内蒙古准格尔旗世纪中学人教A版高中数学必修五：3.4基本不等式教案
新课标人教A版高中数学必修五第三章第四节《基本不等式》教学设计
基本不等式教学设计案例教材人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修5课题基本不等式授课类型新授课教学目标1、知识与技能了解基本不等式的推导过程，掌握基本不等式取等号的条件；能够初步运用基本不等式及其取等条件解决一些简单的函数的最值问题，并能解决一些实际问题。
2、过程与方法通过公式推导过程的教学，培养学生观察、猜想、归纳的思维能力，使学生体会数形结合的思想方法，并引导学生从不同角度解释基本不等式。
3、情感态度与价值观通过基本不等式的推导，培养学生严密的逻辑推理能力，通过运用基本不等式，使学生领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。
教学重、难点重点：基本不等式的推导以及其取等的条件，运用基本不不等式解决一些简单的函数的最值问题，并能解决一些实际问题。
难点：用数形结合思想理解不等式，并从不同角度解释基本不等式。
课前准备多媒体课件的制作教学过程设计一、课题导入观察图片，找关系师：同学们，现在开始上课，首先我想请大家欣赏一张图片。
（稍有停顿）请问有谁见过这张图片吗？生：……师：图1是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色明暗使它看起来像一个风车，代表中国人民热情好客。
（稍作停顿）观察图片，能从中找出一些相等或者不相等的关系吗？生：图片中四个直角三角形的面积之和小于大正方形的面积。
师：非常好，那么是否存在其他的情况，比如说等于呢？生：……师：让我们带着问题一起进入今天的新课学习—基本不等式（设计意图：让学生观察图形，从图形中抽象出不等关系，并提出问题，激发学生的习兴趣，引入学习课题。
）二、基本不等式推导过程及其理解1、公式推导师：将图1的“风车”抽象成如图2的正方形中有四个全等的直角三角形。
师：如果我们设直角三角形的边长分别为a，b，那么正方形的边长22+，四个直角三角形的面积之a b和为22a b+>22+。
那么这个关系是+根据前面的讨论，我们有22a ba b否恒成立的呢？生：还可以取等。
人教高中 数学 必修五 3.4 基本不等式教学设计
人教高中数学必修五 3.4 基本不等式教学设计《基本不等式》教学设计教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修5课题：3.4 基本不等式（第一课时）一、教材分析《基本不等式》是高中教材人教A版必修五第三章第三节的内容，是《不等式》这一章中继一元二次不等式、简单线性规划之后，从几何背景（赵爽的弦图）中抽离出的基本结论，是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一。
就本章的编写而言，教材讲究从直观性上学习，注重每个数学模型引领数学思想的教材编排暗线，并且都体现出遵循从几何背景入手，强调数形结合思想。
本节内容在此基本上渗透不等式的证明方法（比较法、综合法、分析法），并且会在后续学习时再次得到加强。
基本不等式的学时安排是3课时，它涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部分。
本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出不等式222(,)+≥∈。
a b ab a b R在此基础上，通过演绎替换、证明探究、数形结合及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式。
其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有逻辑推理，又有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合的思想方法，进一步培养其抽象概括能力和推理论证能力。
这就使得不等式的证明成为本节课的核心内容。
二、教学重难点教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。
教学难点：从不同角度探索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值。
三、教学目标《课程标准》对本节课的要求有以下两条：①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题。
根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的教学目标确定为：1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些国际数学家大会被誉为是数学界的奥林匹克盛会，每次大会上都会宣布菲尔兹奖获奖名单。
人教新课标A版必修5第三章：3.4 基本不等式教案
基本不等式教案教学目标：1.进一步掌握并运用基本不等式；2.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。
3.使学生能够运用基本不等式来讨论函数的最大值和最小值问题。
教学重点与难点：重点：能灵活利用基本不等式及其变式解决有关求值问题；难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。
一、复习回顾：题目分析：除运用函数的单调性求解最值外，当0>x 时，可以利用基本不等式解题，引导出基本不等式。
并强调基本不等式时三个条件“一正、二定、三相等。
”1．基本不等式：如果a ,b 是正数，那么。
”成立时“当且仅当)(2==+≤b a b a ab变形公式：2()(=2a b a b ab a b ++≥≤=当且仅当时，“”成立）解题分析：对于y x ，正数且积为定值，求和的最值时利用xy y x 2≥+求其最小值。
并加以总结：当积为定值时和有最小值。
解题分析：对于y x ，正数且和为定值，求积的最值时利用22）（y x xy +≤求其最大值。
并加以总结：当和为定值时积有最大值。
2.最值定理：已知b a ,都是正数， ①如果积ab 是定值p ，那么当b a =时，和b a +有最小值p 2； ②如果和b a +是定值s ，那么当b a =时，积ab 有最大值241s ． 说明：用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。
10x y x x >=+引例1：若，求的最小值。
004+x y xy x y >>=引例2：（1）若，，，求的最小值。
00+4x y x y xy >>=（2）若，，，求的最大值。
二、例题讲解、发散思维【题型1.不具备“正数”】学生板演，教师根据学生的做题情况进行点评总结。
本题小结：利用基本不等式求函数最值时要满足各项均为正值，当不具备“正值”条件时，需将其转化为正值；对于本题的解法是化负为正。
然后再利用基本不等式解题。
【题型2.不具备“定值”】学生板演，教师根据学生的做题情况进行点评总结。
人教版高中必修53.4基本不等式教学设计
人教版高中必修5-3.4 基本不等式教学设计一、教学目标1.理解基本不等式的概念和性质，掌握基本不等式的证明方法。
2.领会基本不等式的应用，能够解决与基本不等式相关的实际问题。
二、教学重难点1.基本不等式的概念、性质和证明方法。
2.基本不等式的应用，特别是在解决实际问题中的应用。
三、教学过程1. 导入（5分钟）•出示几组不等式，让学生讨论它们的大小关系，并引出不等式的概念。
•引导讨论：如何比较两个式子的大小？如何证明一个不等式？2. 概念解释（10分钟）•讲解基本不等式的含义和特征，例如：等式左边是次数相同的若干个正数的积，等式右边是它们的算术平均数。
•比较若干个不等式，引导学生进一步理解基本不等式。
3. 性质讲解（10分钟）•讲解基本不等式的性质，如：等号成立的条件是什么？如何把一个不等式化成另一个等价的不等式？•强调基本不等式在数学证明中的重要性，并且说明它在实际问题中的作用。
4. 证明方法（20分钟）•讲解基本不等式的证明方法，包括：归纳法证明、换元法证明、逆证法证明等。
•强调证明方法的逻辑性和连续性，让学生理解证明过程中的思路和方法。
5. 应用实例（25分钟）•提供几组实际问题，让学生运用基本不等式解决问题。
•让学生在小组内讨论，并结合具体案例，演示基本不等式的应用过程。
6. 思考拓展（5分钟）•提出思考题：你能否思考出基本不等式的一些扩展形式？它们有什么应用场景？•让学生结合实际情况，思考基本不等式的推广和拓展，激发学生的创造性思维。
4. 总结反思（5分钟）•点评学生的表现，并对基本不等式的学习做一个简要总结，强调它在数学学习和实际生活中的重要性。
四、教学评价•采取小组讨论和集体评价方法，对学生进行综合评价。
•对学生在基本不等式的理解、应用和创造性思维等方面进行评价，以期提高学生数学思维和实际问题解决能力。
五、教学反馈•教师根据学生的反馈情况，及时调整教学方法和教学策略，以达到更好的教学效果。
【数学】3.4《基本不等式》教案(新人教A版必修5)(3课时)
课题: §3.4基本不等式2a b ab +≤第1课时授课类型：新授课 【教学目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b ab +≤的证明过程；【教学难点】 基本不等式2a b ab +≤等号成立条件【教学过程】1.课题导入基本不等式2a b ab +≤的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a b ab +≤特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， 通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤2）从不等式的性质推导基本不等式2a b ab +≤用分析法证明：要证2a b ab +≥ (1)只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.4 基本不等式教案(3)
基本不等式目的要求： 复习与掌握基本不等式及其运用。
重点难点： 利用基本不等式的运用技巧。
教学设计： 一、引入：我们已经学习过重要不等式 a²+b²≥2ab ，下面将它以定理的形式给出. 二、定理1 如果a, b ∈R, 那么a²+b²≥2ab.当且仅当a=b 时等号成立。
让学生自己给出证明.探究： 你能从几何的角度解释定理1吗？分析：a²与b²的几何意义是正方形面积，ab 的几何意义是矩形面积，可考虑从图形的面积角度解释定理。
几何意义：如图把实数a ，b 作为线段长度，以a ≥b 为例，在正方形ABCD 中，AB=a ；在正方形CEFG 中，EF=b.则 S 正方形ABCD+S 正方形CEFG=a ²+b ².2ab S S CEFG BCGH =+矩形矩形，其值等于图中有阴影部分的面积，它不大于正方形ABCD 与正方形CEFG 的面积和。
即a ²+b ²≥2ab.当且仅当a=b 时，两个矩形成为正方形，此时有 a ²+b ²=2ab 。
三、定理2：将定理1做简单变形即可得到定理2，如下：如果a,b>0，那么ab ba ≥+2，当且仅当a=b 时，等号成立.证明：因为 ()()ab b a b a b a 2222=≥+=+所以ab ba ≥+2， 上式当且仅当b a =，即a=b 时，等号成立。
其中2ba +为a,b 的算术平均，ab a,b 的几何平均，于是基本不等式可以表述为:两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
几何意义为:如图在直角三角形中，CO 、CD 分C别是斜边上的中线和高，设AD=a ，DB=b ，则由图形可得到基本不等式的几何解释。
四、.教学例题例3 求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。
高中数学新人教a版必修5教案 3.4 基本不等式1
若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值。
简记为：“一正、二定、三相等”。
五、反思总结，整合新知：
两种思想，三个注意
六、布置作业：
1、已知x 0，若x＋ 的值最小，则x为（）.
