 ( ) a f x 的解集恰好为 D； ( )( )a f xa f x D R在D上恒成立在 C 上恒成立 另一种转化： ( ) f x a 在 x D 恰成立 ( ) min ( ) f x x D a = ( ) f x a 在x D 恰成立( ) max ( ) f x x D a = 4、双变量恒成立问题的转化： 1）设函数 ( ) ( ) f x g x 、对任意的 [ ]1 2, , x x a b 恒 有 ( ) ( )1 2f x g x ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]min max, ( , ) f x x a b g x x a b 2）设函数 ( ) ( ) f x g x 、对任意 的 [ ]1, x a b 及 [ ]2, x c d 恒有 ( ) ( )1 2f x g x ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]min max, ( , ) f x x a b g x x c d 5、双 1/ 7

恒成立问题与有解问题的区别

恒成立与有解 1恒成立问题与一次函数联系 给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于 ⅰ）???>>0)(0m f a 或ⅱ）???><0)(0n f a 亦可合并定成???>>0)(0)(n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有? ? ?<<0)(0 )(n f m f 例1、对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。 分析：在不等式中出现了两个字母：x 及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题。 略解：不等式即(x-1)p+x 2-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x 2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有： ???>>-)2(0)2(f f 即????? >->+-0103422 x x x 解得：???-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3. 2恒成立问题与二次函数联系 若二次函数y=ax 2 +bx+c=0(a ≠0)大于0恒成立，则有? ? ?00a ，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。 例2、设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞)时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。 分析：题目中要证明f(x)≥a 恒成立，若把a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+∞)时恒大于0的问题。 解：设F(x)= f(x)-a=x 2-2ax+2-a. ⅰ)当?=4（a-1)(a+2)<0时，即-2

高三总复习双变量函数问题

高三数学第一讲------处理双变量函数问题的若干解题思想 例1． 已知m mx x x f ≥-+=1)(2在2≤m 时恒成立，求实数x 的取值范围. 例2． 已知n m <≤0，试比较)1ln(++-m e m n 与)1ln(1++n 的大小，并给出证明. 例3． 已知函数)1(ln )(2>-+=a a x x a x f x ，对[]1)()(,1,1,2121-≤--∈?e x f x f x x ，求实数a 的取值范围. 例4． 已知e b a >>，试比较a b b a 与的大小，并说明理由. 例5．已知a b b a b a =>>,0 (1)求证：1>>>b e a ； (2) 求证：e b a 2>+； (3) 求证：2e b a >?.

例6．已知函数)1(1ln )1()(2 -<+++=a ax x a x f ，若对任意),0(,+∞∈n m ， n m n f m f -≥-4)()(，求a 的取值范围. 例7． 已知函数1ln 2)(2 -+=x x x f ，若21,x x 是两个不相等的正数，且0)()(21=+x f x f ， 试比较21x x +与2的大小，并说明理由. 例8． 已知函数)0(2ln )(2>+--=a bx x a x x G 有两个零点21,x x ，且201,,x x x 成等差数 列，试探究)(0'x G 值的正负号.

例9． 已知函数)1ln()(x x f +=，对于任意的)(),,1(,2121x x x x <+∞-∈，当),(21x x x ∈时，比较 11)()(x x x f x f --与2 2)()(x x x f x f --的大小，并说明理由. 例10． 已知函数)0()(,ln )(2>+==a bx ax x g x x f ，且)()(x g x f 与有两个相异的交点))(,(),,(212211x x y x B y x A ≠，线段AB 的中点为M ，过点M 作与x 轴垂直的直线l ，直线l 与函数)(x f 和函数)(x g 的图象分别相交于P ,Q 两点，问是否存在这样的两交点A,B ，使得函数)(x f 在P 点处的切线与函数)(x g 在Q 点处的切线平行？若存在，求出满足条件的A,B 两点的坐标；若不存在，说明理由.

高中数学压轴题系列——导数专题——恒成立问题(分类讨论和分离变量)

高中数学压轴题系列——导数专题——恒成立问题（分类讨论和分离变量）头条号：延龙高中数学微信：gyl_math123 1．（2018?全国一模）已知函数f（x）=﹣4x3+ax，x∈R． （1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值为1，求实数a的取值集合．解：（1）f'（x）=﹣12x2+a． 当a=0时，f（x）=﹣4x3在R上单调递减； 当a＜0时，f'（x）=﹣12x2+a＜0，即f（x）=﹣4x3+ax在R上单调递减； 当a＞0时，f'（x）=﹣12x2+a.时， f'（x）＜0，f（x）在上递减； 时，f'（x）＞0，f（x）在上递增； 时，f'（x）＜0，f（x）在上递减； 综上，当a≤0时，f（x）在R上单调递减； 当a＞0时，f（x）在上递减；在上递增；上递减． （2）∵函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值为1．即对任意x∈[﹣1，1]，f（x）≤1恒成立． 亦即﹣4x3+ax≤1对任意x∈[﹣1，1]恒成立．变形可得，ax≤1+4x3． 当x=0时，a?0≤1+4?03即0≤1，可得a∈R； 当x∈（0，1]时，．则令，则． 当时，f'（x）＜0，当时，f'（x）＞0．因此，，∴a≤3． 当x∈[﹣1，0）时，．则令，则． 当x∈[﹣1，0）时，f'（x）＜0，因此，g（x）max=g（﹣1）=3，∴a≥3． 综上，a=3，∴a的取值集合为{3}． 2．（2018?遂宁模拟）已知函数f（x）= （1）求函数f（x）的单调区间和极值点； （2）当x≥1时，f（x）≤a（1﹣）恒成立，求实数a的取值范围． 解：（1）因为f（x）=，求导得f′（x）=，令f'（x）=0，解得x=e，…（2分） 又函数的定义域为（0，+∞），当x∈（0，e）时，f'（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，