A．81 B．9 C．3 D．162．设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2 ，则 ＋ 的最大值为()
3、情感与态度目标：使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
教学重点教学难点及
解决措施
重点：从不同角度探索基本不等式 的证明过程及应用。
难点：基本不等式成立时的三个限制条件（简称一正、二定、三相等）；
教学流程
一、创设情景，提出问题；
借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式 的几何解释，通过数形结合，赋予不等式 几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。
四、题型分类
题型一利用基本不等式证明不等式
思考：若 的最小
值为________,此时
【例1】 已知a>0，b>0，证明下列不等式:
变式训练1：已知a>0，b>0，证明下列不等式:
三、理解升华：
1、联想数列的知识理解基本不等式
已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系？两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。
2、探究基本不等式证明方法：
方法一：作差比较或由 展开证明。
方法二：分析法（完成课本填空）3、探究基本不等式的几何意义：
高中数学 3.4基本不等式教案3 新人教A版必修5
3．4．2基本不等式（2）（1）教学目标（a ）知识与技能：能够运用基本不等式解决生活中的应用问题（b ）过程与方法：本节课是基本不等式应用举例的延伸。
整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。
3道例题的安排从易到难、从简单到复杂，适应学生的认知水平。
教师要根据课堂情况及时提出针对性问题，同时通过学生的解题过程进一步发现学生的思维漏洞，纠正数学表达中的错误（c ）情感与价值：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性（2）教学重点、教学难点教学重点：正确运用基本不等式教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件（3）学法与教学用具列出函数关系式是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一。
对例题的处理可让学生思考，然后师生共同对解题思路进行概括总结，使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和步骤。
直尺和投影仪（4）教学设想1、 设置情境 提问：前一节课我们已经学习了基本不等式，我们常把2a b +叫做正数a b 、的算术平均数，a b 、的几何平均数。
今天我们就生活中的实际例子研究它的重用作用。
2、 新课讲授例1、（1）用篱笆围一个面积为1002m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2）一段长为36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。
最大面积是多少？分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大解：（1）设矩形菜园的长为x m,宽为y m,则100,xy= 篱笆的长为2（x y +）m由 2x y +≥可得 x y +≥2（x y +）40≥等号当且仅当10x y x y ===时成立，此时，因此，这个矩形的长、宽为10 m 时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m(2)设矩形菜园长为x m,宽为y m,则2（xy +）=36，x y +=18，矩形菜园面积为xy 2m ，由189,22x y +==可得 81≤xy , 可得等号当且仅当9x y x y ===时成立，此时因此，这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为812m例2、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为48003,m 深为3 m 。
必修五3.4.基本不等式：(教案)
人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修13.4 基本不等式：2ba ab +≤教案 A第1课时教学目标一、知识与技能1. 理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释.2. 会用此均值不等式证明简单的不等式. 二、过程与方法经历两个重要不等式的推导和证明过程，从代数和几何两方面体会重要不等式的重要性，养成良好的思维习惯.三、情感、态度与价值观培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力,感受数学的美. 教学重点和难点教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a bab +≤的证明过程. 教学难点：理解“当且仅当a =b 时取等号”的数学内涵. 教学关键：基本不等式的证明、理解和应用.教学突破方法：以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际出发，放手让学生探究思考.再用多媒体辅助加深学生对不等式的理解. 教法与学法导航教学方法；本节课采用观察、感知、抽象、归纳、探究；启发诱导、讲练结合的教学方法.学习方法：先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式.从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动学生的学习热情.定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案. 教学准备教师准备：投影仪.学生准备：直角板、圆规. 教学过程一、创设情境，导入新课同学们,这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，大家想一想,你能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系教师备课系统──多媒体教案2吗?提问1:我们把“风车”造型抽象成下图.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为a 、b，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？生答：22a b +；22a b +.提问2：那4个直角三角形的面积和呢？ 生答：2ab .提问3：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，222a b ab +≥.什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 变成一个点，这时有222a b ab +=.二、主题探究，合作交流1. 一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立.提问4：你能给出它的证明吗？证明: 222222(),()0;()0,a b ab a b a b a b a b a b +-=-≠->=-=当时，当时, 所以 222a b ab +≥ 注意强调：当且仅当a b =时, 222a b ab +=2. 特别地,如果0,0,,a b a b ab a b ab >>+≥用和分别代替、可得2,也可写成(0,0)2a bab a b +≤>>, 从不等式的性质推导基本不等式2a bab +≤. 用分析法证明：人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修3要证：ab ba ≥+2， ① 只要证：ab b a 2≥+， ② 要证②，只要证02≥-+ab b a ，③ 要证③，只要证0)(2≥-b a ，④显然，④是成立的．当且仅当b a =时，④中的等号成立， 4. 你能利用图形得出基本不等式2a bab +≤的几何解释吗？ 观察右图,得到不等式①的几何解释.易证Rt △ACD ∽Rt △DCB ，那么CD 2＝CA ·C B 即CD ＝ab .这个圆的半径为2ba +，显然，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立.因此：基本不等式2a bab +≤几何意义是“半径不小于半弦”. 评述： （1）如果把2ba +看作是正数a 、b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.（2）在数学中，我们称2ba +为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.三、拓展创新，应用提高1. 利用基本不等式证明不等式 例 已知x 、y 都是正数，求证：（1）yxx y +≥2； （2）（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3. 分析：在运用定理ab ba ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质（把握好每条性质成立的条件），进行变形.教师备课系统──多媒体教案4解：∵x ，y 都是正数， ∴y x ＞0，x y＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0. （1）xyy x x y y x ⋅≥+2＝2，即x y y x +≥2.（2）x ＋y ≥2xy ＞0 , x 2＋y 2≥222y x ＞0, x 3＋y 3≥233y x ＞0.∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·222y x ·233y x ＝８x 3y 3， 即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.四、小结本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数2ba +，几何平均数ab 及它们的关系2ba +≥ab .它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具（下一节我们将学习它们的应用）.我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤222b a +，ab ≤2)2(b a +.五、课堂作业 补充：1.求证:473a a +≥-. 证明：444(3)32(3)32437333a a a a a a +=+-+≥-+=+=---. 当且仅当43a -=a -3，即a =5时,等号成立. 2.已知a 、b 、c 都是正数，求证（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥8abc . 证明：∵a 、b 、c 都是正数. ∴a ＋b ≥2ab ＞0. b ＋c ≥2bc ＞0. c ＋a ≥2ac ＞0.人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修5∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝８abc . 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc .第2课时教学目标一、知识与技能能够运用基本不等式解决生活中的应用问题. 二、过程与方法本节课是基本不等式应用举例的延伸.整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心.例题的安排从易到难、从简单到复杂，适应学生的认知水平.教师要根据课堂情况及时提出针对性问题，同时通过学生的解题过程进一步发现学生的思维漏洞，纠正数学表达中的错误.三、情感、态度与价值观进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性. 教学重点和难点教学重点：基本不等式2a bab +≤的应用. 教学难点：运用不等式2a bab +≤求最大值、最小值.教学关键：列出函数关系式是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一. 教学突破方法：对例题的处理可让学生思考，然后师生共同对解题思路进行概括总结，使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和步骤. 教法与学法导航教学方法；本节课采用启发诱导、讲练结合的教学方法.学习方法：通过自主学习、合作讨论，准确理解不等式等号成立的条件，才能在实际中进行灵活的运用. 教学准备教师准备：直尺和投影仪. 学生准备：直角板. 教学过程一、创设情境，导入新课 1．重要不等式：如果)(2R,,22”号时取“当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a . 2．基本不等式：如果a 、b 是正数，那么).(2”号时取“当且仅当==≥+b a ab ba教师备课系统──多媒体教案63. 我们称2a b+为a b 、的算术平均数，称ab 为a b 、的几何平均数. 二、主题探究，合作交流（基本不等式的实际应用）例1（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？（2）一段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少?解：（1）设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则xy =100，篱笆的长为2（x +y ） m .由2x yxy +≥，可得2100x y +≥，2()40x y +≥.等号当且仅当x=y 时成立，此时x=y =10.因此，这个矩形的长、宽都为10m 时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m .（2）解法一：设矩形菜园的宽为x m ，则长为（36－2x ）m ，其中0＜x ＜21，其面积S ＝x （36－2x ）＝21·2x （36－2x ）≤2122236236()28x x +-=.当且仅当2x ＝36－2x ，即x ＝9时菜园面积最大，即菜园长为9m ，宽为9 m 时菜园面积最大为81 m 2.解法二：设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ,则2（x +y ）=36, x +y =18,矩形菜园的面积为xy m 2.由18922x y xy +≤==，可得81xy ≤. 当且仅当x =y ，即x =y =9时，等号成立.因此，这个矩形的长、宽都为9m 时，菜园的面积最大，最大面积是81m 2. 归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝M ，M 为定值，则ab ≤42M ，等号当且仅当a ＝b 时成立.2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a ，b ∈R ＋，且ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥2P ，等号当且仅当a ＝b 时成立.例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.解：设水池底面一边的长度为x m ，水池的总造价为l 元，根据题意，得人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修7)1600(720240000xx l ++= 16002400007202240000720240297600.x x≥+⨯⋅=+⨯⨯= 当.2976000,40,1600有最小值时即l x xx ==因此，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.归纳：用平均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：1. 先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；2. 建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；3. 在定义域内，求出函数的最大值或最小值；4. 正确写出答案.随堂练习:课本第100页练习第1、2、3、4题 三、拓展创新，应用提高（利用不等式求最值）例3 （1） 若x >0,求9()4f x x x =+的最小值; （2） 若x <0,求9()4f x x x =+的最大值.分析：本题（1）中有x >0和94x x⨯=36两个前提条件;（2）中x <0,可以用-x >0来转化.解: （1） 因为 x >0 ，由基本不等式得：99()42423612f x x x x x =+≥+==,当且仅当94x x=. 即x =32时, 9()4f x x x=+取最小值12. （2）因为 x <0，所以 -x >0，由基本不等式得:999()(4)(4)()2(4)()23612f x x x x x x x-=-+=-+-≥-⋅-==,所以 ()12f x ≤. 当且仅当94x x -=-，即x =-32时, 9()4f x x x=+取得最大-12.教师备课系统──多媒体教案8规律技巧总结：利用基本不等式求最值时,各项必须为正数,若为负数,则添负号变正.四、小结平均值不等式的应用在用平均值不等式求函数的最值，应注意考查下列三个条件： （1）在函数的解析式中，各项均为正数.（2）在函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值.（3）在函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用平均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.五、课堂作业教材第100～101页的习题3.4 A 组第2、3、4题.教案 B第1课时教学目标一、知识与技能学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等.二、过程与方法通过实例探究抽象基本不等式. 三、情感、态度与价值观通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣. 教学重点应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a bab +≤的证明过程.教学难点基本不等式2a bab +≤等号成立条件. 教学过程一、情境导入以2002年北京第24届国际数学家大会的会标导入新课. 二、新知探究设直角三角形的两条边长为a 、b,那么正方形的边长为22b a +.这样4个直角三人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修9角形的面积和为2ab ,正方形面积为22b a +.由于4个直角三角形的面积和小于正方形ABCD 的面积，我们就得到了一个不等式.ab b a 222≥+.当直角三角形变为等腰直角三角形, 即b a =时,正方形EFGH 缩为一个点,这时有ab b a 222=+.此时，a 、b 代表正方形的边长，显然是正数，如果我们推广到一般情况，对于任意的实数a 、b ，上述不等式还成立吗？设计意图：使学生经历发现重要不等式的过程，同时体会由特殊到一般的数学思想方法.问题1： 你能给出它的证明吗?222222()00.a b ab a b a b a b a b a b +-=-≠->=-=，当时，（），当时，（） 所以，0)(2≥-b a ，即ab b a 222≥+.设计意图：体会作差法证明不等式，温故而知新. 1. 重要不等式一般地,对于任意实数a 、b ,我们有ab b a 222≥+.当且仅当b a =时，等号成立.你能将不等式ab b a 222≥+中的二次降为一次吗？此时a 、b 应满足什么条件呢？ 得到：ab b a 2≥+（a >0，b >0），通常我们将它写作(0,0),2a bab a b +≤>> 2. 基本不等式： (0,0),2a bab a b +≤>>. 问题2：你还能用其它方法推导不等式2ba ab +≤吗？ 要证：ab ba ≥+2， ① 只要证：ab b a 2≥+， ② 要证②，只要证02≥-+ab b a ， ③教师备课系统──多媒体教案10要证③，只要证0)(2≥-b a . ④显然，④是成立的．当且仅当b a =时，④中的等号成立.设计意图：让学生在探究的基础上体会分析法的证明思路，加大基本不等式的探究力度.问题3： 上述两个不等式的区别与联系是什么？ 联系：当且仅当b a =时等号成立.区别：222(,R),a b ab a b +≥∈ (0,0).2a bab a b +≤>> 设计意图：从背景、结构、成立的条件方面比较异同，此处旨在让学生对两个不等式加以区别，并明确基本不等式的结构、成立的条件，以及两者之间的代换关系.3．算术平均数和几何平均数我们常把2ba +叫做正数a 、b 的算术平均数；把ab 叫做正数a 、b 的几何平均数. 文字叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 前面我们从“数”的角度给基本不等式(0,0)2a bab a b +≤>>作出了严格的证明，下面我们能否再从“形”的角度给基本不等式作出合理的几何解释呢？设计意图：旨在让学生体会由形到数，又由数回到形的过程，通过两个角度的反复印证，加深对基本不等式的认识.思考：（1）在直角三角形ADB 中，我们用线段AC 、CB 分别表示b a 、,你能找出表示2ba +和ab 的线段吗？那么基本不等式又说明了什么几何事实呢？结论：直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高. （2）如果把上述直角三角形放到圆中，你能在圆中找出表示2ba +和ab 的线段吗？ 给出Rt △ABD ，由于△ACD ∽△BCD ,因而ab CD =，由于CD 小于OD ，OD 为圆的半径，长为2a b+，用不等式表示为2ba ab +≤． 显然，上述不等式当且仅当点C 与圆心重合，即当b a =时，等号成立. 结论：半弦不大于半径.此处从图的角度再次明确和强调基本不等式等号成立的条件. （3）前面，我们刚刚学习了数列，2ba +和ab 在数列中代表什么？ 结论：从数列的角度看,基本不等式说明两个正数的等差中项不小于它们的等比中人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修11项.设计意图：从不同角度探究基本不等式的几何解释，启发学生认识形与数不是一对一的，对于一个代数表达式，也可以从不同的“形”去理解和解释.[问题4]：你能将基本不等式2ba ab +≤进行其它的变形吗？ （1）b a ab +≤2；（2） 2)2(b a ab +≤；（3） 222b a ab +≤ . 设计意图：再次从结构上理解基本不等式，同时强调不等式中的a 、b 可以用任何的大于零的数或者代数式去代换. 三、拓展应用1. 已知a 、b 、c 都是正数，求证（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc .分析：对于此类题目，选择定理：ab ba ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果.解：∵a ，b ，c 都是正数，∴a ＋b ≥2ab ＞0； b ＋c ≥2bc ＞0； c ＋a ≥2ac ＞0.∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝８abc . 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc .2. 已知m >0,求证24624m m+≥. 分析：因为m >0,所以可把24m和6m 分别看作基本不等式中的a 和b ，直接利用基本不等式.证明：因为m >0,，由基本不等式得：2424626224621224m m m m+≥⨯⨯=⨯=⨯=. 当且仅当24m=6m ，即m =2时，取等号. 四、课时小结教师备课系统──多媒体教案12本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数2ba +，几何平均数ab 及它们的关系2ba +≥ab .它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具（下一节我们将学习它们的应用）.我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤222b a +，ab ≤（2b a +）2.五、评价设计1.已知x 、y 都是正数，求证：（1）yxx y +≥2； 2. 已知x 、y 都是正数，求证（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3. 解答：1．.∵x 、y 都是正数 ∴y x ＞0，xy＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0 xyy x x y y x ⋅≥+2＝2即x y y x +≥2.2. ∵x ，y 都是正数，所以x ＋y ≥2xy ＞0；x 2＋y 2≥222y x ＞0； x 3＋y 3≥233y x ＞0. ∴（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·222y x ·233y x ＝８x 3y 3， 即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.第2课时教学目标一、知识与技能进一步掌握基本不等式2a bab +≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题.二、过程与方法通过两个例题的研究，进一步掌握基本不等式2a bab +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值.人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修13三、情感、态度与价值观引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德. 教学重点基本不等式2a bab +≤的应用. 教学难点利用基本不等式2a bab +≤求最大值、最小值. 教学过程一、引入课题1．重要不等式：如果)(2R,,22”号时取“当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a . 2．定理：如果a,b 是正数，那么).(2”号时取“当且仅当==≥+b a ab ba 3 公式的等价变形：ab ≤222b a +，ab ≤（2b a +）2.4．baa b +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号. 5．定理：如果,,R a b c +∈，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）. 6．推论：如果,,R a b c +∈，那么33abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”）. 二、讲解范例例1 已知m >0,求证24624m m +≥. 分析：因为m >0,所以可把24m和6m 分别看作基本不等式中的a 和b, 直接利用基本不等式.证明：因为 m >0，由基本不等式得：2424626224621224m m m m+≥⨯⨯=⨯=⨯=. 当且仅当24m=6m ，即m =2时，取等号. 例2 求证:473a a +≥-.教师备课系统──多媒体教案14分析：由于不等式左边含有字母a ,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母a ,而左边44(3)333a a a a +=+-+--.这样变形后,在用基本不等式即可得证. 证明： 444(3)32(3)32437333a a a a a a +=+-+≥-+=+=---， 当且仅当43a -=a -3，即a =5时,等号成立. 例3 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走如果m ≠ n ，问：甲、乙两人谁先到达指定地点？分析：设从出发点至指定地点的路程为S ，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为1t 、2t 要回答题目中的问题，只要比较1t 、2t 的大小就可以了解：设从出发地到指定地点的路程为S ，甲、乙两人走完全程所需时间分别是1t 、2t ，依题意有：21122,22t n Sm S S n tm t =+=+，可得 mnn m S t n m S t 2)(,221+=+=. ∴)(2)()(2])(4[2)(22221n m mn n m S mn n m n m mn S mn n m S n m S t t +--=++-=+-+=-. ∵S , m , n 都是正数，且m ≠ n ，∴1t －2t < 0 即：1t < 2t .答：甲先到达指定地点.说明：此题体现了比较法证明不等式在实际中的应用，要求学生注意实际问题向数学问题的转化.三、随堂练习某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =_______ 吨．解析：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用之和为40044x x ⋅+万元，40044x x ⋅+≥160，当16004x x=，即x =20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小. 答案: 2 四、作业课本第100～101页习题3.4 A 组第1、2、3、4题 B 组第1、2题.人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修15第三章测试题一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1. 若,,n m y x >>下列不等式正确的是 （ ）.A . n y m x ->-B . yn xm >C . myn x > D . x n y m ->- 2. 若角βα,满足ππ22αβ-<<<,则βα-的取值范围是（ ）. A . (π,0)- B . (π,π)- C . 3ππ(,)22- D . (0,π)3．若,,a b c ∈R ，且b a >，则下列不等式一定成立的是（ ）.A . c b c a -≥+B . bc ac >C .02>-ba c D . 0)(2≥-cb a 4．若0<<b a ，则下列不等关系中，不能成立的是（ ）.A . b a 11>B . ab a 11>-C . 3131b a < D . 3232b a >5．若关于x 的不等式m x x ≥-42对任意]1,0[∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）.A . 3-≤mB . 3-≥mC . 03≤≤-mD . 03≥-≤m m 或 6．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2＝1，则（1－xy ）（1＋xy ）有（ ）.A . 最小值21和最大值1 B . 最小值43和最大值1 C . 最小值21和最大值43D . 最小值17．设x > 0， y > 0，y x y x a +++=1，yyx x b +++=11，a 与b 的大小关系（ ）.A . a >bB . a <bC . a ≤bD . a ≥b8．若关于x 的不等式4104822<<>---x a x x 在内有解，则实数a 的取值范围（ ）.A . 4-<aB . 4->aC . 12->aD . 12-<a教师备课系统──多媒体教案169．若)21,0(∈x 时总有,0)21(log 12>--x a 则实数a 的取值范围是（ ）. A . 1||<aB . 2||<a C . 2||>a D . 2||1<<a10．甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；有一半路程乙以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，如果m ≠ n ，甲、乙两人谁先到达指定地点（ ）.A . 甲B . 乙C . 甲乙同时到达D . 无法判断11．设x 、y 、z 满足约束条件组1,32,01,01,x y z y z x y ++=⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，求264u x y z =++的最大值和最小值（ ）.A . 8、3B . 4、2C . 6、4D . 1、012．设f （x ）是奇函数，对任意的实数x 、y ，有),()()(y f x f y x f +=+0>x 且当时，,0)(<x f 则f （x ）在区间[a ,b ]上（ ）A . 有最大值f （a ）B . 有最小值f （a ）C . 有最大值)2(ba f + D . 有最小值)2(ba f + 二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上）13．已知1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩，求42t a b =-的取值范围 ．14．设1(,=+-∈+）且y x xy R y x ，则x +y 的最小值为_________． 15．函数11)(22+++=x x x x f 的值域为 ． 16．要挖一个面积为432m 2的矩形鱼池，周围两侧留出宽分别为3m 、4m 的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长 、宽 ．三、解答题（本题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）关于x 的一元二次不等式210ax ax a ++-<的解集为R ，求a 的取值范围.人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修1718．（10分）若不等式02<--b ax x 的解是2＜x ＜3，求不等式012>--ax bx 的解集.19．（12分）设x 为正实数，且1222=+y x ，求21y x +的最大值．20．（12分） 已知ABC ∆的三边长a b c 、、满足2b c a +≤，2c a b +≤，求b a的取值范围．21. （12分）已知△ABC 的三边长是a b c 、、且m 为正数,求证:mc cm b b m a a +>+++.22．（14分） 设集合},0)2(2|{},045|{22=++-=>+-=a ax x x B x x x A若A B ≠∅，求实数a 的取值范围．参考答案1～5 DADBA 6～12 BBADA CB13． []5,10 14. 222+ 15. 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.24m 、18m17．解：当0a =时，不等式210ax ax a ++-<的解集为R ；教师备课系统──多媒体教案18当0a ≠时，由题意知()20,410a a a a <⎧⎪⎨--<⎪⎩，解得0a <.所以a 的取值范围为0a ≤.18．解：由不等式02<--b ax x 的解是2＜x ＜3，所以2、3应为方程20x ax b --=的两根,根据根与系数关系得5,6a b ==-.代入012>--ax bx ,得：26510x x --->，解得1123x -<<-.所以不等式012>--ax bx 的解集为1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭. 19． 解：∵0>x ，∴2)]221([2)221(2122222y x y x y x ++≤+⋅=+ 又2321)2()221(2222=++=++y x y x ， ∴423)2321(212=⋅≤+y x .即423)1(max 2=+y x . 20． 解：设a x b =，c y a =，则121210,0x y x y x y x x y <+≤⎧⎪<+≤⎪⎨<+⎪⎪>>⎩，，，，作出平面区域（如下图），yxO1ABCD1- 1-2 12y x +=1x y =+2x y +=1x y +=1y x =+人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修19由图知：21(,)33A ，31(,)22C ，∴2332x <<，即2332b a <<．21. 证明:做差比较法()()()()()()()()()a b c a b m c m b a m c m c a m b m a m b m c m a m b m c m +++++-+++-=++++++ =2()()()()abc abm a b c ma mb mc m +++-+++ .∵a b c 、、为三角形的三边 ∴0a b c +-> 又∵0,0,0,0a b c m >>>>, ∴ 0a b c a m b m c m +->+++，∴a b ca mb mc m+>+++ . 22．解{|14},A x x x A B =<>∴≠或∅的意义是方程0)2(22=++-a ax x 有解， 且至少有一解在区间),4()1,(+∞--∞ 内，但直接求解情况比较多，如果考虑“补集”，则解法较简单. 设全集}21|{}0)2(4)2(|{2≥-≤=≥+-=∆=a a a a a a U 或， 且0)2(2|{2=++-=a ax x x a P 的方程关于的两根都在[1，4]内}记),2(2)(2++-=a ax x x f ∴方程0)(=x f 的两根都在[1，4]内012(1)030182,71870(4)01414a a f a a a f a a ⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩∆≥≤≥≥-≥⇔⇔≤≤-≥≥<<<<或，，解得，，}7182|{≤≤=∴a a P ，∴所求实数a 的取值范围是}7181|{>-≤=a a a P C U 或.。
高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式(第1课时)教案 新人教A版必修5
3.4 基本不等式（第1课时）一、教学目标：1．通过探究“数学家大会的会标”及感受会标的变形，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识；2．进一步让学生探究不等式的代数证明，加深对基本不等式的理解和认识，提高学生逻辑推理的能力和严谨的思维方式。
3．通过例题让学生学会用基本不等式求最大值和最小值。
二、教学重点：对基本不等式的理解和运用教学难点：理解基本不等式和灵活应用基本不等式十本节课难点三、学情及导入分析：对于高一的学生，不等式并不陌生，前面学习了不等式及不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较，本节所学内容就用到了不等式的性质，所以学生可以在巩固不等式性质的前提下学习基本不等式，接受上是容易的，争取让学生真正意义上理解基本不等式。
教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等四、教学过程：通过情境引发联想，学生深切感受到我国数学科学的悠久历史和深厚的文化底蕴，以及我国的数学成就对世界数学文明的影响和发展做出的卓越贡合作探究探究一：观察上面的会标。
会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数、数形结合的思想。
将代数与几何紧密的结合在了一起。
师：从图形上你能观察到了什么？ 生：边、角、三角形、正方形 师：我们根据弦图可知勾股定理，那么我们对三角形、正方形可以研究哪些数量关系呢？生：正方形和三角形的面积、周长，根据给的边可以求。
师：那么面积之间又有怎样的关系呢？生：大正方形面积22a b +，四个直角三角形面积2ab ，并且22a b +>2ab 。
师：仅此而已吗？你还能发现怎样的关系？生：还会相等。
a b =时会相等。
（教BCD∆，小于或等于圆的半径，课堂小结1、本节课你学到了什么？2、你还有哪些疑问？不等式对高中的学生来说不陌生，但基本不等式则是一个新的知识点出现在高中数学教材中，让学生又学会一种求函数最值得方法，所以学生只有真正理解了才会用起来得心应手。
最新人教A版必修5高中数学 3.4 基本不等式教案3(精品)
《基本不等式》一、内容与内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3.4节《基本不等式》的第一课时，主要内容是探索基本不等式的生成和证明过程及其简单的应用.本节内容具有变通性、应用性的特点，它与线性规划呈并列结构，可用来求某些函数的值域和最值，也可解决实际生活中的最优化配置问题.本节内容由两部分构成，其一是利用“一正、二定、三相等”的七字条件求函数最值并用来解决实际问题，其二是对基本（重要）不等式的探究过程，并在探究过程中学会研究某些数学问题的过程与方法.作为本节内容的第一课时，重点在后者.特别是，本节课内容是体现新课程让学生积极动手实践、自主探索、合作交流学习方式的良好素材.本节课蕴含了丰富的数学思想及方法，尤其是在两个不等式的发现和对基本不等式的几何解释的学习过程中突出体现了数形结合思想，在基本不等式与重要不等式的关系及其应用中都突显换元的方法.在对教材深入挖掘的基础上，本节内容中含有多个德育教育点.教材引入赵爽的弦图，是体现数学文化价值、对学生进行以爱国主义为核心的民族精神教育的好机会.在探究不等式的过程中，不等式中等号成立的条件是体会量变与质变的辩证关系的较好素材.利用对教材例1的反思，可使学生树立科学的节能减排意识、环保意识.通过教师创设的问题情境，还可使学生树立现代社会的诚信观.本节课教学重点：1.学生在经历基本（重要）不等式的生成及证明过程中初步学会“实验（几何）——猜想(代数)——证明——结论（定理、概念）——应用”的探索数学问题的方法.2.会运用基本（重要）不等式解决简单的比较大小和求某些函数最值的简单问题.二、目标和目标解析（一）教学目标（1）通过拼图、折纸的几何实验，经历基本（重要）不等式的发现过程，初步学会在类似的问题情境下，尝试运用 “实验——猜想——证明——结论（定理、概念）——应用”的方法探究数学问题.（2）了解基本（重要）不等式证明过程，能在证明过程中分析不等式成立的条件.（3）会运用基本（重要）不等式比较大小.（4）知道基本不等式成立的条件，并会求()0,0>>+=b a xb ax y 类型的函数在0>x 时的最小值，初步认识 “=”成立的作用.（5）通过对基本不等式的探究及几何解释的理解，体会数形结合思想的作用.（6）在认识赵爽弦图的过程中，了解中国数学文化，增强民族自豪感. 在探究不等式的过程中，体会量变与质变的辩证关系.通过教师对基本不等式例题的设置，帮助学生树立现代社会诚信意识及科学的节能减排理念.（二）教学目标解析（1）新课标中对经历知识的发生过程提出了较高的要求，强调使用 “经历”、“感受”、“探索”等体现目标要求的行为动词，学生要体验数学的发现与创造的过程.本节课是学生经历“学数学、做数学、用数学”的一次机会，因此将经历基本（重要）不等式的发现过程作为重要的教学目标之一，在此过程中学会数学地思考问题的方法，培养学生良好的学习态度和习惯.（2）教学中设置两条主线，一是知识与技能的主线，采用层层递进的呈现方式，使学生学会初步运用基本（重要）不等式解决简单问题的方法.二是感受过程与方法的主线，即学生经历“了解研究方法——感受研究方法——自主研究”的过程.（3）基本（重要）不等式的证明过程有很多种方法，如比较法、综合法、分析法等，在此处证明过程只要求学生能用已有知识证出即可，不作过多的说明和证明方法罗列.以往经验告诉我们，学生在解题中易忽视基本不等式成立的条件，因此设计了在证明的过程中学生自己发现成立条件的教学目标.(4)基本（重要）不等式的主要应用是求函数的最值或值域，由于本课时是本节的第一课时，主要还是以学生掌握不等式内容和探究过程为主，只要会比较大小和会求()0,0>>+=b a xb ax y 型的函数在0>x 时的最小值即可,为第二课时求最值的“一正二定三相等”的一般方法作准备.(5)通过对基本不等式的几何解释的理解，养成用数形相结合思想分析数学问题的习惯，提高学生提出、分析和解决问题的能力.（6）教材用赵爽的弦图作为本节课的导入，借此可增强学生的民族自豪感，通过了解中国数学文化，培养学生爱祖国、爱科学的精神.通过图形探究重要不等式时，必然要经历不等到相等的过渡，而此过程正能体现马克思主义哲学原理中量变与质变的辩证关系.基本不等式在实际生活中应用较广泛，通过设置学生感兴趣的动画情境，对学生进行明理诚信教育，通过设置生活化的问题情境，使学生树立科学生态价值观.（三）学习结果分析通过本节课的学习，学生认知系统中增加两个恒成立的不等式，并将其作为求某些特定函数最值的重要方法.学生在通过基本不等式的探究和几何解释过程中，体会到数形结合的作用.学生初步学会动手做些简单的数学实验并尝总结、应用结论.在学习的过程中，学生受到了民族精神的熏陶和明理诚信的道德教育，并树立了科学的节能减排的意识.三、教学问题诊断分析（一）问题诊断分析（1）个别同学在动手实验时会存在不知所措或不会从几何图形中提炼出代数形式的不等关系，其原因是学生重解题轻过程的现状使此方面能力较弱，教学中以小组合作探究式的学习方式来弥补这一不足.（2）在基本不等式几何解释的教学环节中，学生可能会把几何解释作为一种“负担”被动地接受，因为用几何变化的现象解释变量变化的结果学生是非常陌生的，所以教学中通过帮助学生构造直角三角形并引导学生在其中寻找“平均数”的几何表示，为学生“排忧解难”，培养学生数与形相结合思考问题的习惯.（3）在两个不等式的证明过程中学生会出现困难，因为在3.1节不等式性质只是要求学生了解比较法证明简单不等式，学生也没有接触综合法、分析法证明，虽然教材运用了分析法，教学中没有必要刻意追求此方法，而是要根椐学生实际，采用学生想到的证明方法，让学生知道证明的必要性和可行性，在探究的基础上体会证明的思路即可.（4）基本不等式的应用向来是难点，首先解题中的换元法给学生带来了一定的障碍，其次使用条件易忽视.为此教学中采用小步子的引导渗透的方法，简化题目难度，为后面学习作为铺垫.教学难点：1.运用“实验（几何）——猜想（代数）——证明——结论（定理、概念）——应用”解决数学问题的方法的形成过程.2. 基本（重要）不等式证明过程及应用.（二）学习新知所需条件分析（1）学生具有动手操作数学的意识和基本的观察能力和提取数据的能力.（2）学生具有初步用数形结合思想独立分析问题的能力.（3）学生具有利用比较法证明不等式和函数最小值概念的知识基础.四、教法分析及教学支持条件本节课以数学实验为抓手，以问题为载体，为学生提供动手做、动眼看、动脑想和动口说的机会，引导学生积极思考、合作探究，体现“重过程、重情感、重生活”的理念.教学中在动手折纸的基础上辅以几何画板的动态演示，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生学会数学地思考问题的能力，增进应用意识和问题意识.利用学生感兴趣的数学文化知识和生活中的问题，实现情感、态度、价值观目标.五、教学过程（一）感知问题，指明研究方法1.观察直角三角形，提出问题1. 问题1：在直角三角形的边的关系中有哪些不等关系，你能提炼出怎样的不等式？师生活动：学生利用直角三角形的性质总结不等式：a b a >+22、22b a b a +>+等，并感受取值范围的重要性、b a .学生体验由几何图形中的不等关系容易得出一些恒成立的不等式，并感受数形结合的作用及事物间普遍联系的观点.2.点明本节课要通过几何图形中的不等关系探索出一些重要的、有用的恒成立的不等式.b北京国际数学家大会的会标，学生将数学文化融入内心世界，内化成学习动力.【设计意图】作为本节课第一个实验，其目的在于使学生经历数学实验的过程，增强学好数学的信心.同时通过了解中国数学文化，增强学生的民族自豪感和爱国主义精神，增强学生对国家发展的信心.通过对”会标”的了解,感受中国人的智慧和华夏民族热情好客的优良传统.【课件开发】利用PPT 逐个出示图片，学生通过图片直观感受,增强以爱国主义为核心的民族精神.赵爽弦图问题3：如果我们仍利用赵爽的弦图，你能发现其中的不等关系吗？从几何图形中的不等关系可提炼出怎样的代数形式的不等式呢？在同学们摆出的图形中有没有二者相等的情况？什么样的三角形会使不等关系变为相等？师生活动：学生通过观察图形,容易找到不等式，也容易得出二者相等的条件.教师借助几何画板进行动态演示，验证不等关系.通过由不等向相等过渡，使学生感受由量变到质变的变化过程.从而指明“=”成立的条件，解释“当且仅当”的含义，并总结出一般情况.【设计意图】学生体会如何从实验中发现问题，如何从特殊到一般地猜想问题.感受到由“形”到“数”的逐步提炼的过程，感受由量变到质变的数学问题中的辩证关系.【课件开发】根椐学生的回答，配合幻灯片展示（如图2）.拖动利用几何画板中的控制点(如图3)，使b 、a 的长度不断变化，通过观察b 、a 的值和图形中的不等关系，以及不等到相等的过渡，体会当且仅当的含义，感受当量变积累到一定程度必然会质变的道理. 图1问题9：从基本不等式的内容上看，只说明了算术平均数大于等于几何平均数，何时大的多一些，何时少一些呢？为解释这一问题可利用基本不等式的几何解释，在学习的过程中体会以(动态的)形助(变化的)数方法对理解代数式的作用.师生活动：教师总结两个不等式的研究过程，即经历了“实验（几何图形）——猜想（代数式）——证明——结论——应用”的过程，强调这是研究自然科学的一般方法，指明学会知识的同时还要学会方法.组织小组讨论，鼓励学生将动手操作与计算相结合，探索新结论.并提出课后学生自己探究、证明其它情况.图10辨别真伪灰太狼用不等臂天平为喜羊羊称重，第一次称得物体重量为，第二次称得物体重量为，灰太狼说此物体重量为，你能帮助喜羊羊揭穿灰太狼吗？1G 2G 221G G +1l 1l 2l 2l问题15：本节课主要学习了什么？在本节课学习的过程中，你有何体会？能否求函数的最小值的最大值和212)210()21(22+++=<<-=x x y x x x y ？师生活动：先由学生总结学习的内容，教师作补充说明，尤其指出本节课所经历的知识探究过程和数形结合的思想，强调数学文化及用不等式解决生活问题时给我们带来的启示，提出思考问题为下节课作准备.【设计意图】通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识及方法纳入已有的认知结构，提升情感、态度、价值观目标.通过两个思考问题为下节课的学习埋下伏笔.《基本不等式》教学反思依据课程标准，在充分挖掘教材知识、方法与德育内容的基础上，我执教了人教A版必修五第三章第四节基本不等式中的第一课时.课堂上通过为学生创设探究情境、生活情境，组织学生展开讨论，引导学生亲身感受，呈现了一节以“学生动手实验，自主探究新知”为主线的探究课.反思准备过程和课堂实施过程的点滴，在数学教学中的德育渗透和开展动手实验的活动等方面，我有了一些新的思考.一、在新课标理念的指引下深入挖掘教材是上好一堂课的前提《高中数学新课程标准》（以下简称《课标》）指出，教师应倡导“自主、合作、探究”的学习方式.为此我们应鼓励学生积极参与教学活动，要创设适当的问题情境，鼓励学生发现数学规律和问题解决的途径，使他们经历知识形成的过程.对于本节教材中简短的篇幅很难直接找到为学生搭设探究平台的素材，这就需要我们有对教材加工的能力，有组织“探究式”课堂的经验.教学中本着这一理念，我开展了三次以学生为中心的数学实验活动，做到从教师引导到教师参与最后完全放手，为学生经历过程、学会方法搭设好平台，实现了学生从感知方法到经历研究过程最后能独立解决问题的目标.这些活动的设计源自教材中的赵爽的弦图，对其进行适当的加工.另外在教材处理上,我将两个平均数的定义提前介绍，改变了教材的顺序，为学生创设了探究基本不等式探究过程的情境.我体会到充分挖掘教材的优势和潜能，大胆创新教法，灵活使用教材，能努力实现“教与学”的和谐统一．《课标》中指出，教学要体现数学文化价值.我抓住教材中赵爽的弦图，有意识地开展以爱国主义为核心的民族精神教育，弘扬中国的数学文化，赞扬华夏民族热情好客的优良传统.我认为对数学文化价值的体现可以落实在日常教学中，我们只要留心与所学知识相关的数学家故事、数学研究过程中的一些可贵的精神，并与学生共享，一定能提升学生科学的态度和良好的学习品质，定能将民族精神渗透到日常的教学中.《课标》中指出，教学要发展学生的数学应用意识.本节课我立足于教材中例1，利用题后反思的形式，使学生亲身感受数学的作用，对学生形成和发展数学应用意识起到一定促进作用.课标教材各部分都十分重视生活化的例题，我们要利用好这一优势，对每个题目认真推敲，教学中既能体现所学新知的应用，又要体现数学与人类社会的关系，要善于以例题的生活背景为素材，对学生进行德育教育.二、数学课堂会因潜移默化的德育内容而更加精彩课堂教学是将社会主义核心价值体系融入教育的主渠道，因此知识教学和德育教育二者不能偏执其一，我们既要挖掘德育教育的“点”，还要把握德育教育的“量”和“度”，追求学科教学中知识学习和德育教育的融合.本节课我结合教学内容设计了多个自然的学科德育点，德育目标的落实不是单靠老师平铺直叙的说教，而是融入到知识的生长点处，融入到学生对知识的内化的过程之中.比如通过学生动手操作、观察、猜想、证明等活动培养学生观察问题、分析问题、解决问题的科学探究能力，通过开展组间合作学习，培养学生合作交流的意识，通过学生利用所学知识帮助别人辨别真伪的情境,感受社会诚信的重要性，进而对学生进行精神文明教育，通过对教材例1的题后反思，使学生树立科学的节能减排意识，通过基本（重要）不等式的探究过程，感悟量变与质变的辩证关系的马克思主义原理.纵观整堂课，我认为德育点还是比较多的，但教学中并没有占用过多的时间，是将其完全渗透在知识教学之中，切实找到德育内容与知识教学的结合点.从教学效果上看，德育内容的充实使数学课堂更“厚实”，更符合新课改的理念.从德育效果上看，学生自己“悟”出来的道理要远远好于“说教”的效果.三、对学生合理适度的评价是实现良好教学效果的催化剂《课标》指出，教学中应将评价贯穿数学学习的全过程，要重视对学生数学学习过程的评价.反思本节课在此方面的做法，有一些不足之处.课堂上我采用了小组合作学习的方式，组织了几次讨论，但我只是从个体角度给予评价，轻视了小组的评价，我只关注学习成果评价而轻视了合作意识、合作方法的评价.课堂上我听到的大多是正确的答案，对数学能力较弱的学生没有及时给予关注.今后在此方面，我还要加强理论的学习和实践的探索.总之，上完本节课收获颇丰，我不但认识了寓德育于学科教学之中的重要性，还探索出一些教学方法，提升了课堂教学中落实教学育人功能的能力.。
内蒙古准格尔旗世纪中学人教A版高中数学必修五：3.4基本不等式教案
《基本不等式》授课设计授课三维目标：1、知识与能力目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值.2、过程与方法目标：领悟基本不等式应用的条件：一正二定三相等；领悟应用基本不等式求最值问题解题策略的成立过程；领悟习题的改编过程.3、感神态度与价值观目标：经过解题后的反思，渐渐培养学生养成解题反思的习惯；经过变式练习，渐渐培养学生的研究研究精神.授课重点、难点：重点：基本不等式在解决最值问题中的应用.难点：利用基本不等式无效（等号取不到）的情况下采用函数的单调性求解最值学情解析与学法指导：.基本不等式是求最值问题中的一种很重要的方法，但学生在运用过程中“一正、二定、三相等”的应用条件一方面简单被忽视，另一方面某些问题看似不吻合前面的三个条件，但经过合适的变形又可以转变为运用基本不等式的种类学生解决起来有必然的困难。
在本节高三复习课中，结合学生的本质编制了教教学设计，力求在学生的“近来发展区”设计问题，渐渐启示、引导学生课前自主预习、小组合作学习.授课过程：一、基础梳理a b基本不等式：若是a,b 是正数，那么 2 ab（当且仅当a b时取 " " 号）代数背景：若是 a2 b2 2ab （a, bR, 当且仅当 ab时取 " " 号）（用代换思想获取基本不等式）几何背景：半径不小于半弦。
常有变形：a2 b2（ 1）ab 2a2 b2 a b2（ 2） 2 2b a（ 3）a b 2 （，同号且不为0）a b3、算术平均数与几何平均数若是 a、b 是正数，我们称为 a、b 的算术平均数，称的 a、b 几何平均数.4、利用基本不等式求最值问题（建构策略）问题：（1）把 4 写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把 4 写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？请依照问题归纳出基本不等式求解最值问题的两种模式：已知 x， y 都大于0则（1）“积定和最小” ：若是积xy 是定值P, 那么当时，和 x+y 有最小值；（2）“和定积最大” ：若是和+ 是定值, 那么当时，积xy 有最大值.x y S二、课前热身1、已知a,b (0,1)且 a b ，以下各式最大的是（）A. a2 b2B. 2 abC. 2abD. a b2、已知a,b, c是实数，求证a2 b2 c2 ab bc ac3、(1)若x 0, 求 x 1的最小值 . (2)若0 x 1,求 x(1 x)的最大值 . x4、大家来挑错（ 1）x 1 2 x 1 2 x 1的最小值是 2x x x（2）x 2,则 x 1 2 x 1 2 x 2时 , x 1 的最小值是 2x x x5、若a 3,求 a 1 的最小值a 3三、课堂研究1、答疑解惑方法：小组提交预习中存在的疑问，由其他组学生或教师有针对性地答疑。
高中数学人教A版5教学案：3.4基本不等式
3．4．1基本不等式(1）【教学目标】1学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式;3．情态与价值:通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a bab +≤的证明过程； 【教学难点】 基本不等式2a bab +≤等号成立条件【教学过程】 1.课题导入 基本不等式2a bab +≤的几何背景： 探究：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
2 合作探究(1）问题 1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关。
系）提问2：我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形。
设直角三角形的长为a 、b ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？ 生答22a b +提问3：那4个直角三角形的面积和呢？ 生答：2ab提问4：好,根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积,我们可得容易得到一个不等式，222a b ab +≥。
什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形,即a b =时,正方形EFGH 变成一个点,这时有222ab ab +=结论：(板书）一般地，对于任意实数 a 、b ,我们有222a b ab +≥,当且仅当a b =时，等号成立。
提问5：你能给出它的证明吗? (学生尝试证明后口答,老师板书) 证明:222222(),()0,()0,a b ab a b a b a b a b a b +-=-≠->=-=当时，当时,所以 222a b ab +≥注意强调 当且仅当a b =时, 222a b ab +=(2）特别地，如果0,0,,a b a b a b >>+≥、可得，也可写成(0,0)2a ba b +≤>>,引导学生利用不等式的性质推导 （板书，请学生上台板演）：要证: (0,0)2a b ab a b +≥>>①即证 a b +≥ ②要证②，只要证 a b +-0≥③要证③，只要证 ( — ）20≥ ④显然, ④是成立的,当且仅当a b =时, ④的等号成立 （3)观察图形3.4—3,得到不等式①的几何解释 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数2a b ab +≤探究:课本中的“探究”在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。
人教A版高中数学 必修五 3.4基本不等式(2)教案
3.42a b +≤ (2)一、学习目标(一)知识与技能目标1、进一步掌握基本不等式;2、会应用此不等式解决一些有关证明及求最值的问题;(二)过程与方法目标1、通过学生对问题的探究和归纳总结出一般性的解题方法和规律，进一步使学生掌握所学知识点的结构特征和取“=”条件.2、理解基本不等式的几何意义，并能解决一些简单实际问题.(三)情感态度与价值观目标通过运用公式的熟练变形提高学生分析问题和解决问题的能力.二、阅读要求与检测预习课本92-101页并回答下列问题：22810,,,.x x x x ≠=+已知当时的值最小最小值是三、要点精讲与典型例题2223331:,().222:,,,3().:,,,0,0.3:,,,).3a b a b ab ab a b c R a b c abc a b c a b c R a b c a b c a b c a b c R a b c +++++≤≤∈++≥==∈++<++≥++∈≥==、公式的等价变形、定理如果那么当且仅当时取等号说明这里若就不能保证此公式成立的充要条件为、推论如果那么当且仅当时取等号问题一：利用均值不等式求函数最值-----注意变形途径2,.11(1)(0);(2)(3);2313(3)(13)(0);(4)2(0)3x y x x y x x x x y x x x y x x x=+<=+>-=-<<=+>例1、求下列函数的最值并求出相应的值211:(1)[()]22()1(0)2211(2)(3)3353313(3)453113(13)1(3)(13)3(13)()3321213136y x x x x x x x y x y x x x x x x x y x x x y x x x x x x x y =+=--+≤-=-=<=-=+=+-+≥=--=->=-+-=-=-≤==-=解当且仅当即取最大值当且仅当即时取最小值当且仅当即时22221123333(4)0,20,02232232,.,32x x y x x x x x x x x x y x >∴>>∴=+=++≥===取最大值当且仅当即故当有最小值 2311,().1x x x f x x -+>-=+变式一、当时求的值域222:1,10.31(1)5(1)55()(1)55111(1)51"".()5,).x x x x x x f x x x x x x x f x >-∴+>-++-++∴===++-≥++++===∴+∞解当且仅当，即时取的值域为111,.x y R x y u x y+∈+==+变式二、已知、且求的取值范围 111:24,"".211[4,).x y x y x y u x y x y x y y x u x y ++=+=+=++≥===∴=++∞解当且仅当取号的取值范围为42(1),,(2)1,1100,lg lg (3)21,24x y x x a a xx y xy x y x y +≥>>=+=+例、若对一切正数都成立则的最大值为 已知且满足则的取值范围是 已知则的取值范围是2222:(1)4lg lg lg()2(2)lg lg ()()()110222(0,1]1(3)24223)x y x y x y xy x y x y x y +≤=====+=+≥====+∞解当且仅当等号成立故取值范围是等号成立故取值范围是问题二:利用均值不等式解决实际问题23,4800,3.150,120,??m m 例、某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池其容积为深为如果池底每平方米的造价为元池壁每平方米的造价为元怎样设计水池能使总造价最低最低总造价是多少3:,,,,4800z=150120(2323)240000720()34800,348001600,240000720()240000720240000720297600,40,,xm ym z x y x y m xy xy x y z z x y x y ⨯+⨯+⨯=++=⇒=++≥+⨯≥+⨯≥===解设底面的长为宽为水池总造价为元根据题意有由容积为可得由基本不等式与不等式的性质可得即当即时等号成立所以将水,297600池的地面设计成边长为40m 的正方形时总造价最低最低总造价是元四、自主练习题11sin (0)2sin y x x xπ=+<<、函数 5,.a b ab a b ab =++2、已知正数、满足求的取值范围:55501)7[7)ab a b ab ab ab =++≥∴-≥≥≤∴≥+++∞解即的取值范围是五、点评及总结1.利用均值定理证明不等式时,往往需要拆(添)项,其目的：一是创设一个应用基本不等式的条件(如正数、定值等)；二是使等号（或不等号）成立的条件.:(1)(2)(3).2.平均值定理主要解决的问题和与平方和与乘积之间的关系；利用定理进行放缩变换；利用定理求最值 六、课后作业：见作业本。
高中数学必修五教案-3.4 基本不等式(14)-人教A版
§3.4 基本不等式（第一课时）【教材分析】基本不等式是人教版必修 5 第 3 章 第 4 节第一课时内容。
本节课的主要学习任务是通过研究赵爽“弦图”中的面积关系，寻找相等关系和不等关系为思路启发研究不等关系，培养学生直观想象能力。
并从重要不等式中观察、抽象出基本不等式, 多角度探究、理解与证明基本不等式。
探究基本不等式的证明是从代数、几何两个方面展开,不等式的证明是本节课的核心部分,也是本节课的重点，其中利用基本不等式解决最值问题为本节课的难点。
【学情分析】网课期间，停课不停学，使用万彩动画制作和钉钉平台直播授课。
本节课的情感目标为培养学生的数学学习兴趣，也利用了几何画板动态演示，学生可以从中直观感知猜想出不等关系。
通过基本不等式的证明中让学生感受数形统一的辩证性。
对于应用基本不等式解决最值问题中引发学生思考，及知识应用的升华。
【设计思想】基本不等式是高中数学中解决最值问题的一个重要工具，同时在实际生活中也有着非常广泛的应用。
因此对于本节课的教学内容，我从在北京召开的第24届国际数学家大会的会标引入新课，告诉学生会标源于中国古代数学家赵爽的“弦图”作出的设计，以个别提问为主研究基本不等式，引导学生观察“弦图”的构成，思考利用面积关系研究问题。
多角度证明重要不等式。
通过重要不等式，学生类比得到基本不等式。
引导学生分析基本不等式的几何解释，感受几何直观与代数证明的紧密结合时，让学生在探究学习的过程中体会获取知识的成功，享受学习的乐趣。
【教学目标】 一、知识与技能1.2a b+的证明过程，了解这个基本不等式的几何意义，并掌握取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题； 2.通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法；3.通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题、解决问题的能力，并能进行简单应用。
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《基本不等式》教案
教学三维目标：
1、知识与能力目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值.
2、过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程；体会习题的改编过程.
3、情感态度与价值观目标：通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯；通过变式练习，逐步培养学生的探索研究精神.
教学重点、难点：
重点：基本不等式在解决最值问题中的应用.
难点：利用基本不等式失效（等号取不到）的情况下采用函数的单调性求解最值.
学情分析与学法指导：
基本不等式是求最值问题中的一种很重要的方法，但学生在运用过程中“一正、二定、三相等”的应用条件一方面容易被忽视，另一方面某些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式的类型学生解决起来有一定的困难。
在本节高三复习课中，结合学生的实际编制了教学案，力求在学生的“最近发展区”设计问题，逐步启发、引导学生课前自主预习、小组合作学习.
教学过程：
一、基础梳理
基本不等式：如果a,b 是正数，那么2a b
+
（当且仅当a b 时取""=号 ）代数背景：如果22
a b + 2ab （,,a b R ∈当且仅当a b 时取""=号 ）（用代换思想得到基本不等式）
几何背景：半径不小于半弦。
常见变形：
（1）ab
22
2a b + （2）222a b + 2
2a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭ （3）
b a a b + 2（a ，b 同号且不为0） 3、算术平均数与几何平均数
如果a 、b 是正数，我们称 为a 、b 的算术平均数，称 的a 、b 几何平均数.
4、利用基本不等式求最值问题（建构策略）
问题：
（1）把4写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
（2）把4写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
请根据问题归纳出基本不等式求解最值问题的两种模式：
已知x ，y 都大于0则
（1）“积定和最小”：如果积xy 是定值P,那么当 时，和x +y 有最小值 ；
（2）“和定积最大”：如果和x +y 是定值S ,那么当 时，积xy 有最大值 .
二、课前热身
1、已知,(0,1)a b a b ∈≠且，下列各式最大的是（ ）
A. 22a b +
B. 2ab D. a b +
2、已知,,a b c 是实数，求证222a b c ab bc ac ++≥++
3、.1,0)1(的最小值求若x
x x +> .)1(,10)2(的最大值求若x x x -<< 4、大家来挑错 （1）2121=⋅≥+
x x x x 21的最小值是x x +∴ （2）2121,2=⋅≥+
≥x x x x x 则 21,2的最小值是时x x x +≥∴ 5、的最小值求若31,3-+
>a a a
三、课堂探究
1、答疑解惑 方法：小组提交预习中存在的疑问，由其他组学生或教师有针对性地答疑。
2、典例分析
例1、设02,x <<求函数y =.
例2、41,3lg lg x y x x >=++
设求函数的最值. 变式1：将条件改为01x <<
变式2：去掉条件1x >
变式3：将条件改为1000≥x
例3、若正数,3,a b ab a b ab =++满足则的取值范围是 . 变式：求a b +的取值范围.
例4、已知,12,0,0=+>>y x y x 且求y
x 12+的最小值. 变式：已知,112,0,0=+>>y x y x 且
若m m y x 222+>+恒成立，求实数m 的取值范围. 3、反馈矫正
（1）设2
30<<x ，求函数)23(x x y -=的最大值. （2）设R b a ∈,，且3=+b a ，则b a 22+的最小值是 .
（3）求4+-2
a a 的取值范围.①a R ∈ ②5a ≥ （4）已知,,,x y a
b R +∈，y x y b x a b a +=+=+,1,10且
的最小值是18，求,a b . （5）（自选）已知0,a b >>则216()
a b a b +-的最小值是 . 说明：反馈矫正可以根据学生课前预习与课堂学习的实际情况调整为课后巩固练习.
4、回顾与反思
方法：在教师的引导下由学生总结运用基本不等式解题的方法、技巧并相互补充. 题型回顾： . . 运用基本不等式应注意的问题：
①,a b 必须是 数；
②积ab 是 值，和a b +才有最 值，和a b +是 值，积ab 才有最 值； ③当且仅当 时，等号成立.
即：“ 、 、 ”.
利用基本不等式失效（等号取不到）的情况下应 求解最值. 易错反思： . 本节课你还有哪些疑问？